解用容斥原理-精品课程
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(2)的证明和（1）类似，从略.
5
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
U A A B
B
图 3-1
6
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De பைடு நூலகம்organ定理
德摩根(De Morgan)定理的推广：
设A1,A2,…,An是U的子集，则：
(1) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
(2) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
7
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：采用数学归纳法 （1） n=2时定理成立。假定n时成立，即：
A1 A2 ... An A1 A2 ... An 正确
则 A1 A1 A2 ... An A2 ... An A2 ... An An 1 ( A1 ... An ) An 1 An 1 An 1
根据：( A B) C ( A C ) ( B C )
( A B) C ( A C ) ( B C ) A C B C A B C
A B C A B C A B AC B C A B C
A B C A B C A B AC B C A B C 300 200 120 100 60 40 20 440
14
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-2 设A1,A2,…,An是n个有限集合，则
n n
A1 A2 ... An Ai Ai A j
2
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
德摩根(De Morgan)定理：
若A和B是集合U的子集，则
(1) A B A B ( 2) A B A B
3
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：(1)的证明。 设
x A B , 则 x A B
i 1 i 1 j i
Ai A j Ah ...
8
( A1
即定理对n+1也是正确的。
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
容斥原理的两个基本公式
若: A B 则
A B A B
如果A B 有
A B A B A B
9
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-1
A B C A B C A B AC B C A B C
11
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-2：一个学校只有数学，物理，化学3门课 。 已知修这3门课的学生人数分别有170,130,120人； 同时修数学、物理两门课的学生有45人；同时修 数学、化学的有20人；同时修物理、化学的有22 人；同时修三门课的学生有3人，试计算在校的 学生有几人。 解：令M为修数学课的学生集合；F为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 按照已知条件：
=170+130+120-45-20-22+3 =336。
13
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-3：S={1,2,3,…600},求其中被2，3，5除尽的数的数目。 解：令A，B，C分别表示S中被2，3，5除尽的数。
600 600 600 A 300, B 200, C 120, 2 3 5 600 600 A B 100, A C 60, 2*3 10 600 B C 40, 15 A 600 B C 20, 30
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan 定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.10 n对夫妻问题 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 课后习题解答
研究生精品课程 ——《组合数学》
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
例3-1 求不超过20的正整数中为2或3的倍 数的数。 解： 不超过20的数中2的倍数有10个： 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 不超过20的数中3的倍数有6个：3，6，9，12， 15，18,但其中为2或3的倍数的数只有13个， 而不是10+6=16 个。 即 2，3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 其中6，12，18同时为2和3的倍数。若计算 10+6=16，则重复计算了一次6,12,18.
等价于
x A B
同时成立， 所以有
x A
和
xB
(3-1)
A A B x A B
4
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
反之，若
x A B, 即x A和x B
x A 和 x B. 亦即 x A B
x A B x A B
x A B x A B
A
AC
A B
B
BC
C
A B C
图3-2
10
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3.1
证明：
A B C A B C A B AC B C A B C
A B C ( A B) C A B C ( A B) C A B A B C ( A B) C
M 170, F 130, C 120 M F 45, M C 20, F C 22 M F C 3
12
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
假定学校的学生至少要学一门课程。
则在校学生数为：
M F C M F C M F M C F C M F C
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
U A A B
B
图 3-1
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De பைடு நூலகம்organ定理
德摩根(De Morgan)定理的推广：
设A1,A2,…,An是U的子集，则：
(1) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
(2) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：采用数学归纳法 （1） n=2时定理成立。假定n时成立，即：
A1 A2 ... An A1 A2 ... An 正确
则 A1 A1 A2 ... An A2 ... An A2 ... An An 1 ( A1 ... An ) An 1 An 1 An 1
根据：( A B) C ( A C ) ( B C )
( A B) C ( A C ) ( B C ) A C B C A B C
A B C A B C A B AC B C A B C
A B C A B C A B AC B C A B C 300 200 120 100 60 40 20 440
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-2 设A1,A2,…,An是n个有限集合，则
n n
A1 A2 ... An Ai Ai A j
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
德摩根(De Morgan)定理：
若A和B是集合U的子集，则
(1) A B A B ( 2) A B A B
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：(1)的证明。 设
x A B , 则 x A B
i 1 i 1 j i
Ai A j Ah ...
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( A1
即定理对n+1也是正确的。
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
容斥原理的两个基本公式
若: A B 则
A B A B
如果A B 有
A B A B A B
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-1
A B C A B C A B AC B C A B C
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-2：一个学校只有数学，物理，化学3门课 。 已知修这3门课的学生人数分别有170,130,120人； 同时修数学、物理两门课的学生有45人；同时修 数学、化学的有20人；同时修物理、化学的有22 人；同时修三门课的学生有3人，试计算在校的 学生有几人。 解：令M为修数学课的学生集合；F为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 按照已知条件：
=170+130+120-45-20-22+3 =336。
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-3：S={1,2,3,…600},求其中被2，3，5除尽的数的数目。 解：令A，B，C分别表示S中被2，3，5除尽的数。
600 600 600 A 300, B 200, C 120, 2 3 5 600 600 A B 100, A C 60, 2*3 10 600 B C 40, 15 A 600 B C 20, 30
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan 定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.10 n对夫妻问题 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 课后习题解答
研究生精品课程 ——《组合数学》
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
例3-1 求不超过20的正整数中为2或3的倍 数的数。 解： 不超过20的数中2的倍数有10个： 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 不超过20的数中3的倍数有6个：3，6，9，12， 15，18,但其中为2或3的倍数的数只有13个， 而不是10+6=16 个。 即 2，3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 其中6，12，18同时为2和3的倍数。若计算 10+6=16，则重复计算了一次6,12,18.
等价于
x A B
同时成立， 所以有
x A
和
xB
(3-1)
A A B x A B
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
反之，若
x A B, 即x A和x B
x A 和 x B. 亦即 x A B
x A B x A B
x A B x A B
A
AC
A B
B
BC
C
A B C
图3-2
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3.1
证明：
A B C A B C A B AC B C A B C
A B C ( A B) C A B C ( A B) C A B A B C ( A B) C
M 170, F 130, C 120 M F 45, M C 20, F C 22 M F C 3
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
假定学校的学生至少要学一门课程。
则在校学生数为：
M F C M F C M F M C F C M F C