第五章 第一节 数列的概念与简单表示法
第五章 第一节 数列的概念与简单表示法
2
D．an＝（－1）2 n－1＋3
9
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考点一 考点二 考点三
(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： ①－1，7，－13，19，…； ②0.8，0.88，0.888，…； ③12，14，－58，1136，－2392，6614，…； ④32，1，170，197，…； ⑤0，1，0，1，….
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考点一 考点二 考点三
解析：(1)各项减去 1 后为正偶数， 所以 an＝2n＋1，n∈N*. (2)每一项的分子比分母少 1， 而分母组成数列 21，22，23，24，…， 所以 an＝2n2－n 1，n∈N*. (3)奇数项为负，偶数项为正，故第 n 项的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即 奇数项为 2－1，偶数项为 2＋1，
)
A．32
B．53
C．74
D．85
答案：B
6
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考点一 考点二 考点三
3．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可 以排成一个正三角形(如图)．
则第7个三角形数是( )
A．27
B．28
答案：B
C．29
·aa32·aa12＝nn－ ＋
11·n－n 2·…·24·13，
即aan1＝n＋1 1·1n×2×1，所以 an＝n（n1＋1）.
当 n＝1 时，a1＝1×1 2＝12，也与已知 a1＝12相符，
第五章 第一节 数列的概念与简单表示法1
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奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 2＋－1n 所以an＝(－1) · n .
n
1 －n n为正奇数， 也可写成an＝ 3 n为正偶数. n
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[冲关锦囊] 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为 一些常见数列的通项公式来求．
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2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列1，3，5，7，9„的一个通项公式是 A．an＝ n 2n＋1 B．an＝ n 2n－1
(
)
n C．an＝ 2n－3
n D．an＝ 2n＋3
答案： B
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2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1，则这个数列是 ( A．递增数列 C．常数列 答案： A B．递减数列 D．摆动数列 )
式的求法以及数列的性质．
2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一 问，难度不大.
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一、数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中
的每一个数叫做这个数列的 项 ．排在第一位的数称为
这个数列的第1项(通常也叫做 首项 )．
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二、数列的分类 分类原则 按项数分 类 类型 有穷数列 满足条件 项数 有限
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[精析考题] [例 2] (2011· 四川高考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1， ( )
an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6＝ A．3×44 C．45 B．3×44＋1 D．45＋1
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[自主解答]
a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48
无穷数列
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
第5篇 第1讲 数列的概念与简单表示法
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2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数 列、摆动数列，如(4)． 二是数列的通项公式不唯一，如 (3) 中还可以表示为 an ＝
1，n为奇数， 0，n为偶数.
三是已知 Sn 求 an 时，一定要验证 n＝1 的特殊情形，如(5)．
所以an＝3×2n－1－2.
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规律方法
给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an ，常用思路是：一
是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项 公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系， 再求an.
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解析 (1)由题意得， 当 n≥2 时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„ n－12＋n nn＋1 ＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋„＋n)＝2＋ ＝ 2 ＋ 2 1. 1×1＋1 又 a1＝2＝ ＋1，符合上式， 2 nn＋1 因此 an＝ ＋1. 2
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考点二 由an与Sn的关系求通项an
【例 2】
(2012· 广东卷 ) 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，数列
{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式．
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an＋1＋1 (2)an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)，即 ＝3， an＋1 a2＋1 a3＋1 a4＋1 an＋1＋1 法一 ＝3， ＝3， ＝3，„， ＝3.将这些 a1＋1 a2＋1 a3＋1 an＋1 an＋1＋1 n 等式两边分别相乘得 ＝3 . a1＋1 an＋1＋1 n 因为 a1＝1，所以 ＝3 ，即 an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以 1＋1 an＝2×3n 1－1(n≥2)，又 a1＝1 也满足上式，故 an＝2×3n 1－
高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A
因为 an＋1－an＝3n＋2，所以 an－an－1 ＝3n－1(n≥2)，所以 an＝(an－an－1)＋ (an － 1 － an － 2) ＋ … ＋ (a2 － a1) ＋ a1 ＝ n3n2＋1(n≥2)．当 n＝1 时，a1＝2＝12 ×(3×1＋1)，符合上式，所以 an＝23n2
＋n2.
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考点三
探究一 形如 an＋1＝anf(n)，求 an.
1．在数
列
{an}中，a1＝1，an＝
n－1 n an－
1(n≥2)．
试题
解析
因为 an＝n－n 1an－1(n≥2)，
所以 an－1＝nn－－12an－2，…，a2＝12a1.
考点一
题组训练
用观察法求数列的通项公式的两个技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观 察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律， 可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数 列的通项公式来求． (2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
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的通项公式：
当 b＝－1 时，a1 适合此等式．
(1)Sn ＝ 2n2 － 3n ； (2)Sn 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式．
＝3n＋b.
∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；
3＋b，n＝1，
当 b≠－1 时，an＝2·3n－1，n≥2.
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第五章 第一节 数列的概念及简单表示法
解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3 是数列{an}中的第2项或第6项． 答案：D
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4．[文]若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n＋1(n＝1,2,3，…)，
则此数列的通项公式为an＝________. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－ 10(n－1)]＝2n－11，当n＝1时，a1＝S1＝－8. ∴an＝－2n8－n1＝1n1≥，2. 答案：－2n8－n1＝1n1≥2
下列各数． (1)23，145，365，683，1909，…； (2)－1，13，－395，1673，－3939，…； (3)9,99,999,9999，….
