第五章 第一节 数列的概念与简单表示法

三、数列与函数的关系 正整数集N*(或 的 1．从函数观点看，数列可以看成是以 正整数集 或N*的 ．从函数观点看， 有限子集{1,2,3，…，n}) 为定义域的函数 n＝f(n)， ， 有限子集 为定义域的函数a ， 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列 函数值 ． 2．数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示 ．数列同函数一样有解析法、图象法、 方法． 方法．
(2)由 an＝2an－1＋1， 由 ， 得 an＝2an－1＋1＝2(2an－2＋1)＋1＝22an－2＋(1＋2) ＝ ＋ ＝ ＋ ＝22(2an－3＋1)＋(1＋2)＝23an－3＋(1＋2＋22)＝… ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 1－2n－1 － n－1 2 n－2 n－1 ＝2 a1＋(1＋2＋2 ＋…＋2 )＝2 ＋ ＋ ＋ ＝ ＝2n－1， ， 1－2 － 即 an＝2n－1.
1 1 n－1 1 n ∴an＋1－an＝2(2) ＝(2) ， 1 n－1 ∴an－an－1＝(2) (n≥2)， ≥ ， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＋ ＋ ＋ 1 1 1 ＝ n－1＋ n－2＋…＋2＋1＝2(1－2n)＝2－ n－1. ＝ － ＝ － 2 2 2 1 1
二、数列的分类 分类原则 按项数分 类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项 间的 大小关系 分类 摆动数列 递减数列 常数列 满足条件 项数 有限 项数 无限 an＋1 > an ＋ an＋1 < an ＋ an＋1＝an ＋ 从第二项起， 从第二项起，有些项大 于它的前一项， 于它的前一项，有些项 小于它的前一项 其中n∈ 其中 ∈N*
1
解析： 数列奇数项相同， 解析：∵an＋2＝－ ＝a ，∴数列奇数项相同，偶数 an＋1 n 项相同， 项相同，∴a2 011＝a1＝2.
1
答案： 答案： C
an 3． 数列{a 中 若 a ． 数列 n}中， an＋1＝ ， ＝1， a6 等于 ， 则 等于( 2an＋1 1 A．13 ． C．11 ． Biblioteka Baidu B. 13 1 D. 11
数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 列 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列 了解数列的概念和几种简单的表示方法 表、图象、通项公式)． 图象、通项公式 ． 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函 数．
[理 要 点] 理 一、数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的 排列着的一列数称为数列， 每一个数叫做这个数列的 项 ．排在第一位的数称为 这个数列的第1项 通常也叫做 这个数列的第 项(通常也叫做 首项 )． ．
[究 疑 点] 究 数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？ 数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？
提示：不唯一，如数列－ 1,1，－ ，…的通项公式可以 ，－1,1， 提示：不唯一，如数列－ ，－ 为 an＝(－1) 或 － 项公式． 项公式．
n
－1 (n为奇数) 为奇数) 为奇数 an＝ 1 (n为偶数) 为偶数) 为偶数
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 和递推关系求通项公式，可观察其特点， 由 a1 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常 利用“化归法” 累加法” 累乘法” 利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等． 1．对于形如“an＋1＝an＋f(n)”型的递推关系式求通项公 ．对于形如“ ” 可求和， 式，只要 f(n)可求和，便可利用累加的方法． 可求和 便可利用累加的方法． an＋1 2．对于形如“ a ＝g(n)”型的递推关系式求通项公式， ．对于形如“ ”型的递推关系式求通项公式， n 可求积， 只要 g(n)可求积，便可利用累积或迭代的方法． 可求积 便可利用累积或迭代的方法． 3．对于形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1)”型递推关系 ．对于形如“ ≠ ≠ ” 求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法 求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法.
由下列数列{a 的递推关系式求数列 的递推关系式求数列{a 的通项公式 的通项公式． 由下列数列 n}的递推关系式求数列 n}的通项公式． (1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)； ， ； － (2)a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)． ， ． －
由题意得， 解：(1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…， 由题意得 ， － ， a3－a2＝3，a2－a1＝2. ， 将上述各式累加得， 将上述各式累加得，an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，即 ＋ － ＋ ＋ ， n(n＋1) ( ＋ ) an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝ ， 2 n(n＋1) ( ＋ ) . 故 an＝ 2
[题组自测 题组自测] 题组自测 1． ． 已知数列{an}中， 1＝2， n＋1＝an＋n， a7 为( a 已知数列 中 a ， ， 则 A．8 ． C．23 ． B．12 ． D．29 ． )
答案： 答案：C
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－ ．已知数列 (n≥2)，则 a2 011 中 ， ≥ ， an－1 等于 1 A．－ ．－2 C．2 ． 1 B. 2 D．－ ．－2 ．－ ( )
，有的数列没有通
[题组自测 题组自测] 题组自测 2 3 4 5 1．数列 1， ， ， ， ，…的一个通项公式 an 是( ． ，3 5 7 9 n A. 2n＋1 ＋ n C. 2n－3 － n B. 2n－1 － n D. 2n＋3 ＋ )
1 2 3 解析：由已知得， 解析：由已知得，数列可写成1，3，5，…， n . 故通项为 2n－1 －
