微积分复习附解题技巧
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《微积分》复习及解题技巧
第一章 函数
一、据定义用代入法求函数值: 典型例题:《综合练习》第二大题之2
二、求函数的定义域:(答案只要求写成不等式的形式,可不用区间表示)
对于用数学式子来表示的函数,它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围(集合) 主要根据: ①分式函数:分母≠0 ②偶次根式函数:被开方式≥0 ③对数函数式:真数式>0
④反正(余)弦函数式:自变量 ≤1
在上述的函数解析式中,上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题:《综合练习》第二大题之1
补充:求y=x
x 212-+的定义域。(答案:2
12<≤
-x )
三、判断函数的奇偶性:
典型例题:《综合练习》第一大题之3、4
第二章 极限与连续
求极限主要根据: 1、常见的极限:
2、利用连续函数:
初等函数在其定义域上都连续。 例:
3、求极限
的思路:
可考虑以下9种可能:
①0
0型不定式(用罗彼塔法则) ②
2
0C =0 ③∞
0=0
④01
C =∞ ⑤21C C ⑥∞
1C =0
⑦
0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞
∞
型不定
式(用罗彼塔法则)
1sin lim 0
=→x x
x e x x
x =⎪⎭⎫
⎝
⎛+∞→11lim )0(01
lim >=∞→αα
x
x )
()(0
lim 0
x
f x f x x =→11
lim 1
=→x x 1)
()
(lim =→x g x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0
)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α
特别注意:对于f (x )、g (x )都是多项式的分式求极限时,解法见教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则!
典型例题:《综合练习》第二大题之3、4;第三大题之1、3、5、7、8
补充1:若1)
1(sin 2
21lim =++-→b
ax x x x ,则a= -2 ,b= 1 . 补充2:21
221211111lim lim e x x x x x
x x x
x =⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→
补充3:
21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=
⎪⎭⎫
⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4:
1ln lim 1
-→x x
x 1
11
lim 1
=→x x (此题用了“罗彼塔法则”)
型0
第三章 导数和微分
一、根据导数定义验证函数可导性的问题: 典型例题:《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分: 求导主要方法复习:
1、求导的基本公式:教材P123
2、求导的四则运算法则:教材P110—111
3、复合函数求导法则(最重要的求导依据)
4、隐函数求导法(包括对数函数求导法) 6、求高阶导数(最高为二阶) 7、求微分:dy=y / dx 即可
典型例题:《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充:设y=22)(1arctgx x ++,求dy. 解:∵2222
1211122112
1
x arctgx
x
x x arctgx x x y +++=+⋅
+⋅+⋅=' ∴dy=)121(2
2
x
arctgx x x dx y ++
+=⋅'dx
第四章中值定理,导数的应用
一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题:
典型例题:《综合练习》第一大题之16、19
二、利用导数的几何意义,求曲线的切、法线方程:
典型例题:《综合练习》第二大题之5
二、函数的单调性(增减性)及极值问题:
典型例题:《综合练习》第一大题之18,第二大题之6,第六大题之2
第五章 不定积分 第六章 定积分
Ⅰ理论内容复习: 1、原函数:)()(x f x F ='
则称F (x )为f (x )的一个原函数。 2、不定积分:
⑴概念:f (x )的所有的原函数称f (x )的不定积分。
⎰+=C x F dx x f )()(
注意以下几个基本事实:
())()(x f dx x f ='⎰ ⎰+='C x f dx x f )()(
⎰=dx x f dx x f d )()( ⎰+=C x f x df )()(
⑵性质:⎰⎰≠=⋅)0()()(a dx x f a dx x f a 注意 []⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ⑶基本的积分公式:教材P206 3、定积分: ⑴定义 ⑵几何意义
⑶性质:教材P234—235性质1—3 ⑷求定积分方法:牛顿—莱布尼兹公式 Ⅱ习题复习:
一、关于积分的概念题:
典型例题:《综合练习》第一大题之22、24、25、第二大题之11、14