2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
上海市华二附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)

华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =(1[]2x ∈-)的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 (填“充要”,“充分非必要”,“必要非充分”,“既不充分也不必要”)5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1010S =,2030S =,则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ,面积是2224a b c +-,则C = 7. 已知数列{}n a ,其中199199a =,11()a n n a a -=,那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =,公比3q =,1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=(,n m *∈N ,n m <), 则n m +=9. 在△ABC 中,222sin sin 2018sin A C B +=,则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++,1,2,3n =⋅⋅⋅,n S 是数列的前n 项和,则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( )A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+,则( )A. ()f x 的最小正周期为π,最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π,最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π,最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度,那么新函数( ) A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-(其中k ∈N ),对任意实数a ,在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,则k 值为( ) A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中,7a =,8b =,1cos 7B =-. (1)求A ;(2)求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++(n *∈N ,,0a b >).(1)当a b =时,求数列{}n u 的前n 项和n S (用a 和n 表示);(2)求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. (1)若4a π=,求arccos 2x 的值; (2)若方程有实数解,求实数a 的取值范围; (3)若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β,求αβ+的最大值.18.(1)证明:3cos(3)4cos 3cos x x x =-;(2)证明:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立,其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++,1,n a a ⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时, 0n a =,当n 为偶数时,2(1)n n a =-;(3)利用(2)的结论判断cos7m π(16m ≤≤,m *∈N )是否为有理数?参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.(1)3A π=;(2)2.16.(1)12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且;(2)1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.(1)0或23π;(2)33[arctan ]22+;(3)19.18.(1)证明略;(2)证明略;(3)不是有理数.。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷试题数:18.满分:01.(填空题.3分)在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ .2.(填空题.3分)已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ .3.(填空题.3分)数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ .4.(填空题.3分)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ .5.(填空题.3分) lim n→∞(1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n )=___ .6.(填空题.3分)一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ .7.(填空题.3分)化小数为最简分数:0.3 4• 5•=___ .8.(填空题.3分)若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ .9.(填空题.3分)设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin (x- π2 )= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ .10.(填空题.3分)在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .(s.t.k.p.m.n∈N*).对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题:___ .11.(单选题.3分)已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.(单选题.3分)下列四个命题中正确的是( ) A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n >0. n→∞a n =A.则A >0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞(a n -b n )=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.(单选题.3分)设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为( )A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.(单选题.3分)已知数列a n =arcsin (sinn°).n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时( ) A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.(问答题.0分)已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π). (1)当m=1时.解此方程(2)试确定m 的取值范围.使此方程有解.16.(问答题.0分)在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列. (Ⅰ)求d.a n ;(Ⅱ)若d <0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.17.(问答题.0分)某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年(2016年为第一年).因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1),n ≤52000(1−0.6n−5),n >5(万元).按此预计.求:(1)第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金; (2)第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金.18.(问答题.0分)已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1;(1)若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式;(2)若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n;(3)若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1>0恒成立.求μ的取值范围.2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析试题数:18.满分:01.(填空题.3分)在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ .【正确答案】:[1]8【解析】:由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4.【解答】:解:∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4>0.解得a4=8.故答案为:8.【点评】:本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题.2.(填空题.3分)已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ .【正确答案】:[1]π+arcsin 13【解析】:先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2,0 ].再利用诱导公式sin(π-x)=sinx.求出π-x=arcsin(- 13)=-arcsin 13.然后计算得解.【解答】:解:因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2,0 ].由sinx=- 13.sin(π-x)=sinx.所以sin(π-x)=- 13.即π-x=arcsin(- 13)=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为:π+arcsin 13 .【点评】:本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.(填空题.3分)数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ . 【正确答案】:[1] {4,n =14n −1,n ≥2【解析】:根据数列的递推公式即可求出通项公式.【解答】:解:当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2(n-1)2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4,n =14n −1,n ≥2 .故答案为: {4,n =14n −1,n ≥2 .【点评】:本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.(填空题.3分)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ .【正确答案】:[1] 2661【解析】:由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得.【解答】:解:由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为: 2661【点评】:本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题. 5.(填空题.3分) lim n→∞(1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n )=___ .【正确答案】:[1]2【解析】:求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可.【解答】:解: 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2( 1n −1n+1 ).∴ lim n→∞(1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n )= lim n→∞2(1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 )=lim n→∞(2- 2n+1 )=2.故答案为:2.【点评】:本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力.6.(填空题.3分)一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ . 【正确答案】:[1]√5+12【解析】:根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a (a-aq ).即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2<1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m (√5+12 )×( √5−12)2<1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案.【解答】:解:小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q >0. 则有a 2q 2=a (a-aq ). 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52(舍去). 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2<1.即m ( √5+12 )×( √5−12)2<1. 解可得m <√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为: √5+12.【点评】:本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题. 7.(填空题.3分)化小数为最简分数:0.3 4• 5•=___ . 【正确答案】:[1] 1955【解析】:由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值.【解答】:解:0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 . 故答案为: 1955.【点评】:本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题.8.(填空题.3分)若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ . 【正确答案】:[1](-1.0)∪(0. 18 ]【解析】:由题意 a 11−q =12 .|q|<1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=(1-2q )q=q-2q 2=-2(q- 14 )2+18.利用-1<q <1.能求出a 2的取值范围.【解答】:解:∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|<1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=(1-2q )q=q-2q 2=-2(q- 14 )2+ 18 . ∵-1<q <1.a 2的取值范围是(-1.0)∪(0. 18]. 故答案为:(-1.0)∪(0. 18 ].【点评】:本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题.9.(填空题.3分)设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin (x- π2 )= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ .【正确答案】:[1] 3π4【解析】:先将两方程变形为:-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解.【解答】:解:由x-cosx= π4 .可化为: π4 -x=sin (x- π2 ). x+arcsin (x- π2 )= π4 .可化为: π4 -x=arcsin (x- π2 ). 设θ=x - π2.则有:-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得:x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为: 3π4 .【点评】:本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.(填空题.3分)在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .(s.t.k.p.m.n∈N*).对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题:___ . 【正确答案】:[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .(s.t.k.p.m.n∈N*) 【解析】:利用类比推理可得【解答】:解:利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .(s.t.k.p.m.n∈N*). 故答案为:若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .(s.t.k.p.m.n∈N*)【点评】:本题考查了类比推理的问题.属于基础题.11.(单选题.3分)已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】:C【解析】:由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得:当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件.【解答】:解:当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得:“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选:C .【点评】:本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题. 12.(单选题.3分)下列四个命题中正确的是( ) A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n >0. n→∞a n =A.则A >0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞(a n -b n )=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】:C【解析】:此题可采用排除法法.可取a n =(-1)n .排除A ;取a n = 1n.排除B ;取a n =b n =n.排除D 得到答案.【解答】:解:取a n =(-1)n .排除A ; 取a n = 1n .排除B ; 取a n =b n =n.排除D . 故选:C .【点评】:考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题. 13.(单选题.3分)设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为( ) A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】:C【解析】:先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论.【解答】:解:因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2. 故选:C .【点评】:本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有.14.(单选题.3分)已知数列a n =arcsin (sinn°).n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时( ) A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】:B【解析】:由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值.【解答】:解:由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得: S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180; 当n 取91到180的自然数可得: a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0; 当n 取181到270的自然数可得:a 181+a 182+…+a 270=-( π180 + 2π180 +…+ 90π180 ); 当n 取271到360的自然数可得:a 271+a 272+…+a 360=-( 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0). 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180>0.且为最大值;而S1800=S360×5=0.S2016=S216>0.S1980=S180>0.则故排除A.C.D.故选:B.【点评】:本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题.15.(问答题.0分)已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π).(1)当m=1时.解此方程(2)试确定m的取值范围.使此方程有解.【正确答案】:【解析】:(1)由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为:cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.(2)分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解.【解答】:解:(1)sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为:cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π).所以x=π.故方程的解集为:{π}(2)由(1)得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=(cosx- 12)2- 14.又cosx∈[-1.1].所以(cosx- 12)2- 14∈[- 14,2 ].即1+m∈[- 14,2 ].即m∈[ −54,1 ].故答案为:[ −54,1 ]【点评】:本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.(问答题.0分)在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列.(Ⅰ)求d.a n;(Ⅱ)若d<0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.【正确答案】:【解析】:(Ⅰ)直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d<0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和.【解答】:解:(Ⅰ)由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0.解得d=-1或d=4.当d=-1时.a n=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11.当d=4时.a n=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6.所以a n=-n+11或a n=4n+6;(Ⅱ)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0.由(Ⅰ)得d=-1.a n=-n+11.则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n.当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110.综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n,n≤1112n2−212n+110,n≥12.【点评】:本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题.17.(问答题.0分)某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年(2016年为第一年).因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1),n ≤52000(1−0.6n−5),n >5(万元).按此预计.求:(1)第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金;(2)第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金.【正确答案】:【解析】:(1)计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论;(2)考虑1到5年不符题意;n >5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0.6n−5)1−0.6 ]>1000n.结合n的特殊值.计算可得结论.【解答】:解:(1)新增的盈利a n = {150(n −1),n ≤52000(1−0.6n−5),n >5 (万元). 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×(1-0.6)=800.a 7=2000×(1-0.36)=1280>1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金;(2)由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500<5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0.6n−5)1−0.6 ]>1000n.化简可得n+3•0.6n-5>11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66<11.5.当n=12时.12+3•0.67>11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金.【点评】:本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题.18.(问答题.0分)已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1;(1)若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式;(2)若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n;(3)若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1>0恒成立.求μ的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1)由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式;(2)由条件可得a n+1+1=2(a n+1).由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求;(3)由条件可得a n2+(1+μ)a n+1>0恒成立.即(a n+ 1+μ2)2+1- (1+μ)24>0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围.【解答】:解:(1)λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2;(2)若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2(a n+1).可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=(2+4+…+2n)-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n;(3)若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1>0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+(1+μ)a n+1>0恒成立.