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【四升五】小学数学奥数第13讲：分类数图形-课件

9＋4＋1＝14（个）答：一共有14个正方形。
练习四
数一数，下图中有多少个绿色正方形？
3×6
1个小正方形：18个 4个小正方形：10个 9个小正方形：4个
2×5
1×4
3×6＋2×5＋1×4
＝18＋10＋4
＝32（个）
答：一共有32个绿色正方形。
练习四
数一数，下图中有多少个绿色正方形？
小朋友们，你还能怎么做，动脑想一想吧！
例题一
数一数，下图有多少条线段？
方法二：
以A为基点：AB、AC、AD、AE、AF、AG 以B为基点：BC、BD、BE、BF、BG 以C为基点：CD、CE、CF、CG 以D为基点：DE、DF、DG 以E为基点：EF、EG 以F为基点：FG 以G为基点：无
6+5+4+3+2+1=21（条）答：有21条线段。
三角形：3 +2 =5（个）
梯形：1 +2 +1=4（个）
长方形：3个三角形：3+2=5（个）
梯形：1+2+1=4（个）
答：图中有长方形3个，三角
形5个，梯形4个。
总结
数图形的方法： 1. 从一个方向向另一个方向数； 2. 分类数。（注意：不重数，不漏数。）
天每
开个
放孩

；子
有的
的花
孩期
子不
是一
练习一
数一数，下图有多少条线段？
方法一
AB C
一段：5条二段：4条三段：3条四段：2条五段：1条
DE F
方法二？
5+4+3+2+1=15（条）

四年级升五年级奥数综合讲义第1讲-巧妙求和

第一讲巧妙求和一、专题简析：数列中从第二项起，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中数的个数称为项数。

通项公式：第n项=首项＋（项数—1）×公差项数公式：项数=（末项—首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2二、典型例题例1：等差数列4,10,16,22，……，52共有多少项？练一练：1.等差数列2,5,8,11，……，101共有几项？2.有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多1根，最下面一层有25根，这堆圆木共有几层？例2：已知等差数列3,7,11,15，……，则该等差数列的第100项是多少？练一练：1.已知等差数列1,4,7，10，……，则该等差数列的第30项是多少？2.已知等差数列2,6,10,14，……，则该等差数列的第100项是多少？，例3：有这样一个数列1,2,3,4，……，99,100，请求出这个数列各项相加的和？练一练： 1+2+3+4……+49+50 6+7+8+9+……+75100+99+98+97+……+60 120+119+118+……+2+1例4．琳琳读一部小说，第一天读了40页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，共花10天读完，这本书共有多少页？练一练：1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层是120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？2.按一定规律排列的算式：4+2,5+8,6+14,7+20，……，那么第100个算式是什么？三、熟能生巧1、有一个等差数列：9,12,15,18，……，2004，这个数列共有多少项？2、求等差数列1,6,11,16，……，的第61项。

3、1—2＋3—4＋5—6……＋2009—2010＋2011 160+154+148+……+16 5+10+15+20+……+195+200 9+18+27+……+261+270（2+4+6+……+100）—（1+3+5+7+……+99）880—3—6—9—…—572+3—4+5+6—7+8+9—10+11+12—13+……+101+102—1034.5个连续自然数的和是225，求第一个数是多少？5.有30把锁的钥匙都搞乱了，为了使每把锁都被打开，至多要开多少次？。

