第三章 三维波动方程的定解问题-2
数理方程-波动方程及定解
细杆的纵向振动问题
u(x,t) O x
u(x+dx,t) x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为ρ，杨氏模量为Y，杆的 一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动 (沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t) SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
dt
牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长
dT 付里叶热传导定律: Q = κ dx Q—热量;T—温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k(u|S – u0)
用牛顿第二定律 SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρ S dxutt
T u x ( x + dx , t ) u x ( x , t ) = utt ρ dx
由
u x ( x + dx , t ) u x ( x , t ) ≈ u xx ( x , t ) dx
utt = a2 uxx
初始条件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)
或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
10/16
波动方程定解条件I
utt = a 2 u xx , 0 < x < L, 0 < t < +∞ u(0, t ) = 0, u( L, t ) = 0, 0 < t < +∞ u( x ,0) = ( x ), u ( x ,0) = 0, 0 < x < L t
3.2 三维波动方程初值问题
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
关于三维波动方程柯西问题的求解方法
关于三维波动方程柯西问题的求解方法三维波动方程柯西问题(Cauchy problem for 3D wave equation)是非常重要的物理理论模型，可以用来描述许多实际物理现象，如声波传播、热传递、电磁场传播等等。
在当今计算物理专业，求解三维波动方程柯西问题的研究仍然是一大热门话题。
接下来，将着重介绍三维波动方程柯西问题的求解方法。
首先，在求解三维波动方程柯西问题时，我们要充分理解其基本物理模型，这是一个非常重要的环节。
根据模型，三维波动方程可以表示为：a∇^2u＝h，其中a为方程的系数，∇^2u为二阶偏微分算子，h为外加场。
而柯西问题则要求从u（x，y，z）求出特定时刻的解u(x,y,z,t)，以及初始边界和最终的边界条件。
其次，就是采用适当的数值计算方法来求解三维波动方程柯西问题，常用的有有限差分法、有限体积法、有限元法等。
有限差分法是最常见的数值模拟方法之一，它将时空连续性描述为离散性，利用差分格式来近似被解函数，最后可以求出三维波动方程柯西问题的模拟解。
有限体积法也是常用的一种求解方法，它将物理区域分为多个体积单元，由这些单元构成一个离散的物理模型，最后可以求解三维波动方程柯西问题的模拟解。
此外，有限元法也是一种较为常用的求解方法，它将要求解的三维波动方程柯西问题划分为多个位置节点（即有限元），把各位置节点上满足外加本性物理场的一组方程及其边界条件全部集成，最后可以求得三维波动方程柯西问题的模拟解。
总的来说，求解三维波动方程柯西问题应该包括对其物理模型的充分理解、采用适当的数值计算技术等步骤。
只有彻底掌握这些方法，才可以求解出三维波动方程柯西问题的微观模拟解。
三维波动方程柯西问题球平均公式的教学
三维波动方程柯西问题球平均公式的教学一、基本概念在研究波动现象时，常用到柯西问题（Cauchy problem），即给定一个波动方程和初始条件，求解该方程在初始时刻的解。
球平均公式是柯西问题的一种求解方法，在三维情况下，它可以表示为：\[u(x,t) = \frac{1}{4 \pi t} \int_S u_0(x_0) \frac{r}{，x-x_0，}ds_0 \]其中，\(u(x,t)\)表示位置\((x,t)\)处的波动值，\(u_0(x_0)\)表示初始时刻的波动值，\(S\)表示一个以\(x_0\)为中心的球面，\(r\)表示球面到观察点\((x,t)\)的距离。
二、公式推导为了推导出球平均公式，我们先假设初始时刻的波动值在球面上是均匀分布的。
然后利用波动方程和初始条件进行变换和积分得出球平均公式。
