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浙教版九年级上册 相似三角形综合测试题

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浙教九年级数学《相似三角形》综合训练题(难度0.4,含答案)

浙教九年级数学《相似三角形》综合训练题(难度0.4,含答案)

浙教九年级数学《相似三角形》综合训练题(难度系数0．4左右)一、选择题（每小题3分，共30分）1．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB =2（AC ＞BC ），则AC 等于（ ） A ．15- B ．53- C ．15+ D ．15-或15+ 2．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ，要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于( )A ．c a 2B ． a b 2C ．cab D ．c b 23．如图，在☐ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于（ ）A ．3∶2B ．3∶1C ．1∶D ．1∶24．如图，P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ） A ．∠ABP ＝∠C B ．∠APB ＝∠ABC C ．AC AB AB AP = D ．CBACBP AB =5．如图，△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则 CD 长为（ ）A ．1B ．23 C ．2 D ．256．如图，在☐ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG =2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH =（ ）第2题图 第3题图 第4题图 第5题图A．3 B．4 C．5 D．67．如图，△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=8，BC=6，EF=2，则BN的长度为（）A．38B．516C．724D．278．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点C，连接DG，BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②EG=10；③BG=2AG；④△EBF∽△DEG，其中所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（）A．△AED与△ACB B．△AEB与△ACD C．△BAE与△ACE D．△AEC与△DAC 10．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：①AE=21CF；②ED2=EP•EB；③△PFD∽△PDB；④∠BPD=135°，其中正确的是（）A．①②③④B．②③B．C．①②④D．①③④第6题图第7题图第8题图第9题图二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，DE是△ABC的中位线，CD、BE交于点F，若△DEF面积是1，则△BCF的面积是．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE=2EB，S△AFD=9，则S△EFC等于．13．如图1，△ABC是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC，将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．若用这4张纸条刚好可以为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，则正方形美术作品与镶边后的作品的面积之比为．14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），直线434+=xy与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为．15.如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE上．若BE=9，则小正方形EFGH的边长．16．如图，点B1在直线l：xy21=上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长第11题图第11题图第13题图第14题图第15题图第16题图B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）．三、解答题：（7小题，共52分）17．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且BE ：CE =1：2，AE 交BD 于点F ，求： （1)求DFBD的值；（2）△BEF 与△DAF 的周长比、面积的比．18．（6分）如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB =6cm ，CD =4cm ，BD =14cm ，点P 在BD 上由点B 向点D 方向移动，当点P 移到离点B 多远时，△APB 和△CPD 相似？19．（6分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边 AB ，AC 上的点，连接 DE ，且∠ADE ＝∠ACB ． （1） 求证：△ADE ∽△ACB ；（2） 如果 E 是 AC 的中点，AD ＝8，AB ＝10，求 AE 的长．20．（8分）如图，在等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 边上的动点，∠EDF ＝60°． （1） 求证：△BDE ∽△CFD ；（2） 当 BD ＝1，CF ＝3 时，求 BE 的长．21．（8分）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2＝AB •AD ； （2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD ＝4，AB ＝6，求AFAC的值．22．（8分）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD =4，DE =5，求DM 的长．23．（8分）请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．17．（1）在平行四边形ABCD 中 AD =BC ，AD ∥BC ∴△BEF ∽△ADF ， ∴DF BFAD BE =， 又∵BE ：CE =1：2 ∴34=DF BD ． （2）∵△BEF ∽△DAF∴周长之比为31， ∴面积之比为119．（1）∵∠ADE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ；（2）由（1）可知：△ADE ∽△ACB ， ∵点 E 是 AC 的中点，设 AE ＝x ， ∴AC ＝2AE ＝2x ，22．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE．∴∠CBD=∠BDE．∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°．∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD=AD=4，AB=BC．∵DE=5，∴CE=3，EF=DE=5．∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5．∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．∴AB=8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴ME=4．∴DM=DE﹣EM=1．23．解：（1）证明：连结BC，交OD于点H，（如图1）∵，∴OD⊥BC，即∠OHB=90°，∵弦AC与半径OD平行，∴∠ACB=∠OHB=90°，∴弦AB是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）；（2）如图2，连结AD，BD，连结BC交OD于点H，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =∠ADB =90°， ∵弦AC 与半径OD 平行， ∴∠ACB =∠OHB =90°， ∴OD ⊥BC ， ∴，∴CD =BD =x ，∴∠DBC =∠DAB ， ∴△DBH ∽△DAB ， ∵O 是AB 的中点，∴OH 是△ABC 的中位线， ∴OH =21AC =21y ， ∴DH =OD ﹣OH =r ﹣21y ， 即rx x y r 221=-， 化简得：rx r y 22-=．。

浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(配有卷)

浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(配有卷)

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC 上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：① ；②连接，，则为直角三角形；③ ；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.14、如图，在中，，则DF的长为（）A.4B.C.D.35、如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG 分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A. B. C. D.6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1， l2， l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（）A. B. C.10 D.67、如图，已知l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，直线DF分别交l1、l2、l3于D，E，F，DE=4，EF=6，AB=5，则BC的长为（）A. B. C. D.8、如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B.2 C. D.9、如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A. B. C. D.10、两相似三角形的周长之比为1：4，那么他们的对应边上的高的比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D. ∶211、如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为( )A. B. C. D.12、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A.3S1=2S2B.2S1=3S2C.2S1= S2D. S1=2S213、如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1， 12交于点A，B，C，D，E，F，直线11， l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A. B. C. D.14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（）A. B. C.2 D.315、如图，⊙O的直径为6，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，P在半圆上运动，CP⊥CD交PB的延长线于D点．当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大为（）A.36B.24C.18D.12二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，作EF⊥AE交正方形的外角平分线于点F，连接AF，交CD于点H，连接EH.若AB＝4，则EH的长为________.17、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是________.18、如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝________.19、如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为________．20、若a：b：c=3：2：5，则=________．21、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，已知点A的坐标为（1，2），则点C的坐标是________．22、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 的坐标为________ ．23、我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步。

浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)

浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC =　cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有　　．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形综合训练题B卷附详细解析

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形综合训练题B卷附详细解析

第四章 相似三角形单元测试 B一、选择题1﹒若 y ＝ 3 ，则xy的值为（）x4xA.1B.45 77C.D.442﹒已知 a ＝ b ＝ c ＝ k ，则抛物线 y ＝ kx 2 +2kx 的极点坐标为（）bca ca bA.（－1，－ 1）B.（1，－ 1）C.（－ 1， 1）D.（1， 1）22223﹒以下各组图形不必定相似的是（）A. 两个等腰直角三角形B.各有一个角是 100 °的两个等腰三角形C.两个矩形D.各有一个角是 50°的两个直角三角形4﹒如图，每个小正方形的边长均为1，则以下图中的三角形（暗影）与左图中△ABC 相似的是（ ）A. B. C. D.5﹒如图， △ ABC 中， P 为 AB 上一点，在以下四个条件中：①∠ACP ＝∠ B ；②∠ APC ＝∠ ACB ；③ AC 2＝ APAB ；④ AB CP ＝ AP CB ，能满足 △ ACP 与 △ ACB 相似的条件是 （ ）A. ①②③B. ①③④C.②③④D.①②④第5题图 第6题图 第7题图 第 8 题图6﹒如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36°，BD 均分∠ ABC 交 AC 于点 D ，若 AC ＝ 2，则AD 的长是（）51 51C.51D.5 1A.B.227﹒如图，在△ ABC 中，点D 、E 、F 分别在边 AB 、 AC 、 BC 上，且 DE ∥ BC ，EF ∥ AB.若AD＝ 2BD，则CF的值为（）BF1112A. B. C. D.23438﹒如图，点 F 是平行四边形ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线与点E，则下列结论错误的选项是（）A.ED＝DFB.DE＝EFC.BC＝BFD.BF＝BCEA AB BC FB DEBE BE AE9﹒如图， AB∥ CD∥EF ，AC 与 BD 订交于点 E，若 CE＝ 5，CF ＝ 4， AE＝BC，则CD的值AB是（）2111A. B. C. D.3234第9题图第10题图第11题图第12题图10.如图， D、E 分别是△ ABC的边 AB、BC 上的点， DE ∥ AC，若 S△BDE：S△CDE＝1： 3，则S△DOE： S△AOC的值为（）A. 1B.1C.1D.1 3491611﹒如图， AB 是半圆 O 的直径， D 、E 是半圆上任意两点，连接AD， DE ，AE 与 BD 订交于点 C，要使△ ADC 与△ ABD 相似，可以增添一个条件.以下增添的条件中错误的选项是（）A. ∠ACD ＝∠ DABB.AD ＝ DEC.AD 2＝ BD CDD.CD AB＝ AC BD12.在平行四边形ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F，则AF的值为（）CFA. 1B.1C.2D.2 233513.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 CD 上一点，连接 AE、 BD，且 AE、 BD 交于点 F，S△DEF： S△ABF＝ 4： 25，则 DE ： EC 等于（）A.2： 5B.2：3C.3：5D.3：2第 13题图第14题图第 15题图14.小明在丈量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为 15 米，以以下图，而后在 A 处建立一根高 2 米的标杆，测得标杆的影长AC 为 3 米，则楼高为（）A.10 米B.12 米C.15 米D.22.5 米15.如图，以点O为位似中心，将△ABC 放大获得△ DEF .若 AD＝ OA，则△ ABC 与△ DEF的面积之比为（）A.1： 2B.1： 4C.1：5D.1：616.如图，在边长为12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，此中 E、F、 G 分别在AB、 BC、 FD 上 .若 BF＝3，则 BE 的长为（）A.1第 16题图第 17题图第 18题图第 19题图17.如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AB 的中点，则图中暗影部分的面积是（）3124A. B. C. D.1035918.如图，在四边形ABCD 中， DE ∥ EF∥ AB， EC∥ AF，四个三角形的面积分别为S1， S2，S3， S4，若 S2＝ 1， S4＝ 4，则 S1+S3等于（）A.2 C.319.如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，已知AD 均分∠ BAC 交⊙ O 于点 D，AD＝ 5，BD＝ 2，则DE 的长为（）342D.4A. B. C.55252520.如图， AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 4 3，点 C 是 OA 的中点，过点C作 CD⊥AB交⊙O于D 点，点E 是⊙ O 上一点，连接DE ，AE 交 DC的延长线于点F，则 AF AE 的值为（）A.83B.12C.63D.93二、填空题第 20题图21.比率尺为1： 1000 的图纸上某地域面积为400cm2，则实质面积为 ________.22.若a＝2，则b＝ _________.2a b3a23.如图， AD ∥BE∥ CF ，直线 l 1， l 2与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点 D，E， F，若AB＝2， DE ＝6，则 EF ＝ ________.BC 3第 23题图第24题图第25题图第26题图24.如图，已知点O 是△ ABC 中 BC 边上的中点，且AB＝2，则AE＝_________. AD3AC25.如图，已知在Rt△OAC 中， O 为坐标原点，直角极点 C 在 x 轴的正半轴上，反比率函数y＝k（ k≠0）在第象限的图象经过OA 的中点 B ，交AC 于点 D ，连接OD . 若x△OCD ∽△ ACO，则直线 OA 的表达式为 ___________.26.如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 上，且 AE＝ 3ED ，连接 BE 并延长交 AC 于 F ，则 CF ：AC＝ ______________.27.如图，△ ABC 与△ DEF 位似，位似中心为点 O，且△ ABC 的面积等于△DEF 的面积的 4 ，9则 AB： DE＝ ___________.第27题图第28题图第29题图第30题图28.如图，⊙ O 的直径AB＝8， AC＝ 3CB，过点 C 作 AB 的垂线交⊙ O 于 M， N 两点，连接MB，则 BM 的长为 ___________.29.如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ B＝ 90°，AD ＝ 2， BC＝ 3，AB＝ 7，点 P 是 AB 边上一动点，当AP＝ _____________ 时，△ ADP与△PBC 相似 .30.如图，在△ ABC中， AB＝ AC，以AC为直径的⊙O 交AB 于点 D ，交BC于点 E.若BD＝ 2， BE＝ 3，则AC＝ __________.三、解答题（此题共8 小题，第19、 20 每题各8 分；第21、 22 每题各 6 分；第23、24 每题各8 分；第25 题10 分，第26 小题12 分，共66 分）31.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形构成的网格中，按以下要求画出△ A1B1C1和△ A2B2C2.（ 1）以 O 为位似中心，在点O 的同侧作△ A1B1C1，使得它与原三角形的位似比为1： 2；（ 2）将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°获得△ A2 B2 C2，并求出点 A 旋转的路径的长 .32.如图，在平行四边形ABCD 中， AE： EB＝ 2： 3， DE 交 AC 于点 F.（1）求证：△ AEF ∽△ CDF ；（2）求△AEF 与△ CDF 周长之比；（3）假如△ CDF 的面积为 20cm2，求△ AEF 的面积 .33.如图，在正方形ABCD 中， E 为边 BC 的中点， GH 均分 AE ，GH 分别交AB、AE 、 CD于点 G、F、H.求GF的值 . FH34.如图，在平行四边形ABCD 中，延长CD 到 E，使 DE ＝CD，连接 BE，交 AD 于点 F，交AC于点G.（1）求证： AF＝ DF ；（2）若 BC＝2AB，且 DE＝ 1，∠ E＝ 30°，求 BE 的长 .35.如图，点P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长交 AD 于 E，交 BA 的延长线于点 F.（1）图中△ APD 与哪个三角形全等？并说明原由；（2）求证：△ APE∽△ FPA；（3）猜想：线段 PC，PE， PF 之间存在什么关系？并说明原由 .36.如图，四边形ABCD 内接于⊙ O， AD ∥ BC， P 为 BD 上一点，∠ APB＝∠ BAD.（1）求证： AB＝ CD ；（2）求证： DP BD ＝AD BC；（3）求证： BD 2＝ AB 2+AD BC.37.如图，△ ABC 中， BC＝ 2AB，点 D、 E 分别是 BC、 AC 的中点，过点 A 作 AF ∥BC 交线段 DE 的延长线于点 F ，取 AF 的中点 G，连接 DG ， GD 与 AE 交于点 H.（1）求证：四边形 ABDF 是菱形；（2）求证： DH 2＝ HE HC.38.如图 1，在四边形ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、 CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 GA、GB、GC、GD 、EF ，若∠ AGD＝∠ BGC.第 23题图 1第23题图2（1）求证： AD ＝ BC；（2）求证：△ AGD∽△ EGF；（ 3）如图 2，若 AD、BC 所在直线相互垂直，求AD的值. EF答案与分析一、选择题1﹒ 【知识点】 比率的性质、【分析】 掌握比率的性质：①a ＝ c ab ＝ cd ；② a ＝ca b ＝ cd 或b db dbda b ＝ cd ；③ a ＝ c ＝ e＝ k a ce＝ a＝ k ，依据比任性质②求解即可；b d b d f b dfb也可用设参数法求解、【解答】 ∵ y ＝3，x4 ∴ x y ＝ 43＝7、 x44应选： D 、2﹒ 【知识点】 比率的性质；抛物线的极点坐标求法.【分析】 依据比率的等比的性质即可得出k ＝ 1，将 k 值代入二次函数的表达式中，然2后将表达式化为极点式（也可直接用求极点公式）即可得出结论 .【解答】 由a ＝b ＝c ＝ k ，得 k ＝ a b c ＝ 1， b ca c a b2a 2b 2c 2 ∴抛物线的表达式为：y ＝1 2 1 2 1，2x +x ＝ (x+1) －22∴此抛物线的极点坐标为（－1，－ 1），2应选： A.3﹒ 【知识点】 相似三角形的判断；相似多边形.【分析】 此题观察的是相似图形。