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解：(1)分子是连续的偶数，且第1个数是2，所以用2n表示； 分母是22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，所以用(2n)2－1表 示．所以an＝2n22n－1＝4n22－n 1(n∈N*).
∴数列{an}的通项公式为an＝12， n－2，
n＝1 n≥2
n∈N*.
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[做一题] [例3] 根据下列条件，写出数列的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n； (2)a1＝1,2n－1an＝an－1(n≥2)． (3)[文]a1＝1，an＋1＝2an＋4.
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[自主解答] (1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等 式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 将其相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． ∴an＝a1＋1＋n－21n－1＝4＋n2n－1.
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[考题印证] (2011·浙江高考)若数列{n(n＋4)(23)n}中的最大项是第k项， 则k＝________.
第五章 数列
第五章第一节数列的概念与简单表示法1.数列2、5() A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．a n＝n2－n＋1 B．a n＝n(n－1)2C．a n＝n(n＋1)2D．a n＝n(n＋2)23．n个连续自然数按规律排成下表：03→47→811…↓↑↓↑↓↑1 →2 5 → 6 9 →10根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为() A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓4.(2010·福州模拟)n n5＜a k＜8，则k=()A．9 B．8 C．7 D．65．已知数列{a n}的前n项和S n＝－n2＋24n(n↔N )．(1)求{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，S n达到最大？最大值是多少？6.在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋ln(1＋1n)，则a n＝()A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n7．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝5，a n＋2＝a n＋1－a n(n↔N*)，则a1 000＝() A．5 B．－5 C．1 D．－18．根据下列各个数列{a n}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，a n＝a n－1＋3n-1(n≥2)；(2)a1＝1，a n＝n－1na n－1(n≥2)．9.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝na(n ＋1)b，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值有关 10．(2010·温州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 501的“理想数”为2008，那么数列2，a 1，a 2…，a 501的“理想数”为 ( ) A ．2004 B ．2006 C ．2008 D ．201011．(文)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ↔N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝____.(理)已知函数f (n )＝22()()nn nn ⎧⎪⎨-⎪⎩当为奇数时，当为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.12．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n＋12a n (n ↔N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)(理)若b n ＝n (12a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与2116的大小．第五章 第二节 等差数列及其前n 项和1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“b ＋b ＝2”，那么甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n. (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .3.(2009·福建高考)n n 36，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．34．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．65．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于________． 6．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ↔N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ↔N *)，试确定λ的值，使得对任意n ↔N *，都有b n ＋1＞b n 成立．7.设等差数列{a n }的前n n 36a 7＋a 8＋a 9等于 ( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．278．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝____. 9．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.10.设数列{a n }49n n 项和，则 ( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 611．(文)在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当n 等于________时，S n 取得最小值． (理)若数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1·a n ＋2(n ↔N *)，{b n }的前n 项和用S n 表示，若{a n }满足3a 5＝8a 12＞0，则当n 等于________时，S n 取得最大值． 12．(2010·株州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ↔R)，满足f (0)＝f (12)＝0，且f (x )的最小值是－18.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ↔N *，点(n ，S n )在函数f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)通过b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }，是否存在非零常数c ，使得{b n }为等差数列； (3)令c n ＝S n ＋nn，设数列{c n ·2c n }的前n 项和为T n ，求T n .第五章 第三节 等比数列及其前n 项和1.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5＋12或5－122．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.3．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.4.(2009·广东高考)n 39＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C.2 D ．2 5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4 D ．1∶36．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.7.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n ＝p (p 为正常数，n ↔N *)，则称{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的 ( ) A.充分不必 要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ↔N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．9.(文)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( )A ．16(1－4−n )B ．16(1－2−n ) C.323(1－4−n ) D.323(1－2−n )(理)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ↔N ＋)，公比q ↔(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．1710．(文)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n−1a n＝8n对任意的n↔N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)问是否存在k↔N*，使得(b k－a k)↔(0,1)？请说明理由．(理)等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝24，a2＝5，对每一个k↔N*，在a k与a k＋1之间插入2k−1个1，得到新数列{b n}，其前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)试问a11是数列{b n}的第几项；(3)是否存在正整数m，使T m＝2010？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．第五章第四节数列求和1.数列a1＋2，…，a k＋10240，则a1＋…＋a k＋…＋a10之值为()A．31 B．120 C．130 D．1852．已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n－12n，其前n项和S n＝32164则项数n等于()A．13 B．10 C．9 D．63．已知数列{a n}中，a1＝2，点(a n－1，a n)(n>1，且n↔N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝________.4.设函数f(x)＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n↔N*)的前n项和是( )A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n5．数列a n＝1n(n＋1)，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10 B．－9 C．10 D．96．在数列{a n}中，a n＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1又b n＝2a n·a n＋1，求数列{b n}的前n项的和．7.求和：S n＝1a＋2a2＋3a3＋…＋a n.8．(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n↔N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n{b n}的前n项和S n.9.(2010·长郡模拟)n123＋…＋a n＝2n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1) C.13(4n－1) D．4n－110．已知数列{a n}的通项公式为a n＝log2n＋1n＋2(n↔N*)，设其前n项和为S n，则使S n<－5成立的自然数n ()A．有最大值63 B．有最小值63C．有最大值32 D．有最小值3211．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.12．(文)(2009·湖北高考改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12n －1＋2(n ↔N *)．(1)令b n ＝2na n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令c n ＝n ＋1n a n，求T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n 的值． (理)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ↔N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n . (1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{c n }的前n 项和S n ； (3)若c n ≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．