运城学院数学分析期末试题3-7
2018-2019年山西财经大学运城学院(运城市财经学校)一年级下册数学期末复习含答案
2018-2019年山西财经大学运城学院（运城市财经学校）一年级下册数学期末复习含答案 一、想一想，填一填1． 78的十位上是________，表示________；个位上是________，表示________。
2． 18的十位上的数是________，表示________个________， 个位的数是________，表示________个________． 3． 先填空，再计算．（1）最大的两位数是________． （2）最小的两位数是________． （3）上面两个数相加的和是________． 4． ■■■■■■■■■ □□□□□□□□□□□□□（1）■添上________个，就和□同样多。
（2）从第二行拿________个□摆到第一行，两行的方块就一样多了。
5． 下图中的空白处缺________块。
6． 在横线上填上“>”、“<”或“=”。
8元________7元8角 54-40________50 6个十________60 49+8________577． 常用的统计图有________、________、________。
8． 明明看一本书，已经看了7页，还要看________页就是17页。
9． 把得数填入相应的空白处。
10．想一想，填一填。
对边平行且相等的________叫做平行四边形。
二、对号入座、选择填空（含多选）11．12－6=（ ）A. 4B. 6C. 7D. 15 12．下面的图形中对称轴最多的是（ ）。
A. 正方形B. 长方形C. 等边三角形13．24－8=（ ）A. 4B. 5C. 16D. 20班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________14．一个铅笔盒10元，一支钢笔5元，小明想买1个铅笔盒和3支钢笔，请问他需要花（）元？A. 15B. 25C. 35D. 2015．能拼成长方形的一组图形是（）。
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分）1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2 设函数项级数∑∞=1)(n nx u满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n nx u dx dx u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分） 4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim220022*******222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1cos 11(sin 22222222222y x y x yx y x y x x f x （4分）由于22221cos 1y x y x ++当趋于（0，0）无极限。
运城学院应用数学系
运城学院应用数学系2016—2017学年第一学期期末考试复变函数和积分变换试题使用范围: 信息与计算科学1403/4班 命题人：审核人：一、判断题：（每题2分，共40分）（ ）1、283-=-。
（ ）2、复数i z --=3按逆时针方向旋转2π，顺时针旋转6π得到复数i 4-。
（ ）3、复数和辐角的主值一一对应，每个复数都有唯一一个辐角的主值。
（ ）4、函数2||)(z z f =在0=z 处连续但不可导。
（ ）5、b a z a z =++-||||的轨迹是椭圆，椭圆的焦点是a a -,。
（ ）6、0Re lim 0=→zz z 。
（ ）7、复变函数的可导和解析是等价的。
（ ）8、柯西黎曼条件是复变函数可导的充分条件 。
（ ）9、曲线C 为0到1的直线段，如果dz z A C ⎰=，则=-i A 0 。
（ ）10、=-⎰=-Rz z dz z z i ||00121π1 （ ）11、=⎰=-R z z zdz i ||0sin 21π1。
（ ）12、0sin 212||2=⎰=z dz z z i π 。
（ ）13、幂级数n n n z n 2)11(1∑∞=+的收敛半径为e R =。
（ ）14、函数531)1()5(tan cos sin )(π--=z z z z z e z f z在单位圆内有4个孤立奇点。
（ ）15、z ze z f z1sin )(=在孤立奇点0处的留数为p ，则=p 1 3 。
（ ）16、分时线性变换具有保圆性、保圆对称点性，保交比性 。
（ ）17、孤立奇点如果是可去奇点，则其留数一定为0。
（ ）18、0=z 是z z z e z z f zsin cos tan )(3=的4阶零点。
（ ）19、方程0122=++z z 的两个根为21,z z ，则=++21212z z z z 0 。
（ ）20、=⎰+∞∞-dt t )(δ 0 。
二、计算题：（每题5分，共30分）1、计算⎰∞++0421dx x x 。
运城学院数学分析期末试题3-11
运城学院应用数学系2008—2009学年第一学期期末考试《数学分析Ⅲ》试题（B ）适用范围：数学与应用数学专业 0701、0702班 命题人：王文娟，王莲花信息与计算科学专业 0703班 审核人：一、单选题（每题2分，共10分）1、设(,)ln(f x y x =-，(0,0)x y >>其中则(,)f x y x y +-=（ ）A 、ln()x y -B 、C 、1(ln ln )2x y - D 、2ln()x y - 2、(,)z f x y =在00(,)x y 处不连续，则(,)f x y 在该点处 （ ）A 、必无定义B 、极限必不存在C 、偏导数不存在D 、必不可微3、若(,)f x y 与(,)g x y 在曲线L 上满足(,)(,)f x y g x y ≤，则下列说法中成立的是（ ）A 、(,)(,)LL f x y dx g x y dx ≤⎰⎰B 、|(,)(,)||(,)||(,)|L L L L f x y dx g x y dy f x y dx g x y dy +≤+⎰⎰⎰⎰C 、(,)(,)L L f x y ds g x y ds ≤⎰⎰D 、A 、B 、C 都不对4、设域22:1,D x y +≤f 是D上的连续函数，则Df dxdy =⎰⎰（ ）A 、102()r f r dr π⎰B 、104()r f r dr π⎰ C 、1202()f r dr π⎰ D 、04()r r f r dr π⎰ 5、设2()f x x =在[1,1]-的傅立叶级数是22114(1)cos 3nn n x n ππ∞=-+∑，该级数的和函数是()s x ，则（ ）A 、(1)1,(2)4s s ==B 、 1(1),(2)42s s == C 、1(1),(2)02s s == D 、(1)1,(2)0s s == 二、判断题（每题2分，共10分）1、若(,)f x y 在00(,)x y 的两个累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在且相等,则二重极限也必存在. （ ）2、有界的无限点列{}2n P R ⊂必存在收敛子列{}nk P . （ ）3、如果曲面:(,)S z f x y =在000(,,)Q x y z 存在切平面，则(,)z f x y =在000(,)P x y 处可微. （ ）4、若(,)f x y 在点(,)x y 处二阶偏导(,)xy f x y 及(,)yx f x y 都存在, 则(,)xy f x y 与(,)yx f x y 在点(,)x y 处连续的充要条件是(,)(,)xy yx f x y f x y =. （ ）5、若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,且(,)0f x y >,则(,)0Df x y dxdy >⎰⎰.（ ）三、填空题（每空2分，共10分）1、4422(,)4f x y x y x y =+-, 则(1,1)|df =____________2、22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y→+=+ ____________ 3、L 是按逆时针方向绕行圆域:221(1)(1)4x y -+-=,则22L xdy ydx x y -=+⎰ _________4、改变累次积分的顺序220(,)y dy f x y dx =⎰⎰ 5、1210lim (1)x dx ααα→+=⎰________________ 四、解下列各题（每题6分，共36分）1、 xyzu e =, 求3u x y z ∂∂∂∂ 2、22260()0x y z y z x y z ⎧++-=⎪≠⎨⎪++=⎩, 求dz dx ,dy dx3、设2222(2)(2)du x xy y dx x xy y dy =+-+--，求函数(,)u x y4、计算VI zdxdydz =⎰⎰⎰,其中V 由上半球面2224x y z ++=与0z =所围成.5、计算dxdy xz y dzdx x dydz z x y S)()(22+++-⎰⎰,其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧.6、计算2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰.其中L 是螺旋线cos ,x t =sin ,y t z t ==从0t =到t π=上的一段.五、应用题（每题7分，共21分）1、用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.2、求arctany z x =在(1,1,)4π处的切平面与法线方程.3、求密度函数为(,)1x y x y μ=--的平面薄板D 的质量，其中D 是xy 平面上0,0,1x y x y ==+=所围.六、证明题（共13分）1、(6分) 证明:230cos (110)t tx dx t x t+∞≤≤+⎰是一致收敛的. 2、(7分) 证明:222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处连续、偏导数存在且可微.。
