高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线教案(含解析)-高三全册数学教案

第七节双曲线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)
y2
a2
－
x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±
b
a
x y＝±
a
b
x
离心率e＝
c
a
，e∈(1，＋∞)
a，b，c c2＝a2＋b2
1．双曲线x 23－y 2
2
＝1的焦距为________．
解析：由双曲线x 23－y 2
2＝1，易知c 2
＝3＋2＝5，所以c ＝5，
所以双曲线x 23－y 2
2＝1的焦距为2 5.
答案：25
2．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 2
3＝1的焦点为顶点，顶点为焦
点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
由椭圆x 24＋y 2
3
＝1，
得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2
＝c 2
－a 2
＝3，
所以双曲线标准方程为x 2
－y 2
3
＝1.
答案：x 2
－y 2
3
＝1
3．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2
4
＝1(a ＞0)的离心率为
5
2
，则a ＝________. 解析：由e ＝c
a
＝
a 2＋
b 2a 2
，得a 2＋4a 2＝54
，∴a 2
＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：4
1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．
若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；
若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．
3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，
c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在
x 轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a
b
.
[小题纠偏]
1．设P 是双曲线x 216－y 2
20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、
右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．
解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：17
2．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________．
解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2
－y 2
＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),
所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2
－y 2
＝2， 即其标准方程为x 2
－y 2
2＝1.
答案：x 2
－y 2
2
＝1
考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2
＋y 2
－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )
A.x 23－y 2
＝1 B.y 2
3－x 2
＝1
C.x 2
9－y 2
16
＝1 D.y 216－x 2
9
＝1
解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点
在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2
＝4， ①
又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴a
b
＝3，②
由①②得a 2
＝3，b 2
＝1，∴双曲线方程为y 2
3
－x 2
＝1.
2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)
过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )
A.x 2
12－y 2
＝1 B.x 29－y 2
3
＝1
C ．x 2
－y 2
3
＝1
D.x 223－y 2
32
＝1
解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等
边三角形，∴b a ＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2
a 2－3
b 2＝1，即2
a 2－3
3a
2＝1，解得
a 2＝1，∴
b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 2
3
＝1.
3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于3
2，则该双曲线的标准方程为____________；
渐近线方程为____________．
解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32
，解得a ＝2，所以b 2
＝5.所
以双曲线的标准方程为x 24－y 2
5＝1，其渐近线方程为y ＝±5
2
x .
答案：x 24－y 2
5＝1 y ＝±5
2
x
4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 2
4－x 2
＝1有相同渐
近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为y 2
4－x 2
＝－λ(λ＞0)，即
x 2λ
－y 2
4λ
＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 2
20
＝1.
答案：x 25－y 2
20
＝1
[谨记通法]
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，
列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1
有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．
考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
已知双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支
上一点．若|PF 1|＝4
3
|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )
A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1
3|PF 2|＝2a ＝2，
解得|PF 2|＝6，
故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1|·|PF 2|＝24.
[由题悟法]
应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
[即时应用]
1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在
C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 2
2＝1，
∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|－|PF 2|＝22，
|PF 1|＝2|PF 2|
得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由
余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|＝3
4
.
2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线
x 2
16－y 2
9＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |
sin C 的值为____________．
解析：由正弦定理知，
BC
sin A
＝
AC
sin B
＝
AB
sin C
，由双曲线的定
义可知，|sin A －sin B |sin C ＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝4
5
.
答案：4
5
考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：
(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．
[题点全练]
角度一：求双曲线的离心率(或范围)
1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．
解析：如图，由题意知|AB |＝2b
2
a
，|BC |＝2c .
又2|AB |＝3|BC |，
∴2×2b 2
a
＝3×2c ，即2b 2
＝3ac ，
∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2
－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．
答案：2
角度二：求双曲线的渐近线方程
2．(2018·乐清调研)以椭圆x 2
4＋y 2
＝1的焦点为顶点，长轴顶
点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．
解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2
＝c 2
－a 2
＝4－3＝1，
故所求渐近线方程为y ＝±3
3x .
