极坐标专题

极坐标{极经：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极经，记为ρ极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ 极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ) 极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：{x =ρcosθy =ρsinθ； {ρ2=x 2+y 2tanθ=y x(x ≠0) . 考点一：极经、极角1.在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解 (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.题组通关：(2019·贵州省联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≥0)，在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2，C 3的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－45＝0，ρ(cos θ＋sin θ)＝75.(1)判断C 2，C 3的位置关系，并说明理由；(2)若tan α＝34(0≤α≤π)，C 1分别与C 2，C 3交于M ，N 两点，求|MN |.【解】 (1)由C 2：ρ2－2ρcos θ－45＝0，可得x 2＋y 2－2x －45＝0， 即C 2是圆心为(1,0)，半径为355的圆；又C 3：ρ(cos θ＋sin θ)＝75，可得x ＋y －75＝0，即C 3是一条直线，圆心(1,0)到直线C 3的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋0－752＝25<355，即d <r所以圆C 2与直线C 3相交．(2)由tan α＝34(0≤α<π)，有sin α＝35，cos α＝45， 由⎩⎨⎧ θ＝α(ρ≥0)，ρ2－2ρcos θ－45＝0，得ρ2－85ρ－45＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝－25(舍去) 由⎩⎨⎧ θ＝α(ρ≥0)，ρ(cos α＋sin θ)＝75，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝75，解得ρ3＝1，故|MN |＝|ρ1－ρ3|＝1.2.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos ∠AOB 的值．解 (1)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t得，其普通方程为y ＝x ＋2， ∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2.又∵圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)将直线l ：ρsin θ＝ρcos θ＋2，与圆C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ联立，得(4cos θ＋2sin θ)(sin θ－cos θ)＝2，整理得sin θcos θ＝3cos 2θ，∴θ＝π2或tan θ＝3.不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan θ＝3.于是，cos ∠AOB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝31010. 考点二：求极坐标方程1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC ，曲线3M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =求P 的极坐标．分析：本题考查圆的极坐标方程的求法，以及由极经求极角。

解：（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 2.［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．分析：本题考查相关点法求轨迹方程，三角函数的最值问题 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.题组通关：(2019·广东省联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)，已知点Q (4,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(2)已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA→＝3AB →，求k 的值．【思路探索】 (1)先求点M 的参数方程，再化为普通方程，最后得极坐标方程；(2)由直线l 过原点，且OA →＝3AB →，得4ρA ＝3ρB，由极坐标方程整理即可得．【解】 (1)∵P 是曲线C 1上任意一点，设P (2cos θ，2sin θ)，M (x ，y )，又Q (4,0)，M 为PQ 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋42＝2＋cos θ，y ＝2sin θ2＝sin θ，整理得(x －2)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－4x ＋3＝0， 化为极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0.(2)解法一：设直线y ＝kx 的极坐标方程为θ＝α，A (ρA ，α)，B (ρB ，α)，∵OA →＝3AB →，∴4ρA ＝3ρB， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ＝α，整理得ρ2－4ρcos α＋3＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ρA ＋ρB ＝4cos α，ρA ρB ＝3，4ρA ＝3ρB ，解得cos α＝78，∴sin 2α＝1564， ∴k 2＝tan 2α＝sin 2αcos 2α＝1549，∴k ＝±157.。