数学分析之傅里叶级数PPT课件
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傅里叶17岁时（1785）回乡教数学,1794到巴黎, 成为巴黎高等师范学校的首批学员,次年到巴黎综合 工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中 文书和埃及研究院秘书,1801年回国后任伊泽尔省地 方长官。
一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一
种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1(如果 1可
用 x代换x )的情形. 由于 s i n ( n x n ) s i n n c o s n x c o s n s i n n x , 所以
A0 Ansin(nxn) n1
A 0 ( A n s i n n c o s n x A n c o sn s i n n x ) . ( 3 )
有函数具有共同的周期 2 π .
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [,]上的积分等于零,即
π
π
c o s n x d x s i n n x d x 0 ,
π
π
π ππcsionsm mxxscionsnnxxddxx00((m mnn)),,
π π
cosmxsinnxdx0.
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于
| a n c o s n x b n s i n n x | | a n | | b n | ,
根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角函数系(5)中所
n 1
记 A 0 a 2 0 ,A n s i n n a n ,A n c o sn b n ,n 1 ,2 ,,
则级数( 3 )可写成
a 2 0 n 1 ( a n c o s n x b n s in n x ) .
它是由三角函数列(也称为三角函数系)
( 4 )
1 , c o s x , s i n x , c o s 2 x , s i n 2 x ,, c o s n x , s i n n x ,( 5 )
所产生的一般形式的三角级数.
容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一
个以 2 π 为周期的函数.
非正弦周期函数:矩形波 u(t) 11 ,, 当 当 0 t t 0
u
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
4 s in t,4 1 s in 3 t,4 1 s in 5 t,4 1 s in 7 t,
y A s i n ( x )
( 1 )
来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,
其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 T 2 π . 较为复杂的周期运动, 则
常常是几个简谐振动
y k A k s i n ( k x k ) , k 1 , 2 ,, n
交性. 由此三角函数系(4)在 [π,π]上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数 a0,an,bn之间的关系.
定理15.2 若在整个数轴上
f( x ) a 2 0 n 1 ( a n c o s n x b n s in n x )
3
5
7
4 u sint
u4(sitn13sin 3t)
u 4(stin 1 3si3n t1 5si5n t)
u 4(st i1 3 n si3 tn 1 5 s5 itn 7 1s7 itn )
u 4 (s t i 1 s n 3 it n 1 s5 it n 1 s7 it n 1 s9 it)n 3579
的叠加
n
n
y y kA k s in (kx k ).
k 1 k 1
(2 )
由于简谐振动 y k 的周期为T kT2 π,k1,2, ,n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A 0A n s in (nx n ). n 1
(3 )
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
u (t) 4 (s t i1 s n3 it n 1 s5 it n 1 s7 it n ) 357 ( t ,t 0 )
由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可以
看作是许多不同频率的简谐振动的叠加. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
定理 15.1 若级数
|a20|n 1(|an||bn|).
傅里叶(Fourier)法国数学家及物理学家。1768 年3月21日生于欧塞尔,1830年5月16日卒于巴黎。 最早使用定积分符号,改进符号法则及根数判别方法。 傅立叶级数（三角级数）的创始人。
傅里叶是一个裁缝的儿子,8岁父母双亡,被当地教堂 收养。12岁由一位主教送入地方军事学校读书。13 岁时开始学习数学，即对数学产生了浓厚的兴趣。 16岁就独立发现笛卡尔符号法则的一个新证法。
Chapt 15 傅里叶级数
教学目标：
1. 熟练掌握如何求函数的傅里叶级数； 2. 掌握以2l为周期的函数的展开式； 3. 掌握收敛定理的证明.
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便 利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没 有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉 的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨 论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工 程技术中都有着非常广泛的应用.