即(a n+ 1+μ2)2+1- (1+μ)24>0恒成立.由a1=-1.可得1-(1+μ)+1>0.即有μ<1;又(a n+ 1+μ2)2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24>0.可得-3<μ<1.综上可得μ的范围是(-3.1).【点评】:本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题.。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(上)期末数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(上)期末数学试卷试题数:18.满分:01.(填空题.3分)函数f(x)= lg(x+1)x的定义域为___ .2.(填空题.3分)设f(x)是定义在R上的奇函数.且满足f(x+2)=-f(x).则f(-2)=___ .3.(填空题.3分)已知cosα=√55,−π2<α<0 .则tanα=___ .4.(填空题.3分)2020°是第___ 象限角.5.(填空题.3分)已知函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a,x∈R)的图象过点(2.3).则f(4)=___ .6.(填空题.3分)若关于x的方程|a x-1|=2a.(a>0.a≠1)有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ .7.(填空题.3分)屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元(保留整数)8.(填空题.3分)已知函数f(x)=k•4x-k•2x+1-4(k+5)在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ .9.(填空题.3分)下列命题正确的序号为___ .① 周期函数都有最小正周期;② 偶函数一定不存在反函数;③ “f(x)是单调函数”是“f(x)存在反函数”的充分不必要条件;④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x上;10.(填空题.3分)设f(x)是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f(x)=x2.若对任意的x∈[t.t+2].不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立.则实数t的取值范围是 ___ .11.(单选题.3分)“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关()A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点的图象大致为()12.(单选题.3分)函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.13.(单选题.3分)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|(x∈R).且集合M={a|f(a2-a-2)=f(a+1)}.则集合N={f(a)|a∈M}的元素个数有()A.无数个B.3个C.4个D.2个14.(单选题.3分)下列命题中正确的命题是()A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1<x2时.有f(x1)<f(x2).则说函数y=f(x)在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b](1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*).当x1<x2<x3<…<x n时.有f(x1)<f(x2)<f(x3)<…<f(x n).则说函数y=f(x)在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f(x)的定义域为[0.+∞).若对任意的x>0.都有f(x)<f(0).则函数y=f(x)在[0.+∞)上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2>0 .则说函数y=f(x)在区间[a.b]上是增函数15.(问答题.0分)已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16.(问答题.0分)判断并证明函数f(x)=1+2x1−2x +log21+x1−x的奇偶性.17.(问答题.0分)已知函数f(x)=9x-2a•3x+3:(1)若a=1.x∈[0.1]时.求f(x)的值域;(2)当x∈[-1.1]时.求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m、n.同时满足下列条件:① n>m>3;② 当h(a)的定义域为[m.n]时.其值域为[m2.n2].若存在.求出m、n的值.若不存在.请说明理由.18.(问答题.0分)设ℎ(x)=x+mx . x∈[14,5] .其中m是不等于零的常数.(1)写出h(4x)的定义域:(2)求h(x)的单调递增区间:(3)已知函数f(x)(x∈[a.b]).定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a.b]).f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a.b]).其中.min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值.max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值.例如:f(x)=x.x∈[0.1].则f1(x)=0.x∈[0.1].f2(x)=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1(x)-M2(x)≤n恒成立.求t.n的取值范围.2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析试题数:18.满分:0的定义域为___ .1.(填空题.3分)函数f(x)= lg(x+1)x【正确答案】:[1](-1.0)∪(0.+∞)【解析】:根据对数函数以及分母不为0.求出函数的定义域即可.【解答】:解:由题意得:.{x+1>0x≠0解得:x>-1且x≠0.故函数的定义域是(-1.0)∪(0.+∞).故答案为:(-1.0)∪(0.+∞).【点评】:本题考查了求函数的定义域问题.考查对数函数的性质.是一道基础题.2.(填空题.3分)设f(x)是定义在R上的奇函数.且满足f(x+2)=-f(x).则f(-2)=___ .【正确答案】:[1]0【解析】:利用奇函数的性质f(0)=0;给已知等式中的x赋值0.求出f(2);利用奇函数的定义求出f(-2).【解答】:解:∵f(x)是定义在R上的奇函数.∴f(0)=0∵f(x+2)=-f(x).令x=0得f(2)=-f(0)所以f(2)=0∵f(x)是定义在R上的奇函数∴f(-2)=-f(2)=0故答案为0【点评】:本题考查奇函数的性质:若f(x)是奇函数.且在x=0处有意义则f(0)=0;考查奇函数的定义;考查通过赋值法求函数值.3.(填空题.3分)已知cosα=√55,−π2<α<0 .则tanα=___ .【正确答案】:[1]-2【解析】:利用同角三角函数的基本关系式.求出sinα.然后得到tanα.【解答】:解:因为cosα=√55,−π2<α<0 .所以sinα= −√1−cos2α = −√1−(√55)2=−2√55.所以tanα= sinαcosα=−2√55√55=-2;故答案为:-2【点评】:本题是基础题.考查同角三角函数的基本关系式的应用.注意角的范围.三角函数值的范围.考查计算能力.4.(填空题.3分)2020°是第___ 象限角.【正确答案】:[1]三【解析】:把2020°写成5×360°+220°.可知2020°与220°角的终边相同.则答案可求.【解答】:解:∵2020°=5×360°+220°.∴2020°与220°角的终边相同.为第三象限角.故答案为:三.【点评】:本题考查了象限角.考查了终边相同的角.是基础题.5.(填空题.3分)已知函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a,x∈R)的图象过点(2.3).则f(4)=___ .【正确答案】:[1]1【解析】:根据f-1(2)=3得a=-7.再根据f-1(x)=4解得x=1即可.=3.解得a=-7.所以f-1(x)= 【解答】:解:因为f-1(x)过(2.3).所以f-1(2)=3.所以2−a2+1x+7.x+1=4解得x=1.所以f(4)=1.由x+7x+1故答案为:1.【点评】:本题考查了反函数.属基础题.6.(填空题.3分)若关于x的方程|a x-1|=2a.(a>0.a≠1)有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ .)【正确答案】:[1](0. 12【解析】:先画出a>1和0<a<1时的两种图象.根据图象可直接得出答案.【解答】:解:据题意.函数y=|a x-1|(a>0.a≠1)的图象与直线y=2a有两个不同的交点.a>1时0<a<1时).由图知.0<2a<1.所以a∈(0. 12).故答案为:(0. 12【点评】:本题主要考查指数函数的图象与性质.考查方程根的个数的判断.体现了数形结合及转化的数学思想.7.(填空题.3分)屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元(保留整数)【正确答案】:[1]53877【解析】:利用等比数列的前n项和公式直接求解.【解答】:解:屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为:(1+0.025)+(1+0.025)2+(1+0.025)3+(1+0.025)4+(1+0.025)5≈53877.= 1.025(1−0.0255)1−0.025故答案为:53877.【点评】:本题考查他可取回的钱数的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题.8.(填空题.3分)已知函数f(x)=k•4x-k•2x+1-4(k+5)在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ .【正确答案】:[1](-∞.-4]∪[5.+∞)【解析】:要使函数f(x)=k•4x-k•2x+1-4(k+5)在区间[0.2]上存在零点.换元令t=2x.则t∈[1.4].即f(t)=k•t2-2k•t-4(k+5)=k(t-1)2-5(k+4)在[1.4]上有零点.根据零点判定定理即可求得结论.【解答】:解:令t=2x.则t∈[1.4].∴f(t)=k•t2-2k•t-4(k+5)=k(t-1)2-5(k+4)在[1.4]上有零点.∴f(1)f(4)≤0即可.即-5(k+4)(4k-20)≤0.解得k≥5或k≤-4.故答案为:(-∞.-4]∪[5.+∞).【点评】:此题是中档题.考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系.体现了转化的能力.同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.9.(填空题.3分)下列命题正确的序号为___ .① 周期函数都有最小正周期;② 偶函数一定不存在反函数;③ “f (x )是单调函数”是“f (x )存在反函数”的充分不必要条件;④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x 上;【正确答案】:[1] ③ ④【解析】:根据题意.对题目中的命题进行分析、判断真假性即可.【解答】:解:对于 ① .不是所有的周期函数都有最小正周期.如f (x )= {0,x 为有理数1,x 为无理数.∴ ① 错误;对于 ② .f (x )=0.x∈{0}.是偶函数.它有反函数.∴ ② 错误;对于 ③ .f (x )是单调函数时.f (x )存在反函数.充分性成立.f (x )存在反函数时.f (x )不一定是单调函数.如f (x )= 1x .(x≠0).必要性不成立. 是充分不必要条件. ③ 正确;对于 ④ .原函数与反函数的图象有偶数个交点时.则它们的交点必关于直线y=x 对称. 也可能都不在直线y=x 上. ④ 正确;综上所述.正确的命题序号是 ③ ④ .故答案为: ③ ④ .【点评】:本题利用命题真假的判断考查了函数的定义与性质的应用问题.是中档题.10.(填空题.3分)设f (x )是定义在R 上的奇函数.且当x≥0时.f (x )=x 2.若对任意的x∈[t .t+2].不等式f (x+t )≥2f (x )恒成立.则实数t 的取值范围是 ___ .【正确答案】:[1] [√2,+∞)【解析】:由当x≥0时.f (x )=x 2.函数是奇函数.可得当x <0时.f (x )=-x 2.从而f (x )在R 上是单调递增函数.且满足2f (x )=f ( √2 x ).再根据不等式f (x+t )≥2f (x )=f ( √2 x )在[t.t+2]恒成立.可得x+t≥ √2 x 在[t.t+2]恒成立.即可得出答案.【解答】:解:当x≥0时.f (x )=x 2∵函数是奇函数∴当x <0时.f (x )=-x 2∴f (x )= {x 2 x ≥0−x 2 x <0. ∴f (x )在R 上是单调递增函数.且满足2f (x )=f ( √2 x ).∵不等式f (x+t )≥2f (x )=f ( √2 x )在[t.t+2]恒成立.∴x+t≥ √2 x在[t.t+2]恒成立.即:x≤(1+ √2)t在[t.t+2]恒成立.∴t+2≤(1+ √2)t解得:t≥ √2 .故答案为:[ √2 .+∞).【点评】:本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性.难度适中.关键是掌握函数的单调性与奇偶性.11.(单选题.3分)“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关()A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【正确答案】:C【解析】:本题符合函数周期性特点.【解答】:解:函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”.打油诗作者【横刀向天笑】→【睡觉】→【拿起刀】→【横刀向天笑】→……每三句重复出现一样的内容.符合函数周期性的特点.故选:C.【点评】:打油诗作者通过循环句式.表达了面对将要发生的灾难时.豁达坦然的心境.诙谐中透露出自己的无奈和寂寞.的图象大致为()12.(单选题.3分)函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.【正确答案】:A【解析】:欲判断图象大致图象.可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑.还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可.【解答】:解析:函数有意义.需使e x-e-x≠0.其定义域为{x|x≠0}.f(-x)= e−x+e xe−x−e x =- e x+e−xe x−e−x=-f(x).故函数为奇函数.排除选项D;又因为y=e x+e−xe x−e−x =e2x+1e2x−1=1+2e2x−1.所以当x>0时函数为减函数.排除选项B.C.故选:A.【点评】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂.需要对其先变形.再在定义域内对其进行考查其余的性质.13.(单选题.3分)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|(x∈R).且集合M={a|f(a2-a-2)=f(a+1)}.则集合N={f(a)|a∈M}的元素个数有()A.无数个B.3个C.4个D.2个【正确答案】:A【解析】:先判断函数f (x )奇偶性.由f (a 2-a-2)=f (a+1)进而|a 2-a-2|=|a+1|解得a.另外当x∈[-1.1]时f (x )=4074342.联立) {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1得到a 的范围.根据f (a )的解析式可以得到f (a )的个数.从而得到结果.【解答】:解:∵函数f (x )=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|. ∴f (-x )=|-x-2018|+|-x-2017|+…+|-x-1|+|-x+1|+…+|-x+2017|+|-x+2018|=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f (x ). 即函数f (x )是偶函数.当x∈[-1.1]时.f (x )=4074342;当x∈[-2.-1]时.f (x )=-2x+2(3+4+……+2018)=-2x+4074336 若f (a 2-a-2)=f (a+1). 则a 2-a-2=a+1 ① .或a 2-a-2=-(a+1) ② ; {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1③ 由 ① 得a 2-2a-3=(a+1)(a-3)=0. 即(a-1)(a-3)=0.解得a=-1或a=3; 由 ② 得a 2-1=0.解得a=1或a=-1; 由 ③ 得1−√132 ≤a ≤1−√52综上a=-1或1−√132 ≤a ≤1−√52或a=3;又f (1)=4074342. 当-1≤a ≤1−√52时f (a )=4074342当1−√132≤a <-1时f (a )=-2a+4074336.有无数个f (3)=4+5+……+2021+2+1+0+1+……+2015=4074348 ∴f (a )的值有无数个. 故选:A .【点评】:本题考查了函数性质.方程与不等式的解法.集合的性质.考查了推理与计算能力.属于难题.14.(单选题.3分)下列命题中正确的命题是()A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1<x2时.有f(x1)<f(x2).则说函数y=f(x)在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b](1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*).当x1<x2<x3<…<x n时.有f(x1)<f(x2)<f(x3)<…<f(x n).则说函数y=f(x)在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f(x)的定义域为[0.+∞).若对任意的x>0.都有f(x)<f(0).则函数y=f(x)在[0.+∞)上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2>0 .则说函数y=f(x)在区间[a.b]上是增函数【正确答案】:D【解析】:比值大于零.说明分子分母同号.即自变量与函数值变化方向一致.由增函数的定义可得结论.【解答】:解:对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立.即有x1>x2时.f(x1)>f(x2).x1<x2时.f(x1)<f(x2).由增函数的定义知:函数f(x)在区间[a.b]上是增函数.故选:D.【点评】:本题主要考查增函数、减函数的定义.熟记定义是解题的关键.属基础题.15.(问答题.0分)已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【正确答案】:【解析】:设扇形的半径为R.弧长为l.依题意有l+2R=30.利用扇形面积公式S扇形= 12lR.利用基本不等式即可求得答案.【解答】:解:设扇形的半径为R.弧长为l.则l+2R=30.可得:S扇形= 12 lR= 12(30-2R)•R=(15-R)•R≤[ (15−R)+R2]2= 2254(当且仅当R= 152时取等号).可得:S扇形最大值为2254.此时R= 152.l=15.可得:扇形圆心角的弧度数α= lR = 15152=2(rad ).【点评】:本题考查扇形面积公式.考查弧长公式.考查基本不等式(也可利用配方法)的应用.属于中档题.16.(问答题.0分)判断并证明函数 f (x )=1+2x 1−2x+log 21+x1−x的奇偶性.【正确答案】:【解析】:容易看出f (x )是奇函数.根据奇函数的定义证明:可求出f (x )的定义域.然后可得出f (-x )=-f (x ).从而判断出f (x )是奇函数.【解答】:解:解 {1−2x ≠01+x 1−x>0得.-1<x <1.且x≠0;∴f (x )的定义域为{x|-1<x <1.且x≠0}; 又 f (−x )=1+2−x 1−2−x+log 21−x 1+x = −1+2x1−2x−log 21+x1−x =−f (x ) ;∴f (x )是奇函数.【点评】:考查奇函数的定义及判断.对数的运算性质. 17.(问答题.0分)已知函数f (x )=9x -2a•3x +3: (1)若a=1.x∈[0.1]时.求f (x )的值域; (2)当x∈[-1.1]时.求f (x )的最小值h (a );(3)是否存在实数m 、n.同时满足下列条件: ① n >m >3; ② 当h (a )的定义域为[m.n]时.其值域为[m 2.n 2].若存在.求出m 、n 的值.若不存在.请说明理由.【正确答案】:【解析】:(1)设t=3x .则φ(t )=t 2-2at+3=(t-a )2+3-a 2.φ(t )的对称轴为t=a.当a=1时.即可求出f (x )的值域;(2)由函数φ(t )的对称轴为t=a.分类讨论当a < 13时.当 13≤a≤3时.当a >3时.求出最小值.则h (a )的表达式可求;(3)假设满足题意的m.n 存在.函数h (a )在(3.+∞)上是减函数.求出h (a )的定义域.值域.然后列出不等式组.求解与已知矛盾.即可得到结论.【解答】:解:(1)∵函数f (x )=9x -2a•3x +3. 设t=3x .t∈[1.3].则φ(t )=t 2-2at+3=(t-a )2+3-a 2.对称轴为t=a . 当a=1时.φ(t )=(t-1)2+2在[1.3]递增. ∴φ(t )∈[φ(1).φ(3)]. ∴函数f (x )的值域是:[2.6]; (Ⅱ)∵函数φ(t )的对称轴为t=a. 当x∈[-1.1]时.t∈[ 13.3].当a < 13 时.y min =h (a )=φ( 13 )= 289 - 2a3 ; 当 13 ≤a≤3时.y min =h (a )=φ(a )=3-a 2; 当a >3时.y min =h (a )=φ(3)=12-6a . 故h (a )= {289−2a3,a <133−a 2,13≤a ≤312−6a ,a >3 ;(Ⅲ)假设满足题意的m.n 存在.∵n >m >3.∴h (a )=12-6a. ∴函数h (a )在(3.+∞)上是减函数. 又∵h (a )的定义域为[m.n].值域为[m 2.n 2].则 {12−6m =n 212−6n =m 2. 两式相减得6(n-m )=(n-m )•(m+n ). 又∵n >m >3.∴m -n≠0.∴m+n=6.与n >m >3矛盾. ∴满足题意的m.n 不存在.【点评】:本题主要考查二次函数的值域问题.二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理.是中档题.18.(问答题.0分)设ℎ(x)=x+mx . x∈[14,5] .其中m是不等于零的常数.(1)写出h(4x)的定义域:(2)求h(x)的单调递增区间:(3)已知函数f(x)(x∈[a.b]).定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a.b]).f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a.b]).其中.min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值.max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值.例如:f(x)=x.x∈[0.1].则f1(x)=0.x∈[0.1].f2(x)=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1(x)-M2(x)≤n恒成立.求t.n的取值范围.【正确答案】:【解析】:(1)考查复合函数的定义域;(2)x+ mx在m<0时在(0.+∞)单调递增.在m>0时是对勾函数.x= √m是其极小值点.利用这个求单调递增区间;(3)不等式t≤M1(x)-M2(x)≤n恒成立.就是求函数M1(x)-M2(x)的最大值与最小值.而M(x)实际上是对函数h(x)与h(4x)求较小的那个.【解答】:解:(1)4x∈[ 14 .5].所以h(4x)的定义域为[116,54];(2)m<0时.h(x)在[14,5]递增;0<m≤116时.h(x)在[14,5]递增;116<m≤25时.h(x)在[√m,5]递增;m>25时.h(x)在[√m,5]递减.无单调增区间.(3)M(x)的定义域为[ 14 .5 4 ]h(x)≥h(4x)时.M(x)=h(x);h(x)<h(4x)时.M(x)=h(4x).h(x)≥h(4x)⇔x+ 1x ≥4x+ 14x⇔x2≤ 14.所以当x∈[ 14 . 12]时.h(x)≥h(4x).M(x)=h(x)=x+ 1x.在[ 14. 12]单调递减.所以M1(x)=x+ 1x .M2(x)=M(14)= 174.令g(x)=M1(x)-M2(x)=x+ 1x - 174.则g(x)在区间[ 14. 12]上的最小值为- 74.最大值为0.当x∈(12 . 54]时.h(x)<h(4x).M(x)=h(4x)=4x+ 14x.在(12. 54]单调递增.并且M(1)= 174 =M ( 14 )i .当x∈( 12 .1)时.M 1(x )=M ( 12 )= 52 .M 2(x )=M ( 14 )= 174 .所以g (x )=- 74 . ii .当x∈[1. 54]时.M 1(x )=M ( 12)= 52.M 2(x )=M (x )=4x+ 14x.所以g (x )= 52-4x- 14x.在[1. 54 ]上单调递减所以g (x )的最大值为g (1)=- 74.最小值为g ( 54)=- 2710. 综上g (x )的最大值为0.最小值为- 2710 . ∴n≥0.t≤- 2710 .【点评】:本题考查函数的单调性、不等式恒成立等问题.使用了分类讨论、数形结合、转化法等方法.属于难题.。
华师大二附中高一期末(2019.01)好题详解(1)(1)

