常系数高阶线性非齐次微分方程

南阳理工学院

本科生毕业设计（论文）

学院：数理学院

专业：数学与应用数学

学生：王灿灿

指导教师：童姗姗

完成日期: 2014 年 05 月

南阳理工学院本科生毕业设计（论文）

常系数高阶线性非齐次微分方程

的若干类型研究

Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation

总计：毕业设计（论文）20页

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南阳理工学院本科毕业设计（论文）

常系数高阶线性非齐次微分方程

的若干类型研究

Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation

学院：数理学院

专业：数学与应用数学

学生姓名：王灿灿

学号： 105100140078

指导教师（职称）：童姗姗(讲师)

评阅教师：

南阳理工学院

Nanyang Institute of Technology

常系数高阶线性非齐次微分方程

的若干类型研究

数学与应用数学专业王灿灿

[摘要]本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。

[关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法

Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation

Mathematic and Applied Mathematics WANG Can-can

Abstract:This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the

inconvenience. Therefore, this kind of certain types of differential equations using a new method: ascending order and differential operator method. These two methods to overcome the shortcomings of traditional solution, and the wide scope of application, a small amount of computation is simple, improve the speed and accuracy of solving higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation.

Keywords:Higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equations; ascending order; differential operator method

目录

前言 (1)

1常系数高阶线性非齐次微分方程的传统解法 (2)

1.1待定系数法 (2)

1.2常数变易法 (6)

2、常系数高阶线性非齐次微分方程若干类型的新解法 (9)

2.1升阶法 (9)

2.2微分算子法 (13)

3、新解法相比传统解法优点 (18)

结束语 (18)

参考文献 (19)

致谢 (20)

前言

常微分方程已有悠久的历史，继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程是常微分方程，他以非凡的积分技巧解决了它，从而在理论上证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。

嗣后，许多数学家，例如伯努利、欧拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等，都遵循历史传统，把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题，在这些问题中通常离不开常微分方程的求解问题。海王星的发现是通过对常微分方程的近似计算得到的，这曾是历史上的一段佳话。在上世纪早期，柯西给微积分学注入了严格性的要素，同时他也为微积分的理论奠定了一个基石—解的存在性和唯一性定理。到上世纪末期，庞卡来和李雅普诺夫分别创立了常微分方程的定性理论和稳定性理论，这些工作代表了当时非线性力学的最新方法。

本文研究常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题。对于这类微分方程的求解，关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，在其基础上再求非齐次微分方程的特解。通解的求法本文只做初步研究，利用本文所给方法可以求得所有常系数高阶线性非齐次微分方程的通解。

针对在高等数学的其它分支及相关学科中常常出现求解高阶非齐次线性微分方程及一阶非齐次线性微分方程组的问题，将一阶非齐次线性微分方程的常数变易法推广到高阶非齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程组，得出了其通解公式，并通过实例进行了验证。利用归并法是把常系数非齐次线性微分方程的非齐次项所列类型归并成一种形式，利用待定系数法很容易求出特解；公式法则是通过变换将二阶常系数非齐次线性微分方程转化为一阶线性方程，从而得出通解公式。这两种方法简单易记，计算方便，适用范围广，而且都可以推广到任意高阶常系数非齐次线性微分方程中去。

对于常系数高阶线性非齐次微分方程的特解的求解方法，一般教科书介绍的是待定系数法和常数变易法。这些方法虽然各有千秋，但存在共同的缺点：不是准备知识过多或过程太长，就是演算过繁，给学习、使用带来不便。本文在避免这些弊端的基础上先探索出用升阶法求特解的方法，所谓升阶法即是通过对原方程两边同时多次微分，直至出现常数为止。在微分过程中，函数的阶数升高了。接着为了使得计算量小且计算更加简便，本文进一步探索引入新的符号，这即是本文研究的求特解的第二种方法，用微分算子法求常系数高阶线性非齐次微分方程的特解。此微分算子法进一步解决了计算量的问题。总之，本文研究的两种方法不失为求解高阶线性非齐次微分方程特解的好方法。