人教版数学七年级上册余角与补角
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【课件】余角和补角++课件人教版七年级数学上册
所以∠DOE= ∠BOD=75°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
6.3.3 余角和补角
数学 七年级上册人教版
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课堂互动
基 础 题
.
中 档 题
素 养 题
预习导学
1.如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为 余角 ,简称两个
角
互余
;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为
补角
简称两个角
互补
.
2.同角(等角)的余角
相等;同角(等角)的补角 相等 .
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOE= ∠AOC=70°.
(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
补 角;如果∠3,∠4
知识点2 余角、补角的性质
例2
如图所示,直线AB,CD交于点O,因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=
180°,所以∠1=∠2的依据是(
)C
A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
6.3.3余角和补角-(课件)人教版(2024)数学七年级上册
感悟新知
知2－练
解： OE 平分∠BOC. 理由如下：
因为∠DOE=9 0°，
所以∠DOC＋ ∠COE=9 0°.
又因为∠AOB=180°，所以∠AOD＋ ∠BOE=90°.
因为OD平分∠AOC，所以∠AOD= ∠DOC.
所以∠COE= ∠BOE，即OE 平分∠BOC.
感悟新知
4-1.[期末·厦门思明区]如图，∠AOB=90 °， ∠COD=90°，OA 平分∠DOE， 若 ∠BOC=20°，求∠AOE 的度数. 解：因为∠AOB＝∠COD＝90°， ∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋ ∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC ＝20°.因为OA平分∠DOE， 所以∠AOE＝∠AOD＝20°.
感悟新知
知1－练
又因为∠AOC＋ ∠BOC=180 °，∠AOC＋ ∠DOE=180 °， ∠DOE＋∠BOC=1 8 0°， 所以图中互补的角有7 对，分别是∠1 和∠BOD，∠4 和 ∠AOE，∠3 和∠BOD，∠2 和∠AOE， ∠AOC 和∠BOC，∠AOC 和∠DOE，∠DOE 和∠BOC.
感悟新知
解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方 面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的 两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面 是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互 余，将平角分成两个角，则这两个角互补.
感悟新知
知1－练
(1)图中互余的角有几对？分别是哪些？
感悟新知
(3)写出∠COD 的补角. 解：∠COD的补角为∠AOE.
知2－练
感悟新知
知2－练
例 4 如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一 条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分 ∠BOC 吗？为什么？
人教版数学七年级上册4.余角、补角的概念和性质课件
（4）同一个角的补角相等吗？如 两个角相等，它们的补角相等吗？
什么叫两 个角互为 余角？
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
什么叫两
个角互为
4
补角？
3
4
2∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4 3
补角性质：
同角或等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB，
1. ∠COE = 90 °
2. 则∠BOC∠= DOE ， 3. ∠COD∠= AOE 。
知识回顾 三角板中的两个锐角有什么关系？
4.3.1余角和补角
学习目标 理解互为余角和互为补角
的概念，掌握互为余角及互为 补角的性质，会求一个角的余 角或补角。
自学指点
1、自学课本P127---P129的内容。 2、弄清如下问题： （1）什么叫两个角互为余角？ （2）什么叫两个角互为补角？ （3）同一个角的余角相等吗？如 两个角相等，它们的余角相等吗？
什么叫两 个角互为 余角？
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
什么叫两
个角互为
4
补角？
3
4
2∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4 3
补角性质：
同角或等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB，
1. ∠COE = 90 °
2. 则∠BOC∠= DOE ， 3. ∠COD∠= AOE 。
知识回顾 三角板中的两个锐角有什么关系？
4.3.1余角和补角
学习目标 理解互为余角和互为补角
的概念，掌握互为余角及互为 补角的性质，会求一个角的余 角或补角。
自学指点
1、自学课本P127---P129的内容。 2、弄清如下问题： （1）什么叫两个角互为余角？ （2）什么叫两个角互为补角？ （3）同一个角的余角相等吗？如 两个角相等，它们的余角相等吗？
人教版七年级数学上册《余角和补角》课件
那么∠2=∠4吗？
因为∠1+∠2= 90° ，
°
∠3+∠4= 90 ，
且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗？
∠2=∠4.
