20181213小学奥数练习卷(知识点：同余定理)含答案解析.doc
六年级数学同余定理试题答案及解析
六年级数学同余定理试题答案及解析1.自然数－1的个位数字是多少?【答案】7【解析】我们先计算出的个数数字，再减去1即为所求．(特别的如果是0，那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数等于余数的积．有2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，除以10的余数为4，除以10的余数为8，除以10的余数为6；…… ……也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4＝16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，所以－1除以8的余数为7．即－1的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．2.算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是多少?【答案】56【解析】我们只用算出7+7×7+…+的和除以100的余数，即为其末两位数字．7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于×7的余数，即为7，……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．1990÷4＝497……2，所以7+7×7+…+的和除以100的余数同余与：497×(7+49+43+1)+7+49＝49756，除以100余56．所以算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是56．3.一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3．它除以13，商的第200位(从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【答案】2,7【解析】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13类整除，而1994÷6＝332……2，即＝＝+33，而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有÷13＝25641，而÷13＝25641025641，所以除以13所得的商每6个数一循环，从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6＝33……2，所以除以13所得商的第23位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第23位(从左往右数)数字是5，商的个位数字是2，余数是7．4.己知：a＝．问：a除以13的余数是几？【答案】8【解析】因为199119911991能被13整除，而1991÷3＝663……2．有a＝＝199119911991×+199119911991×+199119911991×++199119911991×+…+199119911991×+19911991．所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．5.甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．【答案】1000,88【解析】(法1)因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；则乙，甲乙．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．6.有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【答案】1968【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．7.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【答案】84【解析】设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，，所以这个自然数为。
小学奥数题库《数论》余数问题同余5星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-同余-5星题课程目标知识提要同余•定义同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为a≡b（mod m），这个式子叫做同余式，读作：a同余于b，模m．•性质及推论（1）若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
（2）用式子表示为：如果有a≡b（mod m），那么一定有a - b = mk、k是整数，m|（a - b）精选例题同余1. 若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d−r的最大值是．【答案】35【分析】（1）2017−1029=988，1029−725=304，因为2017，1029与725除以d的余数均为r，所以d∣988，d∣304，d是988和304的公约数．（2）988=22×13×19，304=24×19，所以d可以是2，4，19，38，76．（3）经检验2017，1029与725除以76的余数依次为41，41，41；2017，1029与725除以38的余数依次为3，3，3；（2017，1029与725除以2的余数均为1，2017，1029与725除以4的余数均为1，2017，1029与725除以19的余数依次为3，3，3；）（4）d−r的最大值是35．2. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=．【答案】43【分析】n能整除63+91+129−25=258．因为25÷3=8⋯⋯1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．3. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【答案】17【分析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90+164= 254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254−220=34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．4. 20092009的各位数字和为A，A的各位数字和为B，B的各位数字和为C，C的各位数字和为D，D的各位数字和为E，求E．【答案】5【分析】ABCD除以9的余数应该相同．20092009除以9的余数和22009除以9的余数相同，而2的乘方除以9的余数依次为2、4、8、7、5、1、2⋯⋯6个数一循环，故而22009除以9的余数等同于2的5次方除以9，余数为5．20092009小于100002009，所以一定不多于8037位，数字和不会超过72333，故而B小于72333．B最多为5位数，数字和不会超过45，所以C是两位数，故而D不会超过18，E一定是一个1位数．所以E=5．5. 请证明p4≡1(mod240)，其中p是大于5的质数．【答案】见解析【分析】p4−1=(p2+1)(p+1)(p−1)，240=24×3×5，由于p不是3的倍数，则p+1、p−1必有一个3的倍数；由于p的尾数只能是1、3、7、9，则p+1、p−1、P2+1必有一个尾数为0，是5的倍数；p+1、p−1、P2+1都是偶数，其中p+1、p−1是连续偶数，必有一个是4的倍数，所以至少有4个质因数2．6. 我们将具有如下性质的自然数 K 称为“高思数”：如果一个整数 M 能被 K 整除，则把 M 的各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被 K 整除，请求出所有的“高思数”．