第五章杆系结构的有限元法
2-杆系结构有限元分析报告
得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 Ν 及其
Ni , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
ui ， u j 化为连续函数 u(x) ，数学上讲，就是已知函数在闭区间 两个端点上的值 ui ， u j ，构成一个连续函数 u(x) ，它在端点应 保证等于 ui ，u j ，这样的计算步骤就是内插，形状函数 Ni ， N j 就是实现内插的两个函数，所以 Ni ， N j 又叫内插函数，形状函 数矩阵 Ν 又叫内插函数矩阵，而式 u(x) Ni (x)ui N j (x)u j 又叫
1. 本点为 1，它点为 0； 2. 任意一点总各为 1。
杆单元形状函数 Ni ， N j 如图 3.3 所示。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单
元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求
一个元素都是坐标的函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
分析式(2.4)：当 ui 1 ， u j 0 时，杆单元的位移 u(x) 就 是 Ni ，当 ui 0 ，u j 1时，杆单元的位移分布就是 N j ，所以
形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他 结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。可以发现形状函 数的两个重要性质为：
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
空间杆系有限元法也称空间桁架位移法.
3.4.6 杆件内力
引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位
移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为
{ F}e = [T] [K]e e
T
将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达 式为
EA N [cos(u j ui ) cos (v j vi ) cos (w j wi ) lij
当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度 不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然 看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承， 支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：
K cx
3Ec I cy H
3
K cy
Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯 性矩； H——支承悬臂柱长度。
以图26所示的空间桁 架节点 3 为例，说 明总刚矩阵及总刚方 程的建立。该桁架共 有9个单元，5个节点， 单元及节点编号如图 示。相交于节点3的 杆件有⑥⑦⑧⑨。
图3.26 单元及节点编号
变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相 等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力 之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：
无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线 和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零， 而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两 个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无 侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对 的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少 于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度 应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第5章 杆单元和梁单元
1 u2 E (2) A(2) (2) 2 u3 l
1 1 u2 1 1 1 u 2 R2 3
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2 的函数，如下： u 3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
(1) (1) (1)
F3 10N
，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：
0 u1 4 u2 2.5 10 m u 7.5 10 4 m 3
(2) ( x) 5 103 (1) 0.05MPa (2) = 0.1MPa
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
E (2) A(2) (2) u2 1 u2 l 0 F3 (2) (2) E A u3 2 u3 l (2)
5.1.1 一维杆单元
u2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 的条件是 ，得如下方程式 0, 0
P 1 , u1
E e , Ae , l e
1
图 5-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (5.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由节点平衡有： 即有：
U1(1)u1 U1(1)u2 N1
U
u (1)
21
(U
(2 2
)
U
(1) 2
)u2
U
(2 2
)u3
F1
U
(2 3
)
u2
U
(2 3
)
u3
F2
EA1 l1
u1
EA1 l1
u2
N1
EA1 l1
u1
( EA1 l1
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
杆梁结构是指长度远大于其横截面尺寸的构件组成的杆 件系统，例如机床中的传动轴，厂房刚架与桥梁结构中的梁 杆等,可以用杆单元或梁单元来进行离散化。
空间杆系：平面杆系是指各杆轴线和外力作用线位于一 个平面内，若各杆轴线和外力作用线不在一个平面内。 （1）平面压杆有限元法的直接法
单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面 问题，每列元素之和为零。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法 2）节点位移与节点力之间的关系
Ui
Vi
k11
