结构力学自由度及几何分析讲解
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结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学 2几何组成分析
II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变
结构力学自由度的概念
结构力学自由度的概念结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏规律的学科。
在结构力学中，自由度是一个非常重要的概念。
本文将从定义、分类和应用三个方面来介绍结构力学自由度的概念。
一、定义自由度是指一个物体在空间中能够自由运动的方向数。
在结构力学中，自由度是指一个结构体系中能够自由变形的方向数。
例如，一个悬臂梁在平面内只能够沿着梁轴方向和垂直于梁轴方向进行变形，因此它的自由度为2。
而一个三维空间中的刚性立方体可以沿着三个方向进行自由变形，因此它的自由度为3。
二、分类结构力学中的自由度可以分为平动自由度和转动自由度两种。
平动自由度是指结构体系中能够沿着直线方向自由变形的方向数，例如悬臂梁的平动自由度为1。
转动自由度是指结构体系中能够绕某个轴线自由旋转的方向数，例如悬臂梁的转动自由度为1。
在实际工程中，结构体系的自由度往往是非常复杂的，需要通过数学方法进行求解。
例如，对于一个由n个节点和m个杆件组成的平面桁架，其总自由度为3n-6-m。
这个公式的推导过程比较复杂，需要运用到刚度矩阵和位移向量等概念。
三、应用结构力学中的自由度概念在实际工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，需要对结构体系的自由度进行分析，以确定结构体系的稳定性和安全性。
在机械设计中，需要对机械结构的自由度进行分析，以确定机械结构的刚度和稳定性。
在航空航天领域中，需要对飞行器的自由度进行分析，以确定飞行器的稳定性和控制性能。
总之，结构力学自由度是一个非常重要的概念，它在实际工程中有着广泛的应用。
通过对自由度的分析，可以确定结构体系的稳定性和安全性，为工程设计提供重要的理论依据。
结构力学 几何组成分析 几个概念
几何组成分析的几个概念1、几何不变体系与几何可变体系几何不变体系是指受到任意荷载作用下，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
几何可变体系是指即使不考虑材料的应变，在微小的荷载作用下也会产生刚体位移，而不能保持原有的几何形状和位置。
几何可变体系分为几何常变体系和几何瞬变体系。
几何可变体系在很小的荷载作用下会产生刚体位移，经微小位移后仍能继续发生刚体运动，这样的几何可变体系称为几何常变体系。
若原为几何可变体系，经微小位移后即转化为几何不变体系，这类几何可变体系称为几何瞬变体系。
工程结构绝不能采用几何瞬变体系，而且也应避免采用接近于瞬变的体系。
2、自由度指体系在所受限制的许可条件下独立的运动方式，即能确定体系几何位置的彼此独立的几何坐标数目。
平面内一点的自由度为2，一个刚片的自由度为3。
3、约束（联系）约束是指限制体系运动的各种装置，包括外部约束（支座约束）和内部约束。
（1）外部约束一个活动铰支座、固定铰支座和固定支座分别相当于1、2、3个约束。
（2）内部约束一根单链杆相当于1个约束；连接j（j>2）个结点的复链杆，相当于2j-3个单链杆，即相当于2j-3个约束；一个单铰相当于2个约束；连接m（m>2）个刚片的复铰，可折合成（m-1）个单铰，即相当于2(m-1)个约束作用；一单刚结点相当于3个约束；连接m（m>2）个刚片的刚结点称为复刚结点，可折合成（m-1）个单刚结点，即相当于3(m-1)个约束。
约束从能否减少体系的自由度方面来考虑，可分为必要约束和多余约束。
为保持体系几何不变所必须具有的约束称为必要约束，不能使体系的自由度数目减少的约束称为多余约束。
4、瞬铰（虚铰）两个刚片间用两个不共线链杆相连，其约束作用相当于这两根链杆交点位置处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为虚铰或瞬铰（图1a）。
在几何组成分析中，尤其要注意：两刚片间用两根相互平行的链杆相连，两平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，如图1b所示。
几何组成分析—刚片、自由度、约束的概念(建筑力学)
m2
(2)g
m5
m3 (3)r
(1)h (1)g m6
(2)g (1)h m8
m7
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
式中： m为刚片数，g为结点数； h为体系内部链杆数； r为支承链杆数 。
图3.8 链杆的约束简图 （a）梁AB有一个约束；（b）梁AB有两个约束； （c）梁AB有三个约束
I B
1根链杆（支杆）相当于1个约束
A II
铰的约束作用
(1) 单铰（连接两个刚片的铰）
1个单铰相当于2个约束，减少2个自由度。
(2) 复铰（连接两个刚片以上的铰）
连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个 单束的概念
刚片、自由度、约束的概念 一、刚片
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一 几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
注意：链杆和几何不变体系都可看成钢片。
刚片、自由度、约束的概念
二. 自由度：
体系的自由度是指体系运动时， 可以独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标 的数目。