浙教版九年级数学上第四章 相似三角形单元测试(含解析)

浙教版九年级数学上第四章 相似三角形单元测试(含解析)

第四章相似三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A、1：2B、1：4C、2：1D、4：12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为( )A、B、C、D、3、如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，则∠E的度数为（）.A、35°B、45°C、55°D、65°4、如图，菱形ABCD中，对角线A C、BD相交于点O，M、N分别是边A B、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A、△AOM和△AON都是等边三角形B、四边形MBON和四边形MODN都是菱形5、若=，则的值为（）A、1B、C、D、6、如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，满足AD=3，AE=2，EC=1，DE∥BC，则AB=（）A、6B、4.5C、2D、1.57、已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于（）A、1.5B、3C、12D、248、如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A、B、C、D、9、在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是（）A、B、C、D、10、两个相似三角形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A、1：4B、1：2C、1：16D、无法确定二、填空题（共8题；共24分）11、若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形对应角平分线的比为________ 、12、如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是________ 、13、已知，则=________14、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为________15、已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于________厘米、16、如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=________、17、若= ，则=________、18、如图，添加一个条件：________，使△ADE∽△AC B、三、解答题（共5题；共36分）19、如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B、（1）求证：△CDF∽△BFE；（2）若EF∥CD，求证：2CF2=AC•C D、20、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则这两个五边形面积各是多少cm2？21、如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？22、在△ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD，过点D作∠EDF+∠C=180°，与C A、CB分别交于E、F、（1）如图1，当DE=DF时，求的值、（2）如图2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的长（用含k，m的式子表示）23、如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF 交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K、求证：K是线段MN的中点、四、综合题（共1题；共10分）24、将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）、点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C、(1)求∠ADE的度数；(2)如图②，在图①的基础上将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求证：、答案解析一、单选题1、【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论、【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2、故选A、本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比、2、【答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案、【解答】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∵AD=1，BC=3，∴、故答案为：B3、【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，∴∠D=∠A=35°、∵∠F=90°，∴∠E=55°、故选C、【分析】由Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠D的度数，又由∠F=90°，即可求得∠E的度数、【考点】位似变换【解析】【解答】根据位似图形的定义可知A.O与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误；B.无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误；C.四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确；D.无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误；故选C.【分析】在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形.同样，我们也无法判断BM 是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形.根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故本题选C.5、【答案】D【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵=，∴==、故选D、【分析】根据合分比性质求解、6、【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD=3，AE=2，EC=1，∴，∴DB= =1.5，∴AB=AD+DB=3+1.5=4.5，【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再把A D、AE、EC代入求出DB，最后根据AB=AD+DB代入计算即可、7、【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′的周长比为2：1，△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为4：1，又△A′B′C′的面积为6，∴△ABC的面积=24，故选：D、【分析】根据题意求出两个三角形的周长比，根据相似三角形的性质解答即可、8、【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；B、∵AB∥CD∥EF，∴，故正确；C、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；D、∵AB∥CD∥EF，∴，∴AC•DF=BD•CE，故错误、故选B、【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理求解即可求得答案、注意排除法在解选择题中的应用、9、【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，∴= ，选项A、B、D正确；选项C错误、【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边对应成比例作答、10、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2，故选：B、【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可、二、填空题11、【答案】2：3【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形对应角平分线的比为2：3、故答案为2：3、【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答、12、【答案】3【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：如图：过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，∵直线AA1∥BB1∥CC1，∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，∴AA1=2，CC1=6，∴AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，，∴∵BB1∥CC1，∴，∴，∴DB1=1，∴BB1=2+1=3，故答案为：3、【分析】过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，求出AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，，根据BB1∥CC1得出，代入求出DB1=1即可、13、【答案】【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵∴设x=2k，y=3k，∴原式=故答案为、【分析】由，则可设x=2k，y=3k，然后把x=2k，y=3k代入原式进行分式的运算即可、14、【答案】6【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，∴AB：DE=2：3，∴DE=6、故答案为：6、【分析】位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比、利用相似三角形的性质即可求解、15、【答案】5 ﹣5【考点】黄金分割【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP= AB=（5 ﹣5）厘米，故答案为：5 ﹣5、【分析】根据黄金比值是计算即可、16、【答案】【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD= ，故答案为：、【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论、17、【答案】【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵= ，∴设a=2k，b=5k，∴= = ，故答案为：、【分析】根据已知设a=2k，b=5k，代入求出即可、18、【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一）【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：添加∠ADE=∠C、理由如下：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△AC B、故答案为：∠ADE=∠C（答案不唯一）、【分析】△ADE和△ACB有一个公共角，再有一组角对应相等，那么这两个三角形就相似、三、解答题19、【答案】（1）证明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，∴∠EFB=∠FDC，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴△CDF∽△BFE；（2）解：∵EF∥CD，∴∠EFD=∠FDC，∵∠B=∠C，∠DEG=∠B，∴∠FDC=∠C=∠B，∴△CDF∽△BCA，∴，∵BC=2CF，DF=CF，∴，∴CF2=AC•C D、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE；（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出△CDF∽△BCA，根据相似三角形的性质得到结论、20、【答案】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是xcm2，ycm2、则=（）2=，因而x=y、根据面积之和是78cm2，得到y+y=78，解得：y=54，则x=×54=24、即较小五边形与较大五边形的面积分别是24cm2，54cm2、【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决、21、【答案】解：∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴解得，x=1m，答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似、【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可、22、【答案】解：（1）如图1，连接CD，∵∠EDF+∠C=180°，∴D，E，C，F四点共圆，∵DE=DF，∴∠DCE=∠DCF，根据正弦定理得①，，∴，②，∵∠ADC=180°﹣∠BDC，∴sin∠ADC=sin∠BDC，①÷②d得，，∵AD=kBD，∴=k；（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，根据正弦定理得：③，，④，由（1）知D，E，C，F四点共圆，∴∠DEA+∠DFB=180°，∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：，∴DF=，∵AD=kBD，DE=m，∴DF=、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接CD，由∠EDF+∠C=180°，推出D，E，C，F四点共圆，根据正弦定理得①，，②，①÷②得，，根据AD=kBD，根据得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据正弦定理得：③，，④，④÷③得：，求得DF=，即可得到结论、23、【答案】证明：∵EF截△PMN，则(1)∵BC截△PAE，则(2)，∴即有，所以(3)，∵CD截△PMA，则，即，∴(4)因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP﹣AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是线段MN的中点、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】根据题意，EF截△PMN，则(1)；BC截△PAE，则(2)；所以(3)、而CD截△PMA，则，即，∴(4)，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP﹣AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是线段AM的中点、四、综合题24、【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD= AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°（2）解：∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）首先证明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明、。

初中数学 浙教版九年级上册 相似三角形综合测试题

初中数学 浙教版九年级上册 相似三角形综合测试题

1相似三角形综合测试题一、选择题（3´×8）1．下列命题中，正确的是（ ）A ．任意两个等腰三角形相似B ．任意两个菱形相似C ．任意两个矩形相似D ．任意两个等边三角形相似2．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）3．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ． 11.5米 B ． 11.75米 C ． 11.8米 D ． 12.25米 4．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ． 2 cm ² B ． 4 cm ² C ． 8 cm ² D ． 16 cm ²5．将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ） A ．1∶3∶5∶7 B ．1∶2∶3∶4 C ．1∶2∶4∶5 D ．1∶2∶3∶56．如图D 是锐角ΔABC 边上一点，过D 的直线交于另一边，截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条7．如图□ABCD 中,Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ:CQ=4:3，则AP:PR=（ ） A ．4:3B ．4:7C ．3:4D ．3:78．如图，梯形ABCD 的对角线相交于点O ，有如下结论：①ΔAOB ∽ΔCOD ，②ΔAOD ∽ΔBOC ，③S ΔAOD =S ΔBOC ，④S ΔCOD :S ΔAOD =DC:AB ；其中一定正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（3´×4）9.a=4，b=9，则a 、b 的比例中项是 .10.如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE ，则：ADE ACE ABE ∠+∠+∠等于 度.11．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．12．如图ABC ∆中，AB CD ⊥，垂足是D ，下列条件中能证明ABC ∆是直角三角形的有 （只填序号）。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形 单元测试(含答案)

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形 单元测试(含答案)

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（ ）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（ ）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件：　　，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝ ．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为 米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是 ；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。

浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(1)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(1)+答案解析

浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（1）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知∽，，，则()A.2B.C.3D.2.如图，∽，若，，，则AB的长是()A.3B.2C.5D.43.如图，∽，则下列式子：①；②；③其中一定成立的有()A.3个B.1个C.2个D.0个4.如图，平行四边形ABCD中，，，点E，F分别在AD，AB上，若，∽，则()A.1B.2C.4D.5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是、，那么另一个三角形的最大角为______度.6.如图，∽，，，，CA的长为______.7.在中，，，若和它相似的最长的一边是36，则最短的一边是______.8.的三边长分别为，，2，的两边长分别为1和，如果∽，那么的第三边的长应等于______.9.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，∽，，，，则______.三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图所示，已知：∽，，，，，求AB的长；求CD的长；求的大小.11.本小题8分如图，BC，AD相交于点C，∽，，，求CE的长；求证：12.本小题8分如图，正方形ABCD的边长为1，E是边CD上的一点，F是边CB延长线上的一点，如果∽∽，且、、是对应角.求DE的长.13.本小题8分如图，在中，AD平分交BC于点点E、F分别在边AB、AC上，且，交线段AD于点G，连接BG、求证：四边形BGFE是平行四边形；若∽，，，求线段BE的长．14.本小题8分如图，与中，，，，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∽，，，，故选：根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．2.【答案】D【解析】解：∽，，，，，，解得：故选：直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．3.【答案】B【解析】解：∽，：：：BC，，只有②正确．故选：由∽，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：：：BC，继而求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】B【解析】解：∽，，，，，把它们代入比例式中，故选：根据相似三角形的性质可得边的比相等，将线段的长代入比例式即可求得．本题主要利用平行四边形中的对边相等，相似三角形的对应边成比例．5.【答案】80【解析】解：根据三角形的内角和是，求得其中一个三角形的第三个角是，其中角最大，根据相似三角形的性质，得：另一个三角形的最大角为可根据三角形内角和定理，求出其中一个三角形的第三角的度数，然后找出其中最大角的度数．根据相似三角形的对应角相等，即可求出另一个三角形的最大角的度数．本题主要考查了三角形的内角和定理以及相似三角形的性质．6.【答案】24【解析】解：∽，，，，，，解得：故答案为：直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题关键．7.【答案】18【解析】解：设最短的一边是x，在中，，，，若和它相似的最长的一边是36，，解得：故答案为：设最短的一边是x，由相似三角形的性质得到，即可求出x，得到最短的边．本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，解此题的关键是正确列出方程．8.【答案】【解析】解：的三边长分别为，，2，的三边长之比为，1：：，的两边长分别为1和，∽，的第三边的长应等于故答案为：先求出三边之比，再根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，求出的三边之比是解题的关键．9.【答案】2【解析】解：四边形ABCD是矩形，；∽，，即，解得；在中，，，由勾股定理得：故答案为：已知∽，那么点A、D对应，点B、E对应，点E、F对应，首先根据相似三角形得到的比例线段求出DF的长，再由勾股定理求得EF的值．此题主要考查的是相似三角形的性质，找准对应顶点是解题的关键．10.【答案】解：∽，，，，，解得：；∽，即，解得：；∽，，，，，【解析】由∽，，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得AB的长；根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得DC的长；根据相似三角形的对应角相等，可得，，继而可求得的大小．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例，对应角相等．11.【答案】解：∽，又，，；∽，，，，【解析】根据相似三角形的性质解答即可；根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．12.【答案】解：正方形ABCD的边长为1，，∽，，设，则，，，∽，，即，解得：，舍去，【解析】首先由正方形ABCD的边长为1，∽，证得，然后设，可得，，，又由∽，可得，即可得方程，解此方程即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质、正方形的性质以及一元二次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．13.【答案】证明：，，，，，又，四边形BGFE为平行四边形．解：∽，，即，，，【解析】根据，又AD平分，可证得，，从而得：，又因为，所以可知四边形BGFE是平行四边形；根据∽，可得，求出AF的长，再由的结论：，即可得BE的长．解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．14.【答案】解：，，，，若∽，则，即，解得：；若∽，则，即，解得：；AD的长为：或【解析】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．由与中，，，，可求得BC的长，然后分别从∽或∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．。

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元检测试卷(解析版)

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元检测试卷(解析版)

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③=；④AB2=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：（1）不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴无法证明△ABC是直角三角形；（2）能，∵∠B=∠DAC，则∠BAD=∠C，∴∠B+∠BAD=∠C+∠DAC=180°÷2=90°；（3）能,∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD（直角三角形相似的判定定理），∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD,∵∠ABD+∠BAD=90°,∴∠CAD+∠BAD=90°,∵∠BAC=∠CAD+∠BAD,∴∠BAC=90°；（4）能，∵能说明△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形．共有3个．故选C．【点睛】通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断出是否为直角．2. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A. 32B. 8C. 4D. 16【答案】C【解析】分析：由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF 的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．详解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×14=4．故选C．点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．3. 在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为（）A. 1:20B. 1：20000C. 1：200000D. 1：2000000【答案】D【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离,注意单位要统一.【详解】解：∵比例尺=图上距离：实际距离, ∴比例尺=8.5:17000000= 1：2000000 故选D. 【点睛】本题考查了比例尺的求法,属于简单题,熟悉比例尺的概念是解题关键.4. 如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若:2:3AB FG=，则下列结论正确的是（）A. 23DE MN= B. 32DE MN= C. 32A F∠=∠ D. 23A F∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．【详解】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，所以,:2:3A F DE MN ∠=∠=，故可排除C 和D所以32DE MN =．故排除A故选B ．【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．5. 如图▱ABCD ，E 是BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（ ）A. 5：7B. 3：5C. 2：3D. 2：5 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC ，∵BE+EC=BC，BE ：EC=2：3，∴BE：AD=2：5，∵AD//BC，∴△BEF∽△DAF，∴BF：FD= BE ：AD=2：5，故选D .6.如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE BC ∥，若32AD DB =，则AE AC 的值等于（ ）A. 32B. 3C.23D.35【答案】D【解析】试题解析：∵DE∥BC，∴AD：DB=AE：EC，而32 AD DB=∴32 AE EC=∴35 AEAC=．故选D．7. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）A. （2，﹣1）或（﹣2，1）B. （8，﹣4）或（﹣8，4）C. （2，﹣1）D. （8，﹣4）【答案】A【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E（-4，2），位似比1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．8. 如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A. 两个三角形是位似图形B. 点A是两个三角形的位似中心C. AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点【答案】C【解析】【分析】【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，故选C．9. 如图，ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF="6" cm2，则S△CBF等于( )A.12 cm2B. 24 cm2C. 54 cm2D. 15 cm2【答案】C 【解析】试题分析：由AE∶ED=1∶2可得AE∶AD=1∶3，根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果.∵AE∶ED=1∶2∴AE∶AD=1∶3∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC∴AE∶BC=1∶3，△AEF∽△CBF∴S△AEF∶S△CBF=1∶9∵S△AEF="6" cm2∴S△CBF="54" cm2故选C.考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质点评：平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握平行四边形的性质极为重要.10. 如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A. 385B.2813C.285D.4813【答案】C【解析】【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，得出CQ AB ＝CFBF=1，△AEI∽△QDE，因此CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，∵AD=8，求出△AEI的面积=125，△ABF的面积=12，△BFH的面积=4，四边形BEIH的面积=△ABF的面积-△AEI的面积-△BFH的面积，即可得出结果．【详解】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE=12AB=3，BF=CF=12BC=4，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，AB∥CD，AD∥BC，∴CQAB＝CFBF=1，△AEI∽△QDE，∴CQ=AB=CD=6，△AEI的面积：△QDI的面积=3：12=1：4，∵AD=8，∴△AEI中AE边上的高=85，∴△AEI的面积=12×3×85=125，∵△ABF的面积=12×4×6=12，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴BHDH=BFAD=12，∴△BFH的面积=12×2×4=4，∴四边形BEIH的面积=△ABF的面积-△AEI的面积-△BFH的面积=12-125-4=285．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．二、填空题（共10题；共30分）11. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.【答案】4∶9【解析】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．考点：相似三角形的性质．12. 如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．【答案】∠ABP=∠C（答案不唯一）【解析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对对应角相等即可.【详解】在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP＝∠C，便可使△ABP∽△ACB，所以答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.13. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____【答案】143．【解析】【分析】【详解】解：令AE=4x，BE=3x，∴AB=7x.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=7x，CD∥AB，∴△BEF∽△DCF.∴3377BF BE x DF CD x===，∴DF=143【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.14. 如图，点D为△ABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若∠B=∠ACD，则AC=_____．10．【解析】由∠B=∠ACD、∠A=∠A，可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出ACAB=ADAC，代入数据即可求出AC的值．【详解】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB=ADAC，即23AC+=2AC，∴AC=10或AC=-10（不合题意，舍去）．故答案为10．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于AC的方程是解题的关键．15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若3DECS∆=，则BCFS∆=________．【答案】4【解析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，所以，12EF DEFC BC==，12DEFDCFS EFS FC∆∆==，所以，13DEF DECS S∆∆=＝1，又14DEFBCFSS∆∆=，所以，BCFS∆=4．“点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方.16. 如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了________ s时，以C点为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切．【答案】3 4【解析】【分析】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=2cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DOC，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤2．【详解】当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF=2，由题意得：AC=4t，BD=3t∴OC=8-4t，OD=6-3t，∵点E是OC的中点，∴CE=12OC=4-2t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO，∴△EFC∽△DOC，∴EF FC OD OC=，∴EF=()2633 822tt-=-，由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，∴（4-2t）2=2 2+（32）2，解得：t=34或t=134，∵0≤t≤2，∴t=34．故答案为34．【点睛】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．17. 如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，那么FG AG ＝________．【答案】14【解析】【分析】 根据重心的性质得到AG=2DG ，BG=2GE ，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，∴点G 是△ABC 的重心，∴AG=2DG ，BG=2GE ，∵EF ∥BC ，∴FG GD ＝EG BG =12． 故答案为12． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．18. 如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且3PB ＝，BF BP ⊥，垂足是点B ，若在射线BF 上找一点M ，使以点B ，M ，C 为顶点的三角形与ABP ∆相似，则BM 的长为_________.【答案】3或163． 【解析】 试题分析：∵∠ABC=∠FBP=90°∴∠ABP=∠CBF当△ABP ∽△MBC 时，BM ：AB=BC ：BP ，得BM=4×4÷3=163；当△ABP∽△CBM时，BM：BP=CB：AB，得BM=4×3÷4=3．故答案是3或163．考点：1.相似三角形的性质2.正方形的性质．19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝_______．【答案】13．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴△AEF∽△BCF，∴AE AF BC CF=，∵点E为AD的中点，∴1=2 AE AFBC CF=，∴1=3 AFAC．故答案是13．考点：1.相似三角形的判定与性质，2.平行四边形的性质．20. 如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF 与△DEF相似，则AD= ．【答案】或【解析】试题分析：由于∠EDF=30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB=60°，此时发现△FDB是等边三角形，那么BD=BF，2﹣AD=1﹣CF，即AD=CF+1．由于∠C是直角，当△CEF与△DEF相似时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：①∠DEF=90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此时△CEF∽△FED；可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值，进而可求得AD的值．解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，∴∠FDB=∠B=60°，∴△BDF是等边三角形；∵BC=1，∴AB=2；∵BD=BF，∴2﹣AD=1﹣CF；∴AD=CF+1．①如图1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，∴=，即=，解得，CF=；∴AD=+1=；②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，∴=，即=；解得，CF=；∴AD=+1=．故答案为或．考点：相似三角形的性质．三、解答题（共8题；共60分）21. 如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△ADE．【答案】证明见解析【解析】试题分析：利用“两角对应相等的两三角形相似”来证：△ABC∽△ADE.试题解析：如图，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．又∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE．22. 如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．【答案】（1）图见解析；B1（5，5）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）；（2）如图所示：△A2B2C2．【点睛】本题考查了位似变换和旋转变换，正确得出对应点位置是解题的关键．23. 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似；【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．24. 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC相似？【答案】4或85 【解析】 【分析】 本题中，可设经过x 秒△PQC 和△ABC 相似，先求出CP=8-x ，CQ=2x ，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP 与CA 是对应边时，②当CP 与BC 是对应边时.【详解】解：设经过x 秒，两三角形相似，则CP =AC -AP =8-x ，CQ =2x ，①当CP 与CA 是对应边时，CP CQ AC BC= ，即82816x x -= ，解得x =4秒； ②当CP 与BC 是对应边时，CP CQ BC AC = ，即 82168x x -= ，解得x = 85秒； 故经过4或 85 秒，两个三角形相似． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的性质对应边成比例求解，但发现对应边不明确，需要分两种情况解决是本题的关键.25. 如图，点E 是四边形ABCD 的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE.①试说明BE·AD ＝CD·AE ； ②根据图形特点，猜想BC DE可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）【答案】（1）证明见解析；（2）猜想BC DE =AC AD 或（AB AE 理由见解析 【解析】试题分析：（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD ，∠AEB=∠ADC ，从而可得△AEB ∽△ADC ，由此可得AE BE AD DC=，这样就可得到BE·AD=DC·AE ；（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得ABAC=AEAD，结合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：BCDE=ACAD或（ABAE）.试题解析：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，又∵∠DAE=∠BDC，∴∠AEB=∠ADC，∴△BEA∽△CDA，∴BECD=AEAD，即BE·AD=CD·AE；②猜想BCDE=ACAD或（ABAE），由△BEA∽△CDA可知，ABAC=AEAD，即ABAE=ACAD，又∵∠DAE=∠BAC，∴△BAC∽△EAD，∴BCDE=ACAD或（ABAE）.26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．【答案】（1）当t=1时，AD=AB，AE=1；（2）当t=34或16或94或176时，△DEG与△ACB相似.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得出AB=5,要使AD=AB=5，∵动点D每秒5个单位的速度运动，∴t=1；（2）当△DEG与△ACB相似时，要分两种情况讨论，根据相似三角形的性质，列出比例式，求出DE的表达式时，要分AD＜AE和AD＞AE两种情况讨论.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴2234+．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜32）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则DE ACEG BC=或DE BCEG AC=，∴32324t-=或32423t-=，∴t=34或t=16；当AD＞AE（即t＞32）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则DE ACEG BC=或DE BCEG AC=，∴23324t-=或23423t-=，解得t=94或t=176；综上所述，当t=34或16或94或176时，△DEG与△ACB相似．点睛：本题第一问比较简单，第二问的讨论较多，关键是要理清头绪，相似三角形的讨论，和线段的大小的选择，做题时要分清，分细.27. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．【答案】（1）见解析（2）2：3【解析】【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．【详解】解：（1）证明：连接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，CO CO{COD COB OD OB=∠=∠=，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠CDO=∠CBO=90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．∵DE=2BC，∴ED=2CD．∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴AD：OC=DE：CE=2：3．28. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC=42．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．(1)在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；(2)当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；(3)当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；若不发生变化，求出此定值．【答案】（1）当0＜t≤4时，S=14t2，当4＜t≤163时，S=-34t2+8t-16，当163＜t＜8时，S=34t2-12t+48；（2）1474t-=t2=（7）秒；（3）8.【解析】试题分析：（1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=163，当P到C点时t=8，即分为三种情况：根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=14t2，当4＜t≤163时，S=-34t2+8t-16，当163＜t＜8时，S=34t2-12t+48；（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出222=832AH PH t t+-+（ⅰ）若AP=PQ2832=2tt t-+，（ⅱ）若AQ=PQ ，过点Q 作QG ⊥AP 于点G ，根据△PGQ ∽△AHP 求出，若AQ=PQ ，= （ⅲ）若AP=AQ ，过点A 作AT ⊥PQ 于点T ，得出4=12×2t ，求出方程的解即可； （3）四边形PMAN 的面积不发生变化，连接AP ，此时t=4秒，求出S 四边形PMAN =S △APM +S △APN =S △CPN +S △APN =S △ACP =12×CP×AP=8． 试题解析：（1）当0＜t≤4时，S=14t 2，当4＜t≤163时，S=-34t 2+8t-16，当163＜t ＜8时，S=34t 2-12t+48；（2）存在，理由如下：当点D 在线段AB 上时，∵AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC ）=45°． ∵PD ⊥BC ，∴∠BPD=90°，∴∠BDP=45°，∴PD=BP=t ，∴QD=PD=t ，∴PQ=QD+PD=2t ．过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB=AC ，∴BH=CH=12BC=4，AH=BH=4， ∴PH=BH-BP=4-t ，在Rt △APH 中，AP=AP =；（ⅰ）若AP=PQ ．解得：1t =2t =（不合题意，舍去）； （ⅱ）若AQ=PQ ，过点Q 作QG ⊥AP 于点G ，如图（1），∵∠BPQ=∠BHA=90°，∴PQ ∥AH ．∴∠APQ=∠PAH ．∵QG ⊥AP ，∴∠PGQ=90°，∴∠PGQ=∠AHP=90°，∴△PGQ ∽△AHP ， ∴PG PQ AH AP =，即24832PG t t =-+， ∴2832PG t t =-+，若AQ=PQ ，由于QG ⊥AP ，则有AG=PG ，即PG=12AP ， 即2218322832t t t t =-+-+． 解得：t 1=12-47，t 2=12+47（不合题意，舍去）；（ⅲ）若AP=AQ ，过点A 作AT ⊥PQ 于点T ，如图（2），易知四边形AHPT 是矩形，故PT=AH=4．若AP=AQ ，由于AT ⊥PQ ，则有QT=PT ，即PT=12PQ ， 即4=12×2t ．解得t=4．当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即14743t-=秒或t2=（12-47）秒；（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：∵等腰直角三角形PQE，∴∠EPQ=45°，∵等腰直角三角形PQF，∴∠FPQ=45°．∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，连接AP，如图（3），∵此时t=4秒，∴BP=4×1=4=12 BC，∴点P为BC的中点．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AP⊥BC，AP=12BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=12∠BAC=45°，∴∠APC=90°，∠C=45°，∴∠C=∠BAP=45°，∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，∠EPF=∠APM+∠APN=90°，∴∠CPN=∠APM，∴△CPN≌△APM，∴S△CPN=S△APM，∴S四边形PMAN =S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=12×CP×AP=12×4×4=8．∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．考点: 相似形综合题.。

浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 综合测试卷(原卷+答案)

浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 综合测试卷(原卷+答案)

第四章综合测试卷 相似三角形班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.己知 ab =25,则a +b b的值为( )A 25B 35C 75D 232.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )A.BC DF=12 B.∠A 的度数∠D 的度数=12C.△ABC的面积△def 的面积= 12 D. △ABC 的周长△def 的周长= 123.如图,在直角坐标系中,△OAB 的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 13的位似图形△OCD,则点C 坐标为( )A. (-1,-1)B.(−43,−1)C.(−1,−43) D. (-2,-1)4. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP 相似的是( )A.∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. 点 P 是BC 的中点D. BP: BC=2:35.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连结AD,点E 在AC 边上,过点E 作EF∥BC,交 AD 于点F,过点E 作EG∥AB,交BC 于点G,则下列式子一定正确的是( ) A.AE EC=EF CDB.EF CD=EG ABC.AFFD=BG GCD.CG BC=AF AD6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得 EG=3m ，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB 约为( )A. 8.5mB. 9mC. 9.5mD. 10m7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大 12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N第二步,连结MN 分别交AB,AC 于点E,F;第三步,连结DE,DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE 的长是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图,在△ABC 中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作DE⊥AD,DE 交AC 于点E,若DE=1,则△ABC 的面积为( )A. 2B. 4C.25D. 810. 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交 CD 于点F ，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .12. 已知 a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,点E 是AD 的中点,在AB 上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是 .14. 如图，在一块斜边长为30cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C 在x 轴上，且点 C 与点O 及点A 不重合，当点 C 的坐标为 时，使得由点B ，O ，C 构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,求证：△ADEO△EFC.18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A AB上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大? 并求出这个最大值；(2)求证:△PAN∽△PMB.20. (8 分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.21. (8分)如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点G,连结DE.(1)求证:△AEDO△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.22.(10分)如图,在 △ABC 中,点D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上, DE‖AC,EF‖AB.(1)求证: △BDEO △EFC.(2)设AF FC=12,①若. BC =12,，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20,求△ABC 的面积.23.(10分)在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,点 P 是边AD 上一点.(1)若BP 平分∠ABD,交 AE 于点G,PF⊥BD 于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP 的长.24.(12分)如图,已知 △ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1) 当 t =2时，判断 △BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 △BPQ 的面积为 S (cm²),求S 与t 的函数表达式；(3)如图,作 QR//BA 交AC 于点R,连结PR,当t 为何值时,△APR∽△PRQ?第四章综合测试卷 相似三角形1. C2. D3. B4. C5. C6. A7. B8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm² 15.24516. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm ，则△AEF 的边EF 上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF CABC.∴EF BC=AK AD,即 x 120=80−x 80⋅∴x =48.∴这个正方形零件的边长是48mm.19. (1)解:当点 M 在 AB 的中点处时，△MAB 的面积最大，此时( OM⟂AB,∵OM =12AB =12×4=2,∴S ABM =12AB ⋅OM =12×4×2=4. (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ CD,∴ABECDE,∴AB CD=AE CE,∴84=AE CE,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, ∴ABEACD.∴AE AD=AB AC,即AEAB =ADAC ,又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ CGE.:DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE 平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.(2)解:①∵EF//AB,∴BE EC=AF FC=12.∵BC = 12,∴BE12−BE =12,∴BE =4.②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= (EC BC)2⋅∴BE EC=12,∴EC BC=23.又∵△EFC 的面积是20, ∴20SABC=(23)2,∴SABC=45,即△ABC 的面积是45.23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP 平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB =∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP 平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.(3)解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB²+AD² =5,∵AE ⊥BD,∴S ABD =12⋅BD ⋅AE = 12⋅AB ⋅AD,∴AE =255,∴DE =AD 2−AE 2=455,∵AE ⋅AB =DE ⋅AP,∴ AP =255×1455=12.24. 解:(1)△BPQ 是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ 是等边三角形.(2)如图,过点 Q 作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 QE =3tcm,由AP= tcm,得 PB =(6−t )cm,∴S =12BP ⋅QE = 12×(6−t )×3t =−32t 2+33t.(3)∵QR‖BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6-2t)cm⋅:BE=12BQ=12×2t=t(cm),∴EP=AB−AP−BE=6−t−t=6−2t(cm),∵EP‖QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ3tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60∘,QRPR=6−2t3t=3,解得t=65.∴当t=65时,△APR∽△PRQ.。

浙教版九年级数学上册 第四章 相似三角形综合训练题A卷(附详细解析)

浙教版九年级数学上册 第四章 相似三角形综合训练题A卷(附详细解析)