如何证明？
探索新知
已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,
求证：∠2=∠4.
证明：因为∠1与∠2互补，
如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
作业：
1. 完成习题4.3中第8，
9题；
2.完成练习册本课时的
习题。
谢谢
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方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O
●
东
60°
10°
●
A
巩固练习
练习1. 已知∠α＝53°27′, ∠α与∠β互为余角，求∠β的度数
.
解： 因为∠与∠互为余角（已知）,
所以∠ + ∠ = 90°（余角定义）,
所以∠ = 90°－∠.
因为∠＝53°27′,
′
所以∠ = 90°－∠＝90°－53°27
因为∠1+∠2= 90° ，
°
∠3+∠4= 90 ，
且∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
等角的余角相等.
探索新知
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,那
么∠2=∠4吗？
∠2=∠4.
如何证明？
探索新知
已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3,
求证：∠2=∠4.
证明：因为∠1与∠2互补，
如果两个角的和等于180º（平角），就说这
两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角（等角）的余角相等.
同角（等角）的补角相等.
作业：
1. 完成习题4.3中第8，
9题；
2.完成练习册本课时的
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方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西
45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔
方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
D
西
北40° B
45°
O
●
东
60°
10°
●
A
巩固练习
练习1. 已知∠α＝53°27′, ∠α与∠β互为余角，求∠β的度数
.
解： 因为∠与∠互为余角（已知）,
所以∠ + ∠ = 90°（余角定义）,
所以∠ = 90°－∠.
因为∠＝53°27′,
′
所以∠ = 90°－∠＝90°－53°27
人教版数学七年级上册4.余角和补角课件
16 ． (8 分 ) 如 图 ， 已 知 直 线 AB 和 CD 相 交 于 点 O ， OM 平 分 ∠ BOD ， ON⊥OM，∠AOC＝50°. (1)求∠AON的度数； (2)写出∠DON的余角．
解：(1)65° (2)∠DOM，∠MOB
17．(10分)如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF， ∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
解：如图：
19．(12分)如图甲所示，∠AOB，∠COD都是直角． (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余、还是互补的关 系，你能用推理的方法说明你的猜想是否成立吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到图乙的位置时，你本来的猜想还成立吗？
方位的表示方法
在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度并在图 上表示出来，注意表示时要先写北还是南，再写偏东或偏西，偏多
少度，如图4－3－28，OA是表示北偏东30°的 一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线； 特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北 方向，OD表示东南方向.
例题
小结
1. 余角和补角的定义：
如果两个角的和等于
，就说这两个角互为余角；如果两个
角的和为
，就说这两个角互为补角.
2. 余角和补角的性质： 同角(等角)的补角________，同角(等角)的余角_________．
3. 如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线． (1)∠AOD的补角是__∠__B_O__D___，余角是__∠__C_O__D__； (2)∠DOB的补角是__∠__A__O_D_____． 4. 已 知 ∠ α ＝ 20° ， 则 ∠ α 的 余 角 为 _______70，° ∠ α 的 补 角 为 ______1_6_0．° 5. ∠A的补角为130°，则∠A的余角为________4．0°
6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册
∴∠BOC+∠AOE=90°.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角
O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分 别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射 线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船 在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习 ： 看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另 比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体 的方向． 即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北 西北
西 O
西南 南
东北 东 东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ； 又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
人教版七年级数学上册4.余角和补角课件
理由如下：
∵ ∠AEF+ ∠4 = 180 °， ∠CFE+ ∠3 = 180 °，
∵ ∠3 = ∠4 = 90 °， ∴ ∠AEF = ∠CFE （等角的补角相等）；
∵ ∠5+ ∠1 = 90 °， ∠6+ ∠2= 90 °，
∵ ∠1 = ∠2 ， ∴ ∠5 = ∠6（等角的余角相 等）.