r 为与地基之间加入的支杆数。
刚片、自由度、约束的概念
三、约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度的装 置是1个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称 为外部约束；
杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
刚片、自由度、约束的概念
链杆（支杆）的约束作用
刚结的约束作用
02结构力学1-几何组成分析
§2-1 基本概念 W = 3m-(3g+2h+b) 四. 计算自由度
例3：计算图示体系的计算自由度 2 1 解法一
9根杆,9个刚片
有几个单铰？
3 3
3根单链杆
2 1
W=3 ×9-(2×12+3)=0
§2-1 基本概念
四. 计算自由度 例3：计算图示体系的计算自由度 铰结链杆体系：完全由两端 铰结的杆件所组成的体系
y 两个刚片一共6个自由 度 加两个单链杆之后：整 个体系有4个自由度 减少2个自由度
x
1单铰=2个单链杆
y
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 实铰 x
两个单链杆
y
y
虚铰 x
x
§2-1 基本概念
三. 约束（联系）
既不平行又不相交于一点 的三个单链杆=一个固定支 座
三个单链杆=一个固定支座？
§2-2 静定结构的组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点。
二刚片规则： 二刚片规则： 两个刚片用三根 两个刚片用一 不全平行也不交 个铰和一根不通 于同一点的链杆 过此铰的链杆相 相联，组成无多 联，组成无多余 余联系的几何不 联系的几何不变 变体系。
体系。
§2-2 静定结构的组成规则
x
1单铰=2个约束
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 y
复铰
三个刚片一共9个自由 度 加铰之后：整个体系有 5个自由度 减少4个自由度 x
复铰 等于多少个 单铰？
1连接N个刚片的复铰 =N-1个单铰
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置
结构力学中体系的计算自由度
结构力学中体系的计算自由度写在前面：①【自由度】：体系运动时所具有的独立运动方式数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参考数目，或者说确定体系位置所需的独立坐标数目。
如：一个点在平面中的自由度为2（两个平动）；一个刚片在平面中的自由度数为3（两个平动和一个转动）。
②【约束】：限制运动的装置称为联系（或约束），体系的自由度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置称为一个联系（或约束）。
常用的联系有链杆和铰。
一根链杆为一个联系，一个单铰为两个联系，也就是相当于两根链杆的作用。
联结n 个刚片的复铰可以当做（n-1）个单铰，将减少2（n-1）个约束；联结n 个刚片的复刚结点可以当做（n-1）个单刚结点，将减少3（n-1）个约束。
在体系中加入一个联系，而并不能减少体系的自由度，这样的联系称为多余联系（联系）。
使体系成为几何不变而必须的约束称为必要联系（约束）。
方法一：结点法以结点为对象，以链杆为约束计算式：bj W -=2其中，W —计算自由度j —自由结点数（与地面紧连的不算）b —链杆数（包括支座链杆）方法二：刚片法以自由的刚片为对象，以结点和链杆为约束计算式：)23(m 3r b g W ++-=其中，W —计算自由度m —自由刚片数g —单刚结点的数目（复铰）b —单铰结点的数目（复铰）r —链杆的数目结点法例子：体系计算自由度020210=-⨯=W 说明：体系中除了与大地紧连的结点外一共有10个，链杆有20根。
刚片法例子：体系计算自由度[]116263317=⨯+⨯-⨯=W 说明：将刚片拆分成17根，刚结点4，铰结点14。
NOTE ：①刚片法中的单铰结点数和单刚结点数以及链杆数指刚片间的；②大地也是一大刚片，但大地作为参考系没有自由度，算自由刚片的时候不能算上，但是若是将支座链杆也看做是刚片的话，则需要考虑支座链杆与大地之间的单铰接点或单刚结点；③可以用计算自由度的方法分析体系的几何构造:0>W ,表明体系中缺少足够的约束，为几何常变体系；0=W ,表明体系具有成为几何不变所需要的最少联系数目。
结构力学几何组成分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不 在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
2. 两个刚片之间的组成方式 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 不变体系. 或两个刚片之间用三根链杆相连, 且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束的 几何不变体系。
A
D
G
B 1
I
II
EF
23
C 4
刚片I、II中各有一个多余约 束，整体为有2个多余约束的 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？
去掉1个固定支座和1个 铰结点后，成为无多余 约束几何不变体系，所 以体系是有5个多余约 束的不变体系。
分析实例 7
A
B
C
D
E
F
1,3
A
A
2,3
2,3
B 1,2 C
D
E
F
1,2 1,3
B
D
F
C
E
几何不变体系
几何瞬变体系
有限交点 无限交点
常变体系 瞬变体系
例 对图示体系作几何组成分析
例 对图示体系作几何组成分析
去二元体
解: 该体系为常变体系.