第四章 相似三角形单元测试A一、选择题1﹒在比例尺为1：2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为（ ）A.10mB.25mC.100mD.10000m2﹒下列各组数中的四条线段能成比例线段的是（ ）A.a ＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5B. a ＝3，b ＝7，c ＝2，d ＝9C. a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6D. a ＝4，b ＝11，c ＝3，d ＝23﹒已知3x ＝2y ，那么下列等式一定成立的是（ ）A.x ＝2，y ＝3B.＝ C.＝ D.3x +2y ＝0xy32xy234﹒已知＝，那么的值为（ ）x y 23x yx y+-A.5B.－5C.D.－15155﹒已知线段a ＝2，b ＝4，线段c 为a，b 的比例中项，则c 的值为（）A.36﹒已知线段AB ＝1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC的长为（ ）D.以上都不对7﹒如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点H ，且AH ＝2，HB ＝1，BC ＝5，则的值为（ ）DEEFA.B.2 12C. D.25358﹒下列说法不一定正确的是（）A.所有的等边三角形都相似B.所有的等腰三角形都相似第7题图C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似9﹒已知△ABC 的三边长分别为4、6、8、，与它相似的△DEF 的最短边长为6，则△DEF 的最长边的长为（ ）A.8B.12C.10D.910.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是（）A.∠AED ＝∠BB.∠ADE ＝∠CC.＝ D.＝AD AB AEACAD AC AEAB第10题图第11题图第12题图11.如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于点F ，DE ：EA ＝3：4，EF ＝3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.1212.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于（ ）A.1：1B.1：2C.1：3D.2：313.如图，测得BD ＝120m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，则河宽AB 为（ ）A.120mB.100mC.75mD.25m第13题图第14题图第15题图14.如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD .若B （1，0），则点C 的坐标为（ ）A.（1，2）B.（1，1）C.）D.（2，1）15.如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别为B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是（）A. B.C.D.1323344516.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A.6aB.8aC.9aD.12a第16题图第17题图第18题图第19题图17.如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点G ，则等于（ ）GAGDB.1218.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，点D 是AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论：①＝；②点F 是GE 的中点；AG AB FGFB③AF ；④S △ABC ＝5S △BDF ，其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个19.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC ＝6，对角线AC 、BD 交于点E ，且AB ＝BD ，EC ＝1，则AD 的长为（ ）B.C.D.17311220.如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB 于点O ，点D 是的中点，连结 BCCD 、AD 、OD ，给出以下四个结论：①∠DOB ＝∠ADC ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④CD 2＝CE AB ，其中正确结论12的序号是（ ）A.①③B.②④C.①④D.①②③二、细心填一填（本题共8小题，每小题3分，共24分）21.已知，＝，则的值为__________________.x y 13x y y22.两个相似三角形的对应边上的高之比是1：3，其中一个三角形的面积是9cm 2，则另一个三角形的面积为__________cm 2.23.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，射线CF 交AB 于点E ，若＝，则＝_________.AE EB 16AF FD24.如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB ＝10，DH ＝3，平移距离是5，则图中阴影部分的面积为______.25.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，取BC 中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2，照此规律作下去，则S 2016＝__________.26.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在圆上，CD ⊥AB 于D ，DE ∥BC ，则图中与△ABC 相似的三角形共有_______个.27.在平面直角坐标系中，A （1，2），B （4，1），C （2，3），以原点O 为位似中心将△ABC 放大2倍，则与点A 对应的点A 1的坐标是________________________________.28.将一副三角板按图所示叠放，设斜边AC 与DB 相交于点O ，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于__________.29.如图，在ABCD 中，∠A ＝60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E ，F ，给出以下四个结论：①DF :AB ；②DE CF ＝DF AE ；③∠DFE ＝∠CDB ；④如果ABCD 的面积是8，则△DEF 的面积是3，其中正确结论的序号是_________________.30.如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6，则AE 的长为________.三、解答题（本题共8小题，第19、20每小题各8分；第21、22每小题各6分；第23、24每小题各8分；第25题10分，第26小题12分，共66分）31.已知：＝＝，求的值.3x 4y 6z 22x y zx y z+--+32.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD ＝∠B .（1）求证：AC CD ＝CP BP .（2）若AB ＝10，BC ＝12，当PD ∥AB 时，求BP 的长.33.如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形，使它与四边形ABCD 位似，且位似比为2：1.AB C D '''（1）在图中画出四边形；AB C D '''（2）试说明△是何种特殊三角形.AC D ''34.已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，连结DE .（1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD CE ＝CD DE .35.如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AE 分别交线段BD 、边BC 于点F 、G ，∠1＝∠2，＝.求证：BF 2＝FG EF .AF EF DFBF36.正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N .（1）求证：△ABM ∽△EFA ；（2）若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长.37.已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别为垂足.（1）求证：AC2＝AF AD；（2）连结EF，求证：AE DB＝AD EF.38.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O分别交AC、BC于点E、D，连结ED、BE.（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE＝BD；（3）若BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长.答案与解析一、选择题1﹒【知识点】比例线段；比例尺．【分析】理解比例线段概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a ：b ＝c ：d （即ad ＝bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.掌握比例尺计算公式：比例尺＝，计图上距离实际距离算时要注意公式里的图上距离与实际距离之间的单位要保持一致.先设A 、B 两地间的实际距离为x m ，根据比例尺计算公式得：＝，然后解方程即可．120005100x【解答】设A 、B 两地间的实际距离为x m ，根据题意得：＝，120005100x解得x ＝100．所以A 、B 两地间的实际距离为100m ．故选：C ．2﹒【知识点】比例线段．【分析】理解比例线段概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a ：b ＝c ：d （即ad ＝bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.因此可用线段比来判断，但也可让最小的与最大的相乘，另外两条相乘，看它们的乘积是否相等进行判断，相等则成比例，反之则不成比例．【解答】A.6×5≠10×4，故本选项错误；B.3×7≠2×9，故本选项错误；C.4×3＝2×6，故本选项正确；D.4×3≠11×2，故本选项错误；故选：C ．3﹒【知识点】比例的性质．【分析】比例的性质：两内项的积等于两外项的积，＝ad ＝bc （a 、b 、c 、d 均a b cd⇔不为0），根据比例的性质，代数式求值，可得答案．【解答】A.x ＝2，y ＝3时，3x ＝2y ，故A 正确；B.＝2x ＝3y ，故B 错误；xy32⇔C.当y ＝0时，＝无意义，故C 错误；xy23D.3x +2y ＝0得3x ＝－2y ，故D 错误.故选：A ．4﹒【知识点】比例的性质．【分析】利用“设参数法”求解更加简便．设x ＝2k ，y ＝3k ，然后代入比例式进行计算即可．【解答】∵＝，xy23∴可设x ＝2k ，y ＝3k ，则＝＝﹣5．x yx y+-2323k k k k +-故选：B ．5﹒【知识点】比例线段．【分析】比例中项的定义：一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式＝（或a b b cb 2＝ac ），那么b 就叫做比例中项.根据比例中项的定义列方程求解即可．【解答】∵线段c 为a ，b 的比例中项，∴c 2＝ab ，∵线段a ＝2，b ＝4，∴c 2＝8，∴c ＝，（负值舍去）故选：C ．6﹒【知识点】黄金分割．【分析】本题考查黄金分割：如果线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，当较长线段是较短线段和整条线段的比例中项时，那么就说这个点把整条线段黄金分割，这0.618）倍．本题还要注意分类讨论：当AC ＞BC ，根据黄金分割的定义得到AC AB ；当AC ＜BC ，则BC AB AC ＝AB ﹣BC 进行计算．【解答】∵线段AB ＝1，C 是线段AB 的黄金分割点，当AC ＞BC ，∴AC ＝AB 当AC ＜BC ，∴BC ＝AB∴AC ＝AB ﹣BC ＝1．故选：C ．7﹒【知识点】平行线分线段成比例．【分析】平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.先根据AH ＝2，HB ＝1求出AB 的长，然后根据平行线分线段成比例定理得到＝DE EF，计算得到答案．AB BC【解答】∵AH ＝2，HB ＝1，∴AB ＝3，∵l 1∥l 2∥l 3，∴＝＝，DE EF AB BC 35故选：D ．8﹒【知识点】相似多边形．【分析】一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.利用相似多边形的定义进行判定即可．【解答】A.所有的等边三角形都相似，正确；B.所有的等腰直角三角形都相似，正确；C.所有的菱形不一定都相似，故错误；D.所有的正方形都相似，正确．故选：C ．9﹒【知识点】相似三角形的性质．【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．根据△ABC ∽△DEF ，根据相似三角形的对应边成比例，即可得4：6＝8：x ，则可求得最长边的边长．【解答】∵△ABC 的三边长分别为4、6、8，与它相似的△DEF 的最短边长为6，∴4：6＝8：x ，解得：x ＝12，则△DEF 的最长边的长为12．故选：B ．10.【知识点】相似三角形的判定．【分析】判定两个三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；定理1：有两角对应相等的两个三角形相似；定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；定理3：三第7题图边对应成比例的两个三角形相似.由于两三角形有公共角，则根据有两角对应相等的两个三角形相似可对A 、B 选项进行判断；根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似可对C 、D 选项进行判断．【解答】∵∠DAE ＝∠CAB ，∴当∠AED ＝∠B 或∠ADE ＝∠C 时，△ABC ∽△AED ；当＝时，△ABC ∽△AED ．AD AC AE AB故选：D ．11.【知识点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由EF ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理，即可求得＝，则可求得DE DA EF ABAB 的长，又由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD 的长．【解答】∵DE ：EA ＝3：4，∴DE ：DA ＝3：7∵EF ∥AB ，∴＝，DE DA EF AB∵EF ＝3，∴＝，373AB 解得：AB ＝7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝7．故选：B ．12.【知识点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，证明AD ∥BC ，AD ＝BC ；得到△DEF ∽△BCF ，进而得到＝；证明BC ＝AD ＝2DE ，即可解决问题．EF FC DE BC【解答】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ；∴△DEF ∽△BCF ，∴＝；EF FC DE BC∵点E 是边AD 的中点，∴BC ＝AD ＝2DE ，∴＝．EF FC 12故选：B ．13.【知识点】相似三角形的应用．【分析】先证明△ABD ∽△ECD ，然后利用相似比计算AB 的长即可．【解答】∵AB ⊥BC ，CE ⊥BC ，∴AB ∥CE ，∴△ABD ∽△ECD ，∴＝，ABCE BD CD即＝，50AB 12060∴AB ＝100m ．故选：B ．14.【知识点】图形的位似；坐标与图形性质．【分析】一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形.经过对应两点的直线的交点叫做位似中心，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x ，y ）,位似图形与原图形的位似比为k ，则位似图形上的对应点的坐标为（kx ，ky ）或（－kx ，－ky ）.先利用等腰直角三角形的性质得出A 点坐标，再利用位似图形的性质求出即可．【解答】∵∠OAB ＝∠OCD ＝90°，AO ＝AB ，CO ＝CD ，等腰Rt △OAB 与等腰Rt △OCD 是位似图形，点B 的坐标为（1，0），∴BO ＝1，则AO ＝AB∴A （，），1212∵等腰Rt △OAB 与等腰Rt △OCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1：2，∴点C 的坐标为：（1，1）．故选：B ．15.【知识点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得＝EF AB ，＝，从而可得+＝+＝1．然后把AB ＝1，CD ＝3代DF DB EF CD BF BD EF AB EF CD DF DB BF BD入即可求出EF 的值．【解答】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，△B EF ∽△BCD ，∴＝，＝，EF AB DF DB EF CD BF BD∴+＝+＝1，EF AB EF CD DF DB BF BD ∵AB ＝1，CD ＝3，∴+＝1，1EF 3EF ∴EF ＝，34故选：C ．16.【知识点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出CE ＝3DE ，AB ＝2DE ，求出＝， ＝，根据平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AD ∥BC ，推出△DE CE 13DE AB 12DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，求出＝()2＝，＝()2＝，求DEF CEB S S ∆∆DE CE 19DEF ABF S S ∆∆DE AB 14出△CEB 的面积是9，△ABF 的面积是4，得出四边形BCDF 的面积是8，即可得出平行四边形ABCD 的面积．【解答】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∵CD ＝2DE ，∴CE ＝3DE ，AB ＝2DE ，∴＝，＝，DE CE 13DE AB 12∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，∴＝()2＝，＝()2＝，DEF CEB S S ∆∆DE CE 19DEF ABFS S ∆∆DE AB 14∵△DEF 的面积为a ，∴△CEB 的面积是9a ，△ABF 的面积是4a ，∴四边形BCDF 的面积是9a ﹣a ＝8a ，∴平行四边形ABCD 的面积是8a +4a ＝12a ，故选：D ．17.【知识点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】利用两角对应相等易得△AGD ∽△EAD ，那么＝问题得解．GA GD AE AD 【解答】∵四边形ABCD 是正方形，AF ⊥DE ，∴∠DGA ＝∠DAE ＝90°，∵∠ADG ＝∠ADG ，∴△AGD ∽△EAD ，∴＝，GA GD AE AD∴E为AB 的中点，∴＝＝，GA GD AE AD 12故选：B ．18.【知识点】相似形综合题．【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用以及等底等高的三角形的面积相等的运用；同时通过勾股定理能求直角三角形三边间的关系是解题的关键．由△AFG ∽△BFC ，可确定结论①正确；由△AFG ≌△AFD 可得FG ＝FD ＞FE ，所以点F 不是GE 中点，可确定结论②错误；由△AFG ≌△AFD 可得AG ＝AB ＝BC ，进而由△1212AFG ∽△BFC 确定点F 为AC 的三等分点，可确定结论③正确；因为F 为AC 的三等分点，所以S △ABF ＝S △ABC ，又S △BDF ＝S △ABF ，所以S △ABC ＝6S △BDF ，由此确定结1312论④错误．【解答】依题意可得BC ∥AG ，∴△AFG ∽△BFC ，∴＝，AGBC FGFB 又AB ＝BC ，∴＝，AG AB FGFB 故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG 与△BCD 中，3490AB BC BAG CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△BCD （ASA ），∴AG ＝BD ，又BD ＝AD ，∴AG ＝AD ；在△AFG 与△AFD 中，，90AG ADFAG FAD AF AF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AFG ≌△AFD （SAS ），∴FG ＝FD ，又△FDE 为直角三角形，∴FD ＞FE，∴FG ＞FE ，即点F 不是线段GE 的中点．