【答案】 1、3、9、11、33、99【分析】 易知，1 必为“高思数”；因为一个数反序重写数字和不变，所以 3、9 为“高思数”；因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以 11 为“高思数”，由整除规律，33、99 也是“高思数“．除此之外，感觉是没有了，下面给出证明．引理（可以看做是先证明一个小结论）：对于任意的不含 2 或 5 的正整数 n ，形如 1、11、111、1111、…的数中一定有无数个是 n 的倍数．证明：由于 1,11,111,1111,⋯,11⋯1⏟n+1个1这 n +1 个数中一定存在 2 个数关于 n 同余，那么这两个数的差一定是 n 的倍数，而这两个数的差是形如 11⋯1⏟a 个100⋯0⏟b 个0 的数，说明 11⋯1⏟a 个1是 n 的倍数，同理可得这里面有无数个数是 n 的倍数．首先说明“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．因为，“高思数”肯定不是偶数，否则肯定能得到它的某个倍数的首位是 1，那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数．同理，“高思数”的个位数字也不能是 5．所以“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9．若 K 是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数 l 使得 K ∣11⋯1⏟l 个1，那么 K ∣77⋯7⏟l 个7，进一步得 K ∣77⋯1⏟l 个700⋯0⏟(l−1)个0+77⋯1⏟l 个7，即 K ∣77⋯7⏟(l−2)个78477⋯7⏟(l−1)个7，利用“高思数”的性质得 K ∣77⋯7⏟(l−1)个74877⋯7⏟(l−2)个7，利用整除的性质得 K ∣77⋯7⏟(l−2)个78477⋯7⏟(l−1)个7−77⋯7⏟(l−1)个74877⋯7⏟(l−2)个7，即 K ∣9900⋯0⏟(l−2)个0．因为“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9，所以“高思数”分解质因数后一定不含质因数 2 和 5，故 K ∣99，所以 K 只可能是 1、3、9、11、33、99，经验证这 6 个都是“高思数”，至此已求出所有的“高思数”．7. 在给定的圆周上有 100 个点．任取一点标上 1；按顺时针方向从标有 1 的点往后数 2 个点，标上 2；从标有 2 的点再往后数 3 个点，标上 3 ……依此类推，直至在圆周上标出 100．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．请问：标有 100 的那个点上标出的数最小是多少？【答案】 75【分析】 标有 100 的那个点是从标有 1 的点开始数（包括标有 1 的这个点）1+2+⋯+100=5050 的点，所以这个点上标的数是符合 1+2+⋯+n ≡5050(mod100) 的点，即 n(n+1)2≡50(mod100)，故 n(n +1)≡0(mod100)，由于 n 和 n +1 互质，要想乘积是 100 的倍数，那么 n 和 n +1 中有一个数要是 25 的倍数，可能的情况有 (24,25)、(25,26)、(49,50)、(50,51)、(74,75)、(75,76)，很明显只有 (24,25) 和 (75,76) 可能符合，经检验，只有 (75,76) 符合，说明这个点上还标有 75，所以标有 100 的那个点上标出的数最小是 75．8. 任意给定一个正整数 n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数．【答案】 见解析．【分析】 考虑如下 n +1 个数：7，77，777，⋯⋯，77⋯7⏟n 位，77⋯7⏟n+1位，这 n +1 个数除以 n 的余数只能为 0，1，2，⋯⋯，n −1 中之一，共 n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 n 的余数相同，不妨设为 77⋯7⏟p 位和 77⋯7⏟q 位（p >q ），那么 77⋯7⏟p 位−77⋯7⏟q 位=77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位 是 n 的倍数，所以 n 乘以适当的整数，可以得到形式为 77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位的数，即由 0 和 7 组成的数．9. 学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【答案】 17【分析】 设学校一共有 A 个班级，则有：118≡67(modA)≡33(modA)，据同余性质，可知 x 为它们两两差的约数，118−67=51，118−33=85，67−33=34，(51,85,34)=17，所以学校共有 17 个班10. 一个不超过 200 的自然数，如果用四进制表示，那么它的数字之和是 5；如果用六进制表示，那么它的数字之和是 8；如果用八进制表示，那么它的数字之和是 9．如果用十进制表示，那么这个数是多少？【答案】 23【分析】 根据结论：“在 n 进制中，一个自然数与它的数字和模 (n −1) 同余”，所以这个数 {÷3⋯2,÷5⋯3,÷7⋯2, 利用物不知数可以求出符合的答案为 23、128、233、…，符合“不超过 200”的只有 23 和 128，经检验，23=(113)4=(35)6=(27)8，128=(2000)4=(332)6=(200)8，只有 23 符合．11. 求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数．【答案】 见解析．【分析】 1996÷4=499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数．取 500 个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500 个 1）．用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余数 a 1，a 2，a 3，⋯，a 500．由于余数只能取 0，1，2，⋯，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：11⋯100⋯0．又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数．12. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120 整除．这个正整数最小是多少？【答案】 117【分析】 先将 120 分解质因数 120=23×3×5，设这个数为 A ，依题意得后来的两个数分別是 A +75 和 A +48，这两个数相差 (A +75)−(A +48)=27．因为 27 是 3 的倍数，所以 A +75 和 A +48 除以 3 的余数相同；因为 (A +75)(A +48) 是 120 的倍数，所以 A +75 和 A +48 都是 3 的倍数．因为 27 不是 5 的倍数，所以 A +75 和 A +48 中只有 1 个是 5 的倍数；因为 27 和 8 互质，所以 A +75 和 A +48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A +75 和 A +48 都不是 120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的倍数，说明 A +75 和 A +48 中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数．综上，A +75 和 A +48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数．若 A +75 是 15 的倍数．A +48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的倍数，最小是 120；若 A +75 是 24 的倍数，A +48 是 15 的倍数，则 {A ÷24⋯21,A ÷15⋯12,所以 A 最小是 117． 