2020.西安地区八校联考数学(文)
2020年5月陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试卷及解析
（2）由（1）,令 有 , 存在两个极值点 、 即
由题意知： ,
∴
令 ,即 和 时, ,所以有 在区间内分别单调递减
∴ 时,有 ,即
由①②两式消去 得 ,
整理得 ,
解得 或 （舍去）,
∴ ．
故选C．
9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣ x﹣2＝0的两个实根,且α∈（0,π）,则cos（α+ ）＝（）
A. B. ﹣ C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
根据韦达定理可得 , ,结合 ,可得 ,根据两角和的余弦公式可得 ,由此可得结果.
（2）（点差法）：设 , , 的中点为 ,椭圆 的右焦点为 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则： ,∴ ,∴ , ,∴ ,即： ,故不存在.
21.设函数 ．
（Ⅰ）讨论 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若 存在两个极值点 、 ,且 ,求 的取值范围．
【答案】（1） 时, 在 上单调递减, 上单调递增； 时, 在 上的单调递增；（2）
【解析】
（1）利用导函数 ,讨论在 、 时 的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由 存在两个极值点,即可得 ,同时可用 表示出 、 ,进而代入函数式得到 ,利用导函数研究其单调性,结合单调区间边界值即可确定 的范围
【详解】（1）由题意,得
当 时, ： 时, 在 上单调递减； 时, 无递减区间
当 时, ： 时, 在 上单调递增； 时, 在 上的单调递增
【答案】-13
【解析】
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,z＝2x+y取得最小值．
陕西省部分重点高中2020年12月联考高三数学试卷(文科)答案
高三数学试卷参考答案#文科$!!#"因为"$&##%&$#$%''((所以"% $&%((%)(%*(%"'!+!,"因为$+槡$%!%+)-(所以$+的实部与虚部分别为%!(槡%+)!'!."这/个数中+('(*(((!!是质数(故所求概率为*/!"!#"从(月+日到(月*日白天的平均气温呈下降趋势!这!0天白天的平均气温的极差大于)1!这!0天中白天的平均气温为+)1的频率为02'(比其他平均气温的频率都要大!这!0天中白天的平均气温大于+)1的只有"天!故选#!*!."因为函数%##$的图象关于点#!(0$对称(所以将%##$的图象向左平移!个单位长度后所得图象关于原点对称(故选.!)!3"因为&'&'$(&'('(所以&'&($%)&''((则&')($&')&4&'&($&'"'%)&''((所以 4 $!%)$%*!(!,"该长方体的外接球的半径*$槡+*4/4)+槡$!0(则该长方体的外接球的表面积为" *+$"0 !&!3"%##$$#5-6+#785+##$!+#5-6"##(因为+$5-6"#的最小正周期为+ "$ +(所以%##$的最小正周期为 "!/!."依题意可设&的方程为#+"%++)$ (将#+()$代入(得++"%)+)$ $%*(则&的方程为#+"%++)$%*(即++'0%#++0$!(则&的实轴长+,槡$+'0(离心率-$!4+0槡'0$槡!*'!!0!3"由三角形的面积公式可得!+,.5-6)$槡'",.槡$/'(则,.$')!由余弦定理可得/+$,+4.+%+,.785)(+,.%,.$,.$')(即/()(则)")&外接圆的半径*$/+5-6)()+9槡'+槡$+'#当且仅当,$.$)时(等号成立$!!!!,"由三视图可知(该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点(另外两个顶点是正方体棱的中点(其直观图如图所示!正视图的面积为+9+%+9!+9+9!%!+9!9!$'+(故该三棱锥的体积为!'9'+9+$!!!+!#"%0##$$##%+$:#%#+4+#$##%+$#:#%#$(设函数1##$$:#%#(10##$$:#%!(易证1##$(1#0$$!*0!令%0##$*0(得#*+)令%0##$$0(得#$+!所以%##$;-6$%#+$$"'%:+4,*0(故,*:+%"'!!'!!'"5-6 %785 5-6 %+785 $<=6 %!<=6 %+$%!+%'+$!'!!"!)"因为"$/(所以,+$/(所以椭圆#+"4++/$!上一点到两焦点的距离之和为+,$)!!*!%'"作出可行域(如图中阴影部分所示*由图可知(当直线$$++%'#(即+$'+#4$+经过点"#!(0$时($取得最大值(故$;=>$+90%'9!$%'!!)!#0(!$"因为%##$$?8@/#4+#$?8@/#!4+#$(所以%##$在#!"(4A $上单调递减(又!$!4+#$/(所以%##$的值域为#0(!$!!(!解*#!$由题意可得,'$,!2+$'(,+4,"$,!24,!2'$'0(2*!+,-('分………………………………………………………………解得,!$!(2$'!*分……………………………………………………………………………………………故,3$,!23%!$'3%!!)分…………………………………………………………………………………………#+$由#!$可得,+3$'+3%!(则/3$?8@',+3$+3%!(/分…………………………………………………………故43$!4'4*4+4+3%!$#!4+3%!$3+$3+!!+分………………………………………………………!&!解*#!$由表中数据可得.5$!*9#!04!!4!'4!+4/$$!!(!分…………………………………………….6$!*9#+'4+*4'04+)4!)$$+"(+分………………………………………………………………………B 7/$/*8$!5868%*.5.6/*8$!5+8%*.5+$!'*!%*9!!9+")!*%*9!!+$'!!(*分………………………………………………………………7,$.6%7/.5$+"%'!!9!!$%!0!!()分…………………………………………………………………………故6关于5的线性回归方程为6$'2!5%!02!!(分……………………………………………………………#+$当5$!*时(6$'2!9!*%!02!$')2"*'*(!0分…………………………………………………………所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告!!+分…………………………………………………………!/!#!$证明*在直三棱柱")&%"!)!&!中()!&!0)&(+分…………………………………………………………………………………………………………………因为)&1平面"!)&()!&!2平面"!)&(所以)!&!0平面"!)&!"分……………………………………………………………………………………#+$解*在直三棱柱")&%"!)!&!中(""!3平面")&(因为")1平面")&(所以""!3")!*分……………………………………………………………………又")$!(""!$+(所以"!)槡$*()分…………………………………………………………………………同理可得"!&槡$++!(分…………………………………………………………………………………………因为")3"&(")$!("&$+(所以)&槡$*!&分……………………………………………………………所以)"!)&的面积为!+槡槡槡9++9*%+$)!/分……………………………………………………………设点"到平面"!)&的距离为9(由:"%"!)&$:"!%")&(得!'槡9)99$!'9!+9!9+9+(!!分………………………………………………解得9$槡)'!!+分…………………………………………………………………………………………………+0!#!$解*%0##$$!#%!:!!分………………………………………………………………………………………因为曲线+$%##$的一条切线与直线+$:!%:#垂直(所以这条切线的斜率为:%!:(+分…………………令!#%!:$:%!:(得#$!('分…………………………………………………………………………………所以切点为#!(%!:$(所求切线的方程为+4!:$:%!:##%!$(即#:%!$#%:+%:$0!*分………………#+$证明*%0##$$!#%!:$:%##:!当#4#0(:$时(%0##$*0)当#4#:(4A $时(%0##$$0!)分…………………………………………………所以%##$;=>$%#:$$?6:%::$0!(分…………………………………………………………………………设函数1##$$#+%?6#%'"(则10##$$+#%!#$+#+%!#!当#4#0(槡++$时(10##$$0)当#4#槡++(4A $时(10##$*0!&分……………………………………………所以1##$;-6$1#槡++$$!+%!+?6!+%'"$%!"4!+?6+!/分………………………………………………因为?6+*槡?6:$!+(所以1##$;-6*0!!!分…………………………………………………………………又%##$5%##$;=>$0(所以%##$$#+%?6#%'"!!+分………………………………………………………+!!解*#!$因为(#%;+(+$(<#;+(0$((<槡$+*(所以;+4+槡+槡$+*(+分…………………………………………………………………………………………解得;$"(故抛物线&的方程为++$&#!"分…………………………………………………………………#+$由题意知(<#+(0$(因为直线=过点<(所以当(<3=时(点(到=的距离最大!)分……………………………………………………………………因为>(<$+%0%+%+$%!+(所以直线=的斜率为+((分………………………………………………………联立方程组+$+##%+$(++$&# (消去+得#+%)#4"$0!&分………………………………………………………设?##!(+!$(@##+(++$(则#!4#+$)(/分……………………………………………………………………所以?@$#!4#+4;$)4"$!0!!!分………………………………………………………………………因为(<槡$+*(所以)(?@的面积为!+槡槡9!09+*$!0*!!+分………………………………………++!解*#!$由#$"785(+$%"4"5-6 (得#+4#+4"$+$!)(+分…………………………………………………………即#+4++4&+$0('分……………………………………………………………………………………………则&的极坐标方程为 +4&5-6 $0("分………………………………………………………………………即 4&5-6 $0#或 $%&5-6$!*分……………………………………………………………………………#+$因为=的极坐标方程为' 785 4"5-6 $A (所以=的直角坐标方程为'#4"+%A $0!(分…………………………………………………………………由#!$知(曲线&表示圆心为�(%"$(半径为"的圆(&分…………………………………………………则&到=的距离B $#A 4!)#*$"(/分…………………………………………………………………………解得%')$A $"(即A 的取值范围为#%')("$!!0分…………………………………………………………+'!解*#!$由%##$*!4##%,#(得##%',#*!(!分………………………………………………………………则#%',$%!或#%',*!('分…………………………………………………………………………………即#$',%!或#*',4!(故不等式%##$*!4##%,#的解集为#%A (',%!$6#',4!(4A $!*分…………………………………#+$因为%##$$##%,#4##%',#(##%,%##%',$#$#+,#()分…………………………………………所以%##$的最小值为#+,#!(分…………………………………………………………………………………因为%##$*,槡4!&对#4 恒成立(所以,槡4!&$#+,#(&分………………………………………………又,4!&(0(所以,4,%!&(%+$6#/"(4A $!!0分…………………………………………………………。
2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(理科)(6月份)
Ⅱ 由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．
Ⅰ 求 ；
Ⅱ 若该校共有 名学生，记每周平均锻炼时间在区间 的人数为ɛ，试求 ɛ ．
已知点 、 、 在球心为 的球面上，若 ＝ ＝ ， ＝ ，球心 到截面 的距离为 ，则该球的表面积为________．
在 中，内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， 是 的中点，若 ＝ 且 ＝ ，则 面积的最大值是________．
三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.