华二附中高一期末数学试卷好题2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点,则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期;②偶函数一定不存在反函数;③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件;④若原函数与反函数的图像有偶数个交点,则可能都不在直线y x =上;10.()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()f x x =,若对任意[,2]x a a ∈+,()2()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围为二.选择题12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为()A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- (x ∈R ),且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+,则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有()A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有()14.下列命题中正确的命题是()A.若存在12,[,]x x a b ∈,当12x x <时,有12()()f x f x <,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈(1i n ≤≤,2n ≥,*,i n ∈N ),当123n x x x x <<<< 时,有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞,若对任意的0x >,都有()(0)f x f <,则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈,当12x x ≠时,有1212()()0f x f x x x ->-,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三.解答题17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.(1)若1a =,[0,1]x ∈,求()f x 的值域;(2)当[1,1]x ∈-时,求()f x 的最小值()h a ;(3)是否存在实数m 、n ,同时满足下列条件:①3n m >>;②当()h a 的定义域为[,]m n 时,其值域为22[,]m n ;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.18.(本题选自2011年奉贤一模23题理)设()mh x x x=+,1[,5]4x ∈,其中m 是不等于零的常数.(1)写出(4)h x 的定义域;(2)求()h x 的单调递增区间;(3)已知函数()f x ([,]x a b ∈),定义:1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),其中,min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如:()f x x =,[0,1]x ∈,则1()0f x =,[0,1]x ∈,2()f x x =,[0,1]x ∈,当1m =时,设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+,不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立,求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷好题详解2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点,则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ;【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5xx x x x t t y k k k t k ky t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点,法一:由图,知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ;法二:)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期;②偶函数一定不存在反函数;③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件;④若原函数与反函数的图像有偶数个交点,则可能都不在直线y x =上;【答案】③④;【解析】①错误;如:()f x C =无最小正周期;②错误;如()(0)f x C x ==为偶函数,但是其有反函数;③正确;④正确,不连续就行;如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩(图像为黑色部分),则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、,个数为2个,且交点不在y x =上,如图;10.()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()f x x =,若对任意[,2]x a a ∈+,()2()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数,∴当0x <时,2()()()f x f x x x x =--=-=-,()f x x x =⇒函数单调递增;22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒;二.选择题12.函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致为()A.B. C. D.【答案】B ;【解析】由计算器Table 数表,得当0>x 时,2)(>x f ,且单调递减,故选B ;13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- (x ∈R ),且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+,则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有()A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有()【答案】D ;A【解析】()f x 为偶函数,且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数;那么情况有三种:(1)221a a a --=+31a ⇒=-或;(2)22(1)11a a a a --=-+⇒=-或;(3)2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤,不用解了,则{(1),(3)}N f f =,一共2个元素,故答案选D ;14.下列命题中正确的命题是()A.若存在12,[,]x x a b ∈,当12x x <时,有12()()f x f x <,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈(1i n ≤≤,2n ≥,*,i n ∈N ),当123n x x x x <<<< 时,有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞,若对任意的0x >,都有()(0)f x f <,则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈,当12x x ≠时,有1212()()0f x f x x x ->-,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ;【解析】A 错,选项描述为存在性,而单调性定义要求任意性;B 选项同A 错误;C 选项与单调性无关,错;D 选项正确;三.解答题17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.(1)若1a =,[0,1]x ∈,求()f x 的值域;(2)当[1,1]x ∈-时,求()f x 的最小值()h a ;(3)是否存在实数m 、n ,同时满足下列条件:①3n m >>;②当()h a 的定义域为[,]m n 时,其值域为22[,]m n ;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)[]2,6;(2)228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥;(3)不存在m n 、满足题意.【解析】(1)1a =,()9233x x f x =-⋅+,令3[1,3]x t =∈,则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈,则:[]()2,6g t ∈;(2)[1,1]x ∈-,令13[,3]3x t =∈,则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈,讨论对称轴t a =与定义域位置关系,得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥;(3)()126,3h a a a =-≥,函数单调递减,那么[,]a m n ∈时,22221266()126m n n m n m n m⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减;得6m n +=,而3n m >>,则6m n +>,故矛盾,则不存在m n 、满足题意.18.(本题选自2011年奉贤一模23题理)设()mh x x x=+,1[,5]4x ∈,其中m 是不等于零的常数.(1)写出(4)h x 的定义域;(2)求()h x 的单调递增区间;(3)已知函数()f x ([,]x a b ∈),定义:1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),其中,min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如:()f x x =,[0,1]x ∈,则1()0f x =,[0,1]x ∈,2()f x x =,[0,1]x ∈,当1m =时,设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+,不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立,求t 、n 的取值范围.【答案】(1)15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)①0m <时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;②1016m <≤时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;③12516m <≤时,()h x的单调递增区间是⎤⎦;(3)0n ≥,2710t -≤.【解析】(1)1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ;(2)①0m <时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;②1016m <≤时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;③12516m <≤时,()h x的单调递增区间是⎤⎦.(3)由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=,]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >,11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭;()()4h x h x =,12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭;()()4h x h x <,15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩,()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩,()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ,12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦,∴0n ≥,2710t -≤.华二附中高一期末数学试卷2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是2.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=-,则(2)f -= 3.已知5cos 5α=,02πα-<<,则tan α=4.2020是第象限角5.已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数,若函数1()x af x x a--=+(x a ≠-,x ∈R )的图像过点(2,3),则(4)f =6.若关于x 的方程|1|2xa a -=(0a >,1a ≠)有两个不相等实数根,则实数a 的取值范围是7.屠老师从2013年9月10日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为元(保留整数)8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点,则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期;②偶函数一定不存在反函数;③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件;④若原函数与反函数的图像有偶数个交点,则可能都不在直线y x =上;10.()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()f x x =,若对任意[,2]x a a ∈+,()2()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围为11.“我自横刀向天笑,笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀,我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中,蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象,它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关()A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点12.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为()A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- (x ∈R ),且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+,则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有()A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有()14.下列命题中正确的命题是()A.若存在12,[,]x x a b ∈,当12x x <时,有12()()f x f x <,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈(1i n ≤≤,2n ≥,*,i n ∈N ),当123n x x x x <<<< 时,有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞,若对任意的0x >,都有()(0)f x f <,则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈,当12x x ≠时,有1212()()0f x f x x x ->-,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数15.已知一个扇形的周长为30厘米,求扇形面积S 的最大值,并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16.判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.(1)若1a =,[0,1]x ∈,求()f x 的值域;(2)当[1,1]x ∈-时,求()f x 的最小值()h a ;(3)是否存在实数m 、n ,同时满足下列条件:①3n m >>;②当()h a 的定义域为[,]m n 时,其值域为22[,]m n ;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.18.(本题选自2011年奉贤一模23题理)设()mh x x x=+,1[,5]4x ∈,其中m 是不等于零的常数.(1)写出(4)h x 的定义域;(2)求()h x 的单调递增区间;(3)已知函数()f x ([,]x a b ∈),定义:1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),其中,min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如:()f x x =,[0,1]x ∈,则1()0f x =,[0,1]x ∈,2()f x x =,[0,1]x ∈,当1m =时,设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+,不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立,求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷答案2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是【答案】(1,0)(0,)-+∞ ;【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩;2.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=-,则(2)f -=【答案】0;【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-,得(2)(0)0f f -=-=; 3.已知5cos 5α=,02πα-<<,则tan α=【答案】2-;【解析】同角三角关系,注意tan 0α<即可;4.2020是第象限角【答案】三;【解析】20203212 1.31ππ⨯+ ,位于第三象限;5.已知函数()y f x =与1()y fx -=互为反函数,若函数1()x af x x a--=+(x a ≠-,x ∈R )的图像过点(2,3),则(4)f =【答案】53;【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+,11()1x f x x -+=-,利用原函数与反函数关系得(4)f 的值为方程1()4f x -=的解,解得53x =;6.若关于x 的方程|1|2x a a -=(0a >,1a ≠)有两个不相等实数根,则实数a 的取值范围是【答案】102a <<;【解析】|1|2x a a -=,等价于|1|2x y a y a =-=,两函数有两个交点,分01,1a a <<>两种情况讨论,分别画图,都得12(0,1)(0,)2a a ∈⇒∈;7.屠老师从2013年9月10日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为元(保留整数)【答案】53877;【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦ ;8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点,则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ;【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5x x x x x t t y k k k t k k y t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点,法一:由图,知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ;法二:)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期;②偶函数一定不存在反函数;③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件;④若原函数与反函数的图像有偶数个交点,则可能都不在直线y x =上;【答案】③④;【解析】①错误;如:()f x C =无最小正周期;②错误;如()(0)f x C x ==为偶函数,但是其有反函数;③正确;④正确,不连续就行;如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩(图像为黑色部分),则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、,个数为2个,且交点不在y x =上,如图;10.()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()f x x =,若对任意[,2]x a a ∈+,()2()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数,∴当0x <时,2()()()f x f x x x x =--=-=-,()f x x x =⇒函数单调递增;22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒;二.选择题11.“我自横刀向天笑,笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀,我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中,蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象,它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关()A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C ;12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为()A.B. C. D.【答案】B ;【解析】由计算器Table 数表,得当0>x 时,2)(>x f ,且单调递减,故选B ;13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- (x ∈R ),且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+,则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有()A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有()【答案】D ;A【解析】()f x 为偶函数,且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数;那么情况有三种:(1)221a a a --=+31a ⇒=-或;(2)22(1)11a a a a --=-+⇒=-或;(3)2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤,不用解了,则{(1),(3)}N f f =,一共2个元素,故答案选D ;14.下列命题中正确的命题是()A.若存在12,[,]x x a b ∈,当12x x <时,有12()()f x f x <,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈(1i n ≤≤,2n ≥,*,i n ∈N ),当123n x x x x <<<< 时,有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞,若对任意的0x >,都有()(0)f x f <,则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈,当12x x ≠时,有1212()()0f x f x x x ->-,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ;【解析】A 错,选项描述为存在性,而单调性定义要求任意性;B 选项同A 错误;C 选项与单调性无关,错;D 选项正确;三.解答题15.已知一个扇形的周长为30厘米,求扇形面积S 的最大值,并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】15,2()2r rad α==【解析】230l r +=≥90022582rl =≤,当且仅当2l r =时等号成立,得152()2lr rad rα=⇒==.16.判断并证明函数2121()log 121x xxf x x++=+--的奇偶性.【答案】见解析.【解析】定义域满足:10(1,0)(0,1)1120x x x x +⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩,定义域关于原点对称;222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=-----+---+故()f x 为奇函数.17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.(1)若1a =,[0,1]x ∈,求()f x 的值域;(2)当[1,1]x ∈-时,求()f x 的最小值()h a ;(3)是否存在实数m 、n ,同时满足下列条件:①3n m >>;②当()h a 的定义域为[,]m n 时,其值域为22[,]m n ;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)[]2,6;(2)228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥;(3)不存在m n 、满足题意.【解析】(1)1a =,()9233x x f x =-⋅+,令3[1,3]x t =∈,则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈,则:[]()2,6g t ∈;(2)[1,1]x ∈-,令13[,3]3x t =∈,则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈,讨论对称轴t a =与定义域位置关系,得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥;(3)()126,3h a a a =-≥,函数单调递减,那么[,]a m n ∈时,22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减;得6m n +=,而3n m >>,则6m n +>,故矛盾,则不存在m n 、满足题意.18.(本题选自2011年奉贤一模23题理)设()mh x x x=+,1[,5]4x ∈,其中m 是不等于零的常数.(1)写出(4)h x 的定义域;(2)求()h x 的单调递增区间;(3)已知函数()f x ([,]x a b ∈),定义:1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),其中,min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如:()f x x =,[0,1]x ∈,则1()0f x =,[0,1]x ∈,2()f x x =,[0,1]x ∈,当1m =时,设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+,不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立,求t 、n 的取值范围.【答案】(1)15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)①0m <时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;②1016m <≤时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;③12516m <≤时,()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦;(3)0n ≥,2710t -≤.【解析】(1)1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ;(2)①0m <时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;②1016m <≤时,()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦;③12516m <≤时,()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦.(3)由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=,]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >,11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭;()()4h x h x =,12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭;()()4h x h x <,15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩,()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩,()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ,12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦,∴0n ≥,2710t -≤.。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点,且,则的值为( )A .B .C .D .2、在等差数列中,,则( )A .B .C .D .3、若,则一定有( )A .B .C .D .4、已知等差数列的前项和为,若且,则当最大时的值是( )A .B .C .D .5、若,则的值为( )A .B .C .D .6、在中,已知,则的面积等于( )A .B .C .D .7、各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则( ) A .B .C .D .……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件,且的最大值为,最小值为,则的值是( ) A . B .C .D .9、在中,角所对的边分别为,且,若,则的形状是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉,在其正东方向相距海里的处,有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船,乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救,则的值为( )A .B .C .D .11、已知是内的一点,且,若和的面积分别为,则的最小值是( )A .B .C .D . 12、已知数列满足,则( ) A .B .C .D .评卷人 得分二、填空题13、已知,且,则__________。
2019华二附中高一期末)

