湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省双峰县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试题
双峰一中2019年高二上学期第一次月考数学试卷（文）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i iz 2310-+=（其中i 为虚数单位），则=||z ( ) A.B.C.D.2.已知)(,3||+⊥=，则向量在向量方向上的投影是（ ）A ．-9B ．9C ．-3D ．3 3．若全集为R ，集合},032|{2R x x x x A ∈<--=,}0,1|{>+==x xx y y B ， 则A ∩B =( )A 、(―1,2]B 、（―1,3)C 、[2,3)D 、[2,+∞)4．函数||ln 82x x y -=的图象大致为( )A. B. C.D.5． 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤-+≤+-108201x y x y x ，则y x z -=3的最大值为（ ）A ．215B ．23 C ．0 D ．36．有下列四个命题： ①“若0=xy，则022=+y x ”； ②“若y x >，则22y x >”的否命题；③若q p ∨为真命题，则q p ,中至少有一个为真命题；④命题0,:0200≤-∈∃x x R x p ，则0,:2>-∉∀⌝x x R x p .其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37.如图，网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体的体积为（ ）A ．316 B ．38 C ．16 D ．88. 已知x 和y之间的一组数据则y 与x的线性回归方程必过点( )A. (2,2)B.C. (1,2)D.9．“ 43π=ϕ”是“函数x y 2cos =与函数)2sin(ϕ+=x y 在区间]4,0[π上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若BC AB 21=，则该双曲线的离心率是 ( )A B C D 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线虚轴的一个端点，若线段与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C.D.12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，有0)(2)(<-'x f x f x ，则（ ）A.3)3(2)2()1(->->-f f f B. )1(2)2(3)3(->->-f f f ． C.2)2(3)3()1(->->-f f f D. )1(3)3(2)2(->->-f f f 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知抛物线的焦点为，点在上，且，则____________．14.若满足约束条件，则的最小值为_____．15.执行右图的程序框图后，若输入和输出的结果依次为4和51，则______ 16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知在等比数列}{n a 中，4283a a =+，432a a -=．（1）求}{n a 的通项公式； （2）若||)1(n n a n b +=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．18．（12分）“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某福彩中心采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小相同的白球7个，红球3 个，每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球3 个（摸球后将球放回），若有一个红球获奖金10元，有两个红球获奖金20元，三个全为红球获奖金100元。
湖南省双峰县第一中学2018-2019学年高二数学上学期入学考试试题
双峰一中2018年下学期高二入学考试数学试题满分：150分 时量：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．设集合}{3,2,1,0=A ，{}032<-=x x x B ，则=B A （ ）A.}0{B.C.}{30<<x x D.}2,1{2.已知a =(),3x ，b =()3,1，且a ⊥b ，则x 等于（ ） A 、-1 B 、 -9 C 、9 D 、13.圆2286160x y x y +-++=与圆2216x y +=的位置关系是（ ）A 、相交B 、相离C 、内切D 、外切 4.下列函数中，以π为周期且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的是( ) A. sin2xy = B.sin y x = C. tan y x =- D .cos 2y x =- 5.已知等差数列{}n a 满足56a a +=28，则其前10项之和为 （ ） A 140 B 280 C 168 D 566.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、63657. 用秦九韶算法计算65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当0.4x =时需要做加法和乘法的次数分别为（ ）A ．5，6B ．6，6C ．5，5D ．6，58.点P(4,-2)与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A 、()()22211x y -++= B 、()()22214x y -++= C 、()()22421x y ++-= D 、()()22211x y ++-= 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位10. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有1个白球,都是白球 B. 至少有1个白球,至少有1个红球 C. 恰有1个白球,恰有2个白球 D. 至少有1个白球,都是红球11.已知O 是平面内一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(0,)A B A C O P O A A B A Cλλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎡⎣ ⎪⎝⎭,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ． 外心 B.内心 C.重心 D.垂心12.函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 上的任意实数1x ，2x ，…，n x 都有()()()12...n f x f x f x n +++≤12...nx x x f n +++⎛⎫⎪⎝⎭，现已知()sin f x x =在[]0,π上是 凸函数，那么在△ABC 中，sin in sin A s B C ++的最大值是（ ）A 、12B D 二、填空题（每小题5分，共20分）13.cos43°cos77°+sin 43°cos167°的值为14.过两直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线240x y -+=的直线方程为________15设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,c o s,3s in 2s i n ,a C A B==-=则三、解答题(第17题10分，其余每题12分，共70分)17.已知等差数列｛a n ｝中，a 1＝29，S 10＝S 20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值18.已知向量a ,b 的夹角为60°，且a =2,b =1,若c =a -4b ，d =a +2b ，求： ⑴a ·b ⑵c +d19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且PA =AB =1⑴求证：BD ⊥平面ACP ⑵求异面直线BC 与PD 所成的角⑶求直线PB 与平面PAC 所成的角20.已知向量()3,1,cos ,sin 33x x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，记()2sin 3x f x a b =⋅⑴若[]0,x π∈，求函数()f x 的值域；⑵在△ABC 中，若()1f C =，求sin sin A B +的最大值21.已知关于x 的一次函数y mx n =+.（1）设集合{2,1,1,2,3}P =--和{2,3}Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y mx n =+是增函数的概率；（2）实数,m n 满足条件101111m n m n +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，求函数y mx n =+的图象经过第一、二、三象限的概率.22. 已知函数()cos 2(),(0,0,0)222A A f x x A πωϕωϕ=-+>><<的图象过点(1,2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且()f x 的最大值为2. (1)求ϕ；(2)计算(1)(2)(2010)f f f +++；(3)若函数()()1g x f x m =--在区间[1，4]上恰有一个零点，求m 的范围.