首先，考虑在初始时刻的球面上，波动值为\(u_0(x_0)\)，根据波动方程，我们可以得到：\[\frac{\partial^2 u_0}{\partial t^2} - \nabla^2 u_0 = 0\]将\(u(x,t)\)利用波动方程和球坐标表示法展开，可以得到：\[u(x,t) = \frac{1}{4 \pi t} \int_S u_0(x_0) \frac{r}{，x-x_0，}ds_0\]其中，积分是对球面上的面元 \(ds_0\) 进行的。
三、求解方法在实际应用中，我们可以通过数值计算的方法求解球平均公式。
具体步骤如下：1. 将球面上的面元 \(ds_0\) 划分为若干个小面元，计算每个小面元的面积 \(dS\)。
2.对每个小面元进行积分，将所有小面元的积分结果相加，得到球面上波动值的总和。
3.将球面上波动值的总和除以球面的总面积\(S\)，即可得到球平均公式的近似解。
四、应用球平均公式广泛应用于地球物理学、声学等领域。
在地球物理学中，球平均公式可以计算地震波传播过程中的能量衰减。
三维波动方程的解法
三维波动方程的解法随着科技的发展，数字化软件的使用越来越广泛，计算机模拟已经成为了许多领域中不可或缺的重要工具，如气象预报、油气勘探、地震预测等。
在这些领域中，三维波动方程的解法是一项至关重要的任务，本文将介绍一些常见的解法。
一、有限差分法有限差分法是一个经典的数值解法，其基本思路是对微分方程进行离散化处理，然后求解离散化方程组。
在三维波动方程中，有限差分法的思路是将连续的空间进行网格化，将时间轴分成若干个时间步长。
这样，在每个时间步长内，将每个空间点一一计算，从而得到下一个时间步长的解。
有限差分法的优点是简单易懂，方便实现，但是它的精度可能会受到差分步长的影响，因此需要注意选择适当的差分步长。
二、有限元方法有限元方法是一类广泛应用于各个领域的数值分析方法，它的基本思路是将求解区域分割成若干小单元，然后通过求解每个小单元内的问题，从而得到整个求解区域的解。
在三维波动方程中，有限元方法可以将求解区域分割成若干四面体单元或者六面体单元。
通过计算每个单元的刚度矩阵和质量矩阵，可以得到离散化的三维波动方程。
然后通过求解离散化方程组，就可以得到整个求解区域的解。
有限元方法的优点是可以适应复杂的求解区域，精度高、收敛速度快。
当然，它的复杂度也比有限差分法高一些，需要更多的计算资源。
三、边界元法边界元法是一种利用边界条件而不是体系方程求解问题的方法，它的基本思路是将求解区域的边界分解成若干离散的小元素，然后通过求解每个小元素之间的关系，从而得到整个求解区域内部的解。
在三维波动方程中，边界元法可以将求解区域的边界分解成若干小面单元，然后通过求解相邻面积之间的关系，从而得到三维波动方程的解。
边界元法的优点是可以减少求解区域的离散化，大大降低了计算量。
然而，边界元法需要求解每个小元素之间的关系，该关系矩阵中存在一个对角主元，会导致矩阵的条件数很大，因此需要特殊的算法来求解。
结语：三维波动方程的解法有许多种，但是每种方法都有自己的优缺点。
第三章波动方程
0
wt (t, x; τ )dτ,
于是，再利用(1.4)可知 ut |t=0 = w(0, x; 0) = 0. (1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
0
wxx (t, x; τ )dτ.
t
(1.10)
于是， utt − c2 uxx =
0
t
wtt (t, x; τ )dτ + f (t, x) − c2
0
wxx (t, x; τ )dτ (1.11)
t
=
0
wtt (t, x; τ ) − c2 wxx (t, x; τ ) dτ + f (t, x)
(1.1) (1.2)
其中c > 0是一常数，表示波的传播速度，f (t, x)是一给定的函数，表示 t 时刻在 x 处单 位质点所受的外力。方程(1.1) 可用来描述强迫振动的弹性弦的微小振动。 为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入 wtt − c2 wxx = 0, t = τ : w = 0, wt = f (τ, x). 记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为 w = w(t, x; τ ), 则我们有 定理 1.1 如果w = w(t, x; τ )是Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解（其中τ 是参数），则Cauchy问 题(1.1)-(1.2) 的解可以表示为
0
[f (τ, x + c(t − τ )) − f (τ, x − c(t − τ ))] dτ, [fx (τ, x + c(t − τ )) − fx (τ, x − c(t − τ ))] dτ.
3.2三维波动方程初值问题
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
u(x, y, z,t)
( )d,
r at 0.
