二次多项式回归方程
趋势面拟合
趋势面拟合趋势面拟合（Trend Surface Fitting）是一种数据建模方法，用于寻找数据中的趋势和模式。
它广泛应用于地理信息系统、地质勘探、气象预测等领域。
在趋势面拟合中，我们假设数据点的分布在一个平面上，并尝试找到最适合数据点的平面方程。
这个平面方程可以用来预测未知数据点的数值，或者分析数据中的趋势。
趋势面拟合的基础概念是多项式回归。
多项式回归是通过用一个多项式函数近似拟合数据点，来描述数据间的关系。
在趋势面拟合中，我们通常使用二维二次多项式来拟合数据，即：Z = a + bx + cy + dx^2 + exy + fy^2其中Z是数据点的数值，x和y是数据点的坐标，a、b、c、d、e、f是待定参数。
为了找到最适合数据点的参数，我们需要使用优化方法，如最小二乘法。
最小二乘法的目标是最小化实际数据点与拟合曲面之间的残差平方和。
通过求解最小二乘法的优化问题，我们可以得到最佳的参数估计。
对于一组离散点数据，趋势面拟合可以通过以下步骤实现：1. 收集和整理数据，确定数据点的坐标和数值。
2. 创建一个二维空间网格，在网格上均匀采样若干个点。
3. 对于每个网格点，计算其对应的Z值，代入二维二次多项式中。
4. 使用最小二乘法拟合数据点，找到最适合的参数估计。
5. 根据参数估计的方程，预测其他未知数据点的数值。
需要注意的是，趋势面拟合是一种插值方法，只适用于数据点周围的区域。
如果要预测远离数据点的位置，可能需要更复杂的模型和方法。
总结起来，趋势面拟合是一种用于数据建模和预测的方法，可以找到数据中的趋势和模式。
通过拟合一个二维二次多项式，我们可以预测未知数据点的数值，并进行数据分析和预测工作。
多元非线性回归
多元非线性回归什么是多元非线性回归分析多元非线性回归分析是指包含两个以上变量的非线性回归模型。
对多元非线性回归模型求解的传统做法，仍然是想办法把它转化成标准的线性形式的多元回归模型来处理。
有些非线性回归模型，经过适当的数学变换，便能得到它的线性化的表达形式，但对另外一些非线性回归模型，仅仅做变量变换根本无济于事。
属于前一情况的非线性回归模型，一般称为内蕴的线性回归，而后者则称之为内蕴的非线性回归。
[编辑]多元非线性回归分析方程如果自变数X_1,X_2,\cdots,X_m与依变数Y皆具非线性关系，或者有的为非线性有的为线性，则选用多元非线性回归方程是恰当的。
例如，二元二次多项式回归方程为：\widehat{y}=a+b_{11}x_1+b_{21}x_2+b_{12}x_1^2+b_{22}x_2^ 2+b_{11\times22}x_1x_2令b_1=b_{11},b_2=b_{21},b_3=b_{12},b_4=b_{22},b_5=b_{11\tim es22},及x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1\cdot x_2,于是上式化为五元一次线性回归方程：\widehat{y}=a+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4+b_5x_5这样以来，便可按多元线性回归分析的方法，计算各偏回归系数，建立二元二次多项式回归方程。
[编辑]多元非线性回归分析模型[1]一、常见的内蕴多元性回归模型只要对模型中的变量进行数学变换，比如自然对数变换等，就可以将其转化具有标准形式特征的多元线性回归模型。
1.多重弹性模型(y_1;x_{11},x_{12}\cdots,x_{1k}),(y_2;x_{21},x_{22}\cdots,x_{2k}),\ cdots,(y_n;x_{n1},x_{n2}\cdots,x_{nk})是一组对的样本观察资料，则称存在下列关系的非线性回归模型为多重弹性模型y_i=\beta_0x_{i1}^{\beta_1}x_{i2}^{\beta_2}\cdots x_{ik}^{\beta_k}e^{\epsilon_{i}} (1)上述模型中的各解释变量的幂，能够说明解释变量的相对变化对被解释变量产生的相对影响，我们正式从这一角度说它是多重弹性模型的。
二次回归正交组合设计及其统计分析
二次回归正交组合设计及其统计分析一、组合设计（一）组合设计的概念组合设计：在自变量（因素，也称因子）空间中选择几种类型的点，组合成的试验计划。
（P.31 ）由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型的点的数目（试验处理数）又可适当调节，因此组合设计在调节试验处理数N （从而在调节剩余自由度）方面，要比全面试验灵活得多。
（二）组合设计的组成二次回归正交组合设计试验方案由三种类型的点组成，即：式中：N为处理组合数；为二水平析因点，（P为因素个数）；为轴点，；为中心区（或原点）。
①二水平析因点（）：这些点的每一个坐标（自变量）都各自分别只取1或;这些试验点的数目记为。
当这些点组成二水平全面试验时，。
而若这些点是根据正交表配制的二水平部分实施（1/2或1/4等）的试验点时，。
调节了这个，就相应地调节了剩余自由度。
②轴点（）：这些点都在坐标轴上，且与坐标原点（中心点）的距离都为。
也就是说，这些点只有一个坐标（自变量）取或，而其余坐标都取零。
这些点在坐标图上通常用星号标出，故又称星号点。