四升五年级奥数

第1讲速算与巧算一计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领;准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展;我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法;例1 四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩分数如下：86,78,77,83,91,74,92,69,84,75;求这10名同学的总分;分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错;观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大;我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数与80的差如下：6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小;于是得到总和=80×10＋6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809;实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加;为了清楚起见,将这一过程表示如下：通过口算,得到差数累加为9,再加上80×10,就可口算出结果为809;例1所用的方法叫做加法的基准数法;这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况;作为“基准”的数如例1的80叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差;由例1得到：总和数=基准数×加数的个数+累计差,平均数=基准数+累计差÷加数的个数;在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差;同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数;例2 某农场有10块麦田,每块的产量如下单位：千克：462,480,443,420,473,429,468,439,475,461;求平均每块麦田的产量;解：选基准数为450,则累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50,平均每块产量=450＋50÷10＝455千克;答：平均每块麦田的产量为455千克;求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7＝49七七四十九;对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10～20的平方,而21～99的平方就不大熟悉了;有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法;所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数;下面通过例题来说明这一方法;例3 求292和822的值;例4求9932和20042的值;下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法;请看下面的算式：66×46= 73×88= 19×44=这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10;这类算式有非常简便的速算方法;例5 88×64＝例6 77×91＝解：由例3的解法得到由上式看出,当两个因数的个位数之积是一位数时,应在十位上补一个0,本例为7×1＝07;用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算;练习11.求下面10个数的总和：165,152,168,171,148,156,169,161,157,149;2.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为单位：厘米：26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25;求这批麦苗的平均高度;3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为：68,91,84,75,78,81,83,72,79;他们共加工了多少个零件4.计算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12;5.计算下列各题：1372； 2532； 3912；4682 51082； 63972;6.计算下列各题：177×28= 266×55=333×19= 482×44=537×33= 646×99=第2讲速算与巧算二上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法;两个数之和等于10,则称这两个数互补;在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况;72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型;计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法;例1 176×74＝ 231×39＝由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积不够两位时前面补0,如1×9＝09,积中从百位起前面的数是被乘数或乘数的十位数与十位数加1的乘积;“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×头+1”;我们在三年级时学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法;例2 178×38＝ 243×63＝2与1类似可得到下面的速算式：由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积不够两位时前面补0,如3×3＝09,积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数或乘数的个位数;“补同”速算法简单地说就是：积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头+尾”;例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法;当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢我们先将互补的概念推广一下;当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补;如43与57互补,99与1互补,555与445互补;在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型;例如, 因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77＋23＝100,所以是“同补”型;又如, 等都是“同补”型;当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型;例如,等都是“补同”型;在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用;例3 1702×708= 21708×1792＝解：1 2计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×头+1”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位;注意：互补数如果是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”;在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用见例4；如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了;例4 2865×7265＝解：练习2计算下列各题：68×62= 93×97= 27×87= 79×39=42×62= 603×607= 693×607= 4085×6085=第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050;高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51;1～100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等;于是,小高斯把这道题巧算为1+100×100÷2＝5050;小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题;若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项;后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差;例如：11,2,3,4,5, (100)21,3,5,7,9,...,99；38,15,22,29,36, (71)其中1是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；2是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；3是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列;由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式：和=首项+末项×项数÷2;例1 1＋2＋3＋ (1999)注意：利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列;例2 11＋12＋13＋ (31)在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数;根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=末项-首项÷公差+1,末项=首项+公差×项数-1;例3 3＋7＋11＋ (99)例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和;例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米,边长是1根火柴棍;问：1最大三角形的面积是多少平方厘米2整个图形由多少根火柴棍摆成例6 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里;这时盒子里共有多少只乒乓球练习31.计算下列各题：12＋4＋6＋…＋200 217＋19＋21＋…＋3935＋8＋11＋14＋…＋50 43＋10＋17＋24＋…＋1012.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和;3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和;4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下;问：时钟一昼夜敲打多少次5.求100以内除以3余2的所有数的和;6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个第四讲整除我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征;数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除;例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除;性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除;例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除;性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除;例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除;利用上面整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题;为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：1一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除;2一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除;3一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除;4一个数的末两位数如果能被4或25整除,那么这个数就能被4或25整除;5一个数的末三位数如果能被8或125整除,那么这个数就能被8或125整除;6一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除;其中123是三年级学过的内容,456是本讲要学习的内容;因为100能被4或25整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4或25整除;因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4或25整除,这个数就能被4或25整除;这就证明了4;类似地可以证明5;6的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法;837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×99＋1＋3×9＋1＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝8×99＋3×9＋8＋3＋7;因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,8x99＋3x9能被9整除;再根据整除的性质2,由8＋3＋7能被9整除,就能判断837能被9整除;利用456还可以求出一个数除以4,8,9的余数：4一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同;5一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同;6一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同;例1在下面的数中,哪些能被4整除哪些能被8整除哪些能被9整除234 789 7756 8865 3728 8064;例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列;例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字例5 六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个例6要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字练习41．