离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
常见傅里叶变换对照表
常见傅里叶变换对照表常见傅里叶变换对照表傅里叶变换是一种将信号从一个域（时间域或空间域）转换到另一个域（频率域或波数域）的方法，它在各个领域中都有广泛应用。
下面是一份常见傅里叶变换对照表，供大家参考。
一、离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）离散时间傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为频率域信号的方法。
它在数字信号处理、通信等领域广泛应用。
DFT可以通过FFT（快速傅里叶变换）算法高效地实现。
二、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）快速傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的算法。
它是DFT的一种优化，能够在O(n log n)的时间复杂度内完成。
FFT在图像处理、语音信号处理、音频信号处理等领域都有广泛应用。
三、离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）离散余弦变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它在数字信号压缩、音频信号处理、图像处理等领域中广泛应用。
DCT与DFT相比，具有更好的压缩性能，因此在多媒体领域中更常用。
四、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种将信号分解成多个不同频率的小波形式的方法。
它在信号处理、压缩、去噪、模式识别等领域中被广泛用于分析。
五、海森矩阵变换（Haar Transform）海森矩阵变换是小波变换的一种变体，它将输入信号分解成长度为2的小块，并对每个小块进行平均和差分运算。
海森矩阵变换在压缩、减少存储需求等方面有应用。
综上所述，傅里叶变换及其衍生算法在数字信号处理、音频信号处理、图像处理、通信等领域中有广泛的应用。
不同的变换方法适用于不同的信号处理任务，因此了解不同的变换方法及其应用场景是十分必要的。
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换区别
离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换区别
离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换区别
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）是数字信号处理中常用的两种变换方法。
虽然它们都是傅里叶变换的离散形式，但是它们的应用场景和计算方式有所不同。
一、应用场景
离散傅里叶变换主要用于将时域信号转换为频域信号，常用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
而离散时间傅里叶变换则主要用于分析离散时间信号的频域特性，常用于数字滤波器设计、信号采样等领域。
二、计算方式
离散傅里叶变换的计算方式是将时域信号分解为一系列正弦和余弦函数的线性组合，然后通过计算每个正弦和余弦函数的振幅和相位来得到频域信号。
而离散时间傅里叶变换则是将离散时间信号看作是周期信号的一个周期，然后通过计算周期信号的傅里叶级数来得到频域信号。
三、计算复杂度
离散傅里叶变换的计算复杂度为O(N^2)，其中N为信号长度。
而离散时间傅里叶变换的计算复杂度为O(N)，其中N为信号长度。
因此，在计算复杂度上，离散时间傅里叶变换更加高效。
四、采样率
离散傅里叶变换的采样率是连续信号采样率的整数倍，而离散时间傅里叶变换的采样率则是任意的。
因此，在采样率上，离散时间傅里叶变换更加灵活。
综上所述，离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换虽然都是傅里叶变换的离散形式，但是它们的应用场景、计算方式、计算复杂度和采样率等方面都有所不同。
在实际应用中，需要根据具体的需求选择合适的变换方法。
傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系
傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系