k21
M i U j
k31
k41
V
j
M j
k51
k61
他们在轴和轴的投影之和等于零：
vi
6EI l2
i
12EI l3
vj
6EI l2
j
M
j
6EI l2
vi
2EI l
i
6EI l2
vj
4EI l
杆系结构有限元
有限单元法
土木工程学院
P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
有限单元法
土木工程学院
P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
有限单元法
土木工程学院
0
0
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
上海交大计算结构力学课件ppt杆系结构有限元01
第5章 杆系结构有限元(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构：几何形状简单 杆系结构矩阵位移法：（直接有限元法）： 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 （没有位移插值的问题）(2)基于最小势能原理的杆系结构FEM 分析5．1 直杆受轴向力杆的有限元受力特点： 只有轴向力的作用主要的控制方程：几何关系： x ux ε∂=∂应力应变关系： x x uE E xσε∂==∂边界条件： u u = （给定位移）uA E P x ∂⋅=∂ （给定载荷）平衡方程： 22()()x A uAE f x x x σ∂∂==∂∂最小势能原理的描述：200()2LLp EA u dx uf x dx x ∂⎛⎫∏=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰直杆的解u 满足上述控制方程等价于u 使得势能p ∏取最小值。
同样的划分单元，并且单元和节点编号 单元编号：1,2,.....e N =节点编号：1,2,...i n =节点的位移和力向量[][][][]i ii i u p P δ==单元节点位移和节点力向量（总体编号）[][]i i e e j j u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单元节点位移和节点力向量（局部编号）[][]1122e e u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以下讨论基于变分原理的有限元。
假定直杆单元内任意一点的位移可以表示为两个节点位移的线性插值。
取单元的局部坐标 11ξ-≤≤ 1212()[(),()][,]Tu N N u u ξξξ= 多个节点参数eu N u ]][[=)1(21)(1ξξ-=N)1(21)(2ξξ+=N)(2c x x l-=ξN 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。
这个联系（线性插值）是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。
由势能极小 0pe u ∂∏=∂并注意到 2ld dx ξ=1012()()()()l eT T dN dN EA dN dN K EA dx d dx dx l d d ξξξ+-==⎰⎰101()()2leTTlP N f x dx N f d ξξ+-==⎰⎰可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷（均布轴向载荷）列阵的计算类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
有限元分析——杆系系统计算
2
10 N
mm
2
3 14.1 N
5 14.1 N
mm mm
2
2
4
0
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Thank You
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边界条件为：
，根据边界条件去行去列，如上图，
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则去行去列后有：
这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例 算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：
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图1：三连杆结构的受力状况
1）节点编号和单元划分
图2：各单元的节点位移和外力
2）计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程为：
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单元②的刚度方程为：
单元③的刚度方程为：
3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。
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就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即
3 /33
F
F
节点1
单元①
节点2
单元②
节点2
节点3
点2
如图为阶梯直杆的离散
对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：
根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：
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单元的刚度方程为：
其中 为节点力列阵；
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第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
因此，可以把（5.1）扩大为下面的四阶的形式ej j i ie yj xj yi xi v u v u L EAL EA L EA L EA F F F F ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧000000000000 (5.2) 可以简写为{}eeek F }{][δ= (5.3)其中{}[]Tyj xj yi xieF F F FF = (5.4)称作桁架单元的单元杆端力向量。
{}[]Tj j i iev u v u=δ (5.5)称作桁架单元的杆端位移向量而[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0000000000L EA L EAL EAL EA k e(5.6) 称作桁架的单元刚度矩阵，式(5.2)或式(5.3)就是桁架的单元刚度方程，它反映了单元杆端力与杆端位移之间的关系。
5.2.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵在一个复杂的结构中，各个杆件的杆轴方向不尽相同，因而各自的局部坐标系也不尽相同。
为了建立结构的整体平衡方程，必须选用一个统一的公共坐标系，称为整体坐标系，用x,y 表示。
首先分析单元杆端力在不同坐标系中的关系。
