电磁场习题解读
电磁场例题讲解1
• 例题3 自由空间中一长度为 2L的均匀带电直线段， 所带电量为Q，求直线外 任一点处的电场强度。
分析
• 1、因为直导线的电场具有轴对称性，所以 选用圆柱坐标系。 • 2、 由于导线长度有限,虽然电场关于z轴对 称，但是沿z方向，电场是变化的，找不到 处处与电场垂直、而且电场幅度相等的简 单的闭合面。本题利用积分求和的方法求 解导线上各点的电荷在空间任一点所产生 的总电场。
• 设矢径R与Z轴间的夹角为 ，则
• 3.经积分求得整个线段在P点处产生的电场 强度
由图可知距离R与夹角
及坐标r之间的关系为
，
，
将这些关系式代入积分式中得
式中
和
分别为线段上下端点到场点的矢径与Z轴间的夹角。
讨 论
• 对上述结果有两点可进行讨论： • （1）如果线段的长度2L远远大于场点到Z 轴的距离r，则在直线段中部附近电场，应 与例1中得到的结果近似相等，因为如果线 段长度2L趋于无穷，即 时，
• 2.如果距离R远远大于直线段长度2L，则在 很远处电场的解为
利用二项式展开，取一次项近似得：
该结果与点电荷产生的电场相同
由此可以看出，尽管实际上不存在真正的点 电荷因为即使带电量最小的单个电子体积也并非 为零，也不可能存在真正的无限长的带电直线， 但这些理想情况的假设却有其实际背景的，利用 它们可使问题分析得到简化。
可见，静电场中旋度源处处为零。
例2由电场强度求空间电荷分布
• 已知自由空间球坐标系中电场分布：
求空间各处体电荷密度分布 由电场散度与电荷源的关系，可由已知电场分布确 定空间体电荷题3：证明：由点电荷q所产生的电场，其电场 强度 的旋度在空间处处为零。 证明：已知点电荷q的电场 在球坐标系中求旋度（见球坐标旋度表示式）。 因为点电荷的 ，且 所以
电磁场的典型练习题及解答
电磁场的典型练习题及解答电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流所产生的电场和磁场的相互作用规律。
在学习电磁学的过程中，练习题是检验我们对理论知识掌握的有效方法。
本文将介绍一些典型的电磁场练习题，并给出详细的解答，帮助读者加深对电磁场的理解。
1. 题目：一根无限长直导线产生的电场强度已知一根无限长直导线，导线上带有均匀分布的电荷线密度λ。
求导线距离d处的电场强度E。
解答：根据库仑定律可知，电场强度E与电荷线密度λ成正比，与距离d 成反比。
所以可以得出结论：电场强度E和d满足反比关系。
2. 题目：两个点电荷的叠加效应已知两个点电荷q1和q2，分别位于坐标原点和坐标轴上一点P(x,0)。
求点P处的电场强度E。
解答：根据叠加原理，点P处的电场强度E等于点电荷q1和q2分别在点P处产生的电场强度之和。
由库仑定律可知，点电荷产生的电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
根据该性质，可以分别求出点电荷q1和q2在点P处产生的电场强度，再将两者相加得到点P处的总电场强度。
3. 题目：平行板电容器的电场强度已知一对平行板电容器，两平行板间距离为d，电容器的电容为C。
求平行板电容器中的电场强度E。
解答：根据平行板电容器的结构特点，可知平行板电容器中的电场强度E对于两平行板之间的距离d是均匀的，且大小与电容C的倒数成正比。
所以可以得出结论：电场强度E和d满足正比关系，与电容C成正比。
4. 题目：磁场的洛伦兹力已知带电粒子以速度v在磁场B中运动，其电荷量为q。
求带电粒子所受的洛伦兹力F。
解答：根据洛伦兹力的定义，带电粒子所受的洛伦兹力F等于其电荷量q与速度v以及磁场B的矢量积。
通过对矢量积的计算，可以得到带电粒子所受的洛伦兹力F的大小和方向。
5. 题目：安培环路定理的应用已知一安培环路中有多个电流元素，它们的电流分别为I1，I2，I3...In。
求安培环路中的磁场强度B。
解答：根据安培环路定理，安培环路中的磁场强度B与电流元素的电流之和成正比。
高中物理电磁场题解析
高中物理电磁场题解析电磁场是高中物理中一个重要的知识点，涉及到电荷、电场、磁场等概念和相互作用。
在考试中，电磁场题目往往涉及到电场强度、电势、电荷分布、电场线、磁感应强度等内容。
下面我将结合具体题目，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧。
一、电场强度和电势1. 题目：一均匀带电球面，半径为R，总电荷为Q。
在球面上某点A的电场强度为E，求球心的电场强度。
解析：这道题目考察了电场强度的叠加原理。
由于带电球面是均匀的，所以球面上任意一点的电场强度大小是相等的，即E。
根据叠加原理，球心的电场强度等于球面上各点电场强度的矢量和，即E。
2. 题目：在无限大平面上有一个均匀带电面，面电荷密度为σ。
求离平面距离为d处的电场强度。
解析：这道题目考察了电场强度的计算。
由于面电荷是均匀的，所以可以使用高斯定律。
取一个以平面为底面、高为d的长方体高斯面，根据高斯定律可知，电场强度的大小等于电通量除以高斯面积，即E = σ/2ε0，方向垂直于平面向上。
3. 题目：在电势为V的点电荷附近，距离为r处的电势是多少？解析：这道题目考察了电势的计算。
根据电势的定义，电势等于电场强度乘以距离，即V = kQ/r，其中k为比例常数。
根据题目给出的条件，可以直接计算出电势。
二、电荷分布和电场线1. 题目：一根无限长的直导线，线密度为λ，求距离导线r处的磁感应强度。
解析：这道题目考察了磁感应强度的计算。
根据比奥-萨伐尔定律，磁感应强度的大小等于电流元除以距离的平方乘以μ0，即 B = (λ/2πr)μ0，方向垂直于导线。
2. 题目：一根无限长的直导线，电流为I，求距离导线r处的磁感应强度。
解析：这道题目考察了磁感应强度的计算。
根据安培定理，磁感应强度的大小等于电流除以距离乘以μ0，即B = (I/2πr)μ0，方向按右手螺旋法确定。
三、电磁场的相互作用1. 题目：一根无限长的直导线，电流为I，与一根平行的无限长直导线，电流为2I，距离为d。
电磁学第四版赵凯华习题解析
电磁学第四版赵凯华习题解析第一章电磁场的基本概念题1.1解析：该题主要考察对电磁场基本概念的理解。
根据定义，电场强度E是单位正电荷所受到的电力，磁场强度B是单位长度为1、电流为1的导线所受到的磁力。
因此，电场强度E与电势差V之间的关系为E=-dV/dx，磁场强度B与安培环路定律有关，即B=μ₀I/2πr。
答案：电场强度E与电势差V之间的关系为E=-dV/dx，磁场强度B与安培环路定律有关，即B=μ₀I/2πr。
题1.2解析：该题考查对电场线和磁场线的基本理解。
