高等代数与解析几何同济答案
高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
2019年同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)3.doc
习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2121(1)(2<≤--=x x x f ;解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π 2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ 2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 而在(-∞, +∞)上f (x )的间断点为x =2k , 212+k , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅, 故 }s i n 2c o s 21c o s ]2s i n 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n n πππππππ-++--+-=∑∞=(x ≠2k , 212+≠k x , k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(3)⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),而在(-∞, +∞)上, f (x )的间断点为 x =3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,(x ≠3(2k +1), k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解 正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ, x ∈[0, l ].余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l =-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ])1(12cos2[222n n n l ---=ππ(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ),故 lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=, x ∈[0, l ].(2)f (x )=x 2(0≤x ≤2).解 正弦级数:对f (x )进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),]1)1[()(168)1(2sin2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin}]1)1[(2)1({811x n n n n n n ππ∑∞=+--+-=, x ∈[0, 2).余弦级数:对f (x )进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a 2202)(16)1(2cos22ππn dx x n x a n n -==⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),故 2cos)(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos)1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=, x ∈[0, 2].总习题十一 1. 填空: (1)对级数∑∞=1n n u , 0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件, 不是它收敛的________条件; 解 必要; 充分.(2)部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解 充分必要. (3)若级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定________; 若级数∑∞=1n n u 条件收敛, 则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解 收敛; 发散.2. 判定下列级数的收敛性: (1)∑∞=11n n nn ; 解 因为11lim 11lim==∞→∞→n n n n nn n n ,而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. (2)∑∞=1222)!(n nn ;解 因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知, 级数发散.(3) ∑∞=1223cos n n n n π; 解 因为n n n n n 223cos 2<π, 12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n 所以由根值审敛法, 级数∑∞=12n n 收敛; 由比较审敛法, 级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. (4)∑∞=110ln 1n n;解 因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim , 而调和级数∑∞=11n n 发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示: ∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x xx x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101lim ln lim 9910 (5)∑∞=1n s n na (a >0, s >0). 解 因为 a n a n a sn n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散. 当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3. 设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明 因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u , 0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u , 0lim lim 2==∞→∞→n n n nn v v v ,所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4. 设级数∑∞=1n n u 收敛, 且1lim =∞→nnn u v , 问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解 级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有11)1(11)1(lim=-+-∞→nn n n . 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1)∑∞=-11)1(n p n n ; 解 ∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p nnn 是p 级数. 故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的, 当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散. 因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时, 级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 因而收敛, 这时是条件收敛的.当p ≤0时, 由于01)1(lim ≠-∞→p nn n , 所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散.综上所述, 级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛, 当0<p ≤1时条件收敛, 当p ≤0时发散.(2)∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解 因为1111|1s i n )1(|+++≤+-n n n n πππ, 而级数∑∞=+111n n π收敛, 故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛, 从而原级数绝对收敛.(3)∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解 因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n n n n n n n n n , 而级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知级数|1ln)1(|1∑∞=+-n n n n 发散, 即原级数不是绝对收敛的.另一方面, 级数∑∞=+-11ln )1(n nn n 是交错级数, 且满足莱布尼茨定理的条件, 所以该级数收敛, 从而原级数条件收敛.(4)∑∞=++-11)!1()1(n n n nn . 解 令1)!1()1(++-=n n n n n u . 因为11)11(112lim )1(12lim)!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→e nn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n ,故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛, 从而原级数绝对收敛.6. 求下列级限:(1)∑=∞→+nk k k n k n 12)11(311lim ;解 显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和.因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n nn n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n n n n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n nk k k n s n k n .(2)])2( 842[lim 312719131n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→.解n n nn3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和.设∑∞=-=11)(n n nx x S , 则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x-='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→n n s n nn .7. 求下列幂级数的收敛域:(1)∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的;当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51 ,51[-. (2)∑∞=+12)11(n n n x n ;解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1, 时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ; 当e x 1=时, 幂级数成为∑∞=+-1)1()11()1(2n n n n e n .因为21)1ln(lim 11)11ln(lim ])11ln([lim 2022-=-+=-+=-++→+∞→+∞→t t t x x x x x x t x x , 所以 0lim )1()11(lim 21)11ln(22≠==+--+∞→∞→e ee n n n n n n n n , 因此级数∑∞=+-1)1()11()1(2n n n n e n 和∑∞=+1)1()11(2n n n e n 均发散, 从而收敛域为)1 ,1(e e -. (3)∑∞=+1)1(n n x n ; 解u n =n (x +1)n . 因为 |1||1|1lim ||lim 1+=++=∞→+∞→x x nn u u n n n n , 根据比值审敛法, 当|x +1|<1, 即-2<x <0时, 幂级数收敛; 当|x +1|>1时, 幂级数发散.又当x =0时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的; 当x =-2时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的, 所以幂级数的收敛域为(-2, 0). (4)∑∞=122n n n x n .解 n n n x n u 22=. 因为 221121221lim ||lim x x n n u u n n n n n n =⋅⋅+=+∞→+∞→, 根据比值审敛法, 当1212<x , 即22<<-x 时, 幂级数收敛; 当1212>x 时, 幂级数发散. 又当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.8. 求下列幂级数的和函数: (1)∑∞=--1)1(2212n n n x n ;解 设幂级数的和函数为S (x ), 则])2(2[]21[])([)(1121120'='='=∑∑⎰∞=-∞=-n n n n xx x x dx x S x S)12( )2(2]2112[22222<-+='-⋅=x x x x x , 即 )22( )2(2)(222<<--+=x x x x S . (2)∑∞=----112112)1(n n n xn ; 解 设幂级数的和函数为S (x ), 则 )1( arctan 11)1()()(20212210<=+=-='=⎰⎰∑⎰∞=--x x dx x xdx x S x S xx n n n x.因为当x =±1时, 幂级数收敛, 所以有 S (x )=arctan x (-1≤x ≤1). (3)∑∞=-1)1(n n x n ; 解 设幂级数的和函数为S (x ), 则 ])1()[1()1()1()1()(1111'--=--=-=∑∑∑∞=∞=-∞=n n n n n nx x x n x x n x S)1|1(| )2(1])1(11)[1(])1()1)[(1(211<---='----='---=∑∞=-x x x x x x x x x n n , 即 )20( )2(1)(2<<--=x x x x S .(4)∑∞=+1)1(n n n n x . 解 易知幂级数的收敛域为[-1, 1].设幂级数的和函数为S (x ), 则当x ≠0时∑∑∞=+∞=+=+=111)1(11)1(1)(n n n n x n n x x n n x Sdx dx x x dx x n x x x n n x n n ][111001101⎰⎰∑⎰∑∞=-∞===dx x x dx dx x x x x x ⎰⎰⎰--=-=000)1ln(1]11[1 )]1ln()1ln([1x x x x x-----= )1ln(11x xx --+=, x ∈[-1, 0)⋃(0, 1], 又显然S (0)=0, 因此⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--+=0 0]1 ,0()0 ,1[ )1ln(11)(x x x xx x S .9. 求下列数项级数的和: (1)∑∞=12!n n n ; 解 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+-=11112!!)1(!)1(!n n n n n n n n n n n n n n n .因为n n xx n e ∑∞==1!1, 两边求导得11!-∞=∑=n n x x n n e , 再求导得22!)1(-∞=∑-=n n x x n n n e , 因此x x n n n n n n n n n n e e x x n n x n n n x x n n x n n n x n n +=+-=+-=∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=∞=221221112!!)1(!!)1(!,从而 e S n n n 2)1(!12==∑∞=. (2)∑∞=++-0)!12(1)1(n n n n . 解 ∑∑∑∞=∞=∞=+-+++-=++-000)!12(1)1(21)!12(12)1(21)!12(1)1(n n n n n nn n n n n 1sin 211cos 21)!12(1)1(21)!2(1)1(2100+=+-+-=∑∑∞=∞=n n n n n n . 提示: ∑∞=++-=012)!12(1)1(sin n n nx n x , ∑∞=++-=02)!12(12)1(cos n n n x n n x .10. 将下列函数展开成x 的幂级数: (1))1ln(2++x x ;解 ⎰⎰+='++=++xxdx x dx x x x x 0202211])1[ln()1ln(, 因为 ∑∞=---+=+=+122122!)!2(!)!12()1(1)1(11n n x n n x x , |x |≤1,故 ∑∞=++--+=++1122)12(!)!2(!)!12()1()1ln(n n n x n n n x x x (-1≤x ≤1).(2)2)2(1x -.解 ∑∞='='-='-=-02])2([21)211(21)21()2(1n n x x x x ∑∑∞=-+∞=+='=111012]21[n n n n n n x n x (-2≤x ≤2). 11. 设f (x )是周期为2π的函数, 它在[-π, π)上的表达式为 ⎩⎨⎧∈-∈=) ,0[ )0 ,[ 0)(ππx e x x f x. 将f (x )展开成傅里叶级数. 解 πππππππ11)(10-===⎰⎰-e dx e dx x f a x ,n n xn a n e nxdx e nxdx x f a 201)1(cos 1cos )(1---===⎰⎰-πππππππ, 即 ππ)1(1)1(2+--=n e a n n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ), ⎰⎰==-πππππ0sin 1sin )(1nxdx e nxdx x f b x nn x na nxdx e n -=-=⎰ππ0cos 1)((n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ).因此 ∑∞=-+--+-=12)sin (cos )1(1)1(21)(n n x n nx n e e x f ππππ (-∞<x <+∞且x ≠n π, n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).12. 将函数 ⎩⎨⎧≤<≤≤=πx h h x x f 00 1)( 分别展开成正弦级数和余弦级数.解 若将函数进行奇延拓, 则傅里叶系数为 a n =0(n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), ππππn nh nxdx nxdx x f b h n )cos 1(2sin 2sin )(200-===⎰⎰. 因此, 函数展开成正弦级数为∑∞=-=1sin cos 12)(n nx nnh x f π, x ∈(0, h )⋃(h , π),当x =h 时, 21)(=h f . 若将函数进行偶延拓, 则傅里叶系数为ππππh dx dx x f a h 22)(2000===⎰⎰, ππππn nh nxdx nxdx x f a hn sin 2cos 2cos )(200===⎰⎰(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), b n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),.因此, 函数展开成余弦级数为∑∞=+=1cos sin 2)(n nx nnh h x f ππ, x ∈[0, h )⋃(h , π), 当x =h 时, 21)(=h f .总习题十二1. 填空:(1)xy '''+2x 2y '2+x 3y =x 4+1是______阶微分方程;解 是3阶微分方程.(2)若M (x , y )dx +N (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数M 、N 应满足______;解 xN y M ∂∂=∂∂. (3)与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是______; 解 方程两边对x 求导得y '=f (x , y ). 显然当x =x 0时, y =0.因此与积分方程等价的微分方程初值问题是y '=f (x , y ), 0|0==x x y .(4)已知y =1、y =x 、y =x 2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解, 则该方程的通解为______.解 容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解. 因此y 1=x -1和y 2=x 2-1都是对应齐次线性微分方程的的解. 显然y 1与y 2是线性无关. 所以非齐次线性微分方程的通解为y =C 1(x -1)+C 2(x 2-1)+1.2. 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程:(1)(x +C )2+y 2=1(其中C 为任意常数);解 将等式变形21y C x -±=+,两边对x 求导得211yy y -'±=, 从而1-y 2=y 2y '2, 即所求微分方程为y 2(1+y '2)=1.(2)y =C 1e x +C 2e 2x (其中C 1、C 2为任意常数).解 两边对x 求导得y '=C 1e x +2C 2e 2x =y +C 2e 2x ,即 y '=y +C 2e 2x ,⋅ ⋅ ⋅(1)再求导得y ''=y '+2C 2e 2x . ⋅ ⋅ ⋅(2)(2)-(1)⨯2得y ''-2y '=y '-2y ,即所求微分方程为y ''-3y '+2y =0.3. 求下列微分方程的通解:(1)xy y y x 2=+';解 将方程变形为xy x y y 1212=+', 即x y x y 121)(=+'. 其通解为)(1)1(2121C x xC dx e x e y dx x dx x +=+⎰⎰=⎰-, 即原方程的通解为xC x y 2)(+=. (2) xy 'ln x +y =ax (ln x +1);解 将方程变形为)ln 11(ln 1xa y x x y +=+', 其通解为)ln (ln 1])ln 11([ln 1ln 1C x ax x C dx e x a e y dx x x dx x x +=+⎰+⎰=⎰-, 即原方程的通解为xC ax y ln +=. (3))(ln 2x y y dx dy -=; 解 将方程变形为yy x y dy dx ln 22=+, 其通解为)21ln (1)ln 2(22222C y y y y C dy e y y e x dy y dy y +-=+⎰⎰=⎰-, 即原方程的通解为221ln yCy x +-=. (4)033=-+y x xy dxdy ; 解 将方程变形为 3231x xy dxdy y =+-, 即32222)(x xy dx y d -=---, 其通解为)())2([22222322C e e x e C dx e x e y x x x xdx xdx ++=+⎰-⎰=----⎰,即原方程的通解为1222++=-x Ce y x .(5)022=+-++yx xdy ydx ydy xdx ; 解 因为)2(22y x d y d y x d x +=+, 2222)(11y x d y y d x yx y x x d y y d x -⋅+=+- )(a r c t a n )()(112y x d y x d y x =+=,所以原方程可写成0)a r c t a n 22(22=++yx y x d , 从而原方程的通解为C yx y x =++a r c t a n 222.(6) yy ''-y '2-1=0;解 令y '=p , 则dy dp py ='', 原方程化为 012=--p dydp yp , 或 yp y dy p d 22)(22=-, 其通解为1)()2(222222-=+-=+⎰⎰=--⎰Cy C y y C dy e y e p dy y dy y . 于是 12-±='Cy y , 即dx y C dy ±=-1)(21(C =C 12), 积分得 2211)1)(l n (C x y C y C +±=-+, 化简得原方程的通解)(ch 121C x C y +±=. (7) y ''+2y '+5y =sin2x ;解 齐次方程y ''+2y '+5y =0的特征方程为r 2+2r +5=0,其根为r 1, 2=-1±2i .因为f (x )=sin2x , λ+ωi =2i 不是特征方程的根,所以非齐次方程的特解应设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得(A +2B )cos2x +(B -4A )sin2x =sin2x , 比较系数得174-=A , 171=B , x x y 2sin 1712cos 174*+-=. 因此原方程的通解为x x x C x C e y x 2s i n 1712cos 174)2sin 2cos (21+-+=-. (8) y '''+y ''-2y '=x (e x +4);解 齐次方程y '''+y ''-2y '=0的特征方程为r 3+r 2-2r =0,其根为r 1=0, r 2=1, r 3=2.齐次方程y '''+y ''-2y '=0的通解为y =C 1+C 2e x +C 3e -2x .原方程中f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=xe x , f 2(x )=4x .对于方程y '''+y ''-2y '=xe x , 因为λ=1是特征方程的根, 故其特解可设为 y 1*=x (Ax +B )e x ,代入y '''+y ''-2y '=xe x 得(6Ax +8A +3b )e x =xe x , 比较系数得61=A , 94-=B , 故x e x x y )9461(*1-=. 对于方程y '''+y ''-2y '=4x , 因为λ=0是特征方程的根, 故其特解可设为 y 2*=x (Cx +D ),代入y '''+y ''-2y '=4x 得-4Cx +2C -2D =4x ,比较系数得C =-1, D =-1, 故y 2*=x (-x -1).因此原方程的通解为x x e x x e C e C C y x x x ---+++=-222321)9461(.(9) (y 4-3x 2)dy +xydx =0;解 将原方程变形为323y x y dy dx x -=-, 或32226)(y x ydy x d -=-, 其通解为)(])2([266362C y y C dy e y e x dy y dy y +=+⎰-⎰=--⎰, 即原方程的通解为x 2=y 4+Cy 6.(10)y x x y +=+'2.解 令y x u +=2, 则y =u 2-x 2, x dxdu u dx dy 22-=, 故原方程化为u x dx du u =-2, 即21)(21+=u x dx du . 这是齐次方程, 因此令z xu =, 则u =xz , dx dz x z dx du +=, 则上述齐次方程化为 2121+=+z dx dz x z , 即)112(21---=zz dx dz x , 分离变量得x dx z z zdz 21122-=--, 积分得 123ln 21)132ln(61C x z z +-=+-, 即 2z 3-3z 2+1=Cx -3)(16C e C =. 将xu z =代入上式得 2u 3-3xu 2+x 3=C , 再代入y x u +=2, 得原方程的通解C xy x y x =--+32)(2332.4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y 3dx +2(x 2-xy 2)dy =0, x =1时y =1;解 原方程变形为2322x yx y dy dx -=-, 即 31222yx y dy dx x -=---, 或 31122)(yx y dy x d =+--, 其通解为)ln 2(1)2(22321C y y C dy e y e x dy +=+⎰⎰=⎰--, 即原方程的通解为y 2=x (2ln y +C ).由y |x =1=1, 得C =1. 故满足所给初始条件的特解为y 2=x (2ln y +1).(2) y ''-ay '2=0, x =0时y =0, y '=-1;解 令y '=p , 则原方程化为02=-ap dxdp .分离变量得a d x p dp =2, 两边积分得11C ax p +=-, 即11C ax y +-='. 代入初始条件y '(0)=-1得C 1=1,故 11+-='ax y . 方程两边积分得2)1l n (1C ax ay ++-=. 代入初始条件y (0)=0得C 2=0.因此满足所给初始条件的特解为)1ln(1+-=ax ay .(3) 2y ''-sin2y =0, x =0时2π=y , y '=1; 解 令y '=p , 则原方程化为02s i n 2=-y dydp p . 分离变量得2pdp =sin2ydy ,两边积分得122c o s 21C y p +-=. 代入初始条件y '(0)=1得211=C , 因而 y y y 22s i n 212c o s 21=+-=', 即 y '=sin y .分离变量得dx ydy =sin , 两边积分得2c o s 1c o s 1ln 21C x yy +=+-.代入初始条件2)0(π=y 得C 2=0. 因此满足所给初始条件的特解为yy x cos 1cos 1ln 21+-=. (4) y ''+2y '+y =cos x , x =0时y =0, 23='y . 解 齐次方程y ''+2y '+y =0的特征方程为r 2+2r +1=0,其根为r 1, 2=-1.齐次方程y ''+2y '+y =0的通解为y =(C 1+C 2x )e -x .因为f (x )=cos x , λ+ωi =i 不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y *=A cos x +B sin x ,代入原方程得-2A sin x +2B cos x =cos x ,比较系数得A =0, 21=B . 故x y sin 21*=. 从而原方程的通解为 x e x C C y x s i n 21)(21++=- . 将初始条件代入通解得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=23210211C C C , 解之得C 1=0, C 2=1.因此满足所给初始条件的特解为x xe y x sin 21+=-. 5. 已知某曲线经过点(1, 1), 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.解 设点(x , y )为曲线上任一点, 则曲线在该点的切线方程为Y -y =y '(X -x ),其在纵轴上的截距为y -xy ', 因此由已知有y -xy '=x , 即11-=-'y xy . 这是一个一阶线性方程, 其通解为)ln (])1([11C x x C dx e e y dx x dx x +-=+⎰-⎰=⎰-, 即方程的通解为y =x (C -ln x ).由于曲线过点(1, 1), 所以C =1.因此所求曲线的方程为y =x (1-ln x ).6. 已知某车间的容积为30⨯30⨯6m 3, 其中的空气含0.12%的CO 2(以容积计算). 现以含CO 20.04%的新鲜空气输入, 问每分钟应输入多少, 才能在30min 后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出).解 设每分钟应输入的空气为a m 3, t 时刻车间中CO 2的浓度为x (t ), 则车间中CO 2的含量(以体积计算)在t 时刻经过dt min 的改变量为30⨯30⨯6 dx =0.0004adt -axdt ,分离变量得dt a dx x 54000004.01-=-, 由于x >0.0004, 故两边积分得C t a x ln 5400)0004.0ln(+-=-, 即 t a Ce x 54000004.0-+=.由于开始时车间中的空气含0.12%的CO 2, 即当t =0时, x =0.0012, 代入上式得C =0. 0008. 因此t a e x 54000008.00004.0-+=.由上式得0008.0004.0ln 5400--=x t a . 由于要求30min 后车间中CO 2的含量不超过0.06%, 即当t =30时, x ≤0.0006, 将t =30, x =0. 0006代入上式得a =180ln 4≈250.因为054000008.05400<-='-t ae x , 所以x 是a 的减函数, 考试当a ≥250时可保证x ≤0.0006.因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m 3.7. 设可导函数ϕ(x )满足1s i n )(2c o s )(0+=+⎰x t d t t x x xϕϕ, 求ϕ(x ).解 在等式两边对x 求导得ϕ'(x )cos x -ϕ(x )sin x +2ϕ(x )sin x =1,即 ϕ'(x )+tan x ϕ(x )=sec x .这是一个一阶线性方程, 其通解为)s e c ()(t a n t a n C dx xe e x xdx xdx +⎰⎰=⎰-ϕ=cos x (tan x +C )=sin x +C cos x .在已知等式中, 令x =0得ϕ(0)=1, 代入通解得C =1. 故ϕ(x )=sin x +cos x . 8. 设函数u =f (r ), 222z y x r ++=在r >0内满足拉普拉斯(Laplace)方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中f (r )二阶可导, 且f (1)=f '(1)=1. 试将拉普拉斯方程化为以r 为自变量的常微分方程, 并求f (r ).解 因为rx z y x x x r =++=∂∂22222, 所以 )()(r f rx x r r f x u '=∂∂'=∂∂, )()()()(22322222r f r x r f r x r x r r f r x r f r x r x r x u '+'-=∂∂'+'∂∂-=∂∂. 同理可得)()(2232222r f ry r f r y r y u '+'-=∂∂, )()(2232222r f r z r f r z r z u '+'-=∂∂. 于是 )()(3222232222222222r f rz y x r f r z y x r z u y u x u '+++'---=∂∂+∂∂+∂∂ 22322)()(2dr u d dr du r r f r f rr+='+'=. 因此拉普拉斯方程化为0222=+dr u d dr du r , 即0222=+drdu r dr u d . 令)(r p drdu =, 则以上方程进一步变成 02=+dr dp p r , 即02=+p rdr dp , 其通解为2121rC e C p dr r =⎰=-, 即21r C dr du =. 由于f '(1)=1, 即r =1时1=drdu , 所以C 1=1, 21r dr du =. 在方程21r dr du =的两边积分得21C ru +-=. 又由于f (1)=1, 即r =1时u =1, 所以C 2=2, 从而21+-=r u , 即21)(+-=rr f .9. 设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令)()()()()()()()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x W '-'=''=, 证明:(1)W (x )满足方程W '+p (x )W =0; 证明 因为y 1(x )、y 2(x )都是方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的解, 所以 y 1''+p (x )y 1'+q (x )y 1=0, y 2''+p (x )y 2'+q (x )y 2=0, 从而 W '+p (x )W =(y 1'y 2'+ y 1y 2''- y 1''y 2- y 1'y 2')+p (x )( y 1y 2'- y 1'y 2) =y 1[y 2''+p (x )y 2']- y 2[y 1''+p (x )y 1'] =y 1[-q (x )y 2]- y 2[-q (x )y 1] =0,即W (x )满足方程W '+p (x )W =0.(2)⎰=-x x dt t p e x W x W 0)(0)()(. 证明 已知W (x )满足方程 W '+p (x )W =0,分离变量得dx x p WdW )(-=. 将上式两边在[x 0, x ]上积分, 得 ⎰-=-x x dt t p x W x W 0)()(ln )(ln 0, 即 ⎰=-x x dt t p ex W x W 0)(0)()(.。
同济版高等代数与解析几何第十章习题答案