运城学院数学分析期末试题2-7
2006——2007学年第二学期数学分析试题B（0601，0602，0603）一：填空（20分）1、对级数∑∞=+1)1(1n n n 的和是 .2、'T 是T 增加若干个分点所得的分割，则∑∆'''Tii xω∑∆Tiix ω.3、⎰1ln xx dx 的瑕点是 .4、若无穷积分()⎰∞+adx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim .5、称平面曲线C ：],[),(),(βα∈==t t y y t x x 为一条光滑曲线是指],[)()(βα在与t y t x 上连续可微，且 .6、⎰=dx x ex )(')(ϕϕ .7、若幂级数n n x a ∑在2-=x 处收敛，则在23=x 处，此级数 .8、级数∑∞=--11)1(n pn n 当 时绝对收敛. 9、0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n 是函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的 条件.10、设S 为 闭区间 [],a b ,则S 的聚点所组成的集合为 .二：判断（16分）1、若lim n n a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.（ ）2、设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖.（ ）3、设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.（ ）4、有理函数的原函数是初等函数.（ ）5、若()x f 单调，()⎰∞+adx x f 收敛，则()0lim =+∞→x f x （ ）6、若级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都是发散级数，则级数∑∞=1n n n v u 必定发散.（ ）7、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nn nk 收敛与否与k 有关（ ） 8、如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃=, 则闭区间套定理成立（ ）三：计算下列各题（15分）1、arctan x ⎰ 2、⎰+3xx dx3、⎰+2cos sin cos πθθθθd四：解下列各题（28分）1、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n )1,1(-∈x 的和函数2、计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x txt x dte dt e 022022lim 3、计算⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→n n n n n n πππ)1(sin 2sin sin 1lim 4、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米,高为20米.计算当水平面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.五：证明（21分）1、1sin 01pxdx p x +∞<≤⎰当时条件收敛.(7分) 2、设级数∑∞=1n n a 收敛,证明函数项级数∑∞=-=1)(n nx n e a x f 当0≥x时一致收敛. (7分)3、设 0()nn n f x a x ∞==∑在x R <内收敛, 若11n n n a R n ∞+=+∑也收敛, 则10()1Rn n n a f x dx R n ∞+==+∑⎰. (7分)命题人：杨建雅 张民珍2007.6.15。
山西省运城市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
运城市2021～2022学年高一1月份期末调研测试数学一，选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 下面各角中,与角1560°终边相同地角是（ ）A. 180° B. -240°C. -120°D. 60°【结果】B 【思路】【思路】终边相同地角,相差360°地整数倍,据此即可求解.【详解】与1560°终边相同地角为1560360k β=︒+︒,k ∈Z ,当5k =-时,156********β=︒-︒⨯=-︒.故选：B .2. 已知集合{}2,1,2,3A =-,{}12B x x =-<≤,则()A B =R ð（ ）A. ∅ B. {}1,2 C. {}2,3- D. {}2,1,2-【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集运算法则计算即可.【详解】{R 1B x x =≤-ð或}2x >,∴(){}R 2,3A B ⋂=-ð.故选：C.3. 设x ∈R ,则“220x x -<”是“12x -<”（ ）A. 充分不必要款件 B. 必要不充分款件C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】A 【思路】【思路】解不等式,再判断不等式解集地包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈,由12x -<得()1,3x ∈-,故“220x x -<”是“12x -<”地充分不必要款件.的故选：A.4. 假如,,a b c ∈R ,且0abc ≠,那么下面命题中正确地是（ ）A. 若11a b<,则a b > B. 若ac bc >,则a b >C. 若33a b >,则11a b<D. 若a b >,则22a b>【结果】D 【思路】【思路】依据不等式地性质逐项思路判断即可.【详解】对于A ,若1a =-,1b =,满足11a b<,但a b >不成立,错误。
2022届山西省运城市高三上学期期末数学(理)试题解析
2022届山西省运城市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合{}Z 21A x x =∈-<<，集合{B y y ==，则A B ⋂=R（ ）A ．{}21x x -<<B ．{}1-C ．{}1,0-D ．{}20x x -<<答案：B由含根式函数的值域求集合B ，再应用集合的交补运算求A B ⋂R.解：由题设，{}1,0A =-，{}0B y y =≥， 所以{}R 0B y y =<，故{}1R A B ⋂=-， 故选：B.2．已知复数z 满足()21i 42i z +=+，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -答案：B先根据复数的乘除法求出z ，再求共轭复数即可. 解：由()21i 42i z +=+，得42i12i,2iz +==-，所以12i z =+. 故选：B3．已知命题p ：0x ∃>，ln 1x x >-；命题q ：R x ∀∈，||e 1x ≥则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ⌝∧ B ．p q ∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨答案：A利用导数比较ln ,1x x -在(0,)+∞上的大小关系，判断命题p 真假，由指数函数的性质判断命题q 真假，进而判断各复合命题的真假即可.解：令ln 1y x x =-+且定义域为(0,)+∞，则11y x'=-， 所以(0,1)上0y '>，y 递增；(1,)+∞上0y '<，y 递减； 所以1|0x y y =≤=，即ln 1≤-x x ，又R x ∀∈，||e 1x ≥恒成立，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题，则p ⌝为真命题，q ⌝为假命题， 故p q ⌝∧为真，p q ∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假. 故选：A. 4．设函数2()2xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．(2)1f x -+B ．(2)1f x --C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++答案：A 先化简()241xf x =-++，再利用奇函数的定义检验每一个选项即可得正确选项. 解：解：由题意可得()244(122)22x x x x f x x -++==-++-=++， 对于A ，()()42421112f x x x-+=-++=+-是奇函数，故选项A 正确； 对于B ，()()244211122x xf x +--=-+-=--不是奇函数；故选项B 不正确；对于C ，()()4421112224f x x x ++-=-=++--+定义域为{}|4x x ≠-，不关于原点对称，不是奇函数，故选项C 不正确；对于D ，()()244211124x f x x +++=-++=++，定义域为{}|4x x ≠-，不关于原点对称，不是奇函数，故选项D 不正确； 故选：A.5．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：A利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，结合(2)f 的符号，应用排除法确定答案.解：由22()(1)sin()(1)sin ()1e 1e x x f x x x f x --=-⋅-=-⋅=++且定义域为R ， 所以()f x 为偶函数，排除C 、D ；22(2)(1)sin 21e f =-⋅+，且22101e-<+，sin 20>，即(2)0f <，排除B. 故选：A6．2021年中国人民银行计划发行个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（ ）A ．