基本不等式复习ppt课件(自制) 通用
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2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式PPT优秀课件
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式ppt课件
a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
《基本不等式》PPT课件
答案：－2
3．设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值． 解：∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2 ≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b，几何平均 2
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数 ．
四、利用基本不等式求最值问题
4．(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)x＜3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
解：(1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x，即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2. (2)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
[归纳领悟] 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发， 借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可 知”，逐步推向“未知”．
[题组自测] 1．下列函数中，最小值为 4 的函数是
3．设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值． 解：∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2 ≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b，几何平均 2
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数 ．
四、利用基本不等式求最值问题
4．(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)x＜3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
解：(1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x，即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2. (2)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
[归纳领悟] 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发， 借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可 知”，逐步推向“未知”．
[题组自测] 1．下列函数中，最小值为 4 的函数是
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
《基本不等式》PPT课件
1 3
3x（1-3x3）≤1 3
(
3x
1 2
3x
)
2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1时 6
ymax=
1 12
2. 函数y=
x
x
1
1(x
≥
0)的最小值为____1__,此时x=____0__.
构造积为 定值
解:
y x 1 x1
x 1
1 x1
1≥2-1=1
当且仅当 x 1 1 即x 0 时取“=”号
x1
3、已知 x≥ 5
2
Ａ．最大值 5 2
Ｃ．最大值1
，则
x2 4x 5 f (x)
有（ Ｄ ）
2x 4
Ｂ．最小值 5 4
Ｄ．最小值1 拆分法
解：
y
x2 4x 5 2x 4
(x 2)2 1 2(x 2)
1 2
( x
2)
x
1
2
≥1
特别地， a＝b =0时也成立
2、公式变形：
a b 2 ab
ab ( a b)2 （当a、b ∈R成立吗？） 2
a b ab 2
(a, b是正数,当且仅当 a＝b 时取“=”号)
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
1:求函数
y
x(a
4x)(0
x
a 4
,a
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
复习课基本不等式ppt课件
答: (1)仓库表面积S的最大允许值为100米2；
(2)正面铁栅应设计为15米。
探究题二
甲、乙两电脑批发商一次在同一电脑耗材厂以 相同的价格购进电脑芯片。甲、乙两家分别购 芯片两次，每次的芯片价格不同，甲每次购买 10000片芯片，乙每次购10000元芯片。两次 购芯片，哪一家平均成本低？请给出相应的证 明。
1、掌握并熟练应用两个基本不等式是重点
在近几年的高考中,多次出现公式a2+b2≥2ab(a，b∈R)和 a b ab（a，b≥0） 2
及其变形的应用，特点是随着应用能力考查的加强，均值定理求最值、范围以及一些 实际应用性的考查已经成为高考编拟考题的热点。如前面的第3题，利用基本不等式解 题最为简捷。
基本不等式考点：
1、利用基本不等式求解有关范围、函数 最值问题；
2、利用均值不等式解决以生活为背景的 应用问题。
谢 谢 ！
高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方 米造价20元，试计算： （1）仓库表面积S的最大允许值为多少？ （2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么 正面铁栅应设计为多长？
解：设铁栅长为 x 米，一堵砖墙长为 y 米，则S=xy米．
例题选讲
例1、设x，y为正实数，且xy－（x+y）=1，则（ ）
A.x y 2( 2 1); B.x y 2( 2 1); C.x y ( 2 1)2; D.x y ( 2 1)2;
探究题一
求函数 y = x2+ 1 (x＜0)的最大值 2x
例题选讲
例２：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），
ab 2
ab还可以得到以下常用结论
3.4基本不等式 课件(共43张PPT)
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知 和x
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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课堂互动讲练
(1)写出d关于v的函数关系式；
(2)若不计火车的长度，则26列火
车都到达B地最少需要多少小时？此
时火车的速度为多少？
解：(1)由题意可设d＝kv2，
其中k为比例系数，且v>0，
∵当v＝20时，d＝1，
∴1＝k·202，即 k＝4100，
∴d＝4100v2(v>0).
4分
课堂互动讲练
基础知识梳理
4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅 当x＝y时，x＋y有 最小 值是 2 p.(简 记：积定和最小)
基础知识梳理
(2)如果和x＋y是定值p，那么当 p2
且仅当 x＝y时，xy有最大值是 4 .(简 记：和定积最大)
三基能力强化
(4)ba＋ab≥2 (a，b 同号且不为零)．
基础知识梳理
上述四个不等式等号成立的条件 是什么？
【思考·提示】 满足a＝b.
思 考 ？
基础知识梳理
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数
a＋b
为 2 ，几何平均数为 ab ，基本
不等式可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数．
(2)证明：a4＋b4＋c4＋ d4≥4abcd.
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)利用a＋b＝1 将要证不等式中的1代换，即可得证．
(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可 求证．但需两次利用不等式，注意等 号成立的条件．
课堂互动讲练
【证明】 (1)∵a>0，b>0，a
＋b＝1，
∴
1＋ a
1 b
∴y＝1－2x－3x≤1－2 6. ∴当 x＝ 26时，ymax＝1－2 6.