6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除2．个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个3．一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除;在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少4．五位数能被12整除,求这个五位数;5．有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几最小是几6．从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数7．在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除;8．学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□□元,你知道每只小足球多少钱吗第5讲弃九法从第4讲知道,如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几,那么这个数被9除的余数也一定是几;利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几;例如,3645732这个数,各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30,30被9除余3,所以3645732这个数不能被9整除,且被9除后余数为3;但是,当一个数的数位较多时,这种计算麻烦且易错;有没有更简便的方法呢因为我们只是判断这个式子被9除的余数,所以凡是若干个数的和是9时,就把这些数划掉,如3＋6＝9,4＋5＝9,7＋2＝9,把这些数划掉后,最多只剩下一个3如下图,所以这个数除以9的余数是3;这种将和为9或9的倍数的数字划掉,用剩下的数字和求除以9的余数的方法,叫做弃九法;一个数被9除的余数叫做这个数的九余数;利用弃九法可以计算一个数的九余数,还可以检验四则运算的正确性;例1 求多位数除以9的余数;例2 将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少练习51．求下列各数除以9的余数：17468251 2 32657348 42．求下列各式除以9的余数：167235＋82564 297256-4782332783×6451 43477+265×841第6讲数的整除性二这一讲主要讲能被11整除的数的特征;一个数从右边数起,第1,3,5,…位称为奇数位,第2,4,6,…位称为偶数位;也就是说,个位、百位、万位……是奇数位,十位、千位、十万位……是偶数位;例如9位数中,奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差大数减小数如果能被11整除,那么这个数就能被11整除;例1判断七位数1839673能否被11整除;例2 求下列各数除以11的余数：141873； 2;例3求除以11的余数;例4用3,3,7,7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数;例6 六位数能被99整除,求A和B;练习61．为使五位数6□295能被11整除,□内应当填几2．用1,2,3,4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数;4．求下列各数除以11的余数：12485； 263582； 3;5．求除以11的余数;6．六位数5A634B能被33整除,求A+B;7．七位数3A8629B是88的倍数,求A和B;第六讲流水行船问题专题导引当你逆风骑自行车时有什么感觉是的,逆风时需用很大力气,因为面对的是迎面吹来的风;当顺风时,借着风力,相对而言用力较少;在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题;解答这类题的要素有下列几点：水速、顺速、船速速水速度、逆速、距离,解答这类题与和差问题相似;船速相当于和差问题中的大数,水速相当于小数,顺流速度相当于和数,逆流速相当于差数;船速=顺流船速+逆流船速÷2；水速=顺流船速-逆流船速÷2；顺流船速=船速+水速；逆流船速=船速-水速；顺流船速=逆流船速+水速×2；逆流船速=顺流船速-水速×2;典型例题例1一条轮船往返于A 、B 两地之间,由A 地到B 地是顺水航行,由B 地到A 地是逆水航行;已知船在静水中的速度是每小时20千米,由A 到B 用了6小时,由B 到A 所用的时间是由A 到B 所用时间的倍,求水流速度;试一试：1、水流速度是每小时15千米;现在有船顺水而行,8小时行320千米;若逆水行驶320千米需几小时2、水流速度每小时5千米;现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时,顺水航行需几小时例2有一船行驶于120千米长的河中,逆行需10小时,顺行要6小时,求船速和水速;试一试1、有只大木船在长江中航行;逆流而上5小时行5千米,顺流而下1小时行5千米;求这只木船的静水速度和水流速度各是多少2、有一船完成360千米的水程运输任务;顺流而下30小时到达,但逆流而上则需60小时;求河水流速和静水中船的速度例3轮船以同一速度往返于两码头之间;它顺流而下,行了8小时；逆流而上,行了10小时;如果水流速度是每小时3千米,求两码头之间的距离;试一试：1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口,它顺流而下行了7小时,逆流而上行了10小时;如果水流速度是每小时千米,求甲、乙两个港口之间的距离2、一艘渔船顺水每小时行18千米,逆水每小时行15千米;求船速和水速各是多少例4汽船每小时行30千米,在长176千米的河中逆流航行要11小时到达,返回需几小时试一试：1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时,8小时行48千米;返回时水流速度是逆流而上的2倍;需几小时行195千米2、已知一船自上游向下游航行,经9小时后,已行673千米,此船每小时的船速是47千米;求此河的水速是多少﹡例5有甲、乙两船,甲船和漂流物同时由河西向东而行,乙船也同时从河东向西而行;甲船行4小时后与漂流物相距100千米,乙船行12小时后与漂流物相遇,两船的船速相同,河长多少千米 ﹡试一试1、有两只木排,甲木排和漂流物同时由A 地向B 地前行,乙木排也同时从B 地向A 地前行,甲木排5小时后与漂流物相距75千米,乙木排航行15小时后与漂流物相遇,两只木排的船速相同,A 、B 两地长多少千米2、有一条河在降雨后,每小时水的流速在中流和沿岸不同;中流每小时59千米,沿岸每小时45千米;有一汽船逆流而上,从沿岸航行15小时走完570千米的路程,回来时几小时走完中流的全程课外作业家长签名：1、一船从A 地顺流到B 地,航行速度是每小时32千米,水流速度是每小时4千米,212天可以到达;此船从B 地返回到A 地需多少小时2、一海轮在海中航行;顺风每小时行45千米,逆风每小时行31千米;求这艘海轮每小时的船速和风速各是多少3、沿河有上、下两个市镇,相距85千米;有一只船往返两市镇之间,船的速度是每小时千米,水流速度每小时千米;求往、返一次所需的时间;4、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米,顺流航行1小时行3千米;求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少﹡5、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米;今出发至某地顺风去,逆风回,返回的时间比去的时间多3小时;已知逆风速度为75千米/小时,求距目的地多少千米第7讲“牛吃草”问题专题导引牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的;“一堆草可供10头牛吃3天,供6头牛吃几天”这题很简单,用3×10÷6=5天;如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了;因为草每天都在生长,草的数量在不断变化;这类工作总量不固定均匀变化的问题就是“牛吃草”问题;解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量;牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的;正确计算草地上原有的草及每天长出的新草,问题就容易解决了;典型例题例1一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周;那么这片草地可供21头牛吃几周试一试：1、一片草地,每天都匀速长出青草;如果可供24头牛吃6天,20头牛吃10天;那么,可供19头牛吃多少天2、牧场上一片草地,每天牧草都匀速生长;这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天;问可供25头牛吃几天例2由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少;已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天;照此计算,可供多少头牛吃10天试一试：1、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度在减少;经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天;那么,可供11头牛吃几天2、因天气渐冷,牧场上的草以固定的速度在减少;已知牧场上的草可供33头牛吃5天,或可供24头牛吃6天;照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼;已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上;问：该扶梯共有多少级台阶试一试：1、自动扶梯以均匀速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼;已知小明每分钟走25级台阶,小红每分钟走20级台阶,结果小明用5分钟、小红用了6分钟分别到达楼上;该扶梯共多少级台阶2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走;在20秒钟里,男孩可走27级台阶,女孩可走24级台阶,男孩走了2分钟到达另一端,女孩走了3分钟到达另一端,该扶梯共多少级台阶例4一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水;如果用12人舀水,3小时舀完;如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完;现在要想2小时舀完,需要多少人试一试：1、有一水池,池底有泉水不断涌出;用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干;那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干2、有一个长方形的水箱,上面有一个注水孔,底面有个出水孔,两孔同时打开后,如果每小时注水30立方分米,7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米,注满水箱可少用小时;那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水设每小时排水量相同﹡例5有三块草地,面积分别为5,6和8公顷;草地上的草一样厚,而且长得一样快;第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天;问第三块草地可供19头牛吃多少天﹡试一试：1、某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多;从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟;如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟2、快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆正在行驶的自行车,三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米;快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用多少小时课外作业家长签名：1、牧场上的青草每天都在匀速生长;这片牧草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周;那么,可供21头牛吃几周2、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年;假设地球新生成的资源增长速度是一样的,那么,为满足人类不断发展的需要,地球最多能养活多少亿人3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底;白天往下爬,两只蜗牛白天爬行的速度是不同的;一只每天白天爬20分米,另一只爬15分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的;结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底,另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底;那么,井深多少米4、有一水井,连续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等;如果用3台抽水机来抽水,36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机,20分钟抽完;现在12分钟内要抽完井水,需要抽水机多少台﹡5、一个牧场上的青草每天都匀速生长;这片青草可供17头牛吃30天,或供19头牛吃24天;现有一群牛吃了6天后卖掉4头,余下的牛又吃了2天将草吃完;这群牛原来有多少头第八讲简便运算2例1、1999++++例2、++++++++例3、××8例4、÷8÷例5、÷×例6、××÷÷÷。