32π B ．3π C ．6π D ．12π答案：B求出点落在牛形图案上的频率，从而可得点落在牛形图案上的概率，再由概率等于面积比可求得答案解：设牛形图案的面积为S ，则由题意可得 2752100S π=⋅， 解得3S π=， 故选：B7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（ ） A ．3974 B ．3976 C ．3978 D ．3980答案：D由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前n 次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第n 次的最后一个数为2n ，据此即可求解. 解：由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数， 前n 次共取了()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=个数，且第n 次的最后一个数为2n ， 当63n =时，()6363120162⨯+=，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为2633969=，∴64n =时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...， ∴第2022个数为3980. 故选：D.8．函数()2log 2,0sin ,03x x x f x x x πωπ->⎧⎪=⎨⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有且仅有2个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．47,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．47,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B先利用导数研究当0x >时，()2log 2f x x x =-没有零点，结合三角函数性质研究0x π-≤≤时，()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有且仅有两个零点问题，进而得答案.解：解：当0x >时，()2log 2f x x x =-，()1'2ln 2f x x =-，令()'0f x =得12ln 2x =， 所以当102ln 2x <<时，()'0f x >，()2log 2f x x x =-单调递增， 当12ln 2x >时，()'0f x <，()2log 2f x x x =-单调递减， 由于1112ln 2ln 4x ==<，当01x <<时，()2log 20f x x x =-<， 所以()102ln 2f x f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭极大值，即当0x >时，()2log 2f x x x =-没有零点.所以当0x π-≤≤时，()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有且仅有两个零点，由于0x π-≤≤时，333x ππππωω-+≤+≤，所以函数sin y x =（333x ππππωω-+≤+≤）有且仅有两个零点，所以23πππωπ-<-+≤-，解得4733ω≤< 所以正数ω的取值范围是47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B9．如图，己知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足()21122,0F P a F P F F F P =+⋅=，线段2F P 与双曲线C 交于点Q ，若224F P F Q =，则双曲线 C 的离心率为（ ）A 21B 21C ．54D ．52答案：A取2F P 的中点E ，由已知得12F E F P ⊥，由三线合一得12F F P 是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示12cos ∠F F E ，再由双曲线的定义表示1FQ ，在12F QF 中，由余弦定理列式，得关于,a c 的等式关系，即可求得离心率.解：取线段2F P 的中点E ，连接1F E ，因为()11220F P F F F P +⋅=，所以12F E F P ⊥，所以12F F P 是等腰三角形，且1122F P F F c ==，在12Rt F EF 中，212122cos 24aF E a F F E F F c c ∠===，连接1F Q ，又24=aF Q ，点Q 在双曲线C 上，所以由双曲线的定义得，122-=FQ F Q a ， 所以194=a F Q ，在12F QF 中，2222221221121229(2)()()44cos 24224+-+-∠===⋅⨯⨯a c a F F F Q FQ a F F Q a F F F Q c c ，整理得221621=c a ，所以离心率214==c e a . 故选：A【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．10．已知(),,0,a b c ∈+∞，且121e e2aa --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5c c --=+，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<答案：C构造函数()e xf x x =-，利用导函数可得函数的单调性，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >，即得.解：由题可得121e e2aa --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5cc --=+.令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，∴()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >， 由111235-<-<-，可知111235f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()()f a f b f c >>， ∴c b a <<. 故选：C.11．某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且4,AF EF CF BC ==，异面直线,AB CD 所成角的余弦值为35，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．12πD ．10π答案：A根据给定正视图及相关信息，还原几何体，用几何法确定异面直线的夹角， 求出圆柱底面圆半径，再确定其外接球半径即可计算作答. 解：依题意，圆柱的直观图如图所示，连接AF ，设圆柱底面圆的圆心为O ，半径为r ，由4,AF EF CF BC ==知，E 为OF 的中点，C 为BF连接OC ，则OC //AB ，即异面直线,AB CD 所成角为OCD ∠或其补角，连接,DF DE ， 由正视图知DE OF ⊥，则DF OD r ==，在Rt OFC △中，1CF =，即OC =在Rt CDF △中，有CD =,AB CD 所成角的余弦值为35，即3cos 5OCD ∠=，在COD △中，由余弦定理得：2222cos OD OC DC OC DC OCD =+-⋅∠，即22223(1)(1)2(1)5r r r r =+++-+⋅，解得2r =，该圆柱的轴截面矩形对角线AB ==，又圆柱的轴截面矩形是其外接球截面大圆的内接矩形，则该圆柱的外接球的半径12R AB == 所以该圆柱的外接球的表面积为2420S R ππ==. 故选：A12．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（ ）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值2021答案：B先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 解：设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养. 二、填空题13．()512x +的展开式中3x 项的系数为_____________.利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3即可求解.解：解：由()512x +得，()155C 2C 2rr r r r r T x x +=⋅=⋅⋅ 令3r =，333345C 280T x x =⋅⋅=故答案为：80.14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ctan tan B C =+，若c =D为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.