其中称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据下述正交性或旋转性要求而确定。
这些点的数目显然为2P,记为。
③原点（）：又称中心点，即各自变量都取零水平的点，该试验点可作1次，也可重复多次，其次数记为。
调节，显然也能相应地调节剩余自由度。
（三）试验点（处理）的分布情况1 ' P=2 （二因素）的分布情况（1 ）处理组合数：若=1，处理组合数为9，即（2）处理组合表221 o （P.32）（3）处理组合分布图221 o （P.31）二因素（X1、X2）二次回归组合设计的结构矩阵如表 2.2.2。
（P.32 ）2、P=3 （三因素）的分布情况（1）处理组合数：若■，处理组合数为15，即（2）处理组合表:P=3 （X1、X2、X3 ）二次回归正交组合设计，由15个试验点组成。
如表223 所示。
（P.33）（3）处理组合分布图222。
6.3-第六章-多项式回归-响应面
在响应面分析中，首先要得到回归方：
y ˆf(x1， x2， ， xl)
然后通过对自变量 x1，x2， ，xl 的合理取值，求
得使 y ˆf(x1， x2， ， xl)最优的值，这就是响应 面分析的目的。
[例13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验，施氮肥量为 每亩尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7个水平，施 磷肥量为每亩过磷酸钙0，7，14，21，28，35， 42kg 7个水平，共49个处理组合，试验结果列于表 13.66，试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。
理配置直线回归方程，并作显著性测验。 3．将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并
对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法
应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点： (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，
需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小(的y当 yˆ选)2。 (2) 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多 项式逼近， (3) 当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小 二乘法拟合。
a bx
y
1y
b
a＞， 0b＜0
a＞ 0，b＞ 0
x
a x
图11.4 方程 yˆ 的x图象
b
a bx
五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故
又称生长曲线。
y
Logistic曲线方程为：
ln a
b
yˆ
1
k aebx
k
k 2
k 1 a
x
第二节 曲线方程的配置
一、曲线回归分析的一般程序 二、指数曲线方程 yˆ aebx的配置 三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置
matlab回归（拟合）总结（一元、多元）
matlab 回归（拟合）总结前言1、学三条命令polyfit(x,y,n)---拟合成一元幂函数（一元多次） regress(y,x)----可以多元，nlinfit(x,y,’fun ’,beta0) (可用于任何类型的函数，任意多元函数，应用范围最主，最万能的)2、同一个问题，这三条命令都可以使用，但结果肯定是不同的，因为拟合的近似结果，没有唯一的标准的答案。
相当于咨询多个专家。
3、回归的操作步骤：根据图形（实际点），选配一条恰当的函数形式（类型）---需要数学理论与基础和经验。
（并写出该函数表达式的一般形式，含待定系数）------选用某条回归命令求出所有的待定系数。
所以可以说，回归就是求待定系数的过程（需确定函数的形式）一、回归命令一元多次拟合polyfit(x,y,n);一元回归polyfit;多元回归regress---nlinfit(非线性)二、多元回归分析对于多元线性回归模型(其实可以是非线性，它通用性极高)： e x x y pp ++++=βββ 110设变量12,,,p x x x y 的n 组观测值为12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x x 212222111211111，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p ββββ 10 的估计值为排列方式与线性代数中的线性方程组相同（），拟合成多元函数---regress使用格式：左边用b=[b, bint, r, rint, stats]右边用=regress(y, x)或regress(y, x, alpha) ---命令中是先y 后x,---须构造好矩阵x(x 中的每列与目标函数的一项对应) ---并且x 要在最前面额外添加全1列/对应于常数项---y 必须是列向量---结果是从常数项开始---与polyfit 的不同。
