精选初中数学常见8种最值问题
中考数学最值问题总结(含强化训练)
中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。
二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。
y ac b a max =-442。
2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB+的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B'+=的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
ABA'′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
初中最值问题类型
初中最值问题类型
初中最值问题类型包括以下几种：
1. 最大最小值问题：给定一组数据，要求找出其中的最大值或最小值。
2. 最大公约数与最小公倍数问题：给定两个数，要求找出它们的最大公约数和最小公倍数。
3. 最大周长与最小面积问题：给定一组固定长度的线段，要求组成的图形的周长或面积最大或最小。
4. 最长递增序列与最长递减序列问题：给定一组数据，要求找出其中的最长递增序列或最长递减序列。
5. 最优解问题：给定一组有序或无序的数据，要求找出其中满足特定条件的最优解，例如使某个函数取得最大或最小值的变量取值。
这些是初中常见的最值问题类型，但实际上还有许多其他类型的最值问题，具体取决于题目的表述和要求。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
中考数学最值问题总结
中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。
如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。
如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。
2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。
如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。
如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。
3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。
如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。
如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。
4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。
如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。
如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。
解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。
最经典的最值问题
最值问题“最大最小、最多最少、最长最短问题”，我们称之为“最值问题”.让我们翻开记忆，按照“最值问题”在课本中出现的顺序搜索一下： 1、两点之间线段最短； 2、垂线段最短；3、不等式的最大（小）值；4、二次整式最值；5、线段和最小差最大；6、勾股对称最短路径；7、一次函数最优方案；8、圆中最长弦是直径；9、圆的最近（远）距离； 10、二次函数的最值； 11、平方和最小问题.以上所列，有的是同一问题，有的具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”），有的很少出现，为了简捷实用，我进行了整理，就以下几个问题展开： 一、两点之间，线段最短 说明：“两点之间，线段最短”应用非常广泛，它常与三角形、轴对称、图形表面展开图等相结合，题目类型很多.（一）线段和最小说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题. 通法：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”：作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距离. 例6-1-1 几何模型（1）如图6-1-1①，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小.图6-1-1① 图6-1-1②你作图的根据是： .（2）如 图6-1-1②，点A 、B 位于直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小. 你作图的根据是： .模型应用：（3）如图6-1-1③，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 .（4）如图6-1-1④，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点E 是线段CD 的中点，K 为线段BD 上的任意一点，则CK+EK 的最小值为 .（5）如图6-1-1⑤，抛物线c x ax y +=4-2与坐标轴交于点A （-1,0）和点B （0，-5）.点P 在它的对称轴上，使△ABP 周长最小的点P 坐标为 .图6-1-1③ 图6-1-1④ 图6-1-1⑤体验与感悟 6-1-1 1、（1）如图6-1-2①，在等边△ABC 中，AB=6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB+PE 的最小，最小值为 . （2）如图6-1-2②，圆O 的半径为2，点A 、B 、C 在圆O 上，OA ⊥OB ，∠A=60°，P 是OB 上一动点，则PA+PC 的最小值是 .（3）如图6-1-2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值 .图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③2、（1）如图6-1-3①，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 .（2）如图图6-1-3②，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 .（3）如图图6-1-3③，锐角△ABC 中，24=AB ，∠BAC=45°，AD 平分∠BAC ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .图6-1-3① 图6-1-3② 图6-1-3③ 以下为补充习题：3、如图6-1-3④，°=90∠MON ，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为.图6-1-3④4、如图6-1-3⑤，已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 .图6-1-3⑤图6-1-3⑥5、如图6-1-3⑥，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x 轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴上运动.