答案：y ＝±3
3x
角度三：求双曲线方程
3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂
线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 212＝1
B.x 27－y 29＝1
C.x 28－y 2
8
＝1 D.x 2
12－y 2
4
＝1
解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近
线方程为y ＝b
a
x ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．
设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )
2
＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2
，则c ＝2a ，即a ＝c
2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22
＝12，故双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1.
[通法在握]
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，
c 之间的关系求解．
[演练冲关]
1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，
b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －
c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)
相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )
A ．2 B.52
C.53
D.62
解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2
＋y 2
＝a 2
的圆心为(c,0)，半径为a ，
∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与
圆F ：(x －c )2
＋y 2
＝a 2
(其中c 2
＝a 2
＋b 2
)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .
又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a
2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2
，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2
＝2b 2
.又c 2
＝a 2
＋b 2
，∴e ＝c a ＝6
2
.
2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴
长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，
所以a ＝c 2
－b 2
＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±
2
2
x .
答案：y ＝±2
2
x
3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上存
在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．
解析：由题可得，要使三角形
OPF 2为正三角形，则P ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
1
2c ，32c
在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2
及e ＝c a ，化简得
e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.
答案：3＋1
4．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋
y 2
4－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．
解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |
b 2＋a 2＝b .而双曲
线
x 2
8－m
＋
y 2
4－m
＝1，即
x 2
8－m
－
y 2m －4
＝1的焦点在x 轴上，则
⎩⎪⎨⎪⎧
8－m ＞0，m －4＞0，
解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4
∈(0,2)．
答案：(0,2)
考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，
双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y ＝3
3x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且
在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD
―→，求t 的值及点D 的坐标．
解：(1)由题意知a ＝23，
∵一条渐近线为y ＝b
a
x ，即bx －ay ＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |
b 2＋a
2＝ 3.
又∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴b 2
＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.
将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 2
12－y
2
3
＝1得
x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，
y 1＋y 2＝3
3
(x 1＋x 2)－4＝12.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0y 0＝433，x 2
12－y 20
3＝1.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝43，
y 0＝3.
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．
[由题悟法]
直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧
(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．
(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．
[即时应用]
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，
B (－1，－1)两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2
＋y 2
－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．
解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2
＋μy 2
＝1，
依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
49λ＋25μ＝1，
λ＋μ＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝－1，
μ＝2，
所以所求双曲线的方程是2y 2
－x 2
＝1.
(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2
＝1， 得x 2
＋4mx ＋(2m 2
－1)＝0，①
Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2
－1， 所以x 0＝
x 1＋x 2
2
＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，
所以P (－2m ，－m )．
又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m
6＋2m
＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2
－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，
所以|MN |＝1＋12
|x 1－x 2|＝6 2.
故直线l 截圆E 所得弦长为1
3|MN |＝2 2.
又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝
22
2
＋2
2
＝10，
所以圆E 的方程是x 2
＋y 2
－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·浙江高考)双曲线x 2
3
－y 2
＝1的焦点坐标是( )
A ．(－2，0)，(2，0)
B ．(－2,0)，(2,0)
C ．(0，－2)，(0，2)
D ．(0，－2)，(0,2) 解析：选B ∵双曲线方程为x 2
3－y 2
＝1，
∴a 2
＝3，b 2
＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2
＋b 2
＝3＋1＝2，
∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．
2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2
n
2＝1(m ＞0，n
＞0)的离心率与椭圆
x 225＋y 2
16
＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A ．4x ±3y ＝0
B ．3x ±4y ＝0
C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0
D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率
e ＝
1－b 2a 2＝3
5，∴双曲线的离心率为
1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝4
3
，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±4
3
x ，即4x ±3y ＝0.故选A.
3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边
AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为
( )
A.32＋1
B.3＋12
C.133
＋1
D.13＋13
解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，
A (0，3c )，设
B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c
－x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c
4，代入双曲线方程可得9c 2
16a 2－3c
2
16c 2－a 2
＝1，∴9e 4
－28e 2
＋16＝0，∴e ＝13＋1
3
.
4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16＝1的左、右焦
点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.
解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝(|PF 1|－|PF 2|)2
＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2
，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π
2
，所
以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×1
2
＝16.
