数值计算方法--绪论
数值计算1-5章
数值计算1-5章数值计算⽅法第1章绪论1.1数值计算⽅法的研究对象和特点数值计算⽅法也称数值分析，它研究⽤计算机求解各种数学问题的数值⽅法及其理论。
数学学科内容⼗分⼴泛，数值计算⽅法属于计算数学的范畴，这⾥只涉及科学和⼯程计算中常见的数学问题，如函数的插值、逼近、离散数据的拟合、数值积分与数值微分、线性和⾮线性⽅程数值解法和矩阵特征值问题数值解法和微分⽅程数值解法等.由于计算机科学与技术的迅速发展，数值计算⽅法的应⽤已经普遍深⼊到各个科学领域，很多复杂和⼤规模的计算问题都可以在计算机上进⾏计算，新的、有效的数值⽅法不断出现.现在，科学与⼯程中的数值计算已经成为各门⾃然科学和⼯程技术科学研究的⼀种重要⼿段，成为与实验和理论并列的⼀个不可缺少的环节.所以，数值计算⽅法既是⼀个基础性的，同时也是⼀个应⽤性的数学学科分⽀，与其他学科的联系⼗分紧密.⽤数值⽅法求解数学问题⾸先要构造算法，即由运算规则（包括算术运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程.同⼀个数学问题可能有多种数值计算⽅法，但不⼀定都有效.评价⼀个算法的好坏主要有两条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价.我们⾃然应该选择代价⼩⼜能满⾜精度要求的算法.计算代价也称为计算复杂性，包括时间复杂性和空间复杂性.时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数决定.空间复杂性好是指节省存储量，主要由使⽤的数据量决定.⽤计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多⽅⾯的理论问题，例如，算法的收敛性和稳定性等.除理论分析外，⼀个数值⽅法是否有效，最终要通过⼤量的数值实验来检验.数值计算⽅法具有理论性、实⽤性和实践性都很强的特点.作为数值计算⽅法的基础知识，本课程不可能⾯⾯俱到.除构造算法外，各章根据内容⾃⾝的特点，讨论的问题有所侧重.学习时我们⾸先要注意掌握⽅法的基本原理和思想，要注意⽅法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论.其次，要通过例⼦，学习使⽤各种数值⽅法解决实际计算问题，熟悉数值⽅法的计算过程.最后，为了掌握本课程的内容，还应做⼀定数量的理论分析与计算练习.1.2数值计算的误差1.2.1误差的来源应⽤数学⼯具解决实际问题，⾸先，要对被描述的实际问题进⾏抽象、简化，得到实际问题的数学模型.数学模型与实际问题之间会出现的误差，我们称之为模型误差.在数学模型中，通常要包含⼀些由观测数据确定的参数.数学模型中⼀些参数观测结果⼀般不是绝对准确的.我们把观测模型参数值产⽣的误差称为观测误差.例如，设⼀根铝棒在温度t时的实际长度为Lt,在t=0时的实际长度为L0，⽤lt来表⽰铝棒在温度为t时的长度计算值，并建⽴⼀个数学模型l t =L(1+at), a≈0.0000238/℃,其中a是由实验观测得到的常数，a∈[0.0000237,0.0000239],则称Lt -lt为模型误差，a-0.0000238是a 的观测误差.在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因⽽不易获得分析解，这就需要建⽴⼀套⾏之有效的近似⽅法和数值⽅法.我们可能⽤容易计算的问题代替不易计算的问题⽽产⽣误差，也可能⽤有限的过程代替⽆限的过程⽽产⽣误差.我们将模型的准确解与⽤数值⽅法求得的准确解之间的误差称为截断误差或⽅法误差.例如，对函数()()35721sin 13!5!7!21!n x x x xn x x n +=-+-+++-+,该式右边有⽆限多项，计算机上⽆法计算.然⽽，根据微积分学中的泰勒（Taylor ）定理，当|x |较⼩时，我们若⽤前3项作为sin x 的近似值，则截断误差的绝对值不超过77!x .⽤计算机做数值计算时，⼀般也不能获得数值计算公式的准确解，需要对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字.我们将计算过程中取有限位数字进⾏运算⽽引起的误差称为舍⼊误差.例如，13=0.33333…,如果我们取⼩数点后4位数字，则13-0.3333=0.000033…就是舍⼊误差.在数值分析中，除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满⾜精度要求，这就是误差估计问题.在数值计算⽅法中，主要讨论的是截断误差和舍⼊误差.1.2.2 误差与有效数字定义1.1 设x 是某实数的精确值，A x 是它的⼀个近似值，则称x -A x 为近似值A x 的绝对误差，或简称误差.Ax x x-称为x A 的相对误差.当x =0时，相对误差没有意义.在实际计算中，精确值x 往往是不知道的，所以通常把AAx x x -作为A x 的相对误差.定义1.2 设x 是某实值的精确值，A x 是它的⼀个近似值，并可对A x 的绝对误差作估计|x -A x |?A ε，则称εA 是A x 的绝对误差界,或简称误差界.称AAx ε是A x 的相对误差界.例 1.1 我们知道π=3.1415926…,若取近似值πA =3.14,则π-πA =0.0015926…,可以估计绝对误差界为0.002，相对误差界为0.0006.例 1.2 测量⼀⽊板长是954 cm,问测量的相对误差界是多⼤？解因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界⼀般不超过最⼩刻度的半个单位，所以当x =954 cm 时，有A ε=0.5 cm ，其相对误差界为0.50.00052410.053%954AAx ε==< .定义1.3 设A x 是x 的⼀个近似值，将A x 写成12100.,k A i x a a a =±? , (1.1) 它可以是有限或⽆限⼩数的形式，其中i a (i =1,2,…)是0，1，…，9中的⼀个数字，1a ≠0,k 为整数.如果|x －A x |?0.5×10k n -,则称A x 为x 的具有n 位有效数字的近似值.可见，若近似值A x 的误差界是某⼀位的半个单位，该位到A x 的第⼀位⾮零数字共有n 位,则A x 有n 位有效数字.