电路分析第十二章-二阶电路

ω0 ωd
U0e−αt
i π−β π 2π−β
0β
2π
ωt
−
ω0 ωd
U0e−αt
（2） i 零点：ωt =0，π，2π ... nπ ， i 极值点为uL零点。 uL零点：ωt = β ，π+β，2π+β ... nπ+β
uC, i
U0
uC
ω0 ωd
U0e−αt
i π−β π 2π−β
0β
2π
ωt
= 则 uC
U0 p2 −
p1
(
p2e
pt 1
−
p1e
p
t
2
)
uC的变化曲线为 uC
（作图时假设 |p2| > |p1|）
U0
p2U0 e p1t p2 − p1
uC
由uC求得
0 − p1U0 e p2t
t
p2 − p1
i = −C duC = − U0 (e p1t − e p2t ) dt L( p2 − p1 )
∴iC
=
−
U0 L( p2 −
p1 )
(e p1t
− e p2t )
uL
= L diC dt
=
U0 p2 −
p1
(
p1e
p1t
−
p2e p2t )
uC
=
p2U 0 e p1t p2 − p1
+
− p1U 0 e p2t p2 − p1
iC
=
−
U0 L( p2 −
(e p1t p1 )
− e p2t )
uL
=
U0 p2 −
p1
(
p1e
p1t
−
p2e p2t )
图中:
UO uC UC
O
tm
♣ uC 、iC ≥0表明电容在整个过程中一 直处于放电状态；
♣ [0，tm]阶段，电感建立磁场、储能； [tm ，∞]阶段，电感释放能量。 ♣ t→ ∞， uC、iC、uL→0
iC
uL t
电路处于过阻尼状态。
tm对应iC的最大值
−
ω0 ωd
U0e−αt
能量转换关系
0 < ωt < β
β< ωt < π-β
π-β < ωt < π
uC+ -
C
R
L
uC+ -
C
R
L
uC+ -
C
R
L
在(π ~2π)的情况与(0 ~ π)情况相似，只是电容向相反 方向放电。如此周而复始，直到储能释放完毕。
特例 R = 0 时
则=α 0 ，ω= ω=0
δ 2 + ω 2 e−δt sin(ωt − ϕ ) ω
uC iC uL U0
π-ϕ π Oϕ
uL
2π ωt
(t=0)
R iL
K +
+ UR - +
UC C
-
iC
UL L -
0<ωt<ϕ时， uC ↓ ， iC↑
电容释放能量，电感吸收能量；
ϕ <ωt< π-ϕ时， uC ↓ ， iC ↓
电容释放能量，电感释放能量;
π-ϕ <ωt<π 时，|uC| ↑ ， iC ↓
电容吸收能量，电感释放能量。
电路处于欠阻 尼状态。
♠ 特征方程有两个相等的实根
Δ=(RC)2-4LC=0
R=2 L C
uC
特征根
p1
=
p2
=
p
=
−
R 2L
uC (t) = (K1 + K2t)ePt
0
t
电路处于临界阻尼状态。
例12-1 电路如图所示，开关K合闸已久，t=0时开关K打开，
设 δ = R ω = 1 − ( R )2
2L
LC 2L
则 p1= -δ+j ω p2= -δ-j ω
uC
=
p2U 0 e p1t p2 − p1
+
− p1U 0 e p2t p2 − p1
=
(−δ − jω)U0
e(−δ + jω )t +
− (−δ + jω)U0
e(−δ − jω )t
(−δ − jω) − (−δ + jω)
第十二章 二阶电路
二阶电路:电路中含两个储能元件，可以用二阶 的微分方程来描述。
主要内容: ♣ 二阶电路的零输入响应 ♣ 二阶电路的零状态响应与完全响应 ♣ 二阶电路的阶跃响应与冲激响应
§12-1 二阶电路的零输入响 应
(t=0)
R iL
K +
+ UR - +
UC C
-
iC
UL L -
图示电路，uC(0-) =U0，iL(0-)=0 求t >0时uC(t)、iL(t)
Asin β = U0
A(−α )sin β + Acos βω = 0
解= 得 A = U0 ，β arctan ω
sin β
β
ω，ω0，α间的关系:
ω sin β =
ω0
A
=
ω0 ω
U
0
ω0
ω
β
δ
uC
ω0 ω
U0e−α
t
sin(ω t
+
β
)
i = −C duC dt
= ωUL0 e−α t sinωt
(−δ − jω) − (−δ + jω)
= (δ + jω )U0 e(−δ + jω )t + (−δ + jω )U0 e(−δ − jω )t