华二附中高一期末数学试卷2019.01一. 填空题 1. 函数lg(1)x y x+=的定义域是 2. 设()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=-,则(2)f -= 3. 已知5cos 5α=,02πα-<<,则tan α= 4. 2020是第 象限角5. 已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数,若函数1()x af x x a--=+(x a ≠-,x ∈R )的图像过点(2,3),则(4)f =6. 若关于x 的方程|1|2x a a -=(0a >,1a ≠)有两个不相等实数根,则实数a 的取值范 围是7. 屠老师从2013年9月10日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为 元(保留整数)8. 已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点,则实数k 的取值范围是 9. 下列命题正确的序号为① 周期函数都有最小正周期;② 偶函数一定不存在反函数; ③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件; ④ 若原函数与反函数的图像有偶数个交点,则可能都不在直线y x =上;10. ()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()f x x =,若对任意[,2]x a a ∈+,()2()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围为二. 选择题11. “我自横刀向天笑,笑完我就去睡觉. 睡醒我又拿起刀,我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中,蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象,它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关( )A. 函数的奇偶性B. 函数的单调性C. 函数的周期性D. 二分法求函数零点12. 函数x x x xe e y e e --+=-的图像大致为( )A. B. C. D.13. 已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++-(x ∈R ),且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+,则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有( )A. 无数个B. 3个C. 4个D. 2个 14. 下列命题中正确的命题是( )A. 若存在12,[,]x x a b ∈,当12x x <时,有12()()f x f x <,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B. 若存在[,]i x a b ∈(1i n ≤≤,2n ≥,*,i n ∈N ),当123n x x x x <<<<时,有123()()()()n f x f x f x f x <<<<,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C. 函数()y f x =的定义域为[0,)+∞,若对任意的0x >,都有()(0)f x f <,则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D. 若对任意12,[,]x x a b ∈,当12x x ≠时,有1212()()0f x f x x x ->-,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三. 解答题15. 已知一个扇形的周长为30厘米,求扇形面积S 的最大值,并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16. 判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+. (1)若1a =,[0,1]x ∈,求()f x 的值域; (2)当[1,1]x ∈-时,求()f x 的最小值()h a ;(3)是否存在实数m 、n ,同时满足下列条件:①3n m >>;②当()h a 的定义域为[,]m n 时,其值域为22[,]m n ;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.18. 设()m h x x x =+,1[,5]4x ∈, 其中m 是不等于零的常数. (1)写出(4)h x 的定义域; (2)求()h x 的单调递增区间;(3)已知函数()f x ([,]x a b ∈),定义:1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),其中,min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如:()f x x =,[0,1]x ∈,则1()0f x =,[0,1]x ∈,2()f x x =,[0,1]x ∈,当1m =时,设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+,不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立,求t 、n 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 【答案】(1,0)(0,)-+∞;【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩;2.【答案】0;【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-得:(2)(0)0f f -=-=; 3.【答案】2-;【解析】同角三角关系,注意tan 0α<即可; 4.【答案】三;【解析】20203212 1.31ππ⨯+,位于第三象限;5.【答案】53;【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+,11()1x f x x -+=-利用原函数与反函数关系得:(4)f 的值为方程1()4f x -=的解,解得:53x =;6.【答案】102a <<; 【解析】|1|2x a a -=,等价于|1|2x y a y a =-=,两函数有两个交点,分01,1a a <<>两种情况讨论,分别画出得:102a <<满足题意; 7.【答案】53877; 【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦;8.【答案】(,4][5,)-∞-+∞;【解析】[]121,422020424(5)04224[1,4]24x x x x x t t y k k k t k k y t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--⎩令有交 点;易得:20[5,4](,4][5,)k k∈-⇒∈-∞-+∞;9.【答案】③④;【解析】①错误;如:()f x C =如()(0)f x C x ==④正确,不连续就行;如:3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩(图像为黑色部分)与其反函数交点个数为2个, 交点不在y x =上,如下图; 10.【答案】a ;【解析】()f x x x =,函数单调递增;max()2())1)1)f x a f x f x a a x a x ⎡⎤+=⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥1)(2)a a +≥,解得:a ;二. 选择题 11.【答案】C ; 12.【答案】B ;【解析】令(1)0f >,排除A ,C ;如按计算器(1000)1f >排除D ,如分析亦可:0,1x xxxxxx xe e x e e e e y e e ----+>+>-⇒=>-;故排除D ;故选B ;13.【答案】A ;【解析】()f x 为偶函数,且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数;那么情况有三种: (1)221a a a --=+31a ⇒=-或;(2)22(1)11a a a a --=-+⇒=-或;(3)2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤,不用解了;则:{(1),(3)}N f f =,一共2个元素,故答案选A ;14.【答案】D ;【解析】A 错,选项描述为存在性,而单调性定义要求任意性;B 选项同A 错误;C 选项与单调性无关,错;D 选项正确;三. 解答题15.【解析】230l r +=≥则90022582rl =≤,当且仅当2l r =,由l r α=得2()rad α=,又2230l r l r =⎧⎨+=⎩得:152r =.16.【解析】定义域满足:10(1,0)(0,1)1120x x x x+⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩,定义域关于原点对称; 222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=--=---+---+故()f x 为奇函数. 17.【解析】(1)1a =,()9233x x f x =-⋅+,令3[1,3]x t =∈,则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈,则:[]()2,6g t ∈;(2)[1,1]x ∈-,令13[,3]3x t =∈,则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈,讨论对称轴t a =与定义域位置关系,得2min 28219331()()3331263a a f x h a a a a a ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥;(3)()126,3h a a a =-≥,函数单调递减,那么[,]a m n ∈时,22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减; 得:6m n +=,而3n m >>,则6m n +>,故矛盾,则不存在m n 、满足题意.18.【解析】本题选自2011年奉贤一模23题(理) (1)1154,5,,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;(2)0m <时,()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增;1016m <≤时,()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增;12516m <≤时,()h x 在⎤⎦递增; (3)由题知:()()()231444x h x h x x--=,∴4()()4h x h x > 11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,()()4h x h x =,12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭;()()4h x h x <,15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥,()111,,421154,,424x x x M x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩, ()1111,,42515,,224⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x x x M x x ,()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x , 1211711,,44271,,1425154,1,244⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫⎡⎤-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩x x x M M x x x x()()1221,010⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦M x M x ,∴0n ≥,2110t -≤.。
2018-2019学年上海市高一第二学期期末复习卷数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市高一第二学期期末复习卷数学试题一、单选题1.在ABC ∆中A B >是cos cos A B <的 ( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】略2.记等差数列{}n a 前n 项和n S ,如果已知521a a +的值,我们可以求得( ) A .23S 的值 B .24S 的值C .25S 的值D .26S 的值【答案】C【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由a 5+a 21=2a 1+24d 的值为已知,再利用等差数列的求和公式,即可得出结论. 【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,∵已知a 5+a 21的值, ∴2a 1+24d 的值为已知,∴a 1+12d 的值为已知,∵()251125242525122S a d a d ⨯=+=+ ∴我们可以求得S 25的值. 故选:C . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用,考查学生的计算能力,属于中档题. 3.若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足()()11220n n n n a a a a -----=,下面给出关于数列{}n a 的四个命题:①{}n a 可以是等差数列,②{}n a 可以是等比数列;③{}n a 可以既是等差又是等比数列;④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列;则上述命题中,正确的个数为( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】由已知可得a n ﹣a n ﹣1=2,或a n =2a n ﹣1,结合等差数列和等比数列的定义,可得答案. 【详解】∵数列{a n }对任意n≥2(n ∈N )满足(a n ﹣a n ﹣1﹣2)(a n ﹣2a n ﹣1)=0,∴a n ﹣a n ﹣1=2,或a n =2a n ﹣1,∴①{a n }可以是公差为2的等差数列,正确; ②{a n }可以是公比为2的等比数列,正确;③若{a n }既是等差又是等比数列,即此时公差为0,公比为1,由①②得,③错误; ④{a n }可以既不是等差又不是等比数列,错误; 故选:B . 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了等差,等比数列的相关内容,属于中档题. 4.有穷数列1232015,,;a a a a 中的每一项都是-1,0,1这三个数中的某一个数,1232015425a a a a +++⋯+=,且()211a ++()221a +()()2232015113870a a +++++=,则有穷数列1232015,,,a a a a 中值为0的项数是( )A .1000B .1010C .1015D .1030【答案】B【解析】把(a 1+1)2+(a 2+1)2+(a 3+1)2+…+(a 2015+1)2=3870展开,将a 1+a 2+a 3+…+a 2015=425,代入化简得:222122015a a a +++=1005,由于数列a 1,a 2,a 3,…,a 2015中的每一项都是﹣1,0,1这三个数中的某一个数,即可得出. 【详解】(a 1+1)2+(a 2+1)2+(a 3+1)2+…+(a 2015+1)2=3870, 展开可得:222122015a a a ++++2(a 1+a 2+…+a 2015)+2015=3870,把a 1+a 2+a 3+…+a 2015=425,代入化简可得:222122015a a a +++=1005,∵数列a 1,a 2,a 3,…,a 2015中的每一项都是﹣1,0,1这三个数中的某一个数, ∴有穷数列a 1,a 2,a 3,…,a 2015中值为0的项数等于2015﹣1005=1010. 故选:B . 【点睛】本题考查了乘法公式化简求值、数列求和,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题5.在等差数列{}n a 中,己知12a =,24a =-,则4a =______.【答案】-16【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,利用通项公式求出即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,得216d a a =-=-,则()41323616a a d =+=+⨯-=-.故答案为:16- 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用,属于基础题.6.已知{}n a 为等差数列,135a =,2d =-,0n S =,则n =______. 【答案】36【解析】由等差数列的前n 项和公式()1n 12n n S na d -=+,代入计算即可. 【详解】已知{}n a 为等差数列,且135a =,2d =-,所以()1102n n n S na d -=+=, 解得36n =或0n =(舍) 故答案为:36 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的应用,属于基础题.7.在等比数列{}n a 中,338131024a a a =,2910a a 的值为______.【答案】4【解析】由等比中项,结合338131024a a a =得84a =,化简29810a a a =即可. 【详解】由等比中项得35103813810242a a a a ===,得84a =,设等比数列{}n a 的公比为q ,化简22982102884q a a a a a q===. 故答案为:4 【点睛】本题考查了等比中项的性质,通项公式的应用,属于基础题. 8.己知{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,11334S π=,则6tan a =______. 【答案】-1【解析】由等差数列的()11111113324S a a π⨯+==,得11162a a a +=,代入计算即可. 【详解】己知{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,所以()11111113324S a a π⨯+==, 得11132a a π+=,由等差中项得634a π=,所以6tan a =3tan14π=-. 故答案为:-1 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差中项的应用,属于基础题. 9.函数arccos y x =在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦的值域是______.【答案】2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由函数y =arccos x 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数,代入即可得值域. 【详解】已知函数arccos y x =在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数, 则当x =-1时,函数取最大值arccos (-1),即函数取最da 值为π,当12x =-时,函数取最小值arccos (﹣12),即函数取最小值为23π,故答案为:2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了反三角余弦函数单调性的应用,属于基础题.10.数列{}n a 中,11a =,22a =,21n n n a a a ++=-,则{}n a 的前2018项和为______. 【答案】3【解析】直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可. 【详解】数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n+2=a n+1﹣a n ,则:a 3=a 2﹣a 1=1,a 4=a 3﹣a 2=﹣1,a 5=a 4﹣a 3=﹣2,a 6=a 5﹣a 4=﹣1, a 7=a 6﹣a 5=1,…所以:数列的周期为6.a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=0, 数列{a n }的前2018项和为:(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6)+…+(a 2011+a 2012+a 2013+a 2014+a 2015+a 2016)+a 2017+a 2018, =0+0+…+0+(a 1+a 2) =3. 故答案为:3 【点睛】本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,数列的周期的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题. 11.已知函数()arcsin(2)2f x x π=+,则13f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】14-【解析】根据题意令f (x )=3π,求出x 的值,即可得出f ﹣1(3π)的值. 【详解】令f (x )=2π+arcsin (2x )=3π,得arcsin (2x )=﹣6π,∴2x =﹣12,解得x =﹣14,∴f ﹣1(3π)=﹣14.故答案为:﹣14.【点睛】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题,属于基础题.12.己知数列{}n a 前n 项和22n S n =,则该数列的通项公式n a =______.【答案】42n a n =-【解析】由22n S n =,再写一式,两式相减,可得{a n }的通项公式;【详解】∵S n =2n 2(n ∈N ),∴n =1时,a 1=S 1=2;n≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=4n ﹣2,a 1=2也满足上式,∴a n =4n ﹣2 故答案为:42n a n =- 【点睛】本题考查数列的递推式,考查数列的通项,属于基础题. 13.若3x π=是方程2cos()1x α+=的解,其中(0,2)απ∈,则α=______.【答案】43π 【解析】把3x π=代入方程2cos (x +α)=1,化简根据α∈(0,2π),确定函数值的范围,求出α即可. 【详解】 ∵3x π=是方程2cos (x+α)=1的解,∴2cos (3π+α)=1,即cos (3π+α)=12. 又α∈(0,2π),∴3π+α∈(3π,73π).∴3π+α=53π.∴α=43π. 故答案为:43π 【点睛】本题考查三角函数值的符号,三角函数的定义域,考查逻辑思维能力,属于基础题. 14.若数列{}n a 满足12a =,21a =,1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥,则20a =______.【答案】110【解析】由1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥,化简得11211n n n a a a -+=+(2)n ≥,则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,结合已知条件得20a . 【详解】由1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥,化简得11211n n n a a a -+=+(2)n ≥,且12a =,21a =, 得211112d a a =-=,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,以12为公差的等差数列,所以201111119191022d a a ⎛⎫=+=+⨯= ⎪⎝⎭,即20110a = 故答案为:110【点睛】本题考查了数列的递推式,考查了判断数列是等差数列的方法,属于中档题.15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B .曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路,如图是按照一定的分形规律生产成一个数形图,则第13行的实心圆点的个数是______.【答案】144【解析】本题是一个探究型的题,可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和,由此可以得到一个递推关系,利用此递推关系求解即可得答案.【详解】由题意及图形知不妨构造这样一个数列{a n}表示实心圆点的个数变化规律,令a1=1,a2=1,n≥3时,a n=a n﹣1+a n﹣2,本数列中的n对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数.由此知a11即所求:故各行中实心圆点的个数依次为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144;即第13项为144.故答案为:144【点睛】本题考查归纳推理的应用,涉及数列的递推公式,是一个新定义的题,此类题关键是从定义中找出其规律来,构造出相应的数学模型,属于中档题.16.已知数列满足:(m为正整数),若,则m所有可能的取值为__________。
2018-2019年上海市上海中学高一下期末数学试卷及答案

上海中学2019学年第二学期期终考试 数学试题一、填空题 1. n 1lim 1_____________.n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭2. 等差数列{}n a 中若13,21,2n a a d ===,则n = _____________.3. 数列{}n a 中,已知*413.22,n n n a n N =-+∈,50为第_____________项.4. {}n a 为等比数列,若1234126,52,a a a a a ++=-=则n a =_____________.5. 用数学归纳法证明()()()()()*122.1.321n n n n n n n N +++=-∈……时,从“n = k 到 n = k + 1”,左边需增乘的代数式是____________.6. 数列{}n a 满足()()1211,3,21,2,n n a a a n a n λ+===-=…,则3a 等于____________.7. 数列{}n a 满足*1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==, 则2019x =_____________.8.数列{}n a 满足下列条件:11a =,且对于任意正整数n ,恒有2n n a a n =+,则512a =____________.9. 数列{}n a 定义为11cos ,sin cos ,1,n n a a a n n θθθ+=+=+≥则21n S +=____________. 10. 已知数列{}n a 是正项数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 若11n n n n a b S S ++=, n T 是数列{}n b 的前n 项和,则99T =_____________. 11.一个三角形的三边成等比数列,则公比q 的范围是_____________.12. 数列{}n a 满足123451,2,3,4,5,a a a a a =====≥当n 5时,112...a 1n n a a a +=-…,则是否存在不小于2的正整数m ,使2221212...m m a a a a a a =+++……成立?若存在,则在横线处直接填写m 的值;若不存在,就填写“不存在”_____________.二、选择题13. 已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且10100S =,则7a 的值为( )A. 11B. 12C. 13D. 1414. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知321510.9S a a a =+=,则1a =( ) A. 13 B. 1-3 C. 19 D. 1-915. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,112,0,3m m m S S S -+=-==,则m = ( )A. 3B. 4C. 5D. 616. 设02a π<<,若()()11sin ,x sin 1.2.3n x n x n αα+===…,则数列{}n x 是( )A.递增数列B. 递减是咧C.奇数项递增,偶数项递减的数列D.偶数项递增,奇数项递减的数列三、解答题17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,4662,75,S S =-=-求数列{}n a 前n 项和。
2018-2019学年上海华二高一下学期期末数学卷

高一期末卷一、填空题1. 函数])21,23[(arcsin --∈=x x y 的值域是___________ 2. 数列}{n a 的前n 项和,12++=n n S n 则数列}{n a 的通项公式n a =__________ 3. x x x f cos sin 3)(+=的值域是___________4. “3241a a a a +=+”是“数列4321,,,a a a a 依次成等差数列”的____________条件5. 等差数列}{n a 的前n 项和n S ,若______,30,10302010===S S S 则6. ABC ∆三条边的长度是c b a ,,,面积是________,4222=-+C c b a 则 7. 已知数列}{n a ,其中______log ,)(,9910099199111===-a a a a a n n 那么8. 等比数列}{n a 中首项),,(720,3,211m n N m n a a a q a m n n <∈=+++==*+ 公比则______=+m n9. 在ABC ∆中,_____tan tan tan tan )tan (tan ,sin 2018sin sin 2222=+++=+C B A B C A B C A 则 10. 已知数列}{n a 的通项公式为n n S n nn a ,,3,2,1),321lg(2 =++=是数列的前n 项和,则______=+∞→n n S lin二、选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122,若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( )A 、f 32B 、f 322C 、f 1252D 、f 127212. 已知函数2sin cos 2)(22+-=x x x f ,则( )A 、3)(,最大值为的最小正周期为πx fB 、4)(,最大值为的最小正周期为πx fC 、32)(,最大值为的最小正周期为πx fD 、42)(,最大值为的最小正周期为πx f13.将函数)52sin(π+=x y 向右平移10π个单位长度,那么新函数( ) A 、在]23,45[ππ上单调递增 B 、在],43[ππ上单调递减 C 、在]45,43[ππ上单调递增 D 、在]2,23[ππ上单调递减 14.已知函数),)(6312cos(N k x k y ∈-+=其中ππ对任意实数a ,在区间]3,[+a a 上要使函数值45出现的次数不少于4次且不多于8次,则k 值为( ) A 、2或3 B 、4或3 C 、5或6 D 、8或7三、解答题15. 在ABC ∆中,a =7,.71cos ,8-==B b (1)求A ;(2)求AC 边上的高.16. 已知).0,,(1221>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n(1)当b a =时,求数列表示)和用项和的前n a S n a n n (;}{(2)求.lim1++∞→n n n u u17. 已知方程.)2arctan(2arctan a x x =-+ (1)若的值;求2arccos ,4x a π= (2)若方程有实数根,求实数a 的取值范围;(3)若方程在区间]15,5[上有两个相异的解α、βαβ+求,的最大值.。
