一阶系统瞬态响应
系统的瞬态响应分析
三峡大学机械与材料学院
第六章 系统的瞬态响应分析
一阶系统的单位斜坡响应
1 R(s) 2 s
C (s) 1 1 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
1 t T
c ( t) t T Te
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R(s) 1
1 R(s) s
1 T t c(t) e T
1
c(t) 1e
1 t T
1 R(s) 2 s
c ( t) t T Te
1 t T
闭环极点（特征根）：-1/T 衰减系数：1/T
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1 t T
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10T=2.5度。
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一阶系统的单位阶跃响应
图3－5所示系统。
其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3） 式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。
第3章_时域瞬态响应分析_3.2一阶系统的瞬态响应
(t ≥ 0)
1 斜率 − 2 T
1 0.368 T
1 − t /T xo (t ) = e T
T
一阶系统三种典型输入信号及响应关系： 一阶系统三种典型输入信号及响应关系：
xi (t ) = t
输 入
xt (t ) = t − T + Te x1 (t ) = 1 − e 1 1 −T t xδ (t ) = e T
x0(t) 1
1/T
xo(t)=1-e-t/T
86.5%
0
63.2%
95.0%
98.2%
T
2T
3T
4T
t
特点 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 曲线上升到0.632的高度 。 反过来 ， 的高度。 （ 2 ） 经过时间 T ， 曲线上升到 的高度 反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间 ， 的时间， 如果用实验的方法测出响应曲线达到 的时间 即是惯性环节的时间常数。 即是惯性环节的时间常数。 经过时间3 响应曲线达稳定值的95 95％ （3）经过时间 3T～ 4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％ 可以认为其调整过程已经完成， 98 ％ ， 可以认为其调整过程已经完成 ， 故一般取调 整时间( 整时间(3～4)T。 响应曲线的切线斜率为1/T。 （4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 。
注意： 该性质只适用于线性定常系统， 注意 ： 该性质只适用于线性定常系统 ， 不适用于 线性时变系统和非线性系统。 线性时变系统和非线性系统。
1 T T = 2− + s s s+ 1 T
单位斜坡响应为 x0 (t ) = t − T + Te
6.系统的瞬态响应分析
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2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速， 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越 好。
1 − t T
(t≥0)
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性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
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c(t ) = t − T + Te
1 − t T
输入信号微分 响应微分 输入信号积分 响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10×T=2.5度。
一阶系统的瞬态响应(精)
12
R( s ) E (s)
K s
C (s)
K C ( s) 1 1 s 其闭环传递函数为： ( s) K s R( s ) 1 1 Ts 1 s K 1 式中，T ，称为时间常数。 K
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
-
2
3.2 一阶系统的阶跃响应
32一阶系统的阶跃响应单位阶跃响应函数单位阶跃响应函数12一阶系统的单位阶跃响应单调上升曲线性能指标常用调整时间系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响应的导数减小一阶系统时间常数的方法为什么要减小时间常数
3.2 一阶系统的瞬态响应