趣味数学四升五奥数教程

小学四年级暑期奥数培训教材目录第1讲和差问题第2讲和倍问题（一）第3讲和倍问题（二）第4讲差倍问题第五讲简单的年龄问题第六讲复杂年龄问题第七讲一半问题第八讲新定义运算第九讲：数图形㈠第十讲：数图形㈡第十一讲等量代换第十二讲鸡兔同笼第十三讲智取火柴第十四讲简单判断第十五讲周期问题第1讲和差问题【例1】、植树节，育红小学五、六年级学生共植树106棵，六年级比五年级多植树24棵，五、六年级各植树多少棵？分析：【例2】．小明期终考试，语文和数学的平均分数是97分，语文比数学系少6分，语文和数学各得了几分？分析：【例3】、一部书有上、中、下三册，上册比中册贵1元，中册比下册贵2元，这部书售价32元。

上、中、下三册各多少元？分析：【例4】．甲、乙两筐香蕉共64千克，从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的香蕉还比乙筐的香蕉多2千克。

甲、乙两筐原有香蕉各多少千克？分析：【例5】．这里有三道加法算式，当正方形、三角形、圆形各代表什么数，才能使等式成立？□+□+△+○=20 (1)□+△+△+○=17 (2)□+△+○+○=15 (3)分析：练习与思考：1．小红家养了30只鸡，母鸡比公鸡多8只。

小红养母鸡、公鸡各多少只？2．甲、乙、丙三个数，和为300，已知甲比乙大50，乙比丙大20，甲数是多少？3．甲、乙、丙三个同时参加储蓄。

甲、乙两人共储蓄220元，乙、丙两人共储蓄180元，甲、丙两人共储蓄200元。

问：三人各储蓄多少元？4．两筐苹果共重64千克，如果从第一筐中取出8千克放入第二筐后，那么，第一筐苹果比第二筐少2千克。

两筐苹果原来各有多少千克？5．小明比小华多30块糖果，小明给小华25块糖果，这时谁的糖果多？多几块？6．小强沿长与宽相差20米的游泳池池边跑步5圈，作下水前的准备活动，已知他共跑了700米，游泳池的长和宽各是多少米？7．张宁同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分，数学和外语平均成绩是88分，外语和语文平均成绩是86分。

四升五奥数

变化规律（二）练习
1.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？
2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？
3.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
4.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。正确的和是多少？
例3：下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
[活学活用] 一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？
例4：街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？
【活学活用】两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
变化规律（一）练习
1.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？
2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？
4.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
【活学活用】小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正确的和是多少？
【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
【活学活用】小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。正确的差是多少？

【四升五】小学数学奥数第14讲：最化问题-课件

学校里有紧急的事情，麻烦你帮我电话通知其余54名54同个学同，学，我应
谢该谢怎！么快速通知到所有人呢？
喂，卡尔！
阿博士好！
最优化问题
例题一
有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车和小卡车每运一次的耗油量分别1为0升10升5和升5升。请问：如何选派车辆才能使耗油量最少？
所以让甲做衣服，乙做裤子，做 20件衣服需要20÷4＝5（天），
五天后，乙做了裤子 3×5＝15（条），还剩裤子 20－15＝5（条），两个裁缝一起做要：5÷（2＋3）＝1（天）一共：5＋1＝6（天）答：至少要6天。
小结
最优化： 1. 节约时间、工作效率高； 2. 节约资源； 3. 经济。
河对面
过河的时间取决于最慢30的＋牛30，＋回50来＋的2时0 ＋间30 ＝取1决60于（最分快钟的）牛。
答：最少需要160分钟。
甲乙丙丁
20分钟 30分钟 40分钟 50分钟
练习五（选讲）
阿派、米德、欧拉、卡尔四人要从河的东岸到西岸。现在只有一条木船且无船工，木船一次最多只能载两人；已知阿派渡河需要7分钟，米德需要3分钟，欧拉需要2分钟，卡尔需要5 分钟；那么他们至少需要多少分钟才能都安全地渡过河？
所以 5 分钟就足够了。
答：王老师至少需要5分钟。
练习三
一个执委会的6名成员要召开一次会议。于是这6 名成员给各自的6个下属打电话，每个下属又给各自的6个下属再打电话。若每个人都只被通知了一次，那么有多少人知道要开会？
1名执委会成员通知的人数：
第一次执委会成员通知的人数是：6人，知道开会的一共有：6+1 人；
大卡车每吨耗油： 8÷5＝1.6（升/吨）

四升五奥数第一讲找规律

第1讲寻找规律知识要点一：按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

善于发现数列的规律是填数的关键。

精讲精练：【例题1】在括号内填上合适的数。

（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）举一反三：1.在下面的括号里填上合适的数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）2.按规律填数。

（1）2，8，32，128，（），（）（2）1，5，25，125，（），（）3.先找规律再填数。

12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）（3）3,4,7,3,4,10,3,4,13，（），（），（）举一反三2：1.按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）2.在括号里填上适当的数。