电场线从正电荷出发，指向负电荷；磁场线从磁南极指向磁北极。
在非均匀磁场中，电荷的运动轨迹会受到磁场的影响，当电荷的运动速度与磁场垂直时，洛伦兹力提供向心力，使电荷沿磁场线运动。
答案：电场线从正电荷出发，指向负电荷；磁场线从磁南极指向磁北极。
在非均匀磁场中，电荷的运动轨迹会受到磁场的影响，当电荷的运动速度与磁场垂直时，洛伦兹力提供向心力，使电荷沿磁场线运动。
第二章电磁场的基本方程题2.1解析：该题考查对高斯定律的理解。
根据高斯定律，闭合曲面所包围的电荷量与该曲面上的电通量成正比，即∮E·dA=Q/ε₀。
其中，E为电场强度，dA为曲面元素，Q为曲面内的电荷量，ε₀为真空电容率。
答案：根据高斯定律，闭合曲面所包围的电荷量与该曲面上的电通量成正比，即∮E·dA=Q/ε₀。
题2.2解析：该题考查对法拉第电磁感应定律的理解。
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E与磁通量变化率ΔΦ/Δt成正比，即E=ΔΦ/Δt。
其中，E为感应电动势，ΔΦ为磁通量的变化量，Δt为时间变化量。
答案：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E与磁通量变化率ΔΦ/Δt成正比，即E=ΔΦ/Δt。
第三章电磁波的传播题3.1解析：该题考查对电磁波的基本理解。
电磁波是由振荡的电场和磁场组成的横波，其传播速度为光速c，波长λ与频率f之间的关系为c=λf。
电磁波在真空中的传播不受阻碍，但在介质中传播时，其速度会发生变化。
电磁场原理习题与解答(第5章)
第五章习题答案5-2 如题图所示，一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。
在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。
这一装置称为法拉第发电机。
试证明两电刷之间的电压为22ωBa 。
证明：，选圆柱坐标， ρφe vB e B e v B v E z ind=⨯=⨯=其中 φρωe v=22ωρρωρερρa B d B e d e v B l d E aal ind====⎰⎰⎰∙∙∴证毕 5-3解：5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm r 11=、cm r 42=，长度cm l 5.0=，极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V t 10026000u πsin =。
求s t 0.1=时极板间任意点的位移电流密度。
解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。
忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为τ，外导体电荷为τ-，因题图5-2zvρ此有ρρπετe 2E 0=21r r <<ρ1200222121r r d dl E u r r r r lnπετρρπετ===⎰⎰∙1202r r u ln=∴πετ所以ρρer r u E 12 ln =， ρρεer r u D 12ln=2A/mρρππρερεe t 10010026000r r e tu r r tD J 1212dcos ln ln ⨯=∂∂=∂∂=当s t 1=时2512A/m10816100100260004108584ρρρππρe e J d--⨯=⨯⨯⨯⨯=.cos ln .解法二：用边值问题求解，即⎪⎩⎪⎨⎧=====∇401u 02ρϕρϕϕ 由圆柱坐标系有0)(1=∂∂∂∂ρϕρρρ(1)解式(1)得 21ln c c +=ρϕ由边界条件得： 4u c 1ln -= u c 2=u 4u +-=∴ρϕln ln所以 ρρπϕe 4t10026000Eln sin =-∇=ρρπεεe 4t 100260004E D 0ln sin ==ρπρπεe 1004t 100260004t D J 0D⨯=∂∂=ln cos当s t 1=时)(.25D mAe 10816J ρρ-⨯=5-5由圆形极板构成的平板电容器)(d a >>见题图所示，其中损耗介质的电导率为γ、介电系数为ε、磁导率为μ，外接直流电源并忽略连接线的电阻。
电磁场与电磁兼容习题答案与详解第2章
电磁场与电磁兼容习题答案与详解-第2章第2章：电磁场基础知识1.题目：电场强度的方向与电荷正负有关吗？答案：是的，电场强度的方向与电荷的正负有关。
正电荷的电场强度方向指向远离电荷的方向，负电荷的电场强度方向指向靠近电荷的方向。
详解：电场强度的方向由正电荷指向负电荷，这是由于电荷之间存在相互作用力。
根据库仑定律，同性电荷之间的相互作用力是斥力，异性电荷之间的相互作用力是吸引力。
电场强度的方向就是这种相互作用力的方向。
2.题目：什么是电场线？答案：电场线是描述电场强度方向的线条。
在电场中，电场线的方向与电场强度的方向一致，电场线之间不会相交。
详解：电场线是静电场中电场强度方向的图形表示。
它可以用来表示电场强度的大小和方向。
电场线的方向由正电荷指向负电荷，线的密度表示电场强度的大小。
电场线之间不会相交，这是因为在相交点上电场强度有多个值，与实际不符。
3.题目：什么是电场强度？答案：电场强度是描述电场对单位正电荷施加的力的大小和方向。
详解：电场强度是电场的物理量，它表示电场对单位正电荷施加的力的大小和方向。
电场强度的单位是牛顿/库仑。
电场强度的方向由正电荷指向负电荷。
4.题目：电场强度与电场线之间的关系是什么？答案：电场强度和电场线是相互对应的。
电场强度的方向与电场线的方向一致，电场线的密度表示电场强度的大小。
详解：电场强度和电场线是相互对应的。
电场强度的方向由正电荷指向负电荷，电场线的方向也是由正电荷指向负电荷。
电场线的密度表示电场强度的大小，密度越大，表示电场强度越大。
5.题目：电场强度的大小与电荷量有关吗？答案：是的，电场强度的大小与电荷量有关。
在距离电荷越远的地方，电场强度越小；在距离电荷越近的地方，电场强度越大。
详解：电场强度的大小与电荷量有关。
根据库仑定律，电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
在距离电荷越远的地方，电场强度越小；在距离电荷越近的地方，电场强度越大。
电磁场习题解读
电磁场习题解读静电例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A=?解：由已知q1所受静电力例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。