同济版高等代数与解析几何第十章习题答案习题10.11、写出二次型的矩阵如下：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332321211；（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23013120012121212323；（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000120100202121； （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0321301221011210n n n n n n ．2、二次型可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n x x x a a a a a a x x x x a x a x a a x a x a x x x x q 212121************),,,(),,,(),,,(),,,(，),,,(21n x x x q 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A 2122212121112121),,,(．当，a a a n 时021==== q 的秩为0；当，a a a n 时不全为0,,,21 q 的秩为1．3、二次型的秩未必是A ；应为(),ij b B =其中，2jiij ij a a b +=．4、（1）若A 为反对称矩阵，即A A -='，则AX X AX X X A X AX X '-=''-='-'=')()(，从而 0='A X X ；反之，若对任意X 都有0='A X X ，令)(ij a A =，取())(0,,1,,0i i X ='='ε，则0=='ii i i a A εε．取j i X εε'+'=' ，则0=+++='jj ji ij ii a a a a AX X ，得0=+ji ij a a ，即ji ij a a -=，故A 为反对称矩阵．（2）因对任意n 维向量X ，都有0='A X X ，由（1）知，A A -='． 又由A A ='，因而A A -=，得A=0．（3）因对任意n 维向量X ，都有BXX AX X '='，即0)(=-'X B A X ，又显然B A -是对称矩阵，故由（2）得O B A =-，即A=B ．5、由A 可逆，且A A ='，得A A A A ='-1，故A 与A /合同．6、因A 与B 合同，C 与D 合同，故存在可逆矩阵21,P P ，使 D CP P B AP P ='='2211,．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21P O O P P ，则P 可逆，且有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'D O O B P C O O A P ．7、（1）当a >0，b>0时，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆实矩阵．且2I AP P ='，从而A 与I 在R 上合同． （2）当0≠ab 时，0,0≠≠b a ，取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a P 1001，则P 为可逆复矩阵．且2I AP P ='． 习题10.21、（1）)44()2(),,(234222222121321x x x x x x x x x x x q +++++==232221)2()(x x x x +++．令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322211x y x x y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,2,2333223211y x y y x y y y x 代入原二次型，得2221321),,(y y x x x q +=．所作非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,2333223211y x y y x y y y x （2）对二次型作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=.,,33212211y x y y x y y x 得3213212121321)()())((),,(y y y y y y y y y y x x x q ++-++-=.)(22322231322221y y y y y y y y --+=+-=再令⎪⎩⎪⎨⎧==+=,,,3322311y z y z y y z 即⎪⎩⎪⎨⎧==-=.,,3322311z y z y z z y 代入得232221321),,(z z z x x x q --=． 所作的非退化线性替换是⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=.,,3332123211z x z z z x z z z x（3）422241222114321)(),,,(x x x x x x x x x q +-+= =2424422212211)44()(x x x x x x x ++--+ =242424122211)2()(x x x x x +--+ 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+=,,,2,443342222111x y x y x x y x x y 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=,,,2,4433422422111y x y x y y x y y y x 代入，得242241214321),,,(y y y x x x x q +-=． （4）2212113)1(22312432221121)()()(),,,(nn n n n n ni n n i ni i n x x x x x x x x x x q +-=-=+++++++=∑∑ ．令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--==∑∑,,,,1113312222111n n n n n n n i i n i i x y x x y x x y x x y 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=--==∑∑.,,,11131222111n n n nn n ni i i ni i i y x y y x x y x y y x 将变换代入，得22121)1(222432121),,,(n nn n n nn y y y y x x x q +--++++= ．（5）作非退化线性替换⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=-=+=---nn n n n n y y x y y x y y x y y x yy x y y x 212221212434433212211 q 化为222122423222121),,,(n n n y y y y y y x x x q -++-+-=- ．（6）∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛==ni nj n i i i j j i i n x a x a x a x x x q 112121))((),,,( ．设0≠i a ，令⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====+++=++--,,,,,,11112222111n n i i i i i i n n x y x y x y x y x y x a x a x a y即，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==------====+++---+-,,,,,,111121111221112n n i i n a a i a a i a a a a a i i i i y x y x y y y y y x y x y x y x i n i i i i i i二次型化为：2121),,,(y x x x q n = ．2、（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7230002000122110100100010001121221110 I A ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2211010023P ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='2700020001AP P ．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=100010011112121212121P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---='232122AP P ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3731131,1001021AP P P ． 3、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=212132221A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310421300010001100010001212132221 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310421P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213213),,(y y y x x x q +-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='311100310421212132221134012001AP P ．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011102120A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100111000400011000100010111021201111 I A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001121212121P ．经非退化线性替换X=PY ，二次型化为2322213214),,(y y y x x x q ++-=．验算： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='100040001AP P ．4、设A 为秩等于r 的对称矩阵，则存在可逆矩阵P ，使得rr E E E AP P +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 2211011，．1112211111)()()(------'++'+'=p E P P E P P E P A rr令11)(--'=P E P A ii i ，则i i A A ='，且秩),,2,1(1)(r i E A ii i ===秩，同时有 r A A A A +++= 21．5、用A ，B 表示所给两个对角形矩阵，由于二次型2222121212121),,,(),,,(n i i i n n n x x x x x x A x x x x x x q nλλλ+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 可经过非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ni ni i y x y x y x 2121化得2222211222212211),,,(n n i i i i n y y y y y y x x x q ni n i λλλλλλ+++=+++==()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y y B y y y 2121,,,，故A 与B 合同．6、因A 为复数域上的对称矩阵，故存在复数域上的可逆矩阵P 1，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n d d d AP P 002111，因为在复数域内，任何数可开平方，故有112121110000)(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=P d d d d d d P A n n令112100-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P d d d P n，则有P P A '=．习题10.31、（1）q 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=320222021A ，A 的特征多项式())1)(5(232222021+--=---=-x x x x x x A xA ．A 的特征值为2，5，-1．对的特征值2=λ 解齐次方程组0120202021321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 求得基础解系)2,1,2(1--=η，单位化得),,(3231321--=γ，同理求得属于特征值5，-1的单位特征向量分别为),,(3232312-=γ， ),,(3132323=γ．取正交矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12222121231U ．则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='152AU U ，q 通对正交的线性替换X=UY ，化为23222132152),,(y y y x x x q -+=． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=204060402A ，它的特征多项式为：)2()6(240604022+-=-----=-x x x x x A xI ，A 的特征值为6（二重），-2． 对于特征值6，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321404000404x x x ． 求得一个基础解系为)1,0,1(1-=η，)0,1,0(2=η它们已是正交向量组，将它们单位化，得),0,(21211=γ )0,1,0(2=γ对于特征值-2，同理可求得相应的特征向量)1,0,1(3-=η，单位化得),0,(21213-=γ 取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121212100100U ，则U 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='200060006AU U ．对二次型作正交线性替换X=UY ，就化成232221266y y y -+． （3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A ．A 的特殊征多项式)7()2(2+-=-x x A xI ，A 的特征值为2，2，-7．对于特征值2，求得两个相应的线性无关的特征向量)0,1,2(1-=α，)1,0,2(2=α将它们正交化得)0,1,2(11-==αβ，)5,4,2(12=β单位化得)0,,(51521-=γ，),,(5355345322=γ对于特征值-7，求得相应的特征向量为)2,2,1(3-=α单位化得),,(3232313-=γ取⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32535325345131532520U ，则U 是正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='700020002AU U ， q 可经过正交线性替换X=UY ，化为 232221321722),,(y y y x x x q -+=． （4））q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110,000100100000010010B B B A ．)1)(1(1112+-=-=--=-x x x xx B xI ，B 的特征值为1，-1．对特征值为1，求得B 的属于1特征向量为)1,1(1=α，单位化得),(21211=γ，对于-1，求得相应的特征向量为)1,1(2-=β，单位化得),(21212-=γ．取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121Q ，则Q 为正交矩阵．且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='1001BQ Q ． 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q U 00，则U为正交矩阵．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='100001000010001AU U ．作正交线性替换X=UY ，二次型就化为24232221y y y y -+-． 2、因为A 是实对称矩阵，故它的特征值0λ是实数，从而存在不全为0的实数n x x x ,,,21 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 21021λ．于是，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x x A x x x x x x q 212121),,,(),,,()(),,,(22221021021n n n x x x x x x x x x +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= λλ．3、因为AX X x x x q n '=),,,(21 是实二次型，故存在正交的线性替换X=UY （U 为正交矩阵），使 AX X x x x q n '=),,,(21 =2222211nn y y y λλλ+++ （1） 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值．由于n λλλ≤≤≤ 21，又由于22221ny y y +++ =Y Y y y y y y y n n '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2121),,,(，故对n R 中的任意向量X ，由（1）得='≤'AX X Y Y 1λ2222211nn y y y λλλ+++ Y Y n '≤λ （2） 因为U 为正交矩阵，I U U ='故Y Y IY Y UY U Y UY UY X X '='=''='=')()(从而由（2）得XX AX X X X n '≤'≤'λλ1．4、因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵U 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，这里R n ∈λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于i λ>0，i=1，2，…，n ，故U U U U A n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=221210000λλλλλλU U U U n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλ00002121令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 为实对称矩阵，并且有2S A =． 习题10.41、（1）2221321),,(y y x x x q +=已经是C 上和R 上的典范形； （2）在C 上，对232221321),,(z z z x x x q --=，再作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧===332211iwz iw z w z ，可化为典范形232221321),,(w w w x x x q ++=； 而在R 上，232221321),,(z z z x x x q --=已经是典范形．（3）在C 上，对242241214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====344322112z y z y iz y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q ++=；在R 上，对 24221214321),,,(y y y x x x x q +-=，再作非退化实线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====244332112z y z y z y z y ，可化为典范形2322214321),,,(z z z x x x x q -+=． （4）q 在C 上和R 上的典范形都是：2212221n n z z z z ++++-（5）q 在C 上的典范形为：222122221nn n z z z z z +++++++ ；在R 上的典范形为：222122221n n n z z z z z ---++++ ．（6）2121),,,(y x x x q n = 已经是典范形．2、q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000222222c b ca ba A ．因为0≠ab 故0,0≠≠b a ，从而知A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--abc a a 000000合同． （1）ab>0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ；（2）ab<0时，若c=0，则q 的秩r=2，符号差011=-=s ；若c>0，则q 的秩r=3，符号差112=-=s ； 若c<0，则q 的秩r=3，符号差121-=-=s ．3、二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=)()2(2)1()2(24432)1(3222n n n n n n n n n n n A λλλλλλλλλ可证，A 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+---0001000200011210n n 合同．因后一矩阵与λ无关，从而得A 的秩和符号差与λ无关，即二次型的秩和符号差与λ无关．4、类数=2)2)(1()1(21++=+++n n n ．n=3时，各类典范形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,111,111,111；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011,011,011;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000;001,001.5、充分性．设实二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，且符号差为0，则它可以经非退化线性替换X=PY 化为典范形),,,(21n x x x q =))((21212221y y y y y y -+=-．由X P y '=，可知，11,y y 可由n x x x ,,,21 线性表示．代入上式得),,,(21n x x x q 是两实系数n 元一次齐次多项式的乘积．若q 的秩为1，则q 可经非退化线性替换X=PY 化为典范形2121),,,(y x x x q n = ，同理可得结论成立．必要性．设二次型可分解为),,,(21n x x x q =))((22112211n n n n x b x b x b x a x a x a ++++++ ，其中),,2,1(,n i Rb a i i =∈．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 成比例，即ii ka b =，且设1≠a ，可对q 作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=n n n n x y x y x a x a x a y 2222111 化为),,,(21n x x x q =21ky ．此时二次型),,,(21n x x x q 的秩为1．若),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 不成比例，不如设),(21a a 与),(21b b 不成比例，则01221≠-b a b a ，从而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=nn n n nn x y x y x b x b x b y x a x a x a y 332211222111是非退化线性变换．对),,,(21n x x x q 作此变换后再作如下线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z y z y z z y z z y 33212211 就得),,,(21n x x x q =222121z z y y -=． 因此，二次型),,,(21n x x x q 的秩为2，并且符号差是零．6、只需证齐次线性方程0='AX A 与AX=0同解．设X 是AX=0的解，则有0='AX A ，即X 也是0='AX A 的解；反之，设X 是0='AX A 的解，则有0='=''O X AX A X ，即0)()(='AX AX ．因为A 为实矩阵，X 为实向量，故AX=0．即X 是AX=0的解，于是，A /A 与A 的秩相同．7、把q 写成),,,(21n x x x q =AX A X ''，),,,(21n x x x X ='，因为A A A A '='')(，得A A '是q 的矩阵，q 的秩等于AA '的秩，由上题得q 的秩等于A 的秩．习题10.51、（1）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=621221111A它的顺序主子式为11=D >0，121112==D >0，46212211113==D >0，故q 是正定的． （2）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2010010310420321A 因为A 的2阶顺序主子式042212==D ，由此可知，q 不是正定的．（3）取不全为0的实数1,0,0321===x x x ，有0)1,0,0(=q ，故q 不是正定的．（4）),,,(21n x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111121212121212121 A它的k 阶顺序主子式)1()(1111212121212121212121+==k D k k>0，（k=1，2，…,n ）．故q 是正定的． （5）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000100000000010101212121212121A它的k 阶顺序主子式100010000000001011212121212121=k D =)1()(1+k k>0（k=1，2，…,n ）． 故q 是正定的． 2、（1）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3010112λλA ，),,(321x x x q 是正定的充要条件是：A 的顺序主子式221==D >0，22222λλλ-==D >0，23353010112λλλ-==D >0 由此解得：3535<<-λ．所以，当3535<<-λ时，),,(321x x x q 是正定的．（2）),,(321x x x q 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=451151122λλA ， 由于A 的二阶顺序主子式01111=，故不论λ取任何值，q 都不能是正定的．（3）q 的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000011011011λλλA ， 由λ>0，1112-=λλλ>0，)2()1(1111112-+=--λλλλλ>0，)2()1(2-+=λλA >0．解得λ>2．故当λ>2时，q 是正定的．3、因A 是正定的，故存在可逆实矩阵P ，使P P A '=，由此可得，)(111'=---P P A ，从而1-A 是正定的．4、因A 是正定矩阵，故存在可逆实矩阵Q ，使IAQ Q ='．又因为BQ Q '是实对称矩阵，故存在正交矩阵U ，使U BQ Q U )(''是对角矩阵．令P=QU ，则BP P '是对角矩阵，且I IU U AQU Q U AP P ='=''='也是对角矩阵．5、因A 是实对称矩阵，故对任意实数t ，tI+A 是实对称矩阵． 对A ，存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n AU U λλλ0021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+'n n t t t tI U A tI U λλλλλλ0000)(2121，故tI+A 的全部特征值为n t t t λλλ+++,,,21 ．当t 充分大时，i t λ+>0，i=1，2，…,n ．于是，当t 充分大时，tI+A 是正定的．6、因A 是正定矩阵，故存在正交矩阵U ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='n AU U λλλ 00000021，其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值．由于A 是正定的，所以时，i λ>0，i=1，2，…，n ．于是U U U U U U A n n n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλλλλλ000000212121． 令U U S n '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ0021，则S 是正定的，且使2S A =．7、因A 是可逆实矩阵，故A A '是正定矩阵．由第6题知，存在正定矩阵S ，使A A '=2S ．于是，SS A S A A )()(121'='=--．令S A U )(1'=-，可证U 是正交矩阵，并且A=US ．8、当n=1时，结论显然成立．假设对于n-1阶正定矩阵，结论成立．现设A 是n 阶正定矩阵，把A 分块为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-nn n ij a B B A a A 1，其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-------1,12,11,11,222211,122111n n n n n n n a a aa a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n n a a a B ,121 ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---10111B A I P n n ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='--B A B a I AP P n nn n 1100．因为1-n A 为正定矩阵，故01≥'-B A B n ，当且仅当B=0时，等号成立．由于1='=P P ，所以，()B A B a A P A P A n nn n 11--'-='=，从而nn n a A A 1-≤，当且仅当B=0时等号成立．由归纳假设，1,122111---≤n n n a a a A ，当且仅当1-n A 为对角形时等号成立．所以，nn n n a a a a A 1,12211--≤ ，当且仅当A 为对角形时等号成立．9、当0=A 时，结论成立．当0≠A 时，A 是可逆实矩阵，从而A A '是正定矩阵，并且A A '的主对角线上的元素为222212222221221221211,,,nn n n n n a a a a a a a a a +++++++++ ．利用第8题的结果，得()∏=+++≤'=nj njj j a a a A A A 1222212．10、充分性：若),,,(21n x x x q 的秩和正惯性指数都等于r ，则q 可经过非退化实线性替换X=PY ，变为),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ ，从而对任一组实数n x x x ,,,21 由X=PY 可得X P Y 1-=，即可求得相应的实数n r y y y y ,,,,,21 ，使),,,(21n x x x q =22221r y y y +++ 0≥即q 是半正定的．必要性： 设),,,(21n x x x q 是半正定的，则q 的负惯性指数必为零．否则，q 可经非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++ ，p<r ．于是，当1=r y ，其余0=i y 时，由X=PY 可得相应的值n x x x ,,,21 代入上式得01),,,(21<-=n x x x q ，这与q 是半正定相矛盾． 11、考虑三元二次型C yz B xz A xy z y x z y x q cos 2cos 2cos 2),,(222---++=．它的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1cos cos cos 1cos cos cos 1C B C A B A A ，容易得它的所有顺序主子式111==D >0，A A AD 22cos 11cos cos -=---=>0，0=A ．所以),,(z y x q 是半正定二次型．故对任意实数x,y,z 有),,(z y x q ≥0，即不等式成立．12、),(y x q 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b b a A它的一切顺序主子式为2,b ac A a a -==．（1）若ac b -2<0，即A >0，则显然q 是正定⇔a>0．（2）若ac b -2>0，即A <0，二次型不是正定的，且秩A=2，故A 的两个特征值21,λλ必异号．从而得到),(y x q 是不定的．（1）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的椭圆； （2）的几何意义是：方程),(y x q =1表示中心在原点的双曲线．13、因为A <0，故二次型),,,(21n x x x q =AX X '的秩为n ．且不是正定的，故它的负惯性指数至少是1，从而),,,(21n x x x q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q ==''='APY P Y AX X 221221n p p y y y y ---+++ ， （1）其中p ≤1<n ，当y n=1，其余y i=0时，由X=PY 确定的向量00≠X ，且100-='AX X <0． 14、因为有实n 维向量1X ，使11AX X q '=>0，说q 不是半负定的；又由于有实n 维向量2X ，使22AX X q '=<0，说明q 不是半正定的，从而q 是不定的．故q 的正、负惯性指数都>1，于是q 可经过非退化实线性替换X=PY ，化为),,,(21n x x x q =221221r p p y y y y ---+++其中p≤1<r ．取y 1=1，y r =1，而其余y i =0，代入X=PY 解得向量0≠X ，且有q=='00AX X 221221rp p y y y y ---+++ =010012222=---++ ． 习题10.61、对R k C x g x f b a ∈∈,)(),(],[，有)),(())(()()())()(())()((x g s x f s dxx g dx x f dx x g x f x g x f s b a b a b a +=⎰+⎰=+⎰=+))(()())(())((x f ks dx x f k dx x kf x kf s ba b a =⎰=⎰=．2、由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+1)()()(1)()(1)()(3212121αααααααf f f f f f f ，解得：0)(1=αf ，1)(2=αf ，0)(3=αf ，从而2332211332211)()()()(x f x f x f x x x x f =++=++αααααα．3、对Vx x x n n ∈+++=αααξ 2211，定义n n x a x a x a f +++= 2211)(ξ．容易验证，f 是V 上的一个线性函数，且n i a f i i ,,2,1,)( ==α．又设g 是V 上的另一个线性函数，且满足n i a g i i ,,2,1,)( ==α，则)()()()(221111ξααξf a x a x a x g x x g g n n n i ni i i i i =+++===∑∑== ．所以，fg =.4、假设)(ξf 、)(ξg 都不是零函数，则必存在V∈00,ηξ，使0)(0≠ξf ，0)(0≠ηg ．若0)(0≠ξg 或0)(0≠ηf ，则)(0ξh =)(0ξf 0)(0≠ξg ，或)(0ηh =)(0ηf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数；若0)(0=ξg 且0)(0=ηf ，取000ηξζ+=，则)(0ζh =)(00ηξ+f )(00ηξ+g =)(0ξf 0)(0≠ηg ，推出)(ξh 不是零函数．5、（1）是双线性函数；（2）不是双线性函数；（3）当c=0时，是双线性函数；当0≠c ，不是双线性函数．6、(1)利用矩阵迹的性质：)()();()()(S atr aS tr T tr S tr T S tr =+=+直接可验证．（2）当n=3时，设33)(⨯=ij a A ，则)()(),(kl ji kl ijkl ij AE E tr AE E tr E E f ='= ⎩⎨⎧=≠===∑∑==.,,,0)()(3131l j a l j E a tr E E E a tr ikjl ik kl st ji s t st因为),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是一个23阶矩阵，用分块形式表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211A A A A A A A A A A ， 其中333231332221231211100),(),(),(),(),(),(),(),(),(I a a a a E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f A ij ij ijijj i j i j i j i j i j i j i j i j i ij =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=． 于是，),(Y X f 在基}3,2,1,|{=j i E ij 下的度量矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333332331323322321313312311I a I a I a I a I a I a I a I a I a A ． 7、（1）),(ηξf 在基4321,,,αααα下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3124218481024066842),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(44342414433323134232221241312111ααααααααααααααααααααααααααααααααf f f f f f f f f f f f f f f f A ． ),(ηξf 在基4321,,,ββββ下的度量矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------='=75717152315237925115125171AT T B ． （3）设非零向量),,,(4321x x x x =ξ，使0),(=ξξf ，即022432121=--x x x x x ．取0,02431≠====a x x x x ，则0),,,(4321≠=x x x x ξ，并使得0),(=ξξf ．8、（1）因为对一切V ∈η，有0),0(=ηf ，所以Wo ∈，即W 非空．对任意F k k W ∈∈2121,,,ξξ，由0),(1=ηξf 0),(2=ηξf ，对一切V ∈η，得,0),(),(),(22112211=+=+ηξηξηξξf k f k k k f 对一切V ∈η， 即W k k ∈+2211ξξ，故W 是Ｖ的一个子空间．（2）若),(ηξf 是非退化的，则对任意W∈ξ，有0),(=ηξf ，对一切V ∈η，故得o =ξ．于是，W={0}．反之，设W={0}．令0),(=ηξf ，对一切V ∈η，则W∈ξ，但W={0}，故o =ξ．从而),(ηξf 是非退化的．9、（1）对∑=∈=ni i i Vx 1αξ，则)()(2211n n i i x x x f f αααξ+++= )()()(2211n i n i i f x f x f x ααα+++= ．因为，⎩⎨⎧≠==.,0;,1)(j i j i f j i α 代入上式，得i i x f =)(ξ．从而，∑==ni i i f 1)(αξξ．（2）∑=∈=ni i i Vx 1αξ，由（1），有∑==ni i i f 1)(αξξ，故∑∑====ni i i n i i i f f f f f 11)()())(()(αξαξξ∑∑====ni i i ni i i f f f f 11))()(()()(ξαξα，从而，∑==ni ii f f f 1)(α．（3）先证n f f f ,,,21 线性无关．设),,,(,0212211F a a a f a f a f a n n n ∈=+++ ，分别用n ααα,,,21 代入，得到021====n a a a ．因此，n f f f ,,,21 线性无关．又由（2）知，L （V ，F ）中的每向量f 都可以由n f f f ,,,21 线性表示，因而n f f f ,,,21 是L （V ，F ）的基，于是L （V ，F ）的维数也是n ．习题10.71、对任意)(,F M Y X n ∈，由)()(,T tr T tr A A '=='，得),()()())(()(),(X Y f AX Y tr X A Y tr AY X tr AY X tr Y X f ='=''=''='=，所以，),(Y X f 是双线性函数．