两个虚铰在无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链不平行则几何不变； 否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
第二章 平面结构的几何构造分析
概述
平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷载 的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。
结构力学之平面体系的几何组成分析
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论： 两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
ΙΙ
C
A
B
例三、
C
A
分析图示体系的几何构造：
D
解法一： 1、找刚片：
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
（二）二元体规则：
增加或去掉二元体不改变原体系的几何
组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
B
束的几何不变体系；依次
C
F
G
在其上增加二元体A-D-C、
C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性：
（一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了
几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性：
（一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据
自由度几何组成分析规则
2．刚片：几何不变旳平面体，可看作一种平面刚 体，简称刚片。如：梁、链杆。
§2-1 几何构成份析基本概念
Structural Mechanics
y
y
B
A(x y)
A(x y)
x
x
3．联络（约束）：限制非自由体运动装置
体系旳自由度因加入约束装置而降低，使体系 降低一种自由度旳装置称为一种约束，或叫做一种 联络，降低n个自由度旳装置，叫n个联络。→加入 足够联络，可变体系将成为几何不变。
4．固定支座或刚结点：降低三个自由度。
§2-1 几何构成份析基本概念
5．单刚结 、复刚结（P.15）
A
B
C
E
B
D
CF
Structural Mechanics
A
联结n个刚片间旳刚结点相当于（n-1）个单刚结点（P.16）
6．单链杆、复链杆 一般来说，联结n个点旳复链杆相当于（2n-3）个单链
杆（P.16）
§2-3 几何构成构成规则
5．三刚片规则旳本质： （三角形规则）
三根杆件用三个铰连接而成旳铰接三角形是几何
Structural Mechanics
不变体系。这种三角形往往是以“虚”旳形式出现，
因为有虚铰。
A
A
A
A
例1：试用三条构成规 则，阐明三条构成规则 是相通旳。
II
II III
B CB CB CB C
可变P 1 4
2 P1 34
2
P2
P2
31
31
3
P2
1
3
P1 4
2 P1 34
2
P2
P2
31
31
3
§2-1 几何构成份析基本概念
Structural Mechanics
y
y
B
A(x y)
A(x y)
x
x
3．联络（约束）：限制非自由体运动装置
体系旳自由度因加入约束装置而降低，使体系 降低一种自由度旳装置称为一种约束，或叫做一种 联络，降低n个自由度旳装置，叫n个联络。→加入 足够联络，可变体系将成为几何不变。
4．固定支座或刚结点：降低三个自由度。
§2-1 几何构成份析基本概念
5．单刚结 、复刚结（P.15）
A
B
C
E
B
D
CF
Structural Mechanics
A
联结n个刚片间旳刚结点相当于（n-1）个单刚结点（P.16）
6．单链杆、复链杆 一般来说，联结n个点旳复链杆相当于（2n-3）个单链
杆（P.16）
§2-3 几何构成构成规则
5．三刚片规则旳本质： （三角形规则）
三根杆件用三个铰连接而成旳铰接三角形是几何
Structural Mechanics
不变体系。这种三角形往往是以“虚”旳形式出现，
因为有虚铰。
A
A
A
A
例1：试用三条构成规 则，阐明三条构成规则 是相通旳。
II
II III
B CB CB CB C
可变P 1 4
2 P1 34
2
P2
P2
31
31
3
P2
1
3
P1 4
2 P1 34
2
P2
P2
31
31
3
结构力学课件 计算自由度
=3×7-(２×9 +3）=0
解答2（计算方法I） ： 刚片数m=9; 单铰结点： h=5 + 2 × 2=9； 单刚结点：g=2 支座约束：r=3 计算自由度W=3m-(2h+3g+r) =3×9-(２×9 +3 × 2+3）=0
第二种计算方法：对铰结链杆体系以结点的自由度为主体 j：结点数(joint)，b：杆件数(bar)，r：支座链杆数(rod)
A
B
EK F
C
D
A
B
EK F
A
B
EK F
C
D
体系看作由若干刚片通过
结点约束和支座约束构成
C
D
体系看作由许多铰结点通过链
杆约束及支座约束构成
一、计算自由度的定义
W(计算自由度)=(各刚片的自由度总数)-(约束总数) 计算较方便：只需
统计全部约束总数
S(自由度)=(各部件的自由度总数)-(必要约束总数) 计算较困难：要区分必要
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束5
则计算自由度W=0
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束7
则计算自由度W=-2
三、计算自由度说明 1、计算自由度与自由度： 实际上每个联系不一定都能使体系的体系度减少，这还与体系中是否有多 余约束有关。因此W不一定反映体系真实的自由度，称为计算自由度。
计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数) 自由度S＝(各部件的自由度总和)－(非多余约束数)
