第三章 三维波动方程的定解问题-2

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3) 依据初始条件确定F 、G ，定解——泊松公式。
(3.28)式两边对 r 分别求导，得
r u (r , t ) F (r a t ) G( r a t )
( 3.29)
（3.28）
u (r u ) u (r , t ) r F ( r a t ) G( r a t ) r r
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三维波动方程初值问题的泊松公式
u 在点 M 、时刻 t 的值 u( M , t )，转化为由初值函数
、 在球面 SrM 上的值所决定。
S
M r
M ( , , )
r
计算时，一定要将 ， 的坐标转换到球坐标系 中
dS r 2 d r 2 sin d d
给出最后结果
M ' 表示球面上的动点
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1) 引入球面平均值函数 u (r , t )
它是 u(M , t ) 在以 M 为中心， r 为半径的球面 SrM 上的平均值。
u (r , t )
1 4 r 2
SrM
u(M , t )dS
1 4
S rM
u(M , t )d
另外一方面：很容易看 出，u (r , t ) 和我们所求的 u( M , t ) 有很密切的联系：如果 取 r 0， 那么在 S
M r
S
M r
M ( , , )
上的平均值，也就是u( M , t ).
( 3.24)
r

即 u (0, t ) u( M , t ).
M ( x, y, z )
以 ru 为函 数的一维 波动方程
ru f1 (r at) f 2 (r at)
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
(ru ) u ur r r 2 (ru ) u u 2u r 2 2 r r r r 2u u r 2 2 r r
( 3.23)
dS r 2 sin d d 球面上的面积元
d
dS si n dd 球立体角元 r2
显然：球半径 r 和时间 t 是两个独立变量， u (r , t ) 是它们的函数； M 则是一个参变量；
u (r , t ) 的自变量个数，比起u( x, y, z, t ) 的自变量个数少， 所以研究起来比较方便 。
（ 3.31 ）式两边同除以a ，得
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( 3.31)
r u F ( r a t ) G( r a t ) a t
更进一步地，将（ 3.29 ）与（ 3.34 ）式相加，并令 t 0，得
( 3.34)

即为
(ru ) r u r a t 2 F (r )
y 1.以M点为中心，以r为半径作一
2.求出波函数在球面上的平均值： 3.在 r 0 情况下求极限：
lim u ( x, y, z , t , r ) u ( x, y, z , t )
r 0
x
个球面 S rM
1 4 r 2
u ( x, y, z, t , r )
M Sr
u(M ' , t ) dS
f1 、f 2 是两个二阶连续可微的 函数，它们可以通过给 定的初始条件来确定。
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球对称解的物理意义
u (r , t )
f1 (r at ) r
f1 (r at ) wk.baidu.com 2 (r at ) r r
以速度 a 沿 r 增加的方向
传播的波形
f 2 (r at) / r
r 0
( 3.36)
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即，当r 0 时，球面上点M (，，）收缩到点 M ( x, y, z).
( ru ) r u u ( M , t ) u (0, t ) 2 F (r ) a t t 0 r