A. B. C. D.
12.已知函数 ，点 、 是函数 图象上不同两点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷中相应的横线上）p*x-3y+5≥0
已知实数 ， 满足不等式组 ，则 ＝ 的最小值为________．
从 、 、 、 、 、 中任取两个不同的数，分别记为 、 ，则“ ”的概率为________．
【解答】
或 ，故①错误；
由线面垂直的性质定理可得 ，故②正确；
根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得 ，故③正确；
由面面平行的性质及几何特征可得 或 ， 异面，故④错误；
5.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
又∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴所求值为 ，
陕西省西安地区八校联考2019-2020学年高三上学期第一次数学(文)试题(解析版)
西安市教育学会教研信息专业委会员2020届高三卷•启用前机密 西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大附中西安市83中 西安市85中西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中八校联考2020届高三年级数学（文科）试题注意事项：1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4. 保持纸面清洁，不折叠，不破损.5. 若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|10A x Z x =∈+≥，(){}|lg 3B x y x ==-，则A B =I （ ） A. {}0,1,2 B. {}|13x x -≤<C. {}0,1,3,1,2-D. {}1,2,1,0-【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算结果求解即可【详解】{}{}|101,0,1,2,3,A x Z x A =∈+≥⇔=-L ，(){}{}|lg 3|3B x y x B x x ==-⇔=<， 则A B =I {}1,2,1,0- 故选：D【点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题2.复数12ii-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. ()2,1-- B. ()1,2-C. ()2,1-D. ()1,2--【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算的除法法则求解即可【详解】()()()12122i i i i i i i ---==---，在复平面内对应的点为()2,1-- 故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算，复数与复平面的对应关系，属于基础题 3.函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先求导，令()'0f x =，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可【详解】由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点故选：C【点睛】本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题4.若实数x ，y 满足()222013y x x y y ⎧≥-⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则241z x y =++的最小值为（ ）A. -2B. -3C. -5D. 0【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出可行域，再根据目标函数与可行域的位置关系求解即可【详解】如图所示，画出目标可行域，241z x y =++可转化为1124z y x -=-+，当交于点A 时，有最小值，求得1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入241z x y =++得min 2z =-故选：A【点睛】本题考查根据二元一次方程组求目标函数的最小值，属于基础题5.在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）A. 89 54.5B. 89 53.5C. 87 53.5D. 89 54【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和方差定义求解即可 【详解】由题可知，中位数为：8791892+=，先求平均数： 787984868787919494989899999012x ++++++++++++==()()()()()()222222222222211211643314889953.512S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-++++++=⎣⎦ 故中位数为：89，方差为53.5 故选：B【点睛】本题考查茎叶图的识别，中位数与方差的求法，属于基础题6.已知()1,01ln ,0x x e f x x x x⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（e 为自然对数的底数），若1a f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()af x x =是（ ） A. 定义域为R 的奇函数 B. 在()0,∞+上递减的奇函数 C. 定义域为R 的偶函数 D. 在()0,∞+上递增的偶函数【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数，先求出a ，再求出()af x x =的具体表达式，进一步分析即可【详解】11ln f e e e e ⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，则()()111a f f f e e e e ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()11axxf x x -===，画出反比例函数的图像，显然B 项符合故选：B【点睛】本题考查分段函数的求值，函数图像奇偶性增减性的判别，属于基础题 7.已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）A. ()2,0B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,2D. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线第一定义和图像即可求解【详解】2y px =可变形为2yx p =，则焦点坐标为10,4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线第一定义，点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，即5AH =，即1354p +=，解得124p=，则抛物线焦点坐标为()02,故选：C【点睛】本题考查抛物线的基本性质，熟悉抛物线基本表达式特征，明确焦点位置，是解题关键，属于基础题8.已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为3的表面积为（ ） A. 20π B. 16πC. 12πD. 123π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出大致图像，确定球心在'PO 的连线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可【详解】如图，由几何关系可知，3'33BO =⨯=，先将三角形'PO B 转化成平面三角形， 如图：23PB ='3PO =，OP OB R ==，则'3OO R =-，由勾股定理可得222''O B OO OB +=，即(()22233R R +-=，解得2R =，球体的表面积为：2416S R ππ==故选：B【点睛】本题考查锥体外接球表面积的求法，解题关键在于找出球心，属于中档题9.若x x ≤≤”是“223x x +≤≤”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】解不等式223x x +≤≤可得{|12}x x <<，是{|2x x ≤≤的真子集，故“2x ≤≤“223x x+≤≤”成立的必要不充分条件.故选B.10.函数()2cos 12sin x x x x f =+-的单调递增区间为（ ）A. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C. ()2,236k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()22,263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数化简，再结合正弦函数增区间的通式求解即可【详解】()2cos 12sin 2cos 2sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭，再令 22,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦ 故选：A【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求法，属于基础题11.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C 截得的弦长为234e a （e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. 5y x =±C. 35y x =±D. y x = 【答案】D 【解析】 【分析】可设左焦点的坐标为(),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --，代入双曲线方程可解得纵坐标，通过题设的通径可得参数,,a b c 基本关系，再结合222c a b =+即可求解 【详解】设1F (),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --()0,0A B y y ><，将()(),,,A B A c y B c y --代入22221x y a b-=，解得22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22324b e a a =，解得2283b c =，又因为222c a b =+，联立得：2235b a =，即双曲线的渐近线方程为：y x =±故选：D【点睛】本题考查双曲线通径的使用，双曲线的基本性质，无论是椭圆还是双曲线，通径公式都为22b a，属于中档题12.陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[]40,44，[]45,49，[]50,54，[]55,59的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[]40,44.由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-.那么，年龄在[]60,64的爱看人数比为（ ） A. 0.42 B. 0.39C. 0.37D. 0.35【答案】D 【解析】【分析】根据题意，可列出y 关于x 的表格，求出,x y ，代入0.4188y kx =-，求出k ，即可求解 【详解】由题，对数据进行处理，得出如下表格：求得49.5x =，0.195y =，因样本中心(),x y 过线性回归方程，将(),x y 代入0.4188y kx =-，得0.0124k =，即0.01240.4188y x =-，年龄在[]60,64对应的x 为62，将62x =代入0.01240.4188y x =-得：0.0124620.41880.35y =⨯-=，对应的爱看人数比为：0.35故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的应用，样本中心(),x y 过线性回归方程是一个重要特征，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.已知平面向量(),2a m =r ，()2,b m =r，且()//a b a -r r r ，则m =______.【答案】2± 【解析】 【分析】由题，根据()//a b a -r r r，即向量平行的坐标运算即可求出参数m【详解】()2,2a b m m -=--r r ，(),2a m =r ，因为()//a b a -r r r ，所以222m mm --=，解得2m =±故答案为：2m =±【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题14.在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______. 【答案】3975 【解析】 【分析】根据等差数列下标性质进行求解即可【详解】由题，可设1523,156a a ==，则15225135026273156a a a a a a a a +=+=+=+=+L ， 故()23512531563975a a a ++=⨯+=L 故答案为：3975【点睛】本题考查等差数列下标性质的应用，属于基础题15.从1，2，3，5，6，7中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为______. 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据题意，采用列举法，表示出所有的情况，再选出符合题意的个数，结合古典概型公式求解即可 【详解】由题可知，所有可能的情况为：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,6,1,2,7,1,3,5,1,3,6,1,3,7，()()()()()()()()()()()1,5,6,1,5,7,1,6,7,2,3,5,2,3,6,2,3,7,2,5,6,2,5,7,2,6,7,3,5,6,3,5,7, ()()3,6,7,5,6,7，共计20个其中符合题意的有：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,7,1,3,6,1,5,6,1,6,7,2,3,5,()()()()()2,3,7,2,5,7,3,5,6,3,6,7,5,6,7，共计12个故这三个数的和为偶数的概率为：120.620P == 故答案为：0.6【点睛】本题考查古典概型的计算，正确表示各个数的形式是解题关键，属于基础题16.金石文化，是中国悠久文化之一.“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______.【答案】 (1). 26 (2). ()()27283dm +【解析】 【分析】先由三视图还原出立体图，再结合立体图特点求解表面积即可【详解】由立体图可确定该几何体由26个面构成，其中有18个正方形面和8个正三角形面构成，先研究正视图，若设中间的正方形的边长为a ，则2BC =（正视图BC 长度会被压缩），该正八边形面积为()(22212242228822S a aa ⎫=+-⨯⨯=+=+⎪⎪⎝⎭，解得2a = 18个正方形面积为：218272⨯=，8232883⨯=故表面积为：(()27283dm +故答案为：26；(()27283dm +【点睛】本题考查由三视图还原立体图，多面体表面积的求法，还原立体图形、正确理解三视图与立体图线段关系是解题关键，属于难题三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM . （1）求角A 、C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）6A π=，23C π=（2）ABC S ∆= 【解析】 【分析】（1）将()(222a b c bc --=展开，结合余弦定理即可求得A ，再由2sin sin cos2CA B =可得sin 1cos B C =+，结合三角形内角和公式可求得C ； （2）结合（1）可判断ABC V 为等腰三角形，ACM ∆结合余弦定理即可求得,a b ，再结合正弦面积公式即可求解【详解】（1）由()(222a b c bc --=，得222b c a +-=.