作业 p139 5 , 6 ,8题
∠COD = 90 °则 __∠_2__+ ∠BOD = 90 ° 答：∠1 = ∠2
探究二:余角和补角的性质. （等角的余角相等） 如图，∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
余角的性质：同角(等角)的余角相等
探究三 补角的性质
同角的补角相等
DC
A
O
B
3.判断正误： (1)钝角没有余角,但一定有补角.( 正确 ) (2)一个锐角的余角一定比这个角大.( 错误 ) (3)若两个角互补,则一个为锐角,一个为钝角. ( 错误 ) (4)若一个角的余角是45°12′,则这个角的补角是
135°12′.( 正确 )
4.（临沂中考）如果
，那么
的余角的度数是（ ）
则这个角的补角是(180－x)°. 由题意得180－x=3x, 解得: x = 45, 则这个角的度数为45°. 变式训练:已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个 角的度数. 设这个角为x°.由题意得180－x=4(90-x)，解得：x=60.
课堂小结
余角、补角的概念： （1） 和为90°的两个角称互为余角； （2） 和为180°的两个角称互为补角.
余角、补角的性质： （1） 同角或等角的余角相等； （2） 同角或等角的补角相等.
6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册
角描述一个物体的方位。
方位角是表示方向的角.
E
以正北、正南方向为基准
来描述物体所处的方向.
正东：射线 OA
八大 方位
正南：射线 OB 正西：射线 OC
正北：射线 OD
西 西北方向：射线 OE C
西南方向：射线 OF
东北方向：射线 OH 东南方向：射线 OG
F
北 D
45° 45°
O
45°45°
B 南
H A东 G
100o
120o
150o
170o
课堂练习
练习4 填空
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=__1_8_0_°_. （2）∠1=90º－∠2，则∠1与∠2的关系为_互__为__余__角____.
二 余角、补角的性质
思考1：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3有什 么大小关系
解：∵∠1与∠2， ∠3都互为补角，
30o
50o
60o
40o
80o
一 余角、补角的定义
思考：∠3 与∠4 有什么数量关系？
2
∠3+∠4 = 180°
1
补角
4 3
如果两个角的和是180°(平角)，就说这
两个角互为补角(简称两角互补)，即其中一个
角是另一个角的补角。
课堂练习
练习3 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
等角的补角相等
二 余角、补角的性质
补角的性质：同角(等角)的补角相等
符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180° ∴∠B＝∠C(同角的补角相等) 符号语言： ∵∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠A＝∠D ∴∠B＝∠C(等角的补角相等)
6.3.3 余角和补角课件2024-2025学年人教版数学七年级上册
和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互
为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°， D 而已知条件中隐含互为补角的条件，Fra bibliotekC E
再利用角平分线的条件，便可以发现 A O B
互为余角的角.
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上
， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
补角的定义
新知探究
余角的定义
新知探究
针对训练 1.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B_O__E_，∠COD的余角是 _∠__C_O__E_、__∠__B_O__E___. （2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°.
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 = 180°.
新知探究 知识点 1 余角和补角的概念
余角 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ， 简称这两个角互余，其中 一个角是另一个角的余角.
2 1
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是 ∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
解得x=50°.所以180°-x=130°. 所以∠AOC=130°，∠AOB=50°.
新知探究 知识点 2 余角和补角的性质
探究1：∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与 ∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 所以∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1.
的余角，∠3 是∠4 的补角；√ ④如图，∠A 不是∠B 的余角； × 32° A
人教版七年级上册数学4.余角和补角的概念与性质课件
41 5 ∠4= ∠ 5
理由:∵∠1与∠4互补 ∴∠4=180o-∠1 ∵∠1与∠5互补 ∴∠5=90o-∠1 ∴∠4=∠5
延伸 1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
1 2
理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠1=90o-∠2 ∵∠3与∠4互余 ∴∠3=90o-∠4
又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3
∠1 、∠2、 ∠3 互余（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
练习：
1、帮 找朋友： 的余角 的补角
80
10
100
45
70 39'
45
19 21'
90
135
109 21'
180
练习：
2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解：设这个角的余角的度数为 x ，
一定互余.
（×）
（5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么 ∠1、∠2、∠3这三个角互为余角. （ ×）
巩固练习
2、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，
则与∠AOC互余的角为__B_O__C_和____A_O__D.