第五章 第五节 数列的综合应用1.已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 和b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋cn等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．12．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 ( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．(文)等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n －2}为等比数列；(3)求数列{na n }的前n 项和T n .4.气象学院用3.2用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ↔N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了 ( ) A ．600天 B ．800天 C ．1 000天 D ．1 200天 5．(2010·邯郸模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n d (n ↔N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.6．数列{a n }中，a 1＝6，且a n －a n －1＝a n －1nn ＋1(n ↔N *，n ≥2)，则这个数列的通项a n ＝____.7.2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A ．6秒钟 B ．7秒钟 C ．8秒钟 D ．9秒钟8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．9．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，2 4 1 2y每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么 x ＋y ＋z 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ↔N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9(k ↔N *)，则k 的值为________．11．(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ↔N)．(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }的前n 项为S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． (理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ↔N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k 57对一切n ↔N *都成立的最大正整数k 的值．第五章 数 列(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)z一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2010·黄冈模拟)记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ↔N *)”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143．(2009·辽宁高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( ) A ．2 B.73 C.83D ．3 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于 ( ) A ．－54 B.54 C.516 D.25165．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．7B ．8C ．15D ．166．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －1)·…·2·110n，则{a n }为 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．从某项后为递减 D ．从某项后为递增7．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S n n的前11项的和为( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－668．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝ ( ) A ．0 B.12 C.23D ．2 9．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 92a 11的值为 ( )A ．4B ．2C ．－2D ．－410．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数的正整数n 的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．511．(2010·平顶山模拟)已知{a n }是递增数列，对任意的n ↔N *，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则λ的取值范围是 ( ) A ．(－72，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－3，＋∞)12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 008项的和等于( ) A ．1 506 B ．3 012 C ．1 004 D ．2 008二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(2010·长郡模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时，若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．14．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－1(n ≥2)，则{a n }的通项公式为________． 15．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ↔N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________.16．(文)将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________． (理)下面给出一个“直角三角形数阵”：1412，1434，38，316…满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ↔N *)，则a 83＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列(n ↔N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n >57时n 的取值范围．18．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，前n 项和为S n ，且S n ＋2－(t ＋1)S n＋1＋tS n ＝0(n ↔N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)当12<t<2时，比较2n＋2－n与t n＋t－n的大小；(3)若12<t<2，b n＝2a n1＋a n，求证：1b1＋1b2＋…＋1b nn－2－n2.19．(本小题满分12分)(2010·黄冈模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a≠0)，不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a n}的前n项和为S n＝f(n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设各项均不为0的数列{c n}中，满足c i·c i＋1<0的正整数i的个数称作数列{c n}的变号数，令c n＝1－aa n(n↔N*)，求数列{c n}的变号数．20．(本小题满分12分)已知数列{a n}满足：a1＝1，a2＝1 2，且[3＋(－1)n]a n＋2－2a n＋2[(－1)n－1]＝0，n↔N*.(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a2n－1·a2n，求数列{b n}的前n项和S n.21．(本小题满分12分)已知各项都不相等的等差数例{a n}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公a n及前n项和S n；(2)若数列{b n}满足b n＋1－b n＝a n(n↔N*)，且b1＝3，求数列{1b n}的前n项和T n.22．(文)(本小题满分14分)已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)＝x2－x＋b，数列{a n}的前n项和S n＝f(n)(n↔N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＋log3n＝log3b n，求数列{b n}的前n项和T n；(3)设P n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，Q n＝a10＋a12＋a14＋…＋a2n＋8，其中n↔N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．(理)(本小题满分14分)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(a n＋2，S n＋1)在直线y＝4x －5上，其中n↔N*.令b n＝a n＋1－2a n，且a1＝1. (1)求数列{b n}的通项公式；(2)若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋b n x n，求f′(1)的表达式，并比较f′(1)与8n2－4n的大小．。
2021届高考数学热点题型训练：第5章 第1节 数列的概念与简单表示 Word版含解析
第一节 数列的概念与简洁表示考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1] 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[自主解答] (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的确定值总比它的前一项的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n－32n .【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．依据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n－12n .(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项确定值的分母组成数列{n }，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴a n ＝(－1)n 2＋－1nn.考点二由递推关系式求通项公式[例2] 依据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(4)a 1＝56，a n ＋1＝5a n4a n ＋1.[自主解答] (1)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝5a n4a n ＋1，∴1a n ＋1＝45＋15a n ， ∴1a n ＋1－1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 又1a 1－1＝15， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以15为首项，15为公比的等比数列，∴1a n －1＝15·15n －1＝15n ， ∴a n ＝5n 1＋5n .【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
高三一轮复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法