所以这个正整数最小是 117．13. 设 20092009 的各位数字之和为 A ，A 的各位数字之和为 B ，B 的各位数字之和为 C ，C 的各位数字之和为 D ，那么 D =？【答案】 5【分析】 由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以 20092009 与 A 、B 、C 、D 除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 20092009 除以 9 的余数与 22009 除以 9 的余数相同，而 26=64 除以 9 的余数为 1，所以 22009=26×334+5=(26)334×25 除以 9 的余数为 25 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009<100002009=108036，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9×8036=72324，即 A ⩽72324；那么 A 的各位数字之和 B <9×5=45，B 的各位数字之和 C <9×2=18，C 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14，C 的各位数字之和为 5，即 D =5．14. 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3,⋯,12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除．请问：这一家的电话号码是多少？【答案】388089【分析】设第一家住户的电话号码为n+1，则1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,⋯,12∣n+12,由此可知n能被1∼12同时整除，而1∼12的最小公倍数为23×32×5×7×11=27720，则n=27720m，其中m为正整数．由条件“门牌号码是9的这一家的电话号码能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)，所以m=14时满足条件，这一家的电话号码为27720×14+9=388089．15. 设2n+1是质数，证明：12，22，⋯，n2被2n+1除所得的余数各不相同．【答案】见解析．【分析】假设有两个数a、b，（1⩽b<a⩽n），它们的平方a2，b2被2n+1除余数相同．那么，由同余定理得a2−b2≡0( mod(2n+1))，即(a−b)(a+b)≡0( mod(2n+1))，由于2n+1是质数，所以a+b≡0( mod(2n+1))或a−b≡0( mod(2n+1))，由于a+ b，a−b均小于2n+1且大于0，可知，a+b与2n+1互质，a−b也与2n+1互质，即a+b，a−b都不能被2n+1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．16. 三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理游戏．小强和小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安，小安告诉小强和小花，他将分别把两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）．小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：小花所选的数是多少？【答案】1004【分析】首先小强和小花肯定都没有选0，否则一看就知道2008是和，就能知道对方的数．设这两个数分别为强和花，首先，很明显强∣2008，否则立刻盼断出2008是和，花= 2008−强，此时小强是因为无法确定2008是和还是积导致无法判断出小花的数．同理，花∣2008．此时小花也知道了强∣2008，小花会这样进行推理：如果2008是积，那么与已知的情况都符合；如果2008是和，那么由强∣2008知2008−花∣2008，如果2008−花不能整除2008，小花立刻就知道2008不是和，是积，就能知道小强的数．由于实际上小花无法确定小强的数，说明花∣2008的同时2008−花∣2008．而2008=23×251，枚举出它所有的约数：1、2008、2、1004、4、502、8、251，经检验只有1004符合，所以小花所选的数是1004．17. 在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于．第十一届+华杯赛2006【答案】35【分析】根据弃九法两个加数除以9的余数与他们和除以9的余数相同，因为2006除以9余8，所以第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和除以9的余数为8，再根据加法规则，“第”=1．“届+赛”=6或“届+赛”=16．若“届+赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”十“杯”=10只能“一”、“杯”分别为3或7．此时“十+华”=9，“十”、“华”分别只能取（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），但1，2，3，4均已被取，不能再取．所以，“届+赛”=6填不出来，只能是“届+赛”=16，“十+华”+1=10，也就是“一+杯”=9同时“十+华”=9．所以它们可以分别在（3，6），（4，5）两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数―同余问题
04
同余问题的应用实例
数字问题
数字的整除问题
密码学中的同余问题
计算机算法中的同余问题
数字的余数问题
图形问题
棋盘问题：在棋盘上利用同余原理解决相关问题，如象棋、围棋等棋局的胜负判断
图形问题：同余问题在几何图形中的应用，如计算图形的面积、周长等
拼图问题：利用同余原理解决拼图问题，如拼凑出指定的图形
03
同余问题的解题方法
枚举法
定义：通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法
适用范围：适用于问题较简单、答案个数较少的情况
解题步骤：逐一列举所有可能的情况，并逐一验证每种情况是否符合题目的要求，从而找到符合条件的答案
注意事项：列举时要注意全面、不遗漏，同时要善于总结规律，提高解题效率
代数法
定义：通过代数运算和等式性质解决同余问题的方法
计算机科学：同余定理在计算机科学中的应用，如模运算和取模运算
物理学：同余定理在物理学中的应用，如量子力学和相对论
05
同余问题的练习题及解析
同余问题的练习题
题目：从1至100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
题目：在黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数（如：擦去8、9、10、11、12，因为(8+9+10+11+12)/11=4…6），如：写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是多少？
同余问题的应用：同余问题在数论、代数、组合数学等领域有广泛的应用。
同余问题的基本性质：同余问题具有一些基本性质，如模运算的消去律、模运算的交换律和结合律等。
同余问题的解题方法：解决同余问题的方法包括利用同余式的性质进行变形、利用模的性质进行推导、利用代数方程的解法等。
2018最新五年级奥数.数论.余数性质及同余定理(B级).学生版
知识框架一、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝余数性质及同余定理2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