第二节 一阶系统的瞬态响应
1
3.2 一阶系统的数学模型
⒈一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为：
R s +
K s
Y s
K
( s) 1
7
s
K
s
1 1 s 1 K
1 ' T T s 1 s 1
1
T
'
T
3.2 一阶系统的阶跃响应
单位阶跃响应函数
例：已知一阶系统的结构图如图所示。①试求该系统单位阶跃 响应的调节时间ts；②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 解：①由系统结构图求出闭环传递函数
5
3.2 一阶系统的阶跃响应
单位阶跃响应函数
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 [方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图： Ts 1 反馈后系统的闭环传递函数为： R s Y s 1
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
一阶系统的瞬态响应
详细描述
在欠阻尼瞬态响应中，一阶系统的输出呈现衰减振荡的特点，其幅度随着时间的推移逐渐减小，直到 达到稳定状态。这种响应通常出现在系统具有一定的阻尼效应，但不足以阻止振动的发生。
过阻尼瞬态响应
总结词
过阻尼瞬态响应是一种一阶系统的瞬态响应形式，其特点是系统在激励作用下立即达到 稳态值，不发生振动。
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在控制系统中的重要性
基础性
一阶系统作为最简单的动态系统，是 理解和分析更复杂系统的基础。
实际应用
在实际的工程系统中，许多实际系统 的动态行为可以用一阶系统近似描述 。
瞬态响应与稳态响应的区别
瞬态响应
描述系统在输入信号作用下的动态行为，包括过渡过程和达 到稳态所需的时间。
稳态响应
描述系统在输入信号的长期影响下达到的稳态输出，与时间 无关。
传递函数表示
01
02
03
传递函数定义
一阶系统可以用传递函数 表示，如 $G(s) = frac{b}{as + b}$，其中 $s$ 是复变量。
极点和零点
传递函数的极点和零点决 定了系统的动态响应特性。
稳定性分析
通过极点和零点分析系统 的稳定性。
动态响应分析
时间响应
根据系统的微分方程或传递函数，分析系统的动态响应过程。
02
一阶系统的数学模型
微分方程描述
微分方程描述
一阶系统通常由一个一阶微分方程描述，如 $frac{dx}{dt} = ax(t) + b$，其中 $x(t)$ 是系统状态，$a$ 和 $b$ 是系统参数。
3-2 第二节 阶跃输入的瞬态响应
)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
ξ =0
⋅
1 S
= wn2 ⋅ 1 = 1 − S S 2 + wn2 S S S 2 + wn2
推出：
Ch (t ) = A−1 ⎡⎣C (s)⎤⎦ = 1− cos wnt （t ≥ 0）
响应为等幅振荡，系统不稳定，不可控。
（3）当0 < ξ < 1（欠阻尼）
解为一对负等实根，系统在单位阶跃输
入作用下：
C(s)
=
G(s)R(S
)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
⋅
1 S
=
(S
wn 2 + wn
)2
⋅
1 S
=
1 S
−
S
1 + wn
−
(S
wn + wn
)2
Ch (t ) = A−1 ⎡⎣C ( s)⎦⎤ = 1− e−wnt (1+ wnt )
响应曲线如图： 曲线特点：
此时，特征方程有一对具有负实部的共 轭复根。
S1，2 = −ξ wn ± ξ 2wn2 − wn2 = −ξ wn ± wn ξ 2 −1
令： wd = wn ξ 2 −1（阻尼振荡频率）
C(s) = G(s)R(S)
=
wn 2
⋅1
S 2 + 2ξ wnS + wn2 S
= 1 − S + 2ξ wn S S 2 + 2ξ wnS + wn2
Ch (t )中后项的影响，得
单位阶跃响应函数
5
第三节 一阶系统的瞬态响应
Wednesday, July 24,
2019
1
一阶系统的数学表现形式：其微分方程是一阶的，或其传 递函数的特征方程是 s的一次方程。
典型的一阶系统的结构图如下：
R(s) E(s) k C(s)
-
s
其闭环传递函数为：(s) C(s) 1
式中，T 1
R(s) ,称为时间常数。
Ts 1
k
Wednesday, July 24,
2019
2
单位阶跃响应函数
单位阶跃响应函数：R(s) 1 s
C(s) 1 1 , Ts 1 s
c(t )
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
这是一个单调上升的响应，见下图。瞬态性能指标只有调
定常系统都是适用的。
表3-1 列出了一阶系统在各种典型输入下的响应。
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时间常数T。 下面是减小时间常数的一个方法：