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
z r cos ,
0
第三节、二维与三维波动方程
第三节、二维与三维波动方程 研究波在空间传播问题.归结为求下列三维波动方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞=+∞<<-∞=>+∞<<-∞=∆-==),,(),,(),,(),,()0,,,(0002z y x z y x uz y x z y x u t z y x u a u t t t tt ψϕ一、 球对称情形 在球坐标系⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x 下：2222222sin 1)(sin sin 1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆u r u r r u r r r u 若初位移、初速度),,(),,,(z y x z y x ψϕ仅是r 的函数，则解);,,(t z y x u 也仅是r 和t 的函数，此时称定解问题是球对称的．．．．。
且 222222222r ur u r zu y u x u u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∆这时波动方程可简化为0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂r u r u r a t u 进一步有0)()(22222=∂∂-∂∂rru a t ru 所以球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂==∂∂-∂∂===0|)(|)()(|)(0)()(0022222r t t ru r r tru r r ru r ru a tru ψϕ 由D ’Alembert 公式，⎪⎩⎪⎨⎧⎰≤-+---++⎰>-+--+++=+-+-rat r at atr at r at r d arr r at r at at r at r at r d arr at r at r at r at r t r u 0)(212)()()()(0)(212)()()()(),(ξξξψϕϕξξξψϕϕ二. 一般情况 令ωςηξπςηξπd t u dS t u rt r u M M rS S ⎰⎰=⎰⎰=1),,,(41),,,(41),(2),(t r u —函数),,,(t z y x u 在球面M r S 上的平均值。
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
2-3 初值问题(高维情形)
at
2
2
0
(sin cos )d sin 2 d
0
d sin cos d 0 0 x y z. at
2
2
例2. 求解初值问题
2 3 u a ( u u u ), ( x , y , z ) R ,t 0 tt xx yy zz 3 u ( x , y , z , 0) yz , u ( x , y , z , 0) xz , ( x , y , z ) R t 解. 法一. 此处 yz, xz, 由Poisson公式得
由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为
1 x at u z d xzt , 2a x at 1 2 u [ z ( y at ) z ( y at )] yz , 2 u 3 0, 因此 u xzt yz.
1
例4. 求解初值问题
2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
u ( x, y , z , t ) 1 2 t sin ( y at sin sin )( z at cos )d d 4 t 0 0
1 4
0
2
0
sin ( x at sin cos )( z at cos )d d
(a)先看三维情形：
特点：三维波的传播有清晰的前阵面和后阵面， 这一物理现象称为惠更斯（Huygens）原理或波无后效现象。 (b)二维情形：
三维洛仑兹变换式用于三维波动方程
三维洛仑兹变换式用于三维波动方程三维洛伦兹变换式用于三维波动方程引言：在物理学中，波动方程是描述波动现象的一种基本方程。
在经典力学和电动力学中，波动方程可以描述振动的机械波和电磁波的传播。
