第八章参数模型功率谱估计资料
功率谱估计教材
1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
m m
ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m
jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]
1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT
jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0
第8章 功率谱估计-第2讲
2 N p 1 min f p n n0
(3) 协方差法
N 1 2 min f p n n p
不加窗，效率高,潜在不稳 定因素
不加窗，更多数据--〉更好 的估计和更低误差；最小 化复合全局误差。
▲ ■
8.3 AR模型功率谱估计
1. AR模型功率谱估计原理 2. 基于Levinson-Durbin算法的自相关法 3. Burg算法 4. 非约束最小二乘法 5. AR模型阶次的选择 6. AR模型谱估计的性质
▲ ■
8.3.1 AR模型功率谱估计原理
假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：
x(n) a p (k )(n k ) w(n)
k 1
设已求得 m 1 阶Yule-Walker方程
▲ ■
8.3.2 基于L-D的自相关法
rx (0) r (1) x rx (2) rx (m 1) rx (m 1) rx (m 2) rx (m 3) rx (m 2) rx (m 3) rx (0) rx (1) rx (0) p (1)
i 1
ˆ n p a p ,i x n p i x
▲ ■
8.3.1 AR模型功率谱估计原理
a p (1)
x n 1
ˆ n a p ,i x n i x
i 1
p
a p ( p 1)
▲
■
8.3.1 AR模型功率谱估计原理
假定 w(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，w(n)为白 2 x(n) 为服从AR过程的因果信号。 噪声，方差为 ， 由AR模型的差分方程，有
功率谱估计
功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。
对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。
功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。
如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。
参数法功率谱估计
参数法功率谱估计一、信号的产生（一）信号组成在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。
（二）程序N=1024;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024);这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号其波形如下0100200300400500600-8-6-4-2246810(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形二、参数模型法功率谱估计（一）算法原理简介1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出；② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数；③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。
2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。
“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。
此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==p k kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=p k jwkk jw x e a e P σ。
3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。
（二）两种AR 模型阶次的算法1．Yule-Walker 算法(自相关法)（1）算法主要思想Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。
从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。
第8章 功率谱估计-第1讲
n
RN ( n )e
jn
e jn
n 0 N 1 2
N 1
1 e jN sin N 2 j e j 1 e sin 2
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 它的频谱图如图所示。得到的功率谱估计是它 与真实功率谱的卷积，由于它与 函数比较有二 方面的差别，一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣 ，因此卷积的结果必然造成失真。
▲
■
8.2.1 经典方法
2. 周期图法 由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其 一是PSD主瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能 量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与 旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情 况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主 瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中而无 法检测出来。
2 N m 1 k 1 m N