∴222cos 2b c a A bc +-==. ∵0A π<<，∴6A π=，由2sin sin cos 2CA B =，得sin 1cos B C =+， ∴5sin 1cos 6C C π⎛⎫-=+⎪⎝⎭，由此得sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0C π<<，∴62C ππ-=，即23C π=. （2）由（1）知，6A B π==，则a b =，在ACM ∆中，由余弦定理，得2222cos120722a a AM b b ⎛⎫=+-⋅⋅︒= ⎪⎝⎭，解得2a b ==. 故113sin 223222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题18.已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）.（1）证明：//PB 平面AMN ；（2）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求三棱锥P ABN -的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）83【解析】 【分析】（1）要证//PB 平面AMN ，即证//PB 平面AMN 的一条线段，可连接BD ，交AM 于点E ，通过相似三角形证明//NE PB 即可；（2）采用等体积法进行转化，13P ABN N AB ABP P S V V d --∆=⋅=，平面PAB ⊥平面ABCD ，可通过几何关系先求出点D 到平面PAB 的距离，再结合12DN NP =求得点N 到平面PAB 的距离，结合体积公式即可求解；【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连接CH ，BD ，BD AM E ⋂=，连接NE .∵四边形ABCD 为平行四边形，M ，H 分别为CD ，AB 的中点， ∴根据平行线分线段成比例定理得13DE DB =， 又12DN NP =，得13DN DP =， ∴//NE PB ，又NE 在平面AMN 内，PB 不在平面AMN 内， ∴//PB 平面AMN .（2）由题意，得5PA PB ==，6AD AB BC ===， 120BAD ∠=︒.连接CH ，PH （H 为AB 的中点）， 则PH AB ⊥，CH AB ⊥，且22534PH =-=，226333CH =-=∵平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB ABCD AB =I ，CH 在平面ABCD 内，CH AB ⊥. ∴CH ⊥平面PAB ，∵//DC AB ，得D 点到平面PAB 的距离就是33CH = 又12DN NP =， ∴N 到平面PAB 的距离为2233d CH ==∴13P ABN N AB ABP PS V V d --∆=⋅=1164238332=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行的证明，锥体体积的求法，属于中档题 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n a S f n =-+-.（1）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式；（2）若()0f n =对任意n ∈+N 都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式. 【答案】（1）()()31225f n n n =-+-⨯=- （2）()122122nn n S +=-=-（n 为偶数）【解析】 【分析】（1）根据题意求出公差d ，即可求出通项公式；（2）由()()220nn n a S n N +-+-=∈，当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=，两式作差可得()()1133222n nn n a a --+=--=-，再令()2n m m N +=∈，则2212322m m m a a -+=⋅，结合前n 项和公式即可求解；【详解】（1）∵()()22nn n a S f n =-+-，11a =，23a =， ∴()1122121123a S f --=-⨯-=-=，()()()()2212223213241a a f a -++-=-++=-=，设等差数列为(){}f n 的公差为d ，则()132d =---=. ∴数列(){}f n 的通项公式为()()31225f n n n =-+-⨯=-.（2）()0f n =对任意n N ∈，都成立，即()()220nn n a S n N +-+-=∈ ①当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=②①-②得()()1133222n nn n a a --+=--=-. 令()2n m m N +=∈，则2212322mm m a a -+=⋅，∴()2221211322mm k mk k k k S a a -===+=∑∑()()224123221214mm -=⋅=--，故()122122nn n S +=-=-（n偶数）.【点睛】本题考查等差数列的基本求法，由n a 与n S 求数列前n 项和，对运算能力有较高要求，属于中档题 20.已知函数()()2sin f x mx x m R =+∈在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）求m 的最大值；（2）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值. 【答案】（1）-1 （2）1m = 【解析】 【分析】（1）通过求导，再将函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减作等价转化，可得sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求得()min sin 2x -，即可求解；（2）可先求出()f x 过原点的切线方程，再设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，根据点斜式得出()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+-，又0ln 1m x =+，结合()0,0点经过l ，即可求解 【详解】解：（1）∵()()2sin f x mx x m R =+∈，∴()2sin c 'os sin 2m x x x m x f +=+=， ∵函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数. ∴()'0f x ≤即sin 20m x +≤，sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则当22x π=即4x π=时，sin 2x -取最小值-1. ∴1m ≤-， ∴m 的最大值为-1.（2）()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()0,+∞. 由()'sin 2f x m x =+，得()'0sin0f m m =+=. ∴函数()f x 的图像在原点处的切线方程为y mx =， 由()ln 1g x x x =+，得()'ln 1g x x =+，设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，则l ：()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+- ①.且l 过原点，0ln 1m x =+，将0x =，0y =代入①，解得01x =. ∴ln111m =+=.【点睛】本题考查用导数和函数增减性求解参数问题，具体切线方程中参数的求法，学会等价转化，分离参数是解决参数类问题常用方法，属于中档题21.已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =，且12AB AC ⋅=u u u r u u u r . （1）求椭圆E 的方程； （2）若斜率12k =的直线l 过点60,5⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，试判断：以PQ 为直径的圆是否经过点A ，并证明你的结论.【答案】（1）221164x y += （2）经过，证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，列出相应表达式，再结合222a b c =+，即可求解；（2）可联立直线和椭圆的标准方程，结合韦达定理表示出两根和与积的关系，再由向量证明0AP AQ ⋅=u u u r u u u r即可；【详解】（1）解：由題意得(),0A a ，()0,B b ，()0,C b -，2e =. ∴12AB AC ⋅=u u u r u u u r即()()22,,12a b a b a b -⋅--=-=，设椭圆的半焦距为()0c c >，得方程组2222212a b ca ab c⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的方程为221164x y +=.（2）方法一：以PQ 为直径的圆经过点A .理由如下：∵椭圆E ：221164x y +=，()4,0A .直线l 的斜率12k =，且过点60,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴直线l ：1625y x =+， 由2216251164y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，并整理得2121280525x x +-=， 212128410525⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 与椭圆E 有两个交点.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12125x x +=-，1212825x x =-. ∵()()11224,4,x y AP A x y Q -⋅-⋅=u u u r u u u r()121212416x x x x y y =-+++()12121216164162525x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12125234364525x x x x =-++ 512823124364255525⎛⎫=⨯--⨯+ ⎪⎝⎭1602764360252525=--+=. ∴以PQ 为直径的圆经过点A . 方法二：同方法一，得12125x x +=-，121285x x =-. ∴PQ ===设PQ 的中点为()00,C x y ，则120625x x x +==-，00163255y x =-=-.∴12CA PQ ===.∴以PQ 为直径的圆经过点A .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，韦达定理、向量法在解析几何中的应用，属于中档题22.在直角坐标系xOy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.【答案】（1）普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭（2）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 （1）由1x k =得1k x=，代入y =S 的普通方程，再结合222x y ρ+=，cos x ρθ=即可求解的曲线S 的极坐标方程；（2）设直线方程为(y k x =+，由直线l 与曲线C 有公共点可得圆心到直线距离d r ≤，可解得k ，进而求得α的取值范围 详解】（1）显然，参数14k ≥，由1x k =得()104k x x =<≤，代入y =()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. ∴曲线S 的普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. （2）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，曲线C 是以()02,为圆心，半径为2的圆.当2πα=时，直线l：x =-与曲线C 没有公共点， 当2πα≠时，设直线l的方程为(()tan y k x k α=+=.圆心()02,到直线l的距离为d ==由2d =≤，得0k ≤≤.∴03πα≤≤，即α的取值范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查曲线的普通方程和极坐标方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题 23.已知函数()25f x x x x =---. （1）求不等式()238f x x ≥-的解集；（2）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|6x x ≤ （2）(][),13,-∞+∞U 【解析】 【分析】（1）采用取绝对值方法可求得()f x 的分段函数，分三组方程求解即可；（2）存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，即求出()0f x 在区间[]00,6x ∈的最大值，使得()0max 42f x a ≥--即可求解a 的取值范围【详解】解：（1）∵()22262,22542,2562,5x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+<⎪=---=--≤≤⎨⎪-+->⎩，∴不等式()238f x x ≥-等价于下列不等式组，①2226238x x x x <⎧⎨-+≥-⎩或②22254238x x x x ≤≤⎧⎨--≥-⎩或③2256238x x x x >⎧⎨-+-≥-⎩， 由①得2203x x <⎧⎪⎨≤⎪⎩，得2x <，由②得259x x ≤≤⎧⎨≤⎩，得25x ≤≤；由③得536x x >⎧⎨-≤≤⎩，得56x <≤.∴不等式()238f x x ≥-的解集为{}|6x x ≤.（2）区间[]0,6上，当02x ≤<时，()()max 02f x f ==；当25x ≤≤时，()()max 53f x f ==；当56x <≤时，()()53f x f <=.∴在区间[]0,6上，()max 3f x =.由存在[]00,6x ∈使()042f x a ≥--成立，得342a ≥--，得1a ≤或3a ≥. ∴a 的取值范围为(][),13,-∞+∞U .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，存在性问题的等价转化，属于中档题。
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学(理)试题(B卷)解析
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学（理）试题（B 卷）一、单选题1．若集合{}|3x M y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ） A ．M S M ⋃=B ．M S S ⋃=C ．M S =D ．M S ⋂=∅ 答案：A先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项.解： {}|0M y y =>，{}|1S x x =>∴S M ⊆，∴M S M ⋃=，故选:A.点评：本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系.2．若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解.解： ()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-，故选：D.点评： 本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温︒的月份有4个C．最低气温低于0CD．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月答案：C︒的数据的折线图，由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)得最低气温低于0C︒的月份有3个．解：︒的数据的折解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，最低气温低于0C︒的月份有3个，故C错误．在D中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D正确；故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种答案：B试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.【考点】1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．。
