3.2 圆的对称性(第一课时)

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《圆的对称性》优秀教案

三、例题展示： =
ｏ
第 2 题图
例1、如图，AB、AC、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC 与∠BAC 相等吗？
为什么？
O
A
B
C
例 2：如图，AB,DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且弧 AD=弧 CE,BE 与 CE 的大小

有什么关系？为什么？
B
E
达标测试
四、课堂检测：
二、基础训练：
D
1．试一试：如图，已知⊙O、⊙O ' 半径相等，
O
O’
C
AB、CD 分别是⊙O、⊙O ' 的两条弦填空：
A
B
（1）若 AB=CD，则
，
第 1 题图
（2）若 AB= CD，则
，
评价点拨
巩固延伸
（3）若∠AOB=∠CO ' D，则
，
D 2
B
1
A
O
2．如图,在⊙O 中, AC == BD,∠1=30°,则∠2=_______
OO’
导学
A’
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '
A
B
⑵在⊙O 和⊙O ' 中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠ A'O' B ' ，连接 AB、 A' B '
图5
⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O ' 重合（如图 5）
⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得 OA 与 OA ' 重合在操作的过程中，你有什
导学流程
教学过程
教学内容
预习交流
一、问题引入：
1 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做

华师大版圆的对称性第一课时课件

弦的定义和性质
解释弦的定义、性质以及与弦相关的弧长和圆角，帮助您理解弦和圆的几何关系。
圆心角和圆周角探究
通过具体案例和图形演示，揭示圆心角和圆周角的概念、计算方法以及它们与弦和弧长的关系。
对称轴和对称中心
探索圆的对称性质，深入研究对称轴、对称中心等概念，并展示对称性在圆上的应用。
圆的对称性质及应用
华师大版圆的对称性第一课时ppt课件
这个PPT课件将带您探索圆的定义、性质和对称性质，并结合实例和练习帮助您更好地理解圆的概念与特点。
圆的定义和性质
通过详细介绍圆的定义、半径、直径、弧、弦等基本概念，让您全面理解圆的性质和基本要素。
弧的定义和测量
深入讨论弧的定义、测量方法和相关的圆心角和圆周角，让您准确理解弧的概念和测量技巧。
介绍圆的各种对称性质，如旋转对称、轴对称、中心对称等，以及在几何问题中应用对称性的方法和技巧。
习题讲解与课堂练习
通过针对性的习题讲解和课堂练习，帮助您巩固所学的知识，并提升解题能力与应用能力。

圆的对称性第一课时

一切平面图形中，最美的是圆！
——毕达哥拉斯[古希腊数学家]
23.1.2圆的对称性
(第一课时)
学习目标
1.理解圆是旋转对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中, 圆心角、弧、弦之间的关系。

2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
旋转对称图形:把一个图形绕着一个定点旋转一定角度后，能与原图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。（ 0度< 旋转角<360度）中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合.那么这个图形叫作中心对称图形。
课堂小结
1.圆是旋转对称图形、中心对称图形，它的对称中心是圆心； 2.圆心角、弧、弦之间的关系。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量也分别相等．
（注意: 运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.）
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
∠AOB=∠A'OB'
｛
⌒ ⌒ AB = A'B'
O
B' B'
AB=A'B'
A' A'
A
B
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。
⌒ ⌒ AB = A'B'
｛
∠AOB=∠A'OB'
O
B' B'
AB=A'B'
A' A'
A

3.2圆的轴对称性(1)

CD为直径 CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A
C
E B
O
D
CD平分弦AB 条件
结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
Hale Waihona Puke 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒ 如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG ⌒ 交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD ①②③ 其中正确的是________（只需填写序号）
A
C 1 3D O
3
B
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC=BD
O A C B D
定理的推论2
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A O B D
A C
●
O D
B C
●
垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5、已知：圆O的半径为5cm，弦AB∥CD， AB=6cm，CD=8cm。求AB与CD间的距离。
C E
D
O E C A F B D A
O F B
变式：已知⊙O的半径为15cm，弦PQ∥MN，且 PQ=18cm，MN=24cm，求以平行弦为底的梯形的面积。
6、过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点 E
O C D
A
B
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm，求这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.

