结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称

• s：小于n的自然数
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针 右旋：右手系，逆时针
• 移距
t= (s/n)T
• t为螺距(滑移距离），T为沿螺旋轴方向的 结点间距 • 当s=n 时，即为对称轴 • 举例： •
31 43
基转角为120°， 平移距离为t=1/3T 基转角为90 ° 平移距离t =3/4T
• 为什么只有14种空间格子的原因； • 会读懂内部对称要素的各种符号： 如：31，42，65，n, d, • 空间群及其国际符号：如：Pn3m, Cmcm,
2、空间群的国际符号
• 国际符号的优点：能直观地看出空间格子的型式和 什么方向上有什么对称要素； 缺点：同一种空间群由于不同的定向以及其它原因 可以写成不同的符号。 • 空间群国际符号的组成： ①格子类型(大写英文字母) + ② 内部结构对称型的国 际符号(与宏观对称型的国符书写方式基本相同) 如:金刚石的空间群为Fd3m,属m3m对称型 • 如何看懂空间群？
3c
43m
等 立方 轴 面心
c
滑移
空间群
点群
晶 格子 对称要素方向 系 类型 及名称
1、平行Z轴有 63 螺旋轴， 垂直Z有对称面 m
2、垂直于xyu有c 滑移面 3、垂直于相邻两水平晶 轴（y u）角平分线有对称 面
P63/mc m
6/mmm 六 六方 方 原始
Abm2
mm 2
斜 斜方 1、垂直于X轴有滑移 方 底心 面 b 格子 2、垂直于y 轴有对称 面m 3、平行于 Z 轴有L2
四、 等效点系
• 等效点系（equivalent point-system）： 是 指晶体结构中由一原始点经空间群中所有 对称要素操作所推导出来的规则点系。 • 晶体结构中的空间群，对应于晶体几何外 形的对称型 ；而等效点系的概念则类似于 单形的概念。
等 效 点 系
单
形
1)晶体结构中，由空间群中 所有对称要素 联系起来的 一组 点 之 总和。 2）等效点系 的 重复点数。 3）有 特殊等效点系和一般 等效点系之分。一般等效点 系的对称程度最低，而 重 复点数总是最多。
1）由 晶体 外部对称要素 联 系起来的一组 晶面 之 总和。 2）单形的晶面数目。 3 ）有一般形和特殊形之分 。
本章重点总结：
• 平行六面体的选择，即格子的画法； • 内部结构的对称与外部形态对称的统一；
(晶系与空间格子形状的统一, 画格子与选晶轴的统一,对 称要素内外的统一, 点群与空间群的对应, 单形与等效点 系的对应)
43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋转3 个90度后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距 相当于平移轴，可以剔除，所以， 43相当于旋转 270度移距1/4T，也即反向旋转90度移距1/4T 。 所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4
1/2
1/4
1/2
1/4 0 0
空间群
点群
晶 系 方
格子 类型 原始
对称要素方向及 名称
1、//z 有42螺旋轴， 垂直Z有对称面。 2、垂直X、Y方向 有b滑移面。 3、垂直于XY角平 分线方向有c滑移面。
1、//x.y.z有Li4 2、//(a+b+c） 有L3 3、垂直于X、Y角 平分方向有 面
P42/m b c 4/m m m 四 四方
第七章 晶体内部结构的微观对称
前面几章我们学习了晶体宏观对称理论, 本章将从 宏观进入微观, 探讨晶体结构内部微观对称. 要注意 宏观与微观的对比. 四个方面的内容： 一、十四种空间格子－－晶体结构中的周期性平 移对称, 即：内部质点平移 对称形式只有14种； 二、内部对称要素－－宏观对称要素与平移对称 结合产生的内部结构特有的对称要素：螺旋轴、滑移 面等； 三、空间群－－与宏观晶体的点群对应； 四、等效点系－－与宏观晶体的单形对应。
3）空间格子中的任一行列方向均为一平移轴。
（2）螺旋轴：为一假想直线，当构造围绕该直线旋转一
定角度，并沿此直线（轴）平移一定距离后，结构中的每 一个质点都与其相同的质点重合，整个结构自相重合。
• 国际符号：ns
• n:轴次
基转角
n=1， 2 ，3 ， 4 ，6 =360°,180 ° ,120 ° ,90 °,60 °
一、 14种空间格子
• 1．平行六面体的选择（即：画格子） • 对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点) 的分布是客观存在的，但平行六面体的选 择（画格子）是人为的。
画格子的过程，实际 上就是在研究晶体结 构中是什么样的平移 周期，即：研究其平 移对称性。