[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
▲ ■
8.2.1 经典方法
1. BT法
ˆx(m)] 0 ，并且 当 N 时，var[r
ˆx(m)] var[r ˆx (m)] var[r ˆx(m) 虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计 r ˆx (m) 的方差。实际应用中多用这种有 量的方差小于 r ˆx (m) 表示。 偏自相关估计。也用符号 r
▲
■
10
8.1 总述
图a BT法
图b 最大熵法
图c Pisarenko谐波分解法
▲
■
第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计
《功率谱估计》课件
实验数据展示 功率谱估计结果对比 误差分析 实验结论与展望
结果分析：对比不同方法的结果，分析优缺点 实验误差来源：讨论实验误差的来源，如设备、环境等因素 改进方向：提出针对实验误差的改进措施，提高实验精度 未来展望：探讨功率谱估计在未来的应用和发展趋势
功率谱估计的应用 案例
语音信号处理：用于语音分析和编码，提高语音质量 图像和视频信号处理：用于图像和视频的压缩和传输，降低带宽需求 雷达和声呐信号处理：用于目标检测和跟踪，提高定位精度
通信领域：用于调制解调、频 谱管理、频谱监测等
生物医学工程：用于心电图信 号处理、脑电图信号处理等
总结与展望
介绍了功率谱估计的基本概念和原理 分析了功率谱估计的常用方法 探讨了功率谱估计在实际应用中的优势和局限性 总结了本次PPT的主要内容和知识点
功率谱估计技术的进一步优化 拓展应用领域，如语音、图像等 结合深度学习等先进技术，提高估计精度 探索与其他领域的交叉研究，如信号处理、通信等
信号的分类
信号的时域和频域 表示
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的应用 场景
功率谱估计的方法
FFT算法原理 FFT算法优缺点分析
FFT算法实现步骤
FFT算法在功率谱估计中的应 用
最小二乘法的基本 原理
功率谱估计的数学 模型
基于最小二乘法的 实现过程
算法的优缺点及改 进方向
卡尔曼滤波原理
功率谱估计与卡尔 曼滤波结合
《功率谱估计》PPT 课件
汇报人：PPT
目录
添加目录标题
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的方法
功率谱估计的原理 与步骤
功率谱估计的实验 与分析
功率谱估计的应用 案例
添加章节标题
功率谱估计的经典方法PPT课件
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)
Ryy(m) zm
Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p
Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p
Sxx(z)Shh (z)
m n
S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换
Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有
Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。
《功率谱估计》课件
目录
• 引言 • 功率谱估计的基本原理 • 常见功率谱估计方法 • 现代功率谱估计方法 • 功率谱估计的性能评估 • 实际应用案例分析
01
引言
功率谱估计的定义
功率谱估计是对信号的频率内容进行描述的方法，通过分析信号在不同频率的功 率分布情况，可以了解信号的特性。
功率谱估计可以分为非参数方法和参数方法两类，其中非参数方法包括傅里叶变 换、Welch方法等，而参数方法则包括AR模型、MA模型、和ARMA模型等。
非参数模型
不假设信号的功率谱具有特定参数形式，而是直接从数据中估计功率谱。
03
常见功率谱估计方法
直接法
定义
直接法是通过测量信号的样本值，利用离散 傅里叶变换（DFT）直接计算信号的频谱。
特点
计算简单，但容易受到频率偏移和相位失真的影响 。
应用场景
适用于信号频率稳定且对相位精度要求不高 的场合。
间接法
THANKS
感谢观看
分辨率与假峰率
分辨率（Resolution）
衡量功率谱估计中能够区分两个相近频率成分的能力。分辨率越高，说明估计的功率谱能够更好地分 辨出相近的频率成分。
假峰率（False Peak Rate）
衡量估计的功率谱中出现的虚假频率峰的概率。假峰率越低，说明估计的功率谱中虚假频率峰的出现 概率越小。
06
特点
能够减小频谱泄漏效应，提高频 谱分辨率。
应用场景
适用于信号持续时间较短或需要 高分辨率频谱分析的场合。
最大熵法
定义
最大熵法是一种基于信息论的方法，通过最 大化熵函数来估计信号的功率谱。
特点
能够提供平滑且连续的功率谱估计，但计算 复杂度较高。
功率谱估计模型法汇总
--参数估计方法
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据 中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)
参数模型功率谱估计
MA数模型
FFT谱 LPC谱
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
AR模型与线性预测的关系
线性预测系数aj构成的全极点滤波器H(z)：
其逆过程为：
S(n) G(z) E(n)
AR模型与线性预测的关系
AR模型：
H ( z)
1 1 ai z
i 1 p i
对应的输入、输出关系：
如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不 变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随 机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱 密度满足下式：
Pyy ( w) Pxx ( w) | H h ( w) |
2
其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密 度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
加窗时域信号
0.5
0
-0.5
-1
0
50
100
150
200
250
300