课时作业1．在数列{a n }中，a n ＝n 2－9n －100，则最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项【解析】 ∵a n ＝(n －92)2－814－100，∴n ＝4或5时，a n 最小．【答案】 D2．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)【解析】 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D ．【答案】 D3．(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A ．1B ．0C ．2 019D ．－2 019【解析】 ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 019＝a 1＝1．【答案】 A4．(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足：a n ＝{（3－a ）n －3，n ≤7a n －6，n >7(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1，3)D ．(2，3)【解析】 根据题意，a n＝f(n)＝{（3－a）n－3，n≤7a n－6，n>7，n∈N*，要使{a n}是递增数列，必有{3－a>0a>1（3－a）×7－3<a8－6，据此有：{a<3a>1a>2或a<－9，综上可得2<a<3．【答案】 D5．(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2－2n＋2，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－3 B．a n＝2n＋3C．a n＝{1，n＝12n－3，n≥2D．a n＝{1，n＝12n＋3，n≥2【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．【答案】 C6．(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，使a n＝－12的n可以是( )A．2 019 B．2 021C．2 022 D．2 023【解析】 由题意可知，a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，可得数列{a n}的周期为4，所以a2 019＝a3＝－12，a2 021＝a1＝2，a2 022＝a2＝－3，a2 023＝a3＝－12，所以使a n＝－12的n可以是2 019，2 023，故答案选AD．【答案】 AD7．(2022·石家庄二模)在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )A．8 B．6C．4 D．2【解析】 由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．【答案】 D8．(多选)已知数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，则下列各数是{a n}的项的有( )A．－2 B．2 3C．32D．3【解析】 ∵数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，∴a2＝11－(－12)＝23，a3＝11－a2＝3，a4＝11－a3＝－12＝a1，∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选BD．【答案】 BD9．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kB．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D．数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，n∈N*，则数列{a n}是递增数列【解析】 对于A，数列{n＋1n}的第k项为1＋1k，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{b n}，则其通项公式为b n＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝b n＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，a n＝nn＋1＝1－1n＋1，则a n＋1－a n＝1n＋1－1n＋2＝1（n＋1）（n＋2）>0，因此数列{a n}是递增数列，D正确．故选ABD．【答案】 ABD10．(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n＝________．【解析】 由已知得1a n＋1－1a n＝n，∴1a n－1a n－1＝n－1，1a n－1－1a n－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，∴1a n －1a1＝n （n －1）2，∴1an ＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2．【答案】 2n 2－n ＋211．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】 由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116． 【答案】 611612．数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】 在12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5中，用n －1代换n 得12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5 (n ≥2)，两式相减得12n a n ＝2，a n ＝2n ＋1，又12a 1＝7，即a 1＝14，故a n＝{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】 {14，n ＝1，2n ＋1，n ≥213．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n)．【解】 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1an ＝n ＋1．∴a nan －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…a 3a 2＝3，a 2a1＝2，a 1＝1． 累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n! 故a n ＝n!(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )，∴a n ＋1－a n ＝ln (1＋1n )＝ln n ＋1n．∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，∴a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【解】 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *． (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]，当n≥2时，a n＋1≥a n 12·(32)n－2＋a－3≥0 a≥－9．又a2＝a1＋3＞a1．综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依， 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
2015届高考数学总复习 第五章 第一节数列的概念与简单表示法课时精练 理
第五章 数列第一节 数列的概念与简单表示法1.设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项答案：B2．观察下列数：1,3,2,6,5,15,14，x ，y ，z ，…，则x ，y ，z 的值依次为( ) A ．13,39,123 B ．42,41,123 C ．24, 23,123 D ．28,27,123解析：观察各项可以发现：x 为前一项的3倍即42，y 为前一项减1即41，z 为前一项的3倍即123.故选B.答案：B3．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.138解析：由递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C.答案：C4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：由a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1知{a 2n }为等差数列，可得a 2n ＝n ，即a n ＝n .要使a n <5，则n <25.故选C.答案：C5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1 000＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1解析：由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…，以6为周期，由此可得a 1 000＝a 4＝－1.故选D.答案：D6．(2013·济宁质检)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0(n ∈N *)，故选C. 答案：C7．(2013·赤峰模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案：C8．(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009．已知数列{}a n 满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n的最小值为________．解析：∵a n ＝(a n －an －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2×[1＋2＋…(n －1)]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n ＝33n＋n －1. 设f (n )＝33n＋n －1，令f ′ (n )＝－33n2＋1>0，解得n >33，则f (n )在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)上单调递减．因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f (n )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212. 答案：21210. (2013·唐山模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则数列的通项a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝ (a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.答案：n 211．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：设a n ＋1＋x ＝2(a n ＋x )，解得x ＝3，所以{a n ＋3}是以2为公比，a 1＋3＝4为首项的等比数列，∴a n ＋3＝4·2n －1.∴a n ＝2n ＋1－3.答案：2n ＋1－312．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1(n ∈N *)，求{a n }的通项公式．解析：由题意，得S n ＝2n ＋1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，与上式不符．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.13．若数列A n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称A n为E 数列，记S (A n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个E 数列A 5满足a 1＝a 3＝0；(2)若a 1＝12，n ＝2 000，证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a n ＝2 011； (3)在a 1＝4的E 数列A n 中，求使得S (A n )＝0成立的n 的最小值．(1)解析：0,1,0,1,0是一个满足条件的E 数列A 5.(答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，± 1，0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1，0都是满足条件的E 数列A 5)(2)证明：必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1 999)． 所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a 2 000＝12＋(2 000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a 2 000－a 1 999≤1，a 1 999－a 1 998≤1，…，a 2－a 1≤1， 所以a 2 000－a 1≤1 999，即a 2 000≤a 1＋1 999.又因为a 1＝12，a 2 000＝2011，所以a 2 000＝a 1＋1 999.故a k ＋1－a k ＝1>0(k ＝1,2，…，1 999)，即A n 是递增数列． 综上所述，结论得证．(3)解析：对首项为4的E 数列A n ，由于 a 2≥a 1－1＝3， a 3≥a 2－1≥2， …a 8≥a 7－1≥－3， …所以a 1＋a 2＋…＋a k >0(k ＝2,3，…，8)． 所以对任意的首项为4的E 数列A n ， 若S (A n )＝0，则必有n ≥9.又a 1＝4的E 数列A 9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S (A 9)＝0，所以n 的最小值是9.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解析：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1na n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1n a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n (n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n2，n ≥2.(2)∵a n ＝n2＝2 013，∴n ＝4 026.。
第一节 数列的概念及简单表示法
≥2)时,用累乘法求解.
