8.2.3事件的相互独立性(优质课)

设A为事件“第一位同学没有中奖”。
B表示事件“最后一名 同学中奖”.
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
n( AB) P( AB) 1 P(B A) n( A) P( A) 2
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中奖”。
引例的解决
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P(A BC) 1 0.5 0.55 0.6 0.835 0.8 0.8 P( D)
(4) P( ABC ) P( ABC ) P( ABC )
(5)1 P( ABC )
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由 1人击中目标的概率 解： (1) 记“甲射击 1次,击中目标”为事件A.“乙 射 击1次,击中目标”为事件 且B. A与B相互独立， （3）至少有一人击中目标的概率 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到 P(AB)=P(A) P(B)=0.6×0.6＝0.36
辨一辨
设P( A) 0.4, P( A B) 0.7, 则 (1)当A, B互斥时, 求P( B)的值. (2)当A, B互为相互独立事件时, 求P( B)的值.
巩固练习
1、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 ） A B 另一种是 甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件ĀB与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A• B互斥， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P( AB) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
此时合三个臭皮匠之力的把握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶 个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概 念
符
不可能同时发生的 两个事件叫做互斥 事件.
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响， 这样的两个事件叫做相互独立事 件
号
计算 公式
互斥事件A、B中 相互独立事件A、B同时 有一个发生， 发生, 记作:AB 记作:A∪B(或A+B) P(A∪B)=P(A)+P(B) P（AB）= P(A)P(B)
P P( AB) [ P( AB) P( AB)] 0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P( AB) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中目标的概率 P 1 P( AB) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
2. 推广：如果事件 A 1， A 2 ，…A n 相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1· A2·…·An)= P(A1)· P(A2)·…·P(An)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例
例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中 以下事件的概率： （1）“都抽到中奖号码”； （2）“恰有一次抽到中奖号码”； （3）“至少有一次抽到中奖号码”。 解: 记“第一次抽奖抽到中奖号码”为事件A， “第二次抽奖抽到中奖号码”为事件B， 变式:“至多有一次抽到中奖号码”。
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) 0.5 0.45 0.4 1.35
①事件的概率 因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！ 不可能大于1
P( A B C ) P( D)
你认同以上的观点吗？
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. (1-a)(1-b) 6. 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮.
解决问题
歪 歪
探究:
已知诸葛亮解出问题的概率为0.9, 三个臭皮匠解出问题的概率都为0.1, 且每个人必须独立解题，问三个臭 皮匠中至少有一人解出的概率与诸 葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:
1 P(A BC) 1 0.93 0.271 0.9
P( AB) P( A) P( B | A)
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛 亮”。 我们是如何来自百度文库理解这句话的？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛 亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题； 事件C ：老三解出问题；事件 ：诸葛亮解出问题 P ( A B C ) P( A) P( B) D P( C) ②公式 运用 、 B、 C彼此互斥 . ) 0.4 , P( D) 0.8 P( A) 0.5, A P (B ) 0.45, P(C 则的前提：事件 那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
B表示事件“最后一名 同学中奖”.
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) P( B)
又 P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B)
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。
高二数学 选修2-3
8.2.3事件的相互 独立性（一）
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
在一次实验中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 如果两个互斥事件有且仅有一个发生，这样的两个互斥事 件叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？
P( A B) P( A) P( B)
(2) 1 2
(1)
1 (3) 1
1
2
P1=r2
2 2
(4)
P2=1－(1－r)2
1 1 2 2
P3
=1－(1－r2)2
P4=[1－(1－r)2]2
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与 乙射中8环； 相互独立
(3)已知P ( A) 0.6, P ( B ) 0.6, P ( AB ) 0.24 则事件A与B 相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合 格”与“乙的成绩优秀” 相互独立
A与B是相互独立事件.
[思考2]：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙 填空： 从甲坛子里摸出 ,得到黑球 坛子里有 2个白球 ,2个黑球1 ,个球 设从甲坛子里 事件 A是指______________________; 摸出一个球 ,从乙坛子里摸出 得出白球叫做事件 从乙坛子 1个球A, ,得到黑球 事件 B是指______________________; 里摸出1个球 ,得到白球叫做事件B, 相互独立 A与B是_____________事件；
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率； (1)A发生且B发生且C发生
P( ABC )
(2)A不发生且B不发生且C不发生
相互独立 A与B是_____________ 事件；
甲
乙
相互独立 __事件. A与B是____________
相互独立事件的性质：
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ② A 与 B； ③ A 与 B . ① A 与 B；
相互独立事件同时发生的概率公式 1.若A、B是相互独立事件，则有P(AB)= P(A)P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
P ( A BC )
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系 ① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
(3) P( ABC ) P( ABC ) P( ABC )
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)
2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
互斥 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；