傅里叶变换和离散傅里叶变换都是将一个信号从时域转换到频域的方法。
它们之间的关系是离散傅里叶变换是傅里叶变换在数字信号处理中的离散化表示。
傅里叶变换是用于连续时间信号的频域分析方法，而离散傅里叶变换是用于离散时间信号的频域分析方法。
离散傅里叶变换将一个离散时间信号转换成一个离散频域信号，这个离散频域信号是由一系列复数表示的。
傅里叶变换是在连续时间域中计算的，需要对信号进行采样和离散化才能在计算机中使用。
离散傅里叶变换是在离散时间域中计算的，因此它更适用于数字信号处理。
在实践中，可以使用离散傅里叶变换来分析时间序列数据，比如声音、图像和其他信号。
由于离散傅里叶变换的计算速度很快，因此它非常适合在计算机上实现。
总之，离散傅里叶变换是傅里叶变换的数字化表示，用于对时间序列数据进行频域分析。
它们在数字信号处理中都有广泛的应用。
信号分析与处理第3章离散时间信号的分析_1-44
X (z) x(n)zn x(n)(re j )n [x(n)r n ]e j n
x
x
x
只有当 x(n)rn 符合绝对可和的收敛条件，即
x(n)r n
x=
时，x(n) 的 z 变换才有意义。对序列 x(n) ，其 z 变换 X (z)收
敛的所有 z 的集合称为 X (z)的收敛域，简记为 ROC
X (z) x(n)zn x(0) x(1)z1 x(2)z2 x0
上式是序列 x(n) 的单边 z 变换。
n<0 时样点均为零的序列称为因果序列，对因果序 列，其双边 z 变换与单边 z 变换相同。
单边 z 变换定义式表明，序列的单边 z 变换是复变 量 z 的负幂级数，该级数的系数即是序列 x(n) 本身。
1、 周期单位冲激串的傅里叶变换
周期单位冲激串，如图（a）所示。该函数在研
究信号的采样问题中经常用到，称为狄拉克梳状函数
或理想采样函数，用数学公式表示为
p(t) (t nT ) n
在 2.3 节中已得到，其傅里叶级数为 p(t) 1 ejkt
T k
上式表明，周期单位冲激串的傅里叶级数中，只包 含位于 0，0 ，20 ，…，k0 ，…处的频率分量， 每个频率分量的大小相等且都等于 1 。
两者进行相乘，如图(c) 所示，相乘结果 xS (t) x(t) p(t) 称为 x(t) 的采样信号（sampled signal），如 图（d）所示。xS (t) 中各分量的冲激强度构成的序列为 x(t) 的样本 x(n) 。
设采样间隔为TS ，采样角频率S
2
f
2 TS
。由采
样过程，有
xS (t) x(t) p(t)
为书写方便，对序列 x(n) 取 z 变换和对 X (z)取逆 z 变换常常记为
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。
一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。
它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。
DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。
二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。
FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。
FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。
三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。
CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。
四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。
DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。
五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。
它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。
离散时间傅里叶变换和离散傅立叶变换
离散时间傅里叶变换和离散傅立叶变换离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅立叶变换（DFT）听上去是不是有点吓人？别担心，咱们慢慢聊，绝对不会让你觉得像在读枯燥的教科书。