上海市华东师范大学二附中20182019学年高一下学期数学阶段测试题.docx

华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题(每小题4分,共40分)1.已知点()5,12P a a - 在角α的终边上,且0a >,则3sec 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭____________________. 2.求值:()00sin 50180=_________________________. 3.已知1312x π=-,则2111111csc x---的值为_______________. 4.已知锐角,αβ是钝角ABC ∆的两个内角,且θ的终边过点()sin cos ,cos sin P βαβα--,则θ是第______象限角.5.已知ABC ∆中,tan sin 2A B C +=,给出以下四个结论,其中正确结论的序号是______________. ①tan cot 1A B =g;②0sin sin A B <+≤③22sin cos 1A B +=;④222cos cos sin A B C +=6.已知1tan 20191tan θθ-=+,则sec2tan 2θθ+=_________________. 7.已知sin sin 1αβ+=,cos cos 0αβ+=,则()sin αβ+的值为_____________________.8.已知(),αππ∈-,且tan α是关于x 的方程22sec 10x x α++=的两个根中较小的根,则α的值为___________________________.9.在ABC ∆中,cos cos 15sin sin 3A B A B +=,则tan tan 22A B =g __________________. 10.在ABC ∆中,()14cos ,cos 6b a C A B a b +=-=,则cos C =_______________. 二、选择题(每小题4分,共16分)11.若角α与角β的终边关于y 轴对称,则下列等式恒成立的是( )A . sin sin αβ=B . cos cos αβ=C . tan tan αβ=D . cot cot αβ=12.“4παβ+=”是“()()1tan 1tan 2αβ++=”的( )A .充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D .既不充分亦不必要条件13.已知ABC ∆中,tan tan tan A B A B ++=且,sin cos B B =ABC ∆是( ) A . 正三角形 B . 直角三角形 C . 正三角形或直角三角形 D . 直角三角形或等腰三角形14.设0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且1sin tan cos βαβ+,则( ) A . 32παβ-= B . 32παβ+= C . 22παβ-= D . 22παβ+=三、解答题(10+10+12+12=44)15.如图,点A B 、是单位圆O 上的两点,点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点,将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB . (1)若点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,求1sin 21cos 2αα++的值; (2)用α表示BC ,并求BC 的取值范围.16.在ABC ∆中,已知2,3c C π==.(1)求ABC ∆周长的最大值;(2)若()2sin 2A sin 2sin B C C ++=,求ABC ∆的面积.17.(1)如图,点P 在线段AB 上,直线AB 外一点O 对线段,AP BP 的张角分别为,αβ,即,AOP BOP αβ∠=∠=.求证:()sin sin sin OP OB OAαβαβ+=+. (2)在ABC ∆中,,,,AB c DC kAD DBA DBC αβ==∠=∠=,其中0k >,试用,,,c k αβ表示线段BC 的长.18.如图,边长为1的正方形ABCD 中,,P Q 分别为边,BC CD 上的点,且PCQ ∆的周长为2.(1)求线段PQ 长度的最小值;(2)试探究PAQ ∠是否为定值,若是,给出这个定值;若不是,说明理由.参考答案一、填空题1. 1312- 2. 1 3. 83+4.二 5.②④ 6. 12019 7. 0 8. 56π- 9. 1310. 23二、选择题11. A 12. D 13. C 14. C三、解答题15.(1)由已知,34cos ,sin 55αα==, ∴22247sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2525αααααα===-=-, ∴2411sin 2492571cos 218125αα++==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭;(2)由单位圆可知:1,3OC OB COB πα==∠=+,由余弦定理得:2222cos 112cos 22cos 33BC OC OB OC OB COB ππαα⎛⎫⎛⎫=+-∠=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴31cos 32πα⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴(21,23BC ∈+,∴62BC ⎛+∈ ⎝⎭.16.(1)由余弦定理,得()()()222222222cos 334a b c a b ab C a b ab a b ab a b +=+-=+-=+-≥+-g ,于是得4a b +≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,∴6ABC C a b c ∆=++≤,即ABC ∆周长的最大值为6;(2)()2sin 2sin 2sin A B C C ++=()()()2sin 2sin sin 2sin 2A 2cos sin 0A B C B B C B B C B ⇒+++-+-=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 2sin cos cos sin 0cos 0A A A B A ⇒-=⇒=或sin 2sin B A =, ①cos 0A =时,2A π=,此时123,23ABC b S bc ∆===, ②sin 2sin B A =时,由正弦定理,知2b a =,∵222234c a b ab a =+-==,∴2343123,b ,sin 2ABC a S ab C ∆====, 综上,ABC ∆的面积为23. 17.(1)()111sin sin sin 222AOB AOP BOP S S S OA OB OA OP OB OP αβαβ∆∆∆=+⇒+=+g g g g g g 等式两边同除12OA OB OP g g ,即得()sin sin sin OP OB OA αβαβ+=+; (2)∵DC kAD =,∴1sin 1sin 21sin sin 2ABDABDAB BD S ck BC S k BC BD ααββ∆∆==⇒=g g g g . 18.(1)设,0,2CQP πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭,则sin ,CQ PQcos CP PQ θθ== sin cos 2PCQ C PQ CP CQ PQ PQ PQ θθ∆=++=++=,∴222221sin cos 12124PQ πθθθ==≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭; (2)PAQ ∠为定值4π, 设,DAQ BAP αβ∠=∠=,其中,,0,2παβαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则1tan 11DQ CQ CQ DA α-===-,类似tan 1CP β=-, ∴()()()tan tan 22tan 1tan tan 111CP CQ CP CQ CQ CP CP CQ CP CQ αβαβαβ+----+===----+-g 21sin cos sin cos sin cos PQsin cos PQ PQ PQ PQ θθθθθθθθ==+-+- ()()11sin cos 2sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1sin cos θθθθθθθθθθθθθθ++==+++-+-++ ()21sin cos 1sin cos 112sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++===+++-+++-, ∴4παβ+=,∴()24PAQ ππαβ∠=-+=.。
上海市华二附中2019年数学高一下学期期末模拟试卷+(7套模拟试卷)

2018-2019学年高一下学期数学期末模拟试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分).1.cos(-30°)的值为: ( )A 、 - 3 2B 、 3 2C 、-12D 、 12 2.函数y=cos(π2- x)的单调递减区间为: ( ) A 、[2k π,(2k+1)π](k ∈z ); B 、[(2k-1)π,2k π](k ∈z )C 、[2k π- π2,2k π+π2](k ∈z )D 、[2k π+π2,2k π+3π2](k ∈z ) 3、函数y=sin(2x+25π)的图象的一条对称轴方程为: ( ) A 、x= 5π4 B 、x= -π2 C 、 x= π8 D 、x= π44、化简→AB+→CA+→BD+→DC+→AD 后结果为: ( )A 、→ADB 、→AC C 、→ABD 、→05、已知|→a |=|→b |≠0且→a 与→b 不共线,则→a +→b 与→a -→b 的关系为:( )A 、相等B 、相交但不垂直C 、平行D 、垂直6、将一枚均匀硬币先后抛两次,恰好有一次出现正面的概率为:( )A 、12B 、14C 、34D 、137、 若点(3,)P y 是角α终边上的一点,且满足30,cos 5y α<=,则tan α=( ) A .34- B .34 C .43 D .43- 8、已知点M (3,-2),N (-5,-1),且→MP=12→MN ,则点P 的坐标为:( ) A 、(-8,1) B 、(1,32) C 、(-1,-32) D 、(8,-1)9、点O 是△ABC 内一点,且→OA •→OB =→OB •→OC=→OC •→OA ,则点O 为△ABC 的:( )A 、内心B 、外心C 、 重心D 、 垂心10、观察如图所示的流程图,若输入的x=1()93log ,则输出的y 的值为: A 、1()93log B 、2 C 、 -3 D 、311.若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ,则()f x 是( ) A 最小正周期为π2的奇函数B 最小正周期为π的奇函数C 最小正周期为2π的偶函数D 最小正周期为π的偶函数12. 如图,函数()()()0,0sin >>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示,则()()()2008.........21f f f +++的值等于( ) A.0 B.-2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上)13、函数y=2sin(π2x - π6)(x ∈R)的最小正周期为________. 14、已知|→a |=|→b |=2,且→a 与→b 的夹角=π3,则→a •→a +→a •→b =________. 15、已知sin αcos β=1,则sin(α-β)=________.16、某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆、6000辆、2000辆,为检查该公司的产品质量,现用分层抽样的方法,抽取46辆进行检测,则这三种型号的轿车依次应抽取_______________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(本小题10分)已知sin = cos2,∈(0,2π),求tan 之值。
上海市华东师范大学二附中2018-2019学年高一下学期数学3月阶段测试题(解析版)

华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题(每小题4分,共40分)1.已知点在角的终边上,且,则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα,利用诱导公式化简,则可得结果.【详解】因为,则r13a,∴sinα,cosα,又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,涉及诱导公式及同角基本关系式的应用,属于基础题.2.求值:______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦,再利用两角和的正弦公式,结合二倍角的正弦公式化简分子,进而再利用诱导公式变形,约分后即可得到结果.【详解】因为=•)=•=•=•=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题,考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的运用,熟练掌握公式是解本题的关键.3.已知,则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算,1﹣csc2x=﹣cot2x,11+tan2x,11﹣cos2x.【详解】原式代入得.故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题,考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.4.已知锐角是钝角的两个内角,且的终边过点,则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得,利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角,则,因此,则sin<sin()=cos,同理可得sin<sin()=cos,所以,,故P在第二象限,故答案为:二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系,考查了正弦函数单调性的应用,考查了诱导公式的应用,属于中档题.5.在中,已知,给出以下四个论断:①②③④,其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析:因为,整理得,所以不正确,,,,所以②正确,,③错,,,,故④正确,故答案为②④.考点:1、三角形内角和定理及诱导公式;2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知,则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式,结合弦化切化简得,由,直接得出结果.【详解】∵分子、分母都除以cos2θ,∴得=,()∵,∴所求=故答案为.【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用,考查了弦化切的方法,属于中档题.7.已知,,则__________.【答案】【解析】分析:先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解:因为,,所以,因此点睛:三角函数求值的三种类型(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.8.已知,且是关于的方程的两个根中较小的根,则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα,然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式,利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值,根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值,代入到两根之中检验得到符合题意的值.【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1=0的较小根,且两根之积为1,∴方程的较大根是cot.∴tan+cot=﹣2sec,即,且tan<cot,∴.又,解得或,又tan<cot,∴,故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用,考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值,易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍,属于中档题.9.在中,已知.则______.【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得.解得或.又由、、为的三个内角知,,.故.因此,.10.在中,,则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简,得到;由题意,在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,找出A﹣B,设BD=x,在△ADC中两次利用余弦定理将cos(A﹣B)及cos C表示出,分别求出x建立关于a,b 的方程,化简变形后利用整体换元求出答案.【详解】由题意知,4cos C,∴由余弦定理得,4,化简可得=2,则,又中不妨设a>b,∴A>B.在BC上取D,使得BD=AD,连接AD,设BD=x,则AD=x,DC=a﹣x,AC=b,在△ADC中,cos∠DAC=cos(A﹣B),由余弦定理得:(a﹣x)2=x2+b2﹣2x•b•,即:(b﹣6a)x=,解得:x=.①又在△ADC中,由余弦定理还可得cos C,∴cos C,化简得x=,②由①②可得,又=2,联立可得=,即=,两边同时除以,得=+6,令,则12,解得t=或,又由题意,∴t=cos C=,故答案为:.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,考查了运算化简的技巧,考查利用几何图形解决问题的能力,属于难题.二、选择题(每小题4分,共16分)11.若角和角的终边关于轴对称,则下列等式恒成立的是()A. B. C. D. .【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , ,.选A.12.“”是“”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】由(1+tanα)(1+tanβ)=2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2,即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ,∴1,∴.(k,不一定有“”;反之,“”不一定有“”,如=,,此时无意义;∴“”是“”的既不充分亦不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,考查了两角和的正切公式,举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法,属于基础题.13.已知中,且,,则是()A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B,推导出C=60°,由,推导出A=60°或90°,从而得到△ABC 的形状.【详解】∵tan A+tan B tan A tan B,即tan A+tan B(1﹣tan A tan B),∴tan(A+B),又A与B都为三角形的内角,∴A+B=120°,即C=60°,∵,∴,∴2B=60°或120°,则A=90°或60°∴△ABC为直角三角形或等边三角形.故选:C.【点睛】本题考查三角形形状的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用.14.设且则()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:由已知得,,去分母得,,所以,又因为,,所以,即,选考点:同角间的三角函数关系,两角和与差的正弦公式.【此处有视频,请去附件查看】三、解答题:15.如图,点是单位圆上的两点,点是圆与轴的正半轴的交点,将锐角的终边按逆时针方向旋转到.(1)若点的坐标为,求的值;(2)用表示,并求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知利用任意角的三角函数的定义可得,cos和sin的值,再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值,可得的值.(2)由题意可得,|OC|=|OB|=1,∠COB=,由余弦定理可得的解析式.根据∈(0,),利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围.【详解】(1)由已知,,∴,∴;(2)由单位圆可知:,由余弦定理得:,∵,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,考查了二倍角公式及余弦定理的应用,考查了余弦函数求值域的问题,属于中档题.16.在中,已知.(1)求周长的最大值;(2)若,求的面积.【答案】(1)6;(2).【解析】【分析】(1)由余弦定理及已知条件可得:,利用基本不等式解得,从而可求周长的最大值.(2)由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得,分类讨论分别求出a,b的值,利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】(1)由余弦定理,得,于是得,当且仅当时,等号成立,∴,即周长的最大值为6;(2),⇒,或,①时,,此时,②时,由正弦定理,知,∵,∴,综上,的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了分类讨论思想和转化思想的应用,属于中档题.17.(1)如图,点在线段上,直线外一点对线段的张角分别为,即.求证:.(2)在中,,其中,试用表示线段的长.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式将表示出来,化简整理可得结论;(2)选用三角形的面积公式:可得,再利用正弦定理表示出整理可得BC. 【详解】(1)等式两边同除,即得;(2)∵,∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键,属于基础题. 18.如图,边长为1的正方形中,分别为边上的点,且的周长为2.(1)求线段长度的最小值;(2)试探究是否为定值,若是,给出这个定值;若不是,说明理由.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据△CPQ周长为2,并且△CPQ是直角三角形,设∠CPQ=θ,根据三角函数的定义,CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ,因此可以表示出,求该函数的最小值即可;(2)利用解析法求解:分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),利用两点间距离公式求出PQ,根据△CPQ周长为2,找出x,y的关系,求出∠PAQ的正切值,即可求得结果.【详解】(1)设∠CPQ=θ,则CP=PQ cosθ,CQ=PQ sinθ()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠DAQ=,∠PAB=∴,即xy+(x+y)=1又tan=x,tan=y∴,∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用,特别求角的问题,转化为求角的某个三角函数值,体现了用数研究形的数学思想,考查运算能力和分析解决问题的能力,属于中档题.。
上海华东师范大学第二附属中学数学高一下期末经典测试卷(专题培优)

一、选择题1.(0分)[ID :12724]已知向量()cos ,sin a θθ=,()1,2b =,若a 与b 的夹角为6π,则a b +=( )A .2BCD .12.(0分)[ID :12712]已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立,则实数a 的最小值为( )A .8B .6C .4D .23.(0分)[ID :12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则•()PA PB PC +的最小值是()A .6-B .3-C .4-D .2-4.(0分)[ID :12683]为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:则y 对x 的线性回归方程为 A .y = x-1B .y = x+1C .y =88+12x D .y = 1765.(0分)[ID :12680]已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 26.(0分)[ID :12676]已知函数()y f x =为R 上的偶函数,当0x ≥时,函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( ) A .51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B .11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭C .1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭7.(0分)[ID :12673]在ABC 中,已知,2,60a xb B ===,如果ABC 有两组解,则x 的取值范围是( ) A.2⎛ ⎝⎭B.23⎡⎢⎣⎦,C.2⎡⎢⎣⎭D .⎛ ⎝⎦8.(0分)[ID :12672]若||1OA =,||3OB =0OA OB ⋅=,点C 在AB 上,且30AOC ︒∠=,设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈,则mn的值为( ) A.13B .3CD 9.(0分)[ID :12633]阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为A .1B .2C .3D .410.(0分)[ID :12670]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,若存在三个不同实数a ,b ,c 使得()()()f a f b f c ==,则abc 的取值范围是( ) A .(0,1)B .[-2,0)C .(]2,0-D .(0,1)11.(0分)[ID :12645]如图,点N 为正方形ABCD 的中心,ECD ∆为正三角形,平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点,则( )A .BM EN =,且直线,BM EN 是相交直线B .BM EN ≠,且直线,BM EN 是相交直线C .BM EN =,且直线,BM EN 是异面直线D .BM EN ≠,且直线,BM EN 是异面直线12.(0分)[ID :12638]在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( ) A .7a =,3b =,30B = B .6b =,52c =,45B = C .10a =,15b =,120A = D .6b =,63c =,60C =13.(0分)[ID :12636]如图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A .B .C .19D .14.(0分)[ID :12711]设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{}1A B ⋂=,则B = ( ) A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,515.(0分)[ID :12657]函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为( ) A .3B .2C .1D .0二、填空题16.(0分)[ID :12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.17.(0分)[ID :12779]如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.18.(0分)[ID :12773]如图,在矩形中,为边的中点,1AB =,2BC =,分别以A 、D 为圆心,1为半径作圆弧EB 、EC (在线段AD 上).由两圆弧EB 、EC及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为 .19.(0分)[ID :12758]关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论: ①()f x 是偶函数;②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增;③()f x 最大值为2;④()f x 在[],ππ-上有四个零点,其中正确命题的序号是_______.20.