20181213小学奥数练习卷(知识点：同余定理)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：同余定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共6小题）1．一个自然数被3、5、7除的余数分别为1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以11的余数是（）A．2B．4C．6D．82．已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（）A．5B．7C．8D．93．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（）A．12B．15C．18D．214．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是（）A．53B．37C．71D．415．学校买来了200多本《汉语词典》，若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本，这批《汉语词典》共有多少本？（）A．252B．251C．250D．616．有写着5、9、17的卡片各8张，现在从中任意抽出5张，这5张卡片上的数字之和可能是（）A．31B．39C．55D．41第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）7．被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是．8．若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是．9．S（n）表示自然数n的数码和，比如S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数m、n，满足，那么我们就称m、n构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有对．10．有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里．11．对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为．12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．13．如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12！，读作12的阶乘）被13除所得的余数．14．420×814×1616除以13的余数为．15．86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是．16．一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是．17．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是．18．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有个．19．393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有个，它们是．20．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有个．21．1﹣﹣﹣2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有个．22．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩人．23．三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是．24．一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是．25．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是人．26．一个数除以2余1，除以3余1，除以5也余1，这个数最小是．27．三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，．28．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是．29．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是．30．22002与20022的和除以15的余数是．31．三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是．32．妈妈有些糖，若5块5块的分，最后余1块，若4块4块的分，也余1块，妈妈至少有块糖．33．有一类自然数除112所得的余数都是7，那么，这类自然数共有个．34．71427和19的积被7除，余数是．35．270和213对于除数19同余．（判断对错）36．（1）10106÷7余；（2）1245÷7余．37．111…111（1003个1）÷7余．38．123456789101112…483484÷9余，商的末3位是．39．用一个大于0的自然数，分别去除35、59和123，所得的余数相同．这个数是．40．自然数390，369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2851被这个自然数除的余数是．41．某校有13个课外兴趣小组，各组人数如下表．一天下午学校同时举办语文、数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座．其中听语文的人数是听数学讲座人数的6倍，还有一个小组在教室里讨论问题，这一组是第组．42．一个数除以3余2，除以5余1，除以7余2，这个数最小是．43．某班同学决定分组去看望动车事故受伤的病人，按7人一组还剩1人，按6人一组也还剩1人，已知这个班人数不超过50人，则这个班级有人．三．解答题（共7小题）44．如果两个自然数的积被9除余1，那么我们称这两个自然数互为“模9的倒数”．比如，2×5=10，被9除余1，则2和5互为“模9的倒数”：1×1=1，则1的“模9的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模9的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，10就是1的另一个“模9的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8是否有“模9的倒数”，并将存在“模9的倒数”的数．以及它们相对应的最小的“模9的倒数”分别写出来．45．小林在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来小3，但余数恰好相同．这道题的除数是多少？余数应该是几？46．传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头．就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头．如果把龙的头都砍光了，龙就死了．问：龙会死吗？请说明理由．47．学校买来101个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓网．如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同．学校应有个班．48．一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是．49．求l﹣2001的所有自然数中，有多少个整数x使2x与x2被7除余数相同？50．有一个整数，除300、262、205得到相同的余数．问这个整数是几？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．一个自然数被3、5、7除的余数分别为1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以11的余数是（）A．2B．4C．6D．8【分析】先根据除以3、5、7的余数是1，2，4得出最小数，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论．