答案：⎤⎦由正弦定理及切化弦等得3C π=，再由余弦定理及向量知识得2132CD ab =+，再由正弦定理统一角与函数名称求解即可.tan tan B C =+，()sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C AB C B C B C B cosC +⋅+⋅=+===⋅⋅⋅则，()sin ,0,C C C π∈，tan 3C C π==.22222111),(),()224CD CA CB CD CA CB CD a b ab =+=+=++（，由余弦定理有：22222,12c a b ab a b ab =+-=+-，所以2221()4CD a b ab =++，211(122)342CD ab ab =+=+，由正弦定理,4,4sin ,4sin sin sin sin sin sin a b c a b a A b CA B C A B ======2121338sin sin 38sin sin 38sin sin 232CD ab A B A A A A A π⎫⎛⎫=+=+=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，254sin 26CD A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以02A π<<且2A C π+>，则,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(]27,9CD ∈，CD ⎤∈⎦故答案为：⎤⎦15．已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________. 答案：120.5设(),P c m ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得tan APO ∠=()2amc a c m ++，利用基本不等式可得tan APO ∠≤()2a c a c +，结合条件可得()max 3tan 3APO ∠≥，从而可求离心率的最大值. 解：由对称性不妨设P 在x 轴上方，设(),,0P c m m >，POF α∠=，PAF β∠=∴()tan tan 1m m c a c APO m m c a c αβ-+∠=-=+⋅+()()()22am a ac a c c a c m c a c m m==≤+++++当且仅当()m c a c =+取等号，∵直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒ ∴()max 3tan APO ∠≥32()c a c ≥+ ∴24430e e +-≤，即(21)(23)0e e -+≤， 所以102e <≤， 故椭圆离心率的最大值为12. 故答案为：12.16．已知函数()e e 2-=-+x xf x ，若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()ln e 4x f a x f ax x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围为_______________. 答案：[]0,e设()()2e e x xg x f x -=-=-，利用()g x 的单调性和奇偶性，将不等式转化为()ln ln e e x x x a x x x ++≤=，然后换元转化为e (1)t at t ≥≤恒成立，最后转化为在(],1t ∈-∞上，函数e t y =的图象在函数的y at =图象的上方，即可求解.解：设()()2e e x xg x f x -=-=-，则()()()e e e e x x x x g x g x ---=-=--=-，∴()g x 为奇函数，又∵()g =e +e 0x xx -'>，∴()g x 在R 上单调递增，由已知得()()ln 2e 20x f a x f ax x -+--≤，则()()ln e 0xg a x g ax x +-≤，∴()()ln e x g a x g x ax ≤-，∴ln e x a x x ax ≤-，即()ln ln e e x x xa x x x ++≤=，又∵(]0,1x ∈，∴(]ln ,1x x +∈-∞，令ln x x t +=，则e (1)t at t ≥≤，则转化为在(],1t ∈-∞上，函数e t y =的图象在函数的y at =图象的上方，设e t y =的切点为()00,e x x 且过原点的方程为()000e e x xy x x -=-，将原点代入求得01x =，即切线方程为e y x =，则0e a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]0,e . 故答案为：[]0,e . 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足3322n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若143cos nn n n b n a a π+⋅=⋅⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .答案：(1)3nn a =(2)2221133nn n T +-=（1）由11a S =，代入1n =计算可得1a ，由1n n n a S S -=-代入得到13n n a a -=，从而证明数列{}n a 是等比数列，求出通项公式；（2）由余弦的周期性可知()cos 1nn π=-，代入n a 通项公式可得()111133n n n n b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算可求出前2n 项和. (1) 1113322a S a ==-，算得13a = 当2n ≥时，1133332222n n n n n a S S a a --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；得到13n n a a -=，13(2)n n a n a -=≥所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，由11n n a a q -=⋅，得到3n n a =(2)由143cos n n n n b n a a π⋅+⋅=⋅，得到()()114311113333n n n n n n n n b ++⋅⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⋅⎝⎭.则2223342122211111111111()3333333333n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+⋅⋅⋅+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2221211113333nn n n T ++-=-+=.18．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的点，连接AD ，且满足sin sin DB ABD DC ACD ⋅∠=⋅∠.(1)求证：BAD CAD ∠=∠； (2)若π3BAC ∠=，1AD =，求△ABC 的面积的最小值. 答案：(1)证明见解析 3（1）分别在△ADB 和△ADC 中运用正弦定理并结合已知条件即可证得； （2）利用ABCABDACDS SS=+，列出等式3b c bc +=，利用基本不等式即可求出△ABC 的面积的最小值. (1)在△ADB 中，利用正弦定理可知sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即sin sin BD ABD AD BAD ⋅∠=⋅∠，同理，在△ADC 中，利用正弦定理可知sin sin AD CDACD CAD=∠∠，即sin sin CD ACD AD CAD ⋅∠=⋅∠，由已知条件sin sin DB ABD DC ACD ⋅∠=⋅∠，可得sin sin AD BAD AD CAD ⋅∠=⋅∠， 即 sin sin BAD CAD ∠=∠(0,π)BAD CAD ∠+∠∈，∴BAD CAD ∠=∠；(2)设AC b =，AB c =, 1π26BAD CAD BAC ∠∠∠===,∴13sin 24ABCSbc BAC bc =∠=，11sin 24ABD S AB AD BAD c =⋅∠=△，11sin 24ACD S AC AD CAD b =⋅∠=△， 又∵ABCABDACDSSS=+，∴()3144bc b c =+，∴3b c bc +=， 又∵2b c bc +≥，∴32bc bc ≥，∴43bc ≥，（当且仅当b c =时等号成立）∴33434433ABC S bc =≥⋅=△， 即ABCS的最小值为33. 19．某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化､精细化管理，使得葡萄产量有较大提高.葡萄采摘后去掉残次品后，随机按每10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量（单位：kg ），将称量结果分成5组：[1.0,1.2),[1.2,1,4),[1.4,1.6),[1.6,1.8),[1.8,2.0]，并绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x （残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表）；(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X 服从正态分布(),0.04N μ，其中μ的近似值为每串葡萄质量的平均值x ，请估计10000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内葡萄的串数；附：若随机变量()2,X N μδ~，则()0.6826,(22)0.9544P X P X μδμδμδμδ-<≤+=-<≤+=.答案：(1)0.8a =， 1.524x = (2)81850(3)85（1）根据矩形面积和为1可求出a 的值，然后可估计出平均值；（2） 1.524,0.2μδ==，(1.124 1.724)(2)P X P X μδμδ<<=-<<+，然后可算出答案； （3）可得410,25B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，然后可得答案.(1)由频率分布直方图可知，0.2(0.4 1.02 2.0)1a +++=，解得0.8a =. 