角动量守恒

对比： 对比：
∫M
t1
t2
外
dt = l2 −l1
13
∫
t2
t1
F dt = p2 − p1 外
若把方程
dl M ＝ dt
投影到OZ轴上， 投影到 轴上，则可得到 轴上
dlz Mz＝ dt
这表示，质点对某轴的角动量随时间的变化率， 这表示，质点对某轴的角动量随时间的变化率， 等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。 等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。这称为 质点对轴的角动量定理。 质点对轴的角动量定理。
j k i l = r ×(mυ) = m acosωt bsin ωt 0 −ωasin ωt ωbcosωt 0 =mωabk
dr 2 F=ma=-mω2r a = 2 = −ω r dt M=r×F=-mω2r×r =0
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2
例题4-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 如图所示， 例题 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 的小孔 ，绳的一端系有一质量为 的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 绕孔o作半径 的匀速圆周运动,现在向下缓慢 作半径r的匀速圆周运动 速度ω0绕孔 作半径 的匀速圆周运动 现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/ 时止， 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为 2时止，求这 一过程中拉力的功。 一过程中拉力的功。 ω0 绳的拉力对o点的力矩为 解 绳的拉力对 点的力矩为 o 故小球在运动中对o点的角 零,故小球在运动中对 点的角 故小球在运动中对 r m 动量守恒,于是有 动量守恒 于是有 mr2 ω0= m(r/2)2 ω F ω=4ω0 由动能定理， 由动能定理，拉力的功为
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M外 = 0 有三种情况
1.r=0，质点处于参考点上静止不动； ，质点处于参考点上静止不动； 2.F=0，所讨论的是孤立质点； ，所讨论的是孤立质点； 3.r≠0,F≠0,但r×F=0，即r和F总是平行的，如万有引 但 总是平行的， ， 和 总是平行的 力和静电力这样的有心力。 力和静电力这样的有心力。 若M≠0,但Mz＝0，则lz=恒量 但 ＝ ， 恒量 这表示，当作用于质点的合外力对Oz轴的力矩为 这表示，当作用于质点的合外力对Oz轴的力矩为 Oz 零时，质点对该轴的角动量保持不变。这叫做质 零时，质点对该轴的角动量保持不变。这叫做质 点对轴的角动量守恒定律。 点对轴的角动量守恒定律。
∫
t2
t1
Mdt = ∫ dl = l2 −l1
l1
பைடு நூலகம்
l2
上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是:合外力 上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是 合外力 矩的冲量(冲量矩 等于质点角动量的增量。 冲量矩)等于质点角动量的增量 矩的冲量 冲量矩 等于质点角动量的增量。它是质点 角动量定理的积分形式。 角动量定理的积分形式。
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三、质点角动量守恒守律
∫M
t1
t2
外
dt = l2 −l1
根据上式,如果合外力矩零(即 根据上式 如果合外力矩零 即M外=0),则l1=l2 , 如果合外力矩零 则 即 l=常矢量 常矢量 这就是说,对一固定点 质点所受的 这就是说 对一固定点o,质点所受的合外力矩为 对一固定点 质点所受的合外力矩为 则此质点的角动量矢量保持不变 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 则此质点的角动量矢量保持不变。 角动量守恒定律。 叫做质点角动量守恒定律 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 对比： 角动量守恒定律是： 常矢量。 角动量守恒定律是：M外=0，则l=常矢量。 ， 常矢量 动量守恒定律是： 常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 常矢量
o
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l = r ×mv
若质点以角速度ω沿半径r的圆周运动 如图),质 的圆周运动(如图 若质点以角速度 ω沿半径 的圆周运动 如图 质 点对给定点o(圆心 圆心)的角动量的大小 点对给定点 圆心 的角动量的大小 l=Pr=mυr =m r2ω 显然，此时角动量 的方向与角速度ω的方向相同， 显然， 的方向与角速度 显然 此时角动量l的方向与角速度ω的方向相同， 就象图所示的那样，可由右手螺旋确定。 就象图所示的那样，可由右手螺旋确定。 角动量的单位是千克·米 秒 按SI制,角动量的单位是千克 米2/秒(kg·m2/s)。 制 角动量的单位是千克 。 角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动,也依赖 角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动 ,也依赖 于所选定的参考点,即参考点不同 即参考点不同,质点的角动量也不 于所选定的参考点 即参考点不同 质点的角动量也不 同。 L