栏目索引
变式3-1
若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=
n
n
1
an”,如何
求解?
解析
∵an+1=
n
n
1
an,
∴ an1 = n ,
an n 1
∴an= an ·an1 ·an2 ·…·a3 ·a2 ·a1
an1 an2 an3
a2 a1
= n 1·n 2 ·n 3 ·…·1 ·2=2 .
栏目索引
1.已知n∈N*,给出4个表达式:①an=
0, n为奇数, 1, n为偶数,
②an=1
(1)n 2
,③an=
1 cos n ,④an= sin n .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的
2
2
是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
答案 A 检验知①②③都可以是所给数列的通项公式.
∴ 1 = 1 + 1 ,即 1 - 1 = 1 ,
an1 an 2 an1 an 2
又a1=2,则 1 = 1 ,
a1 2
∴
1 an
是以
1 2
为首项,
1 2
为公差的等差数列.
∴ 1 = 1 +(n-1)× 1 = n ,
an a1
22
∴an= 2 .
n
栏目索引
变式3-4 若将本例中的条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解? 解析 ∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2. 故an+2-an=2, 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第一节数列的概念与简单表示法 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第一节数列的概念与简单表示法年份 题号 分值所考查的知识点 11 5等差数列的前n 项和及项数问题及数列的综合应用．1．在复习数列的概念时，应注意：(1)数列是以正整数为自变量的一类特殊函数；(2)并不是所有的数列都能用通项公式表示，有的数列的通项公式不是唯一的；(3)运用递推关系求数列通项公式时，可用特殊到一般的方法找出规律，也可将数列转化为等差或等比数列求解；(4)在an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2中，要特别注意n ＝1的情况．2．在复习等差数列、等比数列时，应注意：(1)等差、等比数列的定义在解题中的应用；(2)等差、等比数列的中项公式、通项公式和求和公式的使用方法；(3)灵活处理数列与不等式、函数相结合的综合问题．这些是广东高考要考查的重点和热点．预计2014年高考对该部分内容的考查，会以两种形式出现，一种以小题考查通项公式、递推关系、数列求和等问题，属中等题；一种是在大题中将数列问题与函数、不等式结合在一起进行综合考查，属难题．第五章数列根据上述分析、预测，复习中应注意：1．数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决，如通项公式、前n 项和公式等．2．运用方程的思想解等差(比)数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，d (或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q＝1和q≠1两种情况等．4．等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外．如an与S n的转化，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习时，要及时总结归纳．5.深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．切实抓好两个“特殊数列”的通项公式和前n项和公式的推导过程及方法．6．解题要善于总结基本数学方法．如迭代法、逐差(积)求和(商)法、裂项相消法、观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法等，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．第一节数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．二、通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an＝f(n)．数列的实质是定义域为正整数集N*(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．通项公式an＝f(n)即为函数的解析式．其中项数n相当于自变量，项an相当于函数值．三、递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2，…)，那么这个式子就叫做数列{an}的递推公式．如数列{an}中，a1＝1，an＝1＋2an－1，其中式子an＝1＋2an－1就是数列{an}的递推公式．四、数列的表示1．列举法：如1,3,5,7,9，…2．图解法：由(n，an)点构成．3．解析法：用通项公式an＝f(n)表示，如an＝2n＋1.4．递推法：用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a1＝1，an＝1＋2an －1.五、数列分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列．六、数列{an }的前n 项和S n S n ＝a 1＋a 2＋…＋an .注：前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋an －1＋an ＝g (n )也为n 的函数． 七、数列{an }的前n 项和S n 与通项an 的关系an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.注：如果求出的a 1也满足n ≥2时的an ，则可统一写成同一个关系式，否则分段书写． 八、数列中最大、最小项的求法若an 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ an ≥an ＋1，an ≥an －1；若an 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧an ≤an ＋1，an ≤an －1，考虑数列的单调性．1．(2012·江门市一模)已知数列{}an 的前n 项和S n ＝n 2－3n ，若它的第k 项满足2<ak <5，则k ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：ak ＝S k －S k －1＝k 2－3k －[(k －1)2－3(k －1)]＝2k －4，依题意有2<2k －4<5，得k ＝4.故选C.答案：C2．(2012·天津一中月考)已知数列a 1＝1，a 2＝5，an ＋2＝an ＋1－an (n ∈N *)，则a 2 014＝( )A ．1B ．－4C ．4D ．－1解析：逐项计算可知，{an }是周期为6的周期数列，前6项分别是1,5,4，－1，－5，－4，所以a 2 014＝a 2 010＋4＝a 4＝－1.故选D.答案：D3．(2012·温州中学月考)已知数列{}an 中，a 1＝4，an ＝4n －1an －1(n >1，n ∈N )，则通项公式为________．解析：由an ＝4n －1an －1可得a 2＝4a 1，a 3＝42a 2，a 4＝43a 3，…，an ＝4n －1an －1，上述n －1个等式相乘，得an ＝41＋2＋…＋(n －1)a 1＝2n 2－n ＋2. 答案：2n 2－n ＋24．(2012·浙江高考参考样卷)设S n 是数列{an }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n S n －1(n ≥2)，则S n ＝________.解析：由an ＝S n －S n －1(n ≥2)，得S n －S n －1＝－S n S n －1，即1S n －1S n －1＝1，又∵1S 1＝1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S 是以1S 1＝1为首项，公差d ＝1的等差数列．∴1S n ＝1S 1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝1n .答案：1n►品味高考1．(2012·浙江卷)设公比为q (q >0)的等比数列{an }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：将S 4＝3a 4＋2，S 2＝3a 2＋2两个相减，得a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，根据等比数列的通项公式化简得，2q 2－q －3＝0，解之得：q ＝32(舍去q ＝－1)．答案：322．(2011·浙江卷)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.解析：最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0.∴⎩⎨⎧k 2≥10，1－10≤k ≤1＋10.又∵k ∈N *，∴k ＝4. 答案：4►高考预测1．(2012·济南市月考) 已知数列{an }满足a 1＝36，an ＋1＝an ＋2n, 则ann的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：∵ an ＋1－an ＝2n ，∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋36＝n (n －1)＋36，∴an n ＝n 2－n ＋36n ＝n ＋36n －1≥2n ·36n －1＝11.故选B. 答案：B2．(2012·粤西北九校联考改编)在数列{an }中，a 1＝13，S n 为数列{an }的前n 项和且S n＝n (2n －1)an ，则an ＝________.解析：∵S n ＝n (2n －1)an ，S n －1＝(n －1)(2n －3)an －1(n ≥2)，两式相减得(2n ＋1)an ＝(2n－3)an －1(n ≥2)，由累乘方可得an ＝14n 2－1，而a 1＝13也满足上式．答案：14n 2－1。