通常在x 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采⽤四舍五⼊的原则，不难验证，采⽤四舍五⼊得到的近似值，其绝对误差界可以取为被保留的最后数位上的半个单位.例如|π－3.14|?0.5×210-, |π－3.142|?0.5×310-.按定义，3.14和3.142分别是具有3位和4位有效数字的近似值.显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差界就越⼩，反之也对.下⾯，我们给出相对误差界与有效数字的关系.定理1.1 设x 的近似值A x 有(1.1)式的表达式. (1) 如果A x 有n 位有效数字,则 111×102A nAx x x a --≤; (1.2)(2) 如果()111×1021A nAx x x a --≤+, (1.3)则A x ⾄少具有n 位有效数字.证由(1.1)式可得到()111--?+≤≤?k A k a x a . (1.4)所以，当A x 有n 位有效数字时11110.5101×10,×102k nA nk Ax x x a a ----?≤=即(1.2)式得证.由(1.3)式和(1.4)式有()()nk nk AAA A a a x x x x x x ---?=?+?+≤-=-105.0101211011111,即说明A x 有n 位有效数字，(2)得证.例1.30.1%,应取⼏位有效数字？解由于因此1a =4,设有n 位有效数字，则由(1.2)式，可令11110a -?≤,即410n -?18,得n ?4.故只要对4位有效数字，其相对误差就可⼩于0.1%,4.472.例1.4 已知近似数A x 的相对误差界为0.3%，问A x ⾄少有⼏位有效数字？解设A x 有n 位有效数字，由于A x 的第⼀个有效数1a 没有具体给定，⽽我们知道1a ⼀定是1,2,…,9中的⼀个，由于()12311101000210291A Ax x x --≤<=+,故由(1.3)式知n=2,即A x ⾄少有2位有效数字.1.2.3 函数求值的误差估计对⼀元函数ｆ(x )，⾃变量x 的⼀个近似值为A x ，以ｆ(A x )近似ｆ(x )，其误差界记作ε(ｆ(A x )).若ｆ(x )具有⼆阶连续导数，ｆ′(A x )与ｆ″(A x )的⽐值不太⼤，则可忽略|x -A x |的⼆次项，由Taylor 展开式得到ｆ(A x )的⼀个近似误差界ε(ｆ(A x ))≈|ｆ′(A x )|ε(A x ).对n 元函数ｆ(x 1,x 2,…,x n )，⾃变量x 1,x 2,…,x n 的近似值分别为x 1A ,x 2A ,…,x n A ，则有()()()12121,,,,,,nn A A nA k kA k k Af f x x x f x x x x x x=??-≈- ∑ ,其中()12,,,A A nA k k f f x x x x x A.因此，可以得到函数值的⼀个近似误差界()()()121,,,nAA nA kA k k Af f x x x x x εε=??≈ ∑. 特别地，对ｆ(x 1,x 2)=x 1±x 2有ε(x 1A ±x 2A )=ε(x 1A )+ε(x 2A ).同样，可以得到ε(x 1A x 2A )≈|x 1A |ε(x 2A )+|x 2A |ε(x 1A ),()()12211222A A A A A A A x x x x x x x εεε+??≈，20A x ≠例1.5 设有长为l,宽为d 的某场地.现测得l 的近似值l A =120 m,d 的近似值d A =90 m ，并已知它们的误差界为|l-l A |?0.2 m,|d-d A |?0.2 m.试估计该场地⾯积S=ld 的误差界和相对误差界.解这⾥ε(l A )=0.2,ε(d A )=0.2,并且有2,,10800A A A S S d l S l d mld====.于是有误差界()21200.2900.242A S m ε≈?+?=,相对误差界()()420.39%10800A r A AS S l dεε=≈=.例1.6 设有3个近似数a=2.31, b=1.93, c=2.24,它们都有3位有效数字.试计算p=a+bc 的误差界和相对误差界，并问p 的计算结果能有⼏位有效数字?解 p=2.31+1.93×2.24=6.6332.于是有误差界ε(p)=ε(a)+ε(bc)≈ε(a)+|b|ε(c)+|c|ε(b) =0.005+0.005(1.93+2.24)=0.02585,相对误差界εr (p)=()0.025856.6332p pε≈≈0.39%.因为ε(p)≈0.02585<0.05,所以p=6.6332能有2位有效数字.1.2.4 计算机中数的表⽰任意⼀个⾮零实数⽤(1.1)式表⽰，是规格化的⼗进制科学记数⽅法.在计算机中通常采⽤⼆进制的数系(或其变形的⼗六进制等),并且表⽰成与⼗进制类似的规格化形式，即浮点形式±2m ×0.β1β2…βt ,这⾥整数m 称为阶码，⽤⼆进制表⽰为m=±α1α2…αs , αj =0或1(j=1,2,…,s),s 是阶的位数.⼩数0.β1β2…βt 称为尾数,其中β1=1,βj =0或1(j=2,3,…,t)，t 是尾数部位的位数.s 和t 与具体的机器有关.由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表⽰的数系是⼀个特殊的离散集合,此集合的数称为机器数.⽤浮点⽅式表⽰的数有⽐较⼤的取值范围.⼗进制输⼊计算机时转换成⼆进制，并对t 位后⾯的数作舍⼊处理，使得尾数为t 位，因此⼀般都有舍⼊误差.两个⼆进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似的舍⼊处理，使得尾数为t 位，从⽽也有舍⼊误差.在实现算法时，计算的最后结果与算法的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍⼊误差造成的，包括输⼊数据和算术运算的舍⼊误差.因此有必要对计算机中数的浮点表⽰⽅法和舍⼊误差有⼀个初步的了解.有时为了分析某⼀个计算⽅法可能出现的误差现象，为了适应⼈们的习惯，我们会采⽤⼗进制实数系统进⾏误差分析.1.3 数值稳定性和要注意的若⼲原则 1.3.1 数值⽅法的稳定性实际计算时，给定的数据会有误差，数值计算中也会产⽣误差，并且，这些误差在进⼀步的计算中会有误差传播.因此，尽管数值计算中的误差估计⽐较困难，我们还是应该重视计算过程中的误差分析.