x y z
若
r = xi + y j + zk
F = Fx i + Fy j + Fz k
i M = r ×F = x Fx j y Fy k z Fz
8
= ( yFz − zFy )i + (zFx − xF ) j + (xF − yFx )k z y
即
Mx = yFz − zFy My = zFx − xF z Mz = xF − yFx y
7
三、力对转轴的力矩 力对O点的力矩在通过 点的轴上的投影称为力 力对 点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力 点的力矩在通过 对转轴的力矩。 对转轴的力矩。 在以参考点O为原点的直角坐标系中， 在以参考点 为原点的直角坐标系中，将力矩矢 为原点的直角坐标系中 表示为： 量M表示为： M = M i + M j + M k 表示为
1 r 2 2 1 2 2 3 2 2 A = m( ) ω − mr ω0 = mr ω0 2 2 2 2
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例题4-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧 倔强 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 例题 系数为k=100N/m,一端固定于 点，另一端连接一质 一端固定于o点 系数为 一端固定于 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 的滑块， 量为 的滑块 如图所示。设开始时， 长度为l 自然长度), 长度为 0=0.2m(自然长度 滑块速度υ0=5m/s, 方向与 自然长度 弹簧垂直。当弹簧转过90 其长度l=0.5m，求此 弹簧垂直。当弹簧转过 0时，其长度 ， 的大小和方向。 时滑块速度υ 的大小和方向。 对滑块运动有影响的力只有弹性力， 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： 和机械能都守恒： υ l mυ0l0=mυ lsinθ o m θ 1 1 2 1 2 mυ0 = mυ + k(l −l0 )2 d l0 2 2 2 解得: 解得 υ =4m/s, θ =300。 m
L
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二、质点的角动量定理
设质点的质量为m，在合力 的作用下， 设质点的质量为 ，在合力F 的作用下，运动方程
d(mv) F= dt
r ×F = r × d(mv) dt
考虑到
d d dr (r ×mv) = r × (mv) + ×mv dt dt dt
得
dr ×v = v ×v = 0 dt
d r × F = (r ×mv) dt
1 Mm 1 2 M m A υ0 2 mυ0 −G = mυ −G m 2 R 2 3R 3R o mυ0R =mυ 3Rsinθ M
质点的角动量定理： 质点的角动量定理：作用于
质点的合力对某参考点的力矩， 质点的合力对某参考点的力矩， 等于质点对同一参考点的角动 量随时间的变化率。 量随时间的变化率。 12 成立条件： 成立条件：惯性系
所以
dl M ＝ dt
这样, 这样
dl M= dt
将上式两边同乘以dt再积分得 将上式两边同乘以 再积分得
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一质点的质量为m 位矢为： 例题4-1 一质点的质量为 ，位矢为： 例题 r =acosω t i+bsinω t j (式中 、b、ω 均为常量 式中a 均为常量); 式中 质点的角动量及它所受的力矩。 求质点的角动量及它所受的力矩。 解
dr υ = = −ωasin ωti +ωbcosωtj dt
F = F + F2 +⋯+ Fn 1
M = r × F = r ×(F + F +⋯+ F ) 1 2 n = r × F + r × F +⋯+ r × F 1 2 n = M1 + M2 +⋯+ Mn
即：合力对某参考点O的力矩等于各分力对同一 合力对某参考点 的力矩等于各分力对同一 点力矩的矢量之和。 点力矩的矢量之和。
i C = A× B = Ax Bx j Ay By k Az Bz
3
5、矢量函数的导数（只介绍一元函数） 矢量函数的导数（只介绍一元函数）
d d A dB (1 ). ( A+ B) = + dt dt dt d dA C 常 ， (CA) = C (2).当 是 数 dt dt d dA (3).当 (t)是 的 微 数 则 [ f (t) A] = f (t) f t 可 函 ， + f ′(t) A dt dt (4). d dB d A ( A⋅ B) = A⋅ + ⋅B dt dt dt
υ0
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例题4-4 质量为 的火箭 ，以水平速度υ0沿地球表 质量为m的火箭 的火箭A， 例题 面发射出去，如图所示。地轴oo′ 平行，火箭A的运 面发射出去，如图所示。地轴 ′与υ0平行，火箭 的运 动轨道与地轴oo′相交于距o为 的 点 动轨道与地轴 ′相交于距 为3R的C点。不考虑地球的 自转和空气阻力，求火箭A在 点的速度 自转和空气阻力，求火箭 在C点的速度υ与υ0之间的夹 设地球的质量为M、半径为R) 角θ。(设地球的质量为 、半径为 设地球的质量为 火箭运动过程中只受引力(保守力 作用,机械能 保守力)作用 解 火箭运动过程中只受引力 保守力 作用 机械能 守恒、 点的角动量守恒： 守恒、对o点的角动量守恒： 点的角动量守恒