专题二植物营养的施肥模型研究方法
11
0
0
12
0
0
13ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
14
0
0
0
82.5
67.5 82500 3960
0
82.5
67.5 82500 4410
0
82.5
67.5 82500 4065
0
82.5
67.5 82500 4440
1
1
1
1
1
4470
2 (3)、冬1小麦肥料回归1正交试验计1算(kg/h-1m2) 4260
3
1
1
-1
1
3915
产量y 4470 4260 3915 3660 3855 3480 3225 3315 4305 4515 3960 4410 4065 4440
预测值 4632.3 4444.8 4144.8 3957.3 4024.8 3837.3 3537.3 3349.8 3991.1 3991.1 3991.1 3991.1 3991.1 3991.1
• 这就要摆脱古典回归中被动处理试验数据，对试验处
理几乎不提任何要求，对方程的精度研究少，盲目的增加 试验次数，试验数据往往不能提供充分的信息，因此必须 主动地把试验的安排、数据的处理和回归方程的精度统一 成一个整体加以考虑和研究，这就是现代回归设计问题
应用于施肥模型研究的近代回归设计的总体思路
从古典回归分析我们知道，试验结果总效 应包括试验处理效应和试验误差二种变异因 素之和，因此回归分析的统计效果取决于试 验设计和试验误差两个方面，因此，可通过
• (4)三次多项式在国内外都少见报道
• (5)从植物营养与施肥科学发展来看,未来应着重 研究气候条件、土壤肥力状况以及作物栽培措施 对施肥效应的影响，找出它们之间的各种函数关 系，构建包括气候、土壤等因子在内的综合施肥 模型，以扩展施肥模型的应用空间和时间，使施 肥决策更加合理和实用。
回归分析
,
,
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 y n 0 1 x n1 2 x n 2 p x np n
（1）建立非线性回归模型1/y=a+b/x； （2）预测钢包使用x0=17次后增大的容积y0； （3）计算回归模型参数的95%的置信区间。
初始值要先计算，先选择已知数据中的两点（ 2,6.42）和（16,10.76）代入设定方程，得到方程组
2 6.42 6.42(2a b) 2 2a b 16 10.76(16a b) 16 10.76 16a b
ˆ 2.7991 y x 23.5493
解释：职工工资总额每增加1亿元，社会商品零售总额将增加 2.80亿。
2、一元多项式回归模型
(1) 多项式回归的基本命令 在一元回归模型中，如果变量y与x的关系是n次多项式，即
y an x an1x
n
n1
... a1x a0
试求：① 给出y与t的回归模型； ② 在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图 ③ 预测t=16时残留的细菌数；
ex006
三、多元线性回归模型 (略)
多元线性回归模型及其表示
对于总体
( X 1 , X 2 ,, X p ;Y ) 的n组观测值
( xi1 , xi 2 ,, xip ; yi )(i 1,2,, n; n p)
例为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细 菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照 射次数记为t，照射后的细菌数y如表3.3所示。
6.3-第六章-多项式回归-响应面
1 X
x12
x22
xk21
x12
x122
x1k2
1 x1n x2n xkn 1 x1n x12n x1kn
和
y 1
Y
y2
y n
求得 XX、XY和( XX)-1，并由
b=( XX)-1( XY)获得相应的多项式回归统计数。
(四) 多项式回归方程的估计标准误
y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分：
曲线回归分析方法的主要内容有：
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律；
② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如 回归参数、极大值、极小值和渐近值等；
③ 为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足 时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点
一、指数函数曲线 二、对数函数曲线 三、幂函数曲线 四、双曲函数曲线 五、S型曲线
F
Qk
Uk /k /[n(k 1
)]
(11·24)
可测验多项式回归关系的真实性。
相关指数：Ry·x，x2， ，，kxk次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值，可用来表示Y与X