定义 1.4 对于某个数值计算⽅法，如果输⼊数据的误差在计算过程中迅速增长⽽得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的.下⾯举例说明误差传播的现象.例 1.7 计算积分值105nxdx I x =+?, n=0,1,…,6.解由于要计算系列的积分值，我们先推导In 的⼀个递推公式.由1110555n n n n x x I I dx x --++=+?111n xdx n-==,可得下⾯两个递推算法.算法1：115n n I I n-=-,n=1,2, (6)算法2：1115n n I I n -??=-,n=6,5, (1)直接计算可得0ln 6ln 5I =-.如果我们⽤4位数字计算，得I 0的近似值为0I *=0.1823.记n n n E I I *=-,I n *为In 的近似值.对算法1，有15n n E E -=-=…=()5n-E 0.按以上初始值I0的取法有|E 0|?0.5×410-,事实上|E 0|≈0.22×410-.这样，我们得到|E 6|=65|E 0|≈0.34.这个数已经⼤⼤超过了I 6的⼤⼩，所以6I *连⼀位有效数字也没有了，误差掩盖了真值.对算法2,有E k-n =15n ??-E k ,|E 0|=615??|E 6|.如果我们能够给出I 6的⼀个近似值，则可由算法2计算I n (n=5,4,…,0)的近似值.并且，即使E 6较⼤，得到的近似值的误差将较⼩.由于()()11011616551kkk xxI d d x x k k =<<=++??,因此，可取Ik 的⼀个近似值为()()11126151k I k k *=+?? ? ?++??. 对k=6有6I *=0.0262.按0I *=0.1823和6I *=0.0262，分别按算法1和算法2计算，计算结果如表1-1，其中()1n I 为算法1的计算值, ()2n I 为算法2的计算值.易知，对于任何⾃然数n,都有0表1-1n()1nI()2nInI （4位）0 0.1823 0.1823 0.18231 0.0885 0.0884 0.08842 0.0575 0.0580 0.05803 0.0458 0.0431 0.04314 0.0210 0.0344 0.03435 0.0950 0.0281 0.02856-0.3083 0.0262 0.0243当然，数值不稳定的⽅法⼀般在实际计算中不能采⽤.数值不稳定的现象属于误差危害现象.下⾯讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题.1.3.2 避免有效数字的损失在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很⼤，⽽计算机位数有限，如不注意，“⼩数”的作⽤可能消失，即出现“⼤数”吃“⼩数”的现象. 例1.8 ⽤3位⼗进制数字计算x =101+δ1+δ2+…+δ100,其中0.1?δi ?0.4,i =1,2, (100)解在计算机内计算时，要写成浮点数形式，且要对阶.如果是101与δ1相加，对阶时，101=0.101×103,δ1=0.000×103.因此,如果我们⾃左⾄右逐个相加，则所有的δi 都会被舍掉，得x ≈101.但若把所有的δi 先加起来，再与101相加，就有111=101+100×0.1?x ?101+100×0.4=141.可见，计算的次序会产⽣很⼤的影响.这是因为⽤计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了⼤数吃⼩数的现象.⼤数吃⼩数在有些情况下是允许的，但有些情况下则会造成谬误.在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失.例1.9 求实系数⼆次⽅程20ax bx c ++=的根，其中b 2-4ac>0,ab ≠0. 解考虑两种算法. 算法1:1,22x a=算法2:(12b sign b x a--=, 21c x ax =,其中sign 表⽰取数的符号，即()1,0,0,0,1,0.b sign b b b >??==??-对算法1，若ac b 42>>,则是不稳定的，否则是稳定的.这是因为在算法1中分⼦会有相近数相减的情形,会造成有效数字的严重损失,从⽽结果的误差很⼤.算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的.因此称算法1是条件稳定的，算法2是⽆条件稳定的.例如，对于⽅程262.10 1.0000x x ++=,⽤4位有效数字计算，结果如下：算法1:x 1=-62.08, x 2=-0.02000. 算法2:x 1=-62.08, x 2=-0.01611.准确解是x 1=-62.083892…,x 2=-0.016107237….这⾥，ac b 42>>,所以算法1不稳定，舍⼊误差对x 2的影响⼤.在进⾏数值计算时，如果遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失.例如，如果|x |≈0,有变换公式1cos sin sin 1cos x x xx-=+.如果x 1≈x 2,有变换公式1122lg lg lgx x x x -=.如果x 〉〉1,有变换公式.此外，⽤绝对值很⼩的数作除数时，舍⼊误差会很⼤，可能对计算结果带来严重影响.因此，要避免除数绝对值远远⼩于被除数绝对值的除法运算.如果⽆法改变算法，则采⽤增加有效位数进⾏计算，或在计算上采⽤双精度运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.1.3.3 减少运算次数在数值计算中，要注意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析中所要研究的重要内容.同样⼀个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累.下⾯举例说明简化计算公式的重要性.例1.10 给定x ,计算多项式()110nn n n n P x a x a xa --=+++的值.如果我们先求ak x k ，需要进⾏k 次乘法，再相加，则总共需要()12n n +次乘法和n次加法才能得到⼀个多项式的值.如果我们将多项式写成下⾯的形式()(){}1210n n n n P x x x x a x a a a a --??