估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值：1.10.40.2 1.3 1.00.2 1.52.00.2 1.70.80.2 1.90.80.2 1.524x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2)由题意可知， 1.524,0.2μδ==，所以2 1.124,2 1.924, 1.324, 1.724μδμδμδμδ-=+=-=+=. 所以(1.124 1.724)(2)P X P X μδμδ<<=-<<+ 1[()(22)]2P X P X μδμδμδμδ=-<<++-<<+ 0.8185=.所以10000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内葡萄的串数的估计值为100000.81851081850⨯⨯=. (3)在这批葡萄中随机抽取一串，葡萄的质量超过1.8kg 的频率为0.80.20.16⨯=， 因此随机打开一箱，再从中随机抽取一串，这串葡萄为优等品的概率为40.1625P ==， 依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，…，10，且410,25B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以ξ的数学期望为48()10255E ξ=⨯=. 20．在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体ABCDE 中，已知___________，AC BC ⊥，//ED AC ，且22AC BC ED ===，DC DB ==(1)求证：平面ABE ⊥与平面ABC ；(2)线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 543，若存在，求BF BC 的值；若不存在，说明理由. 答案：(1)证明见解析； (2)存在；34BF BC =. （1）若选①，取AC 中点G ，BC 中点O ，AB 中点H ，可证得四边形EDCG 为平行四边形，从而利用勾股定理和平行关系证得AC CD ⊥，由线面垂直和面面垂直判定得到平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直性质可证得DO ⊥平面ABC ；若选②，取BC 中点O ，AB 中点H ，由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直性质可证得DO ⊥平面ABC ；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，根据长度和平行关系可证得四边形DEHO 为平行四边形，由此确定12EH AB =，得到AE BE ⊥，结合AE BE =可得2BE =，从而利用勾股定理和平行关系证得AC BD ⊥，由线面垂直和面面垂直判定得到平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直性质可证得DO ⊥平面ABC ；三个条件均可说明,,DO OH BC 两两互相垂直，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面垂直的向量证明方法可证得结论；（2）假设存在满足题意的点()()0,,011F t t -≤≤，利用二面角的向量求法可构造方程求得12t =-，由此可确定F 点位置，得到BFBC的值. (1)若选①，取AC 中点G ，BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，//EG CD ∴， 3EG ∴=，又112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥， 又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD =，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；若选②，ACBD ，AC BC ⊥，BCBD B =，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD =，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，3DC BD =DO BC ∴⊥，又2BC =，2DO ∴ ,O H 分别为,BC AB 中点，1//2OH AC ∴，又1//2ED AC ，//OH ED ∴，∴四边形DEHO 为平行四边形，2EH DO ∴==；AC BC ⊥，2AC BC ==，22AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥， EAB EBA ∠=∠，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=， BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BCBD B =，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直，则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B ，(2E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,2BE =-，DO ⊥平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =；设平面ABE 的法向量()1111,,x n y z =，则111111122020AB n x y BE n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，解得：11y =，10z =，()11,1,0n ∴， 10m n ∴⋅=，即1m n ⊥，∴平面ABE ⊥与平面ABC .(2)设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABE 543由（1）得：(1,,2EF t =--，(2AE =-， 设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z =，则222222222020AE n x y z EF n x ty z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，则212t x +=，)2214t z -=，()21124t t n ⎛⎫-+∴= ⎪ ⎪⎝⎭；()11,1,0n ∴121212cos ,n n n n n n ⋅∴<>===⋅，化简可得：221370t t --=，解得：12t =-或7t=（舍），10,,02F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，32BF ∴=，34BF BC ∴=；综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足34BF BC =，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于21．已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，PF 与y轴垂直，Q 为y 轴上一点，且QP OP ⊥，若4FQ =. (1)求p ；(2)设点()1,1M ，过点M 作两条不同的直线分别交抛物线C 于A ，B 两点和D ，E 两点，且满足MA MB MD ME ⋅=⋅，求证AB DE k k +为定值.答案：(1)2p = (2)证明见解析（1）根据已知条件得出△QFP ∽△PFO ，利用相似即可求解;（2）设出直线AB 和DE 的方程及其点A 、B 、D 、E 的坐标，利用两点间距离公式分别求出线段MA 、MB 的长度代入式子MA MB ⋅中，再将直线AB 与抛物线方程联立，利用韦达定理分别求出两根之积及两根之和，消去式子中的12x x ⋅和12x x +，同理可得MD ME ⋅的表达式，两者相等即可得证. (1)22x py =的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，不妨设P 点在第一象限，由于PF y ⊥轴，则,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，∵△QFP ∽△PFO , ∴PF QF FOPF=, 即2PF FO QF =⋅,∴242pp ⨯=，即2p =，(2)设AB 所在的直线方程为：()111y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y , DE 的直线方程为：()211y k x -=-，()33,D x y ，()44,E x y ;则()()22211111111MA x y k x =-+-+-，21211MB k x =+-，即()()()221121121211111MA MB k x x k x x x x ⋅=+-⋅-=+⋅-++，将直线AB 的直线方程;()111y k x -=-，与抛物线的方程22x py =联立，消去y 得到：2114440x k x k -+-=，由韦达定理可知1214x x k +=，12144x x k ⋅=-，则()()221121211()131MA MB k x x x x k ⋅=+⋅-++=+,同理可得()2223423434(1)111()1MD ME k x x k x x x x ⋅=+-⋅-=+⋅-++,即()2231MD ME k ⋅=+,∵MA MB MD ME ⋅=⋅，∴2212k k =，即()()12120k k k k ++=，又∵12k k ≠，∴120k k +=，即0AB DE k k +=. 22．已知函数()ln xf x x =，()()1R g x kx k x=+∈. (1)求函数()f x 的单调区间，并探究数列中123344，20212021(2)设()()()h x f x g x =-，若12k <<，求证：()1h x <-.