【解答】解：假设这个数为A，根据分别除以3，5，7的余数是1，2，4，所以这个最小的数是67，而三个商的和为257，所以67还不够，而[]+[]+[]=44，3，5，7的最小公倍数为105，所以（257﹣44）÷（[]+[]+[]=3，所以A=67+105×3=383，383÷11余8．故选：D．【点评】此题是同余定理，主要考查了除以3，5，7的余数是1，2，4的特征，最小公倍数的确定，确定出除3，5，7的余数是1，2，4的最小的数是67是解本题的关键．2．已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（）A．5B．7C．8D．9【分析】根据据同余定理，283，352，444这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数进一步解答即可．【解答】解：352﹣283=69=3×23，444﹣352=92=2×2×23，444﹣283=161=7×23；所以这个整数为三个差的公有因数23；283÷23=12 (7)答：相同的余数是7．故选：B．【点评】本题解答的依据是同余定理之一：a、b对于模n同余的充要条件是：a 与b的差能被n整除．3．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（）A．12B．15C．18D．21【分析】由题意，这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除，经试算可知这个整数是37，即可得出结论．【解答】解：由题意，这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除，经试算可知这个整数是37，（151+197+238﹣31）÷37=3×5=15，所以三个商的和是15．故选：B．【点评】本题考查同余定理，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是这个整数可以被151+197+238﹣31=555=3×5×37整除．4．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是（）A．53B．37C．71D．41【分析】如果这个自然数减去1就是2、4、5的公倍数，所以先求出2、4、5的最小公倍数，然后试算是否符合除以3余2，再进一步解答即可．【解答】解：2、4、5的最小公倍数是：4×5=2020+1=2121÷3=7不符合，除以3余2，20×2+1=4141÷3=13 (2)符合，除以3余2，所以，这个数最小是41．故选：D．【点评】解答本题关键是结合余数的几种情况，转化为求2、4、5的最小公倍数．5．学校买来了200多本《汉语词典》，若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本，这批《汉语词典》共有多少本？（）A．252B．251C．250D．61【分析】″若7本7本地搬，最后余5本；若9本9本地搬，搬最后一次时差2本″可以考虑用同余的概念，也就是这批《汉语词典》的本书除7余5，除9余7，然后再注意书的本书要多于200即可．这种题目的一个技巧是：这个数加2，既是7的倍数，也是9的倍数．【解答】解：法一：先分别算出大于200的除7余5，除9余7的数，并从小到大排列：因为200÷7=28…4，所以最小的大于200的除7余5的数为：7×28+5=201所以除7余5的数有：201，208，215，222，229，236，243，250，257，263，270，277，284，291，298，305同理200÷9=22…2，所以最小的大于200的被9除余7的数为：9×22+7=205所以除9余7的数有：205，214，223，232，241，250，259，268，277，286，295，304很容易观察大于200的满足题意的只有250，法二：这个数加2，既是7的倍数，也是9的倍数，所以这个数+2后是63的倍数，63的倍数有：63、126、189、252、305又因为是200多页，所以是252，减去2为250．答：本题答案选C．【点评】本题考查的是用同余法解题，抓住同余的概念即可．另外，把A、B、C 选项直接代入检验会更简便．6．有写着5、9、17的卡片各8张，现在从中任意抽出5张，这5张卡片上的数字之和可能是（）A．31B．39C．55D．41【分析】5、9、17三个数除以4都是余1的，任取5张，余数的和是5，也是5张卡片上的数字之和除以4余1的数，据此判断即可【解答】解：5÷4=1…1，9÷4=2…1，17÷4=4…1，所以，三个数除以4都是余1的，任取5张，也是5张卡片上的数字的和除以4余1的数，所以只有D符合要求；故选：D．【点评】本题关键是转化思维的角度，结合已知的三的数的特点明确除以4余数是1是解答的关键．二．填空题（共37小题）7．被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是61．【分析】求出3、4、5的最小公倍数加1，即可得出结论．【解答】解：3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，加1，即60+1=61，故答案为61．【点评】本题考查同余定理，考查学生的计算能力，求出3、4、5的最小公倍数是关键．8．若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是35．【分析】根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；然后分别用725除以d的可能值，求出d﹣r的值，选取d﹣r的最大值即可．【解答】解：根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，988=2×2×19×131292=2×2×19×17304=2×2×2×2×19所以三个数的最大公因数是：2×2×19=76，d为76的因数，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0），当d=76时，此时：725÷76=9…41，即r=41，即此时d﹣r=76﹣41=35；当d=38时，此时：725÷38=19…3，即r=3，即此时d﹣r=38﹣3=35；当d=19时，此时：725÷19=38…3，即r=3，即此时d﹣r=19﹣3=16；当d=4时，此时：725÷4=182…1，即r=1，即此时d﹣r=4﹣1=3；当d=2时，此时：725÷2=362…1，即r=1，即此时d﹣r=2﹣1=1；当d=1时，此时：725÷1=725，即r=0，即此时d﹣r=1﹣0=1；则，d﹣r的最大值是35．故答案为：35．【点评】本题考查了同余定理的灵活应用，关键是求出除数d的取值范围．9．S（n）表示自然数n的数码和，比如S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数m、n，满足，那么我们就称m、n构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有99对．【分析】先判断出m是9的倍数，进而确定出m的取值情况，再代值逐一计算．【解答】解：∵一个数与其数字之和mod9的余数相同，即：n=S（n）（mod9），则n﹣S（n）=0（mod9），由m+S（n）=n+2S（m），得S（m）=（n﹣S（n）﹣（m﹣S（m））=0（mod9），故m=0（mod9），即m是9的倍数，因为m＜100且m为正整数，所以，m=9，18，27， (99)代入n﹣S（n）=m﹣2S（m）中逐一计算，并设n=10a+b，所以S（n）=a+b，n﹣S（n）=9a，即：9a=m﹣2S（m），当m=9时，S（m）=9，9a=9﹣9×2，a=﹣1舍，当m=18时，S（m）=1+8=9，9a=18﹣9×2，a=0，n=0～9，有9对；当m=27时，S（m）=2+7=9，9a=27﹣9×2，a=1，n=10～19，有10对；当m=36时，S（m）=3+6=9，9a=36﹣9×2，a=2，n=20～29，有10对；当m=45时，S（m）=4+5=9，9a=45﹣9×2，a=3，n=30～39，有10对；当m=54时，S（m）=5+4=9，9a=54﹣9×2，a=4，n=40～49，有10对；当m=63时，S（m）=6+3=9，9a=63﹣9×2，a=5，n=50～59，有10对；当m=72时，S（m）=7+2=9，9a=72﹣9×2，a=6，n=60～69，有10对；当m=81时，S（m）=8+1=9，9a=81﹣9×2，a=7，n=70～79，有10对；当m=90时，S（m）=9+0=9，9a=90﹣9×2，a=9，n=80～89，有10对；当m=99时，S（m）=9+9=18，9a=99﹣18×2，a=7，n=70～79，有10对；综上所述，数对＜m，n＞共有9+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10═99对，故答案为99．