自由度S-计算自由度W＝n(多余约束数)
W=0，S=0
W=-1，S=0，n=1
2、计算自由度与几何组成之间的关系 计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数)
解答2（计算方法I） ： 刚片数m=9; 单铰结点： h=5 + 2 × 2=9； 单刚结点：g=2 支座约束：r=3 计算自由度W=3m-(2h+3g+r) =3×9-(２×9 +3 × 2+3）=0
第二种计算方法：对铰结链杆体系以结点的自由度为主体 j：结点数(joint)，b：杆件数(bar)，r：支座链杆数(rod)
A
B
EK F
C
D
A
B
EK F
A
B
EK F
C
D
体系看作由若干刚片通过
结点约束和支座约束构成
C
D
体系看作由许多铰结点通过链
杆约束及支座约束构成
一、计算自由度的定义
W(计算自由度)=(各刚片的自由度总数)-(约束总数) 计算较方便：只需
统计全部约束总数
S(自由度)=(各部件的自由度总数)-(必要约束总数) 计算较困难：要区分必要
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束5
则计算自由度W=0
解答(方法I)： 刚片数5 单铰数2 单刚数2 支座约束7
则计算自由度W=-2
三、计算自由度说明 1、计算自由度与自由度： 实际上每个联系不一定都能使体系的体系度减少，这还与体系中是否有多 余约束有关。因此W不一定反映体系真实的自由度，称为计算自由度。
计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数) 自由度S＝(各部件的自由度总和)－(非多余约束数)
自由度S-计算自由度W＝n(多余约束数)
W=0，S=0
W=-1，S=0，n=1
2、计算自由度与几何组成之间的关系 计算自由度W＝(各部件的自由度总和)－(约束总数)
结构力学 (几何组成分析)
机动分析示例 方法：首先算计算自由度W，若W＞0,体系为几 何可变，若W≤0 , 须进行几何组成分析。但通常可略 去W的计算。
ⅠⅢⅡ
解：地基视为——刚片Ⅰ。AB梁与地基按“两 刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。刚片Ⅱ 与梁BC按 “两刚片规则”相联，又构成一个更扩 大的刚片ⅢC。D梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相 联。则此体系为几何不变，且无多余约束。 返 回
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
A
0 0'
P
M0 0
N3Pr0 B
N1
N2
N3
N3
P
r
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不 在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 1 4 0
三、混合体系的自由度
W (3 m 2 j) (2 h b )
四、自由度与几何体系构造特点
W0 体系几何可变；
m2 j 2
W0 无多余约束时，体系几何不变；h 1 b 8
W0 体系有多余约束。W ( 3 2 2 2 ) ( 2 1 8 ) 0
分析实例 4
A
B
C
D
E
F
1,3
A
A
2,3
2,3
B 1,2 C
D
E
F
02结构力学1-几何组成分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
§2-1 基本概念
五. 多余约束 必要约束
必要约束：除去约束后，体系的自由度将增加
，这类约束称为必要约束
多余约束：除去约束后，体系的自由度并不改
变，这类约束称为多余约束
W< 0
体系几何不变 无多余约束几何不变
W= 0
W< 0
有多余约束几何不变
§2-1 基本概念
六. 静定结构 超静定结构 静定结构：仅有静 无多余约束的几何 力平衡方程可求出 不变体系是静定结 所有内力和约束力 构 的结构 无多余约束几何不变体系 计算自由度W=0 刚片数×3=约束数 每个刚片能列3个独立平衡方程 独立平衡方程数=刚片数×3 =约束数 仅由平衡方程就可以求解所有内力
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含 支座链杆
§2-1 基本概念
四. 计算自由度 例3：计算图示体系的计算自由度 解法二
6个铰结点 12根单链杆 W=2 ×6-12=0
§2-1 基本概念 讨 四. 计算自由度
论
W=2 ×6-12=0
W=2 ×6-11=1
W=2 ×6-10=2 W>0时 缺少联系 几何可变
§2-1 基本概念 W = 3m-(3g+2h+b) 四. 计算自由度
例1：计算图示体系的计算自由度 解法一 刚片：m=8 单刚结点：g=1； 单铰：h=10； 3 单链杆：b=1 W=3m-3g-2h-b =24-3-20-1=0 1 3 2
结构力学几何组成分析
§2－4. 几何组成分析举例
依据：几何不变体系的组成法则。 一般方法： 首先进行简化，如去掉二元体，或将直接观察出的几何 不变部分当作扩大的刚片等；然后根据组成法则选定刚片 和约束（铰和链杆）并作出结论。
例1
例2
例3
§2－5. 几何组成与静定性的关系
根据仅用静力平衡条件是否能确定结构的全部反力和内力 这一特性，将结构划分为静定结构和超静定结构。 凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构，反之静 定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
四杆不平行不变 平行且各自等长常变 平行不等长瞬变
2. 有两个无穷远铰:
3. 有三个无穷远铰:
二、两刚片法则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则 所组成的体系是几何不变的。 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不 变体系.