入学考试（数学）参考答案一、DAADA CBADC BD 二、13.12-14、220x y ++= 15、4 16、38三、17（10分）设数列｛a n ｝的公差为d ∵S 10＝S 20，∴10×29＋2910⨯d ＝20×29＋21920⨯d 解得d ＝－2 ∴a n ＝－2n ＋31设这个数列的前n 项和最大，a n ≥0 －2n ＋31≥0则需： 即a n ＋1≤0 －2(n ＋1)＋31≤0∴14.5≤n ≤15.5∵n ∈N ，∴n ＝15∴当n ＝15时，S n 最大，最大值为S 15＝15×29＋21415⨯ (－2)＝225.18、（12分）（1）cos 1a b a b θ⋅=⋅⋅=（5分）（2）()()22242c d c da b a b +=+=-++=()224212a b a b +-⋅= 所以23c d +=（12分）异面直线2sin2sin x a b ⋅=]20,,x π∴+满足条件的区域如图所示：22.解：（1）22,4,02224T T T πππωωω==>∴==∴=，由于()f x 的最大值为2且A>0， 所以222A A +=即A=2得()1cos 2()4f x x πϕ=-+，又函数()f x 的图象过点(1,2)则cos 2()1sin 2122,042424k k πππππϕϕϕπϕπϕϕ+=-∴=∴=+=+<<∴=……x3分（2）由(1)知()1cos 2()44f x x ππ=-+且周期为4，2010=4×502+2故 ()()()(){}()()502123412f f f f f f +++++=502432011⨯+= (7)分(3) 由()()1cos()sin222g x f x m x m x m πππ=--=-+-=-在区间[1,4]上恰有一个零点知：函数sin2y x π=的图象与直线恰有一个交点。
2019-2020学年湖南省娄底市双峰县第一中学高一下学期入学考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省娄底市双峰县第一中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则A B =I ( ) A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,4【答案】C【解析】按交集的定义，即可求解. 【详解】{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，A B ∴=I {}1,2.故选：C. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．函数=y 的定义域为( ) A ．33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．,,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．R【答案】C【解析】由1cos 2≥x ，结合余弦函数的图象，即可求解. 【详解】函数=y 有意义，须1cos 2≥x ，解得22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z ，所以函数的定义域为2,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】本题考查函数的定义域，熟练掌握三角函数的图象是解题的关键，属于基础题. 3．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+=【答案】A 【解析】【详解】直线2x –3y +1=0的斜率为2,3则直线l 的斜率为3,2-所以直线l 的方程为32(1).3210.2y x x y -=-++-=即故选A4．平面α截球O 所得截面的面积为4π，球心O 2，此球的体积为（ ） A 6π B ．3πC ．86πD ．123π【答案】C【解析】试题分析：设截面小圆半径为r,大圆半径为R ，球心到截面距离为d ，则24r ππ=，所以2r =，根据公式222R r d =+得：6R =(334468633V R πππ===．【考点】球的相关计算．5．一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式12S lr=得1662r=⨯⨯，2r =，∴r=2，又扇形弧长公式l r α=，∴3lr α==．故选C ．【考点】扇形面积公式；弧长公式．6．已知角α的终边过点(8,3)P m ，且4cos 5α=-，则m 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．32-D ． 32【答案】A【解析】试题分析：由题设549648cos 2-=+=m mα可得21±=m ,经检验21-=m 成立,应选A.【考点】三角函数的定义.7．同时具有性质“周期为，图象关于直线对称，在上是增函数”的函数是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】依次验证各个选项，排除法得到结果. 【详解】 选项：函数周期，不符合题意； 选项：函数周期，正确；当时，，是的对称轴，正确；当时，，此时单调递减，不符合题意；选项：函数周期，正确；当时，，不是的对称轴，不符合题意；选项：函数周期，正确；当时，，是的对称轴，正确；当时，，此时单调递增，正确；符合题意.本题正确选项：本题考查三角函数的图像与性质，关键在于能够充分利用整体代入的方式，利用和、图像的对比判断出结果.8．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）. A ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w 的值变为原来的12倍，得到答案． 【详解】 解：向左平移6π个单位，即以6x π+代x ，得到函数sin()6y x π=+， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以12x 代x ，得到函数：1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的变换，属于基础题．9．已知向量()1,a x =r ，(),3b x =r ，若a r 与b r共线，则a =r ( )A ．2B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】根据共线向量的坐标关系，求出x ，即可求解. 【详解】()1,a x =r ，(),3b x =r ，a r 与b r共线， 22230,3,||12x x a x ∴-===+=r.故选：C.本题考查向量坐标运算，涉及共线向量、向量模长，属于基础题.10．若函数20.2()log (54)f x x x =+-在区间(1,1)a a -+上递减，且lg 0.2b =，0.22c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】D【解析】试题分析：)(x f 定义域为},51|{<<-x x 令)(,log ,452.02x u u y x x u =-+=在)2,1(-上单调增，且u y 2.0log =为单调减函数，由复合函数单调性知)(x f 在)2,1(-上为减函数，)2,1()1,1(-⊆+-a a 即,1011-a 21a 1121≤≤⇒⎩⎨⎧->≤+⎩⎨⎧≥-<+a a a 或又由于,02.0lg <=b 所以.,122,02.0b a c c b a >>=>=>故选D ．【考点】1、复合函数的单调性；2、指数与对数函数．11．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最大值7，故选B.【考点】直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.12．已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程()35f x =的解为1x ，2x ()120,x x π<<<，则()12sin 0x x -=( )A ．35-B ．25-C ．34-D ．45-【答案】D【解析】根据函数()sin(2)6f x x π=-图象对称性，得到1x ，2x 的关系，将2x 用1x 表示，结合13sin(2)65x π-=，即可求解.【详解】110,2666x x ππππ<<∴-<-<Q ， 又1x ，2x 是3sin(2)65x π-=的两根，结合图像，3x π=是函数()f x 的一条对称轴，12212,233x x x x ππ+∴==-， 121122sin()sin(2)sin(2)33x x x x ππ∴-=-=--11cos(2)cos(2)66x x ππ=--=--，1221120,,033x x x x x πππ<<<=-∴<<Q ，1132,sin(2)66265x x ππππ∴-<-<-=，2114cos(2)1sin (2)665x x ππ∴-=--=，124sin()5x x ∴-=-.故选：D.【点睛】本题以方程的解为背景，考查三角函数图象的对称性、诱导公式、同角间的三角函数关系，考查数形结合思想，以及计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．454sincos tan()363πππ-= _________.【答案】4-【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行计算. 【详解】 原式sin cos tan 363ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. sin cos tan 363πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==【点睛】一般地，我们可以利用诱导公式把任意的角的三角函数值转化为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的角的三角函数值.