为了研究波动现象在不同参考系下的行为，我们需要引入三维洛伦兹变换式，以便在不同参考系下分析波动方程的解。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种描述波动现象的偏微分方程，通常用来描述波动的传播和干涉。
在三维空间中，波动方程的一般形式可以表示为：□^2φ - (1/v^2) ∂^2φ/∂t^2 = 0其中，φ表示波函数，□^2表示拉普拉斯算符，v表示波速。
这个方程描述了波函数在空间和时间上的变化关系。
二、三维洛伦兹变换式的引入为了研究波动方程在不同参考系下的行为，我们需要引入三维洛伦兹变换式。
三维洛伦兹变换式是狭义相对论中的基本变换式，用于描述时间和空间坐标在不同参考系间的变换关系。
在三维波动方程中，我们使用三维洛伦兹变换式将波函数的空间和时间坐标从一个参考系转换到另一个参考系。
三、三维洛伦兹变换式的具体形式三维洛伦兹变换式可以表示为：x' = γ(x - vt)y' = yz' = zt' = γ(t - vx/c^2)其中，x、y、z表示原参考系中的空间坐标，t表示时间坐标；x'、y'、z'表示新参考系中的空间坐标，t'表示新参考系中的时间坐标；γ表示洛伦兹因子，v表示参考系之间的相对速度，c表示光速。
四、三维洛伦兹变换式在波动方程中的应用将波函数的空间坐标和时间坐标代入三维洛伦兹变换式，我们可以得到波函数在不同参考系中的表达式。
通过对波函数在不同参考系中的变换，我们可以研究波动现象在不同参考系中的特性和行为。
五、结论三维洛伦兹变换式在三维波动方程中起到了重要的作用。
它描述了波函数在不同参考系中的变换关系，使我们能够更全面地理解和分析波动现象的特性。
三维波动方程的解
ｌ ｆ ， ＝０ （ ｚ ＋王 ， ¨＋ ） ， ｔ ＞ ０
方程 （ ４ ） 是亥 姆 霍兹 程 ，（ ４ ） 中 的 ｕ可 以代表 电场强
； ， Ｙ ， ｚ ， ０ ） ＝０ ， 一 ∞＜ ， ｙ ， ＜ ∞
｛ ， ， Ｙ ， 。 ， ０ ） ＝ （ — ， ｙ 一 叼 ，
Ｃ
Ｚ Ｃ 一，
ｎ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — １ ５
作者简介： 张子珍０９ ６ ５ 一 ） ， 女 ，Ｉ Ｊ Ｊ 西大 同人 ，敦授 ， 研究力‘ ： 论物理 。
“ 西大 Ｍ大学学报（ 自然科学 版 ） Ｅ一： Ｃｓ ｉ ｎ
ａ
Ｘ Ｓ ｉ １ ３
【 “ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ）
（ ３ ）
ｆ ４ １
先 求 出点 源 引 起 的基 本 解 ，再 利 用 叠 加 原 理
求 出连续 源的解 。点源 引起 的基 本解１ ｌ 所 满足 的
方 程 是 ｌ
方程 ｆ ３ １ 的解是
Ｔ （ ｔ ） Ｏ Ｃ ． ｅ － ｉ ｋ ＝ｅ ，
Ｍ ， Ｙ ， ， ｆ ） ＝ Ｍ ， Ｙ ， ｚ ） Ｔ （ ｔ ） ，
得
ｆ ｆ ） ＋ｋ ２ ａ ７ ＝０ ，
Ｍ＋七 “ ＝ ０。
ｉ “ ｆ ， ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋ｕ ”＋“ ） ， ｔ ＞ Ｏ
｛ ｔ Ｉ （ ｘ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ｚ ） ， － ｏ ￣ ＜ ｘ ， Ｙ ， ｚ ＜ ｏ ｏ （ １ ）
标系下， 分别求解波动方程 ，并将各种情形赋予相 应的物 理 意义 ，以求 对 该 问题有 一个 整体 的认 识 。
鲁Ｊ 一 Ｊ 一 Ｊ 一 （ 州） ， 叼 ， ） ｄ 叼 ＝ 鲁
数理方程无界域上三维波动方程求解
r
r
r
4
r
2
SrM
u(r,0)dS
4 ar2
SrM
ut (r, 0)dS
由初始条件得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
r 4 SrM r
4 a SrM r
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
称公式
1 (M ) 1 (M )
u(M ,t)
dS
dS
4 a2 t SaMt t
4 a2 SaMt
t
为无界三维空间自由振动的泊松公式。
泊松公式应用举例
例1、求如下定解问题：
uutt
x,
a2 y,
uxx
z, 0
方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质， 得到自由振动的三维波动方程的定解公式—泊松公式.