（1）18，3，15，4，12，5，（），（）（2）1，15，3，13，5，11，（），（）3.找规律填数。

（1）4，7，8，4，6,13,4,5,18，（），（），（）（2）1,2,3,2,4,6,3,8,9，（），（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）举一反三3：1.按规律填数。

4升5暑假奥数

第1讲长方形、正方形的周长讲义长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。

例1、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？练习1：1.在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的周长（）乙的周长2.有两个相同的长方形，长10厘米，宽4厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。

3.求下面图形的周长（单位：厘米）。

74.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

例2、有5张同样大小的纸如下图重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

练习2：1.有6块边长是2厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。

50cm2.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

例3、下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

练习3：1.求下面图形的周长（单位：厘米）。

2.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。

这个零件的周长是多少厘米？例4、已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？练习4：1. 图中长方形的长a厘米,宽b厘米,在这个长方形中剪下一个最大的正方形,剩下图形的周长是（）厘米。

（用字母a、b表示）2.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。

3.下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）例5、一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。

现在这块木板的周长是多少厘米？练习5：1.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。

2.如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。

四升五奥数系列之一

学习改变命运，思考成就未来！姓名 _______________四升五奥数系列之一牛顿问题解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数。

1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。

这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。

供给25头牛吃，可以吃多少天？分析：如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。

现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。

①、求每天的长草量( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )＝5 ( 单位量)说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。

②、求牧场原有草量因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5 ( 头)牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：( 10－5 )×20＝100 ( 单位量)或：10头牛吃20天，一共吃草量是10×20＝200 ( 单位量)一共吃的草量－ 20天共生长的草量＝原有草量200 －100 ＝100(单位量)③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－长的＝消耗原草量)即：25 －5＝20 ( 单位量)④、25头牛去吃，可吃天数牧场原有草量÷ 25头牛每天实际消耗原有草量＝可吃天数100 ÷ 20 ＝5 ( 天)解：( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )＝50÷10＝5 (单位量) ------- 每天长草量( 10－5 )×20＝5×20＝100 ( 单位量) ------- 原有草量100÷ ( 25－5 )＝100÷20＝5 (天)答：可供给25头牛吃5 天。

四升五暑期奥数培优讲义——5-09-容斥原理4-讲义-教师

第9讲容斥原理【学习目标】1、理解容斥原理的研究的范围；2、掌握容斥原理的分析方法；3、学会利用相关分析方法解题。

【知识梳理】1、容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。

2、常用工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号3、常见题型：数论，几何。

【典例精析】【例1】五年级的学生一共有42人，参加奥数补习的有30人，参加语文补习的有25人，所有五年级学生都至少补习奥数和语文中的一门。

请问五年级中两门都补习的学生有多少人？30+25-42=13（人）【趁热打铁-1】实验小学五年级一班共有40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本。

采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种都采集的有多少人？28+19-40=7（人）【例2】星星艺术团有32名同学，其中有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢Nab NbNa琴都会的8人，既不会小提琴又不会弹钢琴的有多少人？32-（14+21-8）=5（人）【趁热打铁-2】学校组织100名家长去香港旅游，其中有10人既不懂英语又不懂粤语，有75人懂英语，83人懂粤语。

既懂英语又懂粤语的有多少人？（75+83）-（100-10）=68（人）【例3】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？5的倍数：100÷5=20(个)6的倍数：100÷6≈16(个）.5和6的倍数：100÷30≈3(个）100-(20+16-3)=67(个）【趁热打铁-3】在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？5的倍数：200÷5=40(个)8的倍数：200÷8=25(个）5和8的倍数：200÷40=5(个）200-(40+25-5)=140(个）【例4】奥斑马、小美、欧欧给100盆花浇水．奥斑马浇了78盆，小美浇了68盆，欧欧浇了85盆．那么，至少有______盆花被浇了三次水。

(完整word版)4升5奥数资料暑期

奥数资料第1页晨希教育第一讲：巧算之一—多位数乘法的珠默算【例题解说】例 1:76× 7431× 39例 2：78× 3843× 63例 3：702× 7081708× 1792【讲堂练习】1. 68 ×622.93× 973. 27 × 874. 79×395. 42 × 626. 603× 6077. 292× 2988. 705×795第二讲：巧算之二—等差数列【例题解说】例1: 1+2+3+4+⋯⋯ +49+50例 2：有一个等差数列：2、5、 8、 11⋯⋯ 101，个等差数列共有多少？例 3：一等差数列，首=3，公差 =2，数 =10，它的末是多少？例4： 1+3+5+7+9+⋯ +99【讲堂练习】1. 6+7+8+9+⋯⋯+752. 100+99+98+⋯⋯+61+603.已知等差数列 11、16、 21、 26⋯⋯ 1001，个数列共有多少？4.求等差数列 1、 4、 7、 10⋯个等差数列的第 30 。

5. 有一等差数列：3、 7、 11、 15⋯⋯个等差数列的第100 是多少？6. 17 ＋ 19＋ 21＋⋯＋ 397. 5＋8＋11＋14＋⋯＋508.3＋ 10＋ 17＋ 24＋⋯＋ 1019. 2+6+10+14+18+22【课后思虑】（2+4+6+⋯⋯ +100）—（ 1+3+5+⋯⋯ +99）第三讲：均匀数问题【例题解说】例 1: 贝贝前两次测试的数学均匀成绩是 6 分，第三次测试后，三次的均匀成绩是70 分。