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考数学试题(B卷)(文)(解析版)
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考数学试题（B 卷） (文)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合{}|3xM y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ）A. M S M ⋃=B. M S S ⋃=C. M S =D. M S ⋂=∅『答案』A『解析』{}|0M y y =>，{}|1S x x => ∴S M ⊆， ∴M S M ⋃=， 故选:A.2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』D『解析』()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-， 故选：D.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 『答案』C『解析』由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确； 在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确； 故选：C ．4. 如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ） A. 王教授在第4排 B. 王教授在第4排第5列 C. 王教授在第5列 D. 王教授在某一排『答案』B『解析』信息量最大时，()P A 最小，因为王教授在第4排第5列发生的概率最小，所以选B.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.『答案』D『解析』根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )『答案』B『解析』如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ， 要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=42⨯=所以PM 的最小值为7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝.若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.B. 2C. 3D.『答案』A『解析』由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得= 8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,123⎡⎛⎤- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦『答案』B 『解析』∵22log log 32x ππ-≤，∴032x ππ<-≤，∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故选：B.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切『答案』D『解析』设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则： ①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.10. 设点1F ､2F 分别为椭圆C ：22194x y +=的左､右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，若使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2或4『答案』A『解析』由题意知，())12,F F ，∵120PF PF ⋅=，∴点P 在以O23<<，∴使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是4个，故选:A.11. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()0,1『答案』C『解析』』由题意：()21221'220ax x f x ax x x-+=-+==有两个不同正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<， 故选:C.12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A.3B.5225πC.16925πD.338125π『答案』D『解析』由题意，正方形ABCD 的边长为2设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<．正四棱锥体积213V a h =最大时，即V ．由452y a =-，则348y a '=-， 令0y '=，可得a ，即当a =体积取得最大值；h ∴ 正四棱锥底面正方形外接圆45r =．正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R =正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 『答案』1.『解析』∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1.14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________．『答案』2『解析』两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以k =.15. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行､三列､两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，那么6N =______.『答案』111的『解析』由题意：()222666161262N +=++⋅⋅⋅+=，∴6111N =.故答案为:111.16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 『答案』45-. 『解析』()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因为当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值， 所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b S =-，求{}n b 的前99的项99T .解：（1）∵21441n n S a n +=--，∴2144(1)1(2)n n S a n n -=---≥，∴22144n n n a a a +=-- ，即：()2212n n a a +=+，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +=+≥，∵11a =，21245S a =-，∴23a =，∴12n n a a +=+，*n N ∈， ∴()12121n a n n =+-=-； （2）2n S n =，∴()21nn b n =-，∴2222229912349899T =-+-+++-22123498994999994950=+++++-=⨯-=-.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.台体体积公式：(1'3V S S h =+，其中S ､'S 分别为台体上､下底面面积，h 为台体高.（1）证明：BD ⊥平面MAC ；（2）若1AB =，112A D =，MA =111A A B D -的体积为3，求该组合体的体积.（1）证明：由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MABAD MA ∴⊥, 又MA AB ⊥，,AD AB A AD ⋂=,AB 平面ABCD ，MA ∴⊥ ABCD ,MA BD ∴⊥ 又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥,又,MA AC A MA ⋂=,AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC .（2）解：设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ，则三棱锥111A A B D -体积112232V h =⋅⋅⋅⋅=，所以h =故该组合体的体积为(2211111223236V =⋅+++=+=. 19. “难度系数”反映试题难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小.“难度系数”的计算公式为1YL W=-，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的杨老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高三年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： （1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，求抽取2套试卷中恰有一套学生的平均分超过96分的概率；（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设'i P 为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量()()()222'''11221n n S P P P P P P n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，若0.001S <，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理，试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.解：（1）估计这480名学生第2套试卷的平均分的估计值为：1500.6496⨯=； （2）5套试卷中随机抽取2套试卷，共有10种可能，分别是：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，的恰有一套学生的平均分超过96分的有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5， 共6种，∴63105P ==； （3）222221(0.680.7)(0.660.64)(0.620.6)(0.620.6)(0.580.55)5S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 0.00050.001=<，故本专题的5套试卷对难度系数的预估合理.20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.解：（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122xx x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1xe x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12xx x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增， 又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求AB 的值.解：（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；的（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=，则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==23. 已知0a >，0b >，且222a b +=. (1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤；当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<；综上，9922x -≤≤.（2）()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b=+++，()55222222b a a ba b a b=+++-，()()2222222224a ba b a b ≥++=+=.。
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学(文)试题(B卷)解析
答案：D
设线段 的中点为 ， ，分 在双曲线的左支和 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.
解：
设线段 的中点为 ， ，则：
①当 在双曲线的左支时，如图所示：
，∴两圆外切；
②当 在双曲线的右支时，如图所示：
，∴两圆内切；
5．函数 的图像的大致形状是（）
A． B．
C． D．
答案：D
化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
解：
根据
，
是减函数， 是增函数.
在 上单调递减，在 上单调递增
故选：D.
点评：
本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．最低气温低于 的月份有4个
D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
答案：C
由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得最低气温低于 的月份有3个．
解：
解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得：
解：
由题意知， ，∵ ，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上，∵ ，
∴使得 成立的点的个数是4个，
故选:A.
点评：
本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.
11．若函数 有两个不同的极值点 ， ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
答案：C
求出函数的导数，即可得 有两个不同正根，进而可得关于参数的不等式，即可求出实数 的取值范围.
2020年5月陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷数学(理)试卷及解析
,
解之得 （ 舍去）,
∴数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ,
∴ ,
∴ ,
∴不等式 ,
即 ,
得
∴ （舍去）,或 （ ）,
故使得 成立的正整数 的最小值为 .
18.某单位招聘职员,共有三轮考核,每轮考核回答一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是 、 、 .且各轮问题能否正确回答互不影响.
所以 ,
解得 ,
所以 ,
可得 ,切点为 ,斜率 ,
所以切线为：
故选：A
8.执行如图所示程序框图,若输入的 , ,则输出的 是（）.
A. 15B.16C. 17D. 18
【答案】B
【解析】
按程序框图运行即可得到正确答案.
【详解】第一步： , , , , , , , 不成立,
第二步： , , , , 不成立,
【详解】（1）证明：因为四边形 为菱形,
所以 ,∵ 平面 ,
所以 , ,
故 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）解：设 ,则 ,得 .
在菱形 中,由 , ,
可得 , ,
过 作直线 平面 ,以 为原点,直线 为 轴,
直线 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系 .