2、泊松公式的推导 (1)、波函数的球面平均值 定义：称
u (r,t) 1 u(M ,t)dS 1 u(M ,t)d
4 r 2 SrM
4 SrM
为以M (x, y, z)为心，r为半径的球面上的平均值。
令：t t
Wtt a2W ,t 0, x, y, z W t0 0, x, y, z Wt t0 f (x, y, z, ), x, y, z
26
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00Leabharlann 1 0.80.6 0.4 x 0.2
§32三维波动方程的泊松公式
2 u (r , t ) 4 a r r r
2
14
或
u (r , t ) a 2 u (r , t ) 2 r 2 t r r r
2 2 2
1 2 u (r , t ) 1 (ru (r , t )) 但 r 2 2 r r r r r 2 2 (ru (r , t )) 2 ( ru ( r , t )) a 故得 2 2 t r 这是关于 ru (r , t ) 的一维波动方程 , 它的通解 为 ru (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ), (3.27)
u (0, t ) u ( M , t ), 下面推导u (r , t ) 所满足的微分方程. 对方程 M M (3.22)的两端在 S r 所围成的球体Vr 内积分
r), 以( x, y, z) 表示流动点的坐 标, 应用奥-高公式可得
代回(3.26)中得
13
2 t
2
d
o S1
r
0
u ( x x1 , y y1 z z1 , t ) d
2 2 2
u (r , t ) 4 a r r 在此式两端对r微分一次, 得 2 2 u ( x rx1 , y ry1 , z rz1 , t )r d 2 t S o
10
2 u ( x, y, z, t ) u ( x, y, z, t ) 2 d V a 2 2 t M x V VM 2
r r
2u ( x, y, z, t ) 2u ( x, y, z, t ) dV 2 2 y z u ( x, y, z, t ) u ( x, y, z, t ) a y x x y VrM
三维波动方程基本解的一个求法
三维波动方程基本解的一个求法随着数学技术的发展，三维波动方程也得到了重视，已经成为许多科学研究的重要工具。
三维波动方程是一个模拟物理现象的数学模型，其基本解十分重要，它可以用来研究物理问题的准确性和评价模型的有效性。
本文将分析三维波动方程的基本解以及一种求解该基本解的方法。
首先，我们来了解一下三维波动方程的定义。
三维波动方程是一个常微分方程，包括了三个空间维度，空间变量可以由x, y, z三个坐标表示，时间变量可以由t表示。
空间和时间变量可以组合一个四元组(x, y, z, t)，这个四元组用来定义三维波动方程的解，这个解可以用下面的形式表示：u(x, y, z, t)=F(x, y, z, t)其中F(x, y, z, t)是一个函数，可以用来计算三维波动方程的基本解。
三维波动方程的基本解是一个空间动力盛行的系统，它产生的结果是分布在空间上的，因而其基本解有“定常解”和“波动解”之分。
定常解是指当t=0时，F(x, y, z, t)的值仅依赖于(x,y,z)三个空间变量，而随着时间变量t的变化，F(x, y, z, t)的值不会发生变化。
波动解是指F(x, y, z, t)的值随时间变化不断发生改变，但是空间变量(x, y, z)的变化不会影响函数F(x, y, z, t)的值。
两种解形式都十分重要，分析这两种解形式涉及到函数F(x, y, z, t)的研究。
求解三维波动方程的基本解的一种方法是分析函数F(x, y, z, t)的定义，并以此为基础构建一组数学模型。
根据空间变量(x, y, z)的定义，将其表示为由模型参数构成的向量，再根据时间变量t对F(x, y, z, t)进行求导，可以构成一组联立方程系统。
根据系统联立方程的具体形式，可以用几何技术、迭代法、梯度下降法等求解出一组解。
一旦求得解，就可以判断F(x, y, z, t)的变化，从而得出三维波动方程的基本解。
本文简要地介绍了三维波动方程的基本解和一种求解它的方法，但是求解三维波动方程的基本解是一个极其复杂的过程，它涉及到多种数学技巧以及数值分析技术。
波动方程求解法2
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:200(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.11(,)(()())()22()().22x at x atx at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x atd at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，()ωξ1(,)().2x at x atv x t d at ωωξξ+−=∫记作于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t tϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.23123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222112233:()()()r C x x x rξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：123,1,2,3,sin cos ,sin sin ,cos ,0,02.i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤21231122332002123112233100211(,,,)(,,),(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)4sin ,sin ,r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者 其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈12312321122332200(,,,)(,,,)11(,,)(3.7)44r r rC v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有再由复合函数的求导法则应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导r C 33212001111,44r k k r k k kkC v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫21,(3.8)4rD