二重积分与极坐标下的二重积分

ϕ 2 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρ .
∫0
∫0
（在积分中注意使用对称性）
18
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【思考题】
交换积分次序:
I = ∫ π dθ ∫
2 − 2
π
a cos θ
0
f ( ρ ,θ )dρ
( a ≥ 0).
即
由先 ρ 后 θ 的二次积分化为 先 θ 后 ρ 的二次积分
2
+∞
− y2
+∞
0
e− x d x
−a 2
)
dy
2
(∫
+∞ 0
e
− x2
d x = lim π (1 − e
a → +∞
)
2
)=π
故①式成立 .
12
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【例 3】 计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 为由圆
2 2
x 2 + y 2 = 2 y ， x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0 ， y − 3 x = 0 所围成的平面闭区域. y 4 2 2 【解】 x + y = 2 y ⇒ r = 2 sin θ
于是
V = 4 ∫∫ 4a − ρ ρdρdθ = 4 ∫ dθ ∫
2 2 2 0
D
π
2 a cosθ
0
4a 2 − ρ 2 ρdρ
32 3 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ )dθ = a ( − ) 0 3 3 2 3
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π
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题
1
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一、利用极坐标系计算二重积分
1.极坐标系下二重积分表达式
首先分割区域D 用
D
ρ = 常数（一系列同心圆）
o
A
θ = 常数（一系列过极点的 射线）
两组曲线将D分割成许多小区域
2
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Flash动画演示 分割区域
3. 极坐标系下区域的面积
σ = ∫∫ ρdρdθ .
D
8
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［观察练习］ 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切 于原点,试问θ 的变化范围是什么? (1)
y
r = ϕ (θ )
(2) y
r = ϕ (θ )
D o x
( 2) −
D
o
x
答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;
7
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（3）极点O在区域D的边界曲线之内时
区域特征如图
0 ≤ θ ≤ 2π,
ρ = ϕ (θ )
0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ ).
D
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
0 2π
o
A
（2）的特例
ϕ (θ )
0
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
（1）极点O在区域D的边界曲线之外时 区域特征如图
ρ = ϕ1 (θ )
ρ = ϕ2 (θ )
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ϕ 2 (θ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ ) ϕ1 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρ .
11
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【注】2. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计中
以及工程上非常有用的反常积分公式
∫0
∫∫ e D
+∞
e
− x2
dx =
π
事实上, 当D 为 R2 时,
− x2 − y2
2
+∞ −∞
①
− x2
d xd y = ∫
利用例2的结果, 得
4
=4∫
(
e
d x∫ e
−∞
x 2 + y 2 = 4 y ⇒ r = 4 sin θ y − 3x = 0 ⇒ θ2 = x − 3 y = 0 ⇒ θ1 =
∴ ∫∫ ( x + y ) d x d y = ∫π dθ
2 2
3
D
π
2
π
3
6
o
4 sin θ 2
x
π
D
6
∫2 sinθ r
⋅ r d r = 15 ( − 3 ) 2
ρ dθ d σ dρ dθ ρ
ρ = ρ i + Δρ i
θ = θ i + Δθ i
Δσ i
D
ρ = ρi
θ = θi
o
A
将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽） 则 面积元素
⎧ x = ρ cos θ 再作代换 ⎨ ⎩ y = ρ sin θ
dσ = ρdθ ⋅ dρ
扇形 弧长 径向 宽度
3
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【思考题解答】
⎧ ⎪ − ≤θ ≤ D: ⎨ 2 2 , ⎪0 ≤ ρ ≤ a cosθ ⎩
I = ∫ dρ ∫
0
a
π
π
y
θ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosθ
a x
o
arccos
ρ
a
− arccos
ρ
a
f ( ρ ,θ )dθ .
θ = − arccos
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
⎧ ϕ (θ ) ⎪ β ⎨ = ∫α dθ ∫0 f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρ . ⎪ 2π ⎩ = dθ ϕ (θ ) f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
α ϕ1 (θ )
= ∫ dθ ∫
β
1
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy D
π
6
= 4 ∫ dθ ∫
0
a 2 cos 2θ
a
π ρdρ = a ( 3 − ). 3
2
15
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【例6】（课本P90例6）
4a 2 被圆柱面 x 2 + y 2 = 2ax ( a > 0) 求球体 x + y + z ≤
2 2 2
2 sin πρ 2 sin( π x 2 + y 2 ) ρdρ = 4 ∫∫ dxdy = 4 ∫0 dθ ∫1 ρ x 2 + y2 D1
π
D1
= − 4.
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【例 5】求曲线 ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 2 2 2 和 x + y ≥ a 所围成的图形的面积.
ρ
a
20
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所截得的（含在圆柱面 内的部分）立体的体积
.
【解】 由对称性 V = 4V1 其中
V1 = ∫∫ 4a 2 − x 2 − y 2 dxdy
D
z
2a
D
2a
y
x
D : x 轴与 y = 2ax − x 2 所围
Flash 动画演示
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用极坐标表示
π ⎧ ⎪0 ≤ θ ≤ D :⎨ 2 ⎪0 ≤ ρ ≤ 2a cosθ ⎩
x2 + y2 =1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cos θ
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
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【例 2 】计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy
，其中 D 是由中心在
π
2
≤θ ≤
π
2
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【例 1】写出积分 ∫∫ f ( x , y )dxdy 的极坐标二次
D
积分形式，其中积分区域
D = {( x , y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x , 0 ≤ x ≤ 1}.
2
【解】 在极坐标系下 ⎧ x = ρ cosθ ⎨ ⎩ y = ρ sin θ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sinθ + cosθ
5
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特别地 若区域特征如图
ρ = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
ρ = ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ϕ 2 (θ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
6
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（2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时
ρ = ϕ (θ )
区域特征如图
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ ρ ≤ ϕ (θ ).
β
o
D
（1）的特例
A
α
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ D
= ∫ dθ ∫
α β ϕ (θ )
0
f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) ρdρ .
可得下式 则
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρdρdθ . D D
二重积分极坐标表达式
【注意】极坐标系下的面积元素为
dσ = ρ d ρ dθ
直角坐标系下的面积元素为
dσ = dxdy
区别
4
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2.二重积分化为二次积分的公式
【解】 根据对称性有
D = 4D1 2 2 2 在极坐标系下 x + y = a ⇒ ρ = a ,
⎧ ρ = a 2 cos 2θ 由⎨ , ρ=a ⎩
所求面积σ =
D
D1
( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ ,
π 得交点 A = ( a, ) , 6
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
【解】 在极坐标系下
D： 0 ≤ ρ ≤ a ， 0 ≤ θ ≤ 2 π .
y
∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy= ∫ dθ ∫ e
0 0
2π
a
−ρwenku.baidu.com2
ρdρ
o
= π(1 − e
− x2
−a
2
x
).
【注】1.由于 e
的原函数不是初等函数 ,故本题无法
用直角坐标计算.
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π
sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 【例 4】计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 2 2 其中积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4}.
【解】 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D = 4D1
sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D