则 , , , , , , ,
,
设 ,（ ）
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
【答案】（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25,再根据 将普通方程化为极坐标方程： （2）将 代入 得 得 ,也可利用直角坐标方程求交点,再转化为极坐标
2020年陕西省西安市八校高考(理科)数学联考试卷 (解析版)
2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。
2020届陕西省西安地区八校联考高三上学期第一次数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省西安地区八校联考高三上学期第一次数学(文)试题一、单选题1．已知集合{}|10A x Z x =∈+≥，(){}|lg 3B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}|13x x -≤<C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-【答案】D【解析】根据交集运算结果求解即可 【详解】{}{}|101,0,1,2,3,A x Z x A =∈+≥⇔=-L ，(){}{}|lg 3|3B x y x B x x ==-⇔=<，则A B =I {}1,2,1,0- 故选：D 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 2．复数12ii-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．()2,1-- B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2--【答案】A【解析】根据复数运算的除法法则求解即可 【详解】()()()12122i i i i i i i ---==---，在复平面内对应的点为()2,1-- 故选：A 【点睛】本题考查复数的除法运算，复数与复平面的对应关系，属于基础题 3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求导，令()'0f x =，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可 【详解】由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点 故选：C 【点睛】本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题4．若实数x ，y 满足()222013y x x y y ⎧≥-⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则241z x y =++的最小值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-5D ．0【答案】A【解析】根据题意，画出可行域，再根据目标函数与可行域的位置关系求解即可 【详解】如图所示，画出目标可行域，241z x y =++可转化为1124z y x -=-+，当交于点A 时，有最小值，求得1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入241z x y =++得min 2z =-本题考查根据二元一次方程组求目标函数的最小值，属于基础题5．在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）A ．89 54.5B ．89 53.5C ．87 53.5D ．89 54【答案】B【解析】根据中位数和方差定义求解即可 【详解】由题可知，中位数为：8791892+=，先求平均数： 787984868787919494989899999012x ++++++++++++==()()()()()()222222222222211211643314889953.512S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-++++++=⎣⎦ 故中位数为：89，方差为53.5 故选：B 【点睛】本题考查茎叶图的识别，中位数与方差的求法，属于基础题6．已知()1,01ln ,0x x ef x x x x⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（e 为自然对数的底数），若1a f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()a f x x =是（ ）A ．定义域为R 的奇函数B ．在()0,∞+上递减的奇函数C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,∞+上递增的偶函数【答案】B【解析】根据题意，结合分段函数，先求出a ，再求出()af x x =的具体表达式，进一11ln f e e e e ⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，则()()111a f f f e e e e ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11axxf x x -===，画出反比例函数的图像，显然B 项符合故选：B 【点睛】本题考查分段函数的求值，函数图像奇偶性增减性的判别，属于基础题 7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ） A ．()2,0 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】结合抛物线第一定义和图像即可求解 【详解】2y px =可变形为2y x p =，则焦点坐标为10,4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线第一定义，点()2,3A 到抛物线()20y pxp =>的准线的距离为5，即5AH=，即1354p +=，解得124p=，则抛物线焦点坐标为()02,故选：C本题考查抛物线的基本性质，熟悉抛物线基本表达式特征，明确焦点位置，是解题关键，属于基础题8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为23，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．16πC ．12πD ．123π【答案】B【解析】根据题意，画出大致图像，确定球心在'PO 的连线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可 【详解】如图，由几何关系可知，3'33BO =⨯=，先将三角形'PO B 转化成平面三角形， 如图：23PB ='3PO =，OP OB R ==，则'3OO R =-，由勾股定理可得222''O B OO OB +=，即()22233R R +-=，解得2R =，球体的表面积为：2416S R ππ==故选：B 【点睛】本题考查锥体外接球表面积的求法，解题关键在于找出球心，属于中档题9．若x 为实数，则“2x ≤≤是“223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式223x x +≤≤可得{|12}x x <<，是{|x x ≤≤的真子集，故“2x ≤≤”是“223x x +≤≤”成立的必要不充分条件. 故选B.10．函数()2cos 12sin x x x x f =+-的单调递增区间为（ ）A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()2,236k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()22,263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先将函数化简，再结合正弦函数增区间的通式求解即可 【详解】()2cos 12sin 2cos 2sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，再令22,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦ 故选：A 【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求法，属于基础题11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C 截得的弦长为234e a （e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =± B ．5y x =±C ．35y x =±D ．y x = 【答案】D【解析】可设左焦点的坐标为(),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --，代入双曲线方程可解得纵坐标，通过题设的通径可得参数,,a b c 基本关系，再结合222c a b =+即可求解【详解】设1F (),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --()0,0A B y y ><，将()(),,,A B A c y B c y --代入22221x y a b-=，解得22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22324b e a a =，解得2283b c =，又因为222c a b =+，联立得：2235b a =，即双曲线的渐近线方程为：5y x =±故选：D 【点睛】本题考查双曲线通径的使用，双曲线的基本性质，无论是椭圆还是双曲线，通径公式都为22b a，属于中档题12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[]40,44，[]45,49，[]50,54，[]55,59的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[]40,44.由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-.那么，年龄在[]60,64的爱看人数比为（ ）A ．0.42B ．0.39C ．0.37D ．0.35【答案】D【解析】根据题意，可列出y 关于x 的表格，求出,x y ，代入0.4188y kx =-，求出k ，即可求解 【详解】由题，对数据进行处理，得出如下表格：求得49.5x =，0.195y =，因样本中心(),x y 过线性回归方程，将(),x y 代入0.4188y kx =-，得0.0124k =，即0.01240.4188y x =-，年龄在[]60,64对应的x 为62，将62x =代入0.01240.4188y x =-得：0.0124620.41880.35y =⨯-=，对应的爱看人数比为：0.35 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，样本中心(),x y 过线性回归方程是一个重要特征，属于中档题二、填空题13．已知平面向量(),2a m =r ，()2,b m =r，且()//a b a -r r r ，则m =______.【答案】2±【解析】由题，根据()//a b a -r r r，即向量平行的坐标运算即可求出参数m【详解】()2,2a b m m -=--r r ，(),2a m =r ，因为()//a b a -r r r ，所以222m mm --=，解得2m =±故答案为：2m =± 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______. 【答案】3975【解析】根据等差数列下标性质进行求解即可 【详解】由题，可设1523,156a a ==，则15225135026273156a a a a a a a a +=+=+=+=+L ，故()23512531563975a a a ++=⨯+=L 故答案为：3975 【点睛】本题考查等差数列下标性质的应用，属于基础题15．从1，2，3，5，6，7中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为______. 【答案】0.6【解析】根据题意，采用列举法，表示出所有的情况，再选出符合题意的个数，结合古典概型公式求解即可 【详解】由题可知，所有可能的情况为：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,6,1,2,7,1,3,5,1,3,6,1,3,7，()()()()()()()()()()()1,5,6,1,5,7,1,6,7,2,3,5,2,3,6,2,3,7,2,5,6,2,5,7,2,6,7,3,5,6,3,5,7, ()()3,6,7,5,6,7，共计20个其中符合题意的有：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,7,1,3,6,1,5,6,1,6,7,2,3,5,()()()()()2,3,7,2,5,7,3,5,6,3,6,7,5,6,7，共计12个故这三个数的和为偶数的概率为：120.620P == 故答案为：0.6 【点睛】本题考查古典概型的计算，正确表示各个数的形式是解题关键，属于基础题16．金石文化，是中国悠久文化之一.“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是()()2882dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______.【答案】26 (()27283dm +【解析】先由三视图还原出立体图，再结合立体图特点求解表面积即可【详解】由立体图可确定该几何体由26个面构成，其中有18个正方形面和8个正三角形面构成，先研究正视图，若设中间的正方形的边长为a ，则2BC =（正视图BC 长度会被压缩），该正八边形面积为()(222122422288222S a aa ⎫=-⨯⨯=+=+⎪⎪⎝⎭2a =18个正方形面积为：218272⨯=，8232883⨯=故表面积为：(()27283dm +故答案为：26；(()27283dm +【点睛】本题考查由三视图还原立体图，多面体表面积的求法，还原立体图形、正确理解三视图与立体图线段关系是解题关键，属于难题三、解答题17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(2223a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM 7. （1）求角A 、C 的大小； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）6A π=，23C π=（2）3ABC S ∆ 【解析】（1）将()(2223a b c bc --=展开，结合余弦定理即可求得A ，再由2sin sin cos2CA B =可得sin 1cos B C =+，结合三角形内角和公式可求得C ； （2）结合（1）可判断ABC V 为等腰三角形，ACM ∆结合余弦定理即可求得,a b ，再结合正弦面积公式即可求解 【详解】（1）由()()2223a b c bc --=-，得2223b c a bc +-=.∴2223cos 2b c a A bc +-==. ∵0A π<<，∴6A π=，由2sin sin cos 2CA B =，得sin 1cos B C =+， ∴5sin 1cos 6C C π⎛⎫-=+⎪⎝⎭，由此得sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0C π<<，∴62C ππ-=，即23C π=. （2）由（1）知，6A B π==，则a b =，在ACM ∆中，由余弦定理，得2222cos120722a a AM b b ⎛⎫=+-⋅⋅︒= ⎪⎝⎭，解得2a b ==. 故113sin 223222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）.（1）证明：//PB 平面AMN ；（2）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求三棱锥P ABN -的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）83【解析】（1）要证//PB 平面AMN ，即证//PB 平面AMN 的一条线段，可连接BD ，交AM 于点E ，通过相似三角形证明//NE PB 即可；（2）采用等体积法进行转化，13P ABN N AB ABP P S V V d --∆=⋅=，平面PAB ⊥平面ABCD ，可通过几何关系先求出点D 到平面PAB 的距离，再结合12DN NP =求得点N 到平面PAB 的距离，结合体积公式即可求解；【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连接CH ，BD ，BD AM E ⋂=，连接NE .∵四边形ABCD 为平行四边形，M ，H 分别为CD ，AB 的中点， ∴根据平行线分线段成比例定理得13DE DB =， 又12DN NP =，得13DN DP =， ∴//NE PB ，又NE 在平面AMN 内，PB 不在平面AMN 内， ∴//PB 平面AMN .（2）由题意，得5PA PB ==，6AD AB BC ===， 120BAD ∠=︒.连接CH ，PH （H 为AB 的中点）， 则PH AB ⊥，CH AB ⊥，且22534PH =-=，226333CH =-=∵平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB ABCD AB =I ，CH 在平面ABCD 内，CH AB ⊥. ∴CH ⊥平面PAB ，∵//DC AB ，得D 点到平面PAB 的距离就是CH = 又12DN NP =，∴N 到平面PAB 的距离为23d CH ==∴13P ABN N AB ABP P S V V d --∆=⋅=116432=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行的证明，锥体体积的求法，属于中档题 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n a S f n =-+-.