课堂互动讲练
(3)∵x>0，y>0，x＋y＝1，
∴4 x
＋9 y
＝
(x＋
y)(4x＋ 9y )＝
13＋
4xy＋9yx
≥13＋2 4xy·9yx＝25，
当且仅当4y＝9x时等号成立， xy
课堂互动讲练
x＋y＝1， 由4xy＝9yx，
1 ． “a>0
且
b>0”
是
“
a＋b 2
≥ ab”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
三基能力强化
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2， 则( )
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
答案：C
三基能力强化
3．函数 f(x)＝x＋x－1 2－4(x>2)， 则 f(x)有( )
(2)∵每两列火车间距离为d千米， ∴最后一列火车与第一列火车间的距
离是25d，所以最后一列火车到达B地的时
间为 t＝4v00＋2v5d，
由(1)可知 d＝4100v2，
代入上式整理得
t＝
4v00＋
v 16
≥2 4v00·1v6＝2×5＝10，
课堂互动讲练
当且仅当4v00＝1v6，即 v＝80(千米 /时)时，等号成立，
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－2 D．最小值－2 答案：B
三基能力强化
4.(2009 年 高 考 湖 南 卷 改 编 ) 若 x<0，则 x＋2x的最大值为________．
答案：－2 2
三基能力强化
5．(教材例题改编)长为24 cm的 铁丝做成长方形模型，则模型的最大 面积为________．
课堂互动讲练
∴y
＝
x(1
－
3x)
＝
3·x(
1 3
－
x)≤3·(x＋132－x)2＝112，
当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等 号成立．
∴当 x＝16时，函数取得最大值112.
课堂互动讲练
【误区警示】 本题的易误点是 忽视不等式成立的条件，或者忽视验 证等号成立的条件．
课堂互动讲练
考点三 利用变形的基本不等式求最值
11 分
即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最
小总费用是 10440 元. 12 分
课堂互动讲练
【失误点评】 (1)列出函数关系 易漏定义域，(2)对最后的结果不作结 论．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分12分)已知26列火车以 相同速度v由A地驶向400千米处的B 地，每两列火车间距离为d千米，现 知d与速度v的平方成正比，且当v＝20 千米/时时，d＝1千米．
答案：36 cm2
课堂互动讲练
考点一 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式，先 观察题目条件是否满足基本不等式的 应用环境，若不满足，则应通过添 项、拆项、配系数、“1”的代换等方 法，使其满足应用条件，再结合不等 式的基本性质，达到证明的目的．
课堂互动讲练
例1 (1)已知 a>0，b>0，a＋b＝1， 求证：1a＋1b≥4.
课堂互动讲练
(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地 围墙的总费用最小，并求出最小总费 用．
课堂互动讲练
【思路点拨】 用x表示另一边长a
→ 列出函数关系 → 利用均值不等式求最值
课堂互动讲练
【解】 (1)如图，设矩形的另一 边长为a m，
课堂互动讲练
则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x
课堂互动讲练
法二：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， ∴ab＝14·4a·b≤14(4a2＋b)2＝116， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝ 1时，等号成立． 2 所以 ab 的最大值为116.
课堂互动讲练
(2)∵x>0，∴2x＋3x≥2 2x·3x ＝2 6.
当且仅当 2x＝3x，即 x＝ 26时 取等号．
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
求4＋9的最小值． xy
课堂互动讲练
【思路点拨】 利用基本不等 式的变形如：ab≤(a＋2 b)2 或 a＋ b≥2 ab来求最值．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：∵a>0，b>0,4a ＋b＝1，
∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b ＝12时，等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116. 所以 ab 的最大值为116.
＋360a－360.
由已知 xa＝360，得 a＝3x60， 所以 y＝225x＋36x02－360(x>0).
4分 6分
课堂互动讲练
(2)∵x>0，
∴225x
＋
3602 x
≥2
225×3602＝ 10800.
8
分
∴y＝225x＋36x02－360≥10440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立.
规律方法总结
(2)基本不等式具有将“和式”转化 为“积式”和将“积式”转化为“和式”的 放缩功能，在证明或求最值时，要注 意这种转化思想．
规律方法总结
2．创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技 巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每 项为正值，必要时出现积为定值或和为定 值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注 意每次是否能保证等号成立，并且要注意取 等号的条件的一致性，否则就会出错，因此 在利用基本不等式处理问题时，列出等号成 立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是 检验转换是否有误的一种方法．
课堂互动讲练
例2 (1)求函数 y＝x＋1x的值域． (2)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1
－3x)的最大值．
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)题中未指明 x>0，因而不能直接使用基本不等 式，需分x>0与x<0讨论；
(2)求函数的最大值，需构造某个 和为定值，可考虑将括号内外x的系数 变成互为相反数．
课堂互动讲练
(2)法一：∵0<x<13， ∴1－3x>0.
∴y
＝
x(1
－
3x)
＝
1 3
·3x(1
－
3x)≤13[3x＋(21－3x)]2
＝1， 12
课堂互动讲练
当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16 时，等号成立．
∴当 x＝16时，函数取得最大值 1 12.
法二：∵0<x<13，∴13－x>0.
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人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
第4课时基本不等式
基础知识梳理
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件
ab ≤ a＋b 2
a>0，b>0
a＝b
基础知识梳理
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；
(2)ab ≤ (a＋2 b)2(a，b∈R)；