R(s) E(s) 1
-
Ts 1
Wednesday, July 24, 2019
C(s)
通过反馈，使得时间常数减小了 一半。反馈后的传递函数如下：
节时间。
计算调节时间 t s
：1
1
ts
eT
C(t)
斜率=1/T
C(∞)
解之得：ts
4T，当 3T，当
2时 5时
0.8
0.95 0.98
0.6
时域瞬态响应分析
n2
( s n n 2 1)( s n n 2 1)
X o (s)
n2
( s n n 2 1)( s n n
1
1 2 1) s
1
1 2( 2 2 1 1) 2( 2 2 1 1) s s n n 2 1 s n n 2 1
r (t ) a
0
2
t
正弦函数(或余弦函数)是控制系统常用的一种 典型外作用，系统在正弦函数作用下的响应，即频 率响应。 各函数之间的关系 积分 积分 积分 1 2 t 1 t t 1 t t 1 t 2 求导 求导 求导
时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入 信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。 控制系统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应 两部分组成。 瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系 统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态 响应也称动态响应或过渡过程或暂态响应。 稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当 时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称 为静态响应。
一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入为当输入为单位斜坡函数时一阶系统存在稳态误差t一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入为单位脉冲响应为一阶系统的单位脉冲响应只包含瞬态分量随着时间增长响应曲线逐渐衰减到0三种典型输入信号及响应关系三种典型输入信号及响应关系dt系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数
1 t T
输 出
1 t T
xi (t ) 1(t ) xi (t ) (t )
三种输入关系
一阶系统响应及参数测定
⼀阶系统响应及参数测定班级：姓名：学号：组别：实验名称：⼀阶系统响应及参数测定实验时间：成绩：⼀阶系统响应及参数测定实验⽬的1.观察⼀阶系统在单位阶跃信号和斜坡输⼊信号下的瞬态响应2.根据⼀阶系统的单位阶跃响应曲线确定系统的时间常数实验设备PC机⼀台，TD-ACC +实验系统⼀套。
实验⽅法及步骤1.根据图所⽰的模拟电路，调整R 和C 的值，使时间常数T=1S ，检查⽆误后开启设备电源。
2.将信号源单元的“ST”端插针与“S”端插针⽤“短路块”短接。
由于每个运放单元均设置了锁零场效应管，所以运放具有锁零功能。
将开关分别设在“⽅波”档和“500ms～12s”档，调节调幅和调频电位器，使得“OUT”端输出的⽅波幅值为1V，周期为10s左右。
3.将2中的⽅波信号加⾄环节的输⼊端Ui，⽤⽰波器的“CH1”和“CH2”表笔分别监测模拟电路的输⼊Ui端和输出U 0端，观测输出端的实际响应曲线U 0(t)，记录实验波形及结果。
4.在输⼊端加上斜坡信号，，⽤⽰波器的“CH1”和“CH2”表笔分别监测模拟电路的输⼊Ui端和输出U 0端，观测输出端的实际响应曲线U 0(t)，记录实验波形及结果。
5.改变参数R，C，使T=0.1s，重新观测结果。
实验原理及内容相应的模拟电路为：令()1()r t t =，1()R s s =则111()(1)1C s s Ts s s T==-++取拉⽒反变换得：()1t T c t e -=-，当t T =时，()110.632t T c t e e -=-=-=，这表⽰当()c t 上升到稳定值的63.2%时，对应的时间就是⼀阶系统的时间常数T，根据这⼀原理，由⼀阶系统的单位阶跃响应曲线可测得时间常数T 。
由上式可知系统的稳态值为1，因⽽该系统跟踪阶跃输⼊信号的稳态误差为0ess =。
当输⼊信号21(),()r t t R s s ==，则2211()(1)1T T C s s Ts s s s T ==-+++()t T c t t T Te -=-+这表明⼀阶系统能跟踪斜坡输⼊信号，但有稳态误差存在，其误差的⼤⼩为时间常数T 。
4.2一阶系统的时间响应
ts
n
ln
1 1 2
要使二阶系统动态特性好，选择合适的n和 ≈ 0.7 通常根据允许的超调量 Mp 来选择阻尼比
例1 如图所示系统中，.6，n=0.5/sec ,求其瞬态性能指标。 解：系统传递函数为 2 n G( s) 2 2 s 2n s n
n t
时，越小，振荡衰减越慢，振荡越剧烈；
时，振荡无衰减，为等幅振荡； 时，无振荡； 时，无振荡.