（1）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （2）若()0f n =对任意n ∈+N 都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式. 【答案】（1）()()31225f n n n =-+-⨯=- （2）()122122nn n S +=-=-（n 为偶数）【解析】（1）根据题意求出公差d ，即可求出通项公式；（2）由()()220n n n a S n N +-+-=∈，当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=，两式作差可得()()1133222n nn n a a --+=--=-，再令()2n m m N +=∈，则2212322m m m a a -+=⋅，结合前n 项和公式即可求解；【详解】（1）∵()()22nn n a S f n =-+-，11a =，23a =， ∴()1122121123a S f --=-⨯-=-=，()()()()2212223213241a a f a -++-=-++=-=，设等差数列为(){}f n 的公差为d ，则()132d =---=. ∴数列(){}f n 的通项公式为()()31225f n n n =-+-⨯=-.（2）()0f n =对任意n N ∈，都成立，即()()220nn n a S n N +-+-=∈ ①当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=②①-②得()()1133222n n n n a a --+=--=-. 令()2n m m N +=∈，则2212322mm m a a -+=⋅，∴()2221211322mm k mk k k k S a a -===+=∑∑()()224123221214mm -=⋅=--， 故()122122nn n S +=-=-（n 为偶数）.【点睛】本题考查等差数列的基本求法，由n a 与n S 求数列前n 项和，对运算能力有较高要求，属于中档题20．已知函数()()2sin f x mx x m R =+∈在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）求m 的最大值；（2）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值.【答案】（1）-1 （2）1m =【解析】（1）通过求导，再将函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减作等价转化，可得sin 2m x≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求得()min sin 2x -，即可求解； （2）可先求出()f x 过原点的切线方程，再设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，根据点斜式得出()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+-，又0ln 1m x =+，结合()0,0点经过l ，即可求解 【详解】解：（1）∵()()2sin f x mx x m R =+∈，∴()2sin c 'os sin 2m x x x m x f +=+=， ∵函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数. ∴()'0f x ≤即sin 20m x +≤，sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则当22x π=即4x π=时，sin 2x -取最小值-1.∴1m ≤-， ∴m 的最大值为-1.（2）()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()0,+∞. 由()'sin 2f x m x =+，得()'0sin0f m m =+=. ∴函数()f x 的图像在原点处的切线方程为y mx =， 由()ln 1g x x x =+，得()'ln 1g x x =+，设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，则l ：()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+- ①.且l 过原点，0ln 1m x =+， 将0x =，0y =代入①，解得01x =. ∴ln111m =+=. 【点睛】本题考查用导数和函数增减性求解参数问题，具体切线方程中参数的求法，学会等价转化，分离参数是解决参数类问题常用方法，属于中档题21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E 的离心率e =12AB AC ⋅=u u u r u u u r .（1）求椭圆E 的方程； （2）若斜率12k =的直线l 过点60,5⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，试判断：以PQ 为直径的圆是否经过点A ，并证明你的结论.【答案】（1）221164x y += （2）经过，证明见解析【解析】（1）根据题意，列出相应表达式，再结合222a b c =+，即可求解； （2）可联立直线和椭圆的标准方程，结合韦达定理表示出两根和与积的关系，再由向量证明0AP AQ ⋅=u u u r u u u r即可； 【详解】（1）解：由題意得(),0A a ，()0,B b ，()0,C b -，e =∴12AB AC ⋅=u u u r u u u r 即()()22,,12a b a b a b -⋅--=-=，设椭圆的半焦距为()0c c >，得方程组2222212a b ca ab c⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的方程为221164x y +=.（2）方法一：以PQ 为直径的圆经过点A .理由如下：∵椭圆E ：221164x y +=，()4,0A .直线l 的斜率12k =，且过点60,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴直线l ：1625y x =+， 由2216251164y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，并整理得2121280525x x +-=， 212128410525⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 与椭圆E 有两个交点.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12125x x +=-，1212825x x =-. ∵()()11224,4,x y AP A x y Q -⋅-⋅=u u u r u u u r()121212416x x x x y y =-+++()12121216164162525x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12125234364525x x x x =-++ 512823124364255525⎛⎫=⨯--⨯+ ⎪⎝⎭1602764360252525=--+=. ∴以PQ 为直径的圆经过点A . 方法二：同方法一，得12125x x +=-，121285x x =-. ∴PQ ===设PQ 的中点为()00,C x y ，则120625x x x +==-，00163255y x =-=-.∴12CA PQ ===. ∴以PQ 为直径的圆经过点A . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，韦达定理、向量法在解析几何中的应用，属于中档题 22．在直角坐标系xOy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.【答案】（1）普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭（2）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由1x k =得1k x=，代入y k=，化简即可求得曲线S 的普通方程，再结合222x y ρ+=，cos x ρθ=即可求解的曲线S 的极坐标方程；（2）设直线方程为(y k x =+，由直线l 与曲线C 有公共点可得圆心到直线距离d r ≤，可解得k ，进而求得α的取值范围【详解】（1）显然，参数14k ≥，由1x k =得()104k x x =<≤，代入y k=并整理，得()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. ∴曲线S 的普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. （2）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，曲线C 是以()02,为圆心，半径为2的圆. 当2πα=时，直线l：x =-C 没有公共点，当2πα≠时，设直线l的方程为(()tan y k x k α=+=.圆心()02,到直线l的距离为d ==由2d =≤，得0k ≤≤.∴03πα≤≤，即α的取值范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查曲线的普通方程和极坐标方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题 23．已知函数()25f x x x x =---. （1）求不等式()238f x x ≥-的解集；（2）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|6x x ≤ （2）(][),13,-∞+∞U【解析】（1）采用取绝对值方法可求得()f x 的分段函数，分三组方程求解即可； （2）存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，即求出()0f x 在区间[]00,6x ∈的最大值，使得()0max 42f x a ≥--即可求解a 的取值范围 【详解】解：（1）∵()22262,22542,2562,5x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+<⎪=---=--≤≤⎨⎪-+->⎩，∴不等式()238f x x ≥-等价于下列不等式组，①2226238x x x x <⎧⎨-+≥-⎩或②22254238x x x x ≤≤⎧⎨--≥-⎩或③2256238x x x x >⎧⎨-+-≥-⎩， 由①得2203x x <⎧⎪⎨≤⎪⎩，得2x <，由②得259x x ≤≤⎧⎨≤⎩，得25x ≤≤； 由③得536x x >⎧⎨-≤≤⎩，得56x <≤.∴不等式()238f x x ≥-的解集为{}|6x x ≤.（2）在区间[]0,6上，当02x ≤<时，()()max 02f x f ==； 当25x ≤≤时，()()max 53f x f ==； 当56x <≤时，()()53f x f <=. ∴在区间[]0,6上，()max 3f x =.由存在[]00,6x ∈使()042f x a ≥--成立，得342a ≥--，得1a ≤或3a ≥. ∴a 的取值范围为(][),13,-∞+∞U . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，存在性问题的等价转化，属于中档题。
2020届陕西省西安地区八校联考高三下学期高考押题卷文科数学试题(解析版)
2020届西安地区八校联考高考·押题卷数学*文科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}212A x x =-<-<，{}1B x x =>，则A B =（ ）.A. {}1x x <- B. {}3x x > C. {1x x <-或}1x > D. {}13x x <<【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交集运算可得结果.【详解】{}{}21213A x x x x =-<-<=-<<A B ={}{}{}131|13x x x x x x -<<⋂>=<<,故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知复数z 和虚数单位i 满足11iz =+；则z =（ ）. A.1122i - B. 1122i +C. 1i -D. 22i -【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出11iz =+，即可得到共轭复数. 【详解】()()111111122i z i i i i -===-++-， 1122z i ∴=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算以及共轭复数的求法，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（ ）. A.55-B. 55C. 135D. 65-【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=，1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4. 已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）.A. 7-B. 6-C. 12-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小. 【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩ ，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-， 故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题. 5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. 24π+B. 28π+C. 44π+D. 48π+【答案】B 【解析】 【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4， 下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1， 所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题. 6. 点()0,1M 与圆2220x y x +-=上的动点P 之间的最近距离为（ ）. A.2B. 2C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】求出点M 到圆心的距离，然后减去半径即得最近距离.【详解】将圆2220x y x +-=化为标准方程得()2211x y -+=，可知圆心为()1,0，半径为1， 则点M 到圆心()()2201102-+-=所以点M 与圆上的动点P 21. 故选：D.【点睛】本题考查圆上动点到圆外定点距离最小值的求法，属于基础题. 7. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）.A. 1y =-B. 10x y +-=C. y e =D. y ex =【答案】A【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程. 【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+， 可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题. 8. 执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（ ）.A. 15B. 16C. 17D. 18【解析】 【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立， 第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立， 输出16S =， 故选：B【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.9. 若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】求得b a 的值，再由e =可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 3b a π∴==所以，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A. 100，8B. 80，20C. 100，20D. 80，8【答案】A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11. 设函数()321,0,,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩则当()2f f =（ ）. A.18B. 2-C.278D. 278-【答案】D 【解析】 【分析】先计算2)2f =- 【详解】因为2222f=-=-，所以()()312722228f ff ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，当含有多层f 时，要从内到外计算，属于基础题. 12. 