05、平面向量中的最值问题

05、与平面向量有关的定值最值问题

一、例题分析

1、如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N 是DC 边的中点，

点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ⋅的最大值是

A 、4

B 、6

C 、8

D 、10

2、如图，点M 为扇形AOB 的弧的四等分点，动点D C ,分别在线段OB OA ,上，

且.BD OC =若1=OA ，120AOB ︒∠=，则||||+的最小是 ．

3．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，3BD DC =，若P 是线段AD 边上一动点，且2AD =，则)3(+⋅的最小值为 ．

4．动点P （x ，y ）满足1,25,3,y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩

点Q 为（1，－1），O 为坐标原点，||OP OP OQ λ=⋅，则λ的取

值范围是

A

．[55-- B

． C

．[55- D

．[,55

-

5．已知M ，N 为平面区域360y 200x y x x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

内的两个动点，向量(1,3)a =，则a MN ⋅的最大值是____．

二、巩固练习

6、已知两个单位向量,满足：0)()(,0=-⋅-=⋅，则||的最大值为

A.1

B.2

C.3

D.2

7、已知点),(y x P 在由不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A （-1,2），则

5B

．5

53 C ．０ D ．5

8．平面向量,a b 满足：4=⋅

3=-

的最大值与最小值的和是 .

9.已知ABC ∆

中，4,AB AC BC ===P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+满足

A.最大值为16

B.最小值为4

C.为定值8

D.与P 的位置有关

10．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩

上的一个动点，则OA OM ⋅的取值

范围是

A 、[1,0]-

B 、[0,1]

C 、[0,2]

D 、[1,2]-

11．A,B,C 为平面上三点，若1AB =,2CA CB =，则CA CB ⋅的最大值为

A ．

23

B ．2 C

D ．3 12．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为),0(),0,(a a ，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且）

（1t 0AB t AP ≤≤=→--→--，则→--→--⋅OP OA 的最大值是

A ．a

B ．a 2

C ．2a

D ．a 3 13．向量b a ,满足3||=a ，且b 与a b -的夹角为30︒，则|b |的最大值为

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 14．设点G 是ABC ∆的重心，若 120=∠A ， 1-=⋅，则的最小值是 A 、33 B 、32 C 、32 D 、4

3 15．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且 ,||||CA CB CP x y xy CA CB =⋅

+⋅则的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 16. 已知y x +===,2||||，且2=+y x ，若||t -的最小值为3，则||的最小值是

A 、32

B 、2

C 、3

D 、1

17、已知向量a ，b 、→c 满足→→→→=++0c b a ，→

→→→-=b a c c 与,32所成的角为 120，则当时R t ∈，|)1(|t t -+的取值范围是 ．

18、在直角梯形ABCD 中，3,1,===⊥AB DC AD AD AB ，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设),(R b a AB b AD a AP ∈+=，则b a +的取值范围是

A 、]34

,0( B 、]35,34[ C 、)34,1( D 、)3

5,1(

13、平面向量的定值最值值问题答案：

1、B

2、34-

3、—4

4、D

5、40

6、B

7、C

8、5

9、C 10、C 11、B 12、C

13、C 14、B 15、C 16、A 17、),23[+∞ 18、D