v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200sin ,r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有223211,(3.9)24r rr D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知211223312300001(,,)(,,).4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知31231232123141(,,)(,,),433(,,).r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r rξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则123123(,,,)(,,,)(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题2001230()|0,|(,,)tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.2 2关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 ∂ u ( x1 , x2 , x3 , t ) = u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) ∂t 是定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( ii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ω ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩的解.证明：直接计算,得⎞ ∂ 2u ∂ ⎛ ∂ 2u 2 2 − a Δu = ⎜ 2 − a Δu ⎟ = 0, 2 ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂u u t =0 = = ω ( x1 , x2 , x3 ), ∂t t =0 utt =0∂u = 2 = a 2 Δu ( x1 , x2 , x3 , 0) = 0. ∂t t =02所以引理得证.利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ϕ ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩ ⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iv ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = ψ ( x1 , x2 , x3 ) ⎩的叠加. 设 u1 ( x, y, z , t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u = u1 ( x, y, z , t ) + u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.由引理4.3知，只要取 ω = ψ 就可得到定解问题(iv)的解t 2π π ∴ u2 ( x, y , z , t ) = ∫0 ∫0 ψ ( x1 + α1at , x2 + α 2 at , x3 + α 3at ) sin θ dθ dϕ 4π 1 = 2 ∫∫M )ψ dS , dS 是球面面积微元 4π a t Sat (⎞ ∂⎛ 1 ∴ u1 ( x, y, z , t ) = ⎜ ϕ dS ⎟ ⎜ 4π a 2t S ∫∫ ) ⎟ ∂t ⎝ (M at ⎠由引理4.4知，只要取 ω = ϕ 就可得到定解问题(iii)的解所以Cauchy问题(3.1)的解为∂⎛ 1 u( x , y , z , t ) = ⎜ ∂t ⎝ 4πa 2 t1 ⎞ ∫∫Sat ( M ) ϕ dS ⎟ + 4πa 2 t ∫∫Sat ( M )ψ dS (3.12) ⎠可写为:1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) u( M , t ) = [ ∫∫ dS + ∫∫ dS ] Sat ( M ) 4πa ∂t Sat ( M ) at at上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M ′ 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at 上的动点.Mϕ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 3 ,ψ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 , 定理4.9：若函数则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 M 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S 上 at 的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:T0dDM1.当 at < d ,即 t < d / a 时, S at 与 T0 不相交, ϕ ( M ′ ) 和 ψ ( M ′) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) = 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.M2.当 d < at < D ,即 d / a ≤ t ≤ D / a 时, S at 与 T0 相 交, ϕ ( M ′ ) , ψ ( M ′ ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) ≠ 0 ,这表明扰动正在经过M点. 3.当 at > D ,即 t > D / a , S at 与 T0 也不相交,因而同 样 u( M , t ) = 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了. 这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.MM∂u =0 ∂z20001()|(,)|(,)tt xx yy t t t u a u u u x y u x y ϕϕ==⎧=+⎪=⎨⎪=⎩,x y −∞<<+∞,,0x y t −∞<<+∞>要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分,下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:M at S 222()()()x y at ξη−+−≤:M at C 11d 4πM at C S a at ϕ∫∫12111111d d d 4π44πM at S S S S S S a at a at a atϕϕϕπ=+∫∫∫∫∫∫其中分别表示球面的上半球面与下半球面.