三、二元体法则
联结一个新结点的不共线两链杆装置称为二元体。 一个体系不因增加或减少二元体而改变其原有的几何组成 性质。
四、几点说明
按上述几何不变体系的组成法则所组成的体系，从保证其 几何不变性来说，它具备了最低限度的约束数目，即符合 上述法则组成的体系为几何不变无多余约束的体系。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目少，则该 体系是几何可变的。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目多，则该 体系是几何不变有多余约束的体系。
第二章
体系的几何组成分析
§2－1. 几何组成分析的目的
一、基本概念
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的条件下， 若能保持其几何形状和位置不变者，称为几何不变体系。 否则，为几何可变体系。
几何可变体系不能作为结构，结构必须是几何不变体系。 几何组成分析：对体系几何组成的性质和规律进行的分 析。
结构力学——几何构造分析
如果将链杆视为一刚片， 则三规律等价
三角形规律的应用技巧
• • • • • 1. 刚片的广义化 2. 约束的等价性 3. 二元体增减的等效性 4. 内部大刚片定义的灵活性 5. 瞬变体系的多样性
1. 刚片的广义化
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则： 三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
图2-11 瞬变体系
规则3 二元体规则
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个 新结点，这种产生新结点的装置称为二元体，图 2-12a符合定义为二元体，而图2-12b因为不符合上 述定义条件，因此不是二元体。
(a)
图2-12
(b)
二元体和非二元体
基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体
或减二元体都不会改变体系的可变性。 利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
找虚铰 无多几何不变
F
D E
G
找刚片 无多几何不变
C
F
D
内部不 变性
E 找刚片
A B
5. 瞬变体系的多样性
瞬变体系
A C
P
B
不能平衡 C1 微小位移后，不能继续位移 瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
n=3
每个结点有 多少个 自由度呢？ n=2
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=1
每个单刚结点 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=3
结构力学课件 §2-3
W 2 j (b r)
j——铰结点数； b——链杆数
r——支杆数
b r)
解： j = 7， b = 11， r = 3， W ＝ 2×7－(11＋3)＝0
例 试求图示体系的计算自由度W。
W 2 j (b r)
解： j = 11， b = 18， r = 3， W＝2×11－(18＋3)＝1
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 9， g = 5， h = 6， r = 5， W＝3×9－(3×5＋2×6＋5)＝﹣5
2、铰接链杆体系的计算自由度 铰结链杆体系——由两端铰结的杆件相互连接而成的体系
以铰结链杆体系为运动物体，地基为参照物，则铰接链 杆体系相对于地基的计算自由度为
以刚片系为运动物体，地基为参照物，则刚片系相对于地 基的计算自由度为：
W 3m (3g 2h r)
m—刚片数; g—单刚结数; h—单铰结数; r—支杆数;
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 4， g = 0， h = 4， r = 4， W＝3×4－(3×0＋2×4＋4)＝0
三、 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
W＝1＞0
体系缺少必要的约束 具有运动自由度
W＝0
具有成为几何不变体系 所必需的最少约束数目
W＝﹣1＜0
体系有多余约束但 不一定几何不变
若W ＞0，体系一定是几何可变； 若W ≤0，只表明体系具有成为几何不变体系的必要条件，但不是
充分条件。
§2-3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W
体系是由部件(刚片或铰结点)加上约束组成的。
体系的实际自由度S = 各部件的自由度总数－必要约束数 体系的计算自由度W = 各部件的自由度总数－全部约束数
j——铰结点数； b——链杆数
r——支杆数
b r)
解： j = 7， b = 11， r = 3， W ＝ 2×7－(11＋3)＝0
例 试求图示体系的计算自由度W。
W 2 j (b r)
解： j = 11， b = 18， r = 3， W＝2×11－(18＋3)＝1
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 9， g = 5， h = 6， r = 5， W＝3×9－(3×5＋2×6＋5)＝﹣5
2、铰接链杆体系的计算自由度 铰结链杆体系——由两端铰结的杆件相互连接而成的体系
以铰结链杆体系为运动物体，地基为参照物，则铰接链 杆体系相对于地基的计算自由度为
以刚片系为运动物体，地基为参照物，则刚片系相对于地 基的计算自由度为：
W 3m (3g 2h r)
m—刚片数; g—单刚结数; h—单铰结数; r—支杆数;
例 试求图示体系的计算自由度W。 W 3m (3g 2h r)
解： m = 4， g = 0， h = 4， r = 4， W＝3×4－(3×0＋2×4＋4)＝0
三、 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
W＝1＞0
体系缺少必要的约束 具有运动自由度
W＝0
具有成为几何不变体系 所必需的最少约束数目
W＝﹣1＜0
体系有多余约束但 不一定几何不变
若W ＞0，体系一定是几何可变； 若W ≤0，只表明体系具有成为几何不变体系的必要条件，但不是
充分条件。
§2-3 平面体系的计算自由度
一、体系的实际自由度S与计算自由度W
体系是由部件(刚片或铰结点)加上约束组成的。
体系的实际自由度S = 各部件的自由度总数－必要约束数 体系的计算自由度W = 各部件的自由度总数－全部约束数
结构力学自由度计算
一、自由度 1、定义：决定结构体系几何位置所需
的独立坐标数目。
2、刚片：体系几何形状和尺寸不会改变， 可视为刚体的物体。
3、点、刚片、结构的自由度： 1）、一个点在平面上有两个自由度 2）、一个刚片在平面上有三个自由度
A (x, y)
A (x, y)
二、约束
1、约束定义——凡能减少自由度的装置。
1) 一根链杆相当于一个约束，在体系的适当 位置增加一个链杆可使减少体系一个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
２）、一个单铰相当于两个约束。在体系的适当 位置增加一个单铰可使体系减少两个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
３）、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰， 相当于(n-1)×2个约
x
４）、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三 个约束。在体系的适当位置增加一个固定端可使体 系减少３个自由度。
II
I
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
实饺：几何可变
O
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
3. 三刚片规则
三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
瞬变体系——体系本来是几何可变，经过微小位 移后又成为几何不变的体系
E2
K
Q
P
O
1
1
1
N 1
1M 1L
把一端共铰而不共线的两根链杆装置（或两
根不共线链杆用铰连接成整体的装置）称为二 元体.