设向量()2,4a =-，()3,b x =-，()1,1c =-，若()2a b c +⊥，则b =（ ） A. 310 B. 109 C. 3 D. 9【答案】A【解析】 【分析】首先求出2a b +的坐标，再根据向量垂直，得到()20a b c +=，即可求出参数x ，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】解：因为()2,4a =-，()3,b x =-，()1,1c =-，所以()()()222,43,1,8a b x x +=-+-=-，因为()2a b c +⊥，所以()20a b c +=所以()()11180x ⨯+-⨯-=，解得9x =，所以()3,9b =-，所以()23b =-=故选：A【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量的模，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 已知椭圆22214x y a +=（0a >）的一个焦点是（0），则椭圆的长轴长是______. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意可得245a -=，即可求出参数a，从而求出长轴长；【详解】解：因为椭圆22214x y a +=（0a >）的一个焦点是（0），所以245a -=，即3a = 所以椭圆的长轴长26a = 故答案为：6【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.14. 已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是______. 【答案】44π- 【解析】 【分析】计算正方形面积和内切圆的面积后可得所求的概率 【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”，则A中含有的基本事件对应的面积为4π-，故所求的概率为44π-.故答案为：44π-.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题.15. 已知2nnb=，数列{}n b的前n项和n S，则7S=______.【答案】254【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式()111nna qSq-=-，将7n=，2q，首项2，代入即可求得7S的值.【详解】因为2nnb=，所以{}n b是等比数列，首项12b=，2q，所以()7872122225412S⨯-==-=-.故答案为：254【点睛】本题主要考查了等比数列前n项和公式，属于基础题.16. 第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.【答案】725-【解析】【分析】计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sinθ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a，则较短的直角边长为1a-，由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. 函数()sin 16f x m x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0m >，0>ω）的最大值为3，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且22B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =ABC 的面积为a c +的值.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）6a c +=. 【解析】 【分析】（1）根据最大值可求出m ，然后根据图像相邻两个对称中心之间的距离为2π可求出最小正周期，进而得到ω，即可写出解析式； （2）根据条件可求出3B π=，然后根据面积公式可得8ac =,再由余弦定理可求出()236a c +=，即可得a c +的值.【详解】（1）∵函数()f x 的最大值为3， ∴13m +=，得2m =，∵函数()f x 图像的两条对称轴之间的距离为2π， ∴函数()f x 的最小正周期为π， ∴2ππω=，得2ω=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； （2）∵()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2sin 1226B f B π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0B π<<，5666B πππ-<-<， ∴66B ππ-=，∴3B π=， ∵11sin sin 23223ABC S ac B ac π===，∴8ac =， ∴由余弦定理得()222232cos3a c ac π=+-，即()236a c +=，∴6a c +=.【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解析式，利用三角形面积公式和余弦定理求值，属于中档题.18. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =19. 如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =3x,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG =32x. 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知∆EBG 为直角三角形，可得BE =22x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6. 所以∆EAC 的面积为3，∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.20. 已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【解析】（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解；【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =.∴抛物线C 的方程为212x y =. （2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下： 设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立.∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PBx y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202kb --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠ 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题. 21. 已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数. （1）求函数()()()F x mf x g x =-（m 为常数）的单调区间；（2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],2-∞.【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+. ∴()()()()ln 11xF x mf x g x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++. 当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减； 当0m >时，由()0F x '=，得1mx m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<.1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>.()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立，即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立，设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++， 当2a ≤时，()0M x '≥， 仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ， 当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <， 综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （选修：坐标系与参数方程）22. 选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ.【解析】【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25， 即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25， 化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ.考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程（选修：不等式选讲）23. 已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可. 【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-， 得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤，得3113mm-+=⎧⎨+=⎩，2m=，∴2m=.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。
陕西省西安市2020年八年级第二学期期末联考数学试题含解析
陕西省西安市2020年八年级第二学期期末联考数学试题一、选择题（每题只有一个答案正确）1．菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（ ）A ．10B ．20C ．24D ．482．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若BC ＝3，∠ABC ＝60°，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．33D ．233．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．若一次函数()()120y k x k k =--≠的函数值y 随x 的值增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，则k 的取值范围是（ ）A ．12k <B ．102k <<C ．102k ≤<D ．0k ≤或12k > 5．某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．根据天气预报，2018年6月20日双流区最高气温是30C ︒，最低气温是23C ︒，则双流区气温()t C ︒的变化范围是( )A ．30t ≤B ．23t ≥C ．2330t <<D ．2330t ≤≤ 7．下列命题的逆命题能成立的有（ ）①两条直线平行，内错角相等；②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣a 2﹣3）一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程29200x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是（ ） A ．16 B ．18 C ．16或18 D ．2110．下列多项式中能用完全平方公式分解的是( )A ．x 2－x ＋1B ．a 2＋a ＋12C ．1－ 2x ＋x 2D ．－a 2＋b 2－2ab 二、填空题11．若分式11x x --的值为零，则x 的值为______． 12．把二次根式45化成最简二次根式得到的结果是______．13．把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是_________________.14．二次三项式()2459x k x --+是完全平方式,则k 的值是__________． 15．如图，在▱ABCD 中，已知AD=9cm ，AB=6cm ，DE 平分∠ADC ，交BC 边于点E ，则BE=______cm ．16．直线2y x =向下平移2个单位长度得到的直线是__________．17．计算：18-2=________.三、解答题18．甲、乙两人参加射箭比赛，两人各射了5箭，他们的成绩（单位：环）统计如下表.第1箭 第2箭 第3箭 第4箭 第5箭 甲成绩9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 6 5 7（1）分别计算甲、乙两人射箭比赛的平均成绩；（2）你认为哪个人的射箭成绩比较稳定?为什么?19．（6分）如图，在正方形网格中，△OBC 的顶点分别为O （0，0），B （3，﹣1）、C （2，1）．（1）以点O （0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC 放大为△OB′C′，放大后点B 、C 两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′，并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）；（2）在（1）中，若点M （x ，y ）为线段BC 上任一点，写出变化后点M 的对应点M′的坐标（ ， ）． 20．（6分）已知一次函数的图像经过点（—2，－2）和点（2，4）（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数的图像与y 轴的交点坐标．21．（6分）如图，在ABC △中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF BC 交DE 的延长线于F 点，连接AD 、CF ．（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形；（2）当ABC △满足什么条件时，四边形图ADCF 是菱形？为什么？22．（8分）关于x 的方程：11ax x +-－21x -＝1. (1)当a ＝3时，求这个方程的解；(2)若这个方程有增根，求a 的值．23．（8分）已知5x+y ＝2，5y ﹣3x ＝3，在不解方程组的条件下，求3（x+3y ）2﹣12（2x ﹣y ）2的值． 24．（10分）计算：(1)34482316--； (2)已知23x =-，23y =+，求22x xy y ++的值.25．（10分）（问题情境）如图，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM ．（探究展示）（1）直接写出AM 、AD 、MC 三条线段的数量关系： ；（2）AM ＝DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展延伸）（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立，请分别作出判断，不需要证明．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．C【解析】试题分析：由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8=1．故选C．考点：菱形的性质．2．C【解析】【分析】只要证明△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO＝60°，∴BO＝sin60°•AB＝333∴BD＝33故选C．【点睛】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．3．C【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．4．C【解析】【分析】先根据函数y随x的增大而增大可确定1−2k＞1，再由函数的图象不经过第二象限可得图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即−k≤1，进而可求出k的取值范围．【详解】解：∵一次函数y＝（1−2k）x−k的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，∴1−2k＞1，且−k≤1，解得12k≤<，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；一次函数y＝kx＋b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1；一次函数y＝kx＋b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜1；一次函数y＝kx＋b图象过原点⇔b＝1．5．B【解析】【分析】【详解】图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度小于于第一阶段的速度，则C错误．故选B考点：函数的图象【点睛】本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】根据题意列出不等式即可求出答案．【详解】解：由于最高气温是30℃，最低气温是23℃，∴23≤t≤30，故选：D．【点睛】本题考查不等式，解题的关键是正确理解不等式的定义，本题属于基础题型．