AC
解： AOC+BOC AOB=90
AOC与BOC互余
∠A=∠1 （同角的余角相等）
性质的应用
例3 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线
OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互Байду номын сангаас补角.
又因为射线OD和射线OE
分别平分∠AOC∠BOC，
1
6.3.3余角和补角 课件-人教版数学七年级上册
∠WOA= ∠SOB，∠SOA= ∠EOB.
综合应用创新
解法提醒
1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题.
2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题.
3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
综合应用创新
题型
4
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠
1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
综合应用创新
方法点拨：
在图形的变换探究中，应善于抓住不变
的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题
图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，
图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结
合两个量才能探究出结论是否变化.
的符合要求.
综合应用创新
解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故
A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，
故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以 ∠1
＋ ∠2 =9 0°. 所以∠2＋ ∠1 = ∠1＋ ∠2＋ ∠2 >9 0°，
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合
在点О 处.
思路引导：紧扣要判定的角和
两个90 °角的关系进行分析.
综合应用创新
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：
综合应用创新
解法提醒
1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成
平角，可以解决互补问题.
2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成
直角，可以解决互余问题.
3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决
等角问题.
综合应用创新
题型
4
利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系
2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠
1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3.
综合应用创新
方法点拨：
在图形的变换探究中，应善于抓住不变
的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题
图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，
图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结
合两个量才能探究出结论是否变化.
的符合要求.
综合应用创新
解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故
A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，
故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以 ∠1
＋ ∠2 =9 0°. 所以∠2＋ ∠1 = ∠1＋ ∠2＋ ∠2 >9 0°，
例 8 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合
在点О 处.
思路引导：紧扣要判定的角和
两个90 °角的关系进行分析.
综合应用创新
(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由.
解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下：
6.3.3 余角和补角 课件人教版(2024)数学七年级上册
证明：因为 OC ⊥ AB ，所以∠ COA ＝∠ COB ＝90°.
因为 OC 平分∠ DOE ，所以∠ COD ＝∠ COE .
因为∠ AOC ＋∠ COD ＝90°，∠ BOE ＋∠ COE ＝90°，
所以∠ AOD ＝∠ BOE .
4． 如图，∠ AOC ＝∠ COB ＝90°，∠ DOE ＝90°， A ， O ， B 三
∠ BOC ，则图中互余的角共有(
A． 1对
B． 2对
C． 3对
D． 4对
D
)
7． 几何直观【人教七上P188复习题T11改编】按如图所示的方法折
纸，然后回答问题：
(1)∠1与∠ AEC ，∠3和∠ BEF 分别有何关系？
解：(1)因为∠1＋∠ AEC ＝180°，所以∠1与∠ AEC 互补．
因为∠3＋∠ BEF ＝180°，所以∠3与∠ BEF 互补．
因为 OD 平分∠ BOC ，所以∠ COD ＝∠ DOB .
因为∠ COE ＋∠ COD ＝∠ DOE ＝90°，
所以∠ AOE ＝∠ COE .
所以 OE 平分∠ AOC .
2. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠ AOC 与∠ COD 互补， OE 平分
∠ AOC ，∠ DOE ＝48°，求∠ BOD 的度数．
(2)∠1与∠3有何关系？
(2)由翻折的性质，得∠1＋∠3＝ ×180°
6． (2023·北京)如图，∠ AOC ＝∠ BOD ＝90°，∠ AOD ＝126°，
则∠ BOC 的大小为(
A． 36°
B． 44°
C． 54°
D． 63°
C
)
7． 如图，若将一副三角尺折叠放在一起，使直角的顶点重合于点
七年级数学人教版(上册)4.3.3余角和补角课件
巩固训练
5.M地是海上观测站,从M地发现两艘船A,B的方位如图所示,下列说法 中正确的是( C ) A.船A在M的南偏东30°方向 B.船A在M的南偏西30°方向 C.船B在M的北偏东40°方向 D.船B在M的北偏东50°方向
6.如图,一艘轮船行驶在B处,同时测得小岛A,C的方向分别为北偏西
30°和西南方向,则∠ABC的度数是( C )
通过表格， 细心的你有 什么惊人的 发现吗？
思考探究
1.若1与2、3都互为补角, 那么2、3的大小有什么关系？ 2.若1与2、3都互为余角, 那么2、3的大小有什么关系？
补角和余角的性质
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，求 证：∠2=∠4
证明：∵∠1与∠2互补
∴∠2=180°－ ＿∠＿1 ＿
A.135° B.115°C.105°D.95°
拓展提升
7.如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射
线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中互为余角
的是∠_C_O__D_ 和∠_C_O_E__ , ∠_C__O_D__ 和 ∠_B_O_E___,
∠A__O_D_ 和_∠_C_O__E_, ∠_A__O_D__ 和 _∠_B_O__E_.