华师大版圆的对称性第一课时课件

解析时应指导学生如何找到对称点，并连接对称点得到新的
圆。
PART 06
总结与展望
REPORTING
本课重点回顾
01
02
03
圆的对称性定义
理解什么是圆的对称性，以及如何判断一个图形是否具有对称性。
圆的对称轴
掌握如何找到圆的对称轴，并理解对称轴在圆中的作用。
圆的对称性质
掌握圆的对称性质，如对称点的连线经过对称轴，对称轴垂直平分对称点的连线等。
PART 05
课堂互动与练习
REPORTING
问题解答
01
02
03
04
题目1
什么是圆的对称性？
答案1
圆的对称性是指圆在旋转或平移过程中，其形状和大小保持
不变的性质。
题目2
如何判断一个图形是否具有圆的对称性？
答案2
可以通过观察图形的旋转或平移后的形状是否与原图形重合
来判断。
学生互动讨论
讨论主题
在日常生活和生产实践中，圆的对称性应用广泛。
对称性的定义与重要性
对称性是指图形在某种变换下保持不变的性质。
对称性是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、代数、分析等领域。
掌握对称性的知识有助于理解其他几何图形的性质和特点。
圆的对称性简介
圆具有旋转对称性，即绕圆心旋转任意角度后仍与原图重合。
圆还具有轴对称性，即沿直径折叠后与另一半重合。
圆的对称性在几何、代数、分析等领域有着广泛的应用。
PART 02
圆的对称性概念
REPORTING
圆的基本性质
圆上任一点到圆心的距离相等
01
这是圆的基本定义，也是圆的根本性质。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。

同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。

3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。

数学3.2《圆的对称性》教案(1)(北师大版九年级下)

D§3.2.1 圆的对称性教学目标1、经历探索圆的对称性及相关性质，2、理解圆的对称性及相关性质3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法教学重点：垂径定理及其逆定理教学难点：垂径定理及其逆定理教学过程：一．从学生原有的认知结构提出问题圆是我们比较熟悉的图形。

它是漂亮的图形，这节课，我们研究一下它的性质。

师生共同研究形成概念1、圆的轴对称性☆ 议一议书本P 96在探索圆是轴对称图形时，大多数学生可能会采用折叠的方法，有的学生也可能用其他方法，只要合理，都应该鼓励圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线2、圆的几个概念对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧AB 记作AB大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧优弧DCA 劣弧AB 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径注意直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧二．探索新知3、垂径定理☆ 做一做书本P 97 做一做从此例子得出垂径定理。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1）图中相等的线段有，相等的劣弧有；（2）若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC =⌒ ⌒⌒⌒ ⌒D4、垂径定理的逆定理☆ 想一想书本P 99 想一想鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流，得出结论。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧如图，在⊙O 中，直径CD 平分弦AB ，交AB 于点M ，（1）图中直角有，相等的劣弧有；（2）若BC = 5，则AC = 。

总结与反思：在圆中，弦、弦心距、半径三者中已知其中任意两个，我们就可以用垂径定理结合勾股定理求出第三个量。

三、巩固新知形成技能【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ， ∠CEA=30°，求CD 的长．【例2】在⊙O 中，弦AB∥EF，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB【例3】．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD = 600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。

圆的知识整理(分章节)

第一节圆的对称性第一课时垂径定理知识点1：圆的对称性是圆的本质属性。

它包括圆的轴对称性、圆的旋转不变性、圆的中心对称性。

知识点2：垂径定理可以这样理解：一条直线①经过圆心；②垂直于弦（非直径弦）；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。