诱导公式应用过程中注意“奇变偶不变，符号看象限” .14．直线4350x y +-=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的长度等于__________.【答案】【解析】求出圆心到直线的距离，由相交弦长公式，即可求解. 【详解】22(1)(2)9x y -+-=圆心(1,2)C ，半径为3，圆心C 到直线4350x y +-=的距离为d ，1,||d AB ==∴==故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，掌握相交弦长公式即可，属于基础题.15． 已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=u u u v u u u v u u u u v v.若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u v u u u v u u u u v成立，则m ＝__________.【答案】3 【解析】【详解】由条件知M 是ABC ∆的重心，设D 是BC 边的中点，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r，而23AM AD =u u u u r u u u r ，所以22,33AD m AD m =⋅∴=u u u r u u ur .16．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________．【答案】9【解析】试题分析：由题可知，,即，解得,又因为在区间单调，所以,即，接下来，采用排除法，若，此时，此时在区间上单调递增，在上单调递减，不满足在区间单调，若，此时，满足在区间单调递减，所以的最大值为9.【考点】三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到,即，第二个条件是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到的最大值.三、解答题17．已知非零向量a r ，b r 满足2b =r ，且()()14a b a b -⋅+=r r r r .（1）求a r；（2）当32a b ⋅=r r 时，求向量a r 与b r的夹角θ的值.【答案】（1）32；（2）45o .【解析】（1）根据向量数量积的运算律，结合2b =r，即可求解；（2）由向量的夹角公式，即可求出结论. 【详解】（1）()()2221||24a b a b a b a -⋅+=-=-=r r r r r r r ，293||,||42a a ∴==r r ；（2）322cos 32||||22a b a b θ⋅===⋅r rr r ，0,4πθπθ<<∴=Q ，所以向量a r 与b r的夹角θ的值为45︒. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，涉及到向量的运算律、向量的模长、向量的夹角，考查计算求解能力，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）设AC 与BD 相交于O ，连接OE ，通过中位线证明//PA OE ，由此证得//PA 平面EDB .（2）通过证明DE ⊥平面PBC ，证得DE PB ⊥，再由PB EF ⊥，证得PB ⊥平面EFD . 【详解】（1）设AC 与BD 相交于O ，连接OE ，由于O 是AC 中点，E 是PC 中点，所以OE 是三角形PAC 的中位线，所以//PA OE ，而PA ⊂平面EDB ，OE ⊂平面EDB ，所以PA ∥平面EDB .（2）由于PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由于,BC CD PD CD D ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥.由于DP DC =且E 是PC 中点，所以DE PC ⊥，而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE PB ⊥.依题意EF PB ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面EFD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．已知sin2cos 022x x-=， （1）求tan x 的值；（2）求cos 22cos sin 4xx xπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）43-；（Ⅱ）14． 【解析】【详解】解：（Ⅰ）由sin ﹣2cos =0，得tan =2．∴tanx=；（Ⅱ）=第 11 页 共 13 页 ==（﹣）+1=． 20．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式（2）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，角A 为锐角，且14,cos 21225A f B π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求sinC 的值． 【答案】（1）π()sin(2).6f x x =+（2）43310+． 【解析】试题分析：（1）由三角函数的图象求函数解析式，最大值与最小值说明1A =，由12236T ππ=-可求得ω，作为解答题由()16f π=，结合2πϕ<可求得ϕ（如是填空题或选择题可由五点法求得ϕ）；（2）化简已知条件，由12122A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭可得1sin 2A =，即6A π=，在三角形中sin sin[()]sin()C AB A B π=-+=+，由两角和的正弦公式可求得sinC ． 试题解析：（1）由周期12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω== 所以.2=ω 当π6x =时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6f x x =+ （2）由（1）可知，ππsin(2())12126A -+=， 即1sin 2A =， 又角A 为锐角，∴π6A =．第 12 页 共 13 页 0πB <<Q ，53cos 1sin ,02=-=∴<<B B B πΘ．)sin(sin B A C --=∴π)sin(B A +=B A B A sin cos cos sin +=1033453235421+=⨯+⨯=．【考点】函数()sin()f x A x ωϕ=+的解析式，两角和的正弦公式．21．已知向量()()cos sin ,2sin ,cos sin ,cos a x x x b x x x =+=-r r ，令()f x a b =⋅r r ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值． 【答案】（1）T π=；（2）当58x π=时，函数()f x取得最小值 【解析】试题分析：(1)将函数()f x 整理成)sin(ϕω+=x A y 的形式，由周期公式可得函数最小正周期；（2）由3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得372,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可求得)sin(ϕω+=x y 的最小值，最后可得()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值． 试题解析：（1）()()()cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． （1）由最小正周期公式得：22T ππ==． （2）3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则372,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令3242x ππ+=，则58=x π， 从而()f x 在5,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，即当58x π=时，函数()f x取得最小值．【考点】三角函数的性质.22．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u v u u u v＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.第 13 页 共 13 页 【答案】（1）44(,33+；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．1=，解得：124433k k ==．k <<，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170k x k x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++， ∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算。
娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题含解析
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以｜MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
2。函数 的定义域为( )
A。 B。
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ,结合余弦函数的图象,即可求解.
