8.2.3事件的相互独立性(优质课)
事件的相互独立性(优秀经典公开课课件)
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 (－A BC)∪(A－B C)∪(AB－C )表示． 由于事件－A BC，A－B C 和 AB－C 两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为 P(－A BC)＋P(A－B C) ＋P(AB－C )＝P(－A )P(B)P(C)＋P(A)P(－B )P(C)＋P(A)P(B)P(－C ) ＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]·P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329.
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( ) (3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件．( ) (4)互斥事件是相互独立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
第十章 概率 10.2 事件的相互独立性
学业标准
素养目标
1．结合有限样本空间，了解两个随机事 1．通过学习两个随机事件独立性的含
件独立性的含义．
义，培养学生数学抽象素养．
2．结合古典概型，利用独立性计算概 2．通过利用随机事件的独立性计算概
率．(重点、难点)
新人教版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》教案
事件的相互独立性【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．事件的相互独立性的定义是什么？2．相互独立事件有哪些性质？3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？二、基础知识1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B － ，A － 与B ，A － 与B －也都相互独立．■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．（2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）．三、合作探究1．相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P （A ）＝12，P （B ）＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P （A ）P （B ），所以事件A ，B 不相互独立．（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P （A ）＝68＝34，P （B ）＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P （A ）P （B ）成立．从而事件A 与B 是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的两种方法（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；（2）定义法：通过式子P (AB )＝P （A ）P （B ）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断.2．相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A － )＝0.2，P (B － )＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A － BC )＋P (A B － C )＋P (AB C － )＝P (A － )P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B － )P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C － )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A － B － C － )＝1－P (A － )P (B － )P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B － C － )＋P (A － B C － )＋P (A － B － C )＝P （A ）P (B － )P (C － )＋P (A － )P （B ）P (C － )＋P (A － )P (B －)P（C ）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P （A ）P （B ）P （C ）＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P （A ），P （B ），那么：（1）A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B ．（2）A ，B 都发生为事件AB ．（3）A ，B 都不发生为事件A － B －.（4）A ，B 恰有一个发生为事件A B － ＋A －B ．（5）A ，B 中至多有一个发生为事件A B － ＋A － B ＋A － B －.它们之间的概率关系如表所示：A ，B 互斥A ，B 相互独立P (A ＋B )P （A ）＋P （B ）1－P (A － )P (B － )P (AB )0P （A ）P （B ）P (A B )1－[P （A ）＋P （B ）]P (A － )P (B －)3．相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P （A ）＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.（2）P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.概率问题中的数学思想（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P （A ）＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．四、课堂检测1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A ．49B ．29C ．23D ．13解析：选A ．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.2．已知A ，B 是相互独立事件，且P （A ）＝12，P （B ）＝23，则P (A B － )＝________；P (A －B －)＝________．解析：因为P （A ）＝12，P （B ）＝23.所以P (A － )＝12，P (B － )＝13.所以P (A B － )＝P （A ）P (B － )＝12×13＝16，P (A － B － )＝P (A － )P (B － )＝12×13＝16.答案：16163．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3．（1）第3次才接通电话可表示为A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1－ A 2－ A 3)＝910×89×18＝110.（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－ A 2)＋P (A 1－ A 2－A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。
课件事件的相互独立性省莱州市-中学_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
与 ， 与 ， 与 也相互独立。
【答案】①1/12 ② 1/2
【例3】某城市有甲乙丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点
用ξ表示离开该城市游览景点数与没有游览景点数之差的绝对值
9 (1)求两人都中的概率；
点评：①独立关系概率相乘；
点评：①独立关系概率相乘；
【答案】(1)0.72
②“至少…”考虑对立面，用减法更佳。 (2)0.26 (3)0.98
第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.
析 】
【牛刀小试】
【答案】A
【学以致用】
甲乙两人独立破译密码的概率分别为 1 , 1 第二局中乙胜丙(A2),其概率为0. 3 4 能运用公式解决实际问题，掌握解决概率问题的步骤.