50
FFT谱 LPC谱
0
-50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1
清音
时域信号
0.5
0
功率谱功率谱估计
(3)去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号， 方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性 增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于 其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。
四、估计质量的评价
设a是广义平稳随机过程 x ( n) 的一个数字特征 ˆ 是a的一个估计 a 1、偏倚 ˆ ] E{a a ˆ } a E{a ˆ} b[a 它表示了估计值与实际值的接近程度。 ˆ ] 0, 叫无偏估计 b[a ˆ ] 0, 叫有偏估计 b[a 2、方差 2 ˆ ˆ var[a] E{[a E{a}] } 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。
k 1
p q
h(n)
x(n)
若u(n)是一个方差为 的白噪声,则x(n)的功率谱 j 2 j 2 S x (e ) | H ( e ) |
2
B( z ) B (1 / z ) 或 S x ( z ) H ( z ) H (1 / z ) A( z ) A* (1 / z * )
最大熵 参数化 最小交叉熵 ……
三、随机信号分析的预处理
要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题， 一般信号都很少满足要求，所有需作预处理 (1)取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的 前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计 取样间隔。 ~ (2)去均值 x ( n) x ( n) m x
H (z)
1 1 ak z k
k 1 p
称为AR模型
（ 3 ）若ak 和br均不为 0,
x( n) a k x( n k ) br u( n r ) H ( z )
k 1 r 0 p q
q
称为ARMA模型
功率谱估计方法综述
功率谱估计方法综述：简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。
尽管随机信号的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱出发进行研究才有意义。
信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。
功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。
背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。
功率谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现代功率谱估计）。
非参数化方法有相关函数法(BT法)、周期图法、平均周期图法、平滑平均周期图法等；而参数化谱估计有R模型法、移动平均模型法(简称MA模型法)、自回归移动平均模型法(简称ARMA模型法)、最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony谱线分解法以及capon最大似然法等，由于涉及许多复杂数学计算，在此未作详细数学推导，以下介绍几种常用的功率谱估计方法一、非参数化方法（经典法）经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。
1、自相关法又称相关函数法(BT法)，根据维纳—辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱函数是一傅里叶变换对，对于平稳随机信号来说，其相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确定的．这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值，求出自相关函数，然后作Fourier变换，得到功率谱。
由于随机序列{X(n)}的自相关函数R(n)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m上，设取样间隔为错误！未找到引用源。
功率谱估计模型法汇总
功率谱估计模型法汇总1.短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是一种常见的功率谱估计方法，它将信号分成若干小段，并分别对每一小段进行傅里叶变换。
通过将时域信号转换为频域信号，可以得到信号在不同频率上的能量分布。
然后，对每一小段的频谱进行平均，得到整个信号的频谱估计结果。
2.自相关法自相关法是一种通过计算信号与其自身的相关性来估计功率谱的方法。
自相关函数表示信号在不同时刻的相似程度，通过对自相关函数进行傅里叶变换，可以得到信号的功率谱估计结果。
自相关法适用于平稳信号的功率谱估计。
3.平均周期图法（APM）平均周期图法是一种通过信号的周期平均来估计功率谱的方法。
该方法将信号分成若干个周期，并对每个周期的波形进行傅里叶变换。
然后，对每个周期的频谱进行平均，得到整个信号的频谱估计结果。
平均周期图法适用于具有明显周期性的信号，如正弦信号或周期性脉冲信号。
4.基于模型的方法基于模型的方法是一种通过对信号进行建模来估计功率谱的方法。
常见的模型包括自回归模型（AR）和最大似然估计（MLE）模型。
通过拟合信号模型，可以得到模型参数，进而估计信号的功率谱。
基于模型的方法适用于非平稳信号的功率谱估计。
5.基于窗函数的方法基于窗函数的方法是一种通过对信号进行加窗来估计功率谱的方法。
常见的窗函数包括矩形窗、汉明窗和凯泽窗等。
通过对信号进行加窗，可以抑制信号的频谱泄漏效应，提高功率谱估计的精度。
除了以上列举的几种方法，还存在其他一些功率谱估计模型，如周期图法、周期图平均法、波尔兹曼机等。
每种方法都有其适用的场景和优缺点。
在实际应用中，根据信号特性和需求选择合适的功率谱估计模型非常重要。
总而言之，功率谱估计模型是信号处理领域中常用的方法，用于分析信号的频谱特征。