的独立坐标数目。
2、刚片：体系几何形状和尺寸不会改变， 可视为刚体的物体。
3、点、刚片、结构的自由度： 1）、一个点在平面上有两个自由度 2）、一个刚片在平面上有三个自由度
A (x, y)
A (x, y)
二、约束
1、约束定义——凡能减少自由度的装置。
1) 一根链杆相当于一个约束，在体系的适当 位置增加一个链杆可使减少体系一个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
２）、一个单铰相当于两个约束。在体系的适当 位置增加一个单铰可使体系减少两个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
３）、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰， 相当于(n-1)×2个约
x
４）、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三 个约束。在体系的适当位置增加一个固定端可使体 系减少３个自由度。
II
I
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
实饺：几何可变
O
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
3. 三刚片规则
三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
瞬变体系——体系本来是几何可变，经过微小位 移后又成为几何不变的体系
E2
K
Q
P
O
1
1
1
N 1
1M 1L
把一端共铰而不共线的两根链杆装置（或两
根不共线链杆用铰连接成整体的装置）称为二 元体.
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5、6不是链杆。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相 连，不论其形状和铰的位置如何。
返回
加单铰前体系有六个自由度
1
加单铰后确定体系的位置，
C 2
需要四个独立的坐标，新体
系有四个自由度。
x y
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
一个单铰相当于两个链杆
O . . O’
虚铰
A
B
C D
O O
联结两刚片的两 根不共线的
瞬变时的内力及变形
C
A
B
（1）内力无穷大或不定值
（2）杆件的微小变形，将产生 显著位移
A C’
FN1
B
FN2
Fy 0
FN
FP
2sin
lim FN
0
FP
2sin
1三刚片规则
三个刚片不在同一条直线上的三个铰两两相 连，体系几何不变。
同一条直线：不在同一条直线时，为瞬变； 铰：可以是实铰，可以是虚铰。
几 何 可 变 体 系 geometrically changeable system ：在外荷载作用下，会发生几何形 状改变和位置改变的体系。
几何组成分析的目的：
1.保证结构有可靠的几何组成，避免工程中 出现可变结构。
2.了解结构各部分的构造，改善和提高结构
的性能。
桁
3.判别静定、超静定结构。
(3)W<3，有多余约束，可能几何不变。
3、逐步扩大法：由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围 ，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
O23
Ⅱ
O13
Ⅰ
O12
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
在一个体系上增加或拿掉二元体，不会改变 原体系的几何构造性质。
二元体：有三个铰（不在同一条直线上），连 接两个链杆（刚片）。
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（e） （c）
（b）
（d）
规则 连接对象 必要约束数
对约束的布置要求
一 三刚片 二
两刚片 三
六个 三个
三铰(单或虚)不共线 链杆不过铰
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
4、由基础开始逐件组装
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
5、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
O13 O23
O12
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
2.结构的几何组成分析 geometric construction analysis
2.1几何组成分析的概念及目的 2.2几何组成规则 2.3几何组成分析 2.4静定与超静定
2.1几何组成的目的
几何不变体系 几何可变体系
2.1几何组成的目的
几 何 不 变 体 系 geometrically unchபைடு நூலகம்ngeable system ：在任意荷载作用下， 能保持其几何形状和位置不变的体系。
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
规则一、三刚片以不在一条直线上的三 C
铰 相联，组成无多余约束的几何不变体
B
系。 如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
B
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个 刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的 几何可变体系。
在分析过程中，所有的杆件都必须用上。 W=3×8－2×11=2<3，有多余约束。
此时，(1)W>3，缺乏约束，几何可变； (2)W=3，具有几何不变的前提条件，可能几
何不变；
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
常
变
瞬
瞬
体
变
变
系
体
体
系
系
2.3几何组成分析举例
一、解题步骤 1. 选择组成规则 2. 寻找条件 3. 下结论
二、分析方法
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性的分析。在 分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则组成几何不
(statically indeterminate structure)
超静定结构：仅由平衡条件 求不出全部反力和内力
几何 可变 体系
架
4.在结构计算时，可根据其几何组成情况，
选择适当的计算方法；分析其组成顺序，
寻找简便的解题途径
几个概念
