高阶滑模控制讲解学习

高阶滑模控制

高阶滑模控制（读书笔记）

王蒙

1、传统滑模控制有如下缺陷：

（1）抖振问题：主要是由未建模的串联动态引起，同时切换装置的非理想性也是一个重要原因；

（2）相对阶的限制：传统滑模控制只有在系统关于滑模变量s 的相对阶是 1时才能应用，也就是说，控制量u 必须显式出现在s中，这样就限制了滑模面的设计。

（3）控制精度问题：在实际的、采样实现的传统滑模控制算法中，滑动误差正比于采样时间τ，也就是说，有限时间到达的传统滑模在具有零阶保持器的离散控制下，系统的状态保持在滑动模态上的精度是采样时间的一阶无穷小，即Oτ；

()

2、高阶滑模控制理论

在传统滑模控制中，不连续的控制量显式地出现在滑模变量的一阶导数s 中，即s是不连续的。由于未建模动态和非理想的切换特性，传统滑模存在抖振，它在实际应用中是有害的。连续近似化方法（如引入边界层）能抑制抖振，然而失去了不变性这个显著优点。Levant 提出了高阶滑模的概念，高阶滑

模保持了传统滑模的优点（如不变性），抑制了抖振，消除了相对阶的限制和提高了控制精度。

滑动模态的不变性：系统一旦进入滑动模态，对满足匹配条件的不确定性及干扰具有不变性。

3、高阶滑模的定义

（1）滑动阶r 是指滑模变量s 的连续全导数（包含零阶）在滑模面 s =0上为 0 的数目。滑动阶刻画了系统被约束在滑模面 s = 0上的运动动态平滑度。根据上述定义可知：传统滑模的滑动阶为 1，因为在滑模面上 s = 0，而s 则是不连续的，因此传统滑模又被称为一阶滑模。

（2）关于滑模面 s (t , x ) = 0的 r 阶滑动集由下述等式描述

(1)0r s s s s -=====

上式构成了动态系统状态的 r 维约束条件。

（3）1996 年，Levant 和 Firdman 给出了高阶滑模的精确定义

r 阶滑动集(1)0r s s s s -=====是非空，且假设它是 Filippov 意义下局部积分集（也就是说，它由不连续动态系统的 Filippov 轨迹组成），那么，满足(1)0r s s s s -=====的相关运动称为关于滑模面 s (t , x ) = 0的“r 阶滑模”。

（4）当且仅当系统轨迹位于状态空间中 s = 0和0s =的交界处时，系统具有二阶滑模动

态，如图所

示。

（5）在实现高阶滑模控制时，所面临的一个主要问题就是所需的信息增加了。一般来说，滑模面 s = 0上的r 阶滑模控制器的设计，需要用到

(1),,,,r s s s s -的信息（已知仅有二阶滑模 Super-Twisting 算法只需要s 的信

息）。理论上，(1),,

,r s s s -的值可以通过有限时间收敛的精确鲁棒微分器获取。

4、二阶滑模控制

（1）滑模控制在解决不确定高阶非线性动态系统时是一种非常有效的方法, 表现在对系统不确定非线性-系统建模误差与外部干扰的强鲁棒性和算法设计简单. 然而, 滑模控制存在的“抖振”现象。二阶滑模控制使得控制量在时间上是本质连续的, 这样能有效地减小系统抖振, 又不以牺牲控制器的鲁棒性为代价。

（2）二阶滑模是指，二阶滑动集0s s ==非空，且假设它是Filippov 意义下的局部积分集，那么，满足式0s s ==的相关运动称为关于滑模面(,)0s t x =的二阶滑模。考虑下列形式的单输入动态系统：

(,)(,),(,)x a t x b t x u s s t x =+= （14）

式中，n x R ∈为系统状态量，u R ∈为控制输入， (,)a t x 和(,)b t x 为光滑的未知向量场，令 (,)0s t x =为所定义的滑模面，控制目标使系统的状态在有限时间内收敛到滑模流形滑模流形(,)(,)0s t x s t x ==上。

（3）通过引入虚拟变量1n x t +=对系统（2.22）进行扩展，记

(,1),(,0)T T T T e e a a b b ==, 1(,)T T e n x x x +=，则系统扩展为

()(),()e e e e e e x a x b x u s s x =+=

（4）依据相对阶的定义，对滑模变量s 考虑以下两种不同情形：

相对阶 r = 1，即

0s u

∂≠∂ 相对阶 r = 2，即0,0s s u u ∂∂=≠∂∂ （5）相对阶 r = 1时

可以采用传统滑模（一阶滑模）控制的方法来解决的问题。然而，若采

用二阶滑模控制则可以抑制抖振，此时，将控制输入u 的导数u 被看作新的控制变量。设计不连续的控制u 使得滑模变量s 趋于零，并保持二阶滑动模态，即 s = s= 0，而控制输入u 是通过对u 的积分得到的，故是连续的，从而抑制了系统的抖振。

滑模变量s 的一阶导数为(()())e e e e e e a b e

s s a x b x u L s L su x ∂=+=+∂ 其中()e a e e e

s L s a x x ∂=∂称为s 关于e a 或沿e a 的 Lie 导数。 滑模变量s 的二阶导数为

222()(()())e e a e e e e b e e e a b e e e e e a b b a b L s L su s

s a x b x u x u L s L L su L L su L su L su ∂+∂=++∂∂=++++

简化为(,,)(,)()s t x u t x u t ϕγ=+

2220|(,,)a e e e e b e e

u a b b a s t x u L s L L su L L su L su ϕ===+++ (,)0e b s t x L s u

γ∂==≠∂