【详解】函数 有意义,须 ，
解得 ，
所以函数的定义域为 。
故选:C.
【点睛】本题考查函数的定义域,熟练掌握三角函数的图象是解题的关键，属于基础题。
3.已知直线l过点 且与直线 垂直，则l的方程是( )
A. B。 C. D。
【答案】A
【解析】
试题分析:由题设 可得 ,经检验 成立,应选A。
考点:三角函数的定义.
7.同时具有性质“周期为 ，图象关于直线 对称，在 上是增函数”的函数是
A。 B。 C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
依次验证各个选项，排除法得到结果.
【详解】 选项：函数周期 ，不符合题意；
三、解答题：17题10 分，18~22题各12分，共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。
17。已知非零向量 , 满足 ，且 。
（1）求 ；
（2）当 时,求向量 与 的夹角 的值.
【答案】(1） ;（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积的运算律,结合 ，即可求解；
（2)由向量的夹角公式,即可求出结论。
2019-2020学年湖南省双峰县第一中学高二下学期入学考试数学试题(解析版)
湖南省双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有()A．37种B．1 848种C．3种D．6种2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．2||y log x＝B．y＝2x－1 C．y＝ln x D．y＝x2＋13、8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38AD、38C4、6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A．A66B．3A33C．A33·A33D．A44·A335、从1、2、3、4、5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B 为“取到的两个数均为偶数”，则()P B A ( )A、18B、14C、25D、126、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81B．60 C．6 D．117、天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（）A、0.2B、0.3C、0.38D、0.568、某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (x)＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝（ ）A 、0.7B 、0.6C 、0.4D 、0.39、已知n+x （1）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n 的值为（） A 、14B 、10C 、14或23D 、10或2310、[2018·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为( )A B C D11、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12、已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分）13、6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)14、在183x x（9展开式中，常数项为展开式的第 项15、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）16、定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17、一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？18、在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（1）求B ；（2）若b =3a =，且2AD DC =，求BD 的长度.19、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值.20、2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间[]50,100内）绘制成如图所示的频率分布直方图.若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”，现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）记这3人中，ξ为测试成绩在[]90,100内的人数，求ξ的分布列和数学期望.21、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C上.（1）求C的方程；（2）过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点,A B，点A在x轴上的射影为M，线段AM的中点为N，直线BN交C于点P，证明：直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值.22、已知函数(1)()ln,1a xf x x x Rx-=-∈+．（1）若x =2是函数f （x ）的极值点，求曲线y =f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围；（3）设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m nm n-+<- ．——★ 参 考 答 案 ★——1、选A 根据分类加法计数原理，得不同的取法为N ＝12＋14＋11＝37(种)．2、选A 由于y ＝2x －1，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝log 2|x |是偶函数又有零点，故选A.3、选A 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二5月考试数学试题(PDF版)
或 sinx＝－1，即 x＝π或 x＝7π.当 x∈（0，π）时，f′（x）<0；当 x∈（π，7π）时，f′（x）>0；
2
6
6
当 x∈（7π，3π]时，f′（x）<0，∴x0＝π，∴tan（2x0－π）＝ 3 .