就好比喝茶，得先泡好，慢慢品味，才能领略到其中的滋味。
好，我们开始吧！想象一下，你在一场音乐会上，舞台上的乐队正在演奏，音乐的每一个音符就像是在时光里跳动。
离散时间傅里叶变换，就是把这些音符从时间的维度转到频率的维度。
其实简单点说，DTFT就像是你把一首歌的旋律变成了不同的音频频率。
这玩意儿可不是随便的把声音拆开，而是要根据每一个音符的特征，把它们分类整理。
就像你把零食放进不同的罐子，巧克力放一边，薯片放一边，听起来是不是很有趣？现在我们再说说离散傅立叶变换。
DFT就像是DTFT的一个小变种，简单直接。
想象一下你在一个大型派对上，音乐轰鸣，人们在热烈交谈。
DFT就好比你在这个喧闹的环境中，试图找出某个特定的声音。
它将一组离散的信号转换成频率成分。
说白了，DFT就是一种把信号“提炼”出来的方式，就像把果汁榨出来，只留下最纯粹的部分。
说到这里，可能有人会问，DTFT和DFT到底有什么不同呢？其实啊，这俩的主要区别在于信号的周期性。
DTFT就像是一个无尽的循环，把所有的信号都视为周期信号。
就像一个循环播放的音乐视频，永远在重复。
而DFT呢，是对信号进行有限采样，只有在一定的时间范围内。
这就好比在咖啡店点了一杯饮料，喝完了就没了，不会再自动续杯。
再聊聊计算方面。
DFT的计算过程相对复杂，尤其是当信号长度增加的时候，计算量也是水涨船高。
但好在现在有很多工具和算法，比如快速傅立叶变换（FFT），让这项工作变得轻松多了。
就像你找到了一个绝佳的搬家助手，让搬家变得轻松愉快。
而DTFT相对来说，虽然计算上没有那么复杂，但要处理的信号范围大，也需要不少时间。
两个方法都有各自的优缺点，就看你想做什么了。
在实际应用中，DTFT常常用于信号分析、滤波等领域，而DFT则是数字信号处理的“王牌”。
离散时间傅里叶变换对
离散时间傅里叶变换对离散时间傅里叶变换对序言在信号处理中，傅里叶变换、傅里叶级数等都是不可或缺的基本概念。
而在数字信号处理中，离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）也是一个重要概念。
本文将会介绍离散时间傅里叶变换对及其在信号处理中的应用。
正文一、离散时间傅里叶变换的定义离散时间傅里叶变换是定义在有限时间序列上的傅里叶变换，通俗的说就是对一个离散的时间序列进行傅里叶变换。
在时间域中，序列与函数十分相似，因此离散时间傅里叶变换也可以看作是傅里叶变换的离散形式。
二、离散时间傅里叶变换对的定义离散时间傅里叶变换对通常用来描述信号在不同虚拟频率下的频率响应。
设序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换为X(ω)。
序列 h(n) 的离散时间傅里叶变换为H(ω)。
则它们的离散时间傅里叶变换对为：Y(ω) = X(ω) × H(ω)其中，ω 是频率，Y(ω) 是序列 hx(n) 的离散时间傅里叶变换，也就是信号的频率响应。
离散时间傅里叶变换对也被称为卷积定理，因为在频域中，序列与函数之间的乘积就相当于卷积。
三、离散时间傅里叶变换在信号处理中的应用1.信号滤波离散时间傅里叶变换对可以用于对信号进行滤波。
将信号在频域上与一个滤波器的频率响应进行相乘，再进行逆傅里叶变换，就可以得到滤波后的信号。
在数字图像处理、语音识别等应用中，信号滤波是一个十分重要的环节。
2.降噪离散时间傅里叶变换对也可以用于降噪。
通过对干扰信号与被测信号进行相除，就可以在频域上将干扰信号滤除。
在机器学习领域，降噪是一个十分重要的预处理步骤，它可以提高模型的准确性。
3.谱分析因为离散时间傅里叶变换可以将序列从时间域转换到频域，所以它也可以用于信号的谱分析。
例如，对于语音信号的谱分析，可以通过离散时间傅里叶变换将语音信号的频率信息解析出来。
四、总结本文介绍了离散时间傅里叶变换对及其在信号处理中的应用。
第6章 离散时间信号的傅里叶变换
响应
考虑：
如果任一离散时间信号 f [n] 可以表示为:
f [ n]
k
n ak zk
(LTI的特性)
y[n]
k n a H ( z ) z k k k
信号
？
系统
响应
6.2
离散时间周期信号的傅立叶级数
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
对于离散时间信号 f [n] ,若存在非零的正整数 N，对 任意 n值有: f [n N ] f [n] 则称 f [n] 是以 N为周期的周期信号. 令 0 2 / N 则离散时间复指数信号 以 N为周期的 .