π
( 6 )ຫໍສະໝຸດ Baidu(7)
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零, 即
π π π π1 co 2d sx 2n x2 dx π π πsin2nxdxπ,
(8)
若两个函数 与 在 [ a , b ] 上可积, 且
ab(x)(x)dx0
则称 与 在 [ a , b ] 上是正交的, 或在 [ a , b ]上具有正
一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一
种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1(如果 1可
用 x代换x )的情形. 由于 s i n ( n x n ) s i n n c o s n x c o s n s i n n x , 所以
A0 Ansin(nxn) n1
A 0 ( A n s i n n c o s n x A n c o sn s i n n x ) . ( 3 )
有函数具有共同的周期 2 π .
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [,]上的积分等于零,即
π
π
c o s n x d x s i n n x d x 0 ,
π
π
π ππcsionsm mxxscionsnnxxddxx00((m mnn)),,
π π
cosmxsinnxdx0.
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于
| a n c o s n x b n s i n n x | | a n | | b n | ,
根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角函数系(5)中所
n 1
记 A 0 a 2 0 ,A n s i n n a n ,A n c o sn b n ,n 1 ,2 ,,
则级数( 3 )可写成
a 2 0 n 1 ( a n c o s n x b n s in n x ) .
它是由三角函数列(也称为三角函数系)
( 4 )
1 , c o s x , s i n x , c o s 2 x , s i n 2 x ,, c o s n x , s i n n x ,( 5 )
所产生的一般形式的三角级数.
容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一
个以 2 π 为周期的函数.
非正弦周期函数:矩形波 u(t) 11 ,, 当 当 0 t t 0
u
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
4 s in t,4 1 s in 3 t,4 1 s in 5 t,4 1 s in 7 t,
y A s i n ( x )
( 1 )
来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,
其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 T 2 π . 较为复杂的周期运动, 则
常常是几个简谐振动
y k A k s i n ( k x k ) , k 1 , 2 ,, n
交性. 由此三角函数系(4)在 [π,π]上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数 a0,an,bn之间的关系.
定理15.2 若在整个数轴上
f( x ) a 2 0 n 1 ( a n c o s n x b n s in n x )
3
5
7
4 u sint
u4(sitn13sin 3t)
u 4(stin 1 3si3n t1 5si5n t)
u 4(st i1 3 n si3 tn 1 5 s5 itn 7 1s7 itn )
u 4 (s t i 1 s n 3 it n 1 s5 it n 1 s7 it n 1 s9 it)n 3579
的叠加
n
n
y y kA k s in (kx k ).
k 1 k 1
(2 )
由于简谐振动 y k 的周期为T kT2 π,k1,2, ,n,
所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠
加就得到函数项级数
A 0A n s in (nx n ). n 1
(3 )
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
u (t) 4 (s t i1 s n3 it n 1 s5 it n 1 s7 it n ) 357 ( t ,t 0 )
由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可以
看作是许多不同频率的简谐振动的叠加. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
定理 15.1 若级数
|a20|n 1(|an||bn|).
傅里叶(Fourier)法国数学家及物理学家。1768 年3月21日生于欧塞尔,1830年5月16日卒于巴黎。 最早使用定积分符号,改进符号法则及根数判别方法。 傅立叶级数（三角级数）的创始人。
傅里叶是一个裁缝的儿子,8岁父母双亡,被当地教堂 收养。12岁由一位主教送入地方军事学校读书。13 岁时开始学习数学，即对数学产生了浓厚的兴趣。 16岁就独立发现笛卡尔符号法则的一个新证法。
Chapt 15 傅里叶级数
教学目标：
1. 熟练掌握如何求函数的傅里叶级数； 2. 掌握以2l为周期的函数的展开式； 3. 掌握收敛定理的证明.
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便 利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没 有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉 的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨 论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工 程技术中都有着非常广泛的应用.
π
( 6 )ຫໍສະໝຸດ Baidu(7)
而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零, 即
π π π π1 co 2d sx 2n x2 dx π π πsin2nxdxπ,
(8)
若两个函数 与 在 [ a , b ] 上可积, 且
ab(x)(x)dx0
则称 与 在 [ a , b ] 上是正交的, 或在 [ a , b ]上具有正