【点评】此题是同余定理，主要考查了新定义的理解，整除的判断，确定出9a=m ﹣2S（m）是解本题的关键．10．有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里31，94．【分析】这个自然数用7除余3，用9除余4，考虑用同余的方法分别算出被7除余3的数，被9除余4的数，然后再对比找相同的数．【解答】解：易求得：被7除余3的数有：10，17，24，31，38，45，52，59，66，73，80，87，94被9除余4的数有：13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103答：本题的答案为：31，94．【点评】本题考查的是同余的概念，计算时认真一点就可以了．11．对任意正整数m、n，定义r（m，n）为m÷n的余数（比如r（8，3）表示8÷3的余数，所以r（8，3）=2．那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+…+r（m，10）=4）的最小正整数解为120．【分析】如果m≡1（mod2），那么m除以4，6，8，10的余数不可能为0，此时的余数的和超过4了，所以m≡0（mod2），由于余数的和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0，2或4（如果是6就超过4了）．分类讨论即可得出结论．【解答】解：如果m≡1（mod2），那么m除以4，6，8，10的余数不可能为0，此时的余数的和超过4了，所以m≡0（mod2），由于余数的和为4，对于一个偶数来说，它除以8的余数只能是0，2或4（如果是6就超过4了）．①如果这个数除以8的余数是4，则它必须为3，5，7，9，10的公倍数，由于[3，5，7，9，10]=630，为了满足除以8的余数是4，这个数至少为630×2=1260；②如果这个数除以8的余数是2，则它除以4的余数也为2，所以它还是3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为630×3=1890；③如果这个数除以8的余数是0，则m≡0（mod2），m≡0（mod4），m≡0（mod8），我们要进一步分析．如果m除以3的余数不是0，那么它除以6，9的余数也不会为0，由于m为偶数，所以m除以6的余数至少为2．为了使得余数的和为4，则只能是m≡1（mod3），m≡2（mod6），m≡1（mod9），但是m≡2（mod6），可得m≡2（mod3），矛盾，所以这个数诱导是3的倍数．由于这是一个偶数，而且它有事3的倍数，所以必定是6的倍数，所以m≡0（mod3），m≡0（mod6），至此，我们得出m≡0（mod1），m≡0（mod2），m≡0（mod3），m≡0（mod4），接下来对m除以9的余数进行讨论：如果m≡3（mod9），只剩下1个余数了，考虑到m≡1（mod5），所以m≡1或6（mod10），m≡1（mod10），所以m≡1（mod5），所以剩下的余数应该给7，也就是说m≡0（mod5），m≡1（mod7），m≡3（mod9），m≡0（mod10），此m最小为120；如果m≡0（mod9），剩下4个余数，考虑到m≡0（mod8），m≡0（mod9），此时m已经是[8，9]=72的倍数了，显然72不满足我们的要求，而72×2已经超过120了，综上所述，m最小为120．故答案为120．【点评】本题考查最大与最小问题，考查同余定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里157．【分析】可以用同余的方法分别求出用″2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4″的数，然后把它们按照从小到大的顺序排列，再进行比较，就可以求得满足条件的最小自然数．【解答】解：先考虑从较大的除数开始：被9除余4的数：4，13，22，31，40，49，58，67，76，85，94，103，112，121，130，139，148，157，166除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7，所以先看67，用7除不余3，再看157，用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，满足题意，所以最小的自然数是157．答：满足条件的最小自然数是157．【点评】本题在算同余时，一个技巧就是先从除数最大的开始，这样可以最快找到我们要求的自然数．另一个技巧是，除2余1，排除偶数；除5余2，尾数必须是7．这样可以减少运算，使解答变得简便．13．如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模13的倒数”是它自身．显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”．判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12！，读作12的阶乘）被13除所得的余数12．【分析】判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”只需从定义出发判断即可；计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数需要用同余的性质2来简化运算．【解答】解：观察1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12易发现：2×7=14 14÷13=1 (1)3×9=27 27÷13=2 (1)4×10=40 40÷13=3 (1)5×8=40 40÷13=3 (1)6×11=66 66÷13=5 (1)12×12=144 144÷13=11 (1)所以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12都有“模13的倒数”．由同余的性质2可知：对于同一个除数，两个数的乘积与他们的余数的乘积同余，则：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=1×2×7×3×9×4×10×5×8×6×11×12=14×27×40×40×66×1214×27×40×40×66×12≡12（mod13）所以，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．答：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12有“模13的倒数”；1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12被13除所得的余数为12．【点评】本题主要考察同余的性质2，但在运用同余性质2时，需要观察并找到2×7，3×9，…，6×11，刚好都是1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12的因式这一规律，方可解题．14．420×814×1616除以13的余数为11．【分析】根据同余定理“积除以模的余数，等于各个因数除以模的余数的积”据此解答即可．【解答】解：420×814×1616≡4×8×4≡128≡11（mod13）故答案为：11．【点评】解答本题关键是明确同余定理，利用定理解决问题．15．86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是0．【分析】若算86×87×88×89×90×91×92的值然后再除7这样很麻烦，可以考虑同余的性质2：对于同一个除数两个数的乘积与他们余数的乘积同余．