数值计算方法--绪论

绝对误差、相对误差与有效数字
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若近似值 x 的绝对误差限不超过小数点后第n * n 位数字的半个单位，即 ε = 1 × 10 − 。则 x 称 精确到小数点后第n位。 2 * 若近似值 x 的绝对误差限不超过某一位数字的 * 半个单位，而从该位数字到 x (从左边起)的第 一个非零数字共有n位，则称 x * 具有n位有效 数字。
绝对误差、相对误差与有效数字
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绝对误差： * * e = x −x 设 x 是真值x 的一个近似值，则称 为 x * 关于x的绝对误差 绝对误差限 * | e | = | x − x |≤ ε 。这个 ε 给出一个正数 ，使 正数 也就是绝对误差绝对值的一个上 * 界，称为近似值 x 的绝对误差限。在工程 技术上常将上述不等式表示为
例：近似值 50.3 与50.300 不一样，后者有五位有效数 字，而前者仅有三位有效数字。
*
数值运算中误差传播规律
误差传播的一般规律 � 四则运算中的误差传播 ①加、减运算中的误差传播 ②乘法运算中的误差传播 ③除法运算中的误差传播
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数值运算中误差传播规律
误差传播的一般规律 y = f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 设变量 y 与有 x1 , x2 , ⋯ xn 函数关系： * * ( x1* , x2 , ⋯ , xn ) 是 ( x1 , x2 , ⋯, xn ) ，相应的解为：
n
*
* 1
* 2
* n
* * * * ¶ f ( x , x , ⋯ , x ) x * * 1 2 n i er ( y* ) » d ln f ( x1* , x2 , ⋯, x * ) = × × e ( x n å r i) * ¶xi y i=1
n
数值运算中误差传播规律
加、减运算中的误差传播：
背景基础
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《高等数学》、《线性代数》 （或《数学分析》、《空间解析几何》、 《高等代数》）
基本要求
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从算法层面上：面对一个计算问题，如何计 算？ 从理论层面上：为什么这样计算？
课程计划
计算方法是工科数学教育中经典的教学课程 一学期32个课时，每周4课时 内容：第1-9章 科目成绩：平时成绩（30%）， 期末（70%）
误差的来源及分类
1、误差的来源 1) 模型误差：数学模型与实际问题之间带来的； 2) 参量误差 ：由变量的观测值带来的； 3) 截断误差：由数值计算方法带来的； 截断误差 4) 舍入误差：由计算工具带来的； 2、误差的分类: 模型误差和观测误差统称为系统误差，而将截断 误差和舍入误差统称为方法误差。 本课程只讨论方法误差。
ε
x = x ±ε
*
*
绝对误差、相对误差与有效数字
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相对误差
设 x *是真值
e x −x er = = x x 相对误差，通常用
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x* 的一个近似值 ，则
称为近似值 代替 e
x e x*
x
*的
相对误差限 正数 ε r ，使
。满足 上述不等式的正数，称为近似值的相对误差限。
e x* − x | er | =| * | =| |≤ ε r * x x
选用数值稳定性好的算法
wk.baidu.com近两数应避免相减
相近两数应避免相减
绝对值相对太小的数不宜作除数
要防止大数 “吃掉”小数的危害
使用计算复杂性好的算法
几种常用数学软件平台
决数学问题）
（用计算机解
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公共的基础软件：BASIC，FORTRAN，C， Pascal 矩阵实验室系统： Matlab ，Scilab， Octave， SAS、SPSS等 计算机代数系统：
客观现象、数学模型、数学工具、数值逻辑 对应表：
客观现象 确定性现象 非确定随机 性现象 非确定性非 随机性现象 数学模 型 白箱 黑箱 灰箱 数学工具 经典数学 数值逻 辑
经典逻 辑 概率论与数理统计 （或0-1 逻辑） 灰色控制系统、 Fuzzy数学、可拓 学等 非经典 逻辑
绪论
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研究怎样把各种数学问题的求解运算归结为按照 一定顺序进行的对有限数位的数的一系列四则运 算及一些逻辑运算(即算法) ，然后编出程序并上 机算出结果。其根本任务就是研究算法，即如何 构造与分析算法。 计算方法就是研究各种数学问题的数值解或近似 数值解、算法分析等的一门课程，又可称为数值 计算方法或数值分析。它以数学理论为基础，而 以计算机为计算工具，重点研究求解数学问题的 数值算法及其理论。
课程特色
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第一、提供可靠的计算理论依据。如算法的 收敛性和稳定性，数值计算的误差分析； 第二、提高计算效率。比如，在计算复杂度 相同的前提下如何获得精度更高的数值解， 或者在数值解精度要求一定的前提下如何提 供计算复杂度小、存储量少的算法。 第一、面向计算机。根据计算机的特点设计 实际可行的算法。 第四、有数值实验。任何算法除了从理论上 要满足上述三点外，都需要通过数值实验证 明是行之有效的。
数值运算中误差传播规律
乘法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
除法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的绝对误差限：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的相对绝对误差限：
数值运算中应注意的原则
� 选用数值稳定性好的算法 � 相近两数应避免相减 � 绝对值相对太小的数不宜作除数 � 要防止大数“吃掉”小数的危害 � 使用计算复杂性好的算法
数值计算方法
� 主讲：唐旭清
� Email:
txq5139@jiangnan.edu.cn txq5139@gmail.com
� 教材：1)《数值计算方法
》, 北理工出版社 ,丁丽娟; 2) 《数值计算方法 》,江南大 学，蔡日增
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用数学方法解决实际问题的过程：实际问题 →建立数学模型→确定数值计算方法 →编程 并计算近似解
* * * * * y* = f ( x1* , x2 , ⋯ , xn )。假设函数在 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 处可微，则
有：
* * ¶f ( x1* , x2 , ⋯, x n ) e( y ) » df ( x , x ,⋯, x ) = å × e ( xi* ) ¶xi i=1
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Mathematic，
Maple Lindo
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交互式数学系统：MathCAD，Calcwin
作业：书后练习 弄清楚几个基本概念
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差与有效数字 概念及计算 数值运算中误差传播规律 数值运算中应注意的原则 （5个）
谢谢大家！