DC E
AO
B
拓展提升
8.如图,直线BC与MN相交于点O,∠AOB＝90°. (1)分别写出图中与∠AOM互余和互补的角; (2)已知OE平分∠BON,且∠EON＝20°,求∠AOM的度数.
解:(1)与∠AOM互余的角是∠COM,∠BON; 与∠AOM互补的角是∠AON. (2)因为OE平分∠BON,∠EON＝20°, 所以∠BON＝2∠EON＝40°. 因为∠AOB＝90°, 所以∠AOM＝180°－∠BON－∠AOB
6.3.3余角和补角课件人教版数学七年级上册(1)
则∠ =（ D ）
A.100°
B.110°
D.130°
C.120°
解：∵ 平分∠，∠ = 100°，
1
2
∴ ∠ = ∠ = 50°，
∴ ∠ = 180° − ∠ = 130°，
故选：D
随堂练习
练习3. 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是（
50°
O
东
C.在点O北偏西40°方向5km处
D.在点O北偏西50°方向5km处
解:由题意得:90° − 50° = 40°，点A在点O北偏西40°方向5km处，
故选:C.
随堂练习
练习1. 已知 ∠ = ∠ = 90° ，且 ∠ = 25° ，则 ∠ = （ D ）
A.160°
A. 38°
B. 48°
C. 58°
解：∵ ∠1和∠2互余， ∠1 = 32° ，
∴ ∠2 = 90° − ∠1 = 58°，
故选：C
D. 148°
知识讲解
余角和补角：
一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，
即其中一个角是另一个角的补角.两个角互为补角简称为两个角互补.
3
4
知识讲解
例2. 已知∠ = 47°55′ 40″，若∠与∠互补，则∠ = 132°4′20"
解：∵ ∠和∠互补，∠ =
47°55′40"，
∴ ∠ = 180° − ∠ = 132°4′20"，
故答案为：132°4′20"
知识讲解
注意：
1.两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关，只
∴ ∠ = 180° − ∠ = 180° − 50° = 130°，
A.100°
B.110°
D.130°
C.120°
解：∵ 平分∠，∠ = 100°，
1
2
∴ ∠ = ∠ = 50°，
∴ ∠ = 180° − ∠ = 130°，
故选：D
随堂练习
练习3. 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的数量关系是（
50°
O
东
C.在点O北偏西40°方向5km处
D.在点O北偏西50°方向5km处
解:由题意得:90° − 50° = 40°，点A在点O北偏西40°方向5km处，
故选:C.
随堂练习
练习1. 已知 ∠ = ∠ = 90° ，且 ∠ = 25° ，则 ∠ = （ D ）
A.160°
A. 38°
B. 48°
C. 58°
解：∵ ∠1和∠2互余， ∠1 = 32° ，
∴ ∠2 = 90° − ∠1 = 58°，
故选：C
D. 148°
知识讲解
余角和补角：
一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，
即其中一个角是另一个角的补角.两个角互为补角简称为两个角互补.