第五章第1讲数列的概念与简单表示法 - 副本
第1讲 数列的概念与简单表示法1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)(3)如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 1．已知数列{an }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( )A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }中的第2项C ．只是数列{a n }中的第6项D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________．答案：851．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2）.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1，a 1不适合此等式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2 4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)解析：法一：令f (x )＝x x ＋1，则f (x )＝1－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{a n }是递增数列．法二：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＞0，∴a n ＋1＞a n ，∴数列{a n }是递增数列． 答案：递增考点一__由数列的前几项求数列的通项________写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋（－1）n n 也可写为a n ＝⎩⎨⎧－1n ，n 为奇数，3n，n 为偶数.[规律方法] 用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．1.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9，99，999，9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小数为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1）.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.考点二__由a n 与S n 的关系求通项a n (高频考点)__a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考查常有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ；(2)利用a n 与S n 的关系求S n .(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －1(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n .①若S n ＝2n 2－3n ，求a n ； ②若S n ＝3n ＋b ，求a n .[解析] (1)由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.[答案] B(2)解：①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.若本例(1)中，结论改为求a n ，如何求解？解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1a n ＝32，又由S 1＝2a 2，得a 2＝12，∴{a n }是从第2项开始的等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *.[规律方法] 已知S n 求a n 的三个步骤： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．2.(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋1，则它的通项公式a n ＝________．(3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：(1) 法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1），3×4n －2（n ≥2）.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44. (2)∵a 1＝S 1＝12－1＋1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n ＋1)－[(n －1)2－(n －1)＋1]＝2n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1）2n －2 （n ≥2）. (3)当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－(23a n －1＋13)＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.答案：(1)A (2)⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1）2n －2 （n ≥2） (3)(－2)n －1考点三__由递推公式求数列的通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．[解] (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2， 所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n ＝n .[规律方法] 由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如a n ＝pa n －1＋m (p 、m 为常数，p ≠1，m ≠0)时，构造等比数列；形如a n ＝a n －1＋f (n )({f (n )}可求和)时，用累加法求解；形如a na n ＋1＝f (n )({f (n )}可求积)时，用累积法求解．3.(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），求a n ；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求a n . 解：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n. (2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2. (2014·高考课标全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．[解析] ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.[答案] 12[名师点评] (1)本题是数列与周期函数的交汇，解答此类问题的思路是由递推关系推出数列的周期性，在本题中由a n ＋1＝11－a n推出周期为3，由a 8＝a 2＝2，即可求出a 1. (2)数列是一个特殊的函数，具有函数的一般性质，如单调性、周期性、最值等．1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C. 2．(2015·海南三亚模拟)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )A ．16项B ．24项C ．26项D ．28项 解析：选C.因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A ．5 B.72 C.92 D.132解析：选B.∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 4．