第三次得了多少分？127，右侧三个例2: 五个数的均匀数是139，把这些数排成一排，左侧三个数的均匀数是数的均匀数是148，那么，排在中间的这个数是多少？例3: 甲乙丙三个数，甲数和乙数的均匀数是 93，甲数和丙数的均匀数是 87，乙数和丙数的均匀数是 80。

小学奥数(四升五)

小学四年级奥数第1讲植树问题知识方法…………………………………………………在生活中经常会碰到植树类的问题，我们可以把这些生活中的植树类题转化成数学上的植树问题。

植树问题主要会有以下几种情形:一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。

1.如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即:棵数=段数+12.如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即:棵数=段数。

3.如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数应比要分的段数少1，即:棵数=段数-1。

二、在封闭线路上植树，棵数段数相等，即:棵数=段数。

三、在方形线路上植树，如果每个顶京都要植树，则棵数=(每边的棵数-1)X边数。

重点点拔…………………………………………………【例1】在一条长600米的道路上植树，从头到尾毎隔5米栽一棵树，一共可以栽多少？分析这条路共600米，每隔5米栽一棵，600米中共有:600*5=120(段)。

因为路两端都要栽树，所以栽树的棵数应该比段数多1，也就是要栽120+1=121(棵)解答600÷5+1=120+1=121(棵)答:可以栽121棵树。

【例2】一条马路边，从头开始每隔40米有一根电线杆，一辆汽车在一根电线杆旁开始行驶，5分钟后刚好经过第60根电线杆(起点的那根电线杆不计在内)。

汽车每分钟行驶多少米?分析要求汽车每分钟行驶多少米?从题中可以知道：汽车5分钟后刚好经过第60根电线杆，也就是经过60个间隔(因为起点的那根电线杆不计在内)，那么每分钟经过60÷5=12(个)间隔，每个间隔是40米，这样就可以求出汽车每分钟行驶多少米了。

解答60÷5=12(个) 40×12=480(米)答:汽车每分钟行驶480米。

【例3】从甲地到乙地原来有电线杆51根，每相邻两根之间的距离为12米。

现在要减少到41根，相邻两根之间的距离应是多少米?分析甲地到乙地原有51根电线杆，它们之间有50个间隔，因为每相邻两根之同的距离为12米，所以甲地到乙地的距高是50×12=600米。

【四升五】小学数学奥数第9讲：巧算年龄-课件

今年的年龄和：27+26=53（岁）
几年后年龄和为73岁：（73-53）÷2=10（年）为什么除以2
答：再过10年，他爸爸和妈妈年龄之和为73岁。
例题四
今年欧拉的年龄是卡尔的5倍，3年后欧拉的年龄是卡尔的2倍。今年欧拉和卡尔各是多少岁？
3年后
5倍 2倍
3年后卡尔的年龄：（3×5-3）÷（5-2）=4（岁）
儿子：24÷（2-1）=24（岁）
24-12=12（年）答：12年后妈妈的年龄是儿子的2倍。
练习一
卡尔今年14岁，爸爸41岁，几年前爸爸的年龄是卡尔的4倍？
41-14=27（岁）
卡尔：27÷（4-1）=9（岁）
14-9=5（年）答：5年前爸爸的年龄是卡尔的4倍。
例题二
妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前妈妈和女儿的年龄和是39岁。问妈妈、女儿今年各多少岁？
例题三
米德的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁，再过多少年，他的爸爸和妈妈年龄之和为80岁？
今年的年龄和：28+26=54（岁）几年后年龄和为80岁：（80-54）÷2=13（年）
为什么除以2 答：再过13年爸爸和妈妈年龄之和为80岁。
练习三
欧拉的爸爸今年27岁，他的妈妈今年26岁，再过多少年，他的爸爸和妈妈年龄之和为73岁？
今年儿子的年龄：50÷（1+4）=10（岁）今年爸爸的年龄：10×4=40（岁）答：爸爸今年40岁，儿子今年10岁。
小结
年龄问题的解题要点是： 1. 入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系； 2. 关键：抓住“年龄差”不变； 3. 解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式； 4. 陷阱：求过去、现在、将来。

奥数重难点归纳总结(四升五)