4.4 二阶系统的性能指标
二阶欠阻尼系统单位阶跃响应
xo (t ) 1 e nt 1 2 sin(d t tg 1 1 2
xo(t)
n
w(t) 0.4
n
0.2 -1 0 1 2 t(sec)
无振荡,先上升后急速衰减
w(t )
4) 1时：无振荡 n -1
2 1
2
{L [
1
2
n
2 1
2
s ( 1)n
]
w(t) 0.4
n
0.2
[e
( 2 1)nt
e
( 2 1)nt
调整时间反映系统响应的快速性
例2 一阶系统的传递函数 2％，求其调整时间 t。 s 解： G ( s ) 7
s2 3.5 0.5s 1
7 ，若容许误差为 G (s) s2
当＝2％时，
ts 4T 4 0.5 2s
说明：对于一阶系统 G ( s ) 输 入
K ，T为时间常数，K为一阶系统的增益。 Ts 1
tr π tg ( 1
1 2
)
n 一定，减小，上升时间减小
d
一阶系统瞬态响应
3.2 一阶系统的瞬态响应可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
典型的一阶系统微分方程式为(3.7)系统的传递函数为(3.8)式中T为系统的时间常数，K为系统的放大系数，y(t)为系统的输出变量，x(t)为系统的输入变量。
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应为(3.9)将式（3.9）展开为部分分式(3.10)对式（3.10）两边进行拉普拉斯变换，得到(3.11)式（3.10）即一阶系统的单位阶跃响应。
图3.4给出了响应y(t)的变化曲线：这是一条指数曲线。
在t=0时，曲线的斜率最大。
(3.12)曲线斜率随时间增加不断下降。
当t时，斜率为零，动态过程结束。
这时的响应记为=K，即单位阶跃信号经过了一阶系统后被放大了K倍。
过t=0点做响应曲线的切线，与表示的直线交于P点。
P点所对应的时间t=T，而此时响应值y(T)=0.632K。
工程上常用这个特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。
图3.4 一阶系统的单位阶跃响应y(t)的瞬态响应曲线从t=0到逐渐变缓。
y(t)变化的几个典型值见表3.1。
从表3.1可以看出，一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程初始阶段内完成的。
理论上来看，只有在时，一阶系统的单位阶跃响应动态过程才能结束。
在实际工程中，当输出响应进入到一定的误差范围后，就可以认为动态过程已经结束。
我们用调节时间来描述动态过程的长短。
就是一个系统的动态性能指标。
工业上常取的误差范围为2%或5%，若取2%的误差范围，则若取5%的误差范围，则一阶系统的时间常数是决定系统动态特性的参数。
T的大小表明了一阶系统惯性的大小。
T越大，也越大，说明系统响应变化得慢。
T越小，即系统惯性小，也越小，输出响应变化得就快。
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应的拉普拉斯变换为展开成部分分式后得到(3.14)求（3.14）式的拉普拉斯变换，得到(3.15)图3.5给出了一阶系统的单位斜坡响应曲线。
实验二 一阶系统的时域响应及参数测定
第 1 页实验二 一阶系统的时域响应及参数测定一、实验目的(1)观察一阶系统在单位阶跃和斜坡输入信号作用下的瞬态响应。
(2)根据一阶系统的单位阶跃响应曲线确定系统的时间常数。
二、实验设备序号 型 号备注1DJK01 电源控制屏该控制屏包含“三相电源输出”等几个模块。
2DJK15控制理论实验挂箱或DJK16控制理论实验挂箱3双踪超低频慢扫描示波器 4万用表三、实验线路及原理图2-1为一阶系统的模拟电路图。
由该图可知io=i1-i2根据上式，画出图2-2所示的方框图，其中T=R0C。
图2-1 一阶系统模拟电路图CSu CS uR u R oooo /1R u/1uo i −=Δ−=−即o第 2 页由图2-2得:eT1-O O i -1(t)u , /111)1(1(S) U , /1)( 1(t),(t)u 11)()( t i o i TS S TS S S S U TS S U S U =+−=+===+=得取拉氏反变换则系统的输出为即令图2-3为一阶系统的单位阶跃响应曲线。
当t T =时，1()10.632C T e −=−=。
这表示当()C t 上升到稳定值的63.2%时，对应的时间就是一阶系统的时间常数T ，根据这个原理，由图2-3可测得一阶系统的时间常数T 。
由上式（1）可知，系统的稳态值为1，因而该系统的跟踪阶跃输入的稳态误差0ess =。
当2/1)(s s U i =则 TS TS T S T S S T TS S s U /11)/1(/1)1(1)(2220++−=+=+=所以TTeT t t U 10)(−+−=这表明一阶系统能跟踪斜坡信号输入，但有稳态误差存在，其误差的大小为系统的时间常数T。
图2-2t图2-3四、思考题(1)一阶系统为什么对阶跃输入的稳态误差为零，而对单位斜坡输入的稳态误差为T？(2)一阶系统的单位斜坡响应能否由其单位阶跃响应求得？试说明之。
五、实验方法(1)根据图2-1所示的模拟电路，调整R0和C的值，使时间常数T=1S和T=0.1S。
(第05讲) 第三章 一阶系统响应
) 1( t )
1 t T
e ( t ) x i ( t ) x o ( t ) T (1 e
)
所以一阶系统跟踪单位斜坡 信号的稳态误差为：
e s s lim e ( t ) T
t
06-7-20
时域瞬态响应分析
17
上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和 输出信号的变化率完全相同。
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
x i ( t ) t 1( t )
X i (s) 1 s
2
X 0 (s)
1
1 T
Ts 1 s
t
1
2
1 s
2
T s
T s 1 T
单位斜坡响应为： x o ( t ) ( t T Te 误差为： 误差传递函数为：
E (s) T s T s 1 T
06720时域瞬态响应分析06720时域瞬态响应分析34高阶系统的瞬态响应31时域响应以及典型输入信号32一阶系统的瞬态响应33二阶系统的瞬态响应06720时域瞬态响应分析时域分析法根轨迹分析法和频域分析法不同的方法有不同的特点和适用范围
第 五 讲