的多项式的相关密切程度。
Ry· x，x2， ，xk Uk /SSy
(11·25)
决定系数：在Y 的总变异中，可由X 的k 次多项式
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
6 216.4 276.7 295.9 325.3 320.5 286.9 219.9
氮肥 9
274.7 342.8 363.3 336.3 353.7 322.5 278.0
12 274.3 343.4 361.7 381.0 369.5 345.9 319.1
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
第三讲 MATLAB预测(1)回归分析
ˆ 489.2946 s t 2 65.8896 t 9.1329
方法二
化为多元线性回归：
t=1/30:1/30:14/30;
s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
3
1
模型：记血压为 y ，年龄为 x1 ，体重指数为 x2 ，吸烟习惯为 x3 ， 用Matlab将 y 与 x2 的数据做散点图，看出大致也呈线性关系，建立 模型： y 0 1 x1 2 x2 3 x3 由数据估计系数 0，2，3，4 ，也可看做曲面拟合（其实为 超平面）
T=[ones(14,1) t‘ (t.^2)'];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats
得回归模型为 ：
ˆ 9.1329 65.8896 s t 489.2946 t2
预测及作图
Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,'k+',t,Y,'r')
（二）多元二项式回归
命令：rstool（x，y，’model’, alpha）
nm矩阵
n维列向量
显著性水平
（缺省时为0.05）
由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）： linear（线性）： y 0 1 x1 m xm purequadratic（纯二次）： interaction（交叉）： y
其中 x=（x1，x2，„，xn） ，y=（y1，y2 ，„，yn） ； m m-1 p=（a1，a2，„，am+1）是多项式 y=a1x +a2x +„+amx+am+1 的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差.
多项式回归、非线性回归模型
多项式回归、非线性回归模型关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型一、回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验1. 概念介绍SST 总离差平方和total SSR 回归平方和regression SSE 剩余平方和error∑∑∑∑====--=---=ni i ini i ini i ini i iy yy y y yyy R 121212122)()ˆ()()ˆ(12. 例题1存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。
2. 回归方程的显著性检验)2/()2/()ˆ()ˆ(1212-=---=∑∑==n SSE SSAn yyy yF ni i i ni i i例6（F 检验）在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：表5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。
3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析二、一元多项式回归模型模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：0111a x a x a x a y n n n n ++++=--例1（多项式回归模型）为了分析X 射线的杀菌作用，用200千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。
照射次数记为t ，照射后的细菌数为y 见表1。
试求：（1）给出y 与t 的二次回归模型。
（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。
（3）预测16=t 时残留的细菌数。
（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？表1 X 射线照射次数与残留细菌数程序1 t=1:15;y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16;yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为：8967.3471394.519897.121+-=t t y图1 原始数据与拟合效果的散点图原始数据与拟合结果的散点图如图所示，从图形可知拟合效果较好。