本期重难点归纳总结——杨秀情+刘丽娜内容提要数论循环小数数的整除质数与合数几何三角形中的比例关系四边形中的比例关系应用题多人相遇与追及多次相遇与追及牛吃草问题组合构造与论证之组合原理综合运用复杂竖式与数字谜中的最值问题复杂抽屉原理计数综合数学思想从反面情况与特殊情况考虑对应与转化思想数论循环小数数的整除质数与合数一、循环小数1、小数的基本分类小数有限小数无限小数无限不循环小数(一定不能写成分数形式)纯循环小数循环小数混循环小数 2、循环小数化分数 (1) 纯循环小数化分数 ①分母中只出现9②分母中9的个数与其循环节的位数对应,分子是一个循环节的数字组成的例:765.0 =99956735.0 =9953(2)混循环小数化分数①分母中出现9和0, 分母中9的个数与其循环节的位数对应,0的个数与小数点后不循环的位数对应②分子是不循环节部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差例:4312.0 = 9900121234-=495061153.0 =90335-=9032=45163、分数化小数的归类(1)如果分数的分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数(2)如果分数的分母不含有质因数2和5，只由2和5以外的质因数组成，那么这个分数一定能化成纯循环小数(3)如果分数的分母既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数二、数的整除1、一个数被常见数整除的特征 2系列被2整除只需看个位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推3系列被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除5系列被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位7、11、13系列通用特点(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除(2)从右边开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差（大减小）如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数特殊特点被11整除：从右边开始，第奇数位的和与第偶数位的和之差（大减小）是11的倍数2、合数的整除特征判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断3、试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最小）三、质数与合数1、质数: 除了1和它本身，不再有其它的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)2、合数：除了1和它本身，还有其它的约数，这个数叫做合数要特别记住：0和1既不是质数，也不是合数3 、常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个4、两个唯一：2是唯一的偶质数，其余质数都是奇数5是唯一个位为5的质数，即唯一的5的倍数5、除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或96、最小的四位质数是10097、判断一个数是否是质数的方法判断P是否为质数:①找一个大于且接近P的平方数2K②再列出所有不大于K的质数③用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P就为质数例如:判断149是否为质数?149很接近169=13×13比13小的质数:2,3,5,7,11149不能被2,3,5,7,11是质数8、分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数这个质数是这个数的质因数互质数：公约数只有1的两个自然数互质数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来分解质因数例如：30235=⨯⨯2=⨯⨯=⨯(分解质因数的标准式) 12223239、约数个数定理约数个数:指数加1再相乘几何共边定理三角形中的比例关系共角定理四边形中的比例关系蝴蝶定理梯形蝴蝶定理一、三角形中的比例关系三角形面积=底×高÷2 底相等看高高相等看底（特殊：共同顶点）等底等高相等1、共边定理（三角形等积变形）内容跟课件的一样，请课件制作人员按照课件的内容来做2、共角定理（鸟头模型）（1）ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅（2）CDE ABC S CD CES BC AC∆∆⋅=⋅（3）沙漏模型：ADE ABC S AD AES AB AC∆∆⋅=⋅二、四边形中的比例关系BCA BCD O ba S 3S 2S 1S 41、蝴蝶模型① 1243S S OA S S OC ==或1423S S OD S S OB==S 1×S 3= S 2×S 4② 1234ABDBCDS S S OA OC S S S ∆∆=++= 1423ADCABCS S S OD OB S S S ∆∆=++=2、梯形蝴蝶模型① ::2213S S a b = ② 24S S =③ ::::::221234S S S S a ab b ab = ④ 梯形面积S 的对应份数是（a+b ）2S 4S 3S 2S 1O DCBA多人相遇与追及应用题多次相遇与追及牛吃草问题一、多人相遇与追及1、行程问题的核心公式路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度2、直线型相遇、追及相遇时间=路程和÷速度和追及时间=路程差÷速度差3、环型相遇、追及相遇：每相遇一次共走1圈追及：每追上一次多走1圈4、解题方法比例：建立设份数的思想方程：找到同一个量的两种表示形式做行程问题一定要画图二、多次相遇与追及相遇时间=路程和÷速度和追及时间=路程差÷速度差相遇：共走路程和本质追及：多走路程差画图分析当次数较多时，可从周期性，规律性出发三、牛吃草问题同一块草地上的牛吃草问题多块草地上的牛吃草问题牛吃草变形题1、牛吃草问题的基本量通常“设1头牛1天吃1份草(1)两个重要角色草：原有草新生草(2) 要想求出答案必须先已知两个量原有的草量每天生长量2、牛吃草问题基本步骤每天长的草量原来有的草量让一些牛去吃每天长的草3、牛吃草变形题：谁相当于草谁相当于牛谁是原有量谁是新生量组合构造与论证之组合原理综合运用复杂竖式与数字谜中的最值问题复杂抽屉原理计数综合一、构造与论证之组合原理综合运用抽屉原理最值原理统筹原理容斥原理抽屉原理把苹果放抽屉里必然有什么结果抽屉苹果1、把4个苹果放到3个抽屉里，必有1个抽屉里至少有2个苹果（出现4个苹果和3个抽屉，然后放进去）2、把10个苹果放到3个抽屉里，必有一个抽屉里至少有4个苹果（出现10个苹果和3个抽屉，然后放进去）最不利原则平均分原则最值原理极限思想任我意法特殊情况统筹原理时间最短花钱最少路程最小容斥原理容包容斥排斥如（手画）这是什么法宝？？韦恩图总结：奇层加，偶层减二、复杂竖式与数字谜中的最值问题1 个位数字分析法2高位数字分析法3 数字估算分析法（结合数位）数字谜的分析方法 4进位借位分析法5 分解质因数法6 奇偶分析法1极限思想最值问题考虑方法 2 假设法3乘积：如果两个数和一定，差小积大三、计数综合枚举法（树形图）解计数问题常用方法加乘原理（标数法）排列组合（有序排列，无序组合）1、枚举法（树形图）2、加乘原理——标数法加乘原理解题步骤1 分类2每一类内部用乘法原理3 各类相加标数法：（手写）确定大方向每点从哪来不能走标03、排列组合1 有序排列，无序组合2 排列数记为：A n m，n为总数,m为参加排列的数目组合数记为：C n m n为总数,m为要选的数目3排列组合的本质乘法原理4排列组合中一些重要的方法排除法优先法捆绑法插空法隔板法数学思想从反面情况与特殊情况考虑对应与转化思想一、从反面情况与特殊情况考虑两大化难为易的法宝：反面情况考虑当正面很难求时用（排除法）特殊情况考虑一般情况难求时用（极限法）二、对应与转化思想①计数问题:两者一一对应,则个数相等对应:一一对应的思想②覆盖问题:寻找关键格,分类对应②大小与求差值问题比大小:有剩余即为多求差值:一一对应的部分抵消后即为差值转化:化繁为简的思想。