2、2),(),(2),(),(),(ξηηξξηηξηξf f f f f -++=，令2),(),(1),(ξηηξηξf f f +=，2),(),(2),(ξηηξηξf f f -=，则有=),(1ηξf ),(1ξηf ，),(),(2),(),(2ηξξηηξξηf f f f -==- ，且=),(ηξf ),(1ηξf +),(2ηξf ．唯一性：设),(ηξf 还可分解为=),(ηξf ),(1ηξg +),(2ηξg ，其中),(1ηξg =),(1ξηg ，),(2ηξg =),(2ξηg -．于是，),(),(11ηξηξg f -=),(),(22ηξηξf g - ， （1）),(),(11ηξηξg f -=),(),(11ξηξηg f -=),(),(22ξηξηf g -=),(2ηξg -+),(2ηξf （2）由（1）、（2）得2（),(1ηξf ),(1ηξg -）=0， 从而),(1ηξf =),(1ηξg ，并且),(2ηξg =),(2ηξf ．3、若),(ηξf 是反对称的，则),(ηξf =),(ξηf -，取ηξ=，有 ),(ξξf =),(ξξf -，故),(ξξf =0．反之，若对任意V ∈ξ，有),(ξξf =0，对任意V ∈ηξ,，0=),(ηξηξ++f =),(ξξf +),(ηξf +),(ξηf +),(ηηf=),(ηξf +),(ηξf ．从而),(ηξf =),(ξηf -，即),(ηξf 是反对称的．4、（1）因为2≥n ,所以V 中存在两个线性无关的向量βα,，若0),(=ααf ，则取αξ=，即可．现设0),(≠ααf ，则0),(),(2),(),(2=++=++βββαααβαβαf x f x f x x f 在C 中有解，设一个解为x 0，令βαξ+=0x ，由于βα,线性无关，得0≠ξ，并使得0),(=ξξf ．（2）由（1）知，存在非零的ξ，使0),(=ξξf ．因为f 非退化，所以，必存在γ，使0),(≠γξf ．否则，若对一切0),(,=∈γξγf V ，由f 非退化，得0=ξ，矛盾．取,),(1γγξδf =则有1),(=δξf ．令ξδδδη2),(f -=，则ηξ,线性无关，且0),(),(,1),(===ηηξξηξf f f ．5、取V 的一个基n ααα,,,21 ．对任意Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令n n n n y b y b y b f x a x a x a f +++=+++= 2211222111)(,)(ηξ， 其中)(),(21i i i i f b f a αα==．则))(()()(),(2211221121n n n n y b y b y b x a x a x a f f f ++++++== ηξηξ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n y y y b b b a a a x x x 21212121,,,),,,(．由此可得，),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a A 2122212121112121,,,．因为),(ηξf 是对称的，故A 是对称矩阵，因而得i j j i b a b a =，即j j i i b a b a ::=，),,2,1,(n j i =．于是，有),,,(),,,(2121n n b b b a a a λ=．设02≠f ，则0≠λ，且)()(21ξλξf f =，取)()(2ξξf g =，则有)()()()()()(),(2221ηξληξληξηξg g f f f f f ===．6、因为),(ηξf 是反对称的，故存在V 的一个基321,,ααα，使),(ηξf 在这个基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000001010A ，这样，对任意332211αααξx x x ++=，V y y y ∈++=332211αααη有),(ηξf =1221321321),,(y x y x y y y A x x x -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令)(1ξf =),(2αξf ，)(2ξf =),(1ξαf ，则21,f f 是V 上的线性函数，且满足),(ηξf =)(1ξf )(2ηf )(1ηf -)(2ξf ．7、设A 是一个n 阶反对称矩阵，取定数域F 上n 维线性空间的一个基n ααα,,,21 ，对Vy y y x x x n n n n ∈+++=+++=αααηαααξ 22112211,，令),(ηξf =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121),,,(，则),(ηξf 是V 上的一个对称双线性函数，且),(ηξf 在基n ααα,,,21 下的度量矩阵恰是A ．由定理10.7.3知，存在V 的一个基n βββ,,,21 ，使),(ηξf 在这个基下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0001100110 B ．从而，A 与B 合同． 习题10.81、（1）设A 、B 是酉矩阵，则I B B B B I A A A A ='='='=',．于是，I B B IB B B A A B AB A B AB AB ='='=''=''=')())(()()(，从而，AB 是酉矩阵．又因为酉矩阵A 的逆矩阵A A '=-1，所以,)(1A A ='-于是，I AA A A =='---111)(，同理，I A A ='--)(11，故1-A 也是酉矩阵．（2）设A 为酉矩阵，则,I A A ='两边取行列式，得,1||='A 即,1||||=A 故||A 的模的平方等于1，即|A|的模等于1．（3）设λ是酉矩阵A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ．于是，一方面，由,I A A ='得ξξξξξξξξ'=''='=')()()()()(A A A A A A ．另一方面，)()()()()(ξξλλλξλξξξ'='='A A ．所以，ξξξξλλ'=')(．而0||||||222212211>+++=+++='n n n x x x x x x x x x ξξ， 得，1=λλ，故λ的模等于1．2、参考第九章关于欧氏空间标准正交基的讨论．3、若0||||==ηξ，则0==ηξ，V 的任一个酉变换σ都满足ηξσ=)(．若0||||≠=ηξ，取ηηξξηξ||11||11,==，则11,ηξ是两个单位向量．分别将它们扩充为V 的两个规范正交基n n ηηηξξξ,,,;,,,2121 ．则必存在V 的一个线性变换σ，使得i i ηξσ=)(，n i ,,2,1 =．由于σ把V 的规范正交基变为规范正交基，所以σ是酉变换，且ηηηξσξξσ===i ||)(||)(1．4、把Ａ的列n ααα,,,21 看作是n 维酉空间n C 的一个基，对其正次化、单位化变为规范正交基n γγγ,,,21 ，相当于在A 的右边乘一些上三角矩阵，对角线上元素都大于零：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n t t t t t t 000),,,(),,,(222112112121αααγγγ，n i t ii ,,2,1,0 =>． 取12221121121000),,,,(-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n t t t t t t T U γγγ，A=UT ，且U ，T 满足要求．唯一性，设另有 11T U A =，实数的上三角形矩阵为对角线上元素全为正为酉矩阵11，T U ，可得 1111--=TT U U ，由11-TT 是对角线元素全是正实数的上三角形矩阵，得11U U -是对角线上元素全为正实数的上三角形矩阵，从而I U U =-11，于是U U =1，进而T T =1．5、对于酉矩阵A ，利用归纳法和第八章特征向量的讨论可知，存在可逆复矩阵P ，使得11A AP P =-是上三角形矩阵．由第4题知，P=UT ，其中U 是酉矩阵，T 是上三角形矩阵，代入可得，111A AUT U T =--．于是有B T TA AU U ==--111是上三角形矩阵．由于AU U B 1-=是酉矩阵，得1)(-'=B ．由此根据B 是上三角形矩阵，可得1)(-'B ，即B 为下三角形矩阵，故B 为对角形矩阵．6、设A 是埃尔米特矩阵，λ是A 的特征值，n n C x x x ∈'=),,,(21 ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则0,≠=ξλξξA ． 于是，由A A ='，得ξξξξξξξλξξξλA A A ''='===)(),(),(),(),()()()(ξξλξξλλξξξξξξ='='='='=A A ．又因为0),(≠ξξ，从而λλ=，即λ是实数．现设μλ,是A 的不同的特征值，ηξ,是A 的分别属于特征值μλ,的特征向量，则μλ,都是实数，并且 0,0,,≠≠==ηξμηηλξξA A ．于是，ηξηξηξηλξηξλA A A ''='===)(),(),(),( ),(),()()(ηξμμηξμηξηξηξ=='='='=A A ． 由于μλ≠，得0),(=ηξ，即ηξ与彼此正交．7、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵．于是，B AU U U A U U A U AU U B ==='''='='----1111)()(．由B '为下三角形矩阵，B 为上三角形矩阵知，B 为对角形矩阵．8、类似第5题中的证明，存在酉矩阵U ，使B AU U =-1是上三角形矩阵，由此 可证B 也是规范矩阵．现令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n b b b b b b B 00022211211，对比B B B B '='对应位置上的元素，可得 )(,0j i bij <=．所以B 是对角形矩阵．。
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答
1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知AM=MC，DM MB.故AB AM MB MC DM DC.即AB//DC且|A B|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量D1A,D2A,D3A,D A4.证如图8-2，根据题意知1 BD a,151D1D a,251D2D a,351 D3D a,45故D A1=-（AB BD1）=- 15a-cD2A=-（AB BD2）=- 25a-cD3A=-（AB BD3）=- 35a-cD4 A=-（AB BD）=-445a-c.4.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量M1M2及-2M1M2.解M1M2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.解向量a的单位向量为aa，故平行向量a的单位向量为a a =1（6，7，-6）=1167,,1111611 ，22 2其中a67(6)11.6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz 面的垂线，垂足F坐标为(x0，0，z0）；P0D为点P0关于xOy面的垂线，垂足D坐标为(，，0）x0y；P0E为点P0关于yOz面的垂线，垂足E坐标为(0)，y0，z o.P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足A坐标为(x o，0,0）；P0B为点P0关于y轴的垂线，垂足B坐标为(0,y0,0)；P0C为点P0关于z轴的垂线，垂足C坐标为(0,0,)z.10.过点P（0x0，y0，z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P0且平行于xOy面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.2 解 如图 8-5，已知 AB=a ，故 OA=OB=a2，于是各顶点的坐 22 2 标分别为 A0 0)(a ，， ，B （(0,a ，0）），C （-a222，0，0），D 2 （0，- a 2 2 ，0），E （ a 2 2 ，0，a ），F （0， a 2 2 ，a ），G （- a2， 2 0，a ），H （0，- a 2，a ）. 12.求点 M （4，-3，5）到各坐标轴的距离 .2 2解 点 M 到 x 轴的距离为 d 1=( 3) 534，点 M 到 y 22轴 的 距 离 为 d 2=4541， 点 M 到 z 轴 的 距 离 为 22.d 3=4 ( 3) 25 513.在 yOz 面上，求与三点 A （3，1，2），B （4，-2，-2），C （0，5， 1）等距离的点 .解 所求点在 yOz 面上，不妨设为 P （0，y ，z ），点 P 与三点 A ，2y 2 z 2B ，C 等距离， PA 3( 1) ( 2) , PB2 y 2 z 4 ( 2)(2) 2,PC(y 2z1) 2 .5)(由 PAPBPC 知，2( 1)2 ( 2)2 42 (2)( 2)223yz yz2( 1)2( y 5)z ，即9 ( y 1) 9 ( y 1) 2 2 2 (z 2) 16 ( y 2) 22 2 (z 2) ( y 5)( z( z21) . 2 2), 解上述方程组，得 y=1，z=-2.故所求点坐标为（ 0，1，-2）. 14.试证明以三点 A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶 点的三角形是等腰直角三角形 .证 由AB (10 24)( 1 1) 2( 6 29)7, AC (2 24)( 4 1)22(3 9)7,BC(2 210)(4 1) 2(3 26)98 7 2 222知.ABAC 及 BCABAC 故△ABC 为等腰直角三角形.15. 设已知两点为 M 1（4， 2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量 M 1M 2的模、方向余弦和方向角 .解 向量M 1M=（3-4，0-2 ，2-1）=（-1，- 2 ，-1），2其模-1 2- 2 2 12 4 2M1M（）（）.其方向余弦分2别为cos=- 12，cos=-22，cos=12.方向角分别为23,34,3.16.设向量的方向余弦分别满足（1）cos=0；（2）cos=1；（3）cos=cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos=0得知，故向量与x轴垂直，平行于2yOz面.（2）由cos=1得知=0，故向量与y轴同向，垂直于xOz面.（3）由cos=cos=0知，故向量垂直于x轴和y轴，2即与z轴平行，垂直于xOy面.，求r在u轴上的投影.17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角为3解已知|r|=4，则Prju r=|r|cos=4?cos 3 =4×12 =2.18.一向量的终点在点B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解设A点坐标为（x，y，z），则AB=（2-x，-1-y，7-z），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A点坐标为（-2，-3，0）.19.设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.1.设a3i j2k,b i2j k，求（1）a b及a b；（2）（-2a）3b及a2b；（3）a,b的夹角的余弦.解（1）a b（3，-1，-2）（1,2，-1）31（-12-2-1 3）（）（），i j ka b31 2=（5,1,7）.12 1（2）(2a)3b6(a b)6318a2b2(a b)2(5,1,7)(10,2,14)（3 cos(a,b) aabb32(1)(2)12(1)222 232 3 31462212.设a,b,c为单位向量，满足a b c0,求a b b c c a.解已知a b c1,a b c0,故（a b c）（a b c）0.22 2即2220a b c a b b c c a.因此a b b c c a 122 2（a b c）2-323.已知M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.解M1M2=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）M 2M=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）3由于 M 1M 2 M 2M 3 与M 1M 2,M 2M 3 同时垂直，故所求向量可取为a（M M1 2M M12M M23M M2）3，ij k 由M 1M 2 M 2M 3 =2 4 1 022=（6，-4，-4），M 1M M M2 232 6 ( 24) ( 24)68 2 17 132 2知). a(6, 4, 4)(, , 2 171717174. 设质量为 100kg 的物体从点 M1（3,1,8）沿直线移动到点 M2（1,4,2）， 计算重力所作的功（坐标系长度单位为 m ，重力方向为 z 轴负方向）.解M 1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J ）.1处，有一与O P 1 5.在杠杆上支点 O 的一侧与点 O 的距离为 x 1 的点 P 成角 1 的力 F1作用着；在 O 的另一侧与点 O 的距离为 x 2 的点 P2处，有一与OP2成角2的力F2，F1,F2作用着（图8-6），问1，2，x1，x2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为F1x sin1F2x2sin20，1即F1x1sin1F2x2sin2.6.求向量a（4，-3,4）在向量b（2,2,1）上的投影.a b(4,3,4)(2,2,1) 6解 2Pr j b a.22 2b 322 17.设a(3,5,2),b(2,1,4)，问与有怎样的关系，能使a b与z轴垂直？解a b=（3,5，-2）+（2,1,4）=（32,5,24）.要a b与z轴垂直，即要（a b）（0,0,1），即（a b）?（0，0,1）=0，亦即（32,5,24）?（0,0,1）=0，故（24）=0，因此2时能使a b与z轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=，2 只要证明AC BC0即可.由AC BC=(AO OC)(BO OC)2AO BO AO OC OC BO OC =2 2=0AO AO OC AO OC OC.故AC BC,∠ACB为直角.9.已知向量a2i3j k,b i j3k和c i2j，计算：（1）(a b)c(a c)b（2）(a b)(b c)（3）(a b) c 解（1）a b(2,3,1)(1,1,3)8，a c(2,3,1)(1,2,0)8，(a b)c(a c)b8(1,2,0)8(1,1,3)(0,8,24)8i24k.（2）a b=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），b c=（1，-1,3）+（1，-2,0）=（2，-3,3），i j k(a b)(b c)344(0,1,1)j k.23323 1（3）(ab) c2. 1 1 3 12 010. 已知OA i 3k,OB j 3k ，求△OAB 的面积.解 由向量积的几何意义知1△OAB= OA OB S2，ij kOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ， 0 1 32 2OA OB( 3) ( 3) 119S△OAB19 211. 已知( , , ), ( , , ), ( , , )a a x a a bb b b cc c c ，试利用yzxyzxyz行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) baxa yazbxbybz证因为(), a b c bbbx y z (b c) acxcyczcxc yc zaxayazcx cy cz(c a) baxayaz，bxbybz而由行列式的性质知a x a y a zb x b y b zc x c y cz b x b y b z c x c y c z = a x a y a z ，故 c x c y c z a x a y a zb x b ybz(a b) c (b c) a (c a) b .12. 试用向量证明不等式：222222a 1aabbba ba b a b ，231231 12 23 3其中a 1,a 2 ,a 3,b 1,b 2,b 3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件.证 设向量 a （ a 1,a ,a ），b （b 1,b 2,b 3）.23由ab a b cos(a, b ) a b ，从而222222 a 1ba ba baaa bbb ，1 2 23 3121 233当a 1,a 2 ,a 3与b 1,b 2 ,b 3 成比例，即a1b1a 2b2a 3b3时，上述等式成立.1.求过点（3,0，-1）且与平面3x7y5z120平行的平面方程.解所求平面与已知平面3x7y5z120平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为3x7y5z D0.将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为3x7y5z40.2.求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.解OM(2,9,6.所求平面与0）O M垂直，可取n=OM0，0设所求平面方程为2x9y6z D0.将点M0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为2x9y6z1210.3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.x1y1z 1解由021212 1，得x3y2z0，11112 1即为所求平面方程.注设M（x,y,z）为平面上任意一点，M(x,y,z)(i1,2,3)i为i i i平面上已知点.由()0,M1M M M M M即1213x x1 y y1z z1x 2 x1y2y1z2z10,x 3 x1y3y1z3z1它就表示过已知三点M i（i=1,2,3）的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0;（2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0;（5）y+z=1;（6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a）—（g）. （1）x=0表示yOz坐标面.1（2）3y-1=0表示过点（,00,）且与y轴垂直的平面.3（3）2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.（4）x-3y=0表示过z轴的平面.（5）y+z=1表示平行于x轴的平面.（6）x-2z=0表示过y轴的平面.（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5.求平面2x2y z50与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1,2,3.则根据平面的方向余弦知cosn kcos1n k(2,222,1)(0,0,1)21( 22)113,cos2cos nnii(2, 2,1)3(1,0,0)123,cos3 cos nnjj(2, 2,1)3(10,1,0)23.6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a(2,1,1)和b(1,1,0)，试求这个平面方程.解所求平面平行于向量a和b，可取平面的法向量i j kn a b211(1,1,3).110故所求平面为1(x1)1(y0)3(z1)0，即x y3z40.7.求三平面x3y z1,2x y z0,x2y2z3的交点.解联立三平面方程x3y z1,2x y z0,x2y2z 3.解此方程组得x1,y1,z 3.故所求交点为（1，-1，3）. 8.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1）所求平面平行于xOz面，故设所求平面方程为By D0.将点（2，-5，3）代入，得5B D0，即D5B.因此所求平面方程为By5B0，即y50.（2）所求平面过z轴，故设所求平面为Ax By0.将点（-3，1，-2）代入，得3A B0，即B3A.因此所求平面方程为Ax3Ay0，即x3y0.（3）所求平面平行于x轴，故设所求平面方程为By Cz D0. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2C D0及B7C D0.C D2, B92D .因此，所求平面方程为9 2DDy z D0，2即9y z20.9.求点（1,2,1）到平面x2y2z100的距离.解利用点(,,)M0x y o z o到平面Ax By Cz D0的距离公式dA xABy2B2CzC2D1 2212 22212210 331.1.求过点（4，-1，3）且平行于直线x3y z21 51的直线方程.解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s(2,1,5)，直线方程即为x 4y1z 21 5 3 .2.求过两点M1(3,2,1)和M2(1,0,2)的直线方程.解取所求直线的方向向量s M1M(13,0(2),21)(4,2,1)，2因此所求直线方程为x 3y2z4 2 1 1 .3.用对称式方程及参数方程表示直线x y z1,2x y z 4.解根据题意可知已知直线的方向向量i j ks111(2,1,3).21 1取x=0，代入直线方程得yzy z1,4.3 5解得.y,z这2 2样就得到直线经过的一点（3 50,,）.因此直线的对称式方程为2 2x30y z22 1 352 .参数方程为x2t,y 32t ,z 523t.注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4.求过点（2，0，-3）且与直线x2y4z70,3x5y2z10垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即i j kn s124(16,14,11),35 2故所求平面方程为16(x2)14(y0)11(z3)0.即16x14y11z650.5.求直线5x3x3y2y3zz91 00,与直线2x3x28yyzz23180,的夹角的余弦.解两已知直线的方向向量分别为i j k i j ks533(3,4,1),s221(10,5,10), 1 232138 1因此，两直线的夹角的余弦cos(cos s1,)s2 s1s1s2s22 332410(1)4252101(1025)2100.6.证明直线x 2yz2xyz7,7与直线3x2x6yy 3zz 08,平行.证已知直线的方向向量分别是i j k i j ks 1 121(3,1,5),s2363(9,3,15), 21121 1由s23s1知两直线互相平行.7.求过点（0,2,4）且与两平面x2z1和y3z2平行的直线方程.解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取i j ks n1 n102(201 32,3,1),故所求直线方程为x 2 0y2z3 14.注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x2z a,y3z b.将点（0，2，4）代入上式，得a8,b10.故所求直线为x2z8,y3z10.8.求过点（3，1，-2）且通过直线x54y3z2 1的平面方程.解利用平面束方程，过直线x54y3z2 1的平面束方程为x4y3y 3(z)0,52 211将点（3，1，-2）代入上式得.因此所求平面方程为20x4y311y5220 23(z) 0,即8x9y22z590.9.求直线xxyy3zz0,与平面x y z10的夹角.i j k解已知直线的方向向量(2,4,2),s113平面11 1的法向量n(1,1,1).设直线与平面的夹角为,则sin cos(n, s) ssnn 2221244((1)22)21(2)((1) 21)( 21)0,即0.10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系；（1）x3y4z27 3和4x2y2z3；（2）x3y2z7 和3x2y7z8；（3）x32y2z134和x y z 3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n，直线与平面的夹角为,且s nsin cos(n,s).s n （1）s(2,7,3),n(4,2,2),sin ( 2) ( 2 2) ( 4 2 7) ( 7) 2 3 ( 2) 2 4 3 ( ( 2 2)2) ( 2) 20, 则0.故直线平行于平面或在平面上， 现将直线上的点 A （-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立 .故点 A 不在平面上，因此直线不在平 面上，直线与平面平行 . （2）s(3, 2,7), n (3, 2,7),由于s n 或sin 2 3 3( 3 2) 2( 2) 2 7 ( 2)2 3 7 ( 7 2) 22 71,知，故直线与平面垂直 .2（3）s( 3,1, 4), n (1,1,1),由于s n 0或sin 2 3 3 2 1 1 ( 1 1 4) 2( 4) 2 1 1 2 1 21 0, 知0,将直线上的点 A （2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点 A 在平面上 .故直线在平面上 . 11.求过点（1,2,1）而与两直线x x2 yy z 1 0, 2x y z z 1 0xy z 00,和 平行的平面的方程.解 两直线的方向向量为i j k i j ks 1 121(1,2,3),s2211(0,1,1), 11111 1i j k取(1,1,1),n s s12 31 201 1则过点（1,2,1），以n为法向量的平面方程为1(x1)1(y2)1(z1)0,即x y z0.12.求点（-1,2,0）在平面x2y z10上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面x2y z10垂直的直线为x 1 1y2z21,将它化为参数方程x1t,y22t,z t,代入平面方程得1t2(22t)(t)10,整理得2t.从而所求点（-1,2,0）在平面x2y z10上的3投影为（53,23,23）.13.求点P（3，-1，2）到直线x2xy z 1y z 40,的距离.i j k解直线的方向向量(0,3,3).s11 121 1在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x 1, y 2 3t,z 3t.（1）又，过点 P （3，-1，2），以s (0, 3, 3)为法向量的平面方程为3(y 1) 3(z 2) 0,即y z 1 0.（2）将式（1）代入式（2）得11 3t，于是直线与平面的交点为 （1, , ），2 2 2故所求距离为 d (321) ( 1 1 2 ) 2 (2 3 2 ) 2322.14.设 M 0 是直线 L 外一点，M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向 量为s ，试证：点 M 0 到直线 L 的距离dM M ss.证 如图 8-9，点 M 0 到直线 L 的距离为 d.由向量积的几何意义知M 0 表示以 M 0M ，s 为邻边的平行四边形的面积 .而M s M 0Mss表示以 s为边长的该平面四边形的高， 即为点 M 0 到直线L 的距离.于是dM 0 Mss.15.求直线2x3x4yy z2z0,9 0在平面4x y z1上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x3x4yy z2z0,9 0的平面束方程为2x4y z(3x y2z9)0,经整理得(23)x(4)y(12)z90. 由(23)4(4)(1)(12)10,得1311.代入平面束方程，得17x31y37z1170.因此所求投影直线的方程为17x31y37z1170,4x y z 1.16.画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）x0,y0,z0,x2,y1,3x4y2z120;y（2）.x0,z0,x1,y2,z4解（1）如图8-10（a）；（2）如图8-10（b）.1.一球面过原点及A（4，0，0），B（1，3，0）和C（0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.解设所求球面的方程为2()()2 22(x a)y b z c R，将已知点的坐标代入上式，得2b c R22 2a,（1）2b2c2R2(a4),（2）( 2b2c2R2a1)(3),（3）2b2(4c)2R2a，（4）联立（1）（2）得a2,联立（1）（4）得c2,将a2代入（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为(x2y2z2)(1)(2) 2 9,其中球心坐标为(2,1,2),半径为3.2.建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解设以点（1，3，-2）为球心，R为半径的球面方程为(x1)2y z R22 2(3)(2),球面经过原点，故2R (021) ( 0 3)2 2(02) 14,从而所求球面方程为(x1)2(y3)2(z2)214.2y z x y z2 23.方程x2420表示什么曲面？解将已知方程整理成(x2y2z1)(2)( 1) 2 2(6) ,所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以6为半径的球面.4.求与坐标原点O及点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（x,y,z），根据题意有2(x0) (y (x22) ( y220)3)((zz220)4)12,化简整理得(x 232y2z)(1)(43)2 (它表示以（23,1,43 2）为球心，以293为25.将xOz坐标面上的抛物线z5x 绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以2z 22y代替抛物线方程z5x中的z，得22)2(y z5x，即y2z25x.注xOz面上的曲线F(x,z)0绕x轴旋转一周所生成的旋转2z2曲面方程为(,)0F x y.2z26.将xOz坐标面上的圆x9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以2y22z2x代替圆方程x9中的x，得9,( 2y22z2x)2y2z2即9.x2y27.将xOy坐标面上的双曲线4x936分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以2z22y2y代替双曲线方程4936x中的y，得该双曲线绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 2y2z2 x9(2) 36,即4x29(y2z2)36.以2z22y2x代替双曲线方程4936x中的x，得该双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4( 2z y22 2x)936,即4(x2z2)9y236.8.画出下列各方程所表示的曲面：2y2 a2a x2 2（1）);(x)y(（2）1;22492z2x（3）1;9 4（4）y2z0;（5）z2x2.解（1）如图8-11（a）；（2）如图8-11（b）；（3）如图8-11（c）；（4）如图8-11（d）；（5）如图8-11（e）.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）x2;（2）y x1;2y22y2（3）4;x（4）x 1.解（1）x2在平面解析几何中表示平行于y轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz面平行的平面.（2）y x1在平面解析几何中表示斜率为1，y轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴的平面.2y2（3） 4x在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为2x2y4, z0的圆柱面.（4）x2y21在平面解析几何中表示以x轴为实轴，y轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为2 x2y1,的双曲柱面.z010.说明下列旋转曲面是怎样形成的：2y2z2x（1）1;49922y z2 （2）1;x4（3）x2y2z21;（4）(z a)2x2y2.2y2z22y2 xx解（1）1表示x Oy面上的椭圆 1绕x 499492z2 x轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz面的椭圆 1绕49x轴旋转一周而生成的旋转曲面.2 22y z2y2（2） 1x表示xOy面上的双曲线x1绕y轴4 42y2旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz面的双曲线 1z4绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面.（3）x2y2z21表示xOy面上的双曲线x2y21绕x轴2z2旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz面的双曲线 1x绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面.（4）22 2(z a)x y表示x Oz面上的直线z x a或z x a绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz面的直线z y a或z y a绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面.11.画出下列方程所表示的曲面：（1）4x2y2z24;（2）x2y24z24;2y2z x（3）.349解（1）如图8-12（a）；（2）如图8-12（b）；（3）如图8-12（c）；12.画出下列各曲面所围立体的图形：（1）z0,z3,x y0,x3y0,x2y21（在第一卦限内）；222,22 2 x0,y0,z0,x y R y z R（在第一卦（2）限内）.解（1）如图8-13所示；（2）如图8-14所示.1.画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）xy1,2;（2）zx y4 2 x0;y 2 ,（3）2x2x2y2z2a,2a.解（1）如图8-15（a）；（2）如图8-15（b）；（3）如图8-15（c）.2.指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）yy5x2x1,3;（2）2x4y2y3.91,解（1）yy5x2x1,3在平面解析几何中表示两直线的交点.在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.（2）2xy 32y91,2y2x在平面解析几何中表示椭圆 1与449 其切线y3的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面2y2 x49与其切平面y3的交线，即空间直线. 13.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线22x2x2y2z2z2y16,的柱面方程.解在22x2x2y2zy2z216,中消去x，得3 2z2y16,即为母线平行于x轴且通过已知曲线的柱面方程.在22x2xy2z2y2z216,中消去y，得2z23x 216,即为母线平行于y轴且通过已知曲线多的柱面方程.2y z2 2x与平面x z1的交线在xOy面上的投4.求球面9影的方程.解在2x2y2z 9, 中消去z，得x z 12y2x2x y2 2 x(1)9,即2x28,它表示母线平行于z轴的柱面，故2 22x2x yz08,表示已知交线在xOy面上的投影的方程.5.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）2x(x1)y x;z0.2y2z 9, （2）2 2y ( z21) 4,。