=+++++?? ,则只需n 次乘法和n 次加法即可得到⼀个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法，可描述为1,,1,2,,0,n n k k k u a u u x a k n n +=??=+=--?最后有()0n u P x =.例1.11 计算ln2的值. 解如果利⽤级数()()11ln 11nn n xx n∞+=+=-∑计算ln2，若要精确到误差的绝对值⼩于10-5,要计算10万项求和，计算量很⼤，并且舍⼊误差的积累也⼗分严重.如果改⽤级数()35211ln 213!5!21!n xx x xx x n +??+=+++++ ? ?-+??来计算ln2，取x =1,则只要计算前9项，截断误差便⼩于10-10.1.4 向量和矩阵的范数为了对矩阵计算进⾏数值分析，我们需要对向量和矩阵的“⼤⼩”引进某种度量.在解析⼏何中，向量的⼤⼩和两个向量之差的⼤⼩是⽤“长度”和“距离”的概念来度量的.在实数域中，数的⼤⼩和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的.范数是绝对值概念的⾃然推⼴.1.4.1 向量的范数定义1.5 如果向量x ∈n R 的某个实值函数ｆ(x )=‖x ‖满⾜ (1) 正定性：x ?0,且x =0当且仅当x =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有αx =|α|x ； (3) 三⾓不等式：对任意x ,y ∈R n ,都有+x y ?x +y ,则称x 为n R 上的⼀个向量范数.在n R 中，记()12,,,Tn x x x =x ,实际计算中最常⽤的向量范数有： (1) 向量的∞范数1max i i nx ∞≤≤=x；(2) 向量的1范数11nii x ==∑x；(3) 向量的2范数12221in x i ==??∑x.容易验证，向量的∞范数和1范数满⾜定义1.5中的条件.对于2范数，满⾜定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利⽤向量内积的Cauchy-Schwarz 不等式可以验证.更⼀般地，有如下向量的p 范数1pipn px i ==??∑x,其中p ∈ [1,+∞).容易验证1ppn∞∞≤≤xxx,由此可得如下定理.定理1.2 lim pp ∞→∞=xx.下⾯，我们利⽤向量范数的连续性来说明向量范数的重要特征.定理1.3 设给定A ∈R n ×n ,x =(x 1,x 2,…,x n )T ∈R n ,则对R n 上每⼀种向量范数，‖A x ‖都是x 1,x 2,…,x n 的n 元连续函数.证设a j 为A 的列向量，将A 写成A =(a 1,a 2,…,a n ). 则由三⾓不等式，对h =(h 1,h 2,…,h n )T ∈R n,有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|?‖A h ‖=‖1ni i h =∑a i ‖1ni i h =∑‖a i ‖M max|h i |,其中M=1ni =∑‖a i ‖.所以，对任意的ε>0,当max|h i |<Mε时，有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|<ε, 这就证明了‖A x ‖的连续性.推论1.1 ‖x ‖是x 的各分量的连续函数. 向量范数的⼀个重要特征是具有等价性.定理 1.4 R n 上的所有向量范数是彼此等价的，即对R n 上的任意两种向量范数‖x ‖s和‖x ‖t ，存在常数c 1,c 2>0,使得对任意x ，有c 1‖x ‖s ?‖x ‖t ?c 2‖x ‖s .证只要就‖x ‖s =‖x ‖∞证明上式成⽴即可，即证明存在常数c 1,c 2>0,对⼀切x ∈R n且x ≠0，有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.记R n 上的有界闭集D={x :x =(x 1,x 2,…,x n )T ,‖x ‖∞=1}.由定理1.3的推论知，‖x ‖t 是D 上的n 元连续函数，所以在D 上有最⼤值c 2和最⼩值c 1,且x ∈D 时有x ≠0,故有c 2?c 1>0.现考虑x ∈R n ,且x ≠0,则有∞x x ∈D,所以有c 1?‖∞x x ‖t ?c 2, ?x ∈R n ,x ≠0.从⽽对x ≠0有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.⽽x =0时上式⾃然成⽴，定理得证.由于向量范数之间具有等价性，对于范数的极限性质，我们只需对⼀种范数进⾏讨论，其余范数也都具有相似的结论.⽐如，我们可以⽅便地讨论向量序列的收敛性.定义1.6 设向量序列x (k)=()()()()12,,,Tk k k nx x x ∈R n ,k=1,2,…,若存在x *=()12 ,,,Tn x x x ***∈R n ,使得()lim k iik x x *→∞=, i =1,2,…,n,则称序列{x (k)}收敛于x *,记为()lim k ik *→∞=x x.按定义有)()lim lim 0k k k k **→∞→∞∞=?-=xx xx.⼜因为()()()12k k k c c ***∞∞-≤-≤-xxxxxx,所以有()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=xx xx.因此，若向量序列在⼀种范数下收敛，则在其他范数下也收敛.不必强调是在哪种范数意义下收敛.1.4.2矩阵的范数定义1.7 如果矩阵A ∈R n ×n 的某个实值函数ｆ(A )=‖A ‖满⾜ (1) 正定性：‖A ‖?0,且‖A ‖=0当且仅当A =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有‖αA ‖=|α|‖A ‖；(3) 三⾓不等式：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A +B ‖?‖A ‖+‖B ‖； (4) 相容性：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A B ‖?‖A ‖‖B ‖；则称‖A ‖为Rn ×n上的⼀个矩阵范数.可以验证，对()ij n na ?=A ,12211Fn n a ij i j ?? ?=∑∑ ?