2 jω
2 jω
uC
=
(δ
+ jω )U0 2 jω
e(−δ + jω )t
+
(−δ
+ jω )U0 2 jω
e(−δ − jω )t
= U0 e−δt [(δ + jω )e jωt + (−δ + jω )e− jωt ] 2 jω
2L (damping factor)
ω0 =
1 LC
则 = ω
ω
2 0
−α2
（自然频率）
(natural frequency)
解= 答形式 uC Ae−α t sin(ωt + β )
其中A ，β 为待定系数。
由起始始值
uC (0+ ) = U0 i(0+ ) = −C duC
定系数。 = 0
dt t=0+
求uC 、 iL
解：1、求iL(0+) ,uC (0+) iL(0+)= iL(0-)=1A uC(0+)=uC(0-)=0
K(t=0)
1Ω +
1V 500Ω -
iL
+
3.85H uC 100µF
-
2、列t>0方程
u5uC0C0=+3.i8L 5+d1di0tL0 ×10−6
duC dt
=0
整理得:
即 k1p1+k2p2=U0
(2)
联立(1)式和(2)式，解得:
k1 =
p2U 0 p2 − p1
k2
=
−
p1U 0 p2 − p1
♥ 若iL(0+)=I0仅影响k1、k2值
∴uC
=
p2U 0 e p1t p2 − p1
+
− p1U 0 e p2t p2 − p1
uC(t)的变化规律与特征根的关系
uL = L ddti = − ωω0 U0e−α t sin(ωt − β )
定性画曲线
（1）uC
是其振幅以
±
ω0 ω
U 0为包络线依指数衰减的
正弦函数。
t=0时 uC=U0
uC零点：ωt = π-β，2π-β ... nπ-β uC极值点：ωt =0， π，2π ... nπ
uC, i
U0
uC
响应= Ke-δtsin(ωt+ϕ)
当Δ=0 ，特征根p1=p2=p为实数，
电路处于临界状态 响应= (K1+K2t)ept
4、根据初始值确定系数 5、写出最后表达式
例12-2 电路如图所示，开关K原与a端接通，电路已达稳定，
t=0时开关K由a端投向b端。
求t>0时 uC(t)
0.2mA 解：1、求iL(0+) ,uC (0+)
储能，电阻消耗能量。
t > tm uC 减小 ，i 减小。
电容、电感均放出储能, 电阻消耗能量。
uC+
R
-C
L
uC+ -
C
R
L
储能释放完毕， 过渡过程结束。
(二) R < 2 L C
p1,2
= − R 2L
±
( R )2 − 1 ＝－α ± jω
2L LC
特征根为一对共轭复根
令 α = R （衰减系数）
K(t=0) 2KΩ a
b
5KΩ
iL(0+)= iL(0-)=0
uC(0+)=uC(0-)=5K×0.2mA=1V
3.85H uC 100µF
-
求解二阶电路的零输入响应的方法
1、列电路的二阶微分方程
2、写出特征方程
ap2+bp+c=0
3、确定解的形式 Δ=b2-4ac
当Δ>0 ，特征根p1、p2为不相等的实根， 电路处于过阻尼状态
响应= k1e p1t + k2e p2t
当Δ<0 ，特征根p1、p2为一对共轭复根， 令 p1= -δ+jω p2= -δ-jω ，电路处于欠阻尼状态
物理意义
uC U0
U0 uC
0
t
0
t
数学分析
(t=0)
R iL
♠ 列以uC为变量的二阶微分方程
− uC + uR + uL = 0
iC
=
−C
duC dt
uR = RiC
K +
+ UR - +
UC C
-
iC
UL L -
∴uR
=
R(−C
duC dt
)
又
uL
=
L
diC dt
∴ −uC
+
R(−C
duC dt
+
3.85H uC 100µF
-
iL(0+)=1
diL (0+) = uC (0+) = 0
dt
L
据iL(0+)=1，有：Ksinϕ =1……(1)
diL dt
=
Ke−10t cos(50t + ϕ) × 50 −10Ke−10t
sin(50t + ϕ)
diL = Ke−10t cos(50t + ϕ) × 50 −10Ke−10t sin(50t + ϕ)
t = 0，uL = U0 ，t = ∞，uL = 0 ；t =2 tm时 uL 最小。
由uL=ຫໍສະໝຸດ Baidu时计算出 tm ：
uL
=
(
−U0 ( p2 − p1 )
p1e P1t