证明：空间任一点电势整理可得：上式为球面方程：球心坐标球面半径例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。
将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。
A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过部分的电场通量1?Φ，求:通过其余部分的电场通量2?Φ。
解：由高斯定理∑=?=ΦSiie q S d E 0ε ，00=Φ∴=∑eii q，12120?Φ-=Φ∴=?Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两棒间的静电力。
q 2x od n n 1(22- 、0、0） 04)2(420322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε=qnq U U U -+=22202220)(44z y d x qz y x nq ++--+++=πεπε0=令 222222)(z y d x qz y x nq ++-=++∴[]2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 12-=n nd R S ?S ?解：任意一根棒上一段电荷元在其延长线上一点产生场强dE: xl x dlE d ?)(420-=πελ，?-=∴Ll x dlE 020)(4πελLl x 00)(4-=πελ--=x L x 1140πελ则棒2受棒1静电力：?=f d f，其中df 是棒2上一段电荷元所受棒1的静电力E dq df ?=dx x L x λπελ--=1140 ， dx x L x f aL aL--=?++114202πελ)2()(ln 4202a L a a L ++=πελ例6 .无限长共轴直圆筒，半径为R1，R2，均匀带正电，单位长度电量分别为λ1，λ2，设外筒电势为0，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。
电磁场原理习题与解答(第2章)
(4)长圆柱中，有体密度为的电荷，与它偏轴地放有一半 径为a的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d，如图2-6所示，求 空洞内的电场强度。 x y o
b (b)0 x y o d ( c) 图2-6 (a) 解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称 性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满，使圆柱体内 无空洞，然后再令空洞中充满-，并单独作用，分别求出两种场的分布 后叠加即可。设空洞内的电场强度为。 第一步 单独作用，如图（b）所示， 由体密度为的电荷产生的电场强 度为，由高斯定理
将电位参考点设在外导体上，即 则 ， ， 即 ，所以，内，外
2-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图2-9所示，介电常数 , 内、外导 体单位长度上所带电荷分别为和 （1）求两种电介质中以及 和处的电场强度与电通密度；
（2）求两种电介质中的电极化强度； （3）问何处有极化电荷，并求其密度。 解： (1)由高斯定理可得：
因此
(3) 球内电场， （r<a）
球外电场，由高斯定理：
， （r>a） 或
2-8 具有两层同轴介质的圆柱形电容器，内导体的直径为2cm，内层介 质的相对介电常数，外层的相对介电常数，要使两层介质中的最大场强 相等，并且内层介质所承受的电压和外层介质相等，问两层介质的厚度 各为多少？ 解：以圆柱心为坐标原点，径向为轴，设单位长度上带电荷为，由高斯 定理，。 ，，
2-32 空气中，相隔1cm的两块平行导电平板充电到100V后脱离电 源，然后将一厚度为1mm的绝缘导电片插入两极间，问：
（1）忽略边缘效应，导电片吸收了多少能量？这部分能量起到了什 么作用？两板间的电压和电荷的改变量各为多少？最后存储在其中的能 量多大？
电磁场与电磁波习题讲解
电磁场与电磁波习题讲解静电场的基本内容2.7 半径分别为a和b（a>b），球心距离为c（c<a-b）的两球面间均匀分布有体密度为ρV的电荷，如图所示。
求空间各区域的电通量密度。
解：由于两球面间的电荷不是球对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为b的小球面内看作同时具有体密度分别为±ρV的两种电荷分布，这样在半径为a的大球体内具有体密度为ρV的均匀电荷分布，而在半径为b的小球体内则具有体密度为－ρV的均匀电荷分布。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
以球体a的球心为原点建立球坐标系，设场点为P(r)，场点到球体b球心的距离矢量为r’。
分三种情形讨论。
如果场点位于大球体外的区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于大球体内的实心区域，则大小球体产生的电场强度分别为如果场点位于小球体内的空腔区域，则大小球体产生的电场强度分别为恒定电场的基本内容2.17一个有两层介质(ε1, ε2)的平行板电容器，两种介质的电导率分别为σ1和σ2，电容器极板的面积为S，如图所示。
在外加电压为U时，求：(1)电容器的电场强度；(2)两种介质分界面上表面的自由电荷密度；(3)电容器的漏电导；(4)当满足参数σ1ε2=σ2ε1时，问G/C=?（C为电容器电容）。
恒定磁场的基本内容4.4如果在半径为a，电流为I的无限长圆柱导体内有一个不同轴的半径为b的圆柱空腔，两轴线间距离为c，且c+b<a。
求空腔内的磁通密度。
解：将空腔中视为同时存在J和-J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为a 的圆柱内，另一个电流密度为-J、均匀分布在半径为b的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
首先，面电流密度为其次，设场点为P(r)，场点到圆柱a轴心的距离矢量为ρ，到圆柱b轴心的距离矢量为ρ’。
(优选)电磁场课后习题详解.