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目篇一：高等代数与解析几何教学大纲附件1教学大纲课程编号：课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry课程性质：学科基础课课程类别：必修课先修课程：高中数学学分：4+4总学时数：72+72周学时数：4+4适用专业：统计学适用学生类别：内招生开课单位：信息科学技术学院数学系一、教学目标及教学要求1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。
它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。
2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。
3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。
二、本课程的重点和难点（略。
由课任教师自行掌握）三、主要实践性教学环节及要求精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。
四、教材与主要参考文献教材：（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。
参考书： 1. ，陈志杰编著，高等教育出版社，2000年；2.，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。
五、考核形式与成绩计算考核形式：闭卷考试。
成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，期末考试占70%。
六、基本教学内容第二学期第一周—第二周：（8课时）第一章：向量代数与解析几何基础1. 代数与几何发展概述。
2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线性关系3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。
高等代数与解析几何习题答案
习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。
证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。
（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。
又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。
证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。
证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。
现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。
同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)
习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a nx x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为 43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i n x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x .习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解 因为011111)(22≤+-=-+='x x x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解 因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7;(2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加. (5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时, y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 22sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2c o s 212 2c o s 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为 0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='. 因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解 设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, xax a x x f -=-='11)(, 驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当a x 1>时, f '(x )<0, 所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a a f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解 单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ;(3)xy 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ;(4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 nn n y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 )(22y x ee e yx yx ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即k k 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解 不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1;(5)25431x xy ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在 (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值3, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='. 令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 .当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f .4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.6. 问函数x x y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为31082xy -='', 0271082)3(>+=-''y ,所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x xy (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解 由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞),224r Vr S -='π.令S '=0, 得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解 由F cos α =(m -F sin α)μ 得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F , 驻点为 α = arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得, 而F 在)2,0(π内只有一个驻点α = arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点. 从而当α=arctan0.25=14︒时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m , 求最省力的杆长?解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F , 则有1.049521⋅+⋅=x x xF , 即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4. 由问题的实际意义知, F 的最小值一定在(0, +∞)内取得, 而F 在(0, +∞)内只有一个驻点x =1.4, 所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m . 13. 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？ 解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π). 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m , 吊臂长15m , 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解 设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h . 在直角三角形∆EDG 中 15sin ϕ=(h -1. 5)+2+3tan ϕ,故 21tan 3sin 15--=ϕϕh ,ϕϕ2cos 3cos 15-='h . 令h '=0得唯一驻点5451arccos 3≈=ϕ︒.因为0cos sin 6sin 153<--=''ϕϕϕh , 所以ϕ=54︒为极大值点, 同时这也是最大值点. 当ϕ=54︒时, 5.721tan 3sin 15≈--=ϕϕh m .所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m 高, 现只要求水平地吊到6m 处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R .令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形: 1. )786(5124++-=x x x y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)23)1)(2(54)8124(51-+=+-='x x x x y ,)1)(1(512)33(542-+=-=''x x x y ,令y '=0, 得x =-2, x =1; 令y ''=0, 得x =-1, x =1.(3)列表(4)作图:2.21xx y +=;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形.(3)22)1()1)(1(x x x y ++--=', 32)1()3)(3(2x x x x y ++-='',当x ≥0时, 令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得x =0, 3=x .(4)列表(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3.2)1(--=x e y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞); (2))]221()][221([4)1(222)1()1(--+-=''--='----x x e y e x y x x ,令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得221+=x ,221-=x .(3)列表(4)有水平渐近线y =0; (5)作图: 4.xx y 12+=;解 (1)定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞); (2)2321212xx xx y -=-=',333)1(222x x x y +=+='',令y '=0, 得321=x ; 令y ''=0, 得x =-1.(3)列表(4)有铅直渐近线x =0; (5)作图: 5.xxy 2cos cos =.解 (1)定义域为42ππ+≠n x (n =0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数, 周期为2 . 可先作[0, ]上的图形, 再根据对称性作出[-, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-, ]以外的图形; (3)xx x y 2cos )sin 23(sin 22-=',xx x x y 2cos )sin 4sin 123(cos 342-+⋅='',在[0,]上, 令y '=0, 得x =0, x =; 令y ''=0, 得2π=x .(4)列表(5)有铅直渐近线4π=x 及43π=x ;(6)作图:习题3-71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解 两边对x 求导数得8x +2yy '=0, y x y 4-=', 244y y x y y '--=''.y '|(0, 2)=0, y ''|(0, 2)=-2.所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+-='+''=y y K .2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解 x x x xy tan tan sec sec 1=⋅⋅=', x y 2sec =''.所求曲率为|cos |)tan 1(|sec |)1(||2/3222/32x x x y y K =+='+''=, 曲率半径为 |sec ||cos |11x x K ===ρ.3. 求抛物线y =x 2-4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y '=2x -4, y ''=2.令y '=0, 得顶点的横坐标为x =2. y '|x =2=0, y ''|x =2=2. 所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+='+''=y y K , 曲率半径为211==K ρ.4. 求曲线x =a cos 3t , y =a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解 t x a t a y tan )cos ()sin (33-=''=', tt a x a x y 43cos sin 31)cos ()tan (⋅=''-=''. 所求曲率为|2sin |32|cos sin 31|)tan 1(|cos sin 31|)1(||32/3242/32t a t t a t t t a y y K ==+⋅='+''=, |2sin |3200t a K t t ==.5. 对数曲线y =ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 x y 1=', 21xy -=''.2/322/3222/32)1()11(|1|)1(||x x xx y y K +=+-='+''=, xx 232)1(+=ρ,2222232212)12(1)1(2)1(23x x x x x x x x --=+-⋅⋅+='ρ.令ρ'=0, 得22=x . 因为当220<<x 时, ρ<0; 当22>x 时, ρ>0, 所以22=x 是ρ的极小值点, 同时也最小值点. 当22=x 时, 22ln =y . 因此在曲线上点)22ln ,22(处曲率半径最小, 最小曲率半径为233=ρ. 6. 证明曲线axa y ch =在点(x , y )处的曲率半径为a y 2.解 a x y sh =', axa y ch 1=''.在点(x , y )处的曲率半径为a y a x a a x a a xa x a a x y y 222/322/322/32ch |ch 1|)(ch |ch 1|)sh 1(||)1(===+='''+=ρ.7. 一飞机沿抛物线路径100002x y =(y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg . 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解 5000100002x x y ==', 50001=''y ; y '|x =0=0, 50001|0=''=x y . 500050001)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ.向心力56050002007022=⨯==ρmV F (牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79⨯9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解 如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得01.02525.0==a ,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y '=0.02x , y ''=0.02.5002.0)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ. 向心力为360050)3600106.21(1052332=⨯⨯==ρmV F (牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5⨯103⨯9.8-3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y =tan x 在点)1 ,4(π处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y 2=2px 的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________.解 应填写2.提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''.在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点,最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a aa n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点.证明 设121012)(+++++=n n x n a x ax a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln )()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ).9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知,1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nxx n x x x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x(ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx x x x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim ])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1l n (1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x。
高等代数与解析几何第11章习题参考解答
高等代数与解析几何第11章习题参考解答§11.1二次曲线的几何性质 1、解（1）∵025),(22=++=ΦY XY X Y X 时 )52(:51:i Y X ±-=,同时 0411152>==I∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：)52(:51i ±-（2）∵034),(22=++=ΦY XY X Y X 时1:1:-=Y X 和1:3:-=Y X 同时0132212<-==I , ∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：1:1-和1:3- （3）∵02),(22=+-=ΦY XY X Y X 时1:1:=Y X , 同时011112=--=I∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：12、解（1）∵0492252522≠-==I , ∴曲线是中心曲线. 由??=-+==-+=023225),(03252),(21y x y x F y x y x F 解得??=-=21y x ∴中心为)2,1(-（2）∵013392=--=I ，3231322121211-===a a a aa a , ∴曲线为线心曲线。
（3）∵042212=--=I ，且231322121211a a a aa a ≠=, ∴曲线为无心曲线。
3、解（1）由??=-+-==+-=023223),(02123),(21y x y x F y x y x F 解得中心)3,5(-- 由0252),(22=++=ΦY XY X Y X 得渐近方向为2:1:11-=Y X ， 1:2:22-=Y X 所以渐近线方程是 2315+=-+y x 和1325+=-+y x , 即0132=++y x 和0112=++y x （2）由=++==++=01),(012),(21y x y x F y x y x F 解得中心)1,0(-,由022),(22=++=ΦY XY X Y X 解得渐近方向为X:Y = 2:)1(i ±-, 所以渐近线方程是 211+=+-y i x 和211+=--y i x即0)1(=++y x i 和0)1(=+-y x i4、解（1）∵2723),(1-+=y x y x F , 452),(2-+=y x y x F , ∴29)1,2(1=F5)1,2(2=F , ∴所求切线方程为 0)1(5)2(29=-+-y x 即 028109=-+y x（2）∵4)1,2(=--F ∴)1,2(--不在二次曲线上；设过点)1,2(--的切线与已知二次曲线相切于),(00y x ，那么切线方程为03)(2)(21)(21000000=++++++++y y x x yy xy y x xx ①把)1,2(--代入切线方程得00=x ②又因),(00y x 在曲线上，把它代入曲线方程得03400200020=+++++y x y y x x ③由②③解得切点为)1,0(),3,0(--，代入①得切线方程为03=++y x 和01=+y5、解（1）=5228A ，13581=+=I , 3652282==I , 特征方程为036132=+-λλ 解得9,421==λλ, 求得21,λλ对应的特征向量{}2,11-=ξ ,{}1,22=ξ, 所以主方向是 )2(:1:11-=Y X ， 1:2:22=Y X , 主直径是0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即0)852)(2()428(=-+-+++y x y x 与 0)852()428(2=-++++y x y x , 就是052=+-y x 与02=+y x（2）=5445A ，10551=+=I ，954452==I 特征方程为09102=+-λλ，解得9,121==λλ，求得21,λλ对应的特征向量{}111，-=ξ, {}112-=，ξ, 所以主方向是1:1:11-=Y X )1(:1:22-=Y X主直径为 0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0=-y x 与 02=-+y x（3）--=1612129A , 251691=+=I ,016121292=--=I , 特征方程为0252=-λλ，解得251=λ，02=λ, 求得21,λλ对应的特征向量是 {}4,31-=ξ, {}3,42=ξ 所以非渐近主方向是)4(:3:11-=Y X , 渐近主方向是3:4:22=Y X , 主直径只有一条，就是0),(4),(321=-y x F y x F , 即0743=+-y x 6、证明：（1）中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为),(00y x ，则因为),(00y x 是方程==0),(0),(21y x F y x F 的唯一解，可设过),(00y x 的直线方程为0),(),(21=+y x F y x F μλ ① 对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向，故①又表示与非渐近方向μλ:共轭的直径的方程。
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
同济六版高等数学上下册课后习题答案4-2
习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=; 解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( x xed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=;解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+;解 )3(arctan 31912x d xdx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e x x t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211. (4)⎰-332xdx;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb x bx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dx ee x x 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xxx +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰(13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222.(14)⎰-dx x x 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx x x 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443. (16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx xx 3cos sin ;解C x C x x xd dx x x+=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ;解)sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x xx +--=-+⎰⎰C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx x x 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin .(28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅= C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx xa x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421.(35)⎰-12x x dx ;解C xC t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解C x x C t t dt t tdt t tx xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt t dt t tdt t tx x dx)2sec 211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xx x C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.。
高等数学同济第六版下册课后习题答案
高等数学同济第六版下册课后习题答案习题8-11. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c=5a -11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形.证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC ,而 →→-=OA OC , →→-=OB OD ,所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC .这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形.3. 把∆ABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→A D 3、→A D 4.解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5222--=-=→→→BD BA A D , a c 5333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D .4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M .解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M ,)4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M .5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量.解 11)6(76||222=-++=a ,平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为)116 ,117 ,116(||1-=a a 或)116 ,117 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1).解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:A (3, 4, 0);B (0, 4, 3);C (3, 0, 0);D (0, -1, 0).解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ).在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ).A 在xOy 面上,B 在yOz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标.解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为(-a , b , c ), 点(a , b , c )关于zOx 面的对称点为(a , -b , c ).(2)点(a , b , c )关于x 轴的对称点为(a , -b , -c ), 点(a , b , c )关于y 轴的对称点为(-a , b , -c ), 点(a , b , c )关于z 轴的对称点为(-a , -b , c ).(3)点(a , b , c )关于坐标原点的对称点为(-a , -b , -c ). 9. 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y 0, 0)、(0, y 0, z 0)和(x 0, 0, z 0).在x 轴、y 轴和z 轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y 0, 0)和(0, 0, z 0).10. 过点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 在所作的平行于z 轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y 0, z ); 在所作的平行于xOy 面的平面上, 点的坐标为(x , y , z 0).11. 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x 轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 解 因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为)0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a , ) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a . 12. 求点M (4, -3, 5)到各坐标轴的距离.7)96()11()410(||222=-+--+-=→AB ,7)93()14()42(||222=-+-+-=→AC ,27)63()14()102(||222=-+++-=→BC ,所以222||||||→→→+=AC AB BC , ||||→→=AC AB . 因此∆ABC 是等腰直角三角形.15. 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(3, 0, 2). 计算向量→21M M 的模、方向余弦和方向角.解 )1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=→M M ;21)2()1(||22221=++-=→M M ;21cos -=α, 22cos =β, 21cos =γ; 32πα=, 43 πβ=, 3πγ=. 16. 设向量的方向余弦分别满足(1)cos α=0; (2)cos β=1;(3)cos α=cos β=0, 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cos α=0时, 向量垂直于x 轴, 或者说是平行于yOz 面.(2)当cos β=1时, 向量的方向与y 轴的正向一致, 垂直于zOx 面.(3)当cos α=cos β=0时, 向量垂直于x 轴和y 轴, 平行于z 轴, 垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4, 它与轴u 的夹角是60︒, 求r 在轴 u 上的投影.解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u . 18. 一向量的终点在点B (2, -1, 7), 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4, -4, 7. 求这向量的起点A 的坐标. 解 设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).19. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p=4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k ,所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .习题8-21. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ;(2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦. 解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75 121 213++=---=⨯.(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a .2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . 3. 已知M 1(1, -1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1,3). 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量. 解→)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M , →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M .→→k j i k j i n 446 220 142 3221--=--=⨯=M M M M ,172161636||=++=n , )223(171)446(1721k j i k j i e --±=--±=为所求向量. 4. 设质量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线称动到点M 2(1, 4, 2), 计算重力所作的功(长度单位为m , 重力方向为z 轴负方向).解F =(0, 0, -100⨯9. 8)=(0, 0, -980),→)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21--=---==M M S .W =F ⋅S =(0, 0, -980)⋅(-2, 3, -6)=5880(焦耳).5. 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处, 有一与→1OP 成角θ1的力F 1作用着; 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处, 有一与→2OP 成角θ1的力F 1作用着. 问θ1、θ2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零, 再注意到对力矩正负的规定可得, 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|⋅sin θ1-x 2|F 2|⋅sin θ2=0,即 x 1|F 1|⋅sin θ1=x 2|F 2|⋅sin θ2.6. 求向量a =(4, -3, 4)在向量b =(2, 2, 1)上的投影.解2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=⨯+⨯-⨯=⋅-++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b .7. 设a =(3, 5, -2), b =(2, 1, 4), 问λ与μ有怎样的关系, 能使得λa +μb 与z 轴垂直?解 λa +μb =(3λ+2μ, 5λ+μ, -2λ+4μ), λa +μb 与z 轴垂⇔λa +μb ⊥k⇔(3λ+2μ,5λ+μ, -2λ+4μ)⋅(0, 0, 1)=0,即-2λ+4μ=0, 所以λ=2μ. 当λ=2μ时, λa +μb 与z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证明 设AB 是圆O 的直径, C 点在圆周上, 则→→OA OB -=, →→||||OA OC =. 因为→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC , 所以→→BC AC ⊥, ∠C =90︒.9. 