由于被积函数不依赖于变量z ,所以上式右端两个积分是相等的,即12,S S M atS 11111d d 4π2πM at S S S S a at a atϕϕ=∫∫∫∫把右端的曲面积分化成二重积分可得11222212222(,)11d d d 4π2π()()(,)1d d 2π()()M M at at M at S C C at S a at a at a t x y a a t x y ϕϕξηξηξηϕξηξηξη=−−−−=−−−−∫∫∫∫∫∫同理002222(,)11d d d 4π2π()()M M at at S C S a at a a t x y ϕϕξηξηξη=−−−−∫∫∫∫将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式,即得问题的解为022*******(,)1(,,)d d 2π()()(,)d d ()()M at M at C C u x y t a t a t x y a t x y ϕξηξηξηϕξηξηξη⎧∂⎪=⎨∂−−−−⎪⎩⎫⎪+⎬−−−−⎪⎭∫∫∫∫当时, ;表示扰动的前锋尚未到达.当时, ;表明扰动正在经过M 点.当时,由于圆域包含了区域,所以d t a <(,,)0u x y t =d D t a a ≤≤(,,)0u x y t ≠D t a >0T :M at C ,这种现象称为有后效, 即在二维情(,,)0u x y t ≠形,局部范围内的初始扰动,具有长期的连续的后效特性,扰动有清晰的“前锋”,而无“阵尾”,这一点与球面波不同.平面上以点(ξ, η)为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行与z 轴的直圆柱面,所以在过(ξ, η)点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动,在时间t 后的影响是在以该直线为轴, at 为半径的圆柱面内,因此解称为柱面波.222()()x y r ξη−+−=将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式,得到所要求的解为:设已知, ,求方程相应柯西问题的解.(,,)x y z x y z ϕ=++(,,)0x y z ψ=(,,)x y z ϕ(,,)x y z ψ2ππ001(,,,)4πu x y z t a t∂=∂∫∫2(sin cos sin sin cos )()sin d d x y z at at at θϕθϕθθϕθ+++++x y z =++2tt u a u =Δ。
第三章-三维波动方程的定解问题-2
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§3.2 三维波动方程的定解问题
2u utt 20
a2
2u x 2
(x, y, z)
2u y 2
2u z 2
,
- x, y, z
u (x, y, z)
t t0
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球坐标下的三维波动方程
z
r
x r sin cos
y
r
sin
sin
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第三章：行波法与积分变换法
§3.2 三维波动方程的定解问题
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式 • 三维波动方程的定解问题 • 拉普拉斯变换法 • 傅立叶变换法 • 积分变换法举例
参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
y r sin sin
,
0
z
z r cos .
, 0 2 .
0y
x
d
dS r2
sin dd
球立体角元
dS r 2 sin d d 球 面 上 的 面 积 元
dV dSdr r 2dr sin d d 球 的 体 积 元
dV dSdr r 2dr sin d d 球 的 体 积 元 r 2drd 球 的 体 积 元
r
r 2
u r
a
2
2u r 2
2 r
u r
a2
1 rΒιβλιοθήκη 2 (ru) r 22 ru a 2 2 (ru)
以 ru为函 数的一维
t 2
r 2 波动方程
ru f1(r at) f2 (r at)
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另外一方面：很容易看 出，u (r , t ) 和我们所求的 u( M , t ) 有很密切的联系：如果 取 r 0， 那么在 S
M r
S
M r
M ( , , )
上的平均值，也就是u( M , t ).
( 3.24)
r
即 u (0, t ) u( M , t ).
M ( x, y, z )
f1 、f 2 是两个二阶连续可微的 函数，它们可以通过给 定的初始条件来确定。
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球对称解的物理意义
u (r , t )
f1 (r at ) r
f1 (r at ) f 2 (r at ) r r
以速度 a 沿 r 增加的方向
传播的波形
f 2 (r at) / r
§3.2 三维波动方程的定解问题
2 2u 2u 2u 2 u 2 2 , - x, y, z 2 a 2 t y z x u ( x, y, z ) t 0 u ( x, y, z ) t t 0
（ 3.31 ）式两边同除以a ，得
深圳大学电子科学与技术学院 ( 3.29)
( 3.31)
r u F ( r a t ) G( r a t ) a t
更进一步地，将（ 3.29 ）与（ 3.34 ）式相加，并令 t 0，得
( 3.34)
即为
(ru ) r u r a t 2 F (r )
t 0
2 F (r a t )
t 0
(ru ) r u r a t
t 0
( 3.35)
考虑到先前有一个动作 ：令 r 0 ，得到了（ 3.33 ）：
u (0, t ) 2F (a t )
另一方面，令 r 0 ，正是
u( M , t ) lim u ( r , t ) u (0, t )
y 1.以M点为中心，以r为半径作一
2.求出波函数在球面上的平均值： 3.在 r 0 情况下求极限：
lim u ( x, y, z , t , r ) u ( x, y, z , t )
r 0
x个球面 S rM1 r 2u ( x, y, z, t , r )
M Sr
u(M ' , t ) dS