不同的模型适用于不同的信号特性，根据实际需求选择合适的估计方法可以提高功率谱估计的准确性和可靠性。
功率谱估计模型法
i
此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存 在谱谷点。
平稳随机信号的参数模型
ARMA模型：
H ( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
q
此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在 谱峰、谱谷
系统模型
对于一阶全极点传递函数
1 1 ai z
i 1 p i
因此有h(0)=1
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
根据上式以及rxu(m)的求解：
p ak rxx (m k ) k 1 rxx (m) p a r (k ) 2 k xx k 1
i 1
p
s( n ) (1 ai z i ) e(n )
i 1
p
G ( z ) 1 ai z i
i 1
p
AR模型与线性预测的关系
这里我们发现线性预测过程是AR模型估计功率 谱的逆过程。
x(n)
h(n)
e(n)
当预测器的阶数和AR模型的阶数相同时，对应 的预测器系数h和AR模型参数ai才有一一对应的 关系。
Pxx (w) | H (w) |
2
性系统传递函数H(z)的特性 去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模 型功率谱估计。 参数模型功率谱估计的步骤：
对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA 模型 根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确 定H(z)的参数 利用H(z)估计x(n)的功率谱。
AR模型阶数p的选择
功率谱估计浅谈讲解
功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。
关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。
由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。
现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。
以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。
在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。
下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。
经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。
本文主要介绍一种方法：周期图法。
周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。
下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。
连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。
第八章参数模型功率谱估计资料
min
FPE( p)
N N
p p
p
▪AIC(Akaika’s Information theoretic Critrrion)定阶准则
▪MDL定阶准则 ▪CAT定阶准则
Digital Signal Processing
8．4最大熵估计
▪AR模型利用模型参数外推 n N 时刻的x(n)
▪最大熵估计 ：外推x(n)序列具有最大随机性
ap,p kp
ap,k
ap1,k
k
* p
a p 1, k
,
k
1, 2,..., p
p
p 1 (1
kp
2
)
Digital Signal Processing
Matlab函数[px,w]=pyulear(x,p,[nfft],’range’)
Digital Signal Processing
与Levesion-Durbin算法相同采用递推算法
Digital Signal Processing
Matlab函数[px,w]=pburg (x,p,[nfft],’range’)
Digital Signal Processing
修正的协方差法
xN (n), n 0,1,..., N 1
f
x(P 3) x(P 2)
x(N 3) x(N 2)
x(N 3 P)
x(P 1) x(P)
x(0) x(1)
x(N P) x(N P 1)
x(N 2)
x(P)
x(P 1)
x(1) x(0)
1
a1f
a2f
x(N 1 P) x(N P)
aPf
20 经典谱估计与参数模型法
4.2.3
经典谱估计的问题与改进
1. 主要问题
经典谱估计的基础是傅氏变换. 因傅里叶变换域为无穷大, 而观测 数据是有限的, 对观测不到的数据实际上都被强制地当作 0 处理,这相 当于无限长样本用矩形窗加以截断. 由于窗口以外的数据仍有很强的 相关性, 因此, 用有限长样本序列估计出来的功率谱必然存在很大的偏 差. 有限长序列的傅氏变换, 等于无限长序列与矩形窗函数各自傅氏变 换的卷积. 矩形窗函数的频谱是 sinc 函数, 卷积结果带来的影响是:
n =0
N −1
(4.2.4)
由于 X (e jω ) 是周期函数, 所以用式 (4.2.3) 估计 Pxx (e jω ) , 称为 “ 周期图 法”, 可用 FFT 实现. 实际上, 根据功率谱的第二种定义式:
2 N ⎡ 1 ⎤ − j ωn Pxx (e ) = lim E ⎢ x ( n )e ⎥ ∑ N →∞ ⎢ 2 N + 1 n=− N ⎥ ⎣ ⎦ jω
若忽略求统计平均的运算, 并设观测数据为: x( n) 0 ≤ n ≤ N − 1 , 所得 结果与式(4.2.3)相同.
2. 周期图与 BT 法的等价性
BT 估计算法可归结为: 由随机序列 {x(0), x(1),", x( N − 1)} , 首先求
得有偏自相关函数估计
N −| m| −1
ˆ ( m) = 1 R xx N
变换得到功率谱估值. 通常采用有偏自相关函数估计(方差较小), 公式为
N −|m|−1 n =0
ˆ ( m) = 1 R xx N
∑x
∗
( n) x ( n + m) ,
| m |≤ N − 1
(4.2.1)