答案：(1)函数()f x 单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞；数列中的最大项为 (2)证明见解析.（1）求导函数，利用导函数与单调性的关系可求单调区间；利用函数()f x 的性质即可得到数列的最大项；（2）由题可得ln 1()10x S x kx x-=-+<恒成立，即证max ()0S x <，通过构造函数()2ln 2u x kx x =--+，利用导函数及零点存在定理可得()S x '在区间()21,e 内必存在一个零点0x ，然后再证明0()0S x <即得. (1) 因为ln (),xf x x=函数()f x 的定义域为()0,∞+， 所以21ln (),xf x x -'=当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递增， 故函数()f x 单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞， 为了探究数列的最大项，令()1ln e n nnt n n ==，由于指数ln nn，当且仅当e x =取最大值，又*n ∈N ，6689=<=，(2)要证()1h x <-，即证：ln 11x kx x--<-， 设ln 1()1(0)x S x kx x x -=-+>，则()2222ln ln 2x kx x S x k x x ---+'=-=， 设()2ln 2u x kx x =--+，则2121()20kx u x kx x x--'=--=<， 所以()u x '在区间()0,∞+内小于零恒成立，即()u x 区间(0,)+∞单调递减， 因为12k <<，所以()120,u k =->'()2e 0,u k =-<'所以在区间()21,e 内必存在一个0x ，使得()00u x '=，即200ln 2x kx =-+，所以，当0(0,)x x ∈时，()0S x '>，()S x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0S x '<，()S x 单调递减，∴()()000max 0ln 11x S x S x kx x -==-+， 因为200ln 2,x kx =-+∴()200000021121kx x S x kx x x -++==-++ 因为0()S x 在其定义域上单调递减，故()20212e 1,22e S x k k ⎛⎫∈-++-+ ⎪⎝⎭， 因为12k <<，所以220k -+<，故()0()0S x S x ≤<，综上所述，当12k <<时，()1h x <-成立. 【点睛】关键点点睛：本题实质是证明ln 1()10x S x kx x-=-+<恒成立，即max ()0S x <，关键是求出()S x 的极大值，进而转化为求()S x '的零点，利用导函数及零点存在定理可求.。
运城学院数学分析期末试题2-9
运城学院应用数学系2008—2009学年第二学期期末考试《数学分析2》 试题(B)适用范围：数学与应用数学0801\02班 命题人：杨建雅、常敏慧信息与计算科学0803班 审核人：一、填空题（10小题，每题2分，共20分）1、数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧== ,2,11n n S 的聚点是 . 2、()[]()='+⎰dx x x n ϕϕ1 . 3、若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则i T i x '∆'∑'ωi T i x ∆∑ω. 4、瑕积分()010>⎰q xdx q 当 时收敛. 5、级数()∑∞=+111n n n 的和为 . 6、()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n 是函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的 条件. 7、幂级数∑nx n的收敛区间为 . 8、闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是 .9、⎰102dx e x e .10、已知()dt t x x⎰=Φ02cos ，则()=Φ'x .二、判断题（10小题，每题2分，共20分）1、开区间集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ,2,11,21n n n 构成了开区间()1,0的一个开覆盖.（ ）2、设()[]b a x x f y ,,∈=，称()x f y =在[]b a ,上连续可微是指()x f y =在[]b a ,上既连续又可导.（ ）3、若函数f 在[]b a ,上单调，且有无限多个间断点，则函数f 在[]b a ,上可积.（ ）4、若级数()01≠∑∞=c cu n n发散，则级数∑∞=1n n u 也发散.（ ）5、级数∑∞=0n n x 在区间()1,1-内一致收敛.（ ）6、闭区间套定理的条件是结论成立的充要条件.（ ）7、若f 在[]a a ,-上可积，且为偶函数，则()0=⎰-dx x f aa .（ ） 8、设g f ,均在[]b a ,上有界，f 在[]b a ,上可积，仅在[]b a ,中有限个点处()()x g x f ≠，则()()dx x g dx x f b aba ⎰⎰=.（ ） 9、若()x f x +∞→lim 不存在，则()dx x f a ⎰∞+发散.（ ） 10、设函数项级数()x u n ∑在闭区间[]b a ,上的和函数为()x f ，且每一项()x u n 都在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 在闭区间[]b a ,上连续.（ ）三、计算下列积分（4小题，每题5分，共20分）1、⎰-dx x x x sin cos 2cos ；2、dx x x ⎰++-+1111；3、()dx x ⎰2ln ；4、⎰-+10xx e e dx ； 四、解下列各题（4小题，每题7分，共28分）1、求极限 ()1!1lim +∞→+n x n x n e ； 2、求极限 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n 212111lim ；3、求幂级数 +++++++12531253n x x x x n ，()1,1-∈x 的和函数； 4、设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点，在区间[]()0,>+a l a a 上有一质量为M 的均匀细杆.试求质点与细杆之间的万有引力.五、证明题（2小题，每题6分，共12分）（1）设f 在[]b a ,上连续，且()x f 不恒等于零，证明()()02>⎰dx x f ba ； （2）若在区间I 上，对任何正整数n ，()()x v x u n n ≤，证明当级数()x v n ∑在I 上一致收敛时，级数()x u n ∑在I 上也一致收敛.。
(2021年整理)数学分析(3)试卷及答案
祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）数学分析(3)试卷及答案的全部内容。
数学分析（3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项:1. 考试时间：120分钟。
2. 试卷含三大题,共100分.3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分）1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
5、 设L 是从点(0，0）到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题（每题8分，共56分）1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xyy x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sine 02⎰∞+---。
提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22.5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
山西省运城市学院附属中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析
山西省运城市学院附属中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A ． B．高考资源网C ．D ．参考答案：B略2. 点A，B ，C ，D在同一球面上，，若四面体ABCD 体积最大值为3，则这个球的表面积为A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π参考答案：D由体积最大得高为3，得3. 已知函数，若，则实数等于（）A． B． C．2 D．9参考答案：C 考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.4. 若点是函数的一个对称中心，则（）A．B． C. 1 D．-1参考答案：D∵点是函数的一个对称中心∴，即.∴故选D.5. 设函数的导函数为，对任意都有成立，则（）A. B.C. D. 与大小不确定参考答案：C6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且,，则△ABC的面积为（）A．3 B．C．3 D．参考答案：B7. 已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于( )A.{2}B.{1，2}C.{2，3}D.{1,2,3}参考答案：选A. P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q={-3,2},P∩Q={2}.8. 函数y=x2﹣ln|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C，根据函数最值即可得到答案【解答】解：由函数y=x2﹣ln|x知x≠0，排除B、C．