在运动过程中，点C到原点O的最大距离为.6、如图6-1-3⑦，正方形ABCD的边长为2，当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点O的最大距离与最小距离的积为 .图6-1-3⑦（二）线段差最大说明：此乃“三角形三边关系之两边之差小于第三边”的应用.通法：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大”：作其中一点关于这条直线的对称点，连接这个对称点与另一点的线段所在直线与这条直线的交点即为所求.例6-1-2 几何模型AP-的值最大.（1）如图6-1-4①，点A、B位于直线m的同侧，在直线m上找一点P，使BP图6-1-4①你的作图根据是： .（2）如图6-1-4② ，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使BP AP -的值最大.图6-1-4②你的作图根据是： .模型应用：如图6-1-4③，一次函数b kx y +=的图象与y x 、轴分别交于点A （2,0）、B （0,4），D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称.P 为OB 上一动点，请直接写出PD PC -的范围： .图6-1-4③ 体验与感悟 6-1-21、在圆O 所在的平面上有一点A ，它到圆O 的最近距离为3，最远距离为7，则圆O 的半径为 .2、点A 、B 均在由面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图6-1-5.若P 是x 轴上使得PB PA -的值最大的点，OP= .3、如图6-1-6，抛物线a bx ax y 4-2+=经过A （-1,0）、C （0,4）两点，与x 轴交于另一点B. （1）抛物线及对称轴分别为 . （2）点D 在所求抛物线的对称轴上，求DC DB -的最大值.图6-1-5 图6-1-6（三）“小虫爬爬”问题说明：求小虫在柱体、物体表面爬的最短距离，题目在多数情况下是用勾股定理求物体表面展开图上两点间距离.通法：见“小虫爬爬问题”，作展开图构造直角三角形，再用勾股定理求之.AA4cm，一直蚂蚁沿长方体例6-1-3（1）如图6-1-7①，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高='的表面从A点爬到'B点的最短路程是多少？规律：“小小相加凑一边时路径最短.”（2）如图6-1-7②，圆柱形杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁达到蜂蜜的最短距离为多少？图6-1-7②规律：“一内点一外点要用轴对称.”体验与感悟 6-1-31、（1）如图6-1-8①，长方体的长、宽、高分别为15、10、20，点B 与点C 的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B 的最短距离是（ ）A 、5B 、25C 、15D 、35图6-1-8① 图6-1-8② 图6-1-8③ 图6-1-8④（2）如图6-1-8②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是一个正三角形，C 是母线OB 的中点，则在圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm.（3）如图6-1-8③，圆柱高是8cm ，底面半径为2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食物，爬行的最短路程是（ ）cm.（π取3）A 、20B 、10C 、14D 、无法确定（4）如图6-1-8④，ABCDEFGH 是一个无上底的长方体容器.M 在容器内侧，位于侧棱BF 上.已知AB=5，BF=9，FM=3，则从外部的点A 到内部的点M 的最短距离等于 .2、如图6-1-9，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的点.A 点处有一只昆虫想到B 点去吃食物，则昆虫沿着台阶爬到B 的最短路程是多少？3、在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图6-1-10堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且大于AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）图6-1-10（四）两“二次根式和的最小值”问题 说明：形如“求2222)-(b x m a x +++的最小值，其中m b a ,,为常数”的题目，转化为几何问题再用勾股定理来解决.（两点距离公式）例6-1-4（2012湖北十堰改编）求代数式）（4≤≤04)-4(122x x x +++的最小值.规律：先转化为直角三角形，再根据两点之间、线段最短，借助勾股定理求最小值.感悟与体验 6-1-4求函数)12≤≤0(9)-12(422x x x y +++=的最小值.二、垂线段最短 说明：“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少.只要涉及点到线、线到线距离，用的都是“垂线段最短”，如高、与圆有关的位置关系等.例6-2-1 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P 的南偏西60°方向上的A 处，如图6-2-1，现已改造至古民居P 南偏西30°方向上的B 处，A 与B 相距150m ，且B 在A 的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m 以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m 商业街到C 处，则对于从B 到C 的商业街改造是否违反有关规定？图6-2-1例6-2-2 如图6-2-2，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AC 和AB 边上不与A 、C 、B 重合的点，AG 、BH 分别垂直直线EF 与G 、H.求证：AD BH AG >+.（只考虑图示情况）图6-2-2体验与感悟 6-21、如图6-2-3①和图6-2-3②，在△ABC 中，AB=13，BC=14，135∠cos =ABC . 探究：如图6-2-3①，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积=ABC S △ .拓展：如图图6-2-3②，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F.设BD=x ，AE=m ，CF=n ，（当点D 与A 重合时，我们认为0=ABD S △) （1）用含x ，m ，n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求（m+n ）与x 的函数关系式，并求（m+n ）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的求值范围．发现：请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.三、圆中最长弦是直径说明：因四点共圆不在课标规定范围内，所以此题型不多.例6-3 如图6-3，以边长为4的正方形的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是 .图6-3规律：共圆四点中，如果相对两定点是直角顶点，则两动点连线的最小值就是连接两直角顶点的线段长.四、平方和的最小值说明：“平方和最小”即：ab b a 222≥+. 它源自0≥b -a 2）（，是初中的完全平方公式与非负数的结合，中考题中常有涉及.特别地ab b a 222≥+和其变形ab b a 2≥+（），（0≥0≥b a 还是高中最重要的不等式之一.