如果这条直线具备以上条件中的两条，那么其他三条也是成立的。

可以简单记为“知二得三”.第二课时弧、弦、圆心角之间的关系知识点1：⎪⎩⎪⎨⎧.对弧的度数圆心角的度数等于它所质和特征；圆心角具有角的一切性；是圆的半径所在的射线定点在圆心，角的两边圆心角知识点2：在同圆或等圆中：两个圆心角相等⇔圆心角所对的弧相等⇔弧所对的弦相等第三课时正多边形的画法知识点1：正多边形的画法⎩⎨⎧用尺规等分圆用量角器等分圆；知识点2：正多边形的性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧是中心对称图形它既是轴对称图形，又边形有偶数条边，那么如果正条对称轴；边形有对称图形，一个正所有的正多边形都是轴；最小旋转角为边形是旋转对称图形，正n n n n 360n 0 第二节确定圆的条件知识点1：不在同一直线的三点确定一个圆⎪⎩⎪⎨⎧有且仅有”的意思圆而且只能做一个，““确定”是指能作一个过共线三点不能作圆；一条件不可忽略；“不在同一直线上”这知识点2：外心⎪⎩⎪⎨⎧角形的外心在其外部心是斜边中点，钝角三内部，直角三角形的外锐角三角形的外心在其中垂线的交点；外心是三角形的三边的心；外心，即它的外接圆圆任意三角形都只有一个第三节圆周角第一课时圆周角（一）知识点１：圆周角⎪⎩⎪⎨⎧有无数个同一条弧所对的圆周角两边都与圆相交顶点在圆上知识点２：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径第二课时圆周角（二）知识点1：圆周角⎪⎩⎪⎨⎧它所对圆心角的一半或等弧所对的圆周角是在同圆或等圆中，同弧等；或等弧所对的圆周角相在同圆或等圆中，同弧；它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角是知识点2：平行弦⎩⎨⎧平行弦所夹的弦相等；；平行弦所夹的弧是相等第四课直线与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系知识点1：直线与圆的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧>⇔=⇔<⇔rd r r 直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交d d知识点2：直线与圆的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧⇔⇔⇔直线与圆相交直线与圆有两个交点直线与圆相切直线与圆有唯一交点直线与圆相离直线与圆没有交点第二课时切线的性质与判定知识点1：切线的定义：⎩⎨⎧直线垂直于这条半径直线经过半径的外端；知识点2：切线的判定方法⎪⎩⎪⎨⎧的切线于这条半径的直线是圆经过半径的外端且垂直半径的直线是圆的切线和圆心的距离等于圆的直线是圆的切线和圆只有一个公共点的知识点3：切线的性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧圆的半径圆心到切线的距离等于点切线和圆只有一个公共的直线必过圆心经过切点且垂直于切线的直线必过切点经过圆心且垂直于切线第五节三角形的内切圆知识点1：⎪⎩⎪⎨⎧距离都等于内切圆半径分线的交点，到各边的内心是三角形三条角平的内心；内切圆的圆心叫三角形圆叫三角形的内切圆；与三角形各边都相切的三角形的内切圆知识点2：圆的外切三角形周长为l ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r 21S =第六节圆与圆的位置关系知识点：圆与圆的位置关系⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+<<-⇔⇔⎩⎨⎧-=⇔+=⇔⇔⎩⎨⎧-<⇔+>⇔⇔121212211221r d r d d r r d r r r r d r r r r 相交有两个公共点内切外切相切有一个公共点内含外离相离无公共点（12r r >）第七节弧长及扇形面积的计算知识点1：弧长的计算公式：180r n π= ，其中n是圆心角度数，不带度，r 是半径. 知识点2：扇形的面积公式：r r n 21360S 2==π扇形，其中是弧长，r 是半径.。

3.2圆的对称性(1)

D海旺中学2012-2013学年九年级数学（下）学案§3.2 圆的对称性（第一课时）九（）班姓名：编制：蓝小燕审核：蓝福隆学习目标:1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2、理解圆的对称性及相关知识．3、理解并掌握垂径定理．学习重点: 垂径定理及其应用．学习难点: 垂径定理及其应用．学习过程：一、知识点1：圆的轴对称性【做一做1】（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你使用什么方法解决上述问题的？定理：圆是图形，其对称轴是任意一条的直线二、知识点2：圆的几个概念1、圆上任意两点间的部分叫做，简称弧AB 记作AB2、大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做优弧DCA劣弧AB 3、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。