2、平行六面体的选择原则： • 1）所选取的平行六面体应能反映点阵整 体所固有的对称性。 • 2）在上述前提下所选取的平行六面体中 棱与棱之间的直角关系最多。 • 3）在满足以上两个条件的基础上所选取 的平行六面体的体积力求最小。
3/4
41
43
(3) 滑移面：为晶体结构中一假想平面。
对称操作：当结构对此平面反映，并平行此平面移动一 定距离后，构造中的每一个点与其相同的点重合。 平移的距离：T/2或T/4(T为该平移方向的结点间距) • 按其滑移的方向和距离可分为a、b、c、n、d五种。 • 轴向滑移
•
• 对角线滑移
• 金刚石滑移
• 11种螺旋轴： 21，31，32，41，42，43， 61，62，63，64，65 • 据旋转方向可分为： 右旋----0<s<n/2； 31， 41， 61， 62 左旋----n/2<s<n： 32， 43， 64，65 中性---- s=n/2： 21， 42， 63
注：对于11种螺旋轴，其旋转方向和平移距离 t=（s/n)T都以右旋方式为标准给出 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T； 而43意为按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。 那么， 41和43是什么关系？
• 1、晶体的宏观对称和内部结构对称的联系、区别：
2、晶体内部结构特有的对称要素
（1）平移轴：为一直线，图形沿此直线移动一定 距离，可使相同部分重合。
• 注：1）晶体结构沿着空间格子中的任意一条行 列平移一个或若干个结点间距，可使每一质点与 其相同的质点重合。
2）能使图形重复的最小平移距离称为平移轴的 移距。
各晶系平行六面体的形状
4、平行六面体中结点分布 • 据结点分布情况可分为四种格子： • 1）原始格子 （ P） • 2）底心格子 （A、B、C） • 3）体心格子（I） • 4）面心格子（F）
5、十四种布拉维格子
• 综合考虑平行六面体形态及结点分布情况， 在晶体结构中只可能出现14种不同型式的空 间格子。这是由Bravais于1848年最先推导出 来的，故称为14种布拉维格子。 • 为什么不是7*4=28种呢？ • 因为某些类型的格子彼此重复可以转换，还 有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该 晶系中存在，除去这些情况，只剩下14种空 间格子。 • 14种布拉维格子详见教材7-1 ：
• 图中为符合4mm的点阵
平行六面体的选择 • 根据选择原则，按A方法来选取平行六面体才符合上述原 则。 •
mm2
mm2 引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；
上述画格子的条件实质上与晶体定向的 原则是一致的，即，我们在宏观晶体上 选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格 子三个方向的行列。
3、各晶系平行六面体的形状和大小
1. 空间群：晶体内部结构的对称要素的组 合称 为空间群。 • 空间群有230种。 • 晶体结构的空间群相当于宏观晶体的对称型 （点群）。 • 联系：空间群与点群体现了晶体内部结构的对 称与晶体外形对称的统一。每一个点群有若干 个空间群与之相对应，外形上属于同一对称型 的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。 如：在晶体外形的某一方向上有4，则在晶体内 部结构中相应的方向可能是4、41、42或许43， 也可能有2。在晶体外形上有对称面，则在晶 体内部结构相应的方向可能是滑移面。
• 1）晶胞参数：平行六面体的三根棱长a、b、c和 棱之间的夹角（轴角）、、合称为晶胞参数。 • 2）七个晶系平行六面体的形状和大小： • 等轴晶系： a=b=c; ===900 • 四方晶素： a=b≠c ;===900 • 三、六方晶系： a=b ≠ c ;==900;=1200 • 斜方晶系： a ≠ b ≠ c ;===90° • 单斜晶系： a ≠ b ≠ c; ==90 °, ≠90 ° • 三斜晶系： a ≠ b ≠ c; ≠ ≠ ≠90 °
四方底心格子转化为四方原始格子
立方底心格子不符合等轴晶系对称
二、 晶体内部结构的对称要素
联系：内部结构的对称决定宏观对称，二者 相互联系，彼此统一 区别：
晶体的宏观对称 1. 宏观有限图形的对称 2. 平行于某一方向的对 称要素是唯一的，对称 要素的个数有限。 晶体内部结构的对称 1. 微观无限图形的对称 2. 平行于任何一个对称 要素有无穷多个与之相 同的对称要素。 3. 出现了一些特殊的对 称要素：平移轴、螺旋 轴、滑移面
a : 沿X轴平移 1/2 a b : 沿Y轴平移 1/2 b c: 沿Z轴平移 1/2 c n :反映后沿2个方向滑移T/2;
1/2(a+b),1/2(b+c),1/2(c+a)
d:反映后沿2个方向滑移T/4; 1/4(a+b),1/4(b+c), 1/4(a+c),1/4(a+b+c)
三、 空间群