相互对立事件的定义你理解了吗？
点再评确： 定①①各独事立件甲关会系同乙概时率发两相生乘。人； 都译出密码的概率为_____；
【答案】①1/12 ② 1/2
【知识应用】 应用一：相互独立事件同时发生的概率
【例1】甲乙两名运动员独立地射击同一目标，甲射中的概率
为0.8，乙射中的概率为0.9 用ξ表示离开该城市游览景点数与没有游览景点数之差的绝对值
【类题通法】——求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)求两人都中的概率；
(2)恰有1人射中的概率； 概率乘法公式：若A、B互独
P ( A1·A2……An ) = P(A1)·P(A2)……P(An) 掌握相互独立事件的乘法公式；
4,乙队胜丙队的概率为0. 【答案】①1/12 ② 1/2 用ξ表示离开该城市游览景点数与没有游览景点数之差的绝对值 第四局中乙胜丙(A4),其概率为0. 首先确定各事件是相互独立的。
【目标】
1.通过实例了解相互独立事件的概念；
事件的相互独立性 课件
球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一
性，A，B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
2.(1)家庭中有两个小孩,小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男,
男)，(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性
知概率各为 1.此时,A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),
事件的相互独立性
事件的相互独立 (1)相互独立的概念 设A,B为两个事件,则事件A与事件B相互独立的条件是： P(AB)=_P_(_A_)_P_(_B_)_. (2)相互独立的性质 如果事件A与B相互独立,则A与_B_，_A_与B， A与B 也都相互独立.
1.若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)？
事件相互独立性的判断
三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
【典例训练】 1．下列事件中，A，B是独立事件的是( ) (A)一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面} (B)袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到 白球}，B＝{第二次摸到白球} (C)掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数} (D)A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
提示：如果事件A与事件B相互独立,则有P(B|A)=P(B),又
PB | A P从PA而ABP ,(AB)=P(A)·P(B|A)=P(A)P(B),即
P(AB)=P(A)·P(B)是事件A，B相互独立的充要条件.
2.一个篮球运动员投篮1次命中的概率是0.6，事件A为“第一 次没有命中”，事件B为“第二次命中”，则在事件A发生的条 件下事件B发生的概率是多少？事件A的发生会影响事件B发生 的概率吗？ 提示：因为事件A与B相互独立，故在事件A发生的条件下事件 B发生的概率不变，依然是0.6；事件A的发生不影响事件B发 生的概率.
事件的相互独立性(共21张PPT)
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
第4节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
再求事件 AB 包含的样本点个数 n(AB),得
()
P(B|A)=
()
缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩
下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简
[对点训练 2](1)(2024·重庆万州模拟)某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾
9
7
客量超过 1 万人次的概率是 ,连续两天顾客量超过 1 万人次的概率是 ,该地
P(B|A)+P(C|A)
(3)设与 B 互为对立事件,则 P(|A)=1-P(B|A)
微思考P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗?
提示 不同.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)
表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.另外从计算公式上看,
()
=
1
;
8
比赛进行五局,有以下 6 种情况:
AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,BCAAA,
1 1
1 1 1
3
甲获胜的概率为2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×6=16;
比赛进行七局,有以下 8 种情况:
AABCCBA,AABBCCA,ACBBCAA,ACBACBA,ACCABBA,BBACACA,BCAACBA,
P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件
1.事件的相互独立性
事件 A 与事件 对任意的两个事件 A 与 B,如果 P(AB)=P(A)P(B)成立,则
B 相互独立
称事件 A 与事件 B 相互独立,简称为独立
性质
若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与, 与 B,与也都
相互独立
20
事件的相互独立性【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件1
提示:P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=
=.
3.P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?事件A与事件B是否相互独立? 提示:P(AB)=P(A)P(B).由独立性的定义知,事件A与事件B相互独立.
判断两个事件是否相互独立的方法 1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
为(1)互甲斥组事有件甲3名,所、男以生乙恰、有两21名个个女人生人译,乙出独组密有立码2的名地概男破率生为、译P3(一名A 女个∪生 ,密现B从)码=甲P(,、A他 乙们)两+P组能( 中B译各)=选出1名密同码学参的加概演讲率比分赛,别“从甲为组中选和出1名男,求生”:与“从乙组
中选出1名女生”;
P(AB)= .由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互独立.
判断事件的独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球,乙箱里装有2个白球、2个黑球.从这两个箱子 里分别摸出1个球,记事件A为“从甲箱里摸出白球”,事件B为“从乙箱里摸出白 球”.
1.事件A发生与否影响事件B发生的概率吗? 提示:不影响. 2.P(A),P(B),P(AB)的值分别为多少?
解析 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件发生与否不影响乙组中的试验结果, 因此对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互 独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,不放回再取一球”,画树状图得相关事件的样本点数.