各种线性回归模型原理
各种线性回归模型原理线性回归是一种经典的统计学方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
在这个模型中，我们假设自变量和因变量之间存在一个线性函数关系，通过找到最佳的拟合直线，我们可以预测和解释因变量。
在线性回归中，我们通常使用以下三种模型：简单线性回归模型、多元线性回归模型和多项式回归模型。
1.简单线性回归模型：简单线性回归是最基本的线性回归模型。
它用于研究只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
假设我们有一个自变量x和对应的因变量y。
简单线性回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+ε其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得模型对观测数据的拟合最好。
2.多元线性回归模型：当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn + ε其中，y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是误差项。
我们通过最小化误差项的平方和来估计回归系数。
3.多项式回归模型：多项式回归模型是在线性回归模型的基础上引入了多项式项的扩展。
在一些情况下，自变量和因变量之间的关系可能不是简单的线性关系，而是复杂的曲线关系。
多项式回归模型可以通过引入自变量的高次幂来建立非线性关系。
例如，二阶多项式回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+β2*x^2+ε我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，从而找到最佳的拟合曲线。
在以上三种线性回归模型中，我们以最小二乘法作为求解回归系数的方法。
最小二乘法通过最小化观测值与模型拟合值之间的残差平方和来选择最佳的回归系数。
通过最小二乘法，我们可以得到回归系数的闭式解，即可以明确得到回归系数的数值。
除了最小二乘法，还有其他求解回归系数的方法，例如梯度下降法和正规方程法。
多项式回归方程
多项式回归方程多项式回归方程是一种常用的数据拟合方法，它通过建立一个多项式函数来描述变量之间的关系。
它在统计分析、经济学、物理学等领域被广泛应用，被认为是一种有指导意义的建模工具。
多项式回归方程的一般形式可以表示为：y = β₀ + β₁x + β₂x² + ... + βₙxⁿ其中，y表示因变量，x表示自变量，β₀、β₁、β₂...βₙ表示回归系数。
多项式回归方程与线性回归方程相似，但其不仅能够描述线性关系，还能够描述曲线关系。
通过引入高次项，多项式回归方程可以拟合出更复杂的数据。
在实际应用中，选择合适的多项式回归阶数非常重要。
如果选择的阶数过低，模型可能无法充分拟合数据；如果选择的阶数过高，模型可能会过拟合数据，导致预测不准确。
多项式回归方程的建立通常分为以下几个步骤：1. 收集数据：首先需要收集所需的自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和可靠性。
2. 选择阶数：根据数据的特点，选择合适的多项式回归阶数。
通常可以通过可视化分析和统计指标等方法来确定。
3. 拟合数据：利用最小二乘法等统计方法，求解回归系数，从而建立多项式回归方程。
4. 模型评估：使用各种评估指标，如均方误差（MSE）、决定系数（R²）等，评估模型的拟合程度和预测能力。
5. 模型预测：利用建立的多项式回归方程，对未知数据进行预测。
预测结果可以帮助我们进行决策和判断。
多项式回归方程在实际应用中可以解决很多问题。
例如，在经济学中，可以利用多项式回归方程分析GDP与物价、利率等变量之间的关系；在医学领域，可以建立多项式回归方程来预测患者的生存率；在工程学中，可以利用多项式回归方程对材料的物理性质进行建模和预测。
总之，多项式回归方程是一种强大的数据拟合工具，能够描述自变量与因变量之间的复杂非线性关系。
通过选择合适的阶数和评估指标，我们可以建立准确、可靠的多项式回归模型，为实际问题的解决提供有力支持。
回归分析试题答案
诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2011 — 2012 学年第一学期期末考试卷《 回归分析 》开课单位： 计算分院 ；考试形式：开卷（A4纸一张）；考试时间：2011年01月6日； 所需时间： 120 分钟一．计算题(10分。
)1，考虑过原点的线性回归模型1,1,2,...,i i i y x i n βε=+=误差1,...,n εε仍满足基本假定。
求1β的最小二乘估计。
并求出1β 的期望和方差，写出1β的分布。
1221111111121,1,2,...,ˆ()()2()0ˆi i i nni i i i i i ni i i i ni ii nii y x i n Q y yy x Qy x x x yxβεββββ======+==-=-∂=--=∂=∑∑∑∑∑解:第1页共 6 页二. 证明题(本大题共2小题，每小题7分，共14分。