三、知识点3：垂径定理【做一做2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB 于M 。

1、左图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？2、你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.⌒⌒ ⌒垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ，（1）图中相等的线段有，相等的劣弧有；（2）若AB = 10，则AM = ，BC = 5，则AC = 。

例1 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。

【举一反三1】如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 10，OC = 6，求AB 的长。

例2 如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上。

你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？【举一反三2】．（2012•南通）如图，⊙O 的半径为17cm ，弦AB ∥CD ，AB=30cm ，CD=16cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，求AB 和CD 的距离．⌒ ⌒例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF = 90m 。

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°

九年级数学下册 3.2圆的对称性(第1课时)课件北师大版

2013-9-23
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用什么方法研究轴对称图形的?
2013-9-23
驶向胜利的彼岸
（一）想一想
• • • • 圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.
2013-9-23
驶向胜利的彼岸
– 练一练:完成课本随堂练习第1题．
2013-9-23
驶向胜利的彼岸
– 1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M． – 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
2013-9-23
驶向胜利的彼岸
–
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
⌒ ⌒ 一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)， ⌒ 其中CD=600m，E为CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
2013-9-23
2013-9-23
驶向胜利的彼岸
做一做：按下面的步骤做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.

九年级数学圆的对称性

在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
做一做
8
驶向胜利的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
想一想
垂径定理的逆应用
9
驶向胜利的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
想一想
7
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E A D B
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545 m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
O
做一做
5
船能过拱桥吗
驶向胜利的彼岸
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
• 相信自己能独立完成解答.

圆的轴对称性第一课时课件

在数学中，许多函数的图像是圆或圆弧，这些图像具有轴对称性。利用这种对称性，可以更好地理解和分析函数的性质和特征。
几何证明
在几何证明中，圆的轴对称性常常被用来证明某些几何定理和性质。例如，利用圆的对称性证明圆周角定理等重要的几何定理。
05
课堂互动与讨论
问题一：如何理解圆的轴对称性？
总结词：直观理解总结词：数学定义总结词：几何特性
的直线对称。
详细描述：对于矩形，可以通过连接对角线，证明矩形关于对角线所在的直线对称。
总结词：菱形
总结词：矩形
详细描述：对于菱形，可以通过连接对角线，证明菱形关于其中垂线所在的直线对称。
THANKS
感谢观看
03
圆的轴对称性证明
证明方法一：几何证明
总结词：直观明了
详细描述：通过观察圆在平面上的形状，可以直观地看出圆具有轴对称性。当一个圆沿一条直线对折时，两侧的图形完全重合，证明了圆的轴对称性。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：利用代数公式和定理，通过严谨的推导证明圆的轴对称性。具体来说，设圆心为$O$，任意一点$P$在圆上，当点$P$关于直线$l$对称时，有$OP = OP'$且$angle P'OP = angle P'PO = angle PLO$，从而证明了圆的轴对称性。
问题二：圆的轴对称性有哪些应用场景？
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总结词：几何证明
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详细描述：在建筑设计中，圆的轴对称性被广泛应用于穹顶、拱门、桥梁等结构的设计，以实现力量的均匀分布和视觉的美感。
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详细描述：在几何证明中，圆的轴对称性常常用于证明与圆相关的定理和性质，如垂径定理、切线长定理等。

3.2圆的轴对称性(1)

O
C
A
BC就是所要求的弦点D,E就是所要求的弦所对的两条弧的中点.
B
D
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
C
m
F
E G
n
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O
8
10 6
P
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
B
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧例1：已知AB 的中点。

3.2 圆的对称性(第一课时)

《圆的对称性》优秀教案

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3.2圆的轴对称性(1)

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