(0分)[ID :12736]函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到.21.(0分)[ID :12734]过点1(,1)2M 的直线l 与圆C :(x ﹣1)2+y 2=4交于A 、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为_____.22.(0分)[ID :12770]在△ABC 中,85a b ==,,面积为12,则cos 2C =______. 23.(0分)[ID :12754]某三棱锥的三视图如下图所示,正视图、侧视图均为直角三角形,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是 .24.(0分)[ID :12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线,则m 的值为 .25.(0分)[ID :12749]若两个向量a 与b 的夹角为θ,则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”,其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =,5b =,4a b ⋅=-,则a b ⨯= . 三、解答题26.(0分)[ID :12914]如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,2AB AD ==2CA CB CD BD ====.(1)求证:AO ⊥平面BCD ;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (3)求点E 到平面ACD 的距离.27.(0分)[ID :12912]如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABCD ,AD BC ∥,3AB AD AC ===,4PA BC ,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.(I )证明MN ∥平面PAB ; (II )求四面体N BCM -的体积.28.(0分)[ID :12892]a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边,已知tan 3sin a B b A =. (1)求cos B ;(2)若3a =,17b =,求ABC ∆的面积.29.(0分)[ID :12849]已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式,并写出()f x 的最小正周期;(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在[]0,x π∈内,方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解,求a 的取值范围.30.(0分)[ID :12835]以原点为圆心,半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x y --=相切.(1)直线l 过点(2,6)-且l 截圆O 所得弦长为43求直线l l 的方程;(2)设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ,过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点,且123k k ⋅=-,证明:直线AB 恒过一个定点,并求出该定点坐标.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B9.B10.C11.B12.D13.C14.C15.B二、填空题16.【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成的形式利用配方法求最值;②形如的可化为的形式性求最值;17.2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A(2-2)代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点:抛物线的应用18.【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中圆柱的底面半径为1母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为考点:旋转体的组合体19.①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误;在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误;由以及可判断出命题③的正误;化简函数在区间上的解析20.【解析】试题分析:因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出21.2x﹣4y+3=0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大此时直线l与直线垂直即可算出的斜率求得直线l的方程【详解】由题得当∠ACB最小时直线l与直线垂直此时又故又直线l过点22.【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形23.【解析】试题分析:该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点:三视图24.【解析】试题分析:依题意有即解得考点:三点共线25.3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键三、解答题 26. 27. 28. 29. 30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模,再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=,()1,2b =, 所以||1a =,||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+1372=++=,所以7a b +=,故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量的数量积,向量的模的计算,属于中档题.2.C解析:C 【解析】 【分析】由题意可知,()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值,可得出关于a 的不等式,解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <,则0yx<,从而1ax y a y x +++无最小值,不合乎题意;若0xy >,则0yx>,0x y >.①当0a <时,1ax ya y x+++无最小值,不合乎题意; ②当0a =时,111ax y y a y x x +++=+>,则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立; ③当0a >时,())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当=y 时,等号成立.所以,)219≥,解得4a ≥,因此,实数a 的最小值为4.故选:C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题,一般转化为与最值相关的不等式求解,考查运算求解能力,属于中等题.3.A解析:A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算,求得最小值,即可求解.【详解】由题意,以BC 中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -,设(,)P x y ,则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--, 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--,所以当0,3x y ==时,()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-, 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176, 代入回归方程验证可知,只有方程y =88+12x 成立,故选C 5.D解析:D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到函数y=cos2(x +π12)=cos (2x +π6)=sin (2x +2π3)的图象,即曲线C 2, 故选D .点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈;函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6.B解析:B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像,设()f x t =,从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根,利用数形结合可得114t =,2104t <<,根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意,作出函数()y f x =的图像如下,由图像可得,10()(2)4f x f ≤≤=关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根, 设()f x t =,20t at b ∴++=有两个根,不妨设为12,t t ;且114t =,2104t << 又12a t t -=+11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选:B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围,考查学生运用数形结合思想解决问题的能力,属于中档题.7.A【解析】 【分析】已知,,a b B ,若ABC 有两组解,则sin a B b a <<,可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<,则sin602x x ︒<<,解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中,已知,,a b B 且B 为锐角,若0sin b a B <<,则无解;若sin b a B =或b a ≥,则有一解;若sin a B b a <<,则有两解. 8.B 解析:B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出. 【详解】解:30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OAnOB OAm OA mnOAOB n OB OA+⋅=+⋅+1OA =,3OB =,0OA OB ⋅=2=229m n ∴=又C 在AB 上 0m ∴>,0n > 3m n∴= 故选:B本题主要考查了向量的基本运算的应用,向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.9.B解析:B 【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解:结合流程图运行程序如下: 首先初始化数据:20,2,0N i T ===,20102N i ==,结果为整数,执行11T T =+=,13i i =+=,此时不满足5i ≥; 203N i =,结果不为整数,执行14i i =+=,此时不满足5i ≥; 2054N i ==,结果为整数,执行12T T =+=,15i i =+=,此时满足5i ≥; 跳出循环,输出2T =. 本题选择B 选项.点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路: (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构. (2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题. (3)按照题目的要求完成解答并验证.10.C解析:C 【解析】 【分析】画出函数图像,根据图像得到20a -<≤,1bc =,得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,画出函数图像,如图所示:根据图像知:20a -<≤,20192019log log b c -=,故1bc =,故20abc -<≤. 故选:C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题,画出函数图像是解题的关键.11.B解析:B 【解析】 【分析】利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题. 【详解】如图所示, 作EO CD ⊥于O ,连接ON ,过M 作MF OD ⊥于F . 连BF ,平面CDE ⊥平面ABCD .,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ,EO ∴⊥平面ABCD ,MF ⊥平面ABCD ,MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形.设正方形边长为2,易知3,12EO ON EN ===,35,,722MF BF BM ==∴=.BM EN ∴≠,故选B . 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力, 解答本题的关键是构造直角三角性.12.D解析:D【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数,于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项,17sin 722a B =⨯=,sin a B b ∴>,此时,ABC ∆无解; 对于B 选项,2sin 5252c B =⨯=,sin c B b c ∴<<,此时,ABC ∆有两解; 对于C 选项,120A =,则A 为最大角,由于a b <,此时,ABC ∆无解; 对于D 选项,60C =,且c b >,此时,ABC ∆有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断,解题时要熟悉三角形个数的判断条件,考查推理能力,属于中等题.13.C解析:C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→,表示AP→,再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图,∵,,B P N 三点共线,∴,∴,即,∴①,又∵13AN NC =,∴,∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②, 对比①,②,由平面向量基本定理可得:.本题考查向量表示以及平面向量基本定理,考查基本分析求解能力.14.C解析:C 【解析】∵ 集合{}124A ,,=,{}2|40B x x x m =-+=,{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解,即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==,,故选C15.B解析:B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式,令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-,采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知,1x >-,当1x =时,()80f x =-≠, 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--, 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-,画出函数图像,如图:则两函数图像有两交点,故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选:B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解,数形结合思想,属于中档题二、填空题16.【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成的形式利用配方法求最值;②形如的可化为的形式性求最值;解析:134-【分析】利用换元法,令sin x t =,[]1,1t ∈-,然后利用配方法求其最小值. 【详解】令sin x t =,[]1,1t ∈-,则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭, 当12t =-时,函数有最小值134-,故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值;②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值;③sin cos y a x b x =+型,可化为22sin()y a b x φ=++求最值;④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 17.2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A (2-2)代入得m=-2∴代入B 得故水面宽为米故答案为米考点:抛物线的应用解析:26米 【解析】 【分析】 【详解】如图建立直角坐标系,设抛物线方程为2x my =, 将A (2,-2)代入2x my =, 得m=-2,∴22x y =-,代入B ()0,3x -得06x =,故水面宽为26米,故答案为26米. 考点:抛物线的应用18.【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中圆柱的底面半径为1母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为考点:旋转体的组合体 解析:由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为 .考点:旋转体的组合体.19.①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误;在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误;由以及可判断出命题③的正误;化简函数在区间上的解析解析:①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性,可判断出命题①的正误;在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,去绝对值,化简函数()y f x =的解析式,可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性,可判断命题②的正误;由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误;化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式,求出该函数的零点,即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①,函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=,该函数为偶函数,命题①正确; 对于命题②,当2x ππ<<时,sin 0x >,则()sin sin 2sin f x x x x =+=,则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,命题②错误;对于命题③,sin 1x ∴≤,sin 1x ≤,()2f x ∴≤,又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以,函数()y f x =的最大值为2,命题③正确;对于命题④,当0πx <<时,sin 0x >,()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>, 由于该函数为偶函数,当0x π-<<时,()0f x >,又()()()00f f f ππ=-==,所以,该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此,正确命题的序号为①③. 故答案为:①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断,涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断,解题的关键就是将三角函数的解析式化简,考查推理能力,属于中等题.20.【解析】试题分析:因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析:3π【解析】试题分析:因为sin 2sin()3y x x x π==-,所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到. 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言,即图像变换要看“变量”变化多少,而不是“角”变化多少.21.2x ﹣4y+3=0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析:2x ﹣4y +3=0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为:2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.22.【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C 【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形 解析:725【解析】 【分析】利用面积公式即可求出sinC .使用二倍角公式求出cos2C . 【详解】由题意,在ABC ∆中,8a =,5b =,面积为12, 则120122S absinC sinC ===,解得35sinC =. ∴297212122525cos C sin C =-=-⨯=. 故答案为725. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式,二倍角公式在解三角形中的应用,其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式,合理余运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.23.【解析】试题分析:该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点:三视图 7【解析】试题分析:该三棱锥底面是边长为23,有两个侧面是底边为2,高为2的直角三角形,面积为2,另一个侧面是底边为2,腰为.考点:三视图.24.【解析】试题分析:依题意有即解得考点:三点共线 解析:12【解析】试题分析:依题意有AB AC k k =,即531522m --=+,解得12m =. 考点:三点共线.25.3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析:3 【解析】 【分析】 【详解】44155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯====33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯,),=,==故答案为3. 【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义,利用向量的数量积转化是解决本题的关键,三、解答题 26.(1)见解析(23【解析】 【分析】(1)连接OC ,由BO =DO ,AB =AD ,知AO ⊥BD ,由BO =DO ,BC =CD ,知CO ⊥BD .在△AOC 中,由题设知AO 1CO ==,AC =2,故AO 2+CO 2=AC 2,由此能够证明AO ⊥平面BCD ;(2)取AC 的中点M ,连接OM 、ME 、OE ,由E 为BC 的中点,知ME ∥AB ,OE ∥DC ,故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角.在△OME中,11EM AB OE DC 122====,由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦;(3)设点E 到平面ACD 的距离为h .在△ACD中,CA CD 2AD ===,ACD1S22==,由AO =1,知2CDE1S 22==,由此能求出点E 到平面ACD 的距离. 【详解】(1)证明:连接OC ,∵BO =DO ,AB =AD ,∴AO ⊥BD , ∵BO =DO ,BC =CD ,∴CO ⊥BD .在△AOC中,由题设知1AO CO ==,AC =2, ∴AO 2+CO 2=AC 2,∴∠AOC =90°,即AO ⊥OC . ∵AO ⊥BD ,BD ∩OC =O , ∴AO ⊥平面BCD .(2)解:取AC 的中点M ,连接OM 、ME 、OE ,由E 为BC 的中点, 知ME ∥AB ,OE ∥DC ,∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在△OME中,111222EM AB OE DC ====, ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线,∴112OM AC ==,∴11142cos OEM +-∠==, ∴异面直线AB 与CD所成角大小的余弦为4(3)解:设点E 到平面ACD 的距离为h .E ACD A CDE V V --=,1133ACDCDEh S AO S ∴=...,在△ACD 中,2CA CD AD===,,∴122ACDS==,∵AO =1,21332242CDES=⨯⨯=, ∴31212772CDE ACDAO S h S ⨯⋅===,∴点E 到平面ACD 的距离为217.【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算,考查空间想象力和等价转化能力,解题时要认真审题,仔细解答,注意化立体几何问题为平面几何问题.27.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)453. 【解析】试题分析:(Ⅰ)取PB 的中点T ,然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形,从而得到MNAT ,由此结合线面平行的判断定理可证;(Ⅱ)由条件可知四面体N-BCM 的高,即点N 到底面的距离为棱PA 的一半,由此可顺利求得结果. 试题解析:(Ⅰ)由已知得,取的中点T ,连接,由N 为中点知,.又,故平行且等于,四边形AMNT 为平行四边形,于是.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为平面,N 为的中点,所以N 到平面的距离为.取的中点,连结.由得,.由得到的距离为,故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积145323N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证;(2)求三棱锥的体积关键是确定其高,而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置,当然有时也采取割补法、体积转换法求解.28.(1)1cos 3B =;(2)42 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值;(2)利用余弦定理求出c 的值,并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值,最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】(1)因为tan 3sin a B b A =,所以sin tan 3sin sin A B B A =, 又sin 0A >,所以sin 3sin cos BB B =,因为sin 0B >,所以1cos 3B =; (2)由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-,则21179233c c =+-⨯⨯⨯, 整理得2280c c --=,0c >,解得4c =.因为1cos 3B =,所以222sin 1cos B B =-=, 所以ABC ∆的面积1sin 422S ac B == 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角,同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算,考查计算能力,属于中等题.29.(1) ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,最小正周期T π=;(2) 161217a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或 【解析】【试题分析】(1)借助题设提供的图形信息与数据信息可求出周期T π=,再借助T πω=,求出2ω=,再借助点,16π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 图象上求出 6πϕ=;(2)先将原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=,分离参数2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭,再换元sin t x =,将其转化为函数()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图问题来处理:解:(1)由图象可知:22362T πππ=-=,∴T π=,又T πω=,∴2ω=. 又∵点,16π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 图象上,∴sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,∴232k ππϕπ+=+,∴26k πϕπ=+,k Z ∈,又∵2πϕ<,∴6πϕ=.∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,最小正周期T π=. (2)∵()1sin 212g x f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, ∴原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=,则0a ≠. ∵[]0,x π∈,[]sin 0,1x ∈,∴213sin 2sin 0x x +->,∴2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭, 令sin t x =,则[]0,1t ∈,作出()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图象, 当21a ≤2<或2178a =时,两图象在[]0,1内有且仅有一解, 即方程221732sin 84x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两解, 此时a 的取值范围为161217a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 点睛:求出函数的解析式后,求解第二问时先将原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=,则0a ≠,然后借助[]0,x π∈,[]sin 0,1x ∈,得到213sin 2sin 0x x +->,进而分离参数2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭,再换元sin t x =,则[]0,1t ∈,从而将问题化为函数()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图象的交点的个数问题,然后结合图像求出参数的取值范围。