3
4
知识讲解
例2. 已知∠ = 47°55′ 40″，若∠与∠互补，则∠ = 132°4′20"
解：∵ ∠和∠互补，∠ =
47°55′40"，
∴ ∠ = 180° − ∠ = 132°4′20"，
故答案为：132°4′20"
知识讲解
注意：
1.两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关，只
∴ ∠ = 180° − ∠ = 180° − 50° = 130°，
6.3.3 余角和补角(1) 课件 人教版(2024)数学七年级上册
余角和补角(1)
分层检测
17. 如图，两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起，其中∠ ACD ＝
∠ BCE ＝90°.
(1)若∠ DCE ＝25°，则∠ ACB ＝
155°
(2)若∠ ACB ＝150°，则∠ DCE ＝
30°
；
；
(3)试说明：∠ ACB 与∠ DCE 互补.
解：∵∠ ACD ＝∠ BCE ＝90°，
知识点2：余角与补角的应用
5. 【例】如图，已知∠ ABP 与∠ CBP 互余，∠ CBD ＝32°， BP 平分
∠ ABD . 求∠ ABP 的度数.
解：∵∠ ABP 与∠ CBP 互余，
∴∠ ABC ＝∠ ABP ＋∠ CBP ＝90°，
∵∠ CBD ＝32°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC ＋∠ CBD ＝122°，
6.3.3 余角和补角(1)
1
课前预习
2
3
分层检测
课堂学练
6.3.3
余角和补角(1)
课前预习
1. 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为 余角
角
，∠2是∠1的
余角
.
2. 若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β互为
3. 同角(等角)的余角 相等
，其中∠1是∠2的
补角
，同角(等角)的补角
.
相等
.
余
∠ BON ＝64°
(1)求∠ COM 的大小；
解：∵ ON 平分∠ BOC ，∠ BON ＝64°，
∴∠ BOC ＝2∠ BON ＝128°，
∴∠ AOC ＝180°－∠ BOC ＝52°，
∵ OM 平分∠ AOC ，
6.3.3 余角和补角课件人教版数学七年级上册
由题意得,90°-x=14(180°-x). 所以x=60°.
所以这个角的度数是60°.
知识点 余角、补角的性质及计算
1.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角为 ( D )
A.12(180°-∠1)
B.12∠1
C.12(∠1+∠2)
D.12(∠1-∠2)
【解析】因为12(∠1-∠2)+∠2=12(∠1+∠2)=90°,所以∠2的余角为12(∠1-∠2).
【解析】180°-46°35'
=179°60'-46°35'
=133°25'.
4.如果∠α和2∠β互补,且∠α<2∠β,给出下列四个式子:①90°-∠α;②2∠β-90°;
③∠β-12∠α;④∠β+12∠α.其中可以表示∠α余角的式子有( ) B
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】因为∠α与2∠β互补,
5.如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,则 ∠COE的余角是_____∠_C__O_D__,∠__A_O_D___. 【解析】因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠AOD=∠COD=12∠AOC,∠COE=∠BOE=12∠BOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12×180°=90°, 所以∠COE+∠AOD=90°, 所以∠COE的余角是∠COD,∠AOD.
(2)因为OE平分∠BOD,OF平分∠AOC, 所以∠DOE=∠EOB=12∠BOD, ∠COF=∠FOA=12∠AOC. 因为∠AOD=k∠BOC,∠EOF=14∠BOC, 即∠BOC=4∠EOF, 所以∠AOD=4k∠EOF. 因为∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD,∠BOD=2∠BOE,∠AOC=2∠COF, ∠BOE+∠COF-∠BOC=∠EOF, 所以4∠EOF=2(∠EOF+4∠EOF)-4k∠EOF,k=32.
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之间的关系，等角的余（补）角相等指的是 四个角之间的关系
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巧记乐背
同、等角的余角相等， 同、等角的补角相等； 运用的依据都相同，
图形之中找等角.
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例2 如图4-3.3-2，直线AB与∠COD的两边OC，OD
误认为多个角的和为90°或180°时，也称其 为互余或互补 例4 如图4-3.3-4，O是直线AB 上一点，赵敏说：“因为∠1， ∠2，∠3，∠4四个角组成一 个平角，所以它们互为补角.”