设“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”为事件A,“从剩下的7个球中任意取
相互独立的性质
事件的相互独立性 课件
【解】 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事 件“观众乙选中 3 号歌手”， 则 P(A)＝CC1223＝23， P(B)＝CC2435＝35. 因为事件 A 与 B 相互独立， 所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B )＝P(A)·P( B )＝P(A)·[1－P(B)] ＝23×25＝145.
探究点 1 相互独立事件的判断 判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独
立事件？ (1)掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”，事件 N： “出现的点数为偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点”；事件 B：“出 现 3 点或 6 点”； (3)袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次有放回地摸 两球，事件 M：“第一次摸到白球”，事件 N：“第二次摸到 白球”．
P(X＝2)＝P(A B C)＋P(－A BC)＋P(A－B C)
＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3735，
P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1785，
所以 X 的分布列为
X012 3
P
4 20 33 75 75 75
18 75
判断两个事件是否独立的两种方法 (1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件 发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事 件； (2)定义法：通过式子 P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独 立，若上式成立，则事件 A，B 相互独立，这是定量判断.
探究点 2 相互独立事件同时发生的概率 甲、乙 2 个人独立地破译一个密码，他们能译出密码
(3)“至多 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都译出密 码”， 所以至多 1 个人译出密码的概率为： 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×14＝1112.
823事件的相互独立性(优质课)分解
那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
P( A B C) P( A) P(B) P(C) 0.5 0.45 0.4 1.35
P( A B C) P(D) ①事件的概率 因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛不亮可了能！ 大于1
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例 例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中 以下事件的概率：
（1）“都抽到中奖号码”；
P(AB) P(A)P(B | A)
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛 亮”。
我们是如何来理解这句话的？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题； ②公事式件CP：(A老 B三解C)出 问P(A题) ；P事(B件) DP(：C)诸葛亮运解用出问题
(1)A发生且B发生且C发生
P( ABC )
(2)A不发生且B不发生且C不发生
P( ABC )
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
你认同以上的观点吗？
“事件的相互独立性说课稿
事件的相互独立各位评委、各位老师，大家好。
我是张彬今天，我说课的内容是《事件的相互独立》。
下面我将从教材分析、核心素养及教学目标、教学的重难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学反思七个方面来说解。
一、教材分析本节选自人教版A版必修二的第十章第二节。
在已学古典概型，互斥事件和对立事件的基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，它的主要作用是简化概率计算、相互独立事件同时发生的概率是典型的概率模型。
将复杂问题分解为这种基本形式，是处理概率问题的基本方法。
同时为伯努利试验和二项分布的学习作铺垫.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。
高考方向⼆、核心素养及教学目标根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下核心素养角度：1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念确定本节课的教学目标1.了解独立性的概念, 从对独立性的感性认识 (直观判断) 过渡到独立性的定义2. 了解并会应用独立性的判定 P (AB) =P (A)P (B)3. 会对实例进行分析，应用独立性性质对概率问题的解决和应用.三、教学的重难点1、教学重点：独立事件同时发生的概率2、教学难点：独立事件的判定及概率计算我通过“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的概率故事，引起学生兴趣，并利用独立性概念的判定 P (AB) =P (A)P (B) ，用小组讨论发现其中存在的问题，求出独立事件发生的概率。
再通过课堂练习和课后练习，加深对独立事件公式的理解和应用四、学情分析1学习状况：学生已经学习和了解了古典概型，互斥事件，对立事件2学生情况：学生对独立性有了感性认识学习，对独立性的定义这样抽象的理论难免会存在无法完全接受的现象，但是总体还是乐观学习3解决对策：通过实际例子直观理解、激发兴趣、分层兼顾五、教法与学法1、教法：在教学过程中，不仅仅要使学⽣“知其然”，还要使学⽣“知其所以然”。
事件的相互独立性 课件
相互独立事件同时发生的概率的计算
【例3】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲 射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少有一人射中的概率； (4)两人中至多有一人射中的概率． 【解题探究】记“甲射击一次，击中”为事件 A，“乙射 击一次，击中”为事件 B，则 A 与 B 相互独立，进而 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
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判断事件是否独立，可由事件本身的性质看是否相互影 响，从而得出相互独立与否，在不易直接判断各事件间是否相 互影响时，一般都采取计算概率的方法判断，此外，还应把相 互独立事件同互斥事件、对立事件区别开．
互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨析
【例2】 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老 K”，B＝“抽得红牌”，C＝“抽到J”，判断下列每对事件 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(2)从一副牌(52 张)中任取一张，抽到老 K 就不可能抽到 J， 抽到 J 就不可能抽到老 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生， A 与 C 互斥，因为抽不到老 K 不一定就抽到 J，故 A 与 C 不是 对立事件(A 与 C 不相互独立)．
8
解决相互独立问题关键在于找准并设出相互独立的事件， 若从正面比较难解答，可考虑其对立事件的概率，这样可减少 运算量，提高准确率．
事件相互独立性的判断
【例1】 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩 是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一 个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独 立性：
(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 【解题探究】可利用独立事件的意义以及独立事件概率公 式来判定．
高中数学(新人教A版)必修第二册：事件的相互独立性【精品课件】
2 5
，
34，13”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为2110，两人都
被选中的概率为130，丙被选中的概率为13”，求恰好有2人被选
中的概率．
解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝2110，
①
P(A)P(B)＝130，
②
由①②知P(A)＝25，P(B)＝34，或PA＝34，PB＝25 故恰有2人被选中的概率P＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝2630.
