2010年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案

2010年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案（湖南）

一、选择题（5×7=35）

1、已知3m －1 和m －7是数 p 的平方根，则p 的值为（ ） A ，100 B ，25 C.10或5 D. 100或25

2、若20a b

=，10b c =，则a b b c ++的值为（ ）

A.

1121 B 2111 C 11021

D 210

11

3、一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为400米和600米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过窗口的时间是3秒，则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）

A 2秒

B 3秒

C 4秒

D 4.5秒

4、如图，一个半径为3的圆O1经过一个半径为

的圆O2的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）

A 92

B 9

C 992

∏- D 992∏- 5、若实数a 、b 满足2

1

202

a a

b b

-++=，则a

的取值范围是（ ）

A a ≤－2

B a ≥4

C a ≤－2或a ≥4

D －2≤a ≤4 二、填空题（5×7=35）

6、若干名同学制作迎国庆卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为a ,中位数为b ，

众数为c ，则a 、b 、c 的大小关系为

7、一副三角板如图所示叠放在一起，则如中∠BDF 的度数是

8、已知关于x 的方程2

2

(2)10x x

a ---=有一个根为－1，设这个方

程另一个根为m ，则m

a

的值为 。

9、如图，将一张边长分别为4和2的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为

交于点E ，且DE ∥BC ，已知AE=AE=，BC=6，则圆O 的半径是

三、解答题（其中11——14小题每题15分，第15题20分，共80分）

11、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的中点为坐标原点，顶点A的坐标为A（1,1），y轴上一点

P（0,2）绕点A旋转180°得到点P1，

点P1绕点B旋转180°得到点P2，点

P2绕点C旋转180°得点P3，点P3

绕点D旋转180°得点P4，……。重复

操作依次得到点P1，P2，P3，……

（1）、求点P1、P2、P3的坐标；

（2）、求点P2010的坐标。

12、一辆货车、一辆客车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前。小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，过了10分钟，小轿车追上了客车；又过了5分钟，小轿车追上了货车；再过t分钟，客车追上了货车，求t的值.

13、如图，在平面直角坐标系xOY 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l 经过点M(2,3),且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式。

14、如图，谢线AM,BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE 、BN 于点F 、C ，过顶C 作品AM 的垂线

CD ，垂足为D 。若CD=CF ，求AE

AD

的值。

15、如图，抛物线2

y bx ax

=

+（a ＞0）与双曲线k

y x

=

相交于点A ，B ，已知点A 的坐标为（1,4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为原点）。

（1）、求实数a 、b 、k 的值；

（21）、过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标。

参考答案

1、D 、3m-1和m-7 是数p 的平方根，则 3m-1=m-7或3m-1+m-7=0 m=–3 或m=2 当m=-3时,3m-1=-10 p=100 当m=2时,3m-1=5 p=25

2、D 、a=20b,b=10c a=200c

20010210210

101111a b C C C b c C C C ++===++

3、A 、设高速列车和普通列车的车速分别为x 米8秒、y 米/秒，则 x+y=600÷3=200（米/秒） 所以坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是：400÷200=2（秒）

4、C 、连结O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B

O1O2=O1A=3,O2A=

222

1212O O O A O A +=

∠O2O1A=90°同理∠O2O1B=90°

∴点A 、O1、B 在同一条直线上，并且∠AO2B=90° AB 是圆O1的直径

∴S 阴影=12S ⊙1－S 弓形AO1B=1

2S ⊙1－(S 扇形AO2B －S △AO2B)

=2

211

·-24

3∏∏

⋅1

2

+⨯ =9

5、C、方程变形为：2

1

20

2

ab a

b-++=，b为实数

△=

21

41(2)

2

()a

a-⨯⨯+

-≥0 化简得228

a

a--≥0

(a-4)(a+2)≥0 ∴a≥4或a≤－2

6、b＞a＞c

共有4+3+3=10名同学制作图片，制作的张数为4,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6

平均数a=445363

10

⨯+⨯+⨯

=4.9, 中位数b=5，众数c =4

7、75°∠ABC=45°∠DEF=30°

∴∠BDE=∠ABC－∠DEF=15°

∴∠BDF=∠EDF－∠BDE=90°－15°=75°

8

根据根与系数的关系可得：

－1+m=22

a-－1+m=－1

∴m=1,a=

∴m a=

9

C与A重合EF是AC的垂直平分线

CG=11

22

AC=⨯=

可证：△CFG≌△AEG FG=EG=1

2 EF

可证：△CFG∽△CAD FG:AD=CG:CD

4

FG=

2∴

10

、延长AC交⊙O于点F，连结DF ∵DE∥BC ∴∠DEF=180°－∠ACB=90°