设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,kj kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()(.(3)kj i kj i b a +--=--=⨯58311132,(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2. 10. 已知→j i 3+=OA ,→kj 3+=OB , 求∆OAB 的面积.解 根据向量积的几何意义,→→||OB OA ⨯表示以→OA和→OB 为邻边的平行四边形的面积, 于是∆OAB的面积为→→||21OB OA S ⨯=. 因为→→kj i kj i +--==⨯33310301OB OA ,→→191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA ,所以三角形∆OAB 的面积为→→1921||21=⨯=OB OA S .12. 试用向量证明不等式:||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数, 并指出等号成立的条件.解 设a =(a 1, a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3), 则有 ||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅,于是||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,其中当) ,cos(^b a =1时, 即a 与b 平行是等号成立. 习题8-31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.解 设动点为M (x , y , z ), 依题意有(x -2)2+(y -3)2+(z -1)2=(x -4)2+(y -5)2+(z -6)2, 即 4x +4y +10z -63=0.2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径14)2(31222=-++=R ,球面方程为(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14, 即 x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0.3. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面?解 由已知方程得(x 2-2x +1)+(y 2+4y +4)+(z 2+2z +1)=1+4+1, 即2222)6()1()2()1(=++++-z y x ,所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以6为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点(2, 3, 4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程, 它表示怎样曲面？解 设点(x , y , z )满足题意, 依题意有21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x ,化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x ,它表示以)34 ,1 ,32(---为球心, 以2932为半径的球面.5. 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2+z 2=5x .6. 将zOx 坐标面上的圆x 2+z 2=9绕z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2+y 2+z 2=9.7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2-9y 2-9z 2=36.双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 2+4z 2-9y 2=36.8. 画出下列方程所表示的曲面:(1)222)2()2(a y a x =+-;(2)19422=+-y x ;(3)14922=+z x ;(4)y2-z=0;(5)z=2-x2.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:(1)x=2;解在平面解析几何中,x=2表示平行于y轴的一条直线;在空间解析几何中,x=2表示一张平行于yOz 面的平面. (2)y =x +1;解 在平面解析几何中, y =x +1表示一条斜率是1, 在y 轴上的截距也是1的直线; 在空间解析几何中，y =x +1表示一张平行于z 轴的平面.(3)x 2+y 2=4;解 在平面解析几何中, x 2+y 2=4表示中心在原点, 半径是4的圆; 在空间解析几何中, x 2+y 2=4表示母线平行于z 轴, 准线为x 2+y 2=4的圆柱面. (4)x 2-y 2=1.解 在平面解析几何中, x 2-y 2=1表示双曲线; 在空间解析几何中, x 2-y 2=1表示母线平行于z 轴的双曲面.10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的: (1)1994222=++z y x ;解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x轴旋转一周而形成的. (2)14222=+-z y x ;解 这是xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的. (3)x 2-y 2-z 2=1;解 这是xOy 面上的双曲线x 2-y 2=1绕x 轴旋转一周而形成的, 或是zOx 面上的双曲线x 2-z 2=1绕x 轴旋转一周而形成的. (4)(z -a )2=x 2+y 2 .解 这是zOx 面上的曲线(z -a )2=x 2绕z 轴旋转一周而形成的, 或是yOz 面上的曲线(z -a )2=y 2绕z 轴旋转一周而形成的.11. 画出下列方程所表示的曲面:(1)4x 2+y 2-z 2=4;(2)x 2-y 2-4z 2=4;(3)94322y x z +=.习题8-41. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:(1)⎩⎨⎧==21y x ;(2)⎩⎨⎧=---=0422y x y x z ;(3)⎩⎨⎧=+=+222222az x a y x .2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:(1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y ; 解 在平面解析几何中,⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y =5x +1与y =2x -3的交点)317 ,34(--; 在空间解析几何中,⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y =5x +1与y =2x -3的交线,它表示过点)0 ,317 ,34(--, 并且行于z 轴. (2)⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x .解 在平面解析几何中,⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y =3的交线.3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 解 把方程组中的x 消去得方程3y 2-z 2=16,这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.解 由x +z =1得z =1-x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2-2x +y 2=8, 这是母线平行于z 轴, 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为⎩⎨⎧==+-082222z y x x .5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程: (1)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222 ;解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2=9, 即13)23(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为tx cos 23=,ty cos 23=, z =3sin t .(2)⎩⎨⎧==+++-04)1()1(222z z y x . 解 将z =0代入(x -1)2+y 2+(z +1)2=4得(x -1)2+y 2=3. 令tx cos 31+=, 则ty sin 3=, 于是所求参数方程为tx cos 31+=,t y sin 3=, z =0.6. 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0222z a y x .由第三个方程得bz =θ代入第一个方程得 bza x cos =, 即ax b z arccos =, 于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y a xb z .由第三个方程得bz =θ代入第二个方程得 bz a ysin =, 即a yb z arcsin =,于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0.7. 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2≤ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax , 它含在半球2220y x a z --≤≤在xOy 面上的投影x 2+y 2≤a 2内, 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤ax .为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影, 由圆柱面方程x 2+y 2=ax 得y 2=ax -x 2, 代入半球面方程222y x a z --=, 得axa z -=2(0≤x ≤a ), 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为axa z -≤≤20(0≤x ≤a ), 即z 2+ax ≤a 2, 0≤x ≤a ,z ≥0.8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影.解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4. 令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4. 令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.习题8-51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.2. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0. 3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n 1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法线向量为k j i kj i n n n 69301332021++-=-=⨯=,所求平面的方程为-3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面: (1)x =0;解 x =0是yOz 平面. (2)3y -1=0;解 3y -1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x -3y -6=0;解 2x -3y -6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和-2. (4)03=-y x ;解 03=-y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33.(5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x -2z =0;解 x -2z =0是通过y 轴的平面. (7)6x +5-z =0.解 6x +5-z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n =(2, -2, 1). 此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α;此平面与zOx 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n jn j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ.6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解 所求平面的法线向量可取为k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x -y -z =0, -x +2y +2z =3的交点. 解 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x =1, y =-1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3). 8. 分别按下列条件求平面方程: (1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0⋅(x -2)-5(y +5)+0⋅(z -3)=0, 即y =-5. (2)通过z 轴和点(-3, 1, -2); 解 所求平面可设为Ax +By =0.因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A +B =0, 将B =3A 代入所设方程得 Ax +3Ay =0, 所以所求的平面的方程为 x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7).解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n 1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即 b +9c =0, b =-9c , 于是 n =(0, -9c , c )=-c (0, 9, -1). 所求平面的方程为9(y -0)-(z +2)=0, 即9y -z -2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为 1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d .习题8-61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z yx 的直线方程.解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为531124-=+=-z y x . 2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为112243-=+=--x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1),n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3,z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z yx ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=. 所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,即 16x -14y -11z -65=0.5. 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦.解 两直线的方向向量分别为k j i k j i s -+=--=431233351, k j i k j i s 105101831222+-=-=. 两直线之间的夹角的余弦为||||) ,cos(2121^21s s s s s s ⋅⨯= 010)5(10)1(4310)1()5(4103222222=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=. 6. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行. 解 两直线的方向向量分别为k j i k j i s 531121211++=--=,k j i k j i s 15391123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即k j i k j i s ++-=-=32310201. 所求直线的方程为14322-=-=-z y x . 8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354z y x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521--=-=⨯=. 所求平面的方程为8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0,即 8x -9y -22z -59=0.9. 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角. 解 已知直线的方向向量为)2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s -+=-+=--=--⨯=, 已知平面的法线向量为n =(1, -1, -1).因为s ⋅n =2⨯1+4⨯(-1)+(-2)⨯(-1)=0,所以s ⊥n , 从而直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角为0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =-+=-+和4x -2y -2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, -2, -2).因为s ⋅n =(-2)⨯4+(-7)⨯(-2)+3⨯(-2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x -2y -2z =3, 所以所给直线不在所给平面上.(2)723z y x =-=和3x -2y +7z =8; 解 所给直线的方向向量为s =(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, -2, 7).因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的.(3)431232--=+=-z y x 和x +y +z =3. 解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).因为s ⋅n =3⨯1+1⨯1+(-4)⨯1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面的方程.解 已知直线的方向向量分别为k j i k j i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=, k j k j i s --=--=-⨯-=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n -+-=----=⨯=11032121, 所求平面的方程为-(x -1)+(y -2)-(z -1)=0, 即x -y +z =0.12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n =(1, 2, -1). 过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211-=-=+z y x . 将此方程化为参数方程x =-1+t , y =2+2t , z =-t , 代入平面方程x +2y -z +1=0中, 得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0, 解得32-=t . 再将32-=t 代入直线的参数方程, 得35-=x , 32=y , 32=z . 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)32 ,32 ,25(-. 13. 求点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离. 解 已知直线的方向向量为k j k j i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为-3(y +1)-3(z -2)=0, 即y +z -1=0.解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x ,得x =1, 21-=y , 23=z . 点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点P (3, -1, 2)与点)23 ,21 ,1(-间的距离, 即 223)232()211()13(22=-++-+-=d . 14. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ⨯=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量→=MN s , 根据向量积的几何意义, 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为||||00s ⨯=⨯→→→M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为||||s ⋅=⋅→d MN d . 因此 ||||0s s ⨯=⋅→M M d , ||||0s s ⨯=→M M d . 15. 求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程.解 过已知直线的平面束方程为(2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0,即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0. 解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x .16. 画出下列各曲面所围成的立体图形:(1)x =0, y =0, z =0, x =2, y =1, 3x +4y +2z -12=0;(2)x =0, z =0, x =1, y =2, 4y z =;(3)z =0, z =3, x -y =0, 03=-y x , x 2+y 2=1(在第一卦限内);(4)x=0,y=0,z=0,x2+y2=R2,y2+z2=R2(在第一卦限内).总习题八1.填空(1)设在坐标系[O;i,j,k]中点A和点M的坐标依次为(x0,y0,z0)和(x,y,z),则在[A;i,j,k]坐标系中,点M的坐标为___________,向量→OM 的坐标为___________.解M(x-x0,y-y0,z-z0),→),,(z y xOM=.提示:自由向量与起点无关,它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.(2)设数λ1、λ2、λ3不全为0,使λ1a+λ2b+λ3c=0,则a、b、c三个向量是__________的.解 共面.(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, -1, 10), c =b -λa , 且a ⊥c , 则λ=____________.解3.提示: 因为a ⊥c , 所以a ⋅c =0.又因为由a ⋅c =a ⋅b -λa ⋅a =2⨯4+1⨯(-1)+2⨯10-λ(22+12+22)=27-9λ, 所以λ=3.(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a =____________. 解 23-. 提示: 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a . (5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a |=____________.解36.提示: c =-(a +b ),a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a =a ⨯b -b ⨯(a +b )-(a +b )⨯a =a ⨯b -b ⨯a -b ⨯a =3a ⨯b ,|a ⨯b +b ⨯c +c ⨯a |=3|a ⨯b |=3|a |⋅|b |=3⋅3⋅4=36.2. 在y 轴上求与点A (1, -3, 7)和点B (5, 7, -5)等距离的点.解 设所求点为M (0, y , 0), 则有12+(y +3)2+72=52+(y -7)2+(-5)2, 即 (y +3)2=(y -7)2,解得y =2, 所求的点为M (0, 2, 0).3. 已知∆ABC 的顶点为A (3,2,-1)、B (5,-4,7)和C (-1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度. 解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(-=+--+. 所求中线的长度为 30)23()11()14(222=-+--++=d . 4. 设∆ABC 的三边→a =BC 、→b =CA 、→c =AB , 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示→AD 、→BE、→CF , 并证明→→→0=++CF BE AD .解 →→→a c 21+=+=BD AB AD , →→→ba 21+=+=CE BC BE , →→→cb 21+=+=AF CA CF .→→→=+-=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半. 证明 设D , E 分别为AB , AC 的中点, 则有 →→→→→)(21AB AC AD AE DE -=-=, →→→→→ABAC AC BA BC -=+=,所以→→BC DE 21=,从而DE //BC , 且||21||BC DE =. 6. 设|a +b |=|a -b |, a =(3, -5, 8), b =(-1, 1, z ), 求z .解a +b =(2, -4, 8+z ), a -b =(4, -6, 8-z ). 因为|a +b |=|a -b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z -+-+=++-+,解得z =1.7. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b的夹角. 解|a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π,|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ,72arccos =θ.8. 设a +3b ⊥7a -5b , a -4b ⊥7a -2b , 求) ,(^b a .解 因为a +3b ⊥7a -5b , a -4b ⊥7a -2b , 所以 (a +3b )⋅(7a -5b )=0, (a -4b )⋅(7a -2b )=0, 即7|a |2+16a ⋅b -15|b |2=0,7|a |2-30a ⋅b +8|b |2 =0, 又以上两式可得ba b a ⋅==2||||,于是21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a ,3) ,(^π=b a .9. 设a =(2, -1, -2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时) ,(^b a 最小？并求出此最小值.解2^2321||||) ,cos(z z+-=⋅⋅=b a b a b a .因为当2) ,(0^π<<b a 时, ),cos(^b a 为单调减函数. 求) ,(^b a 的最小值也就是求22321)(zz z f +-=的最大值. 令0)2(431)(2/32=+--⋅='z zz f , 得z =-4.当z =-4时,22) ,cos(^=b a , 所以422arccos),(min ^π==b a .10. 设|a |=4, |b |=3,6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a -3b为边的平行四边形的面积.解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a . 以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a .11. 设a =(2, -3, 1), b =(1, -2, 3), c =(2, 1, 2), 向量r 满足r ⊥a , r ⊥b , Prj c r =14, 求r .解 设r =(x , y , z ).因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r ⋅a =0, r ⋅b =0, 即 2x -3y +z =0, x -2y +3z =0. 又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , 即 2x +y +2z =42. 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-4222032032z y x z y x z y x ,得x =14, y =10, z =2, 所以r =(14, 10, 2). 另解 因为r ⊥a , r ⊥b , 所以r 与kj i kj i b a ---=--=⨯57321132平行, 故可设r =λ(7, 5, 1).又因为Prj c r =14, 所以14||1=⋅c c r , r ⋅c =42, 即 λ(7⨯2+5⨯1+1⨯2)=42, λ=2, 所以r =(14, 10, 2).12. 设a =(-1, 3, 2), b =(2, -3, -4), c =(-3, 12, 6), 证明三向量a 、b 、c 共面, 并用a 和b 表示c .证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a ⨯b )⋅c =0. 因为ki kj i b a 36432231--=---=⨯,(a ⨯b )⋅c =(-6)⨯(-3)+0⨯12+(-3)⨯6=0, 所以向量a 、b 、c 共面. 设c =λa +μb , 则有(-λ+2μ, 3λ-3μ, 2λ-4μ)=(-3, 12, 6), 即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=+-642123332μλμλμλ,解之得λ=5, μ=1, 所以c =5a +b .13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意, 有 222)2()1()1(||-+++-=z y x z ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点M 的轨迹方程.14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z =2x 2, 旋转轴为z 轴.(2)136936222=++z y x ; 解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x , 旋转轴为y 轴. (3)z 2=3(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线yz 3=, 旋转轴为z 轴.(4)144222=--z y x .解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=-y x , 旋转轴为x 轴.15. 求通过点A (3, 0, 0)和B (0, 0, 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程.解 设所求平面的法线向量为n =(a , b , c ).→)1 ,0 ,3(-=BA , xOy 面的法线向量为k =(0, 0, 1).按要求有→0=⋅BA n , 3cos ||||π=⋅⋅k n k n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2103222c b a c c a ,解之得c =3a , ab 26±=. 于是所求的平面的方程为 0326)3(=+±-z y x ,即3326=++z y x , 或3326=+-z y x .16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-01x z y 的垂线, 求此平面方程. 解 直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的方向向量为s =(0, 1,-1)⨯(1, 0, 0)=(0, -1, -1).设点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-01x z y 的垂线交于点(x 0, y 0, z 0). 因为点(x 0, y 0, z 0)在直线⎩⎨⎧==+-01x z y 上, 所以(x 0, y 0, z 0)=(0, y 0, y 0+1). 于是, 垂线的方向向量为s 1=(-1, y 0+1, y 0). 显然有s ⋅s 1=0, 即 -y 0-1-y 0=0, 210-=y . 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(01--=+-=y y s . 所求平面的法线向量可取为 j i k j i k s k n --=-+-⨯=⨯=21)2121(1, 所求平面的方程为 0)1()1(21=+---y x , 即x +2y +1=017. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0, 又与直线21311z y x =-=+相交的直线的方程.解 过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0的平面的方程为 3(x +1)-4(y -0)+(z -4)=0,即3x -4y +z -1=0.将直线21311z y x =-=+化为参数方程x =-1+t , y =3+t , z =2t , 代入平面方程3x -4y +z -1=0, 得 3(-1+t )-4(3+t )+2t -1=0,解得t =16. 于是平面3x -4y +z -1=0与直线21311z y x =-=+的交点的坐标为(15, 19, 32), 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标. 所求直线的方向向量为s =(15, 19, 32)-(-1, 0, 4)=(16, 19, 28), 所求直线的方程为28419161-==+z y x . 18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使∆ABC 的面积最小.解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则→) ,0 ,1(z AC -=,→)1 ,2 ,0(--=z BC .因为 →→kj i kj i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC ,所以∆ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS, 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 19. 求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程.解 在xOy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=--=-+-02)1()1(2222z y x y x , 即⎩⎨⎧=+=+022z yx y x . 在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=---±+-=0)12()1(222y z x x z , 即⎩⎨⎧==+--++02342222y z x z xz x . 在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=-+---±=0)1()12(222x y z y z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222x z y z yz y .20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影.解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=+=0222z y x x , 即⎩⎨⎧==+-01)1(22z y x , 所以, 立体在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+-01)1(22z y x .锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+-01)22(222x y z ,所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线。
高等代数与解析几何答案同济大学