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物理意义
1 1 1 u(M , t ) (M ' ) dS (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at
T0 d
M'
D
M
at
S
M at
如果D< at，u(M,t) = 0 (扰动阵尾已过)
r r
S
r at 1 r a t
x
M r
M ( , , )
r
M ( x, y, z )
z
0
y
(M ) M 1 (M ) M u(M , t ) dSr dSr 4 a t S M a t 4 a S M a t 1
r r
( 3.37)
将r=at和
u ( r, t )
1 4 r 2
SrM
u( M , t )dS
代入
r 1 1 u M M u( M , t ) r u dSr dSr 2 t 0 2 r 4 r S M a 4 r S M t t 0 r r 1 ( M ) M 1 ( M ) M dS dSr r 4 a t S M a t 4 a S M a t
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第三章：行波法与积分变换法
§3.2 三维波动方程的定解问题
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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以 ru 为函 数的一维 波动方程
ru f1 (r at) f 2 (r at)
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
(ru ) u ur r r 2 (ru ) u u 2u r 2 2 r r r r 2u u r 2 2 r r
( 3.32)
上式的结果代入（ 3.30 ）式，得
u (0, t ) 2F (a t )
( 3.33)
u (r u ) u (r , t ) r F ( r a t ) G( r a t ) r r u r aF ( r a t ) aG( r a t ) t
给出最后结果
M ' 表示球面上的动点
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1) 引入球面平均值函数 u (r , t )
它是 u(M , t ) 在以 M 为中心， r 为半径的球面 SrM 上的平均值。
u (r , t )
1 4 r 2
SrM
u(M , t )dS
1 4
S rM
u(M , t )d
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球坐标下的三维波动方程
z
r
y
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 2 2 t x y z
d
, , 0
,
0 2 .
dS si n dd 球立体角元 r2
x
dS r 2 sin d d 球面上的面积元 dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元
dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元 r 2drd 球的体积元
( 3.23)
dS r 2 sin d d 球面上的面积元
d
dS si n dd 球立体角元 r2
显然：球半径 r 和时间 t 是两个独立变量， u (r , t ) 是它们的函数； M 则是一个参变量；
u (r , t ) 的自变量个数，比起u( x, y, z, t ) 的自变量个数少， 所以研究起来比较方便 。
上式中令 r 0 ，得
u (0, t ) F (a t ) G( a t )
( 3.30)
（ 3.28 ）式两边对 t 分别求导，得
r
u aF ( r a t ) aG( r a t ) t
F (a t ) G(a t )
( 3.31)
上式中令 r 0 ，得
M S at
(M ' ) dS
* * *
M 为中心，at 为半径的球面上的动点 M S 积分遍及整个球面 a t ( M ' ) 决定波函数 u ( x, y, z, t ) 球面上的初始条件 (M ' )，
M ' 表示以
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物理意义
1 1 1 u(M , t ) ( M ' ) d S (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at
r 0
( 3.36)
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即，当r 0 时，球面上点M (，，）收缩到点 M ( x, y, z).
( ru ) r u u ( M , t ) u (0, t ) 2 F (r ) a t t 0 r
立体区域T0 (x, y, z)
T0 d
M ( x, y, z )
D
M T0
设初始条件限于区域T0 , d 和D分别是M点到T0的最小 和最大距离。 t 时刻 M 点的 波函数是由以M为中心、 at 为半径的球面 S 上的初始条 件决定的。
M at
d M
D
at
S aM t
如果d > at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到)
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3) 依据初始条件确定F 、G ，定解——泊松公式。
(3.28)式两边对 r 分别求导，得
r u (r , t ) F (r a t ) G( r a t )
( 3.29)
（3.28）
u (r u ) u (r , t ) r F ( r a t ) G( r a t ) r r
2 2 2u 2 u 2 1 2 u 2 u 2 1 (ru ) a 2 a r a 2 2 2 r r r t r r r r r
2 2 ru 2 ( ru ) a 2 t r 2
1 2 u 1 u 1 2u 1 2u 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin a t
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一、球对称情况
球对称： u 与 , 无关，则波动方程可化简为
与以
相同速度沿r减小的方向
f 2 ( r at ) r
传播的波形 f (r at) / r 的叠
1
加
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二、一般情况：泊松球面平均法
z
M
M'
r
目的：求任意 t 时刻在任意点 M ( x, y, z) 的波函数 u( x, y, z, t ) u(M , t ) 步骤：