三角形“四心”向量表示

三角形四心的向量问题

三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结

1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==

故0OC OB OA =++;

1()3

PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.

2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，

则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：

：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++

3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2

2

2

OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心

则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：

：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是

|

CB |CB |

CA |CA OC |

BC |BC |

BA |BA (

OB AC

AC |

AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则

刚

才

O

是

ABC

∆内心的充要条件可以写成

0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅

O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;

||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直

线)； 二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不

共线的三

个点，动点P 满足

AC AB OA OP ++=λ，

[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（

）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为

AB 是向量AB 的单位向量设AB

与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，

那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”AB 是什么？没见过！想

想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本

知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.

由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ） A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理

所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。 (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.

证明 作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形

⇒

D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将G

E GC GB =+代入GC GB GA ++=0， 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故

G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））

例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3

1

PC PB PA PG ++=

. 证明

CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=

∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒

CG

BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3