第 二 章 恒定电场
2-1电导率为 的均匀、各向同性的导体球，其表面上的电位为 0 cos ，其
中 r, , 是球坐标的一个变量。试决定表面上各点的电流密度 J 。
解： 利用 J 与 E的关系，再利用 E和 的关系可以解决此问题。
E
(
r
er
1 r
e
1
r sin
e )
1 r
0
sin e
J
C1
U (1
1)
5.95
4 2
C3
1 2
C1
32.26
C2
U
2
C1
20.65
C4 0
由此可得弧片内的电位分布为
1 5.95 20.65 V
2 32.26 V
⑵
E
1
e
再利用分界面上电流密度的衔接条件
J1n J2n
弧片内的总电流
I
J dS
s
R2 R1
C1 1
dd
C11d ln
a (3Ar2 ) 4 r2dr
00
12 A a5t
5
故 Q 24 Aa5
t
2-4 同轴线内、外导体半径分别为 a和 b ，期间充填介质的电导率为 ，内、外
导体间的电压为 U 0，求此同轴线单位长度的功率损耗。
解： 在 a b的范围内，选一个单位长度的圆柱面，假设通过其上的漏电流
为 I0，可以得到
只与坐标 有关，而与坐标 无关。将系统分为两个均匀的导体媒质区域，其
边值问题为
21
1
2
21 2
0
R1
R2，4
22212 Nhomakorabea22 2
电磁场习题解2(下)解读
2-36.由无限大的导电平板折成45 的角形区，在该角形区中某一点(x y z 000,,)有一点电荷q ，用镜像法求电位分布。
解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x y z 000,,)，在圆柱坐标系中为),,(000z ϕρ，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为00;z z i i ==ρρ 7,1 =i;270;180;180;90;90005004003002001ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=+=-=+=-= 07006;270ϕϕϕϕ-=+=镜像电荷为q q q q q q q q q q q q q q -==-==-==-=7654321;;;;;;对于场点),,(z y x ，电荷到场点的距离矢量为z z z y y y xx x r i i i i ˆ)(ˆ)(ˆ)(-+-+-=；7,0 =i 则场点的电场为∑==70304)(i i i r r q r E πε题2-36图 题2-37图2-37.半径为a ，带电量为Q 的导体球附近距球心f 处有一点电荷q ，求点电荷q 所受的力。
解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷'q 的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷"q 的力。
由镜像法，镜像电荷'q 的大小和位置分别为fa d q f a q 2;'=-= 由于包围导体球的总电量为Q ，所以位于位于球中心的点电荷"q =Q-'q ;因此点电荷q 受到的力为])(//[4ˆ220d f f aq f f aq Q q x F --+=πε 2-38.内外半径分别为a 、b 的导电球壳内距球心为d(d<a)处有一点电荷q ，当(1)导电球壳电位为零；(2)导电球壳电位为V ；(3)导电球壳上的总电量为Q ；分别求导电球壳内外的电位分布。
解：（1）导电球壳电位为零由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。
电磁学课后习题答案及解析
第五章 静 电 场5 －9若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：<1>在棒的延长线,且离棒中心为r 处的电场强度为<2>在棒的垂直平分线上,离棒为r 处的电场强度为若棒为无限长<即L →∞>,试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元d x ,其电荷为d q ＝Q d x /L ,它在点P 的电场强度为整个带电体在点P 的电场强度接着针对具体问题来处理这个矢量积分.<1>若点P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同,<2>若点P 在棒的垂直平分线上,如图<A >所示,则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P 的电场强度就是证 <1>延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεq E 202d ,利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量,则 ()220022204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.<2>根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为利用几何关系 sin α＝r /r ′,22x r r +='统一积分变量,则当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图<B >］.这说明只要满足r 2/L 2＜＜1,带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 －14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量.分析方法1：由电场强度通量的定义,对半球面S 求积分,即⎰⋅=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而解1由于闭合曲面内无电荷分布,根据高斯定理,有依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向,解2取球坐标系,电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①5 －17设在半径为R 的球体内,其电荷为球对称分布,电荷体密度为k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析通常有两种处理方法：<1>利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布,因而电场分布也是球对称,选择与带电球体同心的球面为高斯面,在球面上电场强度大小为常量,且方向垂直于球面,因而有2S π4d r E ⋅=⋅⎰S E 根据高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E ,可解得电场强度的分布. <2>利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳,球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2,每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ,而在球壳外激发的电场由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布解1因电荷分布和电场分布均为球对称,球面上各点电场强度的大小为常量,由高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E 得球体内<0≤r ≤R > 球体外<r ＞R >解2将带电球分割成球壳,球壳带电由上述分析,球体内<0≤r ≤R >球体外<r ＞R >5 －20一个内外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳,总电荷为Q 1,球壳外同心罩一个半径为R 3的均匀带电球面,球面带电荷为Q 2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？试分析.分析以球心O 为原点,球心至场点的距离r 为半径,作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布,电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等.