)1，证明：（1）22()1var()[1]i i xxx x e n L σ-=--(2)2211ˆˆ()2n i ii y y n σ==--∑是2σ的无偏估计。
011111122ˆˆˆ()()1()()1var()var[()()]()1var()var((()))()12cov[,(())](1(i i i i i nn i i j j jj j xx ni i i j j j xx ni i j j j xx ni i j j j xxe y y y x x x x y y x x y n L x x e y x x y n L x x y x x y n L x x y x x y n L x n ββσσ======-=----=----=-+--=++---+-=++∑∑∑∑∑解(1):222122222221212211)()1())2()()()11(12()]()1[1]1ˆˆ(2)()(())21ˆ[()]2()111var()[1]2212n i i j j xx xxi i xx xxi xx ni i i ni i i n n i i i i xx x x x x x L n L x x x x n L n L x x n L E E y y n E y y n x x e n n n L n σσσσσ=====----+--=++-+-=--=--=---==----=-∑∑∑∑∑22(11)n σσ--=三．填空题.(每空2分，共46分)1.为了研究家庭收入和家庭消费的关系，通过调查得到数据如下：6.22893,29.12349,43008,97.29,5422=====∑∑∑xy yxy x1)用最小二乘估计求出线性回归方程的参数估计值0ˆβ= 。
第10章 回归分析
7
解： 依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘 法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。 因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。 可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。 其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回 归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验 （α＝0.05）。 解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f， 所得的经验公式有意义。
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应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实 验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜ 容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所 以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。 所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。 设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关 系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：
二次多项回归拟合方程英文
二次多项回归拟合方程英文English:A quadratic regression model is a second-degree polynomial equation that represents the relationship between a dependent variable and one or more independent variables. The general form of the equation is y = β0 + β1x + β2x^2, where y is the dependent variable, x is the independent variable, and β0, β1, and β2 are the regression coefficients. This type of regression is often used whenthe relationship between the variables is curvilinear, meaning thatthe change in the dependent variable is not constant for each unit change in the independent variable. The quadratic regression model allows for a more flexible and accurate representation of the data compared to a simple linear regression model, as it can account for non-linear patterns and curvature in the data.中文翻译:二次多项回归模型是一个二次多项式方程，表示因变量与一个或多个自变量之间的关系。