这样可以大大简化运算．【解答】解：法一：先算86，87，88，89，90，91，92除7的余数：86÷7=12...2 87÷7=12...3 88÷7=12 (4)89÷7=12...5 90÷7=12...6 91÷7=13 092÷7=13 (1)则由同余性质2可得：86×87×88×89×90×91×92≡2×3×4×5×6×0×1（mod7）又因为：2×3×4×5×6×0×1÷7=0÷7=0所以，86×87×88×89×90×91×92÷7的余数是0．法二：容易观察91÷7=13，则86×87×88×89×90×91×92÷7=86×87×88×89×90×13×92，显然可以除尽，所以余数为0．故答案为：0．【点评】本题主要考察同余的性质二，但考虑本题的特殊性，法二更为简便．16．一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是4．【分析】先找出2013至2156之间同时是5、11、13倍数的数，5×11×13=715，715×3=2145，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4，此时这个数是2145+4=2149．【解答】解：因为5×11×13=715，715×3=2145，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4．答：这个余数最大是4．故答案为：4．【点评】此题也可根据它除以5有余数，余数不能超过除数，因此这个余数最大是4．17．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是78．【分析】由除以7余1、除以11也余1，可知：这个大于1的最小自然数是7和11的最小公倍数加1，因为7和11是互质数，所以它们的最小公倍数是77，然后加上1即可．【解答】解：7×11+1=78；答：这个数最小是78；故答案为：78．【点评】明确求这个数即7和11的最小公倍数加1，是解答此题的关键．18．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有142个．【分析】可以看做4个4个地数，少2个；6个6个地数，少2个；8个8个地数，也是少2个．也就是4、6、8的公倍数减2．[4、6、8]=24．可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，x=6．这筐桃子共有24×6﹣2，计算即可．【解答】解：[4、6、8]=24．这筐桃子的数量可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，所以x=6，这筐桃子共有：24×6﹣2=142（个）．答：这筐桃子共有142个．故答案为：142．【点评】关键是通过把原题转化，运用了求最小公倍数以及解不等式的方法解决问题．19．393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有4个，它们是1135 5577．【分析】首先把393﹣8=385，分解质因数，再进一步分析质因数以及他们的乘积解决问题．【解答】解：393减8，那么差一定能被两位数整除．因为393﹣8=385，385=5×7×11=（5×7）×11=（5×11）×7=（7×11）×5．所以385能被两位数11，35，55，77整除．故答案为：4，11，35，55，77．【点评】此题属于同余问题，考察了学生分解质因数的有关知识．20．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有11个．【分析】这些自然数一定整除1998（2008﹣10），其中1998=2×3×3×3×37，又因为余数大于10 所以该数必须大于10，求出1998所有的因数，去掉小于10的因数解决问题．【解答】解：2008﹣10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因素有16﹣5=11个．即这些自然数共有11个．故答案为：11．【点评】此题考查了整除以及分解质因数的相关知识．21．1﹣﹣﹣2009之间同时能被3、5、7除都余2的数有20个．【分析】一个数能同时被3、5、7除都余2，则只需求出3、5、7的倍数，然后再加2在1﹣﹣﹣2009之间的个数即可．【解答】解：先看3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105，再看1﹣﹣﹣2009之间有多少个105的倍数：2009÷105=19…4，观察105×19=1995，1995+2=1997比2009小，又因为2同时能被3、5、7除都余2，所以共有：19+1=20．故答案为：20．【点评】本题把求能被3、5、7除都余2的数转化为求3、5、7的公倍数然后再加2即可；另外，本题容易忽略2这个数，2不是105的倍数，但它同样能被3、5、7除都余2．22．甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人．现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览．已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．【分析】如果几个数关于某一数同余，那么这个数就是原来几个数对应差的公约数，由此求得即可．【解答】解：因为85﹣69=16，93﹣85=8，93﹣69=24，16、8、24的公约数有8、4、2、1，所以A=8或4或2，若A=2，99÷2=48…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩1人；若A=4，99÷4=24…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人；若A=8，99÷8=12…3，即丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人；综上所述丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．答：丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩3人．故答案为：3．【点评】此题考查同余定理，利用同余定理解决问题．23．三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数．则这个除数是7．【分析】因为72﹣51=21，51﹣23=28，又23，51，72同余，所以除数必是两两之差的最大公因数，两两的差有21，28，它们的最大公因数是7，所以这个除数是7．【解答】解：72﹣51=21，51﹣23=28；又（28，21）=7．所以这个除数是7．故答案为：7．【点评】本题考查了学生根据同余定律解决问题的能力．24．一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是7563．【分析】一个四位数被7，8，9，10除都余3，即这个四位数减3能被7，8，9，10整除，求出7，8，9，10的最小公倍数，再求出符合要求的四位数即可．【解答】解：这个四位数减3能被7，8，9，10整除，8=2×2×2，9=3×3，10=2×57，8，9，10的最小公倍数为：2×2×2×3×3×5×7=2520，因为是4位数，所以，2520+3=2523，2520×2+3=5043，2520×3+3=7563，2520×4+3=10083（不符合要求），即2523，5043，7563，其中最大的是7563．故答案为：7563．【点评】解答本题关键是理解这个数减去3就是7，8，9，10的公倍数，要求这个数最小就是求7，8，9，10的公倍数的最小公倍数加上3．25．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是127人．【分析】此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7最终符合题意的是127．答：该年级的人数是127．故答案为：127．【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．26．一个数除以2余1，除以3余1，除以5也余1，这个数最小是31．