高考四川理科数学试题及答案word解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C

【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ．

【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的

定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．

（2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A

【解析】由题可知，含4x 的项为242

46

C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容

易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则

其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为46444615C x x -=-i ．

（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点

（ ）

（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π

3个单位长度

（C ）向左平行移动π6个单位长度

（D ）向右平行移动π

6个单位长度

【答案】D

【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ⎡⎤⎛

⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎣⎦，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ．

【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变

换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1

ω

倍，

纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1

ω

倍，纵坐标不

变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ

ω

个单位得sin()y ωx φ=+的图象．

（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D

【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个

位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有14

34C A 72⋅=，故选D ．

【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的

完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．

（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发

资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30=）

（A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B

【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，()130112%200x

+=，

解得 1.12

200lg 2lg1.3

log 3.80130lg1.12

x -==≈，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，故选B ． 【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注

意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．

（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他

在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n ，x 的值分别为3，2．则输出v 的值为（ ）

（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B

【解析】初始值3n =，2x =，程序运行过程如下表所示1v =，2i =，1224v =⨯+=，1i =，

4219v =⨯+=，0i =，92018v =⨯+=，1i =-，跳出循环，输出18v =，故选B ．

【点评】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次

循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．

（7）【2016年四川，理7，5分】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：

实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪

≥-⎨⎪≤⎩

则p 是q 的（ ）

（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】如图，()()22

112x y -+-≤① 表示圆心为()1,1，

半径为2的圆内区域所有点（包括边界）； 1,

1,1y x y x y -⎧⎪

-⎨⎪⎩

≥≥≤② 表示ABC ∆内部区域所有点（包括边界）．实数,x y 满足②则必然满足①， 反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件，故选A ．

【点评】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否

成立．这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．

（8）【2016年四川，理8，5分】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是

线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为（ ） （A ）3 （B ）2

3

（C ）2 （D ）1 【答案】C

【解析】如图，由题可知,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭，设P 点坐标为200,2y y p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，显然，当00y <时，0OM k <；00y > 时，0OM k >，要求OM k 最大值，不妨设00y >．

则()

2001112

,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+

⎪⎝

⎭， 0

200022

322263

OM y k y p y p p y p ===++

≤，当且仅当2202y p =等号成立，故选C ．

【点评】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量

法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出 后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．

（9）【2016年四川，理9，5分】设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01,

()ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩

图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与 2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（ ）