高等代数与解析几何答案同济大学高等代数与解析几何答案同济大学【篇一：大学所有课程课后答案】资料打开方法：按住ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料【数学】?o?o?o?o?o?o?o?oo?o?o?o?o?o?o?o?o? 习题答案o?o??o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o【计算机/网络/信息】??o?o?o?o【经济/金融/营销/管理/电子商务】?o?o?o?o?o?o?o?【篇二：kehoudaanhuizong】的日志经济金融[pdf格式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）[word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻p.林德特王新奎）[pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印[word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版）[word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版）[jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版）[pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版）[word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版）[word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版）[word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）[word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[pdf格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版）[word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版）[word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽）[pdf格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）[jpg格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）[pdf格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式[word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案[word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答[pdf格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案[word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案[word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版）化学物理[word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版）[word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武）[word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[pdf格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著）[word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版）[word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）[pdf格式]《化工热力学》习题与习题答案（含各种版本）[word格式]《材料力学》习题答案[word格式]《量子力学导论》习题答案（曾谨言版，北京大学）[pdf格式]《理论力学》习题答案（动力学和静力学）[word格式]《大学物理》完整习题答案[ppt格式]流体输配管网习题详解（重点）[pdf格式]《结构化学基础》习题答案（周公度，北大版）[pdf格式]《物理化学》习题答案与课件集合（南大）[word格式]《传热学》课后习题答案（第四版）[word格式]《控制电机》习题答案[pdf格式]《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）[pdf格式]《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）[pdg格式]《工程电磁场导论》习题详解[pdf格式]《材料力学》习题答案（单辉祖，北京航空航天大学）[word格式]《热工基础》习题答案（张学学主编，第二版，高等教育出版社）[word格式]《大学物理实验》实验题目参考答案（第2版，中国林业出版社）[word格式]《大学物理基础教程》课后习题答案（第二版，等教育出版社）[word格式]《水力学》习题答案（李炜，徐孝平主编，武汉水利电力大学出版社）[pdf格式]《普通物理学教程电磁学》课后习题答案（梁灿斌，第2版）[word格式]《激光原理与激光技术》习题答案完整版（北京工业大学出版社）[word格式]《固体物理》习题解答（阎守胜版）[ppt格式]《仪器分析》课后答案（第三版，朱明华编）[word格式]《高分子化学》习题答案（第四版）[pdf格式]《物理化学》习题答案（南大，第五版）[ppt格式]《高频电子线路》习题参考答案（第四版）[pdf格式]《原子物理学》习题答案（褚圣麟版）[ppt格式]《分析力学》习题答案[word格式]《分析化学》习题答案（第三版，上册，高教版）[ppt格式]《普通物理》习题答案（磁学，电学，热学）[pdf格式]《材料力学》课后习题答案（单辉祖，第二版，高教出版社）[word格式]《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）[word格式]《分析化学》习题解答[word格式]《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）[word格式]《大学物理学》习题解答[pdf格式]《电动力学》习题答案（第三版，郭硕宏）[pdf格式]《大学物理》课后答案（陈信义）上下册的[pdf格式]《数学物理方法》(第三版)习题答案[jpg格式]《普通化学（第五版）》习题详解（配套浙大编的）[pdf格式]《光学》习题答案及辅导（赵凯华）[pdf格式]《工程光学》习题答案[pdf格式]《材料力学》详细习题答案及辅导（第四版，刘鸿文）[pdf格式]《电磁场与电磁波》（第4版）习题答案及自学辅导[pdf格式]《量子力学教程》习题解答（周世勋版）[word格式]《流体力学》习题答案[pdf格式]《有机化学》课后习题答案（胡宏纹，第三版）[word格式]《有机化学》习题答案（汪小兰主编）[word格式]《化工热力学》习题及详细解答[pdf格式]《工程热力学》课后全解（第三版，沈维道编，高教版）[pdf格式]《理论力学》课后习题答案[word格式]自动控制原理习题集（自学辅导推荐）[pdf格式]《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）[pdf格式]大学物理习题及答案[pdf格式]《物理学》习题分析与解答（马文蔚主编，清华大学，第五版）[pdf格式]《电机与拖动基础》课后习题答案（第四版，机械工业出版社，顾绳谷主编）[word格式]《土力学》习题解答/课后答案[pdf格式]《数学物理方法》习题解答案详细版（梁昆淼，第二版）[pdf格式]《传热学》课后答案（杨世铭，陶文铨主编，高教版）[pdf格式]《材料力学》详细辅导及课后答案（pdf格式，共642页）[word格式]大学物理实验绪论课指导书及参考答案[word格式]《大学基础物理学》课后答案（共16个单元）[pdf格式]流体力学课后答案(高教版，张也影，第二版)[pdf格式]程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导电子信息[pdf格式]《数字通信》习题答案（第四版，proakis）[pdf格式]《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）[word格式]《基础电子技术》习题解答（哈工大，蔡惟铮）[word格式]《微机原理及应用》习题答案[ppt格式]《通信电路》课后习题答案（沈伟慈，西安电子科技大学出版社）[jpg格式]《信号与系统》习题答案详解（郑君莉，清华大学，牛逼完整版）[ppt格式]《电路分析》习题答案（第2版，高等教育出版社，胡翔俊）[word格式]《热工测量与自动控制》习题及答案[pdf格式]《信息论与编码》学习辅导及习题详解（傅祖芸版）[pdf格式]《电工学——电子技术》习题答案（下册）[pdf格式]《数字逻辑电路与系统设计》习题答案[word格式]《数字电路与逻辑设计》课后习题答案，讲解详细[word格式]《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）[pdf格式]《数字信号处理》完整习题答案（程佩青，英文版）[word格式]《微机原理》作业答案（李继灿版）[word格式]《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案[pdf格式]《数字电子技术基础》课后习题答案（完整答案版）[word格式]《电子线路-非线性部分》课后答案（谢嘉奎高等教育出版社）[word格式]《通信原理》习题答案[pdf格式]《电路分析》课后答案及学习指导（第二版，胡翔骏，高教版）[pdf格式]《数字信号处理——基于计算机的方法》习题答案（第二版）[pdf格式]《数字电子技术基础》详细习题答案（阎石第四版）[word格式]《测控电路》习题答案（机械出版社）[word格式]《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）[word格式]《单片机及接口技术》课后答案（梅丽凤，王艳秋，清华大学出版社）[pdf格式]《电路》习题答案上（邱关源，第五版）[ppt格式]《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社）[pdf格式]《电子电路分析与设计》课后题答案（英文版）[pdf格式]《电力电子技术》习题答案（第4版，西安交通大学）[word格式]《自动控制原理》课后题答案（卢京潮主编，西北工业大学出版社）[word格式]《控制工程基础》课后习题解答（清华版）[word格式]《控制工程基础》习题答案（第二版，燕山大学）[ppt格式]《自动控制原理》习题答案[swf格式]《微电子器件与ic设计》习题答案（科学出版社）[pdf格式]《电力拖动自动控制系统》习题答案[pdf格式]《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）[word格式]《数字信号处理》习题答案[pdf格式]《信号与系统》习题及精解[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（于慧敏著）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（西安电子科技大学）[word格式]电子技术数字和模拟部分答案（第四版，康华光）[word格式]《信息论与编码》习题答案(高等教育出版社)仇佩亮编[pdf格式]《现代控制系统》答案（英文版）730页[pdf格式]《数字电子技术》课后习题答案详解（阎石，第四版）[pdf格式]《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）[pdf格式]《信号与系统》习题详解（奥本海姆版）[pdf格式]《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）[word格式]《信号与系统》习题解析（燕庆明，第3版）非常详细[word格式]《ibm-pc汇编语言》课后习题答案[pdf格式]《数字信号处理教程》习题解答（第二版）[pdf格式]《数字信号处理》课后答案及详细辅导（丁美玉，第二版）[word格式]《现代通信原理》习题答案（曹志刚版）[word格式]《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）[word格式]《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版）[word格式]《单片机原理及应用》课后习题答案（张毅刚主编，高教版）[word格式]《数字逻辑》（第二版）习题答案（欧阳明星主编）[ppt格式]《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）[pdf格式]《数字逻辑》第四版习题答案法学政治[pdf格式]《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）[word格式]《公司法》课后练习及参考答案[word格式]《国际经济法》课后参考答案[word格式]思想道德修养与法律基础课后习题答案[word格式]《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》习题答案（2008年修订版的）[word格式]《马克思主义基本原理概论》新版完整答案文学历史[pdf格式]《语言学概论》习题答案(自考,新版教材)[pdf格式]《语言学概论练习题》答案[pdf格式]《语言学教程》课后答案[word格式]选修课《中国现当代文学》资料包[word格式]《传播学教程》课后答案（郭庆光主编，完整版）[word格式]现代汉语题库（语法部分）及答案[word格式]《中国近代史纲要》课后习题答案[word格式]《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）[word格式]《中国近代史纲要》完整课后答案（高教版）数学应用[word格式]高等数学习题答案及提示[pdf格式]《线性代数》习题答案（魏福义，黄燕苹，中国农业出版社）[word格式]《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）[word格式]《线性代数》9套习题+9套相应答案（自学，复习推荐）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题册答案（四川大学版）[pdf格式]《近世代数基础》习题解答（张瑞禾版，高教版）[word格式]《数值分析）大作业（详细，英文版）[pdf格式]《算法导论》课后习题答案（英文版）[word格式]《概率论》完整习题答案（李贤平，复旦版）[word格式]《概率论与数理统计》课后习题解答（东南大学出版社）[pdf格式]《数学分析》完整习题答案（第二版，陈传璋编，复旦大学高等教育出版社）[pdf格式]《概率论与数理统计》优秀学习资料[word格式]《概率论与数理统计及其应用》课后答案（浙江大学盛骤谢式千编著）[word格式]《常微分方程》习题解答（王高雄版）[pdf格式]《泛函分析》习题解答（张恭庆版）[word格式]《线性代数》课后习题答案（陈维新，科学出版社）[pdf格式]《高等代数与解析几何》习题答案（同济大学）[pdf格式]《运筹学（第三版）》讲解和习题答案（清华大学出版社）[pdf格式]《复变函数》习题答案（第四版）[pdf格式]《理工类复习全书》课后答案详解（陈文灯）[pdf格式]《积分变换》习题答案（配套东南大学张元林编的）[word格式]《离散数学》习题答案（高等教育出版社）[word格式]《线性代数》习题解答（王中良）[word格式]工程数学《概率统计简明教程》习题全解（高教版）[word格式]《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题详解（浙大二、三版通用）[pdf格式]《复变函数与积分变换》习题答案[ppt格式]高等数学上下《习题ppt》[ppt格式]《概率论与数理统计》习题答案[word格式]离散数学习题解答（第四版）清华大学出版社【篇三：教高厅函200746号】txt>教育部办公厅关于公布2007年度普通高等教育精品教材书目的通知各省、自治区、直辖市教育厅（教委），新疆生产建设兵团教育局，部属各高等学校，有关出版社：为进一步提高高等教育教材质量，推动优秀教材进课堂，我部决定在已出版的“十一五”国家级规划教材中评选精品。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-2
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案6-2习题6-21 求图6-21 中各画斜线部分的面积 (1)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[01] 所求的面积为61]2132[)(102310=-=-=?x x dx x x A . (2)解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为1|)()(1010=-=-=?x x e ex dx e e A解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1e ] 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==??e e dy y y ydy A ee e(3)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为332]2)3[(132=--=?-dx x x A(4)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);解:388282)218(220220220220221--=--=--=dx x dx x dx x dx x x A34238cos 16402+=-=?ππtdt .346)22(122-=-=ππS A .(2)x y 1=与直线y =x 及x =2;解:所求的面积为-=-=212ln 23)1(dx x x A .(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;解:所求的面积为-+=-=-1021)(ee dx e e A x x .(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为a b e dy e A ba y ba y -===?ln ln ln ln3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:y '=-2 x +4.过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=?dx x x x x x x A .4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p处的法线所围成的图形的面积.解2y ?y '=2p在点),2(p p处1),2(=='p p y p y 法线的斜率k =-1法线的方程为)2(px p y --=- 即y p x -=23求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A pppp=--=--=--?5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积;(1)=2a cos θ 解:所求的面积为==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A =πa 2. (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ; 解所求的面积为 ?===2042202330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=?(3)=2a (2+cos θ ) 解所求的面积为2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=??6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0t 2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为 -=--==aa a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=?.7. 求对数螺线=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积解所求的面积为)(421)(21222222ππππθππθθθ----===??e e a d e a d ae A8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)=3cos θ 及=1+cos θ 解曲线=3cos θ 与=1+cos θ 交点的极坐标为)3,23(πA , )3,23(π-B . 由对称性, 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=??d d A .(2)θρsin 2=及θρ2cos 2=解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π 所求的面积为2316]2c o s 21)sin 2(21[246602-+=+=??πθθθθπππd d A9. 求位于曲线y =e x 下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0 y 0)点则有=='==ke x y e y kx y x x 00)(0000 求得x 0=1 y 0=e k =e所求面积为21ln 21)ln 1(00020edy y y y y y e dy y y e e e ee=?+-=-?10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10A A A +=.显然当2πα=时, A 1=0; 当2πα<时, A 1>0.因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 2030383822a x a dx ax A a a===?.11. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积.解所得旋转体的体积为2020222400x a x a axdx dx y V xx x ππππ====??12. 由y =x 3x =2y =0所围成的图形分别绕x轴及y 轴旋转计算所得两个旋转体的体积解绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====??x dx x dx y V x绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ??-=-??=8 328223282dy y dy x V y ππππππ56453328035=-=y13. 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形绕x 轴旋转计算所得旋转体的体积解由对称性所求旋转体的体积为dx x a dx y V aa-==03202)(22ππ30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=?14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π证明 ?---==RHR R HR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:(1)2x y =, 2y x =, 绕y 轴;解ππππ103)5121()(1052102210=-=-=??y y dy y ydy V . (2)ax a y ch = x =0 x =ay =0 绕x 轴解 ===102302202ch ch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令1022310223)21221(4)2(4u u uu e u e a du e e a ---+=++=?ππ)2sh 2(43+=a π(3)16)5(22=-+y x , 绕x 轴.解 ??------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ2421601640π?=-=dx x .(4)摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a .解 ??--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2( ?----=πππ20223)sin ()]cos 1(2[8t t da t a a a232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=?. 16求圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积.解 ??------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ222228ππb a dy y a b a=-=?.17设有一截锥体其高为h上、下底均为椭圆椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B求这截锥体的体积解建立坐标系如图过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴分别为yha A A -- yhb B B --截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --?--于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--?--=?ππ18 计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ), 由已知条件知, 它是边长为x R -2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A -=, 所以 322334)(3R dx x R V RR=-=?-.19. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为=ba dxx xf V )(2π证明如图在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2x ?f (x )dx这就是体积元素即dV =2x ?f (x )dx于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为==bab adxx xf dx x xf V )(2)(2ππ20. 利用题19和结论计算曲线y =sin x (0≤x ≤)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==??x x x x xd xdx x V21. 计算曲线y =ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度. 解 ??+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ,令t x =+21, 即12-=t x , 则 23ln 211111113223232222322+=-+=-=-?-=dt t dt dt t t dt t tt t s . 22. 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1≤x ≤3的一段弧的长度解 xx x y 31-= xx y 2121-='xx y 4121412+-=' )1(2112xx y +='+所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=?x x x dx xx s23. 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度解由??=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36 ,2( )36 ,2(-所求弧长为?'+=21212dxys因为 2)1(22-='x y y yx y 2)1(-=' )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y xy所以 ]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=??x d x dx xs24. 计算抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长. 解 ??+=+='+=y yy dy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1y y p y p y p y p 022222])ln(22[1++++=py p y py p p y 2222ln 22++++=. 25. 计算星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =的全长. 解用参数方程的弧长公式. dt t y t x s ?'+'=2022)()(4π+-?=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==?π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直使细线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为)sin (cos t t t a x +=)cos (sin t t t a y -=计算这曲线上相应于t 从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式 ?+='+'=ππ22022)sin ()cos ()]([)]([dt t at t at dt t y t x s202ππa tdt a ==?27. 在摆线x =a (t -sin t ) y =a (1-cos t )上求分摆线第一拱成1 3的点的坐标解设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0) 则 ?+-='+'=0220220]sin [)]cos 1([)]([)]([)(t t dt t a t a dt t y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t -==? 当t 0=2时得第一拱弧长s (2)=8a为求分摆线第一拱为1 3的点为A (x y ) 令ata 2)2cos 1(40=-解得320π=t 因而分点的坐标为横坐标aa x )2332()32sin 32(-=-=πππ纵坐标aa y 23)32cos 1(=-=π故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π28. 求对数螺线θρa e =相应于自θ=0到θ=?的一段弧长. 解用极坐标的弧长公式. θθθρθρ?θθ?d ae e d s a a ?+='+=022022)()()()()1(1122-+=+=?θ?θθa a e aa d e a .29. 求曲线=1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长解按极坐标公式可得所求的弧长 ??-+='+=3443222344322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 12511344322+=+=?θθθd30. 求心形线=a (1+cos θ )的全长. 解用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ??-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2 a d a 82cos 40==?πθθ.。
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1 d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71 d (7x -3).(3) xdx = d (x 2);解xdx = 21 d (x 2). (4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101 d (5x 2). (5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 21 2x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121 d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x );解e 2x dx = 21 d (e 2x ). (8))1( 22x x e d dx e --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=. (9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d x dx =;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9解 |)|ln 5( 51 x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d x dx -=; 解 |)|ln 53( 51 x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d xdx =+; 解 )3(arctan 31 912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d x dx-=-;解 )arctan 1( )1( 12x d x dx--=-. (14))1( 122x d x xdx-=-. 解 )1( )1( 122x d x xdx--=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ?均为常数):(1)?dt e t 5;解 C e x d e dt e x x t +==??55551551. (2)?-dx x 3)23(;解 C x x d x dx x +--=---=-??433)23(81)23()23(21)23(. (3)?-dx x211; 解 C x x d x dx x +--=---=-??|21|ln 21)21(21121211. (4)?-332x dx ;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9解 C x C x x d x x dx +--=+-?-=---=-??-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)?-dx e ax b x )(sin ; 解 C be ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b x b x b x +--=-=-cos 1)()(sin 1)(sin . (6)?dt ttsin ; 解 ??+-==C t t d t dt t tcos 2sin 2sin .(7)??xdx x 210sec tan ;解 ??xdx x 210sec tan C x x xd +==?1110tan 111tan tan . (8)?x x x dx ln ln ln ; 解 C x x d xx d x x x x x dx +===|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)?+?+dx x xx 2211tan ;解 ?+?+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=?? C x x d x ++-=++-=?|1cos |ln 1cos 1cos 1222. (10)?xx dx cos sin ; 解 C x x d xdx x x x x dx +===|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)?-+dx ee x x 1;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9解 ?-+dx e e xx 1C e de e dx e e x x x x x +=+=+=??arctan 11122. (12)?-dx xe x 2;解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---?? (13)??dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)?-dx x x232;解 C x C x x d x dx x x +--=+--=---=-??-2212221223231)32(31)32()32(6132. (15)?-dx x x 4313; 解 ??+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)?++dt t t ))sin((cos 2?ω?ω;解 C t t d t dt t t ++-=++-=++??)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322?ωωω?ωω?ω?ω. (17)?dx xx 3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--??2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)?-+dx x x x x 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+?? C x x x x d x x +-=--=?-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin . (19)?--dx x x2491;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9 解 dx x x dx x dx x x---=--22249491491 )49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=??C x x +-+=2494132arcsin 21. (20)?+dx xx 239; 解 C x x x d x x d x x dx x x ++-=+-=+=+)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)?-dx x 1212; 解+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ??++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221. (22)?-+dx x x )2)(1(1; 解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+??|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)?xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)?+dt t )(cos 2?ω;解 C t t dt t dt t +++=++=+??)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2?ωωω?ω. (25)?xdx x 3cos 2sin ;解 ?xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=?cos 215cos 101)sin 5(sin 21.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9 (26)?dx x x 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=??21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos . (27)?xdx x 7sin 5sin ;解 C x x dx x x xdx x ++-=--=??2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)?xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223=?= C x x x d x +-=-=?sec sec 31sec )1(sec 32. (29)?-dx x x2arccos 2110;解 C x d x d dx x x x x x+-=-=-=-10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2. (30)?+dx x x x)1(arctan ;解 C x x d x x d x x dx x x x+==+=+2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan . (31)?-221)(arcsin x x dx ; 解 C x x d x x x dx +-==-??arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222. (32)?+dx x x x2)ln (ln 1; 解 C x x x x d x x dx x x x +-==+??ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)?dx xx x sin cos tan ln ;。
同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)