【分析】这个数除以2、3、5都余1，这个数最小是2、3和5的最小公倍数加上1，即可得解．【解答】解：2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数是2×3×5=30，30+1=31；故答案为：31．【点评】此题考查了同余问题，根据题目特点，先求3个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．27．三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是523，631，847．【分析】本题考察同余定理．把除数和商用字母表示出来后列式化简，根据倍数特征可以确定出除数和商的数值，进而求解．【解答】解：设所得的商为a，除数为b．19a+b+23a+b+31a+b=2001，化简可得73a+3b=2001，由b＜19，可求得a=27，b=10．所以，这三个数分别是19a+b=523，23a+b=631，31a+b=847．故填：523、631、847．【点评】本题题型常规，难度较低，细心解答即可．28．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是2，7，14．【分析】根据同余定理知：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．据此进行解答．【解答】解：101﹣45=56101﹣59=4259﹣45=1456、42和14的最大公约数是14，14的约数有1，2，7，14，所以这个数可能为2，7，14．答：这个数可能是2，7，14．故答案为：2，7，14．【点评】本题主要考查了学生对同余定理的掌握情况．29．在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是98．【分析】要求在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是多少，用13903减去13511，14589减去13903得到的两个数，求这两个数的最大公约数，即可得解．【解答】解：13903﹣13511=392，14589﹣13903=686，392=2×2×2×7×7，686=2×7×7×7，392、686的最大公约数为：2×7×7=98，因此最大为98时，该数除13511.13903.14589时能剩下相同的余数；13511÷98=137…85，13903÷98=141…85，14589÷98=148…85．答：在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是98．故答案为：98．【点评】此题考查了同余除法，已知余数相同，求除数，先求出三者间的对应差值，再求两个差值的最大公约数即可．30．22002与20022的和除以15的余数是8．【分析】除以15的余数，对于2的2002次方来说，可以通过指数的性质，化为16为底（也就是15+1）的指数形式的关系式．【解答】解：22002=22000×22=（24）500×4=16500×4．因为16除以15余1，所以16500除以15也余1，推知22002除以15余4．2002除以15余7，所以20022与72除以15的余数相同，都是4．（22002+20022）除以15的余数是4+4=8．故答案为：8【点评】熟练运用指数形式和平方和形式的同余定理的运用，对于求解复杂算式除以某数的余数很重要．31．三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是11．【分析】可设57=x+a，a是余数，96=y+a，148=z+a，x，y，z能被这个自然数整除，两两相减之后，比如96﹣57=y﹣x能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时整除它们的差，然后求出公约数即可解答．【解答】解：96﹣57=39=3×13148﹣96=52=2×2×13148﹣57=91=7×1339，52，91能同时被这个数整除，它们的公约数为13，284÷13=21 (11)。
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20181213小学奥数练习卷（知识点：同余定
理）含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：同余定理）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 6 小题） 1．一个自然数被 3、5、7 除的余数分别为 1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以 11 的余数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知 283，352，444 被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（） A．5 B．7 C．8 D．9 3．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（） A．12 B．15 C．18 D．21 4．某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是（） A．53 B．37 C．71 D．41 5．学校买来了 200 多本《汉语词典》，若 7 本 7 本地搬，最后余 5 本；若 9 本 9本地搬，搬最后一次时差 2 本，这批《汉语词典》共有多少本？（） A．252 B．251 C．250 D．61 6．有写着 5、9、17 的卡片各 8 张，现在从中任意抽出 5 张，这 5 张卡片上的数字之和可能是（） A．31 B．39 C．55 D．41
第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 37 小题） 7．被3、4、5 除都余 1，且不等于 1 的最小非 0 自然数是． 8．若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r，那么 d﹣r 的最大值是． 9．S（n）表示自然数 n 的数码和，比如 S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数 m、n，满足，那么我们就称 m、n 构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有对． 10．有一个自然数用 7 除余 3，用 9 除余 4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里． 11．对任意正整数 m、n，定义 r （m，n）为 mn 的余数（比如 r（8，3）表示83 的余数，所以 r（8，3）=2．那么满足方程 r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）++r（m，10）=4）的最小正整数解为． 12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．用现代语言表述就是有一个数用 2 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3，用 9 除余4，问这个数是多少？请将满足条件的最小的自然数写在这里． 13．如果两个自然数的积被 13 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 13 的倒数比如，
27=14，被 13 除余 1，则 2 和 7 互为模 13 的倒数；11=1，则 1 的模 13 的倒数是它自身．显然，一个自然数如果存在模 13 的倒数则它的倒数并不是唯一的，比如，14 就是 1 的另一个模 13 的倒数．判断 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 是否有模 13 的倒数，并利用所得结论计算 123456789101112（记为 12！，读作 12 的阶乘）被 13 除所得的余数． 14．4208141616 除以 13 的余数为．
15．86...。