例6-4-1 阅读理解：对任意正实数b a 、，因为0≥-2）（b a ，所以0≥2-b ab a +，所以ab b a 2≥+，只有当b a =时，等号成立.根据上述内容，回答下列问题： （1）若0>m ，则m = 时，mm 1+有最小值 .（2）若0>n ，则n = 时，nn 2+有最小值 . （3）若0>x ，则x = 时，2228x x +有最小值 . 例6-4-2 如图6-4-1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B 不重合的任意一点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD=a ，DB=b.请用本题图验证：ab b a 2≥+，并指出等号成立时的条件.提示：用相似证：BD AD CD •=2；直径为最长弦. 体验与感悟 6-41、公式：对任意正数a 、b ，总有：ab b a 2≥+，并且只有当b a =时，等号成立. 直接应用与变形应用：（1）已知：)0(1>=x x y ，)0(12>=x xy ，则当=x 时，21y y +取得最小值 . （2）已知函数)0,0(>>+=x a xax y ，当=x 时，该函数有最小值 . （3）已知函数11+=x y 与函数4122++=）（x y ，当1->x 时，求21y y 的最小值，并指出相应的x 的值. 实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？五、不等式、一次函数最优方案 见第18单元：一次函数综合应用. 六、二次函数最值说明：“二次整式c bx ax ++2最值”完全可以借助二次函数c bx ax y ++=2最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法.（注：a,b,c 为常数，且0≠a ） 例6-6-1 （1）62-2+x x 的最小值是 ； （2）二次函数x x y 6-2+=的最大值是 .例6-6-2 如图6-6-1，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，P 是BC 上的任意一点（P 不与B 、C 重合），过点P 作AP ⊥PE 交CD 于点E.设BP 为x ，CE 为y ，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？评述：线段最值可由相似建立二次函数模型求解.例6-6-3 如图6-6-2，已知抛物线42++=bx ax y 经过点B （1,0）、C （5,0），交y 轴于点A ，对称轴l 与x 轴相交于点M.（1）请直接写出抛物线的解析式、对称轴及点A 的坐标 ；（2）连接AC ，探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.图6-6-2体验与感悟 6-6问题情境：已知矩形的面积为a （a 为常数，0>a )，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为：)0)((2>+=x xa x y .探究应用：（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数)0(1>+=x xx y 的图象和性质. ①在图6-6-3中填写下表，并画出函数的图象：x ...41 31 21 123 ... y......②观察图象，写出该该函数两条不同类型的性质：③在求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到.请你用配方法求函数)0(1>+=x xx y 的最小值.解决问题：（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.提示：对任意非负数m ，可设2t m =，其中2）（m t =. 提醒：回顾一下求二次函数最值有几种方法.七、几何探究最值类例6-7-1 请阅读下列材料：问题：如图6-7-1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路程.小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图6-7-1②侧面展开图中的线段AC ）.图6-7-1① 图6-7-1② 路线2：走圆柱高线与底面直径（即6-7-1①中AB+BC 的长）. 设路线1的长度为1l ，设路线2的长度为2l ，则+==2221AB AC l BDC ︵ ² 222)(BC AB l +=将AB=5，BC=10，半圆弧BDC ︵长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：==221AC l ；222)(BC AB l +== ； 2221-l l = ；∴2221l l > ∴21l l > ∴选择路线2较短.（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）：路线1：==221AC l ；路线2：222)(BC AB l +== ；∵21l 22l ∴1l 2l （填<>或）所以选择路线 （填1或2）较短.（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱体的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短.体验与感悟 6-7-11、在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图6-7-2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图6-7-2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图6-7-2③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，图6-7-2① 图6-7-2②图6-7-2③2d = km （用含a 的式子表示）．探索归纳（1）①当4a =时，比较大小：1d 2d (填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：1d 2d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你就a （当1>a 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？例6-7-2 动手操作（1）如图6-7-3①把矩形B B AA ''卷成以AB 为高的圆柱形，则点A 与 重合，点B 与 重合.图6-7-3① 图6-7-3② 图6-7-3③探究与发现（2）如图6-7-3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面绕一圈丝带到顶部B 处做装饰，则这条丝带的最小长度是 cm ；（丝带的粗细忽略不计）（3）若用丝带从图6-7-3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6-7-3③所示），则至少需要多长丝带？创新与应用（4）如图6-7-3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子全部包住杯子且不重叠，需要将带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6-7-3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α= .图6-7-3④图6-7-3⑤ 提示：（1）、（2）略；（3）可看作把圆柱切成四段，求出一段的长再乘以4；（4）动手操作试试，看看AE 、BE 哪个等于底面周长.