苏汝铿量子力学习题答案第二章2.16-2.18

14QM-2.16设氢原子处在基态，求：

（1） 它在动量表象中的表达式；

（2） x p 和2

x p 的平均值；

（3） x 和2x 的平均值；

解：氢原子基态波函数为 120121

(,,)r a r e a

φθϕπ-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2

1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为

2cos //223/200011()()1/21/20

1/23/222

3222

1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr

a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθϕππππ∞-----+∞==-=--+=+⎰⎰⎰⎰h h h h h h h g g h h h h h

于是

|()|0

x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==⎰

由于被积函数对x p 是奇函数

22222542250004

2

2

2|()|1|()|3

8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθϕπ∞-∞∞-∞∞==

=+=⎰⎰⎰⎰⎰h h h

而223223243532

113434()4!32

r a r a r a x e x dxdydz a

e r dxdydz a e r dr a

a a a ππ

---====⋅=⎰⎰⎰g

2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出：

（1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级；

（2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；

（3）μ+和e -

形成的束缚态能级。

解：氢原子束缚态的能级公式为： 42

22

(2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为：

42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n

πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。

（2）对于μ原子来说，束缚态的能级为：

42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n

μππ=-

=-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。 （3）μ+和e -

形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n

π=-= 其中e m 为电子质量。

14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r

=-+>，求粒子的能量本征值。

解：由于E>0是连续谱，所以仅讨论E<0

在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为

'''2222222(1)

()()[22]()0

E l l R r R r r r a A R r r r μμ

μ+++-+

⋅-⋅⋅=h h h

令

/r ρ=h

代入得

'''222

1

21

()()[((1))]()0

4A R R l l R μρρρρρ++-++=h （１） 由方程可知ρ→∞，R 的近世值为1/2e ρ-

0ρ→，解的形式为s ρ，而

2(1)[(1)2/]s s l l A μ+=++h 的正数解

即

1)/2s =

所以可令 1

2()()s R A e ρρρωρ-=，代入（１）得

'''()(22)()()1()0R s s ωρρωρωρ++--=

这为适合流超比方程，要使Ｒ（p ）在ρ→∞趋于０则有解

()(122,)F S s ωρρ=++

且

1s n +=- n ＝０、１、２…..

所以 本征值为

2

222(1)nl a E n s μλ=-++h

而1)/2s =

第14组 彭毅 200431020117 姜麟舜 200431020119