上海市华二附中高一数学学科期末(2019.01)

华二附中高一期末数学试卷2019.01一. 填空题 1. 函数lg(1)x y x+=的定义域是 2. 设()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=-,则(2)f -=3. 已知cos 5α=,02πα-<<,则tan α= 4. 2020是第 象限角5. 已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数,若函数1()x af x x a--=+(x a ≠-,x ∈R ) 的图像过点(2,3),则(4)f =6. 若关于x 的方程|1|2x a a -=(0a >,1a ≠)有两个不相等实数根,则实数a 的取值范 围是7. 屠老师从2013年9月10日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的 存款将本金和利息再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018 年9月10日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为 元(保留整数) 8. 已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点,则实数k 的取值范围 是9. 下列命题正确的序号为① 周期函数都有最小正周期;② 偶函数一定不存在反函数; ③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件; ④ 若原函数与反函数的图像有偶数个交点,则可能都不在直线y x =上;10. ()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()f x x =,若对任意[,2]x a a ∈+,()2()f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围为二. 选择题11. “我自横刀向天笑,笑完我就去睡觉. 睡醒我又拿起刀,我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中,蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象,它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关( ) A. 函数的奇偶性 B. 函数的单调性 C. 函数的周期性 D. 二分法求函数零点12. 函数x x x xe e y e e --+=-的图像大致为( )A. B. C. D.13. 已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++-(x ∈R ),且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+,则集合{()|}N f a a M =∈的 元素个数有( )A. 无数个B. 3个C. 4个D. 2个 14. 下列命题中正确的命题是( )A. 若存在12,[,]x x a b ∈,当12x x <时,有12()()f x f x <,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B. 若存在[,]i x a b ∈(1i n ≤≤,2n ≥,*,i n ∈N ),当123n x x x x <<<<时,有123()()()()n f x f x f x f x <<<<,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C. 函数()y f x =的定义域为[0,)+∞,若对任意的0x >,都有()(0)f x f <,则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D. 若对任意12,[,]x x a b ∈,当12x x ≠时,有1212()()0f x f x x x ->-,则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三. 解答题15. 已知一个扇形的周长为30厘米,求扇形面积S 的最大值,并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16. 判断并证明函数2121()log 121x xxf x x++=+--的奇偶性.17. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+. (1)若1a =,[0,1]x ∈,求()f x 的值域; (2)当[1,1]x ∈-时,求()f x 的最小值()h a ;(3)是否存在实数m 、n ,同时满足下列条件:①3n m >>;②当()h a 的定义域为[,]m n 时,其值域为22[,]m n ;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,请说明理由.18. 设()m h x x x =+,1[,5]4x ∈, 其中m 是不等于零的常数. (1)写出(4)h x 的定义域; (2)求()h x 的单调递增区间;(3)已知函数()f x ([,]x a b ∈),定义:1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,]x a b ∈),其中,min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如:()f x x =,[0,1]x ∈,则1()0f x =,[0,1]x ∈,2()f x x =,[0,1]x ∈,当1m =时,设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+,不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立,求t 、n 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 【答案】(1,0)(0,)-+∞;【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩;2.【答案】0;【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-得:(2)(0)0f f -=-=; 3.【答案】2-;【解析】同角三角关系,注意tan 0α<即可; 4.【答案】三;【解析】20203212 1.31ππ⨯+,位于第三象限;5.【答案】53;【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+,11()1x f x x -+=-利用原函数与反函数关系得:(4)f 的值为方程1()4f x -=的解,解得:53x =;6.【答案】102a <<;【解析】|1|2x a a -=,等价于|1|2x y a y a =-=,两函数有两个交点,分01,1a a <<>两种情况讨论,分别画出得:102a <<满足题意; 7.【答案】53877;【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦;8.【答案】(,4][5,)-∞-+∞;【解析】[]121,422020424(5)04224[1,4]24x x x x x t t y k k k t k k y t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--⎩令有交 点;易得:20[5,4](,4][5,)k k∈-⇒∈-∞-+∞;9.【答案】③④;【解析】①错误;如:()f x C =如()(0)f x C x ==④正确,不连续就行;如:3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩(图像为黑色部分)与其反函数交点个数为2个, 交点不在y x =上,如下图;10.【答案】a ;【解析】()f x x x =,函数单调递增;max()2())1)1)f x a f x f x a a x a x ⎡⎤+=⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥1)(2)a a +≥,解得:a ;二. 选择题 11.【答案】C ; 12.【答案】B ;【解析】令(1)0f >,排除A ,C ;如按计算器(1000)1f >排除D ,如分析亦可:0,1x xxxxxx xe e x e e e e y e e ----+>+>-⇒=>-;故排除D ;故选B ;13.【答案】A ;【解析】()f x 为偶函数,且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数;那么情况有三种: (1)221a a a --=+31a ⇒=-或;(2)22(1)11a a a a --=-+⇒=-或;(3)2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤,不用解了;则:{(1),(3)}N f f =,一共2个元素,故答案选A ;14.【答案】D ;【解析】A 错,选项描述为存在性,而单调性定义要求任意性;B 选项同A 错误;C 选项与单调性无关,错;D 选项正确;三. 解答题15.【解析】230l r +=≥则90022582rl =≤,当且仅当2l r =,由l r α=得2()rad α=,又2230l r l r =⎧⎨+=⎩得:152r =.16.【解析】定义域满足:10(1,0)(0,1)1120x xx x+⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩,定义域关于原点对称;222121211211()log log log ()121211121x x x x x xx x xf x f x x x x --+-+++--=+=+=--=---+---+故()f x 为奇函数.17.【解析】(1)1a =,()9233x x f x =-⋅+,令3[1,3]x t =∈,则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈,则:[]()2,6g t ∈;(2)[1,1]x ∈-,令13[,3]3x t =∈,则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈,讨论对称轴t a =与定义域位置关系,得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥; (3)()126,3h a a a =-≥,函数单调递减,那么[,]a m n ∈时, 22221266()126m n n m n m n m⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减; 得:6m n +=,而3n m >>,则6m n +>,故矛盾,则不存在m n 、满足题意. 18.【解析】本题选自2011年奉贤一模23题(理) (1)1154,5,,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;(2)0m <时,()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增;1016m <≤时,()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增;12516m <≤时,()h x 在⎤⎦递增; (3)由题知:()()()231444x h x h x x--=,∴4()()4h x h x > 11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,()()4h x h x =,12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭;()()4h x h x <,15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥,()111,,421154,,424x x x M x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩, ()1111,,42515,,224⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x x x M x x ,()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x , 1211711,,44271,,1425154,1,244⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫⎡⎤-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩x x x M M x x x x()()1221,010⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦M x M x ,∴0n ≥,2110t -≤.。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019 学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1.“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为A.32f B.322fC.1225f D.1227f【答案】 D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解 .详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为122,所以a n 122a n 1(n 2,n N ),又a1 f ,则a8 a1q7 f(122)7 1227 f故选 D. 点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列 . 等比数列的判断方法主要有如下两种:a n 1 *a n *( 1)定义法,若q( q 0,n N*)或q( q 0,n 2,n N *),数a n a n 1列{a n}是等比数列;2( 2)等比中项公式法,若数列{a n}中,a n 0且a n21 a n a n 2(n 3,n N*),则数列{a n} 是等比数列 .222.已知函数f x 2cos2x sin2x 2,则A.f x 的最小正周期为,最大值为3B.f x 的最小正周期为,最大值为4C . f x 的最小正周期为 2π,最大值为 3D . f x 的最小正周期为 2π,最大值为 4 【答案】 B【解析】 首先利用余弦的倍角公式,对函数解析式进行化简,将解析式化简为35f x cos2x ,之后应用余弦型函数的性质得到相关的量,从而得到正确选项 22【详解】根据题意有 f x cos2x 1 1 cos2x 2 3 cos2x 5 ,22 22所以函数 f x 的最小正周期为 T 2,35且最大值为f x max4 ,故选 B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式, 并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性 质,在解题的过程中,要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角,得到最简结果 .答案】解析】 由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可 详解】由函数图象平移变换的性质可知:y sin 2 x sin2x .10 5则函数的单调递增区间满足: 2k 2x 2k k Z , 22 即 k x k k Z ,443 函数的单调递减区间满足: 2k2x 2k k Z , 223.将函数 y sin(2x ) 的图象向右平移5个单位长度,所得图象对应的函数 A .在区间 C .在区间 [3 ,5 ] 上单调递增 44[5 ,3 ] 上单调递增 42B .在区间D .在区间 3[ , ] 上单调递减 43[ ,2 ] 上单调递减将y sin2x 5 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:令 k 1 可得一个单调递增区间为: 3 44633即k x k k Z , 44令 k 1可得一个单调递减区间为: 5 ,7 ,本题选择 A 选项.44【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换, 三角函数的单调区间的判断等知识, 意在考查学生 的转化能力和计算求解能力 .2k 14.已知函数 y 5cos x (其中 k N ),对任意实数 a ,在区间 a,a 3 365上要使函数值 出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次,则 k 值为( )4A .2或3B .4 或 3C .5或 6D .8或 7【答案】 A【解析】 根据题意 先表示出函数的周期,5然后根据函数值 出现的次数不少于 4 次且4 多于 8次,得到周期的范围, 从而得到关于 k 的不等式,从而得到 k 的范围,结合 k N , 得到答案 . 【详解】2k 1 函数 y 5cos x ,3626 T 所以可得 2k 1 2k 1 , 3因为在区间 a,a 3 上,函数值 5 出现的次数不少于 4次且不多于 8 次, 45 2k 1 1 2k 1 所以 5cos x 得 cos x 4 36 4 3 6小于等于 8,而 y cos 2k 3 1 x 6 与 y 41 的图像在一个周期 T 内有 2 个,3 6 42k 1即 y cos2k 13 1x 与 y64的图像在区间 a ,a 3 上的交点个数大于等于 4,所以 2T 3,即 4T3623 2k 137 解得 32 k 72,又因 k N ,所以得 k 2 或者 k 3 , 故选: A.点睛】 本题考查正弦型函数的图像与性质, 根据周期性求参数的值, 函数与方程, 属于中档题 .、填空题答案】3, 6解析】 根据 y arcsin x 的单调性,结合 x 的范围,得到答案 详解】函数 y arcsin x 是单调递增函数,x 1 时, y arcsin 1 ,2 2 6故答案为: 3, 6 【点睛】本题考查反三角函数的单调性,根据函数的单调性求值域,属于简单题 . 6.数列 a n 的前 n 项和 S n n 2 n 1,则 a n 的通项公式 a n ________________3 n 1 【答案】 2n n 2解析】 根据 a n 和 S n 之间的关系 ,应用公式 a nS1n 1 得出结果n n nS n S n 1 n 2详解】5.函数y arcsinx x 3, 1的值域是 2 2 的值域是所以 x 3 时, 2y arcsin所以函数的值域当n 1时,a1 S1 3 ;当n 2时,a n S n S n 1 n2 n 1 n 1 n 1 1 2n ;3 n 1∴ aan2n n 2∴3 n 1故答案为:2n n 2【点睛】本题考查了a n 和S n之间的关系式 ,注意当n 1和n 2时要分开讨论 ,题中的数列非等差数列 .本题属于基础题7.f x 3sin x cos x的值域是____________ .【答案】2,2解析】对f x 进行整理,得到正弦型函数,然后得到其值域,得到答案详解】f x 3sin x cosxsinx 1cosx2sin x6因为sin x 6 1,1所以f x 的值域为2,2 .故答案为:2,2【点睛】本题考查辅助角公式,正弦型函数的值域,属于简单题8.“a1 a4 a2 a3 ”是“数列a1,a2,a3,a4 依次成等差数列”的____________ 条件(填“充要”,充分非必要”,“必要非充分”,“既不充分也不必要”)答案】必要非充分解析】通过等差数列的下标公式,得到必要条件,通过举特例证明非充分条件,从而得到答案 .详解】 因为数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列, 所以根据等差数列下标公式,可得 a 1 a 4 a 2 a 3 ,当a 1 a 2 1 , a 3 a 4 2 时,满足a 1 a 4 a 2 a 3 , 但不能得到数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列 所以综上, “a 1 a 4 a 2 a 3 ”是“数列 a 1,a 2,a 3,a 4 依次成等差数列 ”的必要非充分条件 故答案为:必要非充分 .【点睛】 本题考查必要非充分条件的证明,等差数列通项的性质,属于简单题 . 9.已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ,且 S 10 10 , S 20 30 ,则 S 30 答案】 60解析】【详解】 若数列 {a n } 为等差数列则 S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍然成等差数列.所以 S 10, S 20-S 10, S 30-S 20 仍然成等差数列. 因为在等差数列 {a n } 中有 S 10=10,S 20=30, 2 20 10 S 30 30 所以 S 30=60 . 故答案为 60.答案】 450【考点】 余弦定理;三角形的面积公式 .1a11.已知数列 {a n } 中,其中 a1 9999 , a n (a n 1)a 1,那么 log 99 a 100 ___________________________答案】 110.已知 ABC 的三边分别是a,b,c ,且面积 a 2 b 2 c 2S ,则角 C解析】 试题分析:由a 2b 2c 2 S,可得1 absinC 2a 2b 2c 2整理得sinCa 2b 2c 22abcosC ,即 tanC 1,所以 C 450 .1【解析】 由已知数列递推式可得数列 {log 99 a n }是以 log 99 a 1 log 99 9999 1 为首项, 991以 9999 为公比的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由 an (a n 1),得 log 99 a n a 1 log 99 a n 1 ,log 99 a n a1 9999,log 99 a n 1 1 1 1则数列 {log 99a n } 是以 log 99 a 1 log 99 99 99 1 为首项,以 9999 为公比的等比数列, 99991 1 99log 99 a 100 (9999 )99 1.99故答案为: 1.【点睛】 本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式,考查运算求解能力,特别是对复杂式子 的理解.12.等比数列 a n 中首项 a 1 2 ,公比q 3,a n a n+1+ +a m 720 n,m N * ,n m ,则 n m ______________________ .【答案】 9【解析】 根据等比数列求和公式,将 a n a n+1+ +a m 720 进行转化,然后得到关于n 和 m 的等式,结合 n,m N *,n m ,讨论出 n 和 m 的值,得到答案【详解】因为等比数列 a n 中首项 a 1 2 ,公比 q 3 ,所以 a n ,a n 1, , a m 成首项为 a n 2 3n 1,公比为 3的等比数列,共 n m 1项,整理得 3n m1 1 73n 201因为n,m N ,n m所以可得,等式右边为整数,故等式左边也需要为整数,所以a n a n+1+ +a m2 3n 11 3m n 127013则3n 1应是 720的约数, 所以可得 3n 1 3,9, 27 , 所以 n 1,2,3 , 当 n 1 时,得 3m 721 ,此时 m N * 当 n 2 时,得 3m 1 241,此时 m N 当 n 3时,得 3m 2 81,此时 m 6 , 所以 m n 9 , 故答案为: 9.【点睛】 本题考查等比数列求和的基本量运算,涉及分类讨论的思想,属于中档题 13.在△ ABC 中,sin 2 A sin 2C 2018sin 2 B ,则at(n Atan )atn C B atn Atan atBn C2 【答案】 2 2017【解析】【详解】因为 sin 2 A sin 2C 2018sin 2 B 所以 a 2 c 2 2018 b 2注意到: tanA tanB tanC tanA tanB tanC2故tanA tanC tan B tanA tanB tanCsin 2B 1 b 2 2ac 2b 22 sinA sinC cosB ac a 2 c 2 b 2 2018b 2b 22017故答案为: 2 201714.已知数列 a n 的通项公式为 a n lg 1 n 2 23n ,n 1,2,3, ,S n 是数列的前 n 项 和,则 l n im S n ________ 答案】 lg32 tanA tanCtan 2B tanA tanB tanC ta 1nA ta 1nC tanB解析】 对数列 a n 的通项公式 a n lg 1 2 2 进行整理,再求其前 n 项和,利 n n 23n用对数运算规则,可得到 S n ,从而求出 l n im S n ,得到答案 . 详解】点睛】三、解答题 1 15.在 △ABC 中, a=7, b=8, cosB = – .7(Ⅰ)求∠A ;Ⅱ )求 AC 边上的高.π答案】 (1) ∠A=3【解析】 分析:(1)先根据平方关系求 sinB ,再根据正弦定理求 sinA ,即得 A ;(2)11 根据三角形面积公式两种表示形式列方程 absinC hb ,再利用诱导公式以及两角22 和正弦公式求 sinC ,解得 AC 边上的高.2 a n lg 1 n 23n lg2n 2 3n 2 2n 2 3nlgn1n2 n n 3所以 S n a 1 a 2 a 3a nlg2 3lg 3 4 lg 1 4 2 5 4 5 lg36n1n2lg 3n n 31n31 31 lg n lg 13 n所以lim S n n lim lg n1 3 1 1n n lg3.31故答案为: lg3.本题考查对数运算公式,由数列的通项求前n 项和,数列的极限,属于中档题 (2) AC 边上的高为332详解:解:(1)在△ABC 中,∵cosB=–1 ,∴B ∈( π,π),∴sinB= 1 cos 2B 4 3.由点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条 件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的 .16.已知un a n a n 1b a n 2b 2 ab n 1 b n n N *,a,b 0 .( 1)当 a b 时,求数列 u n 前 n 项和 S n ;(用 a和 n 表示);答案】(1) a 1时,S n n n 3 ,a 1时,2Sn n 1 an 2 n 22a n 1 a 2 2a ;(2)n 1 a 2解析】(1)当 a b 时,求出 u n n 1 a n ,再利用错位相减法, 求出 u n 的前 n 项和 S n ;(2)求出 un 的表达式,对 a , b 的大小进行分类讨论,从而求出数列的极限 u n 1 详解】2)求l n imu nu n 1正弦定理得sinA sinBsinA7∴ sin A= 3 .∵B ∈( π,π), 22∴ A ∈( 0,π), ∴∠ A= π.232)在 △ABC 中, ∵sinC=sin ( A+B ) =sin AcosB+sin BcosA= 3 1 1 = 3 3 .2 7 27 14如图所示,在 △ABC 中, ∵sinC= h ,∴h=BC sinC =7 3 3 3 3BC14 2∴AC 边上的高为 3 3 .2u na,a blim n u n 1b,a b( 1)当 a b 时,可得 u n n 1 a n , 当 a 1时,得到 u n n 1 ,所以S n当 a 1 时, 所以 S n 2a 3a 2 4a 3na n 1 n 1 a n ,两边同乘 a 得 aS n 2a 2 3a 3 4a 4 na n n 1 a n 1上式减去下式得 1 a S n 2a a a a n 1 aa 1 a n n 1 1 a S n a n 1 a n 1,1aa 1 a a n 1 a n1 所以 S n 21 a 1 an 1 an 2 n 2 an 1 a 2 2a21a所以综上所述, a 1时, S n n n 3 ; a 1时, n 22)由( 1)可知当 a b时, u nn 1 a n则 lim u nlim n 1n 1ann u n 1n na n 1 nn1 n1 n当 a1 b 时, unana n 1bab n 1 b n S nn 1 an 2n 2 an 1 a 2 2aa n 1 lim a ;n nnan 1 n 1ab则u nn 1 n 1ab nnab1 b a b a b a点睛】 本题考查错位相减法求数列的和,数列的极限,涉及分类讨论的思想,属于中档题x17 . 