评述：本题融绕线、绕带问题于一题，是一道考察学生空间想象能力、分析能力的好题. 体验与感悟 6-7-21、如图6-7-4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6-7-4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6-7-4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.图6-7-4① 图6-7-4②（1）请在如图6-7-4②中，计算裁剪的角度∠BAD ；（2）计算按图6-7-4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．图6-7-4③2、如图6-7-5，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为13+时，求正方形的边长．图6-7-5CN D B例6-7-3 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）体验与感悟 6-7-31、三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：（1）牧童B的划分方案中，牧童（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则，为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
初中数学最值问题10个经典题
初中数学最值问题10大经典题解决几何最值问题的通常思路：两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键。
通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。
一、几何最值问题中的基本模型举例【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点C，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． ∵PC 关于OA 对称， ∴∠COP =2∠AOP ，OC =OP 同理，∠DOP =2∠BOP ，OP =OD∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则CD OC =6．则△PMN 的周长的最小值为．1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M、N 分别在边OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=二、典型题型【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．@初中生家长【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：7 4．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．【分析】作点B于直线l的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．@初中生家长【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．∴B′N=BN=1，过D点作B′D⊥AM，利用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC 边上移动的最大距离为2． @初中生家长【解答】解：当点P 与B 重合时，BA′取最大值是3，当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．于．△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F 分别在线段AB、AD 上，将【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=．∴PD=8【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．@初中生家长【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E+1．+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．@初中生家长【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD x，CD（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD x，CD（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．@初中生家长【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P ′到CD 的距离为， ∴PK +QK．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．【分析】首先连接AC ，DP ．由正方形ABCD 的边长为1，即可得：S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP =S △ABC =12S 正方形ABCD =12，继而可得12AP •（BB ′+CC ′+DD ′）=1，又由1≤AP，即可求得答案．【解答】解：连接AC ，DP ．∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1， ∴AB =CD ，S 正方形ABCD =1， ∵S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP =S △ABC =12S 正方形ABCD =12， ∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，是．过B、C、D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围9．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上的任意一点（可与B、C 重合），分别∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2AP，∵1≤AP，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C．≤BB′+CC′+DD′≤2．≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．@初中生家长【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键。
初中几何最值问题归纳
初中几何中的最值问题主要涉及到求解图形的最大值或最小值，以下是一些常见的几何最值问题的归纳：
1.矩形最大面积：给定一定的周长，求解能够构成的矩形中面积最大的情况。
这个
问题可以通过对矩形的边长关系进行分析和求导来解决。
2.三角形最大面积：给定一条固定的边长和该边对应的高，求解能够构成的三角形
中面积最大的情况。
通常使用面积公式和高度相关的关系进行求解。
3.圆内接多边形最大面积：给定一个圆，求解能够内接于该圆的正多边形中面积最
大的情况。
通过分析正多边形的边长和面积的关系，可以求解最值。
4.直线与曲线的最短距离：给定一条直线和一条曲线，求解离直线最近的曲线上的
点。