62
3
16．64 解析：由已知可得球的半径 r=3，设球心到四棱锥底面的距离为 x，棱锥的高为 h＝3＋x， 3
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湖南省娄底市双峰中学2019-2020学年高二数学理月考试卷含解析
湖南省娄底市双峰中学2019-2020学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,集合是奇数集,集合是偶数集．若命题,则（）A．B．C．D．参考答案：A2. =7×8×n，则n=（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】排列及排列数公式．【专题】概率与统计．【分析】利用排列数公式求解．【解答】解：∵=7×8×n，∴由排列数公式得n=9．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3. 直线与圆的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）不能确定参考答案：B略4. 已知角的终边经过点P(x，)，(x>0)，且cos=，则sin等于( )A. B. C.D.参考答案：D5. 椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．【分析】由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．6. 设，则此函数在区间和内分别（）A. 单调递增，单调递减B. 单调递减，单调递增C. 单调递增，单调递增D. 单调递减，单调递减参考答案：B【分析】对函数求导，判断导函数在区间和内的符号，即可确定函数的单调性。
【详解】，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；故答案选B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，注意导数符号与原函数的单调区间之间的关系，以及函数的定义域，属于基础题。
湖南省双峰县第一中学1819学年度高二上学期入学考试—
湖南省双峰县第一中学 2018—2019学年度上学期入学考试高二数学试题满分：150分 时量：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．设集合，，则（ ） A. B. C. D.2.已知=， =，且⊥，则等于（ ）A 、-1B 、 -9C 、9D 、13.圆2286160x y x y +-++=与圆的位置关系是（ ）A 、相交B 、相离C 、内切D 、外切 4.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是( ) A. B. C. D .5.已知等差数列满足=28，则其前10项之和为 （ ）A 140B 280C 168D 56 6.都是锐角，且，，则的值是（ ）A 、B 、C 、D 、 7. 用秦九韶算法计算65432()3456781f x x x x x x x =++++++，当时需要做加法和乘法的次数分别为（ ）A ．5，6B ．6，6C ．5，5D ．6，58.点P(4,-2)与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）A 、B 、C 、D 、9.要得到函数的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移个单位B 、向右平移个单位C 、向左平移个单位D 、向左平移个单位10. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有1个白球,都是白球 B. 至少有1个白球,至少有1个红球 C. 恰有1个白球,恰有2个白球 D. 至少有1个白球,都是红球11.已知O 是平面内一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(0,)A BA C O P O A AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎡⎣ ⎪⎝⎭,则点P 的轨迹一定通过△的（ ） A ． 外心 B.内心 C.重心 D.垂心 12.函数在区间D 上是凸函数，则对于区间D 上的任意实数，，…，都有()()()12...n f x f x f x n+++≤，现已知在上是凸函数，那么在△ABC 中，的最大值是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题（每小题5分，共20分）13.°°+°°的值为14.过两直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为________15设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12,cos ,3sin 2sin ,a C A B ==-=则三、解答题(第17题10分，其余每题12分，共70分)17.已知等差数列｛a n ｝中，a 1＝29，S 10＝S 20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值18.已知向量,的夹角为60°，且=2, =1,若=-4， =+2，求： ⑴· ⑵+19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面,且= =⑴求证：⊥平面⑵求异面直线与所成的角⑶求直线与平面所成的角20.已知向量()3,1,cos ,sin 33x x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，记⑴若，求函数的值域；⑵在△ABC 中，若，求的最大值21.已知关于的一次函数.（1）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数是增函数的概率；（2）实数满足条件101111m n m n +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，求函数的图象经过第一、二、三象限的概率.22. 已知函数()cos 2(),(0,0,0)222A A f x x A πωϕωϕ=-+>><<的图象过点(1,2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且的最大值为2.(1)求；(2)计算(1)(2)(2010)f f f +++；(3)若函数在区间[1，4]上恰有一个零点，求的范围.入学考试（数学）参考答案一、DAADA CBADC BD二、13. 14、15、4 16、三、17（10分）设数列｛a n｝的公差为d∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋d解得d＝－∴a n＝－2n＋设这个数列的前n项和最大，a n≥0 －2n＋31≥0则需：即a n＋1≤0 －2(n＋1)＋31≤0∴14.5≤n∵n∈N，∴n＝∴当n＝15时，S n最大，最大值为S15＝15×29＋(－2)＝225.18、（12分）（1）（5分）（2）()()22 242c d c d a b a b+=+=-++=()224212a b a b+-⋅=所以（12分）19、（12分）证明：∵平面，平面，又为正方形，而是平面内的两条相交直线，平面（4分）(2)解：∵为正方形，∥，为异面直线与所成的角，（6分）由已知可知，为直角三角形，又，∵，，异面直线与PD所成的角为45º. （8分）（3）设AC与BD交于点O，连接PO，因为BD⊥平面ACP 所以∠BPO或其补角为直线PB与平面PAC所成角（10分）2sin2sin x a b ⋅=[]20,,x π∴满足条件的区域如图所示：22.解：（1）22,4,02224T T T πππωωω==>∴==∴=，由于的最大值为2且A>0，所以即A=2得()1cos 2()4f x x πϕ=-+又函数的图象过点(1,2)则c o s 2()1s i n 2122,042424k k πππππϕϕϕπϕπϕϕ+=-∴=∴=+=+<<∴=……3分（2）由(1)知()1cos 2()44f x x ππ=-+且周期为4，2010=4×502+2故()()()(){}()()502123412ff f f f f +++++=……………7分 (3) 由()()1cos()sin222g x f x m x mx m πππ=--=-+-=-在区间[1,4]上恰有一个零点知：函数的图象与直线恰有一个交点。
湖南省双峰县第一中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(文)试题
双峰一中2019年高二上学期入学考试数学试卷（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.命题“2,0x R x x ∀∈-≤”的否定是( )A ．2,0x R x x ∃∈-≥B ．2,0x R x x ∃∈-> C ．2,0x R x x ∀∈-> D ． 2,0x R x x ∀∈-≥2.设，则( )A ．B ．C ．D ．3.若k ∈R ，则k>3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4.在△ABC 中，若2cosA a ＝2cosB b ＝2cosC c ，则△ABC 是( )．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5.在等比数列{a n }中，a 1+a n =82,a 3∙a n-2=81，且前n 项和S n =121，则此数列的项数n 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.76.已知实数y x ,满足约束条件201 70x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则yx 的取值范围是（ ）A.[]1,3B.9[,3]5C.[]3,6D.9[,6]57.函数y=f(x)的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）8.根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解B ．①有两解，②也有两解C ．①有两解，②只有一解D ．①只有一解，②有两解9.