t 0
2 F (r a t )
t 0
(ru ) r u r a t

t 0
( 3.35)
考虑到先前有一个动作 ：令 r 0 ，得到了（ 3.33 ）：
u (0, t ) 2F (a t )
另一方面，令 r 0 ，正是
u( M , t ) lim u ( r , t ) u (0, t )
与以
相同速度沿r减小的方向
f 2 ( r at ) r
传播的波形 f (r at) / r 的叠
1
加
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二、一般情况：泊松球面平均法
z
M
M'
r
目的：求任意 t 时刻在任意点 M ( x, y, z) 的波函数 u( x, y, z, t ) u(M , t ) 步骤：
§3.2 三维波动方程的定解问题
2 2u 2u 2u 2 u 2 2 , - x, y, z 2 a 2 t y z x u ( x, y, z ) t 0 u ( x, y, z ) t t 0
( 3.37)
将r=at和
u ( r, t )
1 4 r 2
SrM
u( M , t )dS
代入
r 1 1 u M M u( M , t ) r u dSr dSr 2 t 0 2 r 4 r S M a 4 r S M t t 0 r r 1 ( M ) M 1 ( M ) M dS dSr r 4 a t S M a t 4 a S M a t
u(M , t )d
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三维波动方程的泊松公式
z
M
M ' ( ,, )
是球面 S aM t 上的动点
at
y x
x r sin cos y r sin sin z r cos
1 1 1 u ( x, y, z, t ) ( M ' ) dS 2 4 a 2t 4 a t t S M at
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物理意义
1 1 1 u(M , t ) (M ' ) dS (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at
T0 d
M'
D
M
at
S
M at
如果D< at，u(M,t) = 0 (扰动阵尾已过)
其通解为：r u (r, t ) F (r a t ) G(r a t ) 证明从略，可参考王元明书P65-67
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S
M r
M ( , , )
r

M ( x, y, z )
z
0
y


x r si n cos y r si n si n z r cos .
立体区域T0 (x, y, z)
T0 d
M ( x, y, z )
D
M T0
设初始条件限于区域T0 , d 和D分别是M点到T0的最小 和最大距离。 t 时刻 M 点的 波函数是由以M为中心、 at 为半径的球面 S 上的初始条 件决定的。
M at
d M
D
at
S aM t
如果d > at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到)
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第三章：行波法与积分变换法
§3.2 三维波动方程的定解问题
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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2 2 2u 2 u 2 1 2 u 2 u 2 1 (ru ) a 2 a r a 2 2 2 r r r t r r r r r
2 2 ru 2 ( ru ) a 2 t r 2
z
0
M ( x, y, z )
y
x r si n cos y r si n si n z r cos ,
0 ,
, ,
x
u (r , t ) 1 4 r 2
0 2 .
SrM
u(M , t )dS
1 4
S rM
d
, , 0
,
0 2 .
dS si n dd 球立体角元 r2
x
dS r 2 sin d d 球面上的面积元 dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元
dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元 r 2drd 球的体积元
1 2 u 1 u 1 2u 1 2u 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin a t
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一、球对称情况
球对称： u 与 , 无关，则波动方程可化简为
( 3.32)
上式的结果代入（ 3.30 ）式，得
u (0, t ) 2F (a t )
( 3.33)
u (r u ) u (r , t ) r F ( r a t ) G( r a t ) r r u r aF ( r a t ) aG( r a t ) t
r r
S
r at 1 r a t
x
M r
M ( , , )
r

M ( x, y, z )
z
0
y

(M ) M 1 (M ) M u(M , t ) dSr dSr 4 a t S M a t 4 a S M a t 1
r r
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1 1 1 u(M , t ) (M ' ) dS (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at
因此，以下我们将先求 出 u (r , t ) 。 （这比求解 u( M , t ) 方便得多了） 。
z
0
y

x
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2) 求出u (r , t ) 的通解
能够证明（ru）满足一维波动方程
2 2 ru ( r , t ) ru ( r , t ) 2 a 2 t r2
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球坐标下的三维波动方程
z

r
y

x r sin cos y r sin sin z r cos
x
2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 2 2 t x y z
上式中令 r 0 ，得
u (0, t ) F (a t ) G( a t )
( 3.30)
（ 3.28 ）式两边对 t 分别求导，得
r
u aF ( r a t ) aG( r a t ) t
F (a t ) G(a t )
( 3.31)
上式中令 r 0 ，得
M S at
(M ' ) dS
* * *
M 为中心，at 为半径的球面上的动点 M S 积分遍及整个球面 a t ( M ' ) 决定波函数 u ( x, y, z, t ) 球面上的初始条件 (M ' )，
M ' 表示以
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物理意义
1 1 1 u(M , t ) ( M ' ) d S (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at