图5.2 所示任一单元e ，其局部坐标系为0y x ，整体坐标系为oxy ，由x 轴到x 轴的夹角α以顺时针转向为正。
局部坐标系中的杆端力用ex F 、ey F 表示。
整体坐标系中的杆端力则用e x F 、ey F 表示，如图5.2所示，显然。
二者有下列关系。
图5.2⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+=+-=+=ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos yj xj yj yj xj xj yi xi yi yi xi xi F F F F F F F F F F F F (5.7)将式(5.7)写成矩阵：eyj xj yi xi yj xj yi xi F F F F F F F F ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos (5.8) 式简写为e e F T F }]{[}{= (5.9)式中[]T 称为单元坐标转换矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos ][T (5.10) 容易证明，单元坐标转换矩阵[]T 是一个正交矩阵。
因此有T T T ][][1=- (5.11)或][][][]][[I T T T T T T ==- (5.12)式中[]I 为与[]T 同阶的单位阵。
结合式(5.12)，由式(5.9)得e e F T F }]{[}{= (5.13)同理，可以求出单元杆端位移在两种坐标系中的转换关系。
设局部坐标中单元杆端位移向量为e }{δ，整体坐标系中单元杆端位移向量为e }{δ，则e e T }]{[}{δδ= (5.14) e T e T }{][}{δδ= (5.15)式中T j ji ie T j ji ie v u v u v u v u ][}{,][}{==δδ现在来推导单元刚度矩阵在两种坐标系中的转换关系。
单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式可写为e e e k F }{][}{δ= (5.16)式中e k ][称为在整体坐标系中的单元刚度矩阵。
将式中(5.9)和(5.14)代入(5.3)，得e e e T k F T }]{[][}]{[δ=将此式两边各前乘T T ][，并利用式(5.12)得e e T e T k T F }]{[][][}{δ=再将上式与式(5.16)比较，可知][][][][T k T k e T e = (5.17)这就是单元刚度矩阵在两种坐标系中的转换关系。
5.2.3 整体平衡方程和单元杆端力的计算整体平衡方程由单元集成法建立，引入约束条件后，求解该方程可得结构的节点位移向量}{δ，由式(5.14)可求得单元在局部坐标系下的杆端位移}{δ，再利用式(5.1)或式(5.2)就可求得单元在局部坐标系下的杆端力（轴力）。
5.3 空间桁架的有限元分析从物理概念和计算特点上讲，空间桁架与平面桁架同属一类结构，各节点均为理想铰，外载荷均为作用于节点的集中力，各杆件只产生轴向变形，因此，有关平面桁架的基本理论和概念完全适用于空间桁架。
只是对于空间桁架单元，每个节点有三个自由度，因此，单元刚度矩阵由4阶方阵变为6阶方阵。
5.3.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵用e F }{和e }{δ分别表示空间桁架单元在局部坐标系下的杆端力向量和杆端位移向量：T zj yj xj zi yi xi e T zj yjxj zi yi xie F F F F F F F ][}{,][}{δδδδδδδ==按照与平面桁架单元同样的分析可得到两者之间的关系，即空间桁架单元的刚度方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧zj yj xj zi yi xi zj yj xj zi yi xi L EA L EA L EA L EA F F F F F F δδδδδδ000000000000000000000000000000 (5.18) 亦可简写为e e e k F }{][}{δ= (5.19)5.3.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵按照平行桁架局部坐标节点力与整体坐标节点力的转换关系，空间桁架单元端点i 的杆端力在局部坐标与整体坐标之间有如下的转换关系ezi yi xi z z yz xz z y y y x y z x y x x x ezi yi xi F F F t t t t t t t t t F F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.20) 或简写为{}{}ei eiF t F ][= (5.21)式中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z z yz xz z y y y xy z x y x xx t t t t t t t t tt ][ (5.22) 其中x x t 表示局部坐标轴x 与整体坐标轴x 夹角的余弦，等等。
同样另一端点j 的杆端力在两种坐标系之间的转换关系与式(5.21)完全相同，即e j e j F t F }]{[}{= (5.23)式中{}T zj yjxje j T zj yjxj ejF F F F F F F F ][}{,][==由式(5.21)、(5.23)得单元杆端力在两种坐标系之间的转换关系ej i ej i F F t t F F ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧][00][ (5.24)或简写为e e F T F }]{[}{= (5.25)式中[]Tzjyj xj zi yi xiT j i e F F F F F F F F F ==][}{是单元在局部坐标系下的杆端力向量；[]T zj yjxj zi yi xiT j i e F F F F F F F F F ==][}{是单元在整体坐标系下的杆端力向量。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=][00][][t t T (5.26)是坐标转换矩阵。
容易验证 []T 是个正交矩阵。
由式（5.25）得e T e F T F }{][}{= (5.27)同理，可以求出空间桁架的杆端位移在两种坐标系中的转换关系。
如用{}eδ和{}eδ分别表示局部坐标系和整体坐标系中单元杆端位移向量，则得到与式(5.14)、(5.15)相同的式子：{}eeT }]{[δδ= (5.28){}e T e T }{][δδ= (5.29)式中{}T j jj i i i ew v u w v u ][=δT j jj i i ie w v u w v u ][}{=δ仍然将整体坐标系中杆端力与杆端位移的关系写作e e e k F }{][}{δ= (5.30)按平面桁架单元同样的推导过程，得][][][][T k T k e T e = (5.31)可见，所有的转换关系式与平面桁架单元在形式上完全相同，只是阶数不同而已。
整体平衡方程的建立及杆端轴力的计算与平面桁架相同，不再赘述。
5.4 平面刚架的有限元分析5.4.1 概述平面刚架是是指杆件的连接点均为刚性节点的平面杆系结构，在建筑工程中通常将立柱（坚直杆）和横梁（水平杆）组成的刚架结构称作框架。