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
推导系数 ak 的计算公式 :
N 1 k 0
f [n] ak e jk 0n
两端乘以
e
jm0 n
并在一个周期 N内关于n求和
j ( k m ) 0 n
f [n]e
n 0
N 1
jm0 n
ak e
n 0 k 0
4
2
0
2
4
信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
1.周期性
F ( 2 ) F ()
离散时间信号的傅立叶变换 F () 是以 2 为周期的：
2.线性
F f [ n ] F1 () , 如果 1 F f2[n] F2 () ,则
0
2
信号
？
系统
响应
相位谱
a sin() () tan { } 1 a cos()
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。
通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
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离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下：∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)( （1.1）通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。
这是由于：)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+=== （1.2）由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出：ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=（1.3）故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=n α,此时其傅里叶变换可以写成简单的封闭形式。
而一个序列x[n]的DTFT 存在的充要条件是其为绝对可和序列，即：∞<∑∞-∞=nn x ][此时对于所有ω值有：∞<≤=∑∑∞-∞=∞-∞=-nnnj j n x e n x e X ][][)(ωω1.2 离散时间傅里叶变换的性质与线性卷积序列x[n]的离散时间傅里叶变换的一般性质包括线性、时移、频移、频域微分、调制及卷积等。
其中卷积性质可表示为如下形式：)()(][][)(][)(][ωωωωj j j j e H e G n h n g e H n h e G n g ↔⊗↔↔一般来说，序列x[n]和h[n]的卷积和可以定义为如下形式：∑∞-∞=-=kk n h k x n y ][][][，或 ∑∞-∞=-=kk h k n x n y ][][][卷积和运算满足交换率、结合率以及分配率，可以对卷积和作如下解释：先将序列h[k]反转得到h[-k]，然后将h[-k]平移（如果n>0，右移n 个抽样周期；如果n<0,左移n 个抽样周期）形成序列h[n-k]。
然后形成乘积序列v[k]=x[k]h[n-k]，把v[k]的全部样本求和即得到卷积和y[n]的第n 个样本。
上述过程可用下图表示：卷积和运算的示意图离散时间傅里叶变换的卷积性质表明，序列g[n]和h[n]的线性卷积y[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e Y 可以简单地由它们各自的离散时间傅里叶变换)(ωj e G 和)(ωj e H 的积给出。
这就为我们提供了一种计算序列g[n]和h[n]的线性卷积y[n]的重要方法：可先计算g[n]和h[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e G 和)(ωj e H ，然后将)(ωj e G 和)(ωj e H 相乘得到)(ωj e Y ，最后作)(ωj e Y 的离散时间傅里叶逆变换，而逆变换的结果就是y[n]序列。
在一些应用中，特别是序列为无限长序列时，基本离散时间傅里叶变换的方法可能比直接卷积计算起来更加方便，尤其是在快速傅里变换技术的应用以后。
在Matlab 软件中函数fregz 可以用来计算序列的离散时间傅里叶变换在给定离散频率点上的值，其变换序列是以ωj e 的有理函数来描述的，使用形式为：H=fregz(num,den,w)，其中返回值H 表示频率响应值，num 和den 为变换序列的有理函数的分母、分子系数向量（按ωj e -升幂排列），w 为0到π之间指定的频率点向量。
为得到准确的图形，需要选择大量的频率点。
2. 离散傅里叶变换2.1 离散傅里叶变换及其计算已知定义在10-≤≤N n 的有限长序列x[n]及其离散时间傅里叶变换)(ωj e X ，通过在ω轴上（πω20≤≤），对)(ωj e X 均匀抽样得到（抽样点为N k k /2πω=，10-≤≤N k ）： 10,][|)(][1/2/2-≤≤==∑-=-=N k e n x e X k X N nNkn j N k j ππωω（2.1）式中所得X[k]为频域上的有限长序列，长度为N ，称为时间序列x[n]的离散傅里叶变换（DFT ）。