答案：π
2
16
5.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲
线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意
得B (2,0)，C (2,3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4＝a 2＋b 2
，
4a 2－9
b
2＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝1，b 2
＝3，
∴双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3＝1.
答案：x 2
－y 2
3
＝1
二保高考，全练题型做到高考达标 1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k
－9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9＝1
表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点且与x 轴垂
直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.433
B ．23
C ．6
D ．43
解析：选D 由题意知，双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线方程为y
＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.
3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，
b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与
右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2
S △ABF 2
＝( )
A ．1 B.12
C.1
3
D.23
解析：选 B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .
因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π
3
，
所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×
3
2＝23a 2
.
由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，
所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，
又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.
因为∠BAF 2＝π
3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，
所以S △ABF 2＝
34|AF 2|2＝34
×(4a )2＝43a 2
， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝1
2
. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是
双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，
经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )
A. 2
B.3
C.102
D.173
解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2
＋(3m )2
＝(2a ＋2m )2
，解得6m 2
＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝8
3
a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|
＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫8a 32
＝(2c )2
，解得
17a 2
＝9c 2
，所以e 2
＝c 2a 2＝17
9
，
即e ＝17
3
.
5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a
＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若
MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且
β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，π6，则该双曲线的离心率的
取值范围是( )
A ．[2，2＋6]
B ．[2，3＋1]
C ．[2，2＋6]
D ．[2，3＋1]
解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义
可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 2
1＋r 2
2＝4c 2
②，由①②得r 1r 2＝2(c
2
－a 2
)＝2b 2
，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12
c 2·sin 2β，∴b
2
＝c 2
·sin 2β＝c 2
－a 2
，∴e 2
＝1
1－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，π6，
∴sin 2β∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤1
2，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.
6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．
解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
c ＝5，
a
b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2
＝5，a ＝2b
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，b 2
＝1，
所以双曲线的标准方程为y 2
4
－x 2
＝1.
所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝5
2
.
答案：y 2
4－x 2
＝1 5
2
7．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2
＋y 2
＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.
解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点
P 是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2
＋|PB |2
＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，
所以(|PA |＋|PB |)2
＝|PA |2
＋|PB |2
＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.
答案：213
8．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为
M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝
________.
解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝1
2.由渐近线的对称性知∠
NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝
|MF |
|FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π
6
.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝23
3
. 法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程
为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bc
a 2＋b
2
＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin ∠FNP ＝1
2，所以∠FNP
＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝
1＋b 2a 2＝233
.
答案：233
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．
(2)求证：MF 1·MF 2―→＝0；
(3)求△F 1MF 2的面积．
解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2
－y 2＝6.
(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2
―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，
∴9－m 2
＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2
―→＝0. (3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.
∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝1
2
×43×3＝6.
10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点
(3，0)是双曲线的一个顶点．
(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.
解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，
点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝3，
a ＝3，
解得c ＝3，b
＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 2
6
＝1.
(2)双曲线x 23－y 2
6
＝1的右焦点为F 2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝3
3
(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 23－y 2
6＝1，y ＝3
3x －3
，
得5x 2
＋6x －27＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.
所以|AB |＝
1＋13
× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝
⎛⎭⎪⎫－275＝
163
5.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)
的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )
A. 3 B ．23 C.
13
2
D.13
解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b a x ，则|FH |＝|bc |
a 2＋b
2
＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2
，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝b
c ，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：
(3b －2a )2
＝4c 2
＋9b 2
－2×2c ×3b ×b
c
，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，
则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝13
2
.
2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，
m )，求m 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2
＝c 2
－a 2
＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2
3
－y 2
＝1.
(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1，得
(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
1－3k 2
≠0，
Δ＝361－k 2
＞0，x A ＋x B ＝62k
1－3k
2
＜0，
x A x B ＝－91－3k 2
＞0，
解得3
3
＜k ＜1.
∴k
的取值范围为⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k
1－3k 2，
∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝22
1－3k 2.
∴AB 的中点P
的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫32k 1－3k
2，21－3k 2.
设直线l 0的方程为：y ＝－1
k
x ＋m ，
将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝42
1－3k2
.
∵
3
3
＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0.
∴m＜－2 2.
∴m的取值范围为(－∞，－22)．。