因而24d r πE ⋅=⎰S E .在确定高斯面内的电荷∑q 后,利用高斯定理∑⎰=0/d εq S E 即可求出电场强度的分布.解取半径为r 的同心球面为高斯面,由上述分析r ＜R 1,该高斯面内无电荷,0=∑q ,故01=ER 1＜r ＜R 2,高斯面内电荷()31323131R R R r Q q --=∑ 故 ()()23132031312π4rR R εR r Q E --= R 2＜r ＜R 3,高斯面内电荷为Q 1,故r ＞R 3,高斯面内电荷为Q 1＋Q 2,故电场强度的方向均沿径矢方向,各区域的电场强度分布曲线如图<B >所示.在带电球面的两侧,电场强度的左右极限不同,电场强度不连续,而在紧贴r ＝R 3的带电球面两侧,电场强度的跃变量这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果,且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳,壳层内外的电场强度也是连续变化的,本题中带电球壳内外的电场,在球壳的厚度变小时,E 的变化就变陡,最后当厚度趋于零时,E 的变化成为一跃变.5 －21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R 1和R 2＞R 1>,单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：<1>r ＜R 1,<2> R 1＜r ＜R 2,<3>r ＞R 2.分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必定沿轴对称分布,取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且⎰⋅=rL E d π2S E ,求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理r ＜R 1,0=∑q 在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变 R 1＜r ＜R 2,L λq =∑r ＞R 2,0=∑q 在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变这与5－20题分析讨论的结果一致.5 －22如图所示,有三个点电荷Q 1、Q 2、Q 3沿一条直线等间距分布且Q 1＝Q 3＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q 1、Q 3的情况下,将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析由库仑力的定义,根据Q 1、Q 3所受合力为零可求得Q 2.外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值,即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：<1>根据功的定义,电场力作的功为 其中E 是点电荷Q 1、Q 3产生的合电场强度.<2>根据电场力作功与电势能差的关系,有其中V 0是Q 1、Q 3在点O 产生的电势<取无穷远处为零电势>.解1由题意Q 1所受的合力为零解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加,Q 1、Q 3激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为将Q 2从点O 沿y 轴移到无穷远处,<沿其他路径所作的功相同,请想一想为什么？>外力所作的功为解2与解1相同,在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=,并由电势的叠加得Q 1、Q 3在点O 的电势将Q 2从点O 推到无穷远处的过程中,外力作功比较上述两种方法,显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大,而求电势分布要简单得多.5 －23已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为为电荷线密度.<1>求在r ＝r 1和r ＝r 2两点间的电势差；<2>在点电荷的电场中,我们曾取r →∞处的电势为零,求均匀带电长直线附近的电势时,能否这样取？试说明.解 <1>由于电场力作功与路径无关,若沿径向积分,则有<2>不能.严格地讲,电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线,而此时电荷分布在无限空间,r →∞处的电势应与直线上的电势相等.5 －27两个同心球面的半径分别为R 1和R 2,各自带有电荷Q 1和Q 2.求：<1>各区域电势分布,并画出分布曲线；<2>两球面间的电势差为多少？分析通常可采用两种方法<1>由于电荷均匀分布在球面上,电场分布也具有球对称性,因此,可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面,借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布,再由⎰∞⋅=p p V l E d 可求得电势分布.<2>利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面,在球面外产生的电势为在球面内电场强度为零,电势处处相等,等于球面的电势其中R 是球面的半径.根据上述分析,利用电势叠加原理,将两个球面在各区域产生的电势叠加,可求得电势的分布.解1 <1>由高斯定理可求得电场分布由电势⎰∞⋅=r V l E d 可求得各区域的电势分布.当r ≤R 1时,有当R 1≤r ≤R 2时,有当r ≥R 2时,有<2>两个球面间的电势差解2 <1>由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内,即r ≤R 1,则若该点位于两个球面之间,即R 1≤r ≤R 2,则若该点位于两个球面之外,即r ≥R 2,则<2>两个球面间的电势差第六章 静电场中的导体与电介质6 －1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近,则导体B 的电势将〔 〔A 升高 〔B 降低 〔C 不会发生变化 〔D 无法确定分析与解不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
电磁场原理习题与解答(第2章)
由
所以： 第二步 单独作用产生的电场强度为，如图（c）所示。
第三步 将和在空洞中产生的场进行叠加，即 注： 2-7半径为 a介电常数为ε的介质球内，已知极化强度 （k为常数）。 试求：（1）极化电荷体密度和面密度 ；
（2）自由电荷体密度 ； （3）介质球内、外的电场强度。 解：(1) ，
（2） 因为是均匀介质，有
的电场与方位角无关，这样处取的元电荷，它产生的电场与点电荷产生
的场相同，为：
z
y
l/2
图2-2长直线电荷周围的电场
l/2
P
其两个分量：
（1）
（2）
又
所以：
（3）
式（3）分别代入式（1）（2）得：
；
（4）
又
（5）
式（5）代入式（4）得：
由于对称性，在z方向 分量互相抵消，故有
（2）建立如图所示的坐标系
应用叠加原理计算电场强度时，要注意是矢量的叠加。
2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示， 试写出电位和电场的表达式。 解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电 位公式得：
又，
题图2-4
2-5解， (1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U0后将ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ源拆去，各极 板带电情况如图（1）所示
解：设导电平板的面积为S。两平行板间的间隔为d=1cm。显然， 绝缘导电片的厚度。平板间的电压为。
（1） 忽略边缘效应，未插入绝缘导电片时
插入导电片后
所以，导电片中吸收的能量为
这部分能量使绝缘导电片中的正、负电荷分离，在导电片进入极板间 时，做机械工。
电磁场习题解答.