若令 N j N e W /2π-=，则DFT 的定义式可表达为：10,][][1-≤≤=∑-=N k W n x k X N nkn N （2.2）而与此相对，X[k]的离散傅里叶逆变换（IDFT ）为：10,][1][1-≤≤=--=∑N n W k X Nn x kn N N k（2.3）对于序列x[n]的离散傅里叶变换的计算，可以直接用上述定义式计算其N 点DFT ，也可利用定义的矩阵形式进行计算。
由于式（2.2）可用矩阵的形式表示为：x D X N= （2.4）其中X是N 个离散傅里叶变换抽样的向量，T N X X X X ]]1[]1[]0[[-= ，而x 是N 个输入抽样的向量，T N x x x x ]]1[]1[]0[[-=，矩阵N D 是大小为N ×N的离散傅里叶变换矩阵，形式如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-⨯-----)1()1()1(21)1(2421211111111N N N N N N N N NN N N N N N NW W W W W W W W W D 通过这种矩阵形式的表示来计算序列x[n]的N 点DFT 将会变得更加直观，并且可通过观察矩阵N D 的规律来达到简化计算的目的。
与DFT 的矩阵计算方法相对应，IDFT 也有类似的矩阵计算：X D x N1-= （2.5）与式（2.4）不同的是矩阵1-N D 为：*-=N N D ND 11，其中*N D 表示矩阵N D 的共轭。
当然，如果借助Matlab 软件来计算DFT 和IDFT 将会变得更简便。
常用的函数是：fft(x)和ifft(X)，用来计算时间序列x[n]的DFT 及离散傅里叶抽样序列X[k]的IDFT 。
在上述函数中可指定输出序列的长度，一般缺省时输出长度与输入序列相等，若指定长度小于输入长度时原序列将被截短易出现错误，而大于时，输入序列将用零填充，这在利用圆周卷积计算线性卷积时会用到（需先对待卷积的两个序列补零）。
2.2 离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系一方面，从DFT 的定义即式（2.1）可知，长为N 的时间序列x[n]的N 点离散傅里叶变换X[k]是其离散时间傅里叶变换)(ωj e X 在N 个均匀间隔频率点上的抽样，10,/2-≤≤==N k N k k πωω。
若给定一个长为N 的序列x[n]的N 点离散傅里叶变换X[k]，则可通过IDFT 确定x[n]，从而计算其DTFT ，即从DFT 通过内插得到DTFT ，具体表示为下式：∑∑∑∑∑-=---=--=-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1)/2(110101][1][1][)(N nnN k j N k nj N n N k kn N N nnj j e k X Ne W k X N e n x e X πωωωω（2.6） 另一方面，从时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换的N 个等间隔点10,/2-≤≤==N k N k k πωω抽样生成N 个频率样本，可将其看作一个N 点的离散傅里叶变换Y[k]，而Y[k]的IDFT 为序列y[n]，经推导可得到如下关系：∑∞-∞=-≤≤+=mN n mN n x n y 10,)(][ （2.7）这表明，经x[n]的频域抽样所恢复的序列y[n]是将x[n]平移并无限次叠加对原x[n]上得到的，每次复制移动的距离为N ，最后的叠加结果取10-≤≤N n 区间。
即频域采样造成时域周期延拓，对于非有限长序列周期延拓后混叠，而对于M 点的有限长序列，频域抽样不失真的条件是频域抽样点数N 大于M ，此时有y[n]=x[n]，否则用x[n]的样本产生y[n]时会有时域混叠，不能从y[n]恢复。
2.3 离散傅里叶变换的性质与序列的圆周卷积离散傅里叶变换的一些性质与离散时间傅里叶变换的性质相似，如线性、循环时移、循环频移、对偶、N 点循环卷积、调制等。
在这些性质中涉及到循环移位的概念，而在DTFT 性质中是没有的。
序列的循环移位是为了使一个定义在10-≤≤N n 的序列在移位之后仍旧位于10-≤≤N n 范围中，为此引入模运算来定义这样一种平移：][][0Nc n n x n x -= （2.8）相当于将长度为N 的序列以N 个等间隔点放在一个圆柱体的圆周上，按顺时针或逆时针旋转0n 个空间点。
接下来对循环卷积给出定义：对于两个长度为N 的序列g[n]和h[n]，其N 点循环卷积为：∑-=-=1][][][N mNC m n h m g n y （2.9）根据离散傅里叶变换的性质，两个长度为N 的序列的循环卷积也可通过计算它们的N 点离散傅里叶变换的积后，运用离散傅里叶逆变换计算得到。
类似前面用矩阵的形式直观地计算序列的离散傅里叶变换及逆变换，式（2.9）所示的循环卷积也可用如下的矩阵形式计算：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-]1[]2[]1[]0[]0[]3[]2[]1[]3[]0[]1[]2[]2[]1[]0[]1[]1[]2[]1[]0[]1[]2[]1[]0[N g g g g h N h N h N h h h h h h N h h h h N h N h h N y y y y C C C C2.4 用离散傅里叶变换实现线性卷积由于两个有限长序列的线性卷积，如长度为N 的序列g[n]和长度为M 的序列h[n]，等于长度为N+M-1的两个序列][n g e （g[n]序列后补M-1个零）和][n h e （h[n]序列后补N-1个零）的圆周卷积。