故结论②错误；∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC AB ，∵△AFG ≌△AFD ，∴AG ＝AD ＝AB ＝BC ，1212∵△AFG ∽△BFC ，∴＝，AGBC AFFC ∴FC＝2AF ，∴AF ＝AC ＝，故结论③正确；13∵AF ＝AC ，13∴S △ABF ＝S △ABC ；13又D 为中点，∴S △BDF ＝S △ABF ，12∴S △BDF ＝S △ABC ，即S △ABC ＝6S △BDF ．16故结论④错误．综上所述，结论①③正确，故选：B ．19.【知识点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得出BO ∥CD 根据相似三角形的性质求得CD 的长是解题的关键．连结BO 并延长交AD 于点F ，连结OD ，可证得BO ⊥AD ，可得BO ∥CD ，可证明△CDE ∽△OBE ，可求得CD ，在Rt △ACD 中由勾股定理可求得AD ．【解答】如图，连结BO 并延长交AD 于点F ，连结OD ，∵OD ＝OA ，BD ＝BA ，∴BO 为AD 的垂直平分线，∵AC 为直径，∴CD ⊥AD ，∴∠BFA ＝∠CDA ，∴BO ∥CD ，∴△CDE ∽△OBE ，∴＝，CD BO CE OE∵OB ＝OC ＝3，CE ＝1，∴OE ＝2，∴＝，3CD 12∴CD ＝，32在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AD ，故选：A ．20.【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用.①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD ＝∠ADO 即可得到AC ∥OD ，所以∠DOB ＝∠CAO ，又因为∠CAO ＝∠ADC （都对着半圆弧），所以∠DOB ＝∠ADC ；②由①得OE ：EC ＝OD ：AC ，再由OD ≠AC ，可得CE ≠OE ；③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE ∽△ADO ；④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD ＝45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE ＝45°，再求证△CED ∽△COD ，利用其对应变成比例即可得出结论．【解答】①∵AB 是半圆直径，∴AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∵AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，∴∠CAD ＝∠DAO ＝∠CAB ，12∴∠CAD ＝∠ADO ，∴AC ∥OD ，∴∠DOB ＝∠CAO ，又∵∠CAO ＝∠ADC （都对着半圆弧），∴∠DOB ＝∠ADC 故①正确；②由题意得，OD ＝R ，AC R ，∵OE ：CE ＝OD ：AC ＝1，∴OE ≠CE ，故②错误；③∵在△ODE 和△ADO 中，只有∠ADO ＝∠EDO ，∵∠COD ＝2∠CAD ＝2∠OAD ，∴∠DEO ≠∠DAO ，∴不能证明△ODE 和△ADO 相似，∴③错误；④∵AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，∴∠CAD ＝×45°＝22.5°，12∴∠COD ＝45°，∵AB 是半圆直径，∴OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝67.5°∵∠CAD ＝∠ADO ＝22.5°，∴∠CDE ＝∠ODC ﹣∠ADO ＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴△CED ∽△COD ，∴＝，CD OD CE CD∴CD 2＝OD CE ＝AB CE ， 12 ∴④正确．故选：C ．二、填空题21.【知识点】比例的性质．【分析】根据已知设x ＝k ，y ＝3k ，代入求出即可．【解答】∵＝，x y 13∴设x ＝k ，y ＝3k ，∴＝＝－，x y y-33k k k -23故答案为：﹣．2322.【知识点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方分情况讨论求解即可．【解答】∵两个相似三角形的对应高的比是1：3，∴它们的相似比是1：3，设另一个三角形的面积是x ，则＝()2或＝32，9x 139x 解得x ＝1或x ＝81，故答案为：1或81．23.【知识点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．【分析】本题考查了平行线分线段成比例、三角形中位线定理．解题时利用了“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”．过点D 作EC 的平行线DG ，得到BE 的中点G ，再用平行线分线段成比例定理得到AE ：EG ＝AF ：FD ，然后求出的值．AF FD【解答】如图：过点D 作DG ∥EC 交AB 于G ，∵AD 是BC 边上的中线，∴GD 是△BEC 的中位线，∴BD ＝CD ，BG ＝GE ．∵＝，AE EB 16∴＝，AE EG 13∵DG ∥EC ，∴＝＝．AE EG AF FD 13故答案是：．1324.【知识点】平行线分线段成比例；平移的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】本题主要利用了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质求解，找出阴影部分和三角形面积之间的关系是关键．根据平移的性质，判断出△HEC ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质列出比例式解答．【解答】由平移的性质知，BE ＝5，DE ＝AB ＝10，∴HE ＝DE ﹣DH ＝10﹣3＝7，∴S 四边形HDFC ＝S 梯形ABEH ＝(AB +EH )BE ＝(10+7)×5＝42.5．12 12故答案为：42.5．25.【知识点】相似多边形的性质；等腰直角三角形．【分析】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．也考查了等腰直角三角形．先计算出S △ABC ＝2，在利用相似三角形的性质计算出S △CDE ＝，同理可得S △12BEF ＝，则S 1＝1，再证明四边形E 1D 1FF 1与四边形EDAF 相似，利用相似多边形的12性质得＝()2＝，可计算得S 2＝，同理可得S 3＝()2，然后根据由此规律21S S 1D E EF 141414易得S 2016的值．【解答】∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴S △ABC ＝×2×2＝2，12∵点E 为BC 的点，ED ∥AB ，∴＝()2＝，CDE ABCS S ∆∆CE BC 14∴S △CDE ＝，12同理可得：S △BEF ＝，12∴S 1＝1，∵取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，∴四边形E 1D 1FF 1与四边形EDAF 相似，∴＝()2＝，21S S 1D E EF 14∴S 2＝，14同理可得：S 3＝()2，14由此规律可得：S 2016＝()2015．14故答案为：()2015．1426.【知识点】相似三角形的判定；圆周角定理．【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，主要利用了两组角对应相等的三角形相似，注意找三角形时要按照一定的顺序，做到不重不漏．根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB ＝90°，根据两直线平行，同位角相等可得∠AED ＝∠ACB ＝90°，根据两组角对应相等的三角形相似，结合图形找出所有的直角三角形即可．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，∴图中所有的直角三角形都是相似三角形，∴与△ABC 相似的三角形有：△AED 、△DCE 、△ACD 、△CBD 共4个．故答案为：4．27.【知识点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ，进而得出答案．【解答】∵A （1，2）以原点O 为位似中心将△ABC 放大2倍，∴点A 对应的点A 1的坐标是：（1×2，2×2）或（﹣2×1，﹣2×2）即（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．28.【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质.【分析】因为是一副三角板如图所示叠放，所以易得AB ∥DC ，然后得△AOB ∽△DOC ，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质得出相似比等于1，再根据相似的两个三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】如图，∵∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∴AB ∥DC ，∴△AOB ∽△DOC ，在Rt △DOC 中，∠D ＝30°，∴BD ＝2BC ，由勾股定理，得： (2BC )2 －BC 2＝DC 2，∴BC ：DC ＝1，∴k ＝AB ：DC ＝BC ：DC ＝1，∴S △AOB ：S △DOC ＝k 2＝1：3，故答案为：1：3.29.【知识点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠C ＝∠A ＝60°，对边相等可得CD ＝AB ，然后含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得DF :CD ，再求出①正确；根据两角对应相等，两三角形相似求出△ADE 和△CDF 相似，根据相似三角形对应边成比例求出②正确；再求出∠EDF ＝60°，然后根据两边对应成比例，夹角相等求出△ABD 和△DFE 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠DFE ＝∠ABD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CDB ＝∠ABD ，然后求出③正确；根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形求出△ABD 的面积，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可得到△DEF 的面积为3，从而判断出④正确．【解答】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠C ＝∠A ＝60°，∵DF ⊥BC ，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝CD ，12由勾股定理，得：DF 2+(CD )2＝CD 212∴ DF ：CD ，∴ DF ：AB :2，故①正确；∵∠A ＝∠C ＝60°，∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ∽△CDF ，∴＝，DE DF AE CF即DE CF ＝DF AE ，故②正确；∵∠A ＝∠C ＝60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠ADE ＝∠CDF ＝90°﹣60°＝30°，∵∠A ＝60°，AB ∥CD ，∴∠ADC ＝180°﹣60°＝120°，∴∠EDF ＝120°﹣60°＝60°，∴∠A ＝∠EDF ＝60°，∵＝＝＝，DE DF AE CF AD CD AD AB∴△ABD ∽△DFE ，∴∠DFE ＝∠ABD ，∵AB ∥CD ，∴∠CDB ＝∠ABD ，∴∠CDB ＝∠DFE ，故③正确；∵∠A ＝∠C ，∠DFC ＝∠DEA ＝90°，∴△DAE ∽△DCF ，∴＝DE AD DF CD ∵ABCD 的面积为8，∴△ABD 的面积为4，∵△ABD ∽△DEF ，∴＝()2＝)2＝，所以，S ＝3，4DEF S DE AD 34即△DEF 的面积为3，故④正确．综上所述，结论正确的是①②③④．故答案为：①②③④．30.【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．【分析】首先连结BC ，由AC 平分∠BAD ，易证得∠BDC ＝∠CAD ，继而证得△CDE ∽△CAD ，然后由相似三角形的对应边成比例求得AE 的长．【解答】连结BC ，∵AC 平分∠BAD ，∴＝， BCCD ∴∠BDC ＝∠CAD ，∵∠ACD ＝∠DCE ，∴△CDE ∽△CAD ，∴CD ：AC ＝CE ：CD ，即CD 2＝AC CE ，设AE ＝x ，则AC ＝AE +CE ＝4+x ，∴62＝4(4+x )，解得：x ＝5．∴AE ＝5．故答案为：5．三、解答题31.【知识点】比例的基本性质.【分析】本题采用参数法较容易，先设＝＝＝k ，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝6k ，然后3x 4y 6z 将x ，y ，z 的值代入所求代数式即可求值.【解答】设＝＝＝k ，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝6k ，3x 4y 6z ∴＝＝＝.22x y z x y z+--+32462346k k k k k k +⨯-⨯-+58k k 5832.【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.【分析】（1）先证∠APD ＝∠B ＝∠C ，从而得到△ABP ∽△PCD ，继而得到＝，再由AB ＝AC 即可得证；（2）由PD ∥AB 可得∠APD ＝∠BAP ，然后得BP CD AB CP∠BAP ＝∠C ，从而得△BAP ∽△BCA ，再用相似三角形的性质列出比例式即可求出BP 的长.【解答】（1）（1）∵AB ＝A C ，∴∠B ＝∠C ．∵∠APD ＝∠B ，∴∠A PD ＝∠B ＝∠C ．∵∠APC ＝∠BAP +∠B ，∠APC ＝∠APD +∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴＝，BP CD AB CP即AB CD ＝CP BP ．∵AB ＝AC ，∴AC CD ＝CP BP ；（2）∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP ．∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C ．∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴＝．BA BC BP BA∵AB ＝10，BC ＝12，∴＝，101210BP ∴BP ＝．25333.【知识点】图形的位似．【分析】画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连结并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连结上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．（1）延长AB 到，使＝2AB ，B 'AB '得到B 的对应点，同样得到C 、D 的对应点，，再顺次连结即可；（2）利用B 'C 'D '勾股定理求出2＝42+82＝80，＝62+22＝40，2＝62+22＝40，那么＝AC '2AD 'C D ''AD '，+2＝2，即可判定△是等腰直角三角形．C D ''2AD 'C D ''AC 'AC D ''【解答】（1）如图所示：（2）∵2＝42+82＝16+64＝80，＝62+22＝36+4＝40，2＝62+22＝36+4＝40，AC '2AD 'C D ''∴＝，+2＝2，AD 'C D ''2AD 'C D ''AC '∴△是等腰直角三角形．AC D ''34.【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO ＝BD ，由等量代换推出OE ＝BD ，根据1212平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO ＝∠CDE ，推出△BDE ∽△CDE ，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝BD ，12∵OE ＝OB ，∴OE ＝BD ，12∴∠BED ＝90°，∴DE ⊥BE ；（2）∵OE ⊥CD ，∴∠CEO +∠DCE ＝∠CDE +∠DCE ＝90°，∴∠CEO ＝∠CDE ，∵OB ＝OE ，∴∠DBE ＝∠CDE ，∵∠BED ＝∠BED ，∴△BDE ∽△CDE ，∴＝，BD CD DE CE即BD CE ＝CD DE .35.【知识点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明△ADF ∽△EBF ，得到∠1＝∠E ；而∠1＝∠2，得到∠2＝∠E ；证明△BEF ∽△GBF ，列出比例式即可解决问题．【解答】∵＝，且∠AFD ＝∠EFB ，AF EF DF BF∴△ADF ∽△EBF ，∴∠1＝∠E ，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠E ；∵∠BFG ＝∠EFB ，∴△BEF ∽△GBF ，∴＝，EF BF BF FG即BF 2＝FG EF ．36.【知识点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，得出∠AMB ＝∠EAF ，再由∠B ＝∠AFE ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM ∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可得出DE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF ，又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA ；（2）∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5，∴AM ＝13，AD ＝12，∵F 是AM 的中点，∴AF ＝AM ＝6.5，12∵△ABM ∽△EFA ，∴＝，BM AF AM AE即＝，56.513AE ∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE ﹣AD ＝4.9．37.【知识点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ACD ∽△AFC ，得到＝，即可解决问题．（2）证明AC AF AD ACA 、E 、F 、C 四点共圆，得到∠AFE ＝∠ACE ，这是解决该问题的关键性结论；证明∠AFE ＝∠B ，结合∠FAE ＝∠BAD ，得到△AEF ∽△ADB ，列出比例式即可解决问题．【解答】（1）如图，∵∠ACB ＝90°，CF ⊥AD ，∴∠ACD ＝∠AFC ，而∠CAD ＝∠FAC ，∴△ACD ∽△AFC ，∴＝，AC AF AD AC∴AC 2＝AF AD ．（2）如图，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°，∴A 、E 、F 、C 四点共圆，∴∠AFE ＝∠ACE ；而∠ACE +∠CAE ＝∠CAE +∠B ，∴∠ACE ＝∠B ，∠AFE ＝∠B ；∵∠FAE ＝∠BAD ，∴△AEF ∽△ADB ，∴AE ：AD ＝BD ：EF ，即AE DB ＝AD EF ．38.【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED ＝∠CBA ，再由公共角相等，即可证出△CDE ∽△CAB ；（2）由等腰三角形的性质得出∠C ＝∠CBA ，证出∠C ＝∠CED ，得出DE ＝CD ，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD ＝BD ，即可得出DE ＝BD ；（3）△CDE ∽△CAB 得＝，由此等式即可求出CE 的长，再由圆周角定理得出CE BC CD AC∠AEB ＝∠BEC ＝90°，根据勾股定理即可求出BE 的长．【解答】（1）证明：连结AD ，如图所示：∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠CED ＝∠CBA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ；（2）证明：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠CBA ，∴∠C ＝∠CED ，∴DE ＝CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴CD ＝BD ，∴DE ＝BD ；（3）由（1）知：△CDE ∽△CAB ，∴＝，CE BC CD AC由（2）知：CD ＝BD ＝BC ＝3，AC ＝AB ＝5，12∴CE ＝＝＝，CD BC AC 365⨯185∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴BE ＝．245。

浙教版数学九年级上册相似三角形综合提高卷

浙教版数学九年级上册相似三角形综合提高卷

浙教版数学九年级上册相似三角形综合提高卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．2．（3分）（2014•台湾）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC 的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6 B．1：9 C．2：13 D．2：153．（3分）（2010•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．下面结论错误的是（）C．D N=2NF D．△AME∽△DNC A．△ABM≌△CDN B．AM=AC4．（3分）（2005•聊城）如图是巴西FURNAS电力公司的标志及结构图，作者用一大一小两颗星巧妙地重叠组合，自然地把高压输电塔与五角星﹣这一光明的象征联系在一起，那么结构图中的两个阴影三角形的面积之比为（）A．B．C．D．5．（3分）（2004•新疆）△ABC中，∠A=30°，BD是AC边上的高，若，则∠ABC=（）A．30°B．60°C．90°D．30°或90°6．（3分）（2001•安徽）如图，AB是⊙O的直径，l1，l2是⊙O的两条切线，且l1∥AB∥l2，若P是PA、PB上一点，直线PA、PB交l2于点C、D，设⊙O的面积为S1，△PCD的面积为S2，则=（）A．πB．C．D．7．（3分）（2001•咸宁）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（）A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：38．（3分）（1999•青岛）如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E，F，如果BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（）A．a B．aC．bD．b9．（3分）（2001•绍兴）如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AC、BD交于点O，若，则△AOD与△BOC的周长比是（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．4：510．（3分）（2014•河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对二．填空题（共6小题，满分20分）11．（3分）（2013•潍坊）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．12．（3分）（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=．13．（3分）（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC 于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为cm．14．（3分）（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．15．（3分）（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是．16．（5分）（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC 及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．18．（6分）（2011•成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD 上一动点．（1）若BK=KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．19．（8分）（2010•清远）如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM．（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数．（2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM•OB=DF•MC．20．（8分）（2010•来宾）如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF 所在直线上，点C的对应点为H．（1）证明：AF∥HG（图（1））；（2）证明：△AEF∽△EGH（图（1））；（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．求此时∠BAC的大小．21．（8分）（2009•甘南州）已知如图，▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．（1）求证：AB=BH；（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．22．（8分）（2008•徐州）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是．（直接写出结论，不必证明）探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．23．（8分）（2006•泰安）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A．（1）试问：AB•FG=CF•CA成立吗？说明理由；（2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形．浙教版数学九年级上册相似三角形综合提高卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC求解．解答：解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解．2．（3分）（2014•台湾）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC 的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6 B．1：9 C．2：13 D．2：15考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．解答：解：∵AE：ED=2：1，∴AE：AD=2：3，∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD=4：9，∴S△ACD=S△ABE，∵AE：ED=2：1，∴S△ABE：S△BED=2：1，∴S△ABE=2S△BED，∴S△ACD=S△ABE=S△BED，∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=2S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，∴S△BDE：S△ABC=2：15，故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．3．（3分）（2010•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．下面结论错误的是（）C．D N=2NF D．△AME∽△DNC A．△ABM≌△CDN B．AM=AC考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：由在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，可证得四边形BFDE是平行四边形，继而可利用AAS判定△ABM≌△CDN；易证得△AME∽△CMB，△AND∽△CNF，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AM=AC，DN=2NF．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，AB=CD，AD=BC，∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠AMB=∠ANF=∠CND，∠EBF=∠EDF，∴∠ABM=∠CDN，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（AAS）；故A正确；∵AD∥BC，∴△AME∽△CMB，∴AE：BC=AM：CM=1：2，∴AM=AC；故B正确；∵AD∥BC，∴△AND∽△CNF，∴AD：CF=DN：NF=2，∴DN=2NF；故C正确；∵AB∥CD，AD∥BC，∴△AME∽△CMB∽△CNF∽△AND，△ABM∽△CND，但△AME与△DNC不一定相似．故D错误．由于该题选择错误的，故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．（3分）（2005•聊城）如图是巴西FURNAS电力公司的标志及结构图，作者用一大一小两颗星巧妙地重叠组合，自然地把高压输电塔与五角星﹣这一光明的象征联系在一起，那么结构图中的两个阴影三角形的面积之比为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：图中阴影部分的两个三角形是正五角星的两个角，即都是顶角为36°的等腰三角形，因此两个三角形相似，根据顶角为36°的等腰三角形的底边与腰的比为黄金分割比，即；而大三角形的底边又是小三角形的腰，所以小三角形底边与大三角形的底边之比为：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出S小：S大=．解答：解：由题意，知：△ABC和△ECD都是顶角为36°的等腰三角形∴△ABC∽△ECD在△ECD中，∵∠E=36°，EC=ED∴CD：EC=∵AC=CD，∴AC：EC=∴=（）2=．故本题选D．点评：此题主要考查了相似三角形的性质和顶角为36°的等腰三角形中底边与腰的比为黄金分割比这两个知识点．5．（3分）（2004•新疆）△ABC中，∠A=30°，BD是AC边上的高，若，则∠ABC=（）A．30°B．60°C．90°D．30°或90°考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据题意画出图形，当△ABC中为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件可以推出△ABD∽△BCD，即可得出∠ABC的度数．解答：解：（1）如图，当△ABC中为锐角三角形时，∵BD⊥AC，，∴△ABD∽△BCD，∵∠A=30°，∴∠ABD=∠C=60°，∠A=∠CBD=30°，∴∠ABC=90°．（2）如图，当△ABC中为钝角三角形时，∵BD⊥AC，，∴△ABD∽△BCD，∵∠A=30°，∴∠ABD=∠DCB=60°，∠A=∠DBC=30°，∴∠ABC=30°．故选择D．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，分别进行讨论解答．6．（3分）（2001•安徽）如图，AB是⊙O的直径，l1，l2是⊙O的两条切线，且l1∥AB∥l2，若P是PA、PB上一点，直线PA、PB交l2于点C、D，设⊙O的面积为S1，△PCD的面积为S2，则=（）A．πB．C．D．考点：平行线分线段成比例；三角形的面积．专题：压轴题．分析：要求面积比，就要先分别求出它们的面积，根据面积公式计算即可．解答：解：设圆的半径是a，则S1=πa2，AB=2a，根据AB∥CD，则=，因而CD=2AB=4a，CD边上的高等于圆的直径，因而△PCD的面积为S2=CD•2a=4a2，因而==．故选C．点评：正确利用圆的半径表示出圆面积以及三角形的面积是解决本题的关键．7．（3分）（2001•咸宁）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于P，则AP：PD等于（）A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．4：3考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：首先过点D作DF∥BE，由AD是BC边上的中线，根据平行线分线段成比例定理，即可得EF=FC，又由AE：EC=1：2，即可得AE=EF=FC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得AP：PD的值．解答：解：过点D作DF∥BE，交AC于F，∴AD是BC边上的中线，即BD=CD，∴EF=CF，∵AE：EC=1：2，∴AE=EF=FC，∴AE：EF=1：1，∴AP：PD=AE：EF=1：1．故选A．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系．8．（3分）（1999•青岛）如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E，F，如果BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（）A．a B．aC．bD．b考点：平行线分线段成比例；平行线的判定；弦切角定理；切割线定理．专题：计算题；压轴题．分析：如图，连接DE，由于CB是圆的切线，所以∠BDE=∠BAD，而∠DEF=∠DAC=∠BAD，由此得到∠BDE=∠DEF，接着得到EF∥CB，利用平行线分线段成比例得到AB：AC=AE：AF，而根据AD是△ABC的角平分线可以得到AB：AC=BD：DC，推出AE：AF=BD：DC，已知BD=AE，可推出AF=CD，再利用切割线定理知道CD2=CF•CA，而CA=CF+AF=CF+CD，由此得到关于AF的一元二次方程，解方程即可求出AF的长度．解答：解：如图，连接DE，∵CB是圆的切线，∴∠BDE=∠BAD，而∠DEF=∠DAC=∠BAD，∴∠BDE=∠DEF，∴EF∥CB，∴AB：AC=AE：AF，∵AD是△ABC的角平分线，∴AB：AC=BD：DC，∴AE：AF=BD：DC，而BD=AE，∴AF=CD，又∵BC相切于点D，∴CD2=CF•CA，而CA=CF+AF=CF+CD，∴AF2=CF（CF+AF），而CF=b，∴AF2=b2+AF×b，∴AF2﹣AF×b﹣b2=0，∴AF=（负值舍去）．故选：C．点评：此题比较复杂，把平行线分线段成比例放在圆的背景中，首先利用切线的性质来构造平行线，再利用平行线分线段成比例解决问题．9．（3分）（2001•绍兴）如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AC、BD交于点O，若，则△AOD与△BOC的周长比是（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．4：5考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：压轴题．分析：根据相似三角形的性质及梯形的面积公式，可求得其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案．解答：解：设梯形的高是h，则△ABC的面积是BC•h∵梯形ABCD得面积是（AD+BC）•h，根据∴BC=（AD+BC）∴5AD=2AD+2BC∴=，∵AD∥BC∴△AOD∽△COB，∴△AOD与△BOC的周长比是2：3．故选B．点评：本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．10．（3分）（2014•河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对考点：相似三角形的判定；相似多边形的性质．专题：数形结合．分析：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．解答：解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．点评：此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共6小题，满分20分）11．（3分）（2013•潍坊）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=．考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）．专题：几何综合题；压轴题．分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC===8，设AD=2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE=DE=DE1=A1E1=x，∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴=，即=，解得DF=x，在Rt△DE1F中，E1F===，又∵BE1=AB﹣AE1=10﹣3x，△E1FA1∽△E1BF，∴=，∴E1F2=A1E1•BE1，即（）2=x（10﹣3x），解得x=，∴AD的长为2×=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．（3分）（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．13．（3分）（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC 于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5 cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．14．（3分）（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．专题：压轴题．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴=，∴S△AED=7，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；故④正确．故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15．（3分）（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，在△ABG和△BCD中，故△ABG≌△BCD（ASA），则AG=BD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．16．（5分）（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC 及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．考点：位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m﹣n）2，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问．解答：解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正确）（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=，PE=n．∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．∴S=m2+n2=PN2，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．∴S最小=；②当（m﹣n）2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m+n=3，由（2）知，m最大=3﹣3．∴S最大=[9+（m最大﹣n最小）2]=[9+（3﹣3﹣6+3）2]=99﹣54…．（S最大≈5.47也正确）综上所述，S最大=99﹣54，S最小=．点评：本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．18．（6分）（2011•成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD 上一动点．（1）若BK=KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）由已知得=，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．解答：解：（1）∵BK=KC，∴=，又∵CD∥AB，∴△KCD∽△KBA，∴==（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD；证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，又∵∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，∵EF=EG+GF，即：AB=BC+CD；∴AB=BC+CD；同理，当AE=AD（n＞2）时，EF∥AB，同理可得：==，则BG=•BC，则EG=BG=•BC，==，则GF=•CD，==，∴+•CD=•AB，∴BC+CD=（n﹣1）AB，故当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n﹣1）AB．点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．19．（8分）（2010•清远）如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM．（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数．（2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM•OB=DF•MC．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）点P与点O重合时，CE是直径，由圆周角定理知：∠CDE=90°．即DE⊥CF，由此可得∠FDM=90°．（2）图11和图12的解法大致相同，以图11为例，先将所求的乘积式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即证△OMC∽△DMF；由于AB是直径，由垂径定理知A是弧CE的中点，由圆周角定理可得∠D=∠COM，而MP垂直平分CE，即可证得∠CMP=∠EMP，所以它们的补角也相等，即∠OMC=∠DMF，由此可证得△OMC∽△DMF，即可得到所求的结论．（要注意的是OC=OB，这步需要用到等量代换）图12的证法同上．解答：（1）解：点P与点O重合时，（如上图1）∵CE是直径，∴∠CDE=90°．（1分）∵∠CDE+∠FDM=180°，∴∠FDM=90°．（2分）（2）证明：当点P在OA上运动时（如上图2）∵OP⊥CE，∴，CP=EP．∴CM=EM．∴∠CMP=∠EMP．∵∠DMO=∠EMP，∴∠CMP=∠DMO．∵∠CMP+∠DMC=∠DMO+∠DMC，∴∠DMF=∠CMO．（3分）∵∠D所对的弧是，∠COM所对的弧是，∴∠D=∠COM．（4分）∴△DFM∽△OCM．∴=∴FM•OC=DF•MC．∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．（5分）当点P在OB上运动时，（如右图）证法一：连接AC，AE．∵OP⊥CE，∴，CP=EP．∴CM=EM，∴∠CMO=∠EMO．∵∠DMF=∠EMO，∴∠DMF=∠CMO．（6分）∵∠CDE所对的弧是，∠CAE所对的弧是．∴∠CDE+∠CAE=180°．∴∠CDM+∠FDM=180°，∴∠FDM=∠CAE．∵∠CAE所对的弧是，∠COM所对的弧是，∴∠CAE=∠COM．∴∠FDM=∠COM．（7分）∴△DFM∽△OCM．∴=．∴FM•OC=DF•MC．∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．（8分）证法二：∵OP⊥CE，∴，，CP=EP．∴CM=EM，∴∠CMO=∠EMO．∵∠DMF=∠EMO，∴∠DMF=∠CMO．（6分）∵∠CDE所对的弧是，∴∠CDE=度数的一半﹣的度数=180°﹣的度数．∴∠FDM=180°﹣∠CDE=180°﹣（180°﹣的度数）=的度数．∵∠COM=的度数．∴∠FDM=∠COM．（7分）∴△DFM∽△OCM．∴=．∴FM•OC=DF•MC．∵OB=OC，∴FM•OB=DF•MC．（8分）。