四、数列的通项公式 序号n 如果数列{a 的第 的第n项 如果数列 n}的第 项an与 序号 之间的关系可以用 一个公式a 来表示， 一个公式 n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的 来表示 通项公式． 通项公式． 五、数列的递推公式 如果已知数列{a 的首项 或前几项)， 任一项a 的首项(或前几项 如果已知数列 n}的首项 或前几项 ，且 任一项 n 与 它的前一项a － 或前几项)间 它的前一项 n－1(n≥2)(或前几项 间 的关系可用一个公 或前几项 式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
)
an 解析： 解析：∵an＋1＝ ，a1＝1， ， 2an＋1 1 1 1 1 1 ∴a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ ，a6＝ . 3 5 7 9 11
答案： 答案：D
4．由下列数列的递推关系式求数列{an}的通项． ．由下列数列的递推关系式求数列 的通项． 的通项 (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； ， ≥ ； n－1 － (2)a1＝1，an＝ n an－1(n≥2)； ， ≥ ； 1 (3)a1＝1，an＋1＝ an＋1. ， 2
解：(1)∵an＝an－1＋3n－1， ∵ ∴an－1＝an－2＋3n－2， an－2＝an－3＋3n－3， … a2＝a1＋31， 以上(n－ 个式子相加得 以上 －1)个式子相加得 3n － 1 an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝ . ＋ ＋ 2 n－1 － (2)∵an＝ n an－1(n≥2)， ∵ ≥ ，
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24， ， 各项的分母分别为 … 易看出第 2,3,4 项的 2－3 － 绝对值的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 2 ， 因此把第 项变为－ 23 － 3 24 － 3 21－3 22－3 至此原数列已化为－ 至此原数列已化为－ 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，…， 2n－3 ∴an＝(－1)n· 2n . －
答案： 答案： B
2．数列 2， 5，2 2，…，则 2 5是该数列的 ． ， ， ， 是该数列的 A．第 6 项 ． C．第 10 项 ． B．第 7 项 ． D．第 11 项 ．
(
)
解析：原数列可写成 2， 5， 8，…， 解析： ， ， ， ∵2 5＝ 20，∴20＝2＋(n－1)×3， ＝ ， ＝ ＋ － × ， ∴n＝7. ＝
1 1－( )n － 2 1 2－ . 1 ＝ －2n－1 1－ － 2 1 法三： 法三：由已知得 an＋1＝ an＋1， ， 2 1 an＋2＝ an＋1＋1， ， 2 1 ②－①得 an＋2－an＋1＝ (an＋1－an)， ， 2 1 1 ∴{an＋1－an}是以 a2－a1＝ 为首项，公比为 q＝ 的等比数列． 是以 为首项， ＝ 的等比数列． 2 2 ① ②
答案： 答案： B
3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． ．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－ － ，－ ，－13,19，… ， (2)0.8,0.88,0.888，… ， 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，… 2 4 8 16 32 64 (4)0,1,0,1，… ，
1 n－1 1 ∴an－2＝(a1－2)( ) ＝－ n－1 ＝ 2 2 ∴an＝2－ n－1. － 2 法二：由已知得： 法二：由已知得： 1 11 1 1 an＝ an－1＋1＝ ( an－2＋1)＋1＝( )2an－2＋ ＋1 ＝ ＋ ＝ 2 22 2 2 121 1 ＝( ) ( an－3＋1)＋ ＋1 ＋ 2 2 2 13 12 11 ＝( ) an－3＋( ) ＋( ) ＋1 2 2 2 1 － 1 1 － ＝…＝( )n 1a1＋( )n 2＋…＋ ＋1 2 2 2 1
符号问题可通过(－ 表示， 解：(1)符号问题可通过 －1)n 表示，其各项的绝对值的 符号问题可通过 排列规律为： 排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6， ， 故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． － － ． 8 8 8 (2)将数列变形为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)， ， 将数列变形为 － ， － ， － ， … 9 9 9 8 1 ∴an＝ (1－ n)． － ． 9 10
0(n为奇数) 为奇数) ( 为奇数 (4)an＝ 1(n为偶数) 为偶数) ( 为偶数
1＋(－1)n ＋ 1＋cosnπ ) ＋ . 或 an＝ 或 an＝ 2 2
[归纳领悟] 归纳领悟] 1．观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律， 观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律， 横看“各项之间的关系结构” 纵看“ 横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的 关系” 从而确定数列的通项公式． 关系”，从而确定数列的通项公式． 2．利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： 利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (1)分式中分子、分母的特征； 分式中分子 (2)相邻项的变化特征； (2)相邻项的变化特征； 相邻项的变化特征 (3)拆项后的特征； (3)拆项后的特征； 拆项后的特征 (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 各项符号特征等
注意：根据数列的前 项写出数列的一个通项公式是不完全 注意：根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全 归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想， 归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归 纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符 纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验， 号变化，可用 － 号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． － ＋ 来调整．
n－2 － an－2， ∴an－1＝ n－1 － … 1 a2＝ a1， 2 以上(n－1)个式子相乘得 以上 － 个式子相乘得 － 1 2 n－1 a1 1 an＝a1· · ·…· n ＝ n ＝n. 23… 1 1 (3)法一：由已知 an＝ an－1＋1 得(an－2)＝ (an－1－2) 法一： 法一 ＝ 2 2 1 ＝－1 ∴{an－2}是以 a1－2＝－ 为首项，以 q＝ 的等比数列． 是以 ＝－ 为首项， ＝ 的等比数列． 2