流密度。
解：利用J 与E 的关系，再利用E与的关系可以解
决此问题。
E
(
r
er
1 r
e
1
r sin
e )
1 r
0
sin e
J
rE
r
0
sin e
2-2.一半径为a的均匀带电体，总带电量为Q，
该球绕直径以角速度 旋转。求：（1）球内
各处的电流密度 J;（2）通过半径为a的半圆
解：先讨论球壳接地的情况。由于球壳接地，球壳外的电 场 E 0 。求点电荷所受的力时，只需求球壳内的场，球 壳的厚度c是没有影响的。应用镜像法，在球壳外距球心
d R2 a
处，放置一点电荷 q ' d q
b
该点电荷位于球心与点电荷q的连线上。它对点电荷q 的作用力就是球壳对点电荷q的作用力，大小为
外导体间加电压U0，求非理想介质中各点的 电位和电场强度。
解：设两导体之间的漏电流为I，由于系统的轴对称
性，电流密度沿径向，且只与 有关，由此可得：
J
I
2l
e
式中l为圆柱的长度。
E
J
I
2 l
e
若以外导体为电位参考点，在R1 R2内，任一
点的电位：
R2 Ed I ln R2
2 l
已知内外导体的电压为U0，可得：
确定了电轴的位置，就可求出圆柱内任一点的电位为：
(x, y) ln (x b)2 y2 20 (x b)2 y2
1-15.一半径为a的球壳，同心地置于半径为b的球 壳内，外壳接地。一点电荷放在内球内距其球心 为d处。问大球内各点的电位为多少？
工程电磁场习题解答1
=
t
ln R2
+
r
é ê
R
2
-
R12
-
2R12
ln
R
2
ù ú
2pe R1 4e ë
R1 û
( ) \
t
=
U12
-
r 4e
R2
- R12
2pe
ln R2
+
r 2e
R12
R1
( ) 将式(1-27)代入式(1-26)中，得：
E(R)
=
U12
-
r 4e ln
R22 R2
-
R12
+
rR 2e
(R 1 á R á R
的内半径为 R2，其间绝缘介质的电容率为ε ，试确定其中电场强度与电压的关系。
解 作半径为 R 的同轴圆柱面，R1<R<R2。设缆芯单位长度上的电荷量为τ ，由高斯定理，
t
D= ÞE= t
2pR
2peR
两柱面间的电压：
U12
=
òRR12 E
× dR
=
t 2pe
òRR12
dR R
=
t 2pe
ln
R2 R1
\D
=
t 2pR
(R1 áRáR 2
),
E
=
D e
=
t 2peR
第 7 题图
R1áRáR 0 , E1
=
t 2per1e0R
=
2 ´103 R
(V / m)
R
=
R1+ , E1
=
4´105(V /
m); R
=
周希朗《电磁场》部分习题解答有详细过程[1]
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1-5： 解: x yz u u uu a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ 22222266x y z xy z a x yz a bx y za =++ 在点(1,1,1)p -处 ()666p x y z u a a a∇=+- 3()p x y z a a a a ∴=+- ()63p u ∇=。
1-18：（1）y x zA A A A x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ 22222272x x y x y z =++ （2）111222111222124VAdv Adxdydz ---∇⋅=∇⋅=⎰⎰⎰⎰（3）123123s s s sA ds A ds A ds A ds ⋅=⋅+⋅+⋅+⎰⎰⎰⎰456456s s s A s A ds A ds ⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰=22123412341111()()4444x x x x y y y y s s s s a a ds a a ds x a a ds x a a ds ⋅+⋅-+⋅+⋅-⎰⎰⎰⎰ 2222565633z z z z s s x y a a ds x y a a ds +⋅+-⋅⎰⎰=1111111444848484824-+-++= ∴ VsA d v A d s∇⋅=⋅⎰⎰散度定理成立。
xy1-21 解：22,x y A a x a xy =+ xdl dxa =+22A dl x dx xy dy ⋅=+ （1）22()llA dl x dx xy dy ⋅=+⎰⎰20lx dx =⎰2222llxy dy a y y dy =±-⋅⎰⎰设 sin ,y a θ= 则cos x a θ=12342222ll l l l xy dy xy dy xy dy xy dy =+++⎰⎰⎰⎰⎰32422422422422223022sin cos sin cos sin cos sin cos a d a d a d a d πππππππθθθθθθθθθθθθ=+++⎰⎰⎰⎰42440211(1cos 4)|0884a a d a πππθθθ=-==⎰（2）lsA dl A ds⋅=∇⨯⋅⎰⎰2-4 不失一般性 设点204l R dydE a R ρπε=对称取dz ，dE 的z 方向抵消，只剩R a 方向分量。
电磁场理论习题及答案6解读
1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。
当该导线以速度24x y m v e e s=+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求感应电动势。
2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。
当其在恒定磁场0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。
3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。
4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J tρ∂∇⋅=-∂。
5.设真空中电荷量为q 的点电荷以速度()v vc 向正z 方向匀速运动，在0t =时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。
R6.已知自由空间的磁场为0cos()/y H e H t kz A m ω=-式中的0H 、ω、k 为常数，试求位移电流密度和电场强度。
7. 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。
8.由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。
9.如图所示，同轴电缆的内导体半径1a mm =，外导体内半径4b mm =，内、外导体间为空气介质，且电场强度为 8100cos(100.5)/r E e t z V m r=- （1）求磁场强度H 的表达式 （2）求内导体表面的电流密度； （3）计算01Z m ≤≤中的位移电流。