==??A是⼀种矩阵范数，称之为Froben i us 范数，简称F 范数.由于矩阵与向量常常同时参与讨论与计算，矩阵范数与向量范数之间需要有⼀种联系. 定义1.8 对于给定的R n 上的⼀种向量范数‖x ‖和R n ×n 上的⼀种矩阵范数‖A ‖，如果满⾜‖A x ‖?‖A ‖‖x ‖,则称矩阵范数‖A ‖与向量范数‖x ‖相容.上⾯的定义1.7是矩阵范数的⼀般定义，下⾯我们通过已给的向量范数来定义与之相容的矩阵范数.定义 1.9 设x ∈R n ,A ∈R n ×n ,对给出的⼀种向量范数v x ,相应地定义⼀个矩阵的⾮负函数m axvvx v≠=A x Ax.称之为由向量范数导出的矩阵范数，也称为算⼦范数或从属范数.由定义可得vvv≤A xAx，1max vvv==xAAx.算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(1)和(2)是显然的，现验证满⾜条件（3）和（4）.对任意的A ,B ∈R n ×n ,有()1maxvvv =+=+xA B x11max max v vvvvvxx==≤+=+Ax BxAB1max vvv==xABABx1max vvvvvv=≤=xABxA.因此，算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(3)和(4).由常⽤的向量范数，可以导出与其相容的矩阵算⼦范数.定理1.5 设A ∈R n ×n ,记()ij n na ?=A ,则(1)11max nij i nj a ∞≤≤==∑A,称之为矩阵A 的⾏范数；(2) 111m ax nij j ni a ≤≤==∑A ，称之为矩阵A 的列范数；(3)2=A称之为矩阵A 的2范数或谱范数，其中，()max TλA A 表⽰T A A的最⼤特征值.证这⾥只对(1)和(3)给出证明，(2)的证明同理可得. 先证明(1):设x =(x 1,x 2,…,x n )T ≠0,不妨设A ≠0，则有1111max max nnij j ij i ni nj j xa x xa ∞∞≤≤≤≤===≤∑∑A .111max max nij xi nj a ∞∞∞=≤≤===∑AAx.设矩阵A 的第p ⾏元素的绝对值之和达到最⼤，即111max nnpj ij i nj j a a ≤≤===∑∑.取向量()12,,,Tn ξξξ= ξ,其中1,0,1,0.a pj j apjξ≥??=?-显然，‖ξ‖∞=1,⽽且1111m ax m axnn∞∞=≤≤===≥==∑∑xAA xA ξ.于是(1)得证.再证明(3):显然，A TA 是对称半正定矩阵，它的全部特征值均⾮负，设为120n λλλ≥≥≥≥ .由实对称矩阵的性质，各特征值对应的特征向量必正交.设对应的标准正交特征向量为12,,,nu u u ,即T i i i λ=A Au u (i =1,2,…,n),(u i ,u j )=δi j (i ,j=1,2,…,n).对向量x ∈R n ,‖x ‖2=1,可由R n 的⼀组基u i (i =1,2,…,n)线性表⽰，即有1niii c ==∑x u ,22211nii c===∑x11nnT Ti ii i i cc λλλ====≤=∑∑A xx A A x .另⼀⽅⾯，取ξ=u 1,显然有‖ξ‖2=1,211112T T Tλλ===A ξξA A ξu u .因此，2221m ax ===xAA x得证.由定理1.5可见，计算⼀个矩阵的⾏范数和列范数是⽐较容易的，⽽矩阵的2范数计算却不⽅便，但由于它有许多好的性质，所以在理论上还是有⽤的.例1.12 设矩阵1234-??=解 {}m ax 3,77∞==A,{}1m ax 4,66==A ,10141420T-??=-A A ()21014det 3041420Tλλλλλ--==-+-I A A ,求得115λ=+215λ=-因此25.46=≈A.定义1.10 设A ∈R n ×n 的特征值为λi (i =1,2,…,n),称()1max i i nρλ≤≤=A为A 的谱半径.谱半径在⼏何上可解释为以原点为圆⼼，能包含A 的全部特征值的圆的半径中最⼩者.例1.13 计算例1.12中矩阵的谱半径.解由A 的特征⽅程()2=--=-I A得12λ=,22λ=所以() 5.372ρ=≈A .定理1.6 设A ∈R n ×n ,则有()ρ≤A A .证设A x =λx ,x ≠0,且|λ|=ρ(A ),必存在向量y ,使x y T 不是零矩阵.于是()TTTTA ρλ==≤A xyxyxyA xy,即得ρ(A )?‖A ‖.例1.14 设矩阵A 与矩阵B 是对称的，求证ρ(A +B )?ρ(A )+ρ(B ).证因T =A A ,于是有()()()222max max 2A A AA ,即‖A ‖2=ρ(A ).同理‖B ‖2=ρ(B ).由于A +B =(A +B )T,因此()()()222ρρρ+=+≤+=+A B A BABA B .定理1.7 如果‖B ‖<1,则I ±B 为⾮奇异矩阵，且()111-±≤-I B B,这⾥的矩阵范数是指矩阵的算⼦范数.证若I ±B 奇异，则存在向量x ≠0,使(I ±B )x =0,故有ρ(B )?1,这与‖B ‖<1⽭盾，所以I ±B ⾮奇异.由于()()11--±=± I B I B I B ,于是得()()11--±≤+±I B I BI B .上的任意两种矩阵范数都是等价的，即对Rn ×n上的任意两种矩阵范数sA和t A ，存在常数c 1,c 2>0,使得12stsc c ≤≤AAA.由矩阵范数的等价性，我们可以⽤矩阵的范数描述矩阵序列的极限性质.定义1.11 设矩阵序列()()()kk n nijn na ??=∈A R,k=1,2,…,若存在()n nij n na **=∈A R,使得()lim k ijijk a a *→∞()lim k k *→∞=AA.可以验证()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=AA AA.评注本章介绍了数值计算的研究对象、误差及相关概念、数值计算的稳定性及构造算法的基本原则.考虑到矩阵计算的数值分析，本章还介绍了向量范数和矩阵范数的基本概念和常⽤定理.误差分析问题是数值分析中重要⽽困难的问题.误差的基本概念和误差分析的若⼲原则，对学习本课程是很有必要的.但是，作为⼯程或科学计算的实际问题则要复杂得多，往往要根据不同问题分门别类地进⾏分析.