高中数学：圆锥曲线中的定值、定点问题

高中数学：圆锥曲线中的定值、定点问题【基础回顾】

一、课本基础提炼

1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0.

（1）若m≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点. 当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点.

（2）当m=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.

（3）设直线与圆锥曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则

2. 直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长

二、二级结论必备

1.对与圆锥曲线有关的中点弦问题，常用点差法，及设出弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，利用中点公式和直线的斜率公式即可得出直线的斜率.

2. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B 两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：

(1)|AB|＝x1＋x2＋p，或(α为AB所在直线的倾斜角)；

(3)y1y2＝－p2.

(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

3.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p

4.椭圆与双曲线的通径长为

5.P(x0，y0)是抛物线C上一点，F为抛物线的焦点.

（1）当焦点在x轴正半轴上时，

（2）当焦点在x轴负半轴上时，

（3）当焦点在x轴正半轴上时，

（4）当焦点在x轴正半轴上时，

【技能方法】

定点问题解题技巧：

(1)引进参数法。设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即为所求定点。

(2)特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点,再证明该定点与变量无关。

定值问题解题技巧：

(1)特殊方法。通过考查极端位置探索出“定值”是多少，然后再证明这个值与变量无关。如果试题以客观题的形式出现，特殊方法往往比较容易奏效。

(2)引进变量法。具体步骤为：

①引入变量。选择适当的动点坐标或动直线的斜率为变量。

②构建函数。把要证明为定值的量表示成上述变量的函数。

③推导定值。把得到的函数化简，消去变量得到定值。

共线问题解题技巧：

解析几何中的共线问题的处理方法，常利用向量共线定理来证，即先设出向量的坐标，利用题中给出的关系，证明坐标交叉积的差等于零即可．正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，

把有关解析几何的问题转化为向量问题．三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了．

1.圆锥曲线中的定点问题

求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．

例1已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

【答案】

(Ⅰ)y2=8x;

(Ⅱ) 定点（1,0）

【解析】

(Ⅰ) A(4,0),设圆心C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图像知：

CA2=CM2=ME2+EC2

⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x

(Ⅱ)点B(－1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)由题知 .

y1+y2≠0,y1y2＜0,

⇒8(y1+y2)+y1y2(y2+y1)=0⇒8+y1y2=0

直线PQ方程为：

⇒y(y2+y1)-y1(y2+y1)

⇒y(y2+y1)+8=8x⇒y=0,x=1

所以，直线PQ过定点（1,0）

【点评】

对于定点问题解题技巧：（1）在处理定点与定值问题时，注意从特殊入手这一方法的应用，可以避免盲目的探索.（2）在处理这一问题时，注意整体代换的应用，和设而不求思想的应用.

2. 圆锥曲线中的定值问题

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

例2如图，已知双曲线(a＞0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点N，证明点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.

【答案】

【解析】

（1）设F(c，0)，因为b=1，所以

直线OB方程为直线BF的方程为，解得

又直线OA的方程为则