当x＞0时，y=x2﹣lnx，，知当时，函数y=x2﹣lnx取得极小值，故选A．9. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，在底面△ABC中，∠C=60°，，则此直三棱柱的外接球的表面积为（）A．B．C．16πD．参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的小圆半径为1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面小圆ABC的半径为=1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为： =2，外接球的表面积为：4π?22=16π．故选C．10. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是=0.95x+a，则当x=6时，y的预测值为（）参考答案：B考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：线性回归方程=0.95x+a，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值．解答：解：由已知可得==2，==4.5∴=4.5=0.95×+a=1.9+a∴a=2.6∴回归方程是=0.95x+2.6当x=6时，y的预测值=0.95×6+2.6=8.3故选：B．点评：本题考查线性回归方程，是一个运算量较大的题目，有时题目的条件中会给出要有的平均数，本题需要自己做出，注意运算时不要出错．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为.参考答案：试题分析：因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，故总体中的个体数为.考点：分层抽样.12. 如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A ，点B ，C 在圆O 上，圆C 在第一象限，且B （，﹣），∠AOC=α，BC=1，则cos （﹣α）= ．参考答案：﹣【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【分析】由题意求得∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（﹣α）=sin∠AOB=，利用诱导公式化简可求cos （﹣α）的值．【解答】解：如图，由B （，﹣），得OB=OC=1，又BC=1， ∴∠BOC=，∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin （﹣α）=sin∠AOB=，∴cos（﹣α）=cos[（﹣α）+]=﹣sin （﹣α）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查诱导公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题．13. 椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。
解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。
……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。
解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。
……(3分） 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
运城学院数学分析期末试题1-13
运城学院应用数学系2009—2010学年第一学期期末考试《数学分析1》试题（B ）适用范围：数学与应用数学专业 0901、0902班 命题人：王文娟、王莲花信息与计算科学专业 0903班 审核人：一、判断题（每题2分，共20分）1、只有严格单调函数才有反函数. （ ）2、{}n a a -是无穷小量，则a 是{}n a 的极限. （ ）3、无界的数列必发散. （ ）4、若a 是数集S 的上确界，则a 是S 中的最大数. （ ）5、若lim ,lim ,n n n n x A y B →∞→∞==且,N n N ∃>时n n x y >，则A B ≥. （ ） 6、|()|f x 在点0x 处连续，则()f x 在0x 也连续. （ ）7、若对0,ε∀>()f x 在[],a b εε+-上连续，则()f x 在(,)a b 上连续. （ ） 8、()f x 在(,)a b 内连续，则(0)f a +与(0)f b -存在，则()f x 在(,)a b 内一致连续. （ ） 9、()f x 在点0x 处可导，则()f x 在0x 处连续. （ ）10、函数的稳定点必是函数的极值点. （ ）二、填空题（每空2分，共20分）1、(1)|,nE n N n +⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭则inf E =____________.2、arcsin(lg )10x y =的定义域是____________. 3、1sin 0()_______0m x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.(0)m >4、0,G ∀> 则lim ()x f x →+∞=+∞. 5、10lim(1)xx x →-=________. 6、sin 2sin x x -与x 是0x →时的____________无穷小. 7、'0()f x +与'0()f x -存在且相等是'0()f x 存在的____________条件.8、若()f x 在[],a b 上连续，()()0,()f a f b f x ⋅<在(,)a b 内严格单调，则()f x 在(,)a b 内只有 个根.9、()f x 与()g x 在区间I 上可导，且''()(),f x g x x I ≡∈，则在I 上()f x = ________.10、若()f x 在0x 可微，则0limx y dy x ∆→∆-=∆________. 三、计算题（每题5分，共30分）1、求221111333lim 1111555n n n →∞++++++++. 2、求4x →. 3、求lim (arctan )2x x x π→+∞-. 4、sin 322(arctan )x y x e =++，求0|x dy =.5、()ln ,f x x x =求()(),3n f x n >.6、33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，求22d y dx . 四、解答下列各题（每题6分，共12分）1、求ln x 在3x =处带皮亚诺余项的Taylor 公式.2、讨论10()10x x f x x +≥⎧=⎨<⎩在0x =处的连续性与可导性. 五、证明题（每题6分，共18分）1、利用归结原则证明lim sin x x →+∞不存在. 2、证明:()sin f x x =在(,)-∞+∞上一致连续.3、利用拉格朗日中值定理证明：ln ln ,0.b a b a b a a b b a--<-<<<。
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
数学分析期末复习题
13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题2. 求隐函数(组)的一阶偏导数3. 求抽象函数的二阶偏导数4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5. 求函数的极值6. 计算第一型曲面积分7. 计算第二型曲面积分8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1. 用定义证明多元函数的极限2. 证明多元函数的连续性3. 研究含参量积分的一致收敛性4. 证明含参量非正常积分的连续性5. 三重积分的证明题6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题7. 证明二重极限不存在8. 多元函数的可微性证明例题一、计算题1. 全微分计算题公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+uz∂∂dz 。
例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。
2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e z x +=，求yx z ∂∂∂2。
例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dxdz。
3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xye )，求yx u∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。
山西省运城市学院附属中学高一数学文期末试卷含解析