习题9-11. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q .解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分⎰⎰=Dd y x Q σμ),(.2. 设⎰⎰+=13221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2};又⎰⎰+=23222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系.解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积.I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积.显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故V =4V 1, 即I 1=4I 2.3. 利用二重积分的定义证明: (1)⎰⎰=Dd σσ (其中σ为D 的面积);证明 由二重积分的定义可知,⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ其中∆σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以,σσσσλλ==∆=→=→⎰⎰∑01lim lim Dni id .(2)⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数);证明∑⎰⎰∑=→=→∆=∆=ni i i i Dni iiif k kf d y x kf 11),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ⎰⎰∑=∆==→Dn i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D DD d y x f d y x f d y x f σσσ,其中D =D 1⋃D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ∆和2i σ∆, n 1+n 2=n , 作和∑∑∑===∆+∆=∆2222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i ni iiif f f σηξσηξσηξ.令各1i σ∆和2i σ∆的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有∑=→∆ni i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→∆+∆=22222211111111),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ, 即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ.4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:(1)⎰⎰+Dd y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)(, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线x +y =1所围成;解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而⎰⎰+Dd y x σ3)(≤⎰⎰+Dd y x σ2)(. (2)⎰⎰+Dd y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)(, 其中积分区域D 是由圆周(x -2)2+(y -1)2=2所围成;解 区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32)()(. (3)⎰⎰+Dd y x σ)ln(与⎰⎰+Dd y x σ3)(, 其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有[ln(x +y )]2≤ ln(x +y ), 因而⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ)ln()][ln(2. (4)⎰⎰+Dd y x σ)ln(与⎰⎰+Dd y x σ3)(, 其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.解 区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而ln(x +y )≥1, 因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ), 故⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ2)][ln()ln(. 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)⎰⎰+=Dd y x xy I σ)(, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解 因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得0≤xy (x +y )≤2, 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤DDDd d y x xy d σσσ2)(0,即 ⎰⎰≤+≤Dd y x xy 2)(0σ.(2)⎰⎰=Dyd x I σ22sin sin , 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};解 因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤DDDd yd x d σσσ1sin sin 022, 即 ⎰⎰≤≤Dyd x 222sin sin 0πσ.(3)⎰⎰++=Dd y x I σ)1(, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};解 因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤DDDd d y x d σσσ4)1(,即 ⎰⎰≤++≤Dd y x 8)1(2σ.(4)⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22, 其中D ={(x , y )| x 2+y 2 ≤4}.解 在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤DDDd d y x d σσσ25)94(922, ⎰⎰⋅⋅≤++≤Dd y x 2222225)94(29πσπ,即 ⎰⎰≤++≤Dd y x πσπ100)94(3622.习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+Dd y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=. (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=222]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=. (3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解⎰⎰++Dd y y x x σ)3(323⎰⎰++=132310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=.(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π0)][sin(dx y x x x⎰-=π0)s i n 2(s i n dx x x x ⎰--=π0)c o s 2c o s 21(x x xd+--=0|)c o s 2c o s 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=. .2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤x ≤1, x y x ≤≤2}. 于是⎰⎰D d y xσ⎰⎰=102dy y x dx xx⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(1047=-=⎰dx x x .(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; 解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -2≤y ≤2, 240y x -≤≤}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy y y Dσ1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y . (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=1110111x x y x x x y x Dy x dy e dx e dy e dx e d e σ⎰⎰+---+--+=10110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x 101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1. (4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, y x y ≤≤21}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y Dσ613)832419(2023=-=⎰dy y y .3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积,即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcb aD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f dcb a d cb aD⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,而⎰⎰=⋅dcdc dy y f x f dy y f x f )()()()(2121,故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a dcD⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.由于⎰dcdy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcb a D⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40},所以 ⎰⎰=xxdy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dx y x f dy I 4402),(.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-},或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤}, 所以 ⎰⎰--=220),(x r rr dy y x f dx I , 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I .(3)由直线y =x , x =2及双曲线x y 1=(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y xx ≤≤≤≤1 ,21},或D ={(x , y )| 21 ,121≤≤-≤≤x y y }⋃{(x , y )|2 ,21≤≤≤≤x y y },所以 ⎰⎰=x xdy y x f dx I 1),(21, 或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(yydx y x f dy dx y x f dy I .(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2,D 3, D 4. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244141121),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy⎰⎰⎰⎰--------++222241441211),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域, 证明:⎰⎰⎰⎰=bybaxabadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }. 于是⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=x a b a dy y x f dx ),(, 或⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=by b a dx y x f dy ),(.因此⎰⎰⎰⎰=byb ax abadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.6. 改换下列二次积分的积分次序: (1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=11010),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy .(2)⎰⎰yydx y x f dy 222),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, x y x ≤≤2}, 所以⎰⎰y ydx y x f dy 222),(⎰⎰=402),(xx dy y x f dx .(3)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy ;解 由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22y x y y y x D -≤≤--≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2x y x y x D -≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰⎰⎰-----=22210111110),(),(x y ydy y x f dx dx y x f dy(4)⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx ;解 由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2x x y x x y x D -≤≤-≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2y x y y y x D -+≤≤-≤≤=, 所以⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx ⎰⎰-+-=11122),(y ydx y x f dy .(5)⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(ee y dx y xf dy(6)⎰⎰-xx dy y x f dx sin 2sin0),(π(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域}sin 2sin ,0|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=π, 如图.因为积分区域还可以表示为}a r c s i n 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D }a r c s i n a r c s i n ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+=yyyxxdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx arcsin arcsin 10arcsin 201sin 2sin 0),(),(),(πππ.7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=Dd y x M σμ),(⎰⎰+=Dd y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(yydx y x dy⎰-+-=10323]372)2(31[dy y y y 34=.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为⎰⎰--=Ddxdy y x V )326(⎰⎰--=110)326(dy y x dx⎰--=10102]2326[dx y xy y ⎰=-=1027)229(dx x .9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x }, 所求立体的体积为以曲面z =6-x 2-y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即⎰⎰--=Dd y x V σ)6(22⎰⎰---=101022)6(xdy y x dx 617=.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y都是偶函数, 所以⎰⎰+---=Dd y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(8232=-=⎰dx x .11. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ200)s i n ,c o s (d f d a. (2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解 积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22c o s20)s i n ,co s (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)s i n ,c o s (bad f d .(4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解 积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπs i nc o s 1020)s i n ,c o s (d f d .12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}c s c 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(0⎰⎰=4s e c)s i n ,c o s (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+2c s c)s i n ,c o s (ππθρρθρθρθd f d .(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 32220)(;解 积分区域D 如图所示, 并且 }s e c 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D ,所示⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+xxDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34sec 20)(ππθρρρθd f d .(3)⎰⎰--2111),(x xdy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示, 并且}1s i n c o s 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2s i nc o s 11)s i n ,c o s (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰210),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示, 并且}s e c t a n s e c ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D ,所以⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=0s e ct a ns e c )s i n ,c o s (πθθθρρθρθρθd f d13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20c o s202πθρρρθa d d ⎰=2044c o s 4πθθd a 443a π=.(2)⎰⎰+dy y x dx 0220;解 积分区域D 如图所示. 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxad d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40s e cπθρρρθa d d ⎰=4033s e c 3πθθd a )]12ln(2[63++=a .(3)⎰⎰-+xxdyy xdx 2212210)(;解 积分区域D 如图所示. 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ212122102)(12t a n s e c 40t a ns e c 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d .(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解 积分区域D 如图所示. 因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a ad d dx y x dy θρρρ2022022)(40028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰.14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以⎰⎰⎰⎰=+DDy x d d e d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ. (2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12l n 2(41)12l n 2(212)1l n (20102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd x yDarctan ⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xyθρρθθρρθσ)arctan(tan arctan⎰⎰⋅=021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d . 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)dxdy yx D 22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y xx y x D ≤≤≤≤=, 所以d x d y yx D 22⎰⎰dy y dx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=.(2)⎰⎰++--Dd yx y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DD d d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y }, 所以⎰⎰+D d y x σ)(22⎰⎰-+=a a ya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay a a =+-=⎰.(4)σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}.解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d b a -==⎰⎰πθπ.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.解 区域如图所示. 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以所求质量⎰⎰⎰⎰⋅==Dd d d y x M 20202),(πθρρρθσμ⎰==254404ππθθd .17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }.⎰⎰--=D dxdy y x R V 222k R d R d k Ra r c t a n313a r c t a n 0022=-=⎰⎰ρρρθ. 18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y xV 22)(22πθθρρρθππθππ422c o s22442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--. 习题9-31. 化三重积分dxdydz z y x f I ),,(Ω⎰⎰⎰=为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dz z y x f dy dx I 01010),,(.(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx I .(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域;解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I .提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2-x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0), 12222=+by a x , z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a b y c xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω,于是 ⎰⎰⎰-=xy abdz z y x f dy dx I x a a0),,(22.提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z =xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x .3. 如果三重积分dxdydz z y x f ),,(Ω⎰⎰⎰的被积函数f (x , y , z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmldcb a dz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321.证明dxdydz z f y f x f )()()(321Ω⎰⎰⎰dx dy dz z f y f x f b a d c ml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c ml ]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=mldcbadx dy y f dz z f x f )])()()()([(231 dx x f dy y f dz z f b a mldc)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=dcbamldx x f dy y f dz z f )())()()((123 ⎰⎰⎰=dcmlbadz z f dy y f dx x f )()()(321.4. 计算dxdydz z xy 32Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =xy , 与平面y =x , x =1和z =0所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 于是d x d y d z z xy 32Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰=xy x dz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[ ⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x .5. 计算3)1(z y x dxdydz+++Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的四面体. 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1},于是 3)1(z y x d x d y d z +++Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[)852(l n 21-=.提示: ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 1010210])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=1010]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=.6. 计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是x y z d x d y d Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=222101010x y x x y z d zdy dx ⎰⎰---=210221)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=.7. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1}, 于是x z d x d y d z Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=yx z d z dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx0)1(61116=-=⎰-dx x x .8. 计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由锥面22y x R h z +=与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z :222)(z hR y x =+, 故D z的半径为z h R , 面积为222z h R π, 于是 z d x d y d z Ω⎰⎰⎰=dxdy zdz zD h ⎰⎰⎰0⎰==h h R dz z h R 0223224ππ. 9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)zdv Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面222y x z --=及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ-≤≤z , 于是z d v Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=122022ρρπρρθz d z d d⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d .(2)dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域.解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤z ρ, 于是dv y x)(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=2123202ρπρρθdz d d ⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d .10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)dv z y x )(222++Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是 dv z y x )(222++Ω⎰⎰⎰θϕϕd d r d r s i n 4⋅=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰=104020s i n dr r d d ππϕϕθπ54=.(2)zdv Ω⎰⎰⎰, 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z -a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2 所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 z d v Ω⎰⎰⎰θϕϕϕd d r d r r s i n c o s 2⋅=Ω⎰⎰⎰ ⎰⋅=404)c o s 2(41c o s s i n 2πϕϕϕϕπd a4405467c o s si n 8a d a πϕϕϕππ==⎰.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)xydv Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ,于是 x y d v Ω⎰⎰⎰dz d d θρρθρθρ⋅⋅=Ω⎰⎰⎰sin cos⎰⎰⎰==101032081c o s s i n dz d d ρρθθθπ.别解: 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωx y d v ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x y d yx d x⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x . (2)dv z y x 222++Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域;解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθc o s 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r ,于是dv z y x 222++Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθc o s22020s i n dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d .(3)dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ,于是dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰=5252320ρπρρθdz d d πρρρπ8)255(2203=-=⎰d . (4)dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰, 其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为A r a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ,于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰θϕϕθϕϕϕd d r d r r r s i n )s i n s i n c o s s i n(2222222+=Ω⎰⎰⎰)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6-x 2-y 2及22y x z +=;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6-ρ2,于是 dz d d dv V θρρΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd .(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为ϕπϕπθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 θϕϕd d r d r dv V sin 2ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎰⎰⎰=ϕππϕϕθc o s2024020si n a dr r d d3033s i n c o s 382a d a πϕϕϕππ==⎰. (3)22y x z +=及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V .(4)225y x z --=及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z ,于是 ⎰⎰⎰-=225412020ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd .13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ. 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 dv z y x k M 222++=Ω⎰⎰⎰400220s i n R k dr r kr d d Rπϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰.习题9-41. 求球面x 2+y 2+z 2=a 2含在圆柱面x 2+y 2=ax 内部的那部分面积. 解 位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的.由曲面方程z =222y x a --得222y x a x x z ---=∂∂, 222y x a y y z ---=∂∂,于是 dxdy yz x z A axy x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=2222)()(12dxdy yx a a axy x ⎰⎰≤+--=222222⎰⎰-=20c o s2214πθρρρθa d a d a )2(2)s i n(4220-=-=⎰πθθπa d a a a . 2. 求锥面z =22y x +被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面的面积.解 由z =22y x +和z 2=2x 两式消z 得x 2+y 2=2x , 于是所求曲面在xOy 面上的投影区域D 为x 2+y 2≤2x .