衡水数学奥数题四升五

衡水数学奥数题四升五摘要：一、引言1.介绍衡水数学奥数题2.强调题目针对四升五的学生群体二、题目内容概述1.题目背景及来源2.题目类型及难度3.题目对于四升五学生的影响和意义三、题目解答过程1.题目一a.题目描述b.解题思路c.答案及解析2.题目二a.题目描述b.解题思路c.答案及解析3.题目三a.题目描述b.解题思路c.答案及解析四、题目对于学生的作用1.提升数学思维能力2.增强逻辑推理能力3.培养学生的学习兴趣五、结论1.总结衡水数学奥数题的特点和优势2.强调奥数题对于四升五学生的重要性正文：一、引言衡水数学奥数题以其独特的教学理念和优质的题目资源，一直受到广大师生和家长的青睐。

本文将针对四升五的学生群体，详细解析几道具有代表性的衡水数学奥数题，以帮助大家更好地理解和掌握这类题目。

二、题目内容概述衡水数学奥数题针对四升五的学生群体，题目类型丰富，难度适中。

这类题目旨在激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为更高年级的学习打下坚实的基础。

三、题目解答过程接下来，我们将详细解析三道衡水数学奥数题。

1.题目一题目描述：小明有12 个苹果，他想平均分给他的5 个朋友，请问每个朋友可以分到几个苹果？解题思路：这是一道简单的除法题，学生需要理解题意，然后运用除法计算方法求解。

答案及解析：每个朋友可以分到2 个苹果。

答案为2。

2.题目二题目描述：一个长方形的长是8 厘米，宽是4 厘米，请问这个长方形的面积是多少？解题思路：这是一道求面积的题目，学生需要理解长方形面积的计算公式，并熟练运用。

答案及解析：长方形的面积是32 平方厘米。

答案为32。

3.题目三题目描述：小华和小明分别有15 枚邮票和20 枚邮票，他们把邮票放在一起后，共有多少枚邮票？解题思路：这是一道简单的加法题，学生需要理解题意，然后运用加法计算方法求解。

答案及解析：小华和小明共有35 枚邮票。

答案为35。

四、题目对于学生的作用衡水数学奥数题对于四升五的学生群体具有重要的意义。

四年级升五年级奥数综合讲义第5讲-相遇问题

第五讲相遇问题一、专题简析：相遇问题是两个物体，从不同的地点做面对面的运动，即相向运动，相向运动会使两物体在途中相遇。

其路程、速度和、相遇时间的关系为：路程=速度和×相遇时间速度和=路程÷相遇时间相遇时间=路程÷速度和说明：（1）公式的推导可以利用乘法分配律来推导；（2）在相遇问题里，我们要使用以上公式，必须有个前提：“两物体两物体运动时将相同，更多时候体现在两物体同时出发”。

如果它们的时间不等，可以加以适当变形，使之相等，再用公式。

解决行程问题的关键是找出题中隐藏较深的关系，找关键的关键又在于画出示意图二、典型例题例1：两列火车同时从甲乙两地相向而行，快车每小时行80㎞，慢车每小时行60㎞，两车4小时后在途中相遇，两地相距多少㎞？（用两种方法解题）练一练：甲乙两车同时从相距108米的两地相向而行，8分钟后两人相遇。

已知甲每分钟行65米，求乙的速度。

例2：甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行，5分钟后相遇，已知甲每分钟比乙每分钟多行20米，求甲乙两人的速度各是多少？练一练：甲乙两人同时从相距600米的两地相向而行，5分钟后相遇，已知甲的速度是乙的速度的3倍，求甲乙两人的速度各是多少？例3：甲乙两人分别AB两地同时出发，在距中点24千米的地方相遇，已知甲的速度为60千米，乙的速度为48千米。

问甲乙两地相距多少千米？练一练：甲乙两人分别从相距480千米的AB两地同时相向而行。

8小时后两人相遇，已知甲每小时比乙多少走2千米。

问：甲乙两人在哪儿相遇？例4．甲乙两地相距300千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。

货车每小时行60千米，客车每小时行40千米，货车达到乙地后立即以原速度返回，从甲地出发后多少小时两车相遇？练一练：甲乙两人同时从学校出发到少年宫，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回，在距离少年宫300米的地方与乙相遇，此时他们已经离开学校30分钟了。

【四升五】小学数学奥数第5讲：字母表示数-课件

子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
总结
（1）能够正确地书写字母和字母，字母和数的表示方法。
（2）根据数位上的数字，会表示这个数。（3）根据题目中给出的条件，找到规律，再用含有字母的式子表示一些常见的数量关系。
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
用字母表示？
b
b
a+ b
面积：（ab）b
例题二
a b 面粉每千克元，大米每千克元，面粉和大米各买了10
千克。
c （1）如果卡尔付了元，应找回多少元？ c a b （2）当 =100， =3.2， =2.5时，应找回多少元？
付的钱-花掉的钱=应找回的钱
（c1） -a（10 b
+10 ）（2）100-（10×3.2+10×2.5）=43（元）
答：（1）应找回 c-（10 a+10 b）元。
（2）应找回43元。
练习二
把结果相同的两个式子连起来。
6m
a2
5m
3a
aaa 3m2m a•a
3m•2
仔细一点哦！
小结
（1）当字母和数相乘时，可不写“×”号，用“•” 表示，也可以什么符号都不写，直接把数和字母写在一起。必须把数写在字母的前面。