这个问题可以通过计算点到直线的距离并求最小值来解决。
5.圆与线段的最大面积：给定一条线段，求解能够与该线段构成的圆中面积最大的
情况。
这个问题可以通过计算圆的面积与半径的关系进行求解。
这些是初中几何中常见的最值问题的归纳，每个问题都有不同的解题方法和技巧。
在解决这些问题时，需要灵活运用几何知识和数学推理，结合具体的题目条件进行分析和求解。
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
中考最值问题归纳
中考最值问题归纳
在中考中，最值问题是考生需要掌握的重要数学知识点之一。
以下是一些常见的最值问题类型：
1. 线性函数最值问题
对于形如y = kx + b 的线性函数，其中k 和b 分别为常数，该函数的最值很容易计算。
如果k > 0，那么最小值为b，最大值不存在；当k < 0 时，最大值为b，最小值不存在。
2. 二次函数最值问题
对于形如y = ax^2 + bx + c 的二次函数，其中a、b、c 是常数，通过求导数可以求出函数的极值点并进而得出最值。
如果a > 0，那么最小值在极值点出现；如果a < 0，那么最大值出现在极值点处。
3. 几何图形最值问题
对于几何图形的最值问题，需要根据几何图形的特点关系进行推导和求解。
例如，对于一个等腰直角三角形，因为任何一个斜边的长度都大于等于第三边，所以该三角形的一个锐角就是最大角。
4. 实际问题最值问题
实际问题最值问题通常需要将问题建模成一个数学形式，然后利用求解数学模型的方法来计算最值。
例如，某公司需要运送一些物品到另一个城市，在不同的路线上行驶，每条路线有固定的费用和运输时间，问题是如何选择最优路线来最小化成本或时间。
当然，不同的最值问题类型有不同的解题方法，学生需要根据具体的题目及题型分别运用所学的数学知识来进行解答。
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。
AB A '′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
中学数学的最值问题
a b 2中学问题最值问题是历年高考的热点，也是学生学习的难点。
对于中学数学的常见最值问题，可归纳为以下几大块： 一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x ∈[m ，n],则f （m ），与f （n ）中较大者为最大值，较小者为最小值。
（2）求二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在[m,n]上的最值时，先判定对称轴x= - 是否属于[m,n]，若x=- ∈[m,n],则f(m) , f(n) ,f(- 中较大者是最大值，较小者是最小值，若- [m,n]，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax 2+bx+c 的定义域为R ，当a>0时，有最小值y mn = ,岂a<0时，有最大值y max = ,例1、求函数y=x 2-2x-3在[ ， ]上的最值。
解：≧对称轴x=1∈[ , ]f ，而f( )= ,f(1)=-4, f( ∟ )= - . ≨f(x)max= f(x)min=-4 例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c 中，若a 、b 、c 成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。
解： ≧f(0)=-4 ≨c=-4ab 2a b 2ab ac 442-212521415-2547abac 442-212547-2≧a 、b 、c 成等比数列 ≨b2=ac=-4a 而b ≠0 则有a<0从而函数f(x)=ax2+bx+c 的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：f(x)max= = =-3. （3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。
例3、已知函数f(x)= x ∈[1,+≦]当a= 时，求函数f(x)的最小值 （2004年上海）解：当a= 时， f(x)=x+ +2 ≧f / (x)=1- ≧x ∈[1,+≦] ≨f /(x)>0 ≨f(x)在[1，+≦]上是增函数 ≨f(x)在区间[1，+≦]上的最小值是 f(x)min =f(1)=二、有关三角函数最值的求法 （1）用三角函数的有界性求最值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1≤sinx ≤1 -1≤cosx ≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。
初中数学最值问题汇总
初中数学最值问题汇总
初中数学中的最值问题主要涉及以下几种类型：
1、最大值和最小值：在给定条件下，求某个变量的最大值或最小值。
2、最佳选择问题：在多种选择中，通过比较各种情况的成本或收益，选择最优的方案。
3、图形中的最值问题：在图形中求某一点或某一段的最值，如圆、抛物线、三角形等。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：
1、配方法：对于二次函数，通过配方将函数转化为顶点式，从而容易求出最大值或最小值。
2、轴对称：对于线段和直线的问题，常常通过轴对称找到最短路径或最小值。
3、均值不等式：在求几个数的和的最小值时，常常使用均值不等式。
4、函数的单调性：利用函数的单调性来求解最值问题。
此外，还有如利用导数求解最值、概率统计中的最值问题等。
在解决最值问题时，需要灵活运用各种数学知识和方法。
中考考点突破—求几何最值问题的八类题型解析
中考考点突破—求几何最值问题的八类题型解析一. 考点回顾最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值。
此类问题涉及的知识要点有以下方面:1.两点之间间线段最短；2.垂线段最短；3.三角形的三边关系；4. 定圆中的所有弦中，直径最长；5.圆外一点与圆的最近点、最远点；6.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题。
命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查。
二.例题分析由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法。
解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。
题型一:添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决1.（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是_____ ．题型二:利用轴对称求最短路线问题此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是将军饮马模型问题。
2.（2019春•温州期中）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝17，BC＝7，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连结OE、OF、EF．则△OEF周长的最小值是 ______．解题策略：1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．题型三:利用垂线段最短求线段最小值问题3-1.（2019春•陆川县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5【解答】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：AC·BC/AB＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．3-2. （2019•临颍县一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边上的一个动点，∠BAD＝120°，菱形ABCD的周长为24，则OE的最小值等于（）【解题策略】1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用"垂线段最短" 求出相关线段的最小值。