例如，由于舍⼊误差有随机性，有⼈应⽤概率的观点研究误差规律.在⼯程计算中，常⽤⼏种不同办法（包括实验⽅法）进⾏⽐较，以确定计算结果的可靠性.20世纪60年代以来，发展了两种估计误差的理论：⼀种是J.H.W i lk i nson 等⼈针对计算机浮点算法提出了⼀套预先估计的研究误差的⽅法，使矩阵运算的舍⼊误差研究获得了新发展；另⼀种是R .E.Moore 等⼈应⽤区间分析理论估计误差，开创了研究误差的新⽅法. 关于范数⽅⾯，所述内容是为以下各章服务的⼀些初步概念和常⽤的定理，对本书够⽤就可以了.例如只讨论了R n ×n 的范数，⽽没有顾及R n ×m .⼜例如介绍了R n 和R n ×n 上范数的等价性，此性质对有限维空间都是成⽴的，⽽对于C[a,b]则没有这个性质，这些都是赋范线性空间有关的问题，详细讨论这些问题是泛函分析的内容.习题 11.1 已知e=2.71828…,问下列近似值A x 有⼏位有效数字，相对误差界是多少？ (1) x =e, A x =2.7； (2) x =e, A x =2.718； (3) x =e100, A x =0.027； (4) x =e100, A x =0.02718. 1.2 设原始数据的下列近似值每位都是有效数字：1x *=1.1021, 2x *=0.031, 3x *=56.430. 试计算(1) 1x *+2x *+3x *；(2)，并估计它们的相对误差界.1.3 设x 的相对误差界为δ,求n x 的相对误差界.1.4 设x >0，x 的相对误差界为δ，求ln2的绝对误差界.1.5 为了使计算球体体积时的相对误差不超过1%，问测量半径R 时的允许相对误差界是多少？1.6 三⾓函数值取4位有效数字，怎样计算1-cos2°才能保证精度？ 1.7 设0Y =28，按递推公式nY=1n Y --…,计算.若取27.982(5位有效数字)，试问计算Y 100将有多⼤误差?1.8 求解⽅程25610x x ++=，使其根⾄少具有4位有效数字(≈27.982).1.9 正⽅形的边长⼤约为100 cm ，应怎样测量才能使其⾯积的误差不超过21cm ? 1.10 序列{yn}满⾜递推关系1101n n y y -=-,n=1,2,….若y 0 1.41(3位有效数字)，计算到y 10时的误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?1.11 对积分11n x n I x edx -=,n=0,1,…,验证101I e-=-,11n n I nI -=-.若取e -1≈0.3679,按递推公式11n n I nI -=-，⽤4位有效数字计算I 0,I 1,…,I 9,并证明这种算法是不稳定的.1.12 反双曲正弦函数为()(ln f x x =+.如何计算ｆ(x )才能避免有效数字的损(1) sin x -siny ； (2) arctan x -arctany ；(3)2； (4)212xe-.1.14 已知三⾓形⾯积1sin 2s ab C=,其中C 为弧度，0π，且测量a,b,C 的误差分别为Δa,Δb,ΔC ，证明⾯积的误差Δs 满⾜s a b C s ab C≤++ .1.15 设P ∈R n ×n 且⾮奇异，⼜设‖x ‖为R n 上的⼀种向量范数，定义p=xP x.试证明‖ｘ‖P 是R n 上的⼀种向量范数.1.16 设A ∈R n ×n 为对称正定矩阵，定义()12,A=xA x x .试证明‖ｘ‖A 为R n 上的⼀种向量范数.1.17 设矩阵0.60.50.10.3??=2F≤≤AA,并说明‖A ‖F 与‖ｘ‖2相容.1.19 设P ∈Rn ×n且⾮奇异，⼜设‖ｘ‖为R n上的⼀种向量范数，定义范数‖ｘ‖P =‖P x ‖.证明对应于‖ｘ‖P 的算⼦范数1 p-=APAP.1.20 设A 为⾮奇异矩阵，求证：11m iny ∞-≠∞∞=A y yA.。
高等数学(数值计算方法)
第1章绪论1.1数值计算方法的对象与特点1.1.1 什么是数值计算方法现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。
比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星设计开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。
发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。
有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。
计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，各行各业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。
研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算方法。
计算方法属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。
1.1.2 数值计算方法的内容数值计算方法也叫做计算数学或数值分析。
数值计算方法主要内容包括非线性方程求根、线性代数方程组解法、微分方程的数值解法、插值问题、函数的数值逼近问题、概率统计计算问题等等，还要研究解的存在性、惟一性、收敛性和误差分析等理论问题。
我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。
对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。
怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。
在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。
迭代法还可以用来求解线性方程组的解。
求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法与算法
多项式插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造n次多 项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, i=0,1,…,n.
