高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线教案(含解析)-高三全册数学教案

第七节双曲线

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.

(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2

－

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a＞0，b＞0)

图形

性质

范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)

顶点坐标：

A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±

b

a

x y＝±

a

b

x

离心率e＝

c

a

，e∈(1，＋∞)

a，b，c c2＝a2＋b2

1．双曲线x 23－y 2

2

＝1的焦距为________．

解析：由双曲线x 23－y 2

2＝1，易知c 2

＝3＋2＝5，所以c ＝5，

所以双曲线x 23－y 2

2＝1的焦距为2 5.

答案：25

2．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 2

3＝1的焦点为顶点，顶点为焦

点的双曲线方程为________．

解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，

由椭圆x 24＋y 2

3

＝1，

得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．

所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2

＝c 2

－a 2

＝3，

所以双曲线标准方程为x 2

－y 2

3

＝1.

答案：x 2

－y 2

3

＝1

3．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2

4

＝1(a ＞0)的离心率为

5

2

，则a ＝________. 解析：由e ＝c

a

＝

a 2＋

b 2a 2

，得a 2＋4a 2＝54

，∴a 2

＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：4

1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．

若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；

若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．

3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，

c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.

4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在

x 轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a

b

.

[小题纠偏]

1．设P 是双曲线x 216－y 2

20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、

右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．

解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：17

2．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________．

解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2

－y 2

＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),

所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2

－y 2

＝2， 即其标准方程为x 2

－y 2

2＝1.

答案：x 2

－y 2

2

＝1

考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2

＋y 2

－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )

A.x 23－y 2

＝1 B.y 2

3－x 2

＝1

C.x 2

9－y 2

16

＝1 D.y 216－x 2

9

＝1

解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点

在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2

＝4， ①

又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴a

b

＝3，②

由①②得a 2

＝3，b 2

＝1，∴双曲线方程为y 2

3

－x 2

＝1.

2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)

过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )

A.x 2

12－y 2

＝1 B.x 29－y 2

3

＝1

C ．x 2

－y 2

3

＝1

D.x 223－y 2

32

＝1

解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等

边三角形，∴b a ＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝

1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2

a 2－3

b 2＝1，即2

a 2－3

3a

2＝1，解得