山西省运城市学院附属中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）斜率为l且原点到直线距离为的直线方程为（）A．x+y+2=0或x+y﹣2=0 B．x+y+=0或x+y﹣=0C．x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0 D．x﹣y+=0或x﹣y﹣=0参考答案：C考点：直线的一般式方程；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：知道直线的斜率设出直线方程：x﹣y+b=0，利用点到直线的距离公式求得b即可．解答：解：因为直线的斜率是1，故设直线的方程为：x﹣y+b=0，原点到直线的距离：=，解得：b=±2，故选C．点评：本题考查了直线方程的求法，考查了点到直线的距离公式，是基础题．2. 函数的图象大致是（）参考答案：B3.参考答案：C略4. 函数的图象的大致形状是（）参考答案：D略5. 如果，那么（）A． B． C． D．在方向上的投影相等参考答案：D6. ﹣=（）A．2lg5 B．0 C．﹣1 D．﹣2lg5参考答案：B【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数性质、运算法则求解．【解答】解：﹣=lg50﹣1﹣（1﹣lg2）=lg5﹣1+lg2=0．故选：B．7. 如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（）A． B． C． D．或参考答案：D略8. 下列四个命题中正确的是（）A．函数y=tan（x+）是奇函数B．函数y=|sin（2x+）|的最小正周期是πC．函数y=tanx在（﹣∞，+∞）上是增函数D．函数y=cosx在每个区间[2kπ+π，2kπ+]（k∈z）上是增函数参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；阅读型；三角函数的图像与性质．【分析】运用奇函数的定义，即可判断A；运用周期性的定义，计算f（x+）=f（x），即可判断B；由正切函数的单调性，即可判断C；由余弦函数的单调增区间，即可判断D．【解答】解：对于A．由于f（﹣x）=tan（﹣x+）≠﹣f（x），则不为奇函数，故A错；对于B．由于f（x+）=|sin[2（x+）+]|=|sin[π+(2x+)]|=|sin（2x+）|=f（x），则为它的最小正周期，故B错；对于C．函数y=tanx在（kπ-，kπ+）（k∈Z）上是增函数，故C错；对于D．函数y=cosx在[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）上是增函数，故D对．故选D．【点评】本题考查三角函数的图象和性质及运用，考查三角函数的周期性、奇偶性和单调性的判断，属于基础题和易错题．9. 已知函数y=x2﹣2x+3在[0，a]（a＞0）上最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．0＜a≤2C．1≤a≤2D．0≤a≤2参考答案：C【考点】3W：二次函数的性质．【分析】先求出函数f（x）的最小，正好为了说明[0，a]包含对称轴，当x=0时 y=3，根据对称性可知当x=2时 y=3，结合二次函数的图象可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+3是开口向上的抛物线，对称轴 x=1，当 x=1时函数取得最小值 f（1）=1﹣2+3=2，∵y=x2﹣2x+3在[0，a]上最小值为2，∴a≥1；当x=0时 y=3 函数y=x2﹣2x+3在（1，+∞）上是增函数，当x=2时 y=4﹣4+3=3，当x＞2时 y＞3，∵函数y=x2﹣2x+3在[0，a]上最大值为3，∴a≤2 综上所述1≤a≤2．故选：C．【点评】二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．10. 在平行四边形ABCD中，BD为一条对角线，若，(－3,－5）则( ) A．（－2，－4） B．(1,3) C．（3，5） D．（2，4）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 经过三点的圆的方程是. 参考答案：12. 已知，则______________．参考答案：略13. 若,,则最小值是_参考答案：14. 在等比数列{a n}中，，则．参考答案：由等比数列的性质得，∴，∴.15. 函数的定义域为▲.参考答案：略16. 把函数的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：①该函数的解析式为；；②该函数图象关于点对称；③该函数在上是增函数；④函数在上的最小值为，则．其中，正确判断的序号是______．参考答案：②④【分析】先把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，再根据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解。
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2006—2007学年第一学期
应用数学系05级01、02、03班数学分析Ⅲ试题B
一、单选题 （每小题2分，共10分）
1、函数),(y x f 在点),(00y x 处不连续，则),(y x f 在该点处（ ）
A ．必无定义
B ．极限必不存在
C ．偏导数必不存在
D ． 必不可微
2、),(y x f 在点),(y x 的两个二阶混合偏导数),(y x f xy 与),(y x f yx 都存在， 则),(y x f xy 与),(y x f yx 在点),(y x 连续是),(y x f xy =),(y x f yx 的（ ）
A ．必要条件 B. 充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
3、若极限（ ）存在，则称该极限值为函数),(y x f 在点),(00y x 对x 的偏导数
A ．x
y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 B. x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 0000 C. x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 D. x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000
4、 ⎰+-=L y x ydx xdy I 2
2 其中L 为任意不通过原点的连续闭曲线，且L 的方向为顺时针方向，则（ ）
A ．因为y
P x Q ∂∂=∂∂ 所以0=I B. π2-=I
C. 因为 x Q ∂∂与y
P ∂∂在L 内不连续，所以I 不存在 D. 在L 内不含原点时，0=I ；在L 内含原点时，0≠I
5、 由分片光滑的封闭曲面S 所围立体的体积公式是 （ ）
A ． ⎰⎰++S xdxdy zdzdx ydydz 31 B. ⎰⎰++S
ydxdy xdzdx zdydz 31 C.
⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz 31 D. ⎰⎰++S ydxdy zdzdx xdydz 31 二、判断题 （每小题2分，共10分）
1、三角多项式∑++=)sin cos (2
)(0kx B kx A A x T k k n 的傅里叶级数展开式 就是它本身。
（ ）
2、坐标平面上的有界无限点集至少有一个聚点。
（ ）
3、若函数),(y x f 在点),(00y x 的两个累次极限),(lim lim 0
0y x f y y x x →→与),(lim lim 00y x f x x y y →→都不存在，则其二重极限必不存在。
（ ）
4、当),(y x f 在其定义域的内点),(00y x 连续时，),(0y x f 在0x 和),(0y x f 在0y 都连续。
（ ）
5、若),(y x f 在点),(00y x 的两个一阶偏导数都存在，则函数在该点一定可微。
（ ）
三、填空题 （每小题2分，共20分）
1、)ln(),(x y y x f -=的定义域是__________ 。
2、
=→x y y x 1sin lim )0,0(),(______ 。
3、设32),,(z y x z y x f ++= 则在)1,1,1(0P 处沿方向→
l （方向角为00060,45,60）的方向导数
=∂∂→)1,1,1(l f ________ 。
4、=++⎰→dx x 1022011
lim αα____________。
5、xy e z = 则=dz ________ 。
6、若曲线积分⎰L ds y x f ),(与⎰L
ds y x g ),( 都存在，且在曲线L 上有),(),(y x g y x f ≤，则⎰L ds y x f ),( ⎰L
ds y x g ),(。
7、作适当变换 可将积分⎰⎰-+D
dxdy
y x y x )sin()(简化，其中{}ππ
≤-≤≤+≤=y x y x y x D 00),(。
8、=+Γ)1(n 9、设),(y x P 与),(y x Q 在单连通闭域D 上连续，且具有一阶连续偏导数，x
Q y P ∂∂=∂∂ ，则对D 内任意一条按段光滑的封闭曲线L 有⎰=+L
Qdy Pdx 。
10、⎰⎰=D
dxdy y x f I ),( 21:22≤+≤y x D 用坐标替换计算，I 的累次
积分为 。
四、计算及应用题 （每小题6分，共18分）
1、s t y e x y x z s t +==+=+222)ln( 求t
z ∂∂ 2、求曲线t z t t y t x 22cos cos sin sin ===在4
π=t 处的切线与法平面方程。
3、求22)(4),(y x y x y x f ---=的极值。
五、应用及计算题 （每小题7分，共28分）
1、将x x f =)(在),(ππ-上展成傅里叶级数。
2、计算⎰+L
xdy ydx sin ，其中L 为x y sin = )0(π≤≤x 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向。
3、求由平面1=++z y x 与三个坐标面所围立体的体积。
4、计算⎰⎰++S
zdxdy ydzdx xdydz 其中S 上半球面222y x a z --=的外
侧 )0(>a 。
六、证明题 （每小题7分，共14分）
1、证明 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00
0),(22222
2y x y x y x xy y x f 在原点不连续。
2、证明⎰
+∞-02dy e y x 在[]4,2上一致收敛。
命题人：王文娟。