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生， 对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记 A＝“出现偶数点”，B＝“出现 3 点或 6 点”，则 A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，
AB＝{6}，所以 P(A)＝3＝1，P(B)＝2＝1，P(AB)＝1，
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也 有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此 (A B )＋( A B)可简写为A B ＋ A B.
知识点一 事件独立性的判断 [例 1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生” 与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任 意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的还是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得 1 号纸片”
8.2.3事件的独立性PPT课件
例4 幸运抽奖活动中，中奖的比例是1%，计算 （1）随机抽取一张，没中奖的概率p；P=0.99
（2）有放回的随机抽取n=100张，没中奖的概率pn;
（3）有放回的随机抽取n=100张，至少一次中奖的概率。
课堂练习
1 、一服装店出售标价为180元的夹克，售货员对前来问 价的顾客以180元推销成功的概率是0.8，如果一小时内 有两位顾客前来问价，计算售货员对这两位顾客都推销 成功的概率。 2 、李浩的棋艺不如张岚，李浩每局赢张岚的概率是0.45， 假设他们下棋时各局的输赢是独立的， （1）计算他们的3局中李浩至少赢1局的概率； （2）计算他们的6局中李浩至少赢1局的概率；
教学目标：
1 在具体情境中了解两个事件相互独立的概率，并能用相互独 立事件同时发生的概率计算公式解决一些简单的实际问题； 2 掌握相互独立事件同时发生的概率公式，会处理较为复杂的 概率计算，培养学生分类讨论思想、 3 培养学生分析问题解决问题的能力，会利用学过的数学工具 解决问题，体会数学魅力、
教学重点：理解事件A、B独立的概念，并能运用相互独立事件
P A1∩A2 ∩…∩An = P A1 P A2 …P An
事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念， 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生，两个事件相 互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概 率没有影响．一般地，如果事件 A与 B相互独立，那么A 与 B ，A 与 B， A与B 也都是相互独立的．
的概率乘法公式解决实际问题、
教学难点：能运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题、
【引例（】1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球， 设摸到一个球是白球的事件为A ，摸到一个球是黑 球的事件为B ，问A 与 B是互斥事件呢，还是对立 事件？
课件8：2.2.2 事件的相互独立性
变式 本题中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概 率是多少？ 解：解法一：记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中 的一种”，则事件 E 包括－A B，A－B ，AB，且它们彼此为 互斥事件． 所以 P(E)＝P(－A B＋A－B ＋AB)＝P(－A B)＋P(A－B )＋P(AB) ＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
由于 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝23， 故 P(C)＝P(A1A2A3 A4 ∪ A1 A2A3A4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 )＋P( A1 )P(A2)P(A3)P(A4) ＝233×13＋13×233＝1861.
(3)记事件 Bi 表示“乙第 i 次射击击中目标”(其中 i＝ 1,2,3,4)，并记事件 D 表示“乙在第 4 次射击后终止射击”， 则 D＝B1B2 B3 B4 ∪ B1 B2 B3 B4 ，且 B1B2 B3 B4 与 B1 B2 B3 B4 是互斥事件． 由于 B1，B2，B3，B4 之间相互独立， 所以 Bi 与 Bj (i，j＝1,2,3,4，且 i≠j)之间也相互独立． 由于 P(Bi)＝43(i＝1,2,3,4)，
(4)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若前一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发 生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发 生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互 独立事件，也不是互斥事件．
【解析】 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目 标是互不影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目 标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事 件 A 与 B 可能同时发生，所以事件 A 与 B 不是互斥事件． 【答案】 A
事件的相互独立性(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2: 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
两个试验中, 事件A发生与否并不影响事件B发生的概率.