−
p2eP2t )
=
0
p2 = e p1tm p e p2tm
1
解得
( p1 e p1t − p2 e p2t ) = 0
ln p2
uL
=
L di dt
=
(
− p2
U −
0
p1
)
(
p1e
P1t
−
p2eP2t )
定性画 i ，uL 的曲线： uC, i, uL U0
uL uC
i
0 tm 2tm
t
（1）t = 0时 i=0 ， t = ∞ 时 i =0； i 始终为正，t = tm 时i 最大。 （2） 0< t < tm ，i 增加 ，uL > 0； t > tm ， i 减小，uL < 0
1 ，=β π
LC
2
uC = U0 sin(ωt + 90o ) = uL i = U0 sinωt
ωL
等幅振荡。
0
ωt
uC+ -
C
L
能量转换
♠ 特征方程有一对共轭复根
Δ=(RC)2-4LC<0
p1
=
−
R 2L
+
j
1 − ( R )2 LC 2L
R<2 L C
p2
=
−
R 2L
−
j
1 − ( R )2 LC 2L
+
( R )2 − 1 2L LC
p2
=
−
R 2L
−
( R )2 − 1 2L LC
♠ 解的形式 uC (t) = k1e p1t + k2e p2t t > 0
♠ 由初始值定k1、k2
求
duC dt
(0+)
iL
uC(0+)= uC(0-)=U0
=
iC
=
−C
duC dt
∴ duC = − iL dt C
)
+
L(−C
d 2uC dt 2
)
=
0
整理上式有:
LC
d 2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC
=
0
二阶、线性、 常系数、齐次
LC
d 2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC
=0
♠ 特征方程 LCp2 + RCp + 1=0
p = − RC ± (RC)2 − 4LC 2LC
p1
=
−
R 2L
3.85
d 2iL dt 2
+
77
diL dt
+104 iL
=
0
3.85
d 2iL dt 2
+ 77
diL dt
+104 iL
=
0
3、特征方程 3.85p2+77p+104=0
欠阻尼
p1,2=-10±j50
4、解的形式 iL(t)=Ke-10tsin(50t+ϕ）
500Ω
5、用初值确定K 、 ϕ
iL
= U 0 e−δt [δ (e jωt − e− jωt ) + jω (e jωt + e− jωt )] 2 jω
=
U
0 e −δt
δ
(
ω
sin
ωt
+
cosωt)
= e−δtk sin(ωt + ϕ )
iC
= −C duC dt
= U 0 e−δt sin ωt ωL
uL
=
L
diC dt
= U0
dt
由
diL dt
(0+) = 0
有:
Kcosϕ -10Ksinϕ =0……(2)
解得:K=1.02
Ksinϕ =1……(1)
ϕ =78.680
6、结果
iL(t)=1.02e-10tsin(50t+78.680）
uC
(t
)
=
3.85
diL dt
= −200e−10tsin50t(V )
500Ω
iL
+
tm
=
p1 p1 − p2
由duL/dt可确定uL为极小时的 t
( p12e p1t − p22e p2t ) = 0
解得
2 ln p2
t=
p1
p1 − p2
∴t = 2tm
能量转换关系
uC, i, uL U0
uL uC
i
0
tm 2tm
t
0 < t < tm uC 减小，i 增加。 电容放出储能，电感
∴ duC = − iL dt C
∴ duC (0+) = − iL (0+) = 0
dt
C
由uC(0+)=U0 ，得: k1e p1⋅0 + k2e p2⋅0 = U 0
即 k1+k2=U0
(1)
由 duC (0+) = 0 ，得: dt
k1 p1e p1t |t=0 +k2 p2e p2t |t=0 = 0
♠ 特征方程有不相等的实根
Δ=(RC)2-4LC>0
R>2 L C
uC
=
p2U 0 e p1t p2 − p1
+
− p1U 0 e p2t p2 − p1
uC(t)为非振荡过程
iC
= −C duC dt
= − Cp1 p2U0 (e p1t ( p2 − p1)
− e p2t )
p1 p2
=
1 LC