复数与平面几何题

用复数解平面几何题的尝试

宿迁市泗洪县育才实验学校 周文化 文武光华数学工作室 潘成华

【摘要】用复数法解决某些平面几何题往往显得简洁而特别，尤其是那些规则的，容易得出较简洁表达式的问题。本文通过具体的问题谈谈对复数解平面几何题的若干尝试。

关键词 复数，共轭复数，平面几何

为使符号表示简明，文中约定使用复数时，①用AB 表示“A B -”，代替通常的写法AB ，②AB 表示复数AB 的共轭复数，③引入符号“1≡”及“i ≡”： y x 1≡表示Re(x)=Re(y),即复数x,y 的实部相等；y x i ≡表示Im(x)=Im(y),即复数x,y 的虚部部相等.

由此约定不难得出，“p 是实数”等价于“p i ≡0” ，“p 是纯虚数”等价于“p 1≡ 0”. 命题1. 设i b a x 11+=，i b a y 22+=，其中R ∈i i b a ，，2,1=i ； (1)y x ⊥⇔ 011≡•≡•y x y x ； (2) y x //⇔ 0i i y x y x ≡•-≡•. 证明：只证充分性

（1）当y x ⊥时，易知02121=+b b a a ；由i b a x 11+=可得i b a x 11-=， 故i b a b a b b a a i b a i b a y x •-++=+•-=•)()()()(122121212211，

于是Re (y x •)=2121b b a a +=0，即01≡•y x ，再由共轭复数的性质可得01≡•y x . (2)由(1)可知i b a b a b b a a y x •-++=•)()(12212121， 当y x //时，易知01221=-b a b a ，

∴Im (y x •)=1221b a b a -=0，即0i y x ≡•，再由共轭复数的性质可得0i y x ≡•-. 注：实际上y x •的实部、虚部分别对应于向量)(11b a ，及)(22b a ，的内积、外积.

命题2.△ABC 及△'''C B A 顺向相似(对应点的排列顺序相同)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：

①

''''C A B A AC AB =，②''''C

A AC

B A AB =，③A

C B A C A AB •=•''''， ④0''''i AC B A C A AB ≡•+•且01''''≡•-•AC B A C A AB .

证明：只证充分性，设ey ex, A'C'y, AC x, A'B'AB ====

注：对顺向相似中任意两组对应的有向线段 b'a, b, a', ，都显然有

''b a b a =,'

'b b

a a

=,b a b a •=•''，0''i b a b a ≡•+•，0''1≡•-•b a b a 成立. △ABC 及△'''C B A 反向相似(对应点的排列顺序相反)的充分必要条件可以是下列条件中的任一个：

①

''''C A B A AC AB =，②''''C

A AC

B A AB =，③A

C B A C A AB •=•''''， ④0''''i AC B A C A AB ≡•+•且01''''≡•-•AC B A C A AB .

证明：只证充分性，设y e ex, A'C'y, AC x, A'B'AB ====注：对反向相似中任意两组对应的有向线段 b'a, b, a', ''b a b a =,'

'b b

a a =,

b a b a •=•''，0''i b a b a ≡•+•，0''1≡•-•b a b a 成立. 命题3. 若AB ∥CD ，Q 是直线CD 上的任一点，则Im （AB PQ •）= Im （﹣AB PQ •）为定值.

证明：只需证Im （AB PQ •）为定值.

AB CQ AB PC AB CQ PC AB PQ •+•=•+=•)(，

由AB CQ //可得0i AB CQ ≡• ，

∴AB PC AB PQ i •≡•, 即Im （AB PQ •）为定值.

特别的，当Q 在直线AB 上时，Im （AB PQ •）= Im （﹣AB PQ •）= Im （AB PA •）

A

B

C D B'

C C'

C

= Im （PB PA •）。

命题4. 若AB ⊥CD ，Q 是直线CD 上的任一点，则Re （AB PQ •）= Re （AB PQ •）为定值.

证明：只需证Re （AB PQ •）为定值.

AB CQ AB PC AB CQ PC AB PQ •+•=•+=•)(，

由AB CQ ⊥ 可得01≡•AB CQ ，

∴AB PC AB PQ •≡•1, 即Re （AB PQ •）为定值.

借助上述命题和复数的其他知识解决一些问题时思路往往显得很新颖直接.

问题1.已知：△ABC 及△ADE 反向相似，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，BE 、CD 交于点X.

求证：（1）AX//MN.（2）若∠ABC=∠ADE=90O ，则AX ⊥BD 证明：（1）0)(2i i AC AD AE AB DC BE AX MN AX ≡•+•≡+•=• 因此，AX//MN 。

（2）

)()(21-•≡-•+=•DE AD BC AB AD DE BC BD MN ∴BD MN ⊥,进而BD AX ⊥.

问题2. 已知：Ｏ、Ｈ分别是△ABC 的外心、垂心，D 、E 是AB 、AC 的中点，CF

D B

⊥AB 于F ，BG ⊥AC 于G ， DE 、FG 相交于P ； 求证：AP ⊥OH

证明：由外心、垂心的性质易得BC AH AC OE AB OD ⊥⊥⊥,,；

由D 、E 是AB 、AC 的中点，CF ⊥AB 于F ，BG ⊥AC 于G 可得△ADE ∽△AGF ∽△ABC ，DE ∥BC ，于是又有AH ⊥DE.

∴01=•-•≡•-•=•AF AD AG AE AF AO AG AO FG AO ，可得FG AO ⊥； ∴011=•-•≡•-•≡•-•=•AD AF AG AE AO AF AH AE AO AP AH AP OH AP ，

可得OH AP ⊥.

问题3. （田开斌老师题）已知：□ABCD 中，CE 、DF 分别垂直BD 、AC 于E 、F ，FE 及BA 相交于G ； 求证：OG ⊥AD.

证明：分别过C 、D 作CM 、DN 垂直于OC 、OD ，且交

易知CE ∥DN ，DF ∥CM ，MN ∥EF ，Rt △EOC ∽Rt △A

B

C