单项式 插值
(x) a0 a1x an xn，或
(x)
a0
a1
x h
an
(
x h
)n
1 x0 x0n a0 y0
k阶差商
f
[ x0
,,
xk
]
f [
x1,,
xk 1,
xk ] xk
f [x0 x0
,
x1
,
xk
1 ]
差商表
0 1 2 … n
0
1
x0
x1
y0
y1
y1 y0 x1 x0
ij f [x ji ,, x j ]
2
x2
y2
y2 y1 x2 x1 1, 2 1,1 x2 x0
(n 1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
(
x
x0
)
(
x
ห้องสมุดไป่ตู้
xn
)
证明：设 R(x) K (x)( x x0 )(x xn ) ，则
g(t) f (t) K (x)(t x0 )(t xn )
有n+2个零点。 根据中值定理，存在
数值计算方法-全套课件
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
数值计算方法（精品）
《数值计算方法》科学出版社黄明游第一章绪论1.1数值计算方法研究的对象、任务与特点一、关于本课程的名称本课程及其相近课程的名称有：《计算方法》、《数值计算》、《数值计算方法》、《数值分析》、《计算数学》、《科学计算》、《科学与工程计算》，等等。
二、数值计算方法概述（一）数值计算方法属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。
由于近几十年来计算机的迅速发展，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值计算方法不断出现。
现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。
所以数值计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其它学科的联系十分紧密。
由于大量的问题要在计算机上求解，所以要对各种数值计算方法进行分析，其内容包括：误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。
当代实际的科学与工程计算中，计算问题往往是复杂的和综合的。
但是有一些最基础、最常用的数值计算方法，它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。
本书主要讨论这些方法及其分析，它们包括逼近问题（函数的插值和逼近，数值积分和微分），线性代数问题（方程组和特征值问题）和非线性方程及方程组的数值解法问题，以及常微分方程的数值解法等。
这些是数值计算方法最基础的内容，不仅可以直接应用于实际计算，同时也是其它数值计算问题所用到的方法及其分析的基础。
（二）数值计算方法（或称计算方法）是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科，它的理论与方法随计算工具的发展而发展。
在古代，人类研究的数学问题几乎总与计算有关，而计算工具的简陋，使求解问题受到很大限制。
现代科学技术日新月异，尤其是计算机技术飞速发展，人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理（包括图形，图像，声音，文字），计算机不仅是现代计算工具，而且已成了我们工作环境的一部分。
第一章数值计算方法绪论
er ( y )
e ( y ) f(x)f(x) x xx f ( x ) xx f(x) x
x f(x) f(x)
er (x)
相对误差条件数
注：关于多元函数 yf(x1,x2,...xn ,)可类似讨论， 理论工具：Taylor公式
2、向后误差分析法：把舍入误差的累积与导出 A 的已
数值计算方法
第0章 课程介绍
什么是数值计算方法? 数值计算方法特点 数值计算方法重要性 本课程主要内容 本课程要求
什么是数值计算方法?
实际 问题
建立数学模型
近似结果 输
上机
出
计算
设计高效、 可靠的数值 方法
程序 设计
什么是数值计算方法? 数值计算方法是一种研究并解决数学问题的数值
若 x 的每一位都是有效数字，则x 称是有效数。
特别地，经“四舍五入”得到的数均为有效数
5.定理：
将 x 近似值 x 表示为 x 0.a 1a2 ak an 10m，
若 x * 有k位有效数字，则
； | er
|
1 2a1
10(k1)
x 反之，若
er
1 ， 10(k1) 则
注：(1)
近似数
x
1
,
x
2
四则运算得到的误差分别为
| e(x1 x2)| |e(x1)e(x2)|,
er ( x1 x2 )
e(x1) x1 x2
e(x2) x1 x2
,
(避免两近似数相减)
e
(
x x
1 2
)
x1e(x2) x2e(x1) x22
数值计算方法绪论
I5
0.1600 0.1455 0.1455
I6
0.0400 0.1269 0.1268
I7
0.7200 0.1124 0.1124
稳定性分析
对格I~n
1 nIn1 1 nI~n1
相减得
en ne n1
故得 en n! e0
所以，计算不稳定。
计算方法
教 材 《数值计算方法引论》
李开宁 编
总 学 时 24学时 教师姓名 沙春林
绪论
计算方法的意义: 无法采用传统数学方法获得所需解的三种有代表性 的情形 :
（1）所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法
（2）所涉及数学模型的解法计算量大，只适用 于规模较小的情形
（3）基于离散数据建立数学模型时
绪论
什么是计算方法（数值分析）？
研究怎样通过计算机所能执行的基本运算，求得 各类问题数值解或近似解的学问。
加、减、乘、 除、逻辑运算
绪论
计算方法（又称为数值分析）的任务:
研究如何对给定的问题构建只须进行有限步四则 运算的计算模型，以便有效地借助于计算机迅速 求出所需要的数值解。这种计算模型通常又称为 计算格式。
绪论
计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点:
面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算，以便在计算机 上求出问题的数值解。
遵循的相容性原则，满足控制误差积累的数值稳定性 要求，以及评价计算格式优劣的计算复杂性，为适应 大型计算机的计算，现今又提出了并行性要求。
绪论
计算方法的基本内容：
稳定性分析 对格式（B），则有
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
(完整版)数值计算方法教案
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法与算法-45页PPT文档资料
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
数值计算方法绪论
5
学习数值计算方法重要性
实际 问题
数学 模型
计算机 算法
程序 设计
计算机 计算
解答
科学计算的过程
6
计算机算法
数值算法
主要指与连续数学模型有关的算法如数值线性代数、 方程求解、数值逼近、数值微积分、微分方程数值解 和最优化计算方法等，它给出的是问题的近似解；
11
举例说明一
1. 求解线性方程组Ax=b，其中A为3阶可逆方阵 X=(x1,x2,x3)T;
2. 求代数方程x2+x-6=0在[0,4]上的根x*
3. 已知y=p(x)为[x0,x1]上的直线，满足p(x0)= y0 ，
4.