曲线f (x)= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y= 4x －1，则P 0点的坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）10．过点C(4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．|k|≥1B ．|k|>3 C ．|k|≤3D ．|k|<111.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的的取值范围是( )A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞12.已知两点，，若直线上存在点P ，使，则称该直线为“B 型直线”给出下列直线：其中为“B 型直线”的是 A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=e x lnx ，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________． 14.已知向量a=(x-l,2),b=(4,y),若a ⊥b,则93x y +的最小值为_______.15.F 1，F 2分别是椭圆x 22＋y 2＝1的左，右两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为________．16..P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c (c 为椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，椭圆的离心率为.________．三、解答题：本题共70分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＝(2a －c)cos B ， (1)求∠B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18. （12分）已知数列{}n a 满足)2*,(1221≥∈-+=-n N n a a nn n 且1a =5.(1)求32,a a 的值； (2)若数列{nn a 2λ+}为等差数列，请求出实数λ； (3)求数列{}n a 的通项公式及前项和为n S .19.（12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥面ABCD ，且PA=AD=2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，，PM=MD ，（Ⅰ）求证：PC ⊥面AMN ； （Ⅱ）求二面角B-AN-M 的余弦值。
2019-2020学年湖南省娄底市双峰县第一中学、湘潭县一中高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省娄底市双峰县第一中学、湘潭县一中高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂= A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]-【答案】B【解析】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算． 2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A.22a b < B.11a b> C.a b <D.22a b >【答案】D【解析】试题分析：由0a b >>，得：2211,,a b a b a b>><，所以，选项A,B,C 均不正确；因为函数2xy =为增函数，所以22a b >，故选D ． 【考点】1、不等式的性质；2、指数函数．3．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A.9 B.12C.15D.18【答案】A【解析】试题分析：根据等差数列的性质得出2a 9=a 5+a 13，然后将值代入即可求出结果． 解：∵{a n }是等差数列 ∴2a 9=a 5+a 13 a 13=2×6﹣3=9 故选A ．【考点】等差数列的通项公式．4．在ABC ∆中，4AB =，3BC =，2CA =，则ABC ∆为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】根据大边对大角可知最大内角为C ；利用余弦定理可求得cos 0C <，可知C 为钝角，从而得到结果. 【详解】AB BC CA >> ABC ∆∴最大内角为C22294161cos 022324BC CA AB C BC CA +-+-===-<⋅⨯⨯且()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够通过求解最大角的余弦值确定最大角所处的范围.5．下列函数中，同时满足：①在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan2x D.y ＝|sin x |【答案】A【解析】选项B D ，中所给函数都是偶函数，不符合； 选项C 中所给的函数的周期为2π，不符合； 故选A6．设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A.5 B.6C.7D.8【答案】D【解析】3a 与23b 的等比中项，∴2223333a b a b +⨯===， ∴21a b +=，∴21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7．将函数()2sin()4f x x π=+的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则ϕ的最小值是( )A.4πB.3π C.34π D.38π 【答案】D【解析】将函数π()2sin()4f x x =+的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，再向右平移ϕ个单位，得到π2sin(22)4y x ϕ=-+的图象，此图象关于直线π2x =对称，故πππ22π(Z)242k k ϕ⨯-+=+∈，解得3ππ,(Z)82k k ϕ=-∈，又0ϕ>，故min 3π8ϕ=；故选D.点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量x 而言，如：将sin (0)y A x ωω=>的图象将左平移(0)ϕϕ>个单位时得到函数sin[()]y A x ωϕ=+的图象，而不是sin()y A x ωϕ=+的图象.8．()()()211310m x m x m +--+-<对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.()1,+∞B.(),1-∞-C.13,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.()13,1,11⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 【答案】C【解析】当1m =-时，不等式为一元一次不等式，可求得解集不为R ，不满足题意；当1m ≠-时，根据一元二次不等式与二次函数图象的关系可得不等式组100m +<⎧⎨∆<⎩，解不等式组求得结果. 【详解】当1m =-时，()()()21131260m x m x m x +--+-=-<，解得：3x <∴不等式()()()211310m x m x m +--+-<不恒成立，不合题意当1m ≠-时，由()()()211310m x m x m +--+-<对一切实数x 恒成立可得：()()()210112110m m m m +<⎧⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得：1311m <- 综上所述：m 的取值范围为：13,11⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够根据二次函数的图象得到开口方向和判别式的要求；易错点是忽略二次项系数为零的情况，造成求解错误. 9．已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为A ．11B ．19C ．20D ．21 【答案】B 【解析】因为,所以一正一负,又因为其前项和有最大值,所以,则数列的前10项均为正数,从第11项开始都是是负数,所以又因为,所以,即,所以使得的最大值为19.选B.10．数列{}n a 满足()211232222n n na a a a n N -*+++⋅⋅⋅+=∈，则12310a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅等于（ ）A.5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C.9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D.6612⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】代入1n =求得1a ；当2n ≥时，可知22123112222n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=，与已知等式作差可求得12n n a =，可知数列{}n a 为等比数列；由等比数列下标和性质将所求等式化为()5110a a ，求得110a a 后代入求得结果. 