一、刚片：在平面内可看成是刚体的物体，即 几何形状和尺寸不变。
1. 一根梁、一根链杆。 2. 三角形 3. 支承结构的地基
链杆 三角形 地基
二、自由度的概念
y
y
A 0
A'
束）； b——支座链杆数（固定铰支座相当于2个链杆，固定
端支座或刚性连接相当于三根链杆）
例1 W=3m－ 2n － b
5
3
m=3，n=2，b=5 W=3×m－2×n－b
=3×3－2×2－5 =0
计算自由度与几何稳定性的关系
W=各部件的自由度总和-全部约束数
(1)W>0，缺乏约束，几何可变； (2)W=0，具有几何不变的前提条件，可能几何不变； (3)W<0，有多余约束，可能几何不变。
。 ➢构杆件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片或 刚片中的一部分。
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
D
A
两根不共线的链杆联结
一点称为二元体。
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约
规则三、在一个体系上 增加或拿掉二元体，不会改变
束的几何不变体系。
2、单铰： 联结两个刚片的铰。 3、复铰：联结三个或三个以上刚片
的铰。
β α
加链杆前体系有3个自由度
加链杆后确定体系的位置 ，需要两个独立的坐标， 新体系有2个自由度。一根 链杆可以减少体系一个自 由度，相当于一个约束。
Ⅰ
15 6
3
4
1、2、3、4是链杆，折 线型链杆、曲线型链杆可 用直线型链杆代替。
E
J
K
F
G
(2,3) (1,2)
A
BC D E
几何不变体系
分析示例 5
1
2
4
3
5
刚片
1.自由度的计算： 刚片数：p=5 支杆数：h=5 单铰数：b=5 自由度：
W 35 (25 5) 0
1
2
4
3
5
2. 组成分析： 去掉二元体后得图①：
刚片
1
2
3 Ⅱ
图①
图②
由三刚片规则知，上部的结构几何不变，再由二刚片规则 ( 图② )知，该结构为几何不变。
一个单铰，可减少体系两个自由度相当于两个约束。
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
补充：体系的自由度计算
1.定义 W=各部件的自由度总和-全部约束数 2. W=3m－ 2n － b [例1] m——刚片数（不计基础）； n——单铰数（一个单铰、定向支座相当于两个约
三链杆不平行也不交于一点
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
P17: 求出自由度并 进行几何组成分析 3，7，8，13
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
刚片：
链杆 三角形 地基
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（e） （c）
（b）
（d）
规则 连接对象 必要约束数
对约束的布置要求
一 三刚片 二
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不变
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
(statically determinate structure)
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
体系
有多余约 束的几何 不变体系
约束有多余 布置合理
一 定 有
原体系的几何构造性质。
A O12 、O13、 O23
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
三个刚片用共点的三个铰相连，
将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A
的点转动，故该体系几何瞬变体系。
引申、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
D
ⅠF
A
B
C
规则一、三刚片以不在一条 Ⅲ
直线上的三铰 相联，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
2
3
5 4
6
实例
(1,2)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相 连，不论其形状和铰的位置如何。
返回
加单铰前体系有六个自由度
1
加单铰后确定体系的位置，
C 2
需要四个独立的坐标，新体
系有四个自由度。
x y
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
一个单铰相当于两个链杆
O . . O’
虚铰
A
B
C D
O O
联结两刚片的两 根不共线的
瞬变时的内力及变形
C
A
B
（1）内力无穷大或不定值
（2）杆件的微小变形，将产生 显著位移
A C’
FN1
B
FN2
Fy 0
FN
FP
2sin
lim FN
0
FP
2sin
1三刚片规则
三个刚片不在同一条直线上的三个铰两两相 连，体系几何不变。
同一条直线：不在同一条直线时，为瞬变； 铰：可以是实铰，可以是虚铰。
几 何 可 变 体 系 geometrically changeable system ：在外荷载作用下，会发生几何形 状改变和位置改变的体系。
几何组成分析的目的：
1.保证结构有可靠的几何组成，避免工程中 出现可变结构。
2.了解结构各部分的构造，改善和提高结构
的性能。
桁
3.判别静定、超静定结构。
(3)W<3，有多余约束，可能几何不变。
3、逐步扩大法：由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围 ，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
O23
Ⅱ
O13
Ⅰ
O12
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
在一个体系上增加或拿掉二元体，不会改变 原体系的几何构造性质。
二元体：有三个铰（不在同一条直线上），连 接两个链杆（刚片）。
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（e） （c）
（b）
（d）
规则 连接对象 必要约束数
对约束的布置要求
一 三刚片 二
两刚片 三
六个 三个
三铰(单或虚)不共线 链杆不过铰
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
4、由基础开始逐件组装
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