角
的角度来描述物体所在的方向，这种方法叫作方
位角描述法
知识 解读
画图标准：一般按“上北下南，左西右东”.表示 格式：南（北）偏东（西）××度.特殊情况：
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①只用东、西、南、北四个方向中的任意一 个方向表示时分别在其前面加“正”，如正东、
知识 正西、正南、正北；
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“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）
的补角相等”是推得两角相等的常用方法，实质上
还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的 情况下使用起来更简捷.
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方位角
内容
为了准确地表示出方向，就要借助角的表示方式， 方位 通常以正南、正北方向为基准，配以偏东或偏西
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第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.3 余角与补角
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余角和补角的概念 内容 余角
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个
角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两 个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角
所以图中互为余角的角有4对，分别是∠1与∠2，∠3
与∠4，∠2与∠3，∠1与∠4. (2)由∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°， 得∠1的余角是∠2和∠4. （3）由∠1+∠BOD=180°，得∠1的补角是∠BOD.
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不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事
(1)图中互为余角的角有几对？各是哪些？ (2)∠1的余角是哪个？ (3)∠1的补角是哪个？
图4-3.3-1
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解：（1）因为∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°， 所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∠1+∠4=90°.
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解：∠2=∠7，∠2=∠4，∠2=∠3. 理由如下： 因为∠2+∠8=180°，∠7+∠8=180°（平角的定义），
所以∠2=∠7（同角的补角相等）.
因为∠1+∠3=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠2=∠3（同角的补角相等）. 因为∠1+∠4=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠2=∠4（同角的补角相等）.
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例3 如图4-3.3-3，根据A，B，C，D，E各点在图中的 方位填空.
图4-3.3-3
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正南方向 （1）射线OA表示______________________ ；
北偏西45°或西北方向； （2）射线OB表示______________________ 南偏西60°方向 ； （3）射线OC表示______________________ 南偏东70°方向 （4）射线OD表示______________________ ；
解读 ②习惯上北偏东45°用东北表示，北偏西45°用
西北表示，南偏东45°用东南表示，南偏西45°
用西南表示.
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方位角表示方向， 习惯南、北放在前； 多用偏字表旋转，
测得度数知方向.
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补角
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(1)互余（补）特指两个角之间的一种特殊关系，如果 三个或三个以上的角相加等于90°（或180°）时，不
能说这些角互余（补）；
(2)互余（补）是指两个角之间的数量关系，而不是位 置关系，即互余（补）的两个角可能相邻，也可能不 相邻，还可能有一部分重合； (3)在某个图形中，一个角可能没有余（补）角，也可 能有一个或多个余（补）角； (4)若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个 角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐
知识
解读
角和一个钝角
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余角补角不孤独， 它们总是成对出； 和为直角称互余，
和为平角称互补.
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例1 如图4-3.3-1，O是直线AB上的一点，∠AOC=
∠BOC=∠DOE=90°.
（5）射线OE表示_______________________. 北偏东30°方向 解析：图中各射线的方向可分为三类：射线OE，OC， OD为一类，表示形式为“×偏×”，其中注意OC与OD中 角度的转化；射线OB，射线OA各为一类.
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实上，互余或互补的角对位置没有任何要求.
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பைடு நூலகம்
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余角和补角的性质
内容 余角的性质 补角的性质 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 （1）得到余（补）角的性质的依据是等式 的基本性质——等式的传递性；
知识解读
（2）同角的余（补）角相等指的是三个角
分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°，找出图中与
∠2相等的角，并说明理由. 分析：图中连同∠1和∠2在内总共 有9个角(小于平角的角)，∠2是个 锐角，∠1，∠5，∠6，∠8是钝角， 这4个角显然不可能与∠2相等，再
逐一判断∠3，∠4，∠7，∠O是否
与∠2相等即可.
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图4-3.3-2
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同、等角的余角相等， 同、等角的补角相等； 运用的依据都相同，
图形之中找等角.
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例2 如图4-3.3-2，直线AB与∠COD的两边OC，OD
误认为多个角的和为90°或180°时，也称其 为互余或互补 例4 如图4-3.3-4，O是直线AB 上一点，赵敏说：“因为∠1， ∠2，∠3，∠4四个角组成一 个平角，所以它们互为补角.”