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rx (0) rx (1)
rx (0) rx (P)
rx* (1) rx (0)
rx (P 1)
r
* x
(
P)
r*x (P 1)
rx (0)
Digital Signal Processing
AR模型功率谱估计过程
Digital Signal Processing
Y-W方程的Levesion-Durbin 算法
Digital Signal Processing
第八章 参数模型功率谱估计
经典功率谱估计的局限性
✓基于DFT的频谱分析等效对取样数据进行周期拓展，不符 合随机信号的统计特性
✓取样数据长度N较短时，频域分辨率较低
✓经典功率谱估计方差特性较差，且不是一致估计
Digital Signal Processing
参数模型法
✓观测数据序列 xN (n), n 0,1,..., N 1 当作模型输出
✓设定误差准则，使模型的输出逼近实际观测数据，并由此估 计模型参数 ✓根据模型参数外推观测序列这外的数据 ✓根据模型参数估计功率谱
没有直接针对估计参数——功率 谱进行逼近，没有从统计意义上 对功率谱估计建模
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P
P
e(n) x(n) xˆ(n) x(n) ak x(n k) He (z) 1 ak zk A(z)
k 1
k 1
Digital Signal Processing
✓P阶后向线性预测 x(n), x(n 1),..., x(n P 1)
8．1ARMA模型
ARMA模型
2 u
Q
H (z)
B(z) A( z )
br z r
r 1
P
1 ak zk
k 1
P
Q
x(n) ak x(n k) bru(n r)
k 1
r0
x(n), n ~
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ARMA模型功率谱估计
✓前提：已估计出模型参数
Levesion-Durbin算法是一种递推算法
✓P=1 Yule-Walker方程
rx
(0)
rx (1)
r* rx
x (1) (0)
1 a1,1
1
0
a1,1 rx (1) / rx (0)
1
2 u
rx (0) 1
a1,1
2
✓设p-1阶AR模型参数 p1, ap1,k , k 1, 2,..., p 1 推导p阶模型参数
P
rx (m) ak rx (k)] 0, m 0,1,..., P k 1
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✓P阶前向线性预测和AR模型的关系
▪Yule-Walker方程和Wiener-Hopf方程完全等效
▪AR模型白噪声输入方差
2 u
和最优前向线性预测的最
小均方误差 min 等效
rx (0) aP 0
R
a
OuP2
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✓自相关矩阵R的特性
▪当随机序列是实数时，R是一个Toeplitz矩阵
rx (0)
R
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (0)
rx (P
1)
rx (1)
rx (0) rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
▪当随机序列是复数时，R是一个Hermitian矩阵
rx (P)
rx
(P
1)
rx (0)
rx (0)
R
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (P 1)
▪ H (z)是具有因果性的最小相位系统
Digital Signal Processing
ARMA模型的进一步分类
P
✓自回归（AR）模型 x(n) ak x(n k) u(n) k 1 Q
✓滑动平均（MA）模型 x(n) bru(n r) r0
✓模型参数求解 ▪AR模型参数的求解只需求解线性方程组
8．3基于线性预测理论的AR模型参数计算
线性预测
✓P阶前向线性预测
x(n 1), x(n 2),..., x(n P)
前P个采集数据估计n时刻的值
P
xˆ(n) ak x(n k)
k 1
e(n) x(n) xˆ(n)
min
E
e(n)
2
▪前向预测Wiener-Hopf方程
P
rx (0) ak rx (k)] min k 1
rx
(m)
E
x(n)x(n
m)
E
x(n)[u(n
m)
P
ak
x(n
m
k
)]
k 1
P
rxu (m) akrx (k)], m 0,1,..., P k 1
rx (0)
rx (1)
rx (P)
rx (1) rx (0)
rx (P 1)
rx (P) rx (P 1)
1 a1
2 u
0
ARMA模型功率谱的多重性
✓共轭零点
( zr , zr* )
共轭极点 ( 1 , 1 ) zr zr*
构成的功率谱形状相同
✓ARMA型功率谱不能区分最小相位系统和最大相位系统，区分
因果系统和非因果系统
✓定义平稳高斯分布 ARMA(P,Q) 的过程
▪ x(n)是零均值高斯分布的白噪声经过线性非移变系统的输出
ap,p kp
ap,k
ap1,k
k
* p
a p 1, k
,
k
1, 2,..., p
p
p 1 (1
kp
2)Biblioteka Digital Signal Processing
Matlab函数[px,w]=pyulear(x,p,[nfft],’range’)
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P,Q, ak (k 1 ~ P),br (r 0 ~ Q)
Sx (e j ) Sx (e j ) H (e j ) 2
2 u
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
ze j
2 u
B(e j )B(e A(e j ) A(e
j ) j )
Digital Signal Processing
▪MA和ARMA模型参数的求解需要求解非线性方程组
✓不同模型之间关系
一个有限阶次的MA模型，或一个有限阶次的ARMA模型 可以用一个阶次足够大的AR模型逼近
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8．2AR模型的Y-W方程及功率谱估计
ARMA模型的Yule-Walker方程
P
x(n) ak x(n k) u(n) k 1