(2015·吉林普通中学摸底)已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：选 B.数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2×（－2）≤1，即λ≤4.5．(2015·云南昆明一中开学考试)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2解析：选A.因为数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，a 8＝3，…，由此可知数列中各项满足a n ＋6＝a n ，且a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝0.故a 100＝a 4＝－1，S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5.6．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.答案：107．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________． 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：88．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积，已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案：289．已知a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，a 1＝1.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 1＋11×2＝32，a 3＝a 2＋12×3＝53，a 4＝a 3＋13×4＝74，a 5＝a 4＋14×5＝95.(2)猜想a n ＝2n －1n .证明如下：由已知得a 2－a 1＝12×1，a 3－a 2＝13×2，…a n －a n －1＝1n （n －1），所以a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n （n －1）.从而a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n .10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n . 因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .11．(选做题)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎨⎧23（n ＝1）1n（n ≥2）.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0，∴{c n }是递减数列．。
高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件 文
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表： 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之 和，则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
（基础送分型——自主练透）
1．数列的分类
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
1.有限 无限 > < 2．序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征，并对此进行归纳、猜想； ⑤若给出图示，充分结合图示分析规律． 2．由数列的前几项求通项时，数列的通项公式不唯一．
突破考点 02
Sn与an的关系
（高频考点型——多维探究）
数列的前n项和通常用Sn表示，记作____出下列各数列的一个通项公 式：
①－1,7，－13,19，… ②0.8,0.88,0.888，… ③1,0，13，0，15，0，17，0，… ④32，1，170，197，…
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答案： 答案： B
3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． ．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－ － ，－ ，－13,19，… ， (2)0.8,0.88,0.888，… ， 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，… 2 4 8 16 32 64 (4)0,1,0,1，… ，
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24， ， 各项的分母分别为 … 易看出第 2,3,4 项的 2－3 － 绝对值的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 2 ， 因此把第 项变为－ 23 － 3 24 － 3 21－3 22－3 至此原数列已化为－ 至此原数列已化为－ 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，…， 2n－3 ∴an＝(－1)n· 2n . －
解：(1)∵an＝an－1＋3n－1， ∵ ∴an－1＝an－2＋3n－2， an－2＝an－3＋3n－3， … a2＝a1＋31， 以上(n－ 个式子相加得 以上 －1)个式子相加得 3n － 1 an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝ . ＋ ＋ 2 n－1 － (2)∵an＝ n an－1(n≥2)， ∵ ≥ ，
1
解析： 数列奇数项相同， 解析：∵an＋2＝－ ＝a ，∴数列奇数项相同，偶数 an＋1 n 项相同， 项相同，∴a2 011＝a1＝2.
1
答案： 答案： C
an 3． 数列{a 中 若 a ． 数列 n}中， an＋1＝ ， ＝1， a6 等于 ， 则 等于( 2an＋1 1 A．13 ． C．11 ． 1 B. 13 1 D. 11
符号问题可通过(－ 表示， 解：(1)符号问题可通过 －1)n 表示，其各项的绝对值的 符号问题可通过 排列规律为： 排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6， ， 故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． － － ． 8 8 8 (2)将数列变形为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)， ， 将数列变形为 － ， － ， － ， … 9 9 9 8 1 ∴an＝ (1－ n)． － ． 9 10
三、数列与函数的关系 正整数集N*(或 的 1．从函数观点看，数列可以看成是以 正整数集 或N*的 ．从函数观点看， 有限子集{1,2,3，…，n}) 为定义域的函数 n＝f(n)， ， 有限子集 为定义域的函数a ， 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列 函数值 ． 2．数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示 ．数列同函数一样有解析法、图象法、 方法． 方法．
[究 疑 点] 究 数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？ 数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？
提示：不唯一，如数列－ 1,1，－ ，…的通项公式可以 ，－1,1，1) 或 － 项公式． 项公式．
n
－1 (n为奇数) 为奇数) 为奇数 an＝ 1 (n为偶数) 为偶数) 为偶数
四、数列的通项公式 序号n 如果数列{a 的第 的第n项 如果数列 n}的第 项an与 序号 之间的关系可以用 一个公式a 来表示， 一个公式 n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的 来表示 通项公式． 通项公式． 五、数列的递推公式 如果已知数列{a 的首项 或前几项)， 任一项a 的首项(或前几项 如果已知数列 n}的首项 或前几项 ，且 任一项 n 与 它的前一项a － 或前几项)间 它的前一项 n－1(n≥2)(或前几项 间 的关系可用一个公 或前几项 式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
(2)由 an＝2an－1＋1， 由 ， 得 an＝2an－1＋1＝2(2an－2＋1)＋1＝22an－2＋(1＋2) ＝ ＋ ＝ ＋ ＝22(2an－3＋1)＋(1＋2)＝23an－3＋(1＋2＋22)＝… ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 1－2n－1 － n－1 2 n－2 n－1 ＝2 a1＋(1＋2＋2 ＋…＋2 )＝2 ＋ ＋ ＋ ＝ ＝2n－1， ， 1－2 － 即 an＝2n－1.