【详解】 当1n =时，112a =当2n ≥且n *∈N 时，22123112222n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=1112222n n n n a --∴=-= 12n n a ∴=经验证，1n =时，1a 满足12n n a =()12n n a n N *∴=∈ ∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列 110295a a a a a a ∴==⋅⋅⋅=又1011110111222a a ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 51155123101122a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查由数列前n 项和求解数列通项公式、等比数列的判断、等比数列性质应用等知识；关键是能够确定已知等式为数列的前n 项和的形式，进而根据前n 项和与通项关系求得与n a 有关的数列的通项公式.11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c o s c o s 23s i n B C b c +=，π3B =，则a c +的取值范围是A. B.3(2C. D.3[2【答案】A【解析】因为cos cos B C b c +=，所以cos cos c B b C +==，由正弦定理可得sin cos cos sin C B C B +=()sin sin B C A +==所以b =π3B =，所以1sin sin sin a b c A B C ===， 所以2π3πsin sin sin sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，所以π26A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a c <+≤， 故选A ．二、填空题12．等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++= ．【答案】16【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则34561232a a a q a a a ++==++，则()931011121232216a a a q a a a ++=++=⨯=，故填16.【考点】等比数列的性质.13．在ABC ∆中，若3BC =，AC =3A π∠=，则B ∠=__________．【答案】6π【解析】在ABC ∆中，由正弦定理可得AC BC sinB sinA =，=，解得12sinB =. 因为AC BC <，所以B A ∠<∠，得6B π=.故答案为：6π. 14．数列{}n a 中，若1111n n na a a n +==+，，则n a = ______ ． 【答案】1n【解析】根据已知条件，确定数列{}n na 为常数数列，即可求出结果. 【详解】1111n n na a a n +==+，，则11(1)1n n n a na a ++=== ∴1n a n =. 故答案为1n.【点睛】本题考查根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考查转换思想和计算能力.15．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】10【解析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =+得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由402x y y +-=⎧⎨=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(6,2)-， 所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n nS a =-+，则129S S S ++⋅+=______.【答案】3411024【解析】代入1n =求得1S ；当2n ≥时，将n a 变为1n n S S --，分别在n 为偶数和n 为奇数的时候求得1n S -，然后利用等比数列求和公式求得结果. 【详解】当1n =时，1111122S a S =-+=-+ 114S ∴= 当2n ≥且n *∈N 时，()()1112nn n n n S S S -=--+若n 为偶数，则112n n S -=若n 为奇数，则111111222n n n n S S -++=+= 10n S -∴=234551291111111134144144444102414S S S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++⋅⋅⋅+=++++==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-本题正确结果：3411024【点睛】本题考查利用n a 与n S 关系求解通项公式、等比数列求和公式的应用等知识，关键是能够通过分类讨论得到n S ，进而得到{}n S 的奇数项为等比数列.三、解答题17．已知不等式2320ax x -+<的解集为{1}A x x b =<<． (1)求a ，b 的值；(2)求函数1()(2)()(1)f x a b x a b x =+--- ()x A ∈的最小值．【答案】（1）1，2；（2）8.【解析】分析：第一问应用一元二次不等式解的边界值就是对应的一元二次方程的根，从而将1x =代入，求得a 的值，代入原不等式，解不等式即可求得b 的值；第二问先将,a b 的值代入，之后对式子进行整理，应用基本不等式求得结果. 详解：(1)∵不等式2320ax x -+<的解集为{1}A x x b =<< ∴1和b 是方程2320ax x -+=的两根 ,∴2320320a ab b -+=⎧⎨-+=⎩解得1a =，2b =. (2)由(1)得()()114414811f x x x x x =+=-++≥--,当且仅当()1411x x -=-，即32x A =∈时，函数()f x 有最小值8． 点睛：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果；（2）将,a b 的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用基本不等式求解.18．在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2cos cos cos a B b C c B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC S ∆=，求a c +.【答案】（1）3B π=（2）a c +=【解析】(1)首先可以通过解三角形的正弦定理将2cos cos cos a B b C c B =+转化为2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，再通过三角形的内角的取值范围得出角B 的值；(2)通过ABC S ∆=可计算出ac 的值，再通过解三角形的余弦定理得出a c +的值。
湖南省娄底地区2019-2020年度高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
湖南省娄底地区2019-2020年度高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）复数的共轭复数为（）A .B . ,C .D .2. （2分） (2016高一上·湖南期中) 已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P= ；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q= （a＞0）．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（）A .B . 5C .D . 23. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的假设为（）A . 都是奇数B . 都是偶数C . 中至少有两个偶数D . 中至少有两个偶数或都是奇数4. （2分）直线(t为参数）和圆交于A,B两点，则AB的中点坐标为（）A . (3,-3)B .C .D .5. （2分）(2020·洛阳模拟) 已知复数在复平面中对应的点满足，则（）A .B .C .D .6. （2分）曲线与直线及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·盘锦期末) 已知， , ，，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D . [1,3]8. （2分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=3，则x0=（）A . e2B . eC .D . ln29. （2分） (2015高二下·沈丘期中) 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（）A . 假设n=k（k∈N*），证明n=k+1命题成立B . 假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立C . 假设n=2k+1（k∈N*），证明n=k+1命题成立D . 假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立10. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 已知函数f（x）=ex[lnx+（x﹣m）2]，若对于∀x∈（0，+∞），f′（x）﹣f（x）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 下列语句是命题的是（）A . 梯形是四边形B . 作直线ABC . x是整数D . 今天会下雪吗12. （2分） (2017高二下·延安期中) 函数y=xex的导数是（）A . y=xexB . y=x+xexC . y=exD . y=（1+x）ex二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是________．14. （1分）设 f(x)，则f(x)dx=________ ．15. （1分）已知圆C的参数方程为，若将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则圆C 在新坐标系中的标准方程为________．16. （10分）选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4．（1）求的值；（2）求的最小值．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） z1=1﹣2i，z2=3+4i，z3=2+i，w=，求复数w．18. （10分） (2019高三上·城关期中) 已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）设，且当，，求的取值范围．19. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线经过定点，倾斜角为。
