ch1-1,2数列极限

福 州 大 学 2020/7/26
12
例如
i)2,4,8, ,2n, , xn 2n;
ii)12,14,18,,21n,, xn
1 2n
;
(2n)n1
1
2
n
n1
ii1 i, )1 ,1 , ,( 1 )n 1, , xn(1)n1;
(1)n1
n1
iv2),1 2,4 3, ,n( n1)n1, , xn
课程特点
本课程与中学数学课程有很大不同， 课程相当紧凑，每一节课讲的内容多， 进度快。 较多的内容需要演算论证和 逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要 有耐心和细心。
高数是学习专业基础课、专业课 一 种重要的数学工具。
福 州 大 学 2020/7/26
2
教学安排
第一章 极限与连续
16学时
第二章 一元函数微分学 20学时
当n时,xn(1)n没有确定的. 变化
福 州 大 学 2020/7/26
16
当n时, xn的变化趋势分 ：为三类
1) xn 无限接近于某个常确数定 a. 的
2) xn无限增 ,即大 趋向无 . 穷大
3) xn 没有确定的变化趋. 势
对数 (xn)列 n1,若n 当 时 ,xn无限接 一近 个
定a数 ,则(称 xn) n1的极a限 ,并是 记 ln i m x 为 na.
1 n
给定 1 , 100
要
xn
1
1, 100
由1 1 , n 100
只 要 n100,
给定 1 , 1000
要xn
1
1, 1000
只要n1000 ,
给定 1 , 要xn 10000
1 1 , 10000
只要n10000,
(这时, xn就无限接近于1)
给定 0, 要 xn1成 立 ， 只要n N
n(1)n1 n
;
福 州 大 学 2020/7/26
n
(1)n1 n
n1
13
3 ,3 3 , ,3 3 3 , 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2, ,xn, . x3 x1 x2 x4 xn
2. 数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+ 整标函数
第一天截下的杖 X1 长 12;为
第二 天截 下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
福 州 大 学 2020/7/26
10
2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
福 州 大 学 2020/7/26
11
二、数列的定义
数列定义 按照某一法则 , 对每个自然数 n , 都
有确定的实数xn与之对应，这列有序的数： x1 , x2 , ... , xn , ...
称为数列 (sequence),
数列中的每个数叫做数列的项，
第 n 项 xn 叫做数列的一般项或通项, 数列简记为 (xn)n1
故在 t0 时刻的瞬时速度为 v(t0)lti m t0 s(tt)ts0(t0)
福 州 大 学 2020/7/26
8
第二节 数列极限的定义
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质
福 州 大 学 2020/7/26
9
一、概念的引入
1、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
7
例2、瞬时速度问题
设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度.
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
t0 到 t 的平均速度为 v s s(t) s(t0 )
s(t0 )
s(t )
o t 0 t t
s
t
t t0
当tt0时 , v v(t0 ),
第三章 一元函数积分学 24学时
第四章 微分方程
12学时
(期中考 复习
2 学时)
期末总复习
6 学时
本学期授课内容从第一章至第四章。
wenku.baidu.com
福 州 大 学 2020/7/26
3
基本要求
一、课前要预习,至少要翻一下书， 知道上课讲什么。(自学能力)
二、课堂上要认真听讲，适当做一些 课堂笔记以便课后复习。
三、课后要认真独立完成布置的作业， 作业要准时交。每次上课前交。
福 州 大 学 2020/7/26
4
参考书目：
《高等数学全真课堂 》 北京大学数学科学院编， 学苑出版社， 2019年
《高等数学习题集》 北京大学数学科学学院 韩松 主编，
科学技术文献出版社，2000年
第一节 微积分中的极限方法
例1、曲边三角形面积问题 求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S.
(结论)
(条件)
1
.
无论给定多么小的正数ε(距离)
福 州 大 学 2020/7/26
18
定义 >0 (不论它多么小) N Z+,
当n N 时,有 xn a ,
则称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛
于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果这样的常数 a 不存在, 就说数列没有极限,
或说数列是发散的. 说明：
例子 >>>
福 州 大 学 2020/7/26
14
三、数列的极限
14 n(1)n1
2, , , , 23
n,
观察(1数 (1 n 列 )n1) n1当 n 时的变 . 化
xn
福 州 大 学 2020/7/26
15
n
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。 当 n 时 ,xn1(1n )n1无限接 1. 近于 当n时 ,xn21n无限接 0.近于 当 n 时 ,xn2n无限.增大
ln i m 1(1n)n11,
1 lnim 2n
0,
lim2n
n
(不存在)
而数 xn2 列 n,xn( 1)n没有 . 极限
福 州 大 学 2020/7/26
17
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它.
(xn 与1 的距离)
例如
ln i m 1(1n)n11,
xn1(1)n1
1 n
y
y x2
n个小矩形面积 Sn
Sn
1 n
2
1 n
22 n
1
n
nn2
1 n
o1 2 …i 1 i … 1 x
nn n n
1 n3
n
i2
i1
n131 6n(n1)2 (n1)16(1n1)(2n1)
Snl im Sn
lim 1(11)2 (1)
n 6 n n
1 3
福 州 大 学 2020/7/26