[题组自测 题组自测] 题组自测 1． ． 已知数列{an}中， 1＝2， n＋1＝an＋n， a7 为( a 已知数列 中 a ， ， 则 A．8 ． C．23 ． B．12 ． D．29 ． )
答案： 答案：C
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－ ．已知数列 (n≥2)，则 a2 011 中 ， ≥ ， an－1 等于 1 A．－ ．－2 C．2 ． 1 B. 2 D．－ ．－2 ．－ ( )
注意：根据数列的前 项写出数列的一个通项公式是不完全 注意：根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全 归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想， 归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归 纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符 纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验， 号变化，可用 － 号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． － ＋ 来调整．
n－2 － an－2， ∴an－1＝ n－1 － … 1 a2＝ a1， 2 以上(n－1)个式子相乘得 以上 － 个式子相乘得 － 1 2 n－1 a1 1 an＝a1· · ·…· n ＝ n ＝n. 23… 1 1 (3)法一：由已知 an＝ an－1＋1 得(an－2)＝ (an－1－2) 法一： 法一 ＝ 2 2 1 ＝－1 ∴{an－2}是以 a1－2＝－ 为首项，以 q＝ 的等比数列． 是以 ＝－ 为首项， ＝ 的等比数列． 2
1 1－( )n － 2 1 2－ . 1 ＝ －2n－1 1－ － 2 1 法三： 法三：由已知得 an＋1＝ an＋1， ， 2 1 an＋2＝ an＋1＋1， ， 2 1 ②－①得 an＋2－an＋1＝ (an＋1－an)， ， 2 1 1 ∴{an＋1－an}是以 a2－a1＝ 为首项，公比为 q＝ 的等比数列． 是以 为首项， ＝ 的等比数列． 2 2 ① ②
由下列数列{a 的递推关系式求数列 的递推关系式求数列{a 的通项公式 的通项公式． 由下列数列 n}的递推关系式求数列 n}的通项公式． (1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)； ， ； － (2)a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)． ， ． －
由题意得， 解：(1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…， 由题意得 ， － ， a3－a2＝3，a2－a1＝2. ， 将上述各式累加得， 将上述各式累加得，an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，即 ＋ － ＋ ＋ ， n(n＋1) ( ＋ ) an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝ ， 2 n(n＋1) ( ＋ ) . 故 an＝ 2
，有的数列没有通
[题组自测 题组自测] 题组自测 2 3 4 5 1．数列 1， ， ， ， ，…的一个通项公式 an 是( ． ，3 5 7 9 n A. 2n＋1 ＋ n C. 2n－3 － n B. 2n－1 － n D. 2n＋3 ＋ )
1 2 3 解析：由已知得， 解析：由已知得，数列可写成1，3，5，…， n . 故通项为 2n－1 －
1 n－1 1 ∴an－2＝(a1－2)( ) ＝－ n－1 ＝ 2 2 ∴an＝2－ n－1. － 2 法二：由已知得： 法二：由已知得： 1 11 1 1 an＝ an－1＋1＝ ( an－2＋1)＋1＝( )2an－2＋ ＋1 ＝ ＋ ＝ 2 22 2 2 121 1 ＝( ) ( an－3＋1)＋ ＋1 ＋ 2 2 2 13 12 11 ＝( ) an－3＋( ) ＋( ) ＋1 2 2 2 1 － 1 1 － ＝…＝( )n 1a1＋( )n 2＋…＋ ＋1 2 2 2 1
1 1 n－1 1 n ∴an＋1－an＝2(2) ＝(2) ， 1 n－1 ∴an－an－1＝(2) (n≥2)， ≥ ， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＋ ＋ ＋ 1 1 1 ＝ n－1＋ n－2＋…＋2＋1＝2(1－2n)＝2－ n－1. ＝ － ＝ － 2 2 2 1 1
)
an 解析： 解析：∵an＋1＝ ，a1＝1， ， 2an＋1 1 1 1 1 1 ∴a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ ，a6＝ . 3 5 7 9 11
答案： 答案：D
4．由下列数列的递推关系式求数列{an}的通项． ．由下列数列的递推关系式求数列 的通项． 的通项 (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； ， ≥ ； n－1 － (2)a1＝1，an＝ n an－1(n≥2)； ， ≥ ； 1 (3)a1＝1，an＋1＝ an＋1. ， 2
答案： 答案： B
2．数列 2， 5，2 2，…，则 2 5是该数列的 ． ， ， ， 是该数列的 A．第 6 项 ． C．第 10 项 ． B．第 7 项 ． D．第 11 项 ．
(
)
解析：原数列可写成 2， 5， 8，…， 解析： ， ， ， ∵2 5＝ 20，∴20＝2＋(n－1)×3， ＝ ， ＝ ＋ － × ， ∴n＝7. ＝
二、数列的分类 分类原则 按项数分 类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项 间的 大小关系 分类 摆动数列 递减数列 常数列 满足条件 项数 有限 项数 无限 an＋1 > an ＋ an＋1 < an ＋ an＋1＝an ＋ 从第二项起， 从第二项起，有些项大 于它的前一项， 于它的前一项，有些项 小于它的前一项 其中n∈ 其中 ∈N*
数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 列 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列 了解数列的概念和几种简单的表示方法 表、图象、通项公式)． 图象、通项公式 ． 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函 数．
[理 要 点] 理 一、数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的 排列着的一列数称为数列， 每一个数叫做这个数列的 项 ．排在第一位的数称为 这个数列的第1项 通常也叫做 这个数列的第 项(通常也叫做 首项 )． ．