乙的中靶概率为0.9, 求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
巩固: 相互独立事件的概率计算
∴P(A) =P(J1Y2∪J2Y1)= P(J1Y2)＋P(J2Y1)
= P(J1)P(
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶
数”.
M＝{1,3,5}, N＝{2,4,6}, MN＝ϕ
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02
巩固: 相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛, 甲的中靶概率为0.8,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，
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(5)1 P( ABC )
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由 1人击中目标的概率 解： (1) 记“甲射击 1次,击中目标”为事件A.“乙 射 击1次,击中目标”为事件 且B. A与B相互独立， （3）至少有一人击中目标的概率 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到 P(AB)=P(A) P(B)=0.6×0.6＝0.36
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) 0.5 0.45 0.4 1.35
①事件的概率 因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！ 不可能大于1
P( A B C ) P( D)
你认同以上的观点吗？
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. (1-a)(1-b) 6. 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮.
解决问题
歪 歪
探究:
已知诸葛亮解出问题的概率为0.9, 三个臭皮匠解出问题的概率都为0.1, 且每个人必须独立解题，问三个臭 皮匠中至少有一人解出的概率与诸 葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:
1 P(A BC) 1 0.93 0.271 0.9
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)
2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
互斥 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；
P ( A BC )
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
(3) P( ABC ) P( ABC ) P( ABC )
辨一辨
设P( A) 0.4, P( A B) 0.7, 则 (1)当A, B互斥时, 求P( B)的值. (2)当A, B互为相互独立事件时, 求P( B)的值.
巩固练习
1、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
P( AB) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
B表示事件“最后一名 同学中奖”.
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) P( B)
又 P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B)
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。
引例的解决
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P(A BC) 1 0.5 0.55 0.6 0.835 0.8 0.8 P( D)
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与 乙射中8环； 相互独立
(3)已知P ( A) 0.6, P ( B ) 0.6, P ( AB ) 0.24 则事件A与B 相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合 格”与“乙的成绩优秀” 相互独立
A与B是相互独立事件.
[思考2]：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙 填空： 从甲坛子里摸出 ,得到黑球 坛子里有 2个白球 ,2个黑球1 ,个球 设从甲坛子里 事件 A是指______________________; 摸出一个球 ,从乙坛子里摸出 得出白球叫做事件 从乙坛子 1个球A, ,得到黑球 事件 B是指______________________; 里摸出1个球 ,得到白球叫做事件B, 相互独立 A与B是_____________事件；
此时合三个臭皮匠之力的把握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶 个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概 念
符
不可能同时发生的 两个事件叫做互斥 事件.
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响， 这样的两个事件叫做相互独立事 件
号
计算 公式
互斥事件A、B中 相互独立事件A、B同时 有一个发生， 发生, 记作:AB 记作:A∪B(或A+B) P(A∪B)=P(A)+P(B) P（AB）= P(A)P(B)
P P( AB) [ P( AB) P( AB)] 0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P( AB) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中目标的概率 P 1 P( AB) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
相互独立 A与B是_____________ 事件；
甲
乙
相互独立 __事件. A与B是____________
相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ② A 与 B； ③ A 与 B . ① A 与 B；
相互独立事件同时发生的概率公式 1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 ） A B 另一种是 甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件ĀB与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A• B互斥， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
高二数学 选修2-3
8.2.3事件的相互 独立性（一）
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
在一次实验中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 如果两个互斥事件有且仅有一个发生，这样的两个互斥事 件叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？
P( A B) P( A) P( B)
P( AB) P( A) P( B | A)
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛 亮”。 我们是如何来理解这句话的？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛老二解出问题； 事件C ：老三解出问题；事件 ：诸葛亮解出问题 P ( A B C ) P( A) P( B) D P( C) ②公式 运用 、 B、 C彼此互斥 . ) 0.4 , P( D) 0.8 P( A) 0.5, A P (B ) 0.45, P(C 则的前提：事件 那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
2. 推广：如果事件 A 1， A 2 ，…A n 相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1· A2·…·An)= P(A1)· P(A2)·…·P(An)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例
例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中 以下事件的概率： （1）“都抽到中奖号码”； （2）“恰有一次抽到中奖号码”； （3）“至少有一次抽到中奖号码”。 解: 记“第一次抽奖抽到中奖号码”为事件A， “第二次抽奖抽到中奖号码”为事件B， 变式:“至多有一次抽到中奖号码”。