已知方程 arctan arctan (2 x ) a ;2x( 1)若 a ,求 arccos 的值;42( 2)若方程有实数解,求实数 a 的取值范围;3)若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 、 ,求 的最大值 .112) [arctan ,arctan ] ;2 10 6 2 10 619;x程有实数解即 a 在 arctan x arctan 2 x 的值域上,( 3)根据二次函数的性 质列不等式组得出 tana 的范围,利用根与系数的关系得出 α+β的最值 . 试题解析:x x π 2 x1) arctan x arctan 2 x π2 1 x 2或1 , )2 4 x 2 x ,12x arccos =22)x2xu n lim n lim n u n 1 nn1nnaba n 1b n 1an若 b a 0, n 1 n 1u n a b l nim nl n im n n n u n 1 na ba b alim n b所以综上所述 lim n n u n 1a,a b b,a b答案】( 1) 或 ;33)解析】 试题分析: (1)a 4 时,由已知得到 x2x2x 2 x 11 x 2或1;(2) 方3x2t arctan arctan 2 x a tana tana 2,t 4 x,2 1x 2 x t 26t 1012tana 1 , 1 a arctan 1 ,arctan 12 10 6 2 10 6 2 10 6 2 10 63)因为方程在区间5,15 上有两个相异的解、,所以4 x 11, 1 , 4 4 11 19318 .( 1)证明:cos 3x 4cos x 3cosx ;(2)证明:对任何正整数n,存在多项式函数f n x ,使得cos nx f n cosx 对所有实数 x 均成立,其中f n x 2n 1x n a1x n 1a n 1x a n,a1, ,a n均为整数,当n 为奇数时,a n 0,当 n 为偶数时,an 12 ;m( 3)利用( 2)的结论判断cos 1 m 6,m N*是否为有理数?【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不是解析】(1)cos 3x cos 2x x ,利用两角和的正弦和二倍角公式,进行证明;2)对n分奇偶,即n 2k 1和n 2k 两种情况,结合两角和的余弦公式,积化和差公式,利用数学归纳法进行证明;(3)根据( 2)的结论,将cos 表示出来,然7 后判断其每一项都为无理数,从而得到答案 .详解】1)cos 3x cos 2x x cos2 x cosx sin 2x sin x2cos2x 1 cosx 2sin 2xcosx2cos3x cosx 2 1 cos2x cosx34cos x 3cosx 所以原式得证 .( 2)n 为奇数时,2 3 2n 3 时,cos 3x f3cosx 2 cos x a1cos x a2cosx a3,其中a3 0 ,成立n 2k 1 时,cos 2k 1 x f2k 1 cosx2k 2 2k 1 2k 2 2k 32 cos xa 1 cos x a 2 cos x a 2k 2 cosx a 2k 1 ,其中 a 2k 1 0,成立n 2k 1时, cos 2k 1 x f 2k 1 cosx2k 2k 1 2k 2k 12 cos xa 1cos x a 2 cos x a 2k cosx a 2k1 ,其中a 2k10,成立,则当 n 2k 3 时,cos 2k 3 x cos 2k 1 x 2x cos 2k 1 xcos2x sin 2k 1 sin2x所以得到cos 2k 3 x 2cos 2k 1 xcos2 x cos 2k 1 x2k cos 2k 1 x a1 cos2 k x a 2 cos 2k 1 x a 2k cosx a 2k 1 2cos 2x 12k 2 2k 1 2k 2 2k 32 cos x a 1 cos x a 2 cos x a 2k 2 cosx a 2k 12k 2 2k 3 2k 2 2k 1 2k 12 cos x 4a 1 cosx 4a 2 2 cos x2a 2k a 2k 1 cosx2k 1因为 a 1, ,a n 均为整数,所以 4 a 1,4 a 2 2 , , 2a 2k a 2k 1 也均为整数, 故原式成立;n 为偶数时, 2 1 2 2n 2时, cos2x f 2 cosx 2 cos x a 1 cos x a 2 ,其中 a 1 2 1,n2k 2 时, cos 2k 2 xf 2k2cosx2k 3 2k 2 2k 3 2k 42 cos x a 1 cosx a 2 cosxa 2k 3 cosx a 2k 2 ,其中a 2k 2 1 2 11,成立,n 2k 时, cos2kx f 2k cosx2k 1 2k 2k 1 2k 22 cos x a 1 cos x a 2 cos xa 2k 1 cosx a 2k2kk其中 a 2k1 2 1 k 1 ,成立, 则当 n 2k 2 时,cos 2k 2 x cos 2kx 2x cos2kxcos2x sin2kxsin2x2k 2cos 2k 3 xcos 2k 1 xcos2xcos 2k 1 cos2x 所以得到3)由( 2)可得 cos 1 m 6,m N *1 m 6,m N其中 2m 1,a 1,a 2 a m 均为有理数,本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式, 积化和差公式, 数学归纳法证明, 属于难题 .cos 2k 3 x 2cos2kxcos2x cos 2k 2 x2k 12k 2k 12k 222 2cos x a 1cosx a 2 cosx a 2k 1 cosx a 2k 2cos x 12k 3 2k 22k 3 2k 42 cos x a 1 cos x a 2 cos x a 2k3 cosx a 2k 2 22k 1 cos 2k 2 x 4a 1 cos 2k 1x 4a 2 22k 1 cos 2k x 2a 2k 1 a 2k 3 cosx 2a 2ka 2k 2其中 2a 2k a 2k 2 1 ,因为 a 1, ,a n 均为整数,2k 1所以 4 a 1 ,4 a 2 2 , , 2a 2k 1 a 2k 3 也均为整数, 故原式成立;综上可得:对任何正整数 n ,存在多项式函数 f n x ,使得 cos nx f n cosx 对所 有实数 x 均成立,其中n 1 n n 1f n x 2n 1x n a 1x n 1 a n 1x a n ,a 1, ,a n 均为整当 n 为奇数时, a n 0 , n当 n 为偶数时, an1 2 ;m cos f m cos 2m 1 mcos a 1 m1cos7 a m 1 cos 7a mm因为 cos 为无理数,所以 cos m,cos77m17 m 1 m m 1故 2m 1 cos m a 1 cos m 1 a m 1 cos a m 为无理数,7 1 7 m 1 7 m cos 7均为无理数, 所以 cos 1 m 6,m N * 不是有理数 . 【点睛】。
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2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1.“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 ABC. D.【答案】D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈, 又1a f =,则7781a a q f === 故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若1n n a q a +=(*0,q n N ≠∈)或1nn a q a -=(*0,2,q n n N ≠≥∈), 数列{}n a 是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列{}n a 中,0n a ≠且212n n n a a a --=⋅(*3,n n N ≥∈),则数列{}n a 是等比数列.2.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式,对函数解析式进行化简,将解析式化简为()35cos222f x x =+,之后应用余弦型函数的性质得到相关的量,从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==, 且最大值为()max 35422f x =+=,故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式,并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质,在解题的过程中,要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角,得到最简结果.3.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A .在区间35[,]44ππ上单调递增 B .在区间3[,]4ππ上单调递减 C .在区间53[,]42ππ上单调递增 D .在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知:将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为:sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足:()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,令1k =可得一个单调递增区间为:35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足:3222k x k k Z ππ+≤≤+∈,即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 令1k =可得一个单调递减区间为:57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭(其中k ∈N ),对任意实数a ,在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,则k 值为( ) A .2或3 B .4或3C .5或6D .8或7【答案】A【解析】根据题意先表示出函数的周期,然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,得到周期的范围,从而得到关于k 的不等式,从而得到k 的范围,结合k ∈N ,得到答案. 【详解】 函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以可得2621213T k k ππ==++,因为在区间[],3a a +上,函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次,所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4,小于等于8, 而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个,所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩,即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤, 又因k ∈N ,所以得2k =或者3k =, 故选:A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质,根据周期性求参数的值,函数与方程,属于中档题.二、填空题5.函数1arcsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______. 【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据arcsin y x =的单调性,结合x 的范围,得到答案. 【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数,所以2x =-时,arcsin 23y π⎛=-=- ⎝⎭, 12x =-时,1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以函数的值域为:,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故答案为:,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性,根据函数的单调性求值域,属于简单题.6.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦; ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为:()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题7.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】对()f x 进行整理,得到正弦型函数,然后得到其值域,得到答案. 【详解】()cos f x x x =+12cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,. 故答案为:[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式,正弦型函数的值域,属于简单题.8.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件(填“充要”,“充分非必要”,“必要非充分”,“既不充分也不必要”). 【答案】必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式,得到必要条件,通过举特例证明非充分条件,从而【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列,所以根据等差数列下标公式,可得1423a a a a +=+, 当121a a ==,342a a ==时, 满足1423a a a a +=+,但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上,“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件. 故答案为:必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的证明,等差数列通项的性质,属于简单题.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1010S =,2030S =,则30S = ; 【答案】60 【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍然成等差数列. 所以S 10,S 20-S 10,S 30-S 20仍然成等差数列. 因为在等差数列{a n }中有S 10=10,S 20=30,()302201030S ⨯=+-所以S 30=60. 故答案为60.10.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ,且面积2224a b c S +-=,则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析:由2224a b c S +-=,可得2221sin 24a b c ab C +-=,整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==,即tan 1C =,所以045C =.【考点】余弦定理;三角形的面积公式.11.已知数列{}n a 中,其中199199a =,11()an n a a -=,那么99100log a =________【解析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项,以19999为公比的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求解. 【详解】由11()an n a a -=,得991991log log n n a a a -=,∴199991991l 9og log 9n n a a a -==, 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项,以19999为公比的等比数列, ∴19999991001log (99)199a =⋅=. 故答案为:1. 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式,考查运算求解能力,特别是对复杂式子的理解.12.等比数列{}n a 中首项12a =,公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<,则n m +=______.【答案】9【解析】根据等比数列求和公式,将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化,然后得到关于n 和m 的等式,结合*,,n m N n m ∈<,讨论出n 和m 的值,得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =,公比3q =,所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯,公比为3的等比数列,共1n m -+项,所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m ∈<所以可得,等式右边为整数,故等式左边也需要为整数,则13n -应是720的约数, 所以可得133,9,27n -=,所以1,2,3n =,当1n =时,得3721m =,此时*m N ∉ 当2n =时,得13241m -=,此时*m N ∉ 当3n =时,得2381m -=,此时6m =, 所以9m n +=, 故答案为:9. 【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算,涉及分类讨论的思想,属于中档题.13.在△ABC 中,222sin sin 2018sin A C B +=,则2(t a n t a n )t a n t a n t a n t a n A C BA B C+=++________. 【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到:tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++ ()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B CA C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭. 故答案为:2201714.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和,则lim n n S →∞=______. 【答案】lg 3【解析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理,再求其前n 项和,利用对数运算规则,可得到n S ,从而求出lim n n S →∞,得到答案. 【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg3n n n n ++=+所以123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lglg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ ()13131lg lg 331n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ 所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为:lg 3. 【点睛】本题考查对数运算公式,由数列的通项求前n 项和,数列的极限,属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中,a =7,b =8,cos B = –17. (Ⅰ)求∠A ;(Ⅱ)求AC 边上的高. 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析:(1)先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ,即得A ∠;(2)根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ,解得AC 边上的高.详解:解:(1)在△ABC 中,∵cos B =–17,∴B ∈(π2,π),∴sin B7=.由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A7∴sin A=2.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A =π3. (2)在△ABC 中,∵sin C =sin (A +B )=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=14. 如图所示,在△ABC 中,∵sin C =h BC ,∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=,∴AC 边上的高为2.点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.(1)当a b =时,求数列{}n u 前n 项和n S ;(用a 和n 表示); (2)求1limnn n u u →∞-. 【答案】(1)1a =时,()3,12n n n S a +=≠时,()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-;(2)1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩; 【解析】(1)当a b =时,求出()1nn u n a =+,再利用错位相减法,求出{}n u 的前n 项和n S ;(2)求出1nn u u -的表达式,对a ,b 的大小进行分类讨论,从而求出数列的极限. 【详解】(1)当a b =时,可得()1nn u n a =+,当1a =时,得到1n u n =+, 所以()32n n n S +=, 当1a ≠时,所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++,两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-,所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述,1a =时,()32n n n S +=;1a ≠时,()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. (2)由(1)可知当a b =时,()1nn u n a =+则()111lim lim nn n n n n n a uu na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==; 当a b ¹时,11n n n n n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--- 则111n n n n n n u a b u a b++--=-若0a b >>,111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>,111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和,数列的极限,涉及分类讨论的思想,属于中档题.17. 已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=; (1)若4a π=,求arccos 2x的值;(2)若方程有实数解,求实数a 的取值范围;(3)若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β,求αβ+的最大值. 【答案】(1)π或3π; (2); (3)19;【解析】试题分析:(1)4a π=时,由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22x x +-的值域上,(3)根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围,利用根与系数的关系得出α+β的最值. 试题解析:(1)()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或, arccos =2x π或3π;(2)()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈a ⎡∴∈⎢⎣(3)因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β,所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.(1)证明:()3cos 34cos 3cos x x x =-;(2)证明:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-;(3)利用(2)的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数? 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不是【解析】(1)()()cos 3cos 2x x x =+,利用两角和的正弦和二倍角公式,进行证明;(2)对n 分奇偶,即21n k =+和2n k =两种情况,结合两角和的余弦公式,积化和差公式,利用数学归纳法进行证明;(3)根据(2)的结论,将cos 7m π表示出来,然后判断其每一项都为无理数,从而得到答案. 【详解】(1)()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-所以原式得证. (2)n 为奇数时,3n =时,()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++,其中30a =,成立21n k =-时,()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++,其中210k a -=,成立21n k =+时,()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++,其中210k a +=,成立,则当23n k =+时,()()()()cos 23cos 212cos 21cos2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos2cos 21k x k x x k x +=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数,故原式成立;n 为偶数时,2n =时,()212212cos2cos 2cos cos x f x x a x a -==++,其中()22211a =-=-,22n k =-时,()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++,其中()()221222111k k k a ---=-=-=-,成立,2n k =时,()2cos2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++,其中()()222111k kk a =-=-=,成立,则当22n k =+时,()()cos 22cos 22cos2cos2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=- ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos2cos2cos 22k x kx x k x +=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-,因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数,故原式成立;综上可得:对任何正整数n ,存在多项式函数()n f x ,使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立,其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++,1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数,当n 为奇数时,0n a =,当n 为偶数时,()21nn a =-; (3)由(2)可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈ cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数,因为cos 7π为无理数,所以1cos,cos cos777mm πππ-⋅⋅⋅均为无理数,故11112cos cos cos777m mm m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数,所以()*cos16,7m m m N π≤≤∈不是有理数. 【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式,积化和差公式,数学归纳法证明,属于难题.。