p(x1)= y1求p(x2) 计算定积分 I
b 1 dx(1 a b)
模型误差 观测误差
数学 模型 方法误差
数值 方法
程序 设计
舍入误差
计算机 计算
解答
31
2.误差的基本概念
定义0.1 设x为准确值，x*是x的一个近似值，称 e*=x*-x为近似值x*的绝对误差，或简称误差。
定义0.2 设 * 0，并满足 e* x* x *
则称 *为近似值x*的绝对误差限，或简称误差限。
37
定义0.6 若将x*近似值表示成十进制浮点数的标准 形式
x* 0.12 L L n 10m i : 0 ~ 9,1 0
如果
x* x 1 10mn 2
则说近似值x*具有n位有效数字。这里n为正整数，
m为整数。
38
例0.7 若 x* 3578.64 是x的具有6位有效数字的近
似值，试求 x* 的误差限。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有：
* * ¶f ( x1* , x2 , ⋯, x n ) e( y ) » df ( x , x ,⋯, x ) = å × e ( xi* ) ¶xi i=1
�
�
Mathematic，
Maple Lindo
�
交互式数学系统：MathCAD，Calcwin
作业：书后练习 弄清楚几个基本概念
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差与有效数字 概念及计算 数值运算中误差传播规律 数值运算中应注意的原则 （5个）
谢谢大家！
数值运算中误差传播规律
乘法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
除法运算中的误差传播：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的绝对误差限：
数值运算中误差传播规律
加减乘除的相对绝对误差限：
数值运算中应注意的原则
� 选用数值稳定性好的算法 � 相近两数应避免相减 � 绝对值相对太小的数不宜作除数 � 要防止大数“吃掉”小数的危害 � 使用计算复杂性好的算法
数值计算方法
� 主讲：唐旭清
� Email:
txq5139@ txq5139@
� 教材：1)《数值计算方法
》, 北理工出版社 ,丁丽娟; 2) 《数值计算方法 》,江南大 学，蔡日增
�
用数学方法解决实际问题的过程：实际问题 →建立数学模型→确定数值计算方法 →编程 并计算近似解
绝对误差、相对误差与有效数字
�
�
若近似值 x 的绝对误差限不超过小数点后第n * n 位数字的半个单位，即 ε = 1 × 10 − 。则 x 称 精确到小数点后第n位。 2 * 若近似值 x 的绝对误差限不超过某一位数字的 * 半个单位，而从该位数字到 x (从左边起)的第 一个非零数字共有n位，则称 x * 具有n位有效 数字。
背景基础
�
《高等数学》、《线性代数》 （或《数学分析》、《空间解析几何》、 《高等代数》）
基本要求
� �
从算法层面上：面对一个计算问题，如何计 算？ 从理论层面上：为什么这样计算？
课程计划
计算方法是工科数学教育中经典的教学课程 一学期32个课时，每周4课时 内容：第1-9章 科目成绩：平时成绩（30%）， 期末（70%）
客观现象、数学模型、数学工具、数值逻辑 对应表：
客观现象 确定性现象 非确定随机 性现象 非确定性非 随机性现象 数学模 型 白箱 黑箱 灰箱 数学工具 经典数学 数值逻 辑
经典逻 辑 概率论与数理统计 （或0-1 逻辑） 灰色控制系统、 Fuzzy数学、可拓 学等 非经典 逻辑
绪论
�
�
研究怎样把各种数学问题的求解运算归结为按照 一定顺序进行的对有限数位的数的一系列四则运 算及一些逻辑运算(即算法) ，然后编出程序并上 机算出结果。其根本任务就是研究算法，即如何 构造与分析算法。 计算方法就是研究各种数学问题的数值解或近似 数值解、算法分析等的一门课程，又可称为数值 计算方法或数值分析。它以数学理论为基础，而 以计算机为计算工具，重点研究求解数学问题的 数值算法及其理论。
绝对误差、相对误差与有效数字
�
�
绝对误差： * * e = x −x 设 x 是真值x 的一个近似值，则称 为 x * 关于x的绝对误差 绝对误差限 * | e | = | x − x |≤ ε 。这个 ε 给出一个正数 ，使 正数 也就是绝对误差绝对值的一个上 * 界，称为近似值 x 的绝对误差限。在工程 技术上常将上述不等式表示为
课程特色
� �
�
�
第一、提供可靠的计算理论依据。如算法的 收敛性和稳定性，数值计算的误差分析； 第二、提高计算效率。比如，在计算复杂度 相同的前提下如何获得精度更高的数值解， 或者在数值解精度要求一定的前提下如何提 供计算复杂度小、存储量少的算法。 第一、面向计算机。根据计算机的特点设计 实际可行的算法。 第四、有数值实有效的。
例：近似值 50.3 与50.300 不一样，后者有五位有效数 字，而前者仅有三位有效数字。
*
数值运算中误差传播规律
误差传播的一般规律 � 四则运算中的误差传播 ①加、减运算中的误差传播 ②乘法运算中的误差传播 ③除法运算中的误差传播
�
数值运算中误差传播规律
误差传播的一般规律 y = f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 设变量 y 与有 x1 , x2 , ⋯ xn 函数关系： * * ( x1* , x2 , ⋯ , xn ) 是 ( x1 , x2 , ⋯, xn ) ，相应的解为：
选用数值稳定性好的算法
相近两数应避免相减
相近两数应避免相减
绝对值相对太小的数不宜作除数
要防止大数 “吃掉”小数的危害
使用计算复杂性好的算法
几种常用数学软件平台
决数学问题）
（用计算机解
�
公共的基础软件：BASIC，FORTRAN，C， Pascal 矩阵实验室系统： Matlab ，Scilab， Octave， SAS、SPSS等 计算机代数系统：
误差的来源及分类
1、误差的来源 1) 模型误差：数学模型与实际问题之间带来的； 2) 参量误差 ：由变量的观测值带来的； 3) 截断误差：由数值计算方法带来的； 截断误差 4) 舍入误差：由计算工具带来的； 2、误差的分类: 模型误差和观测误差统称为系统误差，而将截断 误差和舍入误差统称为方法误差。 本课程只讨论方法误差。
ε
x = x ±ε
*
*
绝对误差、相对误差与有效数字
�
相对误差
设 x *是真值
e x −x er = = x x 相对误差，通常用
�
x* 的一个近似值 ，则
称为近似值 代替 e
x e x*
x
*的
相对误差限 正数 ε r ，使
。满足 上述不等式的正数，称为近似值的相对误差限。
e x* − x | er | =| * | =| |≤ ε r * x x
n
*
* 1
* 2
* n
* * * * ¶ f ( x , x , ⋯ , x ) x * * 1 2 n i er ( y* ) » d ln f ( x1* , x2 , ⋯, x * ) = × × e ( x n å r i) * ¶xi y i=1
n
数值运算中误差传播规律
加、减运算中的误差传播：