浙教版2022年九年级(上)相似三角形单元测试卷(学生版)

浙教版2022年九年级(上)相似三角形单元测试卷(学生版)

浙教版2022年九年级（上）相似三角形单元测试卷一．选择题（共10小题）1．若，则等于（）A．﹣5 B．5 C．D．2．下列四条线段成比例的是（）A．4，2，1，3 B．1，2，2，4 C．3，4，5，6 D．1，2，3，53．点D，E是△ABC边AB，AC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得△ABC∽△AED，则下列选项不成立的是（）A．B．C．∠C＝∠ADE D．∠B＝∠AED4．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DE＝（）A．B．C．D．5．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）A．（4﹣4）cm B．（4﹣2）cm C．（4+4）cm D．（4﹣4）cm6．已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么它们的面积比为（）A．2：3 B．8：18 C．4：9 D．16：817．如图，E是▱ABCD的边DA的延长线上的一点，连接CE，交边AB于点P．若，则△AEP 与△BCP的周长之比为（）A．B．C．D．8．如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（）A．B．C．6 D．9．如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AF：EF的值为（）A．3：2 B．4：3 C．5：3 D．5：410．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，且AE＝AD，作DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF＝BE；②DE为∠FDC的角平分线；③若AD＝AB，则OF：BF＝CE：CG；④若AE平分∠BAD，DE＝2，则矩形ABCD的面积为2+．则正确结论的个数是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（共6小题）11．在1：200000的地图上，两地在地图上的距离是3.5厘米，那么这两地的实际距离为千米．12．如图，若AC是BC与AB的比例中项，AB＝4，求AC＝．13．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果，那么AB＝．14．如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝．15．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AMAF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②FK＝3NK；③∠AFN＝∠HFG；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有．三．解答题（共7小题）17．如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（1，3），C（4，2）（网格中每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，相似比为2．（1）请在第一象限内画出△A'B'C'；（2）若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．（1）求证：△ABP∽△PCM（2）当BP＝2cm时，求CM的值；（3）当MP⊥BC时，求BP的值．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F在⊙O上．（1）求证：∠ACD＝∠BCO；（2）若OC⊥AF，CD＝BE＝8，求CF的长．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝，点E是BC的中点，AE⊥BD于点F．（1）求BE的长；（2）延长FE交DC的延长线于点G，求证：．22．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝8，求CG的长．23．矩形ABCD中，BC＝2AB，M为AD边的中点，点P为对角线BD的中点，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F．（1）如图，则＝2．（2）求证：BE﹣2MF＝AB．（3）作射线EF与射线BD交于点G，若BE：AF＝3：4，EF＝，求DG的长．。

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相似三角形综合测试题
一、选择题（3´×8）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A ．任意两个等腰三角形相似
B ．任意两个菱形相似
C ．任意两个矩形相似
D ．任意两个等边三角形相似
2．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
3．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同
学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ． 11.5米 B ． 11.75米 C ． 11.8米 D ． 12.25米 4．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ． 2 cm ² B ． 4 cm ² C ． 8 cm ² D ． 16 cm ²
5．将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ） A ．1∶3∶5∶7 B ．1∶2∶3∶4 C ．1∶2∶4∶5 D ．1∶2∶3∶5
6．如图D 是锐角ΔABC 边上一点，过D 的直线交于另一边，截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
7．如图□ABCD 中,Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ:CQ=4:3，则AP:PR=（ ） A ．4:3
B ．4:7
C ．3:4
D ．3:7
8．如图，梯形ABCD 的对角线相交于点O ，有如下结论：①ΔAOB ∽ΔCOD ，②ΔAOD ∽ΔBOC ，③S ΔAOD =S ΔBOC ，④S ΔCOD :S ΔAOD =DC:AB ；其中一定正确的有
（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（3´×4）
9.a=4，b=9，则a 、b 的比例中项是 .
10.如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE ，则：
ADE ACE ABE ∠+∠+∠等于 度.
11．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．
12．如图ABC ∆中，AB CD ⊥，垂足是D ，下列条件中能证明ABC ∆是直角三角形的有 （只填序号）。

①
90=∠+∠B A ②2
2
2
BC AC AB += ③
BD
CD AB AC =
④BD AD CD ⋅=2
三、解答题（64´）
13．（6´）已知：15
1110a
c c b b a +=
+=+，求 c b a ::的值
14．（6´）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC.
15.（6´）直角梯形ABCD 中，
90=∠=∠B A ，7=AB ，2=AD ，3=BC ，在AB
上取一点P ，使APD ∆与BPC ∆相似，求AP 的长。

R
Q
P
D
C
B
A
O
C
D H
G
F
E D
C
B
A
D C
B
A P
D
A
16．（8´）已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． （1
）求
AE
AC
的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．
17.（8´）如图，已知：DE
BC
AE AC AD AB =
=，求证：BD AC CE AB ⋅=⋅
18．（10´）如图ABC ∆中，边BC=60，高AD=40，EFGH 是内接矩形，HG 交AD 于P ，设HE=x, （1）求矩形EFGH 的周长y 与x 的函数关系式；
（2）求矩形EFGH 的面积S 与x 的函数关系式。

19．（10´）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
20．（10´）如图，二次函数()()1
248
y x ax b =
++的图像经过点A （-4，3）
、B （4，4）． （1）求二次函数的解析式； （2）求证：△ACB 是直角三角形；
（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．
P H
G
A
E
D
C
A
参考答案
一、选择题（本题共8 小题，每小题3 分，满分24分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题3 分，满分 12 分）
9.±6； 10.90； 11. 6； 12. ①、②、④；。

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