5、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
O13 O23
O12
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
2.结构的几何组成分析 geometric construction analysis
2.1几何组成分析的概念及目的 2.2几何组成规则 2.3几何组成分析 2.4静定与超静定
2.1几何组成的目的
几何不变体系 几何可变体系
2.1几何组成的目的
几 何 不 变 体 系 geometrically unchபைடு நூலகம்ngeable system ：在任意荷载作用下， 能保持其几何形状和位置不变的体系。
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
规则一、三刚片以不在一条直线上的三 C
铰 相联，组成无多余约束的几何不变体
B
系。 如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
B
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个 刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的 几何可变体系。
在分析过程中，所有的杆件都必须用上。 W=3×8－2×11=2<3，有多余约束。
此时，(1)W>3，缺乏约束，几何可变； (2)W=3，具有几何不变的前提条件，可能几
何不变；
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
常
变
瞬
瞬
体
变
变
系
体
体
系
系
2.3几何组成分析举例
一、解题步骤 1. 选择组成规则 2. 寻找条件 3. 下结论
二、分析方法
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性的分析。在 分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则组成几何不
(statically indeterminate structure)
超静定结构：仅由平衡条件 求不出全部反力和内力
几何 可变 体系
架
4.在结构计算时，可根据其几何组成情况，
选择适当的计算方法；分析其组成顺序，
寻找简便的解题途径
几个概念
一、刚片：在平面内可看成是刚体的物体，即 几何形状和尺寸不变。
1. 一根梁、一根链杆。 2. 三角形 3. 支承结构的地基
链杆 三角形 地基
二、自由度的概念
y
y
A 0
A'
束）； b——支座链杆数（固定铰支座相当于2个链杆，固定
端支座或刚性连接相当于三根链杆）
例1 W=3m－ 2n － b
5
3
m=3，n=2，b=5 W=3×m－2×n－b
=3×3－2×2－5 =0
计算自由度与几何稳定性的关系
W=各部件的自由度总和-全部约束数
(1)W>0，缺乏约束，几何可变； (2)W=0，具有几何不变的前提条件，可能几何不变； (3)W<0，有多余约束，可能几何不变。
。 ➢构杆件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片或 刚片中的一部分。
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
D
A
两根不共线的链杆联结
一点称为二元体。
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约
规则三、在一个体系上 增加或拿掉二元体，不会改变
束的几何不变体系。
2、单铰： 联结两个刚片的铰。 3、复铰：联结三个或三个以上刚片
的铰。
β α
加链杆前体系有3个自由度
加链杆后确定体系的位置 ，需要两个独立的坐标， 新体系有2个自由度。一根 链杆可以减少体系一个自 由度，相当于一个约束。
Ⅰ
15 6
3
4
1、2、3、4是链杆，折 线型链杆、曲线型链杆可 用直线型链杆代替。
E
J
K
F
G
(2,3) (1,2)
A
BC D E
几何不变体系
分析示例 5
1
2
4
3
5
刚片
1.自由度的计算： 刚片数：p=5 支杆数：h=5 单铰数：b=5 自由度：
W 35 (25 5) 0
1
2
4
3
5
2. 组成分析： 去掉二元体后得图①：
刚片
1
2
3 Ⅱ
图①
图②
由三刚片规则知，上部的结构几何不变，再由二刚片规则 ( 图② )知，该结构为几何不变。
一个单铰，可减少体系两个自由度相当于两个约束。
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
补充：体系的自由度计算
1.定义 W=各部件的自由度总和-全部约束数 2. W=3m－ 2n － b [例1] m——刚片数（不计基础）； n——单铰数（一个单铰、定向支座相当于两个约
三链杆不平行也不交于一点
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
P17: 求出自由度并 进行几何组成分析 3，7，8，13
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
刚片：
链杆 三角形 地基
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（e） （c）
（b）
（d）
规则 连接对象 必要约束数
对约束的布置要求
一 三刚片 二
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不变
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
(statically determinate structure)
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
体系
有多余约 束的几何 不变体系
约束有多余 布置合理
一 定 有
原体系的几何构造性质。
A O12 、O13、 O23
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
三个刚片用共点的三个铰相连，
将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A
的点转动，故该体系几何瞬变体系。
引申、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
D
ⅠF
A
B
C
规则一、三刚片以不在一条 Ⅲ
直线上的三铰 相联，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
2
3
5 4
6
实例
(1,2)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)