由曲面方程22y x +得22y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 于是 dxdy yz x z A y x ⎰⎰≤+-∂∂+∂∂+=1)1(2222)()(1π221)1(22==⎰⎰≤+-dxdy y x .3. 求底面半径相同的两个直交柱面x 2+y 2=R 2及x 2+z 2=R 2所围立体的表面积. 解 设A 1为曲面22x R z -=相应于区域D : x 2+y 2≤R 2上的面积. 则所求表面积为A =4A 1.d x d y y z x z A D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(14d x d yx R x D⎰⎰+--+=22220)(14 d x d y x R R D⎰⎰-=2242221681422R dx R dy x R dx R R R R R x R x R ==-=⎰⎰⎰-------. 4. 设薄片所占的闭区域D 如下, 求均匀薄片的质心:(1)D 由px y 2=, x =x 0, y =0所围成;解 令密度为μ=1.因为区域D 可表示为px y x x 20 ,00≤≤≤≤, 所以 3002023220px dx px dy dx dxdy A x x px D====⎰⎰⎰⎰⎰, 0002053211100x dx px x A xdy dx A xdxdy A x x x px D====⎰⎰⎰⎰⎰,000208311100y p x d x A y d y dx A ydxdy A y x x px D====⎰⎰⎰⎰⎰,所求质心为)83 ,53(00y x(2)D 是半椭圆形闭区域}0 ,1 |),{(2222≥≤+y by a x y x ; 解 令密度为μ=1. 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以0=x . ab dxdy A Dπ21==⎰⎰(椭圆的面积),π34)(21112222022b dx x a a b A ydy dx A ydxdy A y aa aa x a Dab=-⋅===⎰⎰⎰⎰⎰---, 所求质心为)34 ,0(πb .(3)D 是介于两个圆r =a cos θ, r =b cos θ(0<a <b )之间的闭区域. 解 令密度为μ=1. 由对称性可知0=y . )(4)2()2(2222a b a b d x d y A D-=-==⎰⎰πππ(两圆面积的差),)(2c o s 212220c o s c o s b a ab b a dr r r d A xdxdy A x b a D+++=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰πθθθθ, 所求质心是)0 ,)(2(22b a ab b a +++. 5. 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y =x 2及直线y =x 所围成, 它在点(x , y )处的面密度μ(x , y )=x 2y , 求该薄片的质心.解 351)(21),(10641022=-===⎰⎰⎰⎰⎰dx x x ydy x dx dxdy y x M x x Dμ4835)(2111),(110751032=-===⎰⎰⎰⎰⎰dx x x M ydy x dx M dxdy y x x M x x x Dμ,5435)(3111),(1108510222=-===⎰⎰⎰⎰⎰dx x x M dy y x dx M dxdy y x y M y x x Dμ,质心坐标为)5435 ,4835(. 6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a , 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心.解 建立坐标系, 使薄片在第一象限, 且直角边在坐标轴上. 薄片上点(x , y )处的函数为μ=x 2+y 2. 由对称性可知y x =.4022061)(),(a dy y x dx dxdy y x M xa a D=+==⎰⎰⎰⎰-μ,a dy y x xdx M dxdy y x x M y x xa a D52)(1),(10220=+===⎰⎰⎰⎰-μ,薄片的质心坐标为)52 ,52(a a .7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度ρ=1): (1)z 2=x 2+y 2, z =1;解 由对称性可知, 重心在z 轴上, 故0==y x . π31==⎰⎰⎰Ωdv V (圆锥的体积),431120101===⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπθr zdz rdr d V zdv V z ,所求立体的质心为)43 ,0 ,0(. (2)222y x A z --=, 222y x a z --=(A >a >0), z =0; 解 由对称性可知, 重心在z 轴上, 故0==y x .)(3232323333a A a A dv V -=-==⎰⎰⎰Ωπππ(两个半球体体积的差),)(8)(3c o s s i n 1c o s s i n 133442000332a A a A dr r d d V d drd r V z A --===⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωππϕϕϕθθϕϕϕ, 所求立体的质心为))(8)(3 ,0 ,0(3344a A a A --.(3)z =x 2+y 2, x +y =a , x =0, y =0, z =0.解 ⎰⎰⎰-+=a xa y x dz dy dx V 0022⎰⎰-+=a xa dy y x dx 022)(⎰-+-=adx x a x a x 032])(31)([461a =,⎰⎰⎰Ω=x d v V x 1a a a dz dy xdx V axa y x 526115114500022===⎰⎰⎰-+,a x y 52==,⎰⎰⎰Ω=z d v V z 1⎰⎰⎰-+=a x a y x z d zdy dx V 0002212307a =, 所以立体的重心为)307,52,52(2a a a .8. 设球体占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤2Rz }, 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心.解 球体密度为ρ=x 2+y 2+z 2. 由对称性可知质心在z 轴上, 即0==y x . 在球面坐标下Ω可表示为: ϕπϕπθcos 20 ,20 ,20R r ≤≤≤≤≤≤, 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅==Ωππϕϕϕθρ2020cos 2022sin R dr r r d d dv M⎰=2055c o s s i n 5322πϕϕϕπd R 51532R π=,⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==ππϕϕϕϕθρ2020cos 205cos sin 11R dr r d d M zdv Mz R r R d R M 45153238cos sin 6642562076===⎰ππϕϕϕππ,故球体的质心为)45 ,0 ,0(R .9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D 如下, 求指定的转动惯量:(1)}1 |),{(2222≤+=by a x y x D , 求I y ; 解 积分区域D 可表示为22 ,x a ab y x a a b a x a -≤≤--≤≤-,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰------===a a x a a bx a ab aaDy dx x a x a b dy dx x dxdy x I 2222222222b a 341π=. 提示: 4202422282sin 2 sina tdt a t a x dx x a x aa ππ==-⎰⎰-. (2)D 由抛物线x y 292=与直线x =2所围成, 求I x 和I y ;解 积分区域可表示为2/32/3 ,20x y x x ≤≤-≤≤,于是 57222273220232/32/32202====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x dy y dx dxdy y I Dx x x , 796262252/32/3222====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x dy dx x dxdy x I Dx x y . (3)D 为矩形闭区域{(x , y )|0≤x ≤a , 0≤y ≤b }, 求I x 和I y .解 331330202ab b a dy y dx dxdy y I Db a x =⋅===⎰⎰⎰⎰,331330022b a b a dy dx x dxdy x I Dba y =⋅===⎰⎰⎰⎰.10. 已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b 和h , 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.。
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。
解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。
证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。
3. 设映射f : X Y, A X, B X。
证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。
4。
设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。
证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等代数与解析几何同济答案【篇一：大学所有课程课后答案】资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料【数学】ooooooooooooooooo习题答案oooooooooooooooooooo【计算机/网络/信息】 oooo【经济/金融/营销/管理/电子商务】 oooooooooooo【ooooo【篇二：各门课程课后答案】式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）[word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎）[pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印[word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版）[word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版）[jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版）[pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版）[word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版）[word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版）[word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）[word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[pdf格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版）[word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版）[word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽）[pdf格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）[jpg格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）[pdf格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式[word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案[word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答[pdf格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案[word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案[word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版）化学物理[word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版）[word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武）[word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[pdf格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原着）[word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版）[word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）[pdf格式]《化工热力学》习题与习题答案（含各种版本）[word格式]《材料力学》习题答案[word格式]《量子力学导论》习题答案（曾谨言版，北京大学）[pdf格式]《理论力学》习题答案（动力学和静力学）[word格式]《大学物理》完整习题答案[ppt格式]流体输配管网习题详解（重点）[pdf格式]《结构化学基础》习题答案（周公度，北大版）[pdf格式]《物理化学》习题答案与课件集合（南大）[word格式]《传热学》课后习题答案（第四版）[word格式]《控制电机》习题答案[pdf格式]《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）[pdf格式]《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）[pdg格式]《工程电磁场导论》习题详解[pdf格式]《材料力学》习题答案（单辉祖，北京航空航天大学）[word格式]《热工基础》习题答案（张学学主编，第二版，高等教育出版社）[word格式]《大学物理实验》实验题目参考答案（第2版，中国林业出版社）[word格式]《大学物理基础教程》课后习题答案（第二版，等教育出版社）[word格式]《水力学》习题答案（李炜，徐孝平主编，武汉水利电力大学出版社）[pdf格式]《普通物理学教程电磁学》课后习题答案（梁灿斌，第2版）[word格式]《激光原理与激光技术》习题答案完整版（北京工业大学出版社）[word格式]《固体物理》习题解答（阎守胜版）[ppt格式]《仪器分析》课后答案（第三版，朱明华编）[word格式]《高分子化学》习题答案（第四版）[pdf格式]《物理化学》习题答案（南大，第五版）[ppt格式]《高频电子线路》习题参考答案（第四版）[pdf格式]《原子物理学》习题答案（褚圣麟版）[ppt格式]《分析力学》习题答案[word格式]《分析化学》习题答案（第三版，上册，高教版）[ppt格式]《普通物理》习题答案（磁学，电学，热学）[pdf格式]《材料力学》课后习题答案（单辉祖，第二版，高教出版社）[word格式]《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）[word格式]《分析化学》习题解答[word格式]《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）[word格式]《大学物理学》习题解答[pdf格式]《电动力学》习题答案（第三版，郭硕宏）[pdf格式]《大学物理》课后答案（陈信义）上下册的[pdf格式]《数学物理方法》(第三版)习题答案[jpg格式]《普通化学（第五版）》习题详解（配套浙大编的）[pdf格式]《光学》习题答案及辅导（赵凯华）[pdf格式]《工程光学》习题答案[pdf格式]《材料力学》详细习题答案及辅导（第四版，刘鸿文）[pdf格式]《电磁场与电磁波》（第4版）习题答案及自学辅导[pdf格式]《量子力学教程》习题解答（周世勋版）[word格式]《流体力学》习题答案[pdf格式]《有机化学》课后习题答案（胡宏纹，第三版）[word格式]《有机化学》习题答案（汪小兰主编）[word格式]《化工热力学》习题及详细解答[pdf格式]《工程热力学》课后全解（第三版，沈维道编，高教版）[pdf格式]《理论力学》课后习题答案[word格式]自动控制原理习题集（自学辅导推荐）[pdf格式]《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）[pdf格式]大学物理习题及答案[pdf格式]《物理学》习题分析与解答（马文蔚主编，清华大学，第五版）[pdf格式]《电机与拖动基础》课后习题答案（第四版，机械工业出版社，顾绳谷主编）[word格式]《土力学》习题解答/课后答案[pdf格式]《数学物理方法》习题解答案详细版（梁昆淼，第二版）[pdf格式]《传热学》课后答案（杨世铭，陶文铨主编，高教版）[pdf格式]《材料力学》详细辅导及课后答案（pdf格式，共642页）[word格式]大学物理实验绪论课指导书及参考答案[word格式]《大学基础物理学》课后答案（共16个单元）[pdf格式]流体力学课后答案(高教版，张也影，第二版)[pdf格式]程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导电子信息[pdf格式]《数字通信》习题答案（第四版，proakis）[pdf格式]《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）[word格式]《基础电子技术》习题解答（哈工大，蔡惟铮）[word格式]《微机原理及应用》习题答案[ppt格式]《通信电路》课后习题答案（沈伟慈，西安电子科技大学出版社）[jpg格式]《信号与系统》习题答案详解（郑君莉，清华大学，牛逼完整版）[ppt格式]《电路分析》习题答案（第2版，高等教育出版社，胡翔俊）[word格式]《热工测量与自动控制》习题及答案[pdf格式]《信息论与编码》学习辅导及习题详解（傅祖芸版）[pdf格式]《电工学——电子技术》习题答案（下册）[pdf格式]《数字逻辑电路与系统设计》习题答案[word格式]《数字电路与逻辑设计》课后习题答案，讲解详细[word格式]《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）[pdf格式]《数字信号处理》完整习题答案（程佩青，英文版）[word格式]《微机原理》作业答案（李继灿版）[word格式]《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案[pdf格式]《数字电子技术基础》课后习题答案（完整答案版）[word格式]《电子线路-非线性部分》课后答案（谢嘉奎高等教育出版社）[word格式]《通信原理》习题答案[pdf格式]《电路分析》课后答案及学习指导（第二版，胡翔骏，高教版）[pdf格式]《数字信号处理——基于计算机的方法》习题答案（第二版）[pdf格式]《数字电子技术基础》详细习题答案（阎石第四版）[word格式]《测控电路》习题答案（机械出版社）[word格式]《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）[word格式]《单片机及接口技术》课后答案（梅丽凤，王艳秋，清华大学出版社）[pdf格式]《电路》习题答案上（邱关源，第五版）[ppt格式]《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社）[pdf格式]《电子电路分析与设计》课后题答案（英文版）[pdf格式]《电力电子技术》习题答案（第4版，西安交通大学）[word格式]《自动控制原理》课后题答案（卢京潮主编，西北工业大学出版社）[word格式]《控制工程基础》课后习题解答（清华版）[word格式]《控制工程基础》习题答案（第二版，燕山大学）[ppt格式]《自动控制原理》习题答案[swf格式]《微电子器件与ic设计》习题答案（科学出版社）[pdf格式]《电力拖动自动控制系统》习题答案[pdf格式]《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）[word格式]《数字信号处理》习题答案[pdf格式]《信号与系统》习题及精解[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（于慧敏着）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（西安电子科技大学）[word格式]电子技术数字和模拟部分答案（第四版，康华光）[word格式]《信息论与编码》习题答案(高等教育出版社)仇佩亮编[pdf格式]《现代控制系统》答案（英文版）730页[pdf格式]《数字电子技术》课后习题答案详解（阎石，第四版）[pdf格式]《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）[pdf格式]《信号与系统》习题详解（奥本海姆版）[pdf格式]《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版） [word格式]《信号与系统》习题解析（燕庆明，第3版）非常详细[word格式]《ibm-pc汇编语言》课后习题答案[pdf格式]《数字信号处理教程》习题解答（第二版）[pdf格式]《数字信号处理》课后答案及详细辅导（丁美玉，第二版）[word格式]《现代通信原理》习题答案（曹志刚版）[word格式]《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）[word格式]《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版）[word格式]《单片机原理及应用》课后习题答案（张毅刚主编，高教版）[word格式]《数字逻辑》（第二版）习题答案（欧阳明星主编）[ppt格式]《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）[pdf格式]《数字逻辑》第四版习题答案法学政治[pdf格式]《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）[word格式]《公司法》课后练习及参考答案[word格式]《国际经济法》课后参考答案[word格式]思想道德修养与法律基础课后习题答案[word格式]《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》习题答案（2008年修订版的）[word格式]《马克思主义基本原理概论》新版完整答案文学历史[pdf格式]《语言学概论》习题答案(自考,新版教材)[pdf格式]《语言学概论练习题》答案[pdf格式]《语言学教程》课后答案[word格式]《传播学教程》课后答案（郭庆光主编，完整版）[word格式]现代汉语题库（语法部分）及答案[word格式]《中国近代史纲要》课后习题答案[word格式]《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）[word格式]《中国近代史纲要》完整课后答案（高教版）数学应用[word格式]高等数学习题答案及提示[pdf格式]《线性代数》习题答案（魏福义，黄燕苹，中国农业出版社）[word格式]《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）[word格式]《线性代数》9套习题+9套相应答案（自学，复习推荐）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题册答案（四川大学版）[pdf格式]《近世代数基础》习题解答（张瑞禾版，高教版）[word格式]《数值分析）大作业（详细，英文版）[pdf格式]《算法导论》课后习题答案（英文版）[word格式]《概率论》完整习题答案（李贤平，复旦版）[word格式]《概率论与数理统计》课后习题解答（东南大学出版社）[pdf格式]《数学分析》完整习题答案（第二版，陈传璋编，复旦大学高等教育出版社）[pdf格式]《概率论与数理统计》优秀学习资料[word格式]《概率论与数理统计及其应用》课后答案（浙江大学盛骤谢式千编着）[word格式]《常微分方程》习题解答（王高雄版）[pdf格式]《泛函分析》习题解答（张恭庆版）[word格式]《线性代数》课后习题答案（陈维新，科学出版社）[pdf格式]《高等代数与解析几何》习题答案（同济大学）[pdf格式]《运筹学（第三版）》讲解和习题答案（清华大学出版社） [pdf格式]《复变函数》习题答案（第四版）[pdf格式]《理工类复习全书》课后答案详解（陈文灯）[pdf格式]《积分变换》习题答案（配套东南大学张元林编的）[word格式]《离散数学》习题答案（高等教育出版社）[word格式]《线性代数》习题解答（王中良）[word格式]工程数学《概率统计简明教程》习题全解（高教版）[word格式]《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题详解（浙大二、三版通用）[pdf格式]《复变函数与积分变换》习题答案[ppt格式]高等数学上下《习题ppt》[ppt格式]《概率论与数理统计》习题答案[word格式]离散数学习题解答（第四版）清华大学出版社[word格式]《统计学》课后答案（第二版，贾俊平版）[word格式]《教育统计学》课后练习参考答案（共有12章）[pdf格式]高等数学（同济第五版）课后答案（pdf格式，共495页） [pdf格式]《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）[pdf格式]统计学原理作业及参考答案[pdf格式]大学数学基础教程课后答案（微积分）医药农学[pdf格式]《遗传学》课后习题答案（朱军主编，完整版）[pdf格式]《普通动物学》完整课后答案（刘凌云,郑光美版）[word格式]《动物学》习题集与答案（资料相当丰富）[pdf格式]《畜禽解剖学与组织胚胎学》习题答案参考[pdf格式]《微生物学》课后习题答案（周德庆版）【篇三：kehoudaanhuizong】的日志经济金融[pdf格式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页）[word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎）[pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印[word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版）[word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版）[jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版）[pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版）[word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版）[word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版）[word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）[word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[pdf格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版）[word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版）[word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽）[pdf格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）[jpg格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版）[pdf格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式[word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案[word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答[pdf格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案[word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案[word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版）化学物理[word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版）[word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武）[word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[pdf格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原着）[word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版）[word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）[pdf格式]《化工热力学》习题与习题答案（含各种版本）[word格式]《材料力学》习题答案[word格式]《量子力学导论》习题答案（曾谨言版，北京大学）[pdf格式]《理论力学》习题答案（动力学和静力学）[word格式]《大学物理》完整习题答案[ppt格式]流体输配管网习题详解（重点）[pdf格式]《结构化学基础》习题答案（周公度，北大版）[pdf格式]《物理化学》习题答案与课件集合（南大）[word格式]《传热学》课后习题答案（第四版）[word格式]《控制电机》习题答案[pdf格式]《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）[pdf格式]《工程力学》课后习题答案（梅凤翔主编）[pdg格式]《工程电磁场导论》习题详解[pdf格式]《材料力学》习题答案（单辉祖，北京航空航天大学）[word格式]《热工基础》习题答案（张学学主编，第二版，高等教育出版社）[word格式]《大学物理实验》实验题目参考答案（第2版，中国林业出版社）[word格式]《大学物理基础教程》课后习题答案（第二版，等教育出版社）[word格式]《水力学》习题答案（李炜，徐孝平主编，武汉水利电力大学出版社）[pdf格式]《普通物理学教程电磁学》课后习题答案（梁灿斌，第2版）[word格式]《激光原理与激光技术》习题答案完整版（北京工业大学出版社）[word格式]《固体物理》习题解答（阎守胜版）[ppt格式]《仪器分析》课后答案（第三版，朱明华编）[word格式]《高分子化学》习题答案（第四版）[pdf格式]《物理化学》习题答案（南大，第五版）[ppt格式]《高频电子线路》习题参考答案（第四版）[pdf格式]《原子物理学》习题答案（褚圣麟版）[ppt格式]《分析力学》习题答案[word格式]《分析化学》习题答案（第三版，上册，高教版）[ppt格式]《普通物理》习题答案（磁学，电学，热学）[pdf格式]《材料力学》课后习题答案（单辉祖，第二版，高教出版社）[word格式]《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）[word格式]《分析化学》习题解答[word格式]《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）[word格式]《大学物理学》习题解答[pdf格式]《电动力学》习题答案（第三版，郭硕宏）[pdf格式]《大学物理》课后答案（陈信义）上下册的[pdf格式]《数学物理方法》(第三版)习题答案[jpg格式]《普通化学（第五版）》习题详解（配套浙大编的）[pdf格式]《光学》习题答案及辅导（赵凯华）[pdf格式]《工程光学》习题答案[pdf格式]《材料力学》详细习题答案及辅导（第四版，刘鸿文） [pdf格式]《电磁场与电磁波》（第4版）习题答案及自学辅导[pdf格式]《量子力学教程》习题解答（周世勋版）[word格式]《流体力学》习题答案[pdf格式]《有机化学》课后习题答案（胡宏纹，第三版）[word格式]《有机化学》习题答案（汪小兰主编）[word格式]《化工热力学》习题及详细解答[pdf格式]《工程热力学》课后全解（第三版，沈维道编，高教版） [pdf格式]《理论力学》课后习题答案[word格式]自动控制原理习题集（自学辅导推荐）[pdf格式]《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）[pdf格式]大学物理习题及答案[pdf格式]《物理学》习题分析与解答（马文蔚主编，清华大学，第五版）[pdf格式]《电机与拖动基础》课后习题答案（第四版，机械工业出版社，顾绳谷主编）[word格式]《土力学》习题解答/课后答案[pdf格式]《数学物理方法》习题解答案详细版（梁昆淼，第二版）[pdf格式]《传热学》课后答案（杨世铭，陶文铨主编，高教版）[pdf格式]《材料力学》详细辅导及课后答案（pdf格式，共642页） [word格式]大学物理实验绪论课指导书及参考答案[word格式]《大学基础物理学》课后答案（共16个单元）[pdf格式]流体力学课后答案(高教版，张也影，第二版)[pdf格式]程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导电子信息[pdf格式]《数字通信》习题答案（第四版，proakis）[pdf格式]《信号与系统》习题答案（第四版，吴大正）[word格式]《基础电子技术》习题解答（哈工大，蔡惟铮）[word格式]《微机原理及应用》习题答案[ppt格式]《通信电路》课后习题答案（沈伟慈，西安电子科技大学出版社）[jpg格式]《信号与系统》习题答案详解（郑君莉，清华大学，牛逼完整版）[ppt格式]《电路分析》习题答案（第2版，高等教育出版社，胡翔俊）[word格式]《热工测量与自动控制》习题及答案[pdf格式]《信息论与编码》学习辅导及习题详解（傅祖芸版）[pdf格式]《电工学——电子技术》习题答案（下册）[pdf格式]《数字逻辑电路与系统设计》习题答案[word格式]《数字电路与逻辑设计》课后习题答案，讲解详细[word格式]《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）[pdf格式]《数字信号处理》完整习题答案（程佩青，英文版）[word格式]《微机原理》作业答案（李继灿版）[word格式]《通信原理》课后习题答案及每章总结（樊昌信，国防工业出版社，第五版）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案[pdf格式]《数字电子技术基础》课后习题答案（完整答案版）[word格式]《电子线路-非线性部分》课后答案（谢嘉奎高等教育出版社）[word格式]《通信原理》习题答案[pdf格式]《电路分析》课后答案及学习指导（第二版，胡翔骏，高教版）[pdf格式]《数字信号处理——基于计算机的方法》习题答案（第二版）[pdf格式]《数字电子技术基础》详细习题答案（阎石第四版）[word格式]《测控电路》习题答案（机械出版社）[word格式]《电力电子技术》习题答案（第四版，王兆安，王俊主编）[word格式]《单片机及接口技术》课后答案（梅丽凤，王艳秋，清华大学出版社）[pdf格式]《电路》习题答案上（邱关源，第五版）[ppt格式]《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社）[pdf格式]《电子电路分析与设计》课后题答案（英文版）[pdf格式]《电力电子技术》习题答案（第4版，西安交通大学）[word格式]《自动控制原理》课后题答案（卢京潮主编，西北工业大学出版社）[word格式]《控制工程基础》课后习题解答（清华版）[word格式]《控制工程基础》习题答案（第二版，燕山大学）[ppt格式]《自动控制原理》习题答案[swf格式]《微电子器件与ic设计》习题答案（科学出版社）[pdf格式]《电力拖动自动控制系统》习题答案[pdf格式]《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）[word格式]《数字信号处理》习题答案[pdf格式]《信号与系统》习题及精解[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（于慧敏着）[pdf格式]《信号与系统》课后习题答案（西安电子科技大学）[word格式]电子技术数字和模拟部分答案（第四版，康华光）[word格式]《信息论与编码》习题答案(高等教育出版社)仇佩亮编[pdf格式]《现代控制系统》答案（英文版）730页[pdf格式]《数字电子技术》课后习题答案详解（阎石，第四版）[pdf格式]《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）[pdf格式]《信号与系统》习题详解（奥本海姆版）[pdf格式]《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）[word格式]《信号与系统》习题解析（燕庆明，第3版）非常详细[word格式]《ibm-pc汇编语言》课后习题答案[pdf格式]《数字信号处理教程》习题解答（第二版）[pdf格式]《数字信号处理》课后答案及详细辅导（丁美玉，第二版）[word格式]《现代通信原理》习题答案（曹志刚版）[word格式]《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版）[word格式]《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版）[word格式]《单片机原理及应用》课后习题答案（张毅刚主编，高教版）[word格式]《数字逻辑》（第二版）习题答案（欧阳明星主编）[ppt格式]《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）[pdf格式]《数字逻辑》第四版习题答案法学政治[pdf格式]《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）[word格式]《公司法》课后练习及参考答案[word格式]《国际经济法》课后参考答案[word格式]思想道德修养与法律基础课后习题答案[word格式]《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》习题答案（2008年修订版的）[word格式]《马克思主义基本原理概论》新版完整答案文学历史[pdf格式]《语言学概论》习题答案(自考,新版教材)[pdf格式]《语言学概论练习题》答案[pdf格式]《语言学教程》课后答案[word格式]选修课《中国现当代文学》资料包[word格式]《传播学教程》课后答案（郭庆光主编，完整版）[word格式]现代汉语题库（语法部分）及答案[word格式]《中国近代史纲要》课后习题答案[word格式]《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）[word格式]《中国近代史纲要》完整课后答案（高教版）数学应用[word格式]高等数学习题答案及提示[pdf格式]《线性代数》习题答案（魏福义，黄燕苹，中国农业出版社）[word格式]《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）[word格式]《线性代数》9套习题+9套相应答案（自学，复习推荐）[pdf格式]《概率论与数理统计》习题册答案（四川大学版）。