湖南省娄底市双峰县2020学年高二数学下学期开学考试试题文
双峰一中2018年上学期高二入学考试试题数学（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求）1．已知集合{|0}P x x =≥，1{|0}2x Q x x +=≥-，则P Q =（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．(2,)+∞2．复数z 与复数()2i i -互为共轭复数，则z =（ ）A. 12i -B. 12i +C. 12i -+D. 12i --3．已知命题P ：x x x <∈∀sin ],2,0[π，那么命题p ⌝是（ ） A. x x x ≥∈∀sin ],2,0[π B. x x x ≥∈∃sin ],2,0[π C. x x x >∈∀sin ],2,0[π D. x x x >∈∃sin ],2,0[π4．若,x y 满足20,{40,0,x y x y y -+≥+-≤≥则2z y x =+的最大值为（ ）A. 8B. 4C. 2D. 15．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. 27265mm πB. 236310mm πC. 23635mm πD. 236320mm π 6．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 7．按下图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（ ）A. 45B. 47C. 49D. 518．若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（ ） A. 1 B. 74 C. 114D. 5 9．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 R0．82 0．78 0．69 0．85 M 106 115 124 103则哪位同学的实验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关关系（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ． 83C ．83D ．43 11．如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0,点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点点标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ） A.B. C. D.12、已知函数),2ln(21)(,)(14x x g e x f x +==-的成立，则若m n n g m f -=)()( 最小值为（ ）A ．42ln 1-B ．42ln 1+C ．312ln 2-D ．312ln 2+二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 .在样本的频率分布直方图中，共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（n －1）个小矩形面积的15，且样本容量为300，则中间一组的频数为__________14．已知2,1a b ==，且()2a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角是__________15．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边为,,,c b a 且)sin sin 32(sin sin C B A A +=B 2sin 3 +C 2sin 3，则的大小为C __________16．抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，已知点A B ,为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则AB MN 的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，已知3,2π=∠=C c .（1）若ABC ∆的面积为3，求b a ,的值；（2）求B a sin 43+的最大值． 18．（本小题满分12分）设等差数列{},n n S n a 项和为的前12,7109554=-=a a S S 且. （1）求数列{}的n a 通项公式； （2）若记1)1(-+⋅=n n n n n a a b ，求数列{}的n b 前n T n 项和. 19．（本小题满分12分）四边形ABCD 为平行四边形，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，且2,1, 3.PA AD AB AC ====（1）求证：平面ACD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值.20．（本小题满分12分）设a 为实数，)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当x <0时，=)(x f 9+x 72+xa . （1）求的解析式)(x f ；（2）若“)(),,0[x f x +∞∈∃<1+a ”是假命题，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，长轴长为24． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+是圆222:O x y r +=的一条切线，l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恒过原点，求圆O 的方程．22.（本小题满分12分）已知21()ln 2f x x m x =- (m ∈R) （Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 在[1,]e 上的最大，最小值。
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湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二
下学期入学考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（）
A．37种B．1848种C．3种D．6种
2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A．B．C．D．
3. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）
A．B．C．D．
4. 6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为
（）
A．B．C．D．
5. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则( )
A．B．C．D．
6. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4
件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（）
A．81 B．60 C．6 D．11
7. 天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（）
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，
，则
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的值为（）
A．14 B．10 C．14或23 D．10或23
10. 函数的图像大致为 ( )
A．
B．
C．
D．
11. 已知函数，若，则a的取值范围是
（）
A．B．C．D．
12. 已知函数，若关于的方程
有8个不等的实数根，则的取值范围是（）
A．B．C．
D．
二、填空题
13. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____种.（用数字作答）
14. 在展开式中，常数项为展开式的第_____项.
15. 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有
_____种不同的插法（具体数字作答）
16. 定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，
有成立，若关于x的不等式
在上恒成立，则实数m的取值范围________.
三、解答题
17. 一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？
18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与
向量共线.
（1）求B；
（2）若，，且，求BD的长度.
19. 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面
平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源.保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间
内）绘制成如图所示的频率分布直方图.
若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.
（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；
（2）记这3人中，为测试成绩在内的人数，求的分布列和数学期望.
21. 已知椭圆的焦距为，点在上.
（I）求的方程；
（II）过原点且不与坐标轴重合的直线与有两个交点，点在轴上的射影为，线段的中点为，直线交于点，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
22. 已知函数．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在上为单调增函数，求a的取值范围；（3）设m，n为正实数，且m>n，求证：．。