7．C【解析】【分析】写出各个命题的逆命题后判断真假即可．【详解】解：①两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个实数相等，不成立；③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，成立的有2个，故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大．8．C【解析】【分析】根据直角坐标系的坐标特点即可判断.【详解】解：∵a2+3≥3＞0，∴﹣a2﹣3＜0，∴点（﹣2，﹣a 2﹣3）一定在第三象限．故选C ．【点睛】此题主要考查直角坐标系点的特点，解题的关键是熟知各象限坐标特点.9．B【解析】【分析】先把方程29200x x -+=的根解出来，然后分别让两个根作为腰长，再根据三角形三边关系判断是否能组成三角形，即可得出答案.【详解】解：∵腰长是方程29200x x -+=的一个根，解方程29200x x -+=得：124,?5x x == ∴腰长可以为4或者5；当腰长为4时，三角形边长为：4,4,8，∵448+=，根据三角形三边长度关系：两边之和要大于第三边可得：4,4,8三条线段不能构成三角形， ∴舍去；当腰长为5时，三角形边长为：5,5,8，经检验三条线段可以构成三角形；∴三角形的三边长为：5,5,8，周长为：18.故答案为B.【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及三角形三边关系的验证，当涉及到等腰三角形的题目要进行分类讨论，讨论后一定不要忘记如果求得三角形的三边长，必须根据三角形三边关系再进行判断，看求得的三边长度是否能构成三角形.10．C【解析】【分析】根据完全平方公式判断即可.（222)(2b a b ab a ±=+± ）【详解】根据题意可以用完全平方公式分解的只有C 选项.即C 选项2212(1)x x x -+=-故选C.【点睛】本题主要考查完全平方公式，是常考点，应当熟练掌握.二、填空题11．-1 【解析】【分析】【详解】试题分析：因为当10{-10-=≠xx时分式11xx--的值为零，解得1x=±且1x≠，所以x=-1．考点：分式的值为零的条件．12．【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．13．m>1【解析】试题分析：直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，求出直线y=-x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．试题解析：直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，联立两直线解析式得：3? {24y x my x=-++=+，解得：13{2103mxmy-=+=，即交点坐标为（13m-，2103m+），∵交点在第一象限，∴13{2103mm-+＞＞，解得：m＞1．考点：一次函数图象与几何变换．14．17或-7【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：∵二次三项式4x2-（k-5）x+9是完全平方式，∴k-5=±12，解得：k=17或k=-7，故答案为：17或-7【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．1【解析】【分析】由平行四边形对边平行得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=9cm，CD=AB=6cm，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADE，∴∠EDC=∠DEC，∴CE=CD=6cm，∴BE=BC-EC=1cm，故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出CE=CD=6cm是解题的关键．16．22y x =-【解析】【分析】根据一次函数图象几何变换的规律得到直线y=1x 向下平移1个单位得到的函数解析式为y=1x-1．【详解】解：直线y=1x 向下平移1个单位得到的函数解析式为y=1x-1故答案为：y=1x-1【点睛】本题考查了一次函数图象几何变换规律：一次函数y=kx （k≠0）的图象为直线，直线平移时k 值不变，当直线向上平移m （m 为正数）个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+m ．当直线向下平移m （m 为正数）个单位，则平移后直线的解析式为y=kx-m ．17．【解析】试题解析：原式==故答案为三、解答题18．（1）甲：6；乙：6；（2）乙更稳定【解析】【分析】（1）根据平均数=总数÷总份数，只要把甲乙的总成绩求出来，分别除以5即可；据此解答；（2）根据求出的方差进行解答即可．【详解】（1）两人的平均成绩分别为9474665x ++++==甲, 7565765x ++++==乙． （2）方差分别是S 2甲=15[（9-6）2+（4-6）2+（7-6）2+（4-6）2+（6-6）2]=3.6 S 2乙=15[（7-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（5-6）2+（7-6）2]=0.8 ∵S 2甲＞S 2乙，∴乙更稳定，【点睛】本题主要考查平均数的求法和方差问题，然后根据平均数判断解答实际问题．19．（1）画图见解析；B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；（2）（－2x，－2y）【解析】【分析】（1）延长BO，CO，在延长线上分别截取OB′=2OB，OC′=2OC，连接B'C'，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据各点的所在的位置写出点的坐标即可；（2）M点的横坐标、纵坐标分别乘以-2即可得M′的坐标．【详解】解：（1）如图（2分）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）（2）M′（﹣2x，﹣2y）．【点睛】本题考查位似变换，利用数形结合思想解题是关键．20．（1）；（2）（0，1）【解析】【分析】设函数关系式为，由图像经过点（—2，－2）和点（2，4）根据待定系数法即可求得这个函数的解析式，再把x=0代入求得的函数解析式即可得到这个函数的图像与y轴的交点坐标．【详解】解：（1）设函数关系式为∵图像经过点（—2，－2）和点（2，4）∴，解得∴这个函数的解析式为；（2）在中，当x=0时，∴这个函数的图像与y轴的交点坐标为（0，1）.点睛：待定系数法求函数关系式是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.21．（1）见解析；（2）当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由见解析．【解析】【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°又∵点D是边BC的中点，∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．22．（1）x＝－2；（2）a＝－3.【解析】【分析】（1）将a=3代入,求解311xx+-－21x-＝1的根,验根即可,（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值. 【详解】解：(1)当a ＝3时，原方程为311x x +-－21x-＝1, 方程两边同乘x －1，得3x ＋1＋2＝x －1，解这个整式方程得x ＝－2，检验：将x ＝－2代入x －1＝－2－1＝－3≠0，∴x ＝－2是原分式方程的解．(2)方程两边同乘x －1，得ax ＋1＋2＝x －1，若原方程有增根，则x －1＝0，解得x ＝1，将x ＝1代入整式方程得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.【点睛】本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.23．1．【解析】【分析】将原式进行因式分解，便可转化为已知的代数式组成的式子，进而整体代入，便可求得其值．【详解】原式＝3[（x+3y ）2﹣4（2x ﹣y ）2]＝3[（x+3y ）+2（2x ﹣y ）]（x+3y ）﹣2（2x ﹣y ）]＝3（5x+y ）（5y ﹣3x ），∵5x+y ＝2，5y ﹣3x ＝3，∴原式＝3×2×3＝1．【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，整体思想，正确地进行因式分解，将未知代数式转化为已知代数式的式子，是本题解题的关键所在．24． (1)-(2)15.【解析】【分析】（1）根据二次根式性质化简后合并求解即可；（2）先对22x xy y ++变形得2()x y xy +-，先分别求出x y +，xy ，代入即可. 【详解】解：（1）原式44=⨯-=-53=-；（2）22x xy y ++变形得2()x y xy +-，根据题意4x y +=，222(3)1xy =-=,代入得：22x xy y ++24115=-=.【点睛】本题考查了二次根式，熟练进行分母有理化是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）成立.证明见解析；（3） (1)成立；(2)不成立【解析】【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE 、BC 交于点N ，如图1（1），易证△ADE ≌△NCE ，从而有AD=CN ，只需证明AM=NM 即可．（2）作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，易证AM=FM ，只需证明FB=DE 即可；要证FB=DE ，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC 仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM 不成立．【详解】解：（1）证明：延长AE 、BC 交于点N ，如图1（1），∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE=∠ENC ．∵AE 平分∠DAM ，∴∠DAE=∠MAE ． ∴∠ENC=∠MAE ．∴MA=MN ．∴△ADE ≌△NCE （AAS ）∴AD=NC ．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC ．（2）AM=DE+BM 成立．证明：过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，如图1（2）所示．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD ，AB ∥DC ．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴△ABF≌△ADE（ASA）．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．∴△ADE≌△PCE（AAS）．∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．②结论AM=DE+BM不成立．证明：假设AM=DE+BM成立．过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．∵AQ⊥AE，∴∠QAE=90°．∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB ∴∠Q=∠QAM．∴AM=QM．∴AM=QB+BM．∵AM=DE+BM，∴QB=DE．∴△ABQ≌△ADE（AAS）∴AB=AD．与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．∴AM=DE+BM不成立．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，考查了基本的模型构造：平行和中点构造全等三角形.有较强的综合性.。
陕西省西安地区八校联考联盟2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟联考数学(文)试题及答案
15.已知椭圆 长轴的一个顶点到直线 的距离不小于2,则椭圆的离心率的取值范围为__________.
16.已知 , , .则 的取值范围为__________.
三、解答题（共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）
小于m
不小于m
合计
朗读记忆（人数）
默读记忆（人数）
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
20.在直角坐标系 中,已知圆 ,A、B是抛物线 上两点, 的重心恰好为抛物线S的焦点F,且 的面积为 .
（1）求p的值；
（2）求 与抛物线S 公切线的方程.
21.已知函数 （e为自然对数的底数, ）.
2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟联考测试
数学(文)试题参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
（1）分别计算“朗读记忆”和估算“默读记忆”（估算时,用各组的中点值代替该组的平均值）记忆这篇文的平均时间（单位：min）；
陕西省西安市八校2020届高三(6月份)高考数学(理科)联考试卷(wd无答案)
陕西省西安市八校2020届高三（6月份）高考数学（理科）联考试卷(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知数列满足：，且，则前10项和等于（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知 i为虚数单位，，若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且，则 z＝（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知、为不同的直线，、为不同的平面，给出下列命题：① ；② ；③ ；④ ．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④(★★★) 5. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 设是平面内两个不共线的向量，（ a＞0， b＞0），若 A， B， C三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．8(★★) 7. 已知 p： a＝±1， q：函数为奇函数，则 p是 q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )A．B．C．D．(★) 9. 已知sinα、cosα是方程5 x 2﹣ x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+ ）＝（）A．B．﹣C．D．﹣(★★★) 10. 对于函数 f（ x）＝cos 2 x+ sin xcos x，x∈ R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称(★★★) 11. 已知，是双曲线的上、下两个焦点，过的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．(★★★) 12. 已知函数，点是函数图象上不同两点，则（为坐标原点）的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数 x， y满足不等式组，则 z＝ x+ y的最小值为_____．(★) 14. 从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为 m、 n，则“log m n＞0”的概率为_____．(★★★) 15. 已知点 A、 B、 C在球心为 O的球面上，若 AB＝ AC＝5， BC＝6，球心 O到截面 ABC的距离为1，则该球的表面积为_____．(★★★★) 16. 在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___三、解答题(★★★) 17. 如图，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）若二面角为角，，，求与平面所成角的正弦值．(★★) 18. 已知{ a n}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 S n，且．（1）求数列{ S n}的通项公式；（2）设 b n＝，求{ b n}的前 n项和 T n．(★★★★) 19. 为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位: ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）求；（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间的人数为，试求.附：，若~ ，，.(★★★) 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在与轴不垂直的直线，使弦的垂直平分线过椭圆的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.(★★★★) 21. 已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.(★★★) 22. 在直角坐标系中，已知圆： ( 为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．(★★★) 23. 已知函数 f（ x）＝| x﹣1|．（1）求不等式 f（2 x）﹣ f（ x+1）≥2的解集．（2）若 a＞0， b＞0且 a+ b＝ f（3），求证：．。