10.试由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。
11.如图所示，两种理想介质，介电常数分别为1ε和2ε，分界面上没有自由电荷。
在分界面上，静电场电力线在介质2,1中与分界面法线的夹角分别为1α和2α。
求1α和2α之间的关系。
12.写出在空气和∞=μ的理想磁介质之间分界面上的边界条件。
13.在由理想导电壁)(∞=r 限定的区域a x ≤≤0内存在一个由以下各式表示的电磁场：)cos()cos()sin()sin()()sin()sin()(000t kz axH H t kz a xa k H H t kz a xa H E z x y ωπωππωππμω-=-=-=这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？14.设电场强度和磁场强度分别为)cos()cos(00m e t H t E ψωψω+=+=证明其坡印廷矢量的平均值为)cos(2100m e av H E S ψψ-⨯=15.一个真空中存在的电磁场为0sin x E e jE kz = 0cos H e E kz ε= 其中2//k c πλω==是波长。
电磁场理论习题解读
电磁场理论习题解读思考与练习⼀1．证明⽮量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ++=B 相互垂直。
2. 已知⽮量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两⽮量的夹⾓。
3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明⽮量A 和B 处处垂直。
4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的⼀般表达式。
5．根据算符?的与⽮量性，推导下列公式：()()()()B A B A A B A B B A ??++??+=??)(()()A A A A A 2??-?=21 []H E E H H E -=6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()dud u u A A ??=??，()[]0=z ,y ,x A 。
7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的⽅向规定为从源点指向场点。
证明下列结果，R R R R =?'-=?， 311R R R R-=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??RR R R )0(≠R （最后⼀式在0=R 点不成⽴）。
8. 求[])sin(0r k E 及[])sin(0r k E ，其中0E a ,为常⽮量。
9. 应⽤⾼斯定理证明 =??v sd dV f s f ，应⽤斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s Ldl dS ??。
10.证明Gauss 积分公式[]+???=??s Vdv d ψφψφψφ2s 。
11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F 、()3212q ,q ,q f ?的表达式。
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静电例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A= 解：由已知q1所受静电力例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。
证明：空间任一点电势整理可得： 上式为球面方程：球心坐标 球面半径例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。
将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。
A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量1∆Φ，求:通过其余部分的电场通量2∆Φ。
解：由高斯定理⎰∑=⋅=ΦSiie q S d E 0ε ，00=Φ∴=∑eii q，12120∆Φ-=Φ∴=∆Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两棒间的静电力。
q 2x od n n 1(22- 、0、0） 04)2(420322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε=qnq U U U -+=22202220)(44z y d x qz y x nq ++--+++=πεπε0=令 222222)(z y d x qz y x nq ++-=++∴[]2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 12-=n nd R S ∆S ∆解：任意一根棒上一段电荷元在其延长线上一点产生场强dE: xl x dlE d ˆ)(420-=πελ，⎰-=∴Ll x dlE 020)(4πελLl x 00)(4-=πελ⎪⎭⎫⎝⎛--=x L x 1140πελ则棒2受棒1静电力：⎰=f d f，其中df 是棒2上一段电荷元所受棒1的静电力E dq df ⋅=dx x L x λπελ⋅⎪⎭⎫⎝⎛--=1140 ， dx x L x f aL aL ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎰++114202πελ)2()(ln 4202a L a a L ++=πελ例6 .无限长共轴直圆筒，半径为R1，R2，均匀带正电，单位长度电量分别为λ1，λ2，设外筒电势为0，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。
解：电场具有对称性，利用叠加原理求场强： 当r<R1时，E1=0； 当R1 <r<R2时，rE 0122πελ=； 当r>R2时, rE 02122πελλ+=；然后用线积分求电势分布，当r<R1⎰⋅=21R Pl d E V ⎰⎰⋅+⋅=121R r R R l d E l d E ⎰+=210120R R rdr πελ1201ln 2R R πελ= 当R1 <r<R2时, ⎰⋅=22R pl d E V ⎰=2012R r rdr πελr R 201ln 2πελ= 当r>R2时，⎰⋅=22R pl d E V ⎰+-=r R r dr 20212πελλr R2021ln 2πελλ+=筒间电势差U ∆即r=R1处的电势1201ln 2R RU πελ=∆ 选做题1、半径为R 的均匀带电圆面，电荷的面密度为σe ， （1）球轴线上离圆心的坐标为x 处的场强；（2）在保持σe 不变的情况下，当R 分别趋于0和∞时，结果各如何？（3）在保持总电荷Q=πR2不变的情况下，当R 分别趋于0和∞时，结果各如何？ （4）求轴线上电势U （x ）的分布，并画出U-x 关系曲线。
