扩展有限元的基本知识1

扩展有限元的基本知识
制作时间：2014.12.12
有限元在处理间断问题的缺陷
有限元采用的是连续性的位移近似函数，对于裂 纹类强间断问题，为获得足够的计算精度，需要 对网格进行足够的细分，计算量极大。 采用拉格朗日法求解裂纹动态扩展、流固耦合、 局部剪切等特大变形问题时，有限元网格可能会 发生严重扭曲，使计算精度急剧下降甚至计算无 法继续，因此，需要不断的进行网格重构、计算 量极大，同时，也为了模拟裂纹的动态扩展过程， 也需要不断的进行网格重构。
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单元分解函数
扩展有限元近似函数的基础是单元分解法。单元分 解法使用一些以节点 xi 为中心的子域 i 来覆盖整 个求解区域即 n
i
i 1
在每个子域 i上定义一个仅在该子域内非 零的函数 i (x) ，并且它们满足单位分解条 件： n 则函数集 {i (x)}in1 称为属于开 (x) 1
扩展有限元的概念
扩展有限元（XFEM）：是在标准有限元方法的 框架下，提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹 杂等间断问题的数值方法。在有限元的近似函数 中，增加能反映待求问题特性的附加函数项，采 用水平集法（LSM）描述间断面的几何特征及其 移动规律。
扩展有限元的优点
• 计算精度高 • 勿需网格重构
扩展有限元的提出
1999年，美国西北大belytschko 研 究组提出的扩展有限元。借助于对 研究问题的已有认识，在满足单位 分解的前提下，在位移近似函数中 增加更能反映实际间断特征的函数 项（称为富集函数）提高了计算精 度。采用水平集法（LSM）或快速 推进法（FMM）描述间断界面，使 间断的描述独立于有限元网格，避 免了计算过程中的重构。

i 1
i
n { (x)} 覆盖 i 的单位分解函数。 i 1
设函数 Vi (x) 为函数u (x) 在子域i 内的近似函 数，则函数u (x) 在求解域 的全局近似可取为
u (x) i (x) Vi (x)
i 1 n
i 中逼近u (x) 在单位分解法中，任何能够在子域 的函数都可以作为局部近似函数。