初二数学：最值问题汇总
最值问题之将军饮马课前热身1、如图所示,四边形OABC 为正方形,边长为6,点A ,C 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,点D 在OA 上,且D 的坐标为(2,0),P 是OB 上的一动点,试求PD +PA 和的最小值是( )2、如图：在ABC ∆中，2==BC AC ，︒=∠90ACB ，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一个动点，则ED EC +的最小值是3、在锐角三角形ABC 中,BC =5√2,∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是_____________.将军饮马模型总结1、如图，直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小。
2、如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B。
使△PAB 的周长最小.3、如图，点P，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM，ON 上作点A，B。
使四边形PAQB 的周长最小。
4、如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P ，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小5、如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大。
6、如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大。
lA BlAB7、如图，在l上找一点P，使PA PB最小。
若A(x1,y1),B(x2,y2)①AB中点坐标为(x1+x22,y1+y22); ②AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2lAB8、坐标计算问题（1）和最短。
已知点A（2，3），B（3，1），在x轴上找一点P使得△APB周长最短。
则点P坐标为______________，最短周长为_______________.（2）差最大。
已知点A（2，3），B（3，1），在x轴上找一点P使得|AP−BP|最大。
则点P坐标为______________，最大值为_______________.例题例1、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．例2、如图,在直角坐标系中,点A. B的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A. B. C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是__________.例3、如图，在五边形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分别找一点M、N，若要使△AMN的周长最小时，则△AMN的最小周长为，此时∠AMN+∠ANM= 。
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初中数学最值问题常见的8种解题方法一. 配方法
例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）
可取得的最小值为_________。
解：原式
由此可知，当时，有最小值。
二. 设参数法
例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。
则的最大值为________。
解：设，易知
由，得
从而，
由此可知，是关于t的方程的两个实根。
于是，有
解得。
故的最大值为2。
例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）
A. 3
B.
C.
D. 6
解：设，则
从而可知，当时，取得最小值。
故选（B）。
三. 选主元法
例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足。
则z的最大值是________。
解：由得。
代入消去y并整理成以为主元的二次方程
，由x为实数，则判别式。
即，
整理得
解得。
所以，z的最大值是。
四. 夹逼法
例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。
设，记为m的最小值，y为m的最大值。
则__________。
解：由得
解得
由是非负实数，得
从而，解得。
又，
故
于是，
因此，
五. 构造方程法
例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。
解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。
从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程
的两个实数根，则
因为，
所以，
解得
所以k的最小值是
四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值
例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且。
若，则的最大值为
_________。
解：由得，代入得。
而由和可知的整数。
所以，当时，取得最大值，为。
七. 借助几何图形法
例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数
的最小值是________。
解：显然，若，则。
因而，当取最小值时，必然有。
如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2。
对于AB上的任一点O，令OA=x，则。
那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。
图1
设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，。
作EF//AB与DB的延长线交于F。
在中，
易知，
所以，。
因此，函数的最小值为5。
八. 比较法
例9. （2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包
天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。
现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则
解得
又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则
解得
于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。