2、半径为R1的导体球带有电荷q ，球外有一个内外半径分别为R2、 R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q ，（1）求两球的电势U1和U2；（2）以导线把球和壳接在一起后， U1和U2分别是多少？ （3）在（1）中，若外球接地，则U1和U2分别是多少？ （4）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？[例题1 ] 设电偶极子的两电荷-q 和+q 间的距离为l ，求距离电偶极子远处的电势和场强的分布。
[解] ( 1 ) 电势分布设场点P 到q ±的距离分别为+r 和-r ，则q ±单独存在时P 点的电势为±±=r q U 041επ. 根据电势叠加原理，有-++=U U U )11(40-+-=r r q επ. 电偶极子的中点O 到场点P 的距离为r , 按题意l r >>，于是有：θcos 2lr r -≈+,θcos 2lr r +≈-;θcos l r r ≈-+-,2r r r ≈-+.将它们代入U 的表达式，可得200cos 44r p q r r r r q U θεεππ≈-=-++-04r q r p ⋅π=ε,电偶极子在远处的性质是由它的电偶极矩l p q =决定的。
( 2 ) 场强分布由于轴对称性，U 与方位角ϕ无关，采用平面极坐标系，其极轴沿电矩p ，原点O 位于电偶极子的中心。
场强E 的两个分量分别为： 30cos 241r p r U E r θεπ=∂∂-=,30sin 411r p U r E θεθθπ=∂∂-=,在电偶极子的延长线上，有：0=θE ，30241r p E E r επ==； 在电偶极子的中垂面上，2π=θ，有：0=r E ，3041r p E E εθπ==. [例题2] 一示波器中阳极A 和阴极K 之间的电压是3000 V ，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。
[解] 电子带负电，C 1060.119e -⨯-=-=e q，所以它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K 出发到达阳极 A. 于是，J )0003()1060.1(19KA KA -⨯⨯-=-=-U e AJ 1080.416-⨯=.电场力作功使电子动能增加，因此电子到达阳极时获得的动能为 J1080.42116KA 2e -⨯=-=U e v m .又，电子质量kg 1011.931e -⨯=m ，所以电子到达阳极时的速率为m/s1025.3m/s 1011.91080.42271316eKA⨯=⨯⨯⨯=-=--m U e v .元电荷C 1060.119-⨯=e 是电子和质子等微观粒子带电的基本单位。
任何一个带有电量e 的粒子，只要飞越一个电势差为1 V 的区间，电场力就对它作功J 1060.1J 11060.11919--⨯=⨯⨯=A ,从而该微观粒子本身就获得了这么多的能量。
在近代物理学中，常把这个能量称为1 eV (电子伏特)，即J 1060.1eV 191-⨯=.[例题三]设想一厚度l 均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷e σ± ——电偶极层,如图，求P 点的电势和场强。
解：⎰='0''41)(S e r dS p U σπε⎰-+'0)(41S e r dS σπε⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=Se dS r r 1'1410σπε从图中看：θθ,cos 'l r r +≈为矢径r 与d S 法线n 之间的夹角，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈+=+≈r l r rr l r r θθθcos 11)1(1cos 1'122c o s1'1c o s 1r l r r r l r θθ-=-⇒-=，代入)(p U ⎰-=Se r dS l p U 2cos 41)(θσπε Ωd rdS=2cos θ 定义电偶极层强度：——单位面积上的电偶极矩l e e στ≡ΩΩ0044)(πετπετe S e d p U -=-=⎰P 点的电场强度Ω∇=-∇=04)(πετe p U E讨论： 1） 电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关； 2）几何上决定，电偶极层两侧立体角有π4-的跃变：面元dS 在垂直于矢径r 方向的投影曲面S 对场点P所张的立体角负电荷一侧：0,0cos ,2/,cos 2>=∴><=⎰Sd rdS d ΩΩΩθπθθ ；正电荷一侧：0,0cos ,2/,cos <=∴<>=⎰Sd rdS d ΩΩΩθπθθ 具体考察图中两点－立体角＋立体角ΩΩ−−→−−−→−-+P P ，当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差：π4=+=-+-+-ΩΩΩΩ 电偶极层两侧的电势跃变： 00044)(4)()(ετππετπετee e p U pU =⨯=--=--+-+ΩΩ 稳恒磁场定理及定律：洛伦兹力公式：B v q E q f⨯+=安培定律 ：B l Id F d⨯=毕—萨定理：2ˆ4rr l Id B d ⨯=πμ 几种典型电流的B 分布： 一段载流直导线：)sin (sin 4120ββπμ-=aIB 圆电流圈的圆心和轴线上：())(222/32200不必记轴线中心xR ISB R I B +==πμμ例题1、如图在半径为R 的圆周上，a 、b 、c 三点依次相隔90°，a 、c 两处有垂直纸面 向里的电流元。
求：b 点磁感应强度 解: 2024R Idl dB dB l Id l Id πμ==' ；2224220⋅⨯=R Idl dB πμ2024R Idl πμ=例题2、 无限长载流圆柱体，半径R ，通以电流I ，电流均匀分布在截面上，现在圆柱体挖去一半径为b 的小圆柱体，其轴线相互平行，且相距a(a+b<R),设挖去小圆柱体后，余下部分电流密度不变，p 点在o’o 的延长线上op=a 。
求：Bp=?解：电流均匀分布的无限长载流柱体的磁场分布为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<≤<≤=r R r I Rr R Ir B πμπμ202020；此题相当于电流流向相反的大小两载流柱体产生磁场的叠加a I R Ia B 222020πμπμ'-=∴22R b I I ππ=')2(2220ab a R I -πμ 例题3、 载流方线圈边长2a,通电流I,求：中心o 处磁感应强度解：O 点B 为四段有限长直载流导线产生的磁感应强度的叠加，方向相同，所以104B B =]sin [sin 44120θθπμ-⨯=a I[])45sin(45sin 4400--⨯=o a I πμaI πμ02=方向： 例题4、无限长直电流I1在纸面内，无限长直电流I2与纸面垂直，并与I1相距d ， P 点纸面内与I1I2的距离均为d 。