第三章 时域瞬态响应分析
06-7-20
时域瞬态响应分析
3T
0.95
4T
5T
…
…
1
0.632 0.865
0.982 0.993
ts=3T(s)， （对应5%误差带） ts=4T(s)，（对应2%误差带）
系统的时间常数T 越小，调节时间ts越小， 响应过程的快速性 也越好。
06-7-20 时域瞬态响应分析 14
自动控制实验一一阶系统的时域分析二阶系统的瞬态响应
自动控制实验一一阶系统的时域分析二阶系统的瞬态响应实验目的：1.了解一阶系统的时域分析方法。
2.掌握二阶系统的瞬态响应特性。
3.学习使用实验仪器进行实验操作。
实验仪器和材料：1.一台一阶系统实验装置。
2.一台二阶系统实验装置。
3.示波器、函数发生器等实验仪器。
实验原理：一阶系统的时域分析：一阶系统的传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)，其中K为增益，T为系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应可以用下式表示：y(t)=K(1-e^(-t/T))，其中t为时间。
通过绘制单位阶跃响应曲线的方法可以得到一阶系统的时域参数。
二阶系统的瞬态响应：二阶系统的传递函数形式一般为：G(s) = K/(s^2 + 2ξωns +ωn^2)，其中K为增益，ξ为阻尼系数，ωn为自然频率。
二阶系统的单位阶跃响应可以用下式表示：y(t) = (1 - D)e^(-ξωnt)cos(ωnd(t - φ))，其中D为过渡过程的衰减因子，φ为过渡过程的相角。
实验步骤：一阶系统的时域分析：1.将一阶系统实验装置连接好，并接通电源。
2.设置函数发生器的输出信号为单位阶跃信号，并将函数发生器连接到一阶系统实验装置的输入端。
3.调节函数发生器的幅值和时间参数，使得单位阶跃信号满足实验要求。
4.将示波器的探头连接到一阶系统实验装置的输出端。
5.调节示波器的时间和幅值参数，观察并记录单位阶跃响应信号。
6.根据记录的单位阶跃响应信号，计算得到一阶系统的时域参数。
二阶系统的瞬态响应：1.将二阶系统实验装置连接好，并接通电源。
2.设置函数发生器的输出信号为单位阶跃信号，并将函数发生器连接到二阶系统实验装置的输入端。
3.调节函数发生器的幅值和时间参数，使得单位阶跃信号满足实验要求。
4.将示波器的探头连接到二阶系统实验装置的输出端。
5.调节示波器的时间和幅值参数，观察并记录单位阶跃响应信号。
6.根据记录的单位阶跃响应信号，计算得到二阶系统的瞬态响应特性，包括过渡过程的衰减因子和相角。
一阶系统响应
R(s) Ts 1
T是表征系统惯性大小的重要参数，T越小， 系统的快速性越好。
三 一阶系统时域分析
无零点的一阶系统
Φ(s)=
k Ts+1
, T 时间常数
(画图时取k=1,T=0.5)
r(t)= δ(t)
k(t)=
1 T
e-
t T
单
位
k(0)=
1 T
脉
k’(0)=-1/T2
解
R(s)
1 s
1 s2
s 1 s2
Y (s)
L[ y(t)]
1 s2
0.9 s
0.9 s 10
10(s 1) s2 (s 10)
故系统传递函数为
(s) Y(s) 1
R(s) 0.1s 1
例4.2 系统的结构图如下。已知原有开环系统的传递 函数为
G(s) 10 /(0.2s 1)
若采用负反馈将调节时间ts减小到原来的0.1倍，并保 证总的放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。
K0
G
_
Kh
解 首先求出满足要求的系统传递函数φ(s)。由于一阶系统 的调节时间ts与其时间常数成正比，按照标准型，系统的闭 环传递函数应为：
和N反映系统动态过程的平稳性，即系统的阻尼
程度。其中 指标。
ts 和 %是最重要的
2
个动态性能的
动态性能指标示意图1
A
超调量σ% =
A B
100%
峰值时间tp B
上升 时间tr
调节时间ts
动态性能指标示意图2
调节时间 ts 上升时间tr
一阶系统的单位阶跃响应
图3－5所示系统。
其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3） 式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。
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C( s )
1 1 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
1 t T
c( t ) t T Te
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第三章线性系统的时域分析法
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞 后时间T；
3）稳态误差=T。
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第三章线性系统的时域分析法
线性定常系统的一个性质
对于一阶系统
r( t ) ( t ) r( t ) 1 r( t ) t
R( s ) 1
1 R( s ) s 1 R( s ) 2 s
1 t 1 T c( t ) e T
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第三章线性系统的时域分析法
五 Matlab求取瞬态响应
1 t 6
1 15s 1
ct
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第三章线性系统的时域分析法
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第三章线性系统的时域分析法
例3-1 一阶系统的结构如下图所示。 试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts ； 如果要求ts(5%) 0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？
c( t ) 1 e
1 t T
性质： 1）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴 2）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴
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第三章线性系统的时域分析法
1 t dc( t ) 1 T 1 |t 0 e |t 0 dt T T
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Bm Kt
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第三章线性系统的时域分析法
一.典型输入信号
可以选作典型输入信号函数的条件： 1.该函数在现场或实验室容易得到； 2.控制系统在该函数输入作用下的性能应该可以代表在实际 工作条件下的性能； 3.该函数的数学表达式简单、容易计算。 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 单位脉冲函数 正弦函数
斜率:
t=T c(t)=63.2% 实验法求T 允许误差5% 调节时间 ts=3T t=4T c(t)=98.2% 允许误差2% 调节时间 ts=4T t=3T c(t)=95%
延迟时间：响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间， td 0.69T 上升时间：响应曲线从终值的10%达到其终值的90%所需要的 时间，t r 2.2T
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汤炳新 河海大学机电工程学院 实验楼237 电话：5191952
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第三章线性系统的时域分析法
§3-1 系统时间响应的性能指标
在确定控制系统的数学模型后，可以采用不同的方法分析系 统的动态性能和稳态性能。这些方法是： 1.时间域响应分析法(时域分析法)； 2.根轨迹法； 3.频率域响应分析法(频域分析法)。 时域分析法的优点：直观、正确。
输入 传递函数 时间函数 时间响应 输出
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第三章线性系统的时域分析法
1.已知输入和系统传递函数求系统的输出，分析； 2.已知某一输入，要求系统的时间响应满足一定的性能指标， 设计系统传递函数中的某一部分(控制器)的结构和参数，综 合或设计； 3.已知某系统的输入和输出，求系统模型(传递函数), 辨识
控制工程基础 §3-2 一阶系统的时域分析 一. 数学模型
第三章线性系统的时域分析法
比较点
引出点 方框 方框
信号线
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第三章线性系统的时域分析法
C( s ) 1 R( s ) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
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控制工程基础 二. 一阶系统的阶跃响应
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第三章线性系统的时域分析法
三. 一阶系统的单位脉冲响应
C( s ) 1 1 1 Ts 1 s T 1 1 T t c( t ) e T 1 T
只包含瞬态分量
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第三章线性系统的时域分析法
四. 一阶系统的单位斜坡响应
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控制工程基础Biblioteka 第三章线性系统的时域分析法
二.动态过程和稳态过程
系统的阶跃响应: 1.强烈振荡过程 2.振荡过程 3.单调过程 4.微振荡过程
动态响应(瞬态响应) 时间响应 (系统输出) 稳态响应 系统在某一输入信号作下，其输 出量从初始状态到进入稳定状态 前的响应过程。
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R( s ) 1 s
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C( s )
1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
c( t ) 1 e
1 t T
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时间增长，无稳态误差
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第三章线性系统的时域分析法
* 或 u
4 Ka
伺服驱动器中的电流环
-
r
-
GC s
K i*
-
1 Ls R
Km
m
Tl 1 /( J m s ) -
1/ s
Bm
Kb
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第三章线性系统的时域分析法
r
* 或 u
GC s
4 K2
m
Tl 1 /( J m s )
1/ s
c( t ) 1 e
1 t T 1 t T
c( t ) t T Te
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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第三章线性系统的时域分析法
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才 指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指 示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分 的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多 少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达98% ，费时4T=1分，则T=0.25分。一阶系统对于单 位斜坡信号的稳态误差是T，故当水温以10度/ 分作等速变换，稳态指示误差为10T=2.5度。