三次多项式回归方程
三次多项式回归方程摘要：一、多项式回归方程简介1.多项式回归方程的定义2.多项式回归方程的作用二、三次多项式回归方程的推导1.一次多项式回归方程2.二次多项式回归方程3.三次多项式回归方程三、三次多项式回归方程的应用1.实际问题中的案例2.三次多项式回归方程的优势和局限四、总结正文：一、多项式回归方程简介多项式回归方程是一种线性回归模型，通过拟合一个或多个自变量和一个因变量之间的关系来进行预测。
它可以捕捉到数据中复杂的关系，例如非线性关系。
多项式回归方程的主要作用是预测因变量的值，帮助我们更好地理解自变量对因变量的影响。
二、三次多项式回归方程的推导1.一次多项式回归方程一次多项式回归方程的形式为：y = a0 + a1x1 + a2x2 + ...+ anxn。
其中，a0 至an 是回归系数，x1 至xn 是自变量，y 是因变量。
2.二次多项式回归方程二次多项式回归方程的形式为：y = a0 + a1x1 + a2x2 + ...+ anxn +b1x1^2 + b2x2^2 + ...+ bnxn^2。
其中，a0 至an 和b1 至bn 是回归系数，x1 至xn 是自变量，y 是因变量。
3.三次多项式回归方程三次多项式回归方程的形式为：y = a0 + a1x1 + a2x2 + ...+ anxn +b1x1^2 + b2x2^2 + ...+ bnxn^2 + c1x1^3 + c2x2^3 + ...+ cnxn^3。
其中，a0 至an、b1 至bn 和c1 至cn 是回归系数，x1 至xn 是自变量，y 是因变量。
三、三次多项式回归方程的应用在实际问题中，我们可以使用三次多项式回归方程来拟合数据，更好地了解自变量和因变量之间的关系。
例如，在经济学中，我们可以用三次多项式回归方程来预测物价与通货膨胀率、失业率、利率等因素之间的关系。
然而，需要注意的是，三次多项式回归方程可能会过拟合数据，导致在实际应用中预测效果不佳。
excel多项式回归方程
excel多项式回归方程多项式回归方程的应用案例——预测房价我曾经生活在一个美丽的小城市，这里有着迷人的自然风光和宜人的气候。
然而，最近房价的飞涨却让人有些担忧。
于是我决定利用Excel的多项式回归方程来预测未来房价的走势，希望能够帮助人们做出明智的决策。
我收集了过去几年的房价数据，包括房屋面积、房间数量、楼层等因素，并将它们整理成一个数据表格。
接下来，我在Excel中使用多项式回归方程进行拟合，以找到最适合的预测模型。
通过对数据的分析，我发现房屋面积和房间数量对房价的影响最为显著。
因此，我选择了一个二次多项式回归模型来进行预测。
经过拟合后，我得到了一个形如 y = ax^2 + bx + c 的方程，其中 y 代表房价，x 代表房屋面积或房间数量。
接下来，我将利用这个回归方程来预测未来的房价。
假设有一处房屋，它的面积为150平方米，共有3个房间。
按照之前得到的回归方程，我们可以将这些数据代入方程中，计算出预测的房价。
根据计算结果，预测的房价为25万美元。
当然，这只是一个估算值，实际的房价还会受到其他因素的影响，比如地理位置、交通便利性等等。
但是，通过多项式回归方程的预测，我们可以对未来的房价走势有一个大致的了解，从而为房产投资提供一定的参考。
在实际应用中，多项式回归方程还可以用于其他领域，比如预测股票价格、销售额等。
通过分析历史数据，并建立合适的回归模型，我们可以更好地理解数据之间的关系，并做出相应的预测。
多项式回归方程是一种强大的工具，可以在不涉及复杂数学公式和计算的前提下，帮助我们预测未来的趋势。
它的应用范围广泛，为我们提供了更多的决策依据。
让我们把它运用到实际生活中，帮助我们做出明智的选择。
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二次多项式回归方程
二次多项式回归方程是一种常用的数学模型，用于拟合二次曲线形状的数据。
它是基于多项式回归的扩展，通过引入平方项的系数来更好地适应具有非线性关系的数据。
二次多项式回归方程的一般形式如下：
y = ax^2 + bx + c
其中，y表示因变量（依赖变量），x表示自变量（独立变量），a、b、c表示二次多项式回归方程的系数。
在二次多项式回归中，我们通常使用最小二乘法来估计系数的值。
该方法旨在使模型的预测值与实际观测值之间的平方差尽量小。
通过求解最小二乘问题，可以得到最佳拟合的二次多项式回归方程。
为了求解系数a、b、c，可以利用已知的数据点进行拟合。
首先，我们需要收集足够数量的自变量x和对应的因变量y的数据对。
然后，我们可以使用数值计算方法或者统计软件来估计系数的值。
一种常见的方法是使用最小二乘法拟合二次多项式回归方程。