角
的角度来描述物体所在的方向，这种方法叫作方
位角描述法
知识 解读
画图标准：一般按“上北下南，左西右东”.表示 格式：南（北）偏东（西）××度.特殊情况：
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①只用东、西、南、北四个方向中的任意一 个方向表示时分别在其前面加“正”，如正东、
知识 正西、正南、正北；
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“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）
的补角相等”是推得两角相等的常用方法，实质上
还是等式性质及等量代换的运用，只不过在特定的 情况下使用起来更简捷.
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方位角
内容
为了准确地表示出方向，就要借助角的表示方式， 方位 通常以正南、正北方向为基准，配以偏东或偏西
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第四章 几何图形初步
4.3 角
4.3.3 余角与补角
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余角和补角的概念 内容 余角
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个
角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两 个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角
所以图中互为余角的角有4对，分别是∠1与∠2，∠3
与∠4，∠2与∠3，∠1与∠4. (2)由∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°， 得∠1的余角是∠2和∠4. （3）由∠1+∠BOD=180°，得∠1的补角是∠BOD.
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不要认为互余或互补的角一定是相邻的角，事
(1)图中互为余角的角有几对？各是哪些？ (2)∠1的余角是哪个？ (3)∠1的补角是哪个？
图4-3.3-1
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解：（1）因为∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°， 所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∠1+∠4=90°.
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解：∠2=∠7，∠2=∠4，∠2=∠3. 理由如下： 因为∠2+∠8=180°，∠7+∠8=180°（平角的定义），
所以∠2=∠7（同角的补角相等）.
因为∠1+∠3=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠2=∠3（同角的补角相等）. 因为∠1+∠4=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠2=∠4（同角的补角相等）.
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例3 如图4-3.3-3，根据A，B，C，D，E各点在图中的 方位填空.
图4-3.3-3
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正南方向 （1）射线OA表示______________________ ；
北偏西45°或西北方向； （2）射线OB表示______________________ 南偏西60°方向 ； （3）射线OC表示______________________ 南偏东70°方向 （4）射线OD表示______________________ ；
解读 ②习惯上北偏东45°用东北表示，北偏西45°用
西北表示，南偏东45°用东南表示，南偏西45°
用西南表示.
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巧记乐背
方位角表示方向， 习惯南、北放在前； 多用偏字表旋转，
测得度数知方向.
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补角
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(1)互余（补）特指两个角之间的一种特殊关系，如果 三个或三个以上的角相加等于90°（或180°）时，不
能说这些角互余（补）；
(2)互余（补）是指两个角之间的数量关系，而不是位 置关系，即互余（补）的两个角可能相邻，也可能不 相邻，还可能有一部分重合； (3)在某个图形中，一个角可能没有余（补）角，也可 能有一个或多个余（补）角； (4)若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个 角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐
知识
解读
角和一个钝角
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巧记乐背
余角补角不孤独， 它们总是成对出； 和为直角称互余，
和为平角称互补.
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例1 如图4-3.3-1，O是直线AB上的一点，∠AOC=
∠BOC=∠DOE=90°.
（5）射线OE表示_______________________. 北偏东30°方向 解析：图中各射线的方向可分为三类：射线OE，OC， OD为一类，表示形式为“×偏×”，其中注意OC与OD中 角度的转化；射线OB，射线OA各为一类.
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实上，互余或互补的角对位置没有任何要求.
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பைடு நூலகம்
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余角和补角的性质
内容 余角的性质 补角的性质 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 （1）得到余（补）角的性质的依据是等式 的基本性质——等式的传递性；
知识解读
（2）同角的余（补）角相等指的是三个角
分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°，找出图中与
∠2相等的角，并说明理由. 分析：图中连同∠1和∠2在内总共 有9个角(小于平角的角)，∠2是个 锐角，∠1，∠5，∠6，∠8是钝角， 这4个角显然不可能与∠2相等，再
逐一判断∠3，∠4，∠7，∠O是否
与∠2相等即可.
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图4-3.3-2