这种方法的基本思想是，通过选择合适的系数值，使得二次多项式回归方程的预测值与已知数据点的观测值之间的残差平方和最小化。
残差表示了预测值与观测值之间的差异。
求解最小二乘问题可以使用线性代数的方法，例如矩阵运算或者求解线性方程组。
具体步骤如下：
1. 将数据点表示为矩阵形式：
X = [x^2, x, 1]
Y = [y]
2. 使用最小二乘法的公式计算系数向量：
θ = (X^T X)^-1 X^T Y
其中，X^T表示X的转置，(X^T X)^-1表示X^T X的逆矩阵。
3. 得到系数向量后，可以得到二次多项式回归方程：
y = θ[0]x^2 + θ[1]x + θ[2]
这样，我们就得到了二次多项式回归方程，并可以使用该方程进行预测或拟合。
需要注意的是，二次多项式回归方程在某些情况下可能会产生过拟合的问题。
过拟合指的是模型过度拟合训练数据，导致在新数据上的表现不如预期。
为了解决过拟合问题，可以考虑使用正则化技术，如岭回归或Lasso回归，来减小高次项的
系数。
另外，二次多项式回归方程也可以进一步扩展为更高阶的多项式回归方程，以
适应更复杂的数据模式。
但是，需要注意的是，随着多项式阶数的增加，模型的复杂度也会增加，可能会导致更大的过拟合风险。
总之，二次多项式回归方程是一个常用的数学模型，可以用于拟合具有非线性
关系的数据。
通过最小二乘法来估计系数的值，可以得到最佳拟合的二次多项式回归方程。
然而，在应用时需要注意过拟合问题，并选择适当的模型复杂度。
二次多项式回归方程概述说明
二次多项式回归方程是一种用于拟合非线性数据的回归分析方法。
它基于二次
多项式的形式，通过寻找最佳拟合曲线来描述自变量和因变量之间的关系。
在本文中，我们将详细讨论二次多项式回归方程的概念、使用方法以及在实际问题中的应用。
一、二次多项式回归方程的概念：
二次多项式回归方程是一个二次多项式函数，形式为 y = a + bx + cx^2，其中y
是因变量，x是自变量，a、b和c是回归系数。
这个方程能够更好地适应数据集中
呈现出曲线关系的情况，相比于线性回归模型，它能够提供更准确的预测。
二、使用二次多项式回归方程的方法：
使用二次多项式回归方程需要以下步骤：
1. 收集数据：首先需要收集相关的数据集，包括自变量和因变量的观测值。
2. 数据预处理：对数据进行必要的预处理，包括去除异常值、填补缺失值、进
行数据转换等。
3. 模型拟合：将收集到的数据代入二次多项式回归方程中，并通过最小二乘法
等优化算法找到最佳的回归系数。
4. 模型评估：对于得到的二次多项式回归模型，需要计算模型的拟合优度、残
差分析以及检验回归系数的显著性等，以评估模型的质量和可靠性。
5. 预测应用：根据建立的二次多项式回归方程，可以进行因变量的预测，帮助
解决实际问题。
三、二次多项式回归方程的应用：
二次多项式回归方程在实际问题中具有广泛的应用，例如：
1. 物理学：用于描述一些物理现象中自变量和因变量之间的关系，如自由落体
运动中的速度和时间的关系。
2. 经济学：用于经济数据的拟合与预测，如物价指数、经济增长率等。
3. 工程学：用于建立设计曲线，如根据温度和时间数据拟合出一种合适的冷却
曲线。
4. 医学研究：用于研究自变量和因变量之间的关系，如药物浓度和疗效的关系。
总之，二次多项式回归方程是一种用于拟合非线性数据的强大工具。
它能够更准确地描述数据的特征，并提供预测能力，从而在实际问题中得到广泛的应用。
但需要注意的是，在使用二次多项式回归方程时，也要注意数据的适用性和模型的合理性，以避免过拟合或欠拟合等问题的出现。
二次多项式回归方程解释
二次多项式回归方程是一种用来拟合二次曲线的数学模型。
在统计学和机器学习中，它被广泛应用于预测与拟合非线性数据。
在本文中，我们将详细解释二次多项式回归方程的含义和用法。
二次多项式回归方程的一般形式可以表示为：
y = α + β1x + β2x^2
其中，y 是因变量（或响应变量），x 是自变量（或解释变量），α 是截距，β1 和β2 是回归系数。
在二次多项式回归中，我们假设因变量和自变量之间的关系是一个二次函数形式，即二次曲线。
通过使用最小二乘法，我们可以确定最佳的回归系数估计值，以使方程最好地拟合数据。
这意味着我们寻找一条二次曲线，使得实际数据点到曲线的距离尽可能小。
使用二次多项式回归方程的一个重要应用是预测和拟合非线性数据。
线性回归适用于线性关系的数据，但当数据具有非线性关系时，采用二次多项式回归可以更准确地预测和拟合。
例如，在物理学和工程学中，很多实验数据都呈现出非线性关系，因此使用二次多项式回归方程可以更好地模拟和分析实验结果。
另一个应用是找到最优解。
比如，在优化问题中，我们可以使用二次多项式回归方程来表示目标函数，并通过寻找使目标函数最小化或最大化的自变量值来找到最优解。
然而，需要注意的是，二次多项式回归方程并非适用于所有情况。
在某些情况下，数据可能比二次多项式更适合其他形式的回归方程，如指数函数、对数函数等。
因此，在使用二次多项式回归方程之前，我们需要仔细分析数据的特征和模型的适用性。
总结起来，二次多项式回归方程是用于拟合和预测非线性数据的数学模型。
它
可以帮助我们理解和解释数据之间的关系，并用于优化问题的求解。
然而，在使用时需要注意数据的特征和模型的适用性，以确保得到准确和可靠的结果。