解用容斥原理-精品课程
2第二章 容斥原理及其应用
N (a1a2 ) N (a1a3 ) N (a1a4 ) N (a2a3 ) N (a2a4 ) N (a 3a4 ) 3[ N (a1a2a3 ) N (a1a2a4 ) N (a1a3a4 ) N (a2a3a1 )] 6 N (a1a2a3a4 )
例 在1至100的整数中，有多少个整数能且仅能 被 2， 5，这4个整数中的两个整除 ? 3， 7
解 令S {1, 2,,100}.
s S，称s具有性质a1 , a2 , a3 , a4，如果s能被2， 3,5,7整除
4
N (2) ( 1)
k 2
k 2
k N (ai1 ai2 aik ) 2 1 i1 i2 4
例 求由n( n 4)个相异元a1 , a2 , , an作成的a1与 a2 不相邻，a3与a4也不相邻的全排列的个数.
解 S 全排列的集合 A { S中a1与a2 相邻的全排列} B { S中a3与a4 相邻的全排列}
则 N | S A B || S | | A | | B | | A B |
则 hn | S A1 A2 A3 | 3n 32n 3
定理 设s是有限集，Ai S ( i 1, 2, , n, n 2), 则 | Ai |=
i 1 n 1 i1 n
|A
i1
|
1 i1 i2 n
| Ai1 Ai2 |
i 1 k 1 n n 1 i1 i2 ik n
| Ai1 Ai2 Aik |
例 以gn 表示2n( n 2)个相异元a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn , 作成的ak 与bk ( k 1, 2, , n)均不相邻 的不同的全排列的个数，求gn的计数公式.
五年级下册数学奥数课件11较复杂的容斥原理人教版(21张PPT)
A：10×10=100﹙cm2﹚ B：8×8=64﹙cm2﹚ C：4×4=16﹙cm2﹚ AB：5×5=25﹙cm2﹚ AC：4×2=8﹙cm2﹚ BC：4×2=8﹙cm2﹚ ABC：2×2=4﹙cm2﹚
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
小结
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
即学即练
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有
24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，
投掷 游泳、投掷
17 18 15
6
6
5
2
求这个班的学生共有多少人？
短游 投 跑泳 掷
17 18 15
短跑 游泳
6
短跑 投掷
6
游泳 投掷
5
短跑、 游泳、投掷
2
A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
？ 17 18 15 6 6 5 2
达到了优秀的学生： 17+18+15-6-6-5+2=35(人)
全班的学生：35+4=39 (人)
答：这个班的学生共有39人。
即学即练
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有 62人会骑自行车，75人会游泳。既会自行车又会游泳的有多少人？
62+75-（100-15）=52（人）
答：既会自行车又会游泳的有52人。
例5：如图，边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正 方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？
组合数学课件(第五章 容斥原理)
解：设S为所给字母的全排列，令A1,A2,A3分别为排列中出现单 词MATH,IS,FUN的排列集合。显然，其补集代表它们不作为连 续字母出现的集合。根据题意有 S 9! A1中的排列可以看成6个字母MATH, I, S, F, U, N的排列，因 此 A1 6! , 同理 ，A2 8!, A3 7! ; A B 中的排列是5个字母MATH, IS, F, U,N的排列, 因此 A1 A2 5!, 同理，A1 A3 4!，A2 A3 6!， A1 A2 A3 3! 。 根据容斥原理，在所有排列中，MATH,IS和FUN都不作为连续 字母出现的排列数为 A1 A2 A3 9!6!8!7!5!4!6!3! 317658 .
i 1 i
n
又因为在m个性质中取出一对性质的方法有C(m,2)个，故y是C(m,2)个 | C(m,2) , 集合Ai∩Aj(i≠j)的一个元素，在 |Ai Aj 中被计算的次数为
……,
i j
因此y在等式右端被计算的次数净值
C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)n C(m,n)， 由于m＜k时，C(m,k)=0，有
§5.1 包含排斥原理
•
|A| |S||A|
S
A
§5.1 包含排斥原理 5.1.1 引论
引例1 把1,2,3,…,n全排列，计算“1”不在第1个位置的排列数. 解: 集合格式写法 A {1排在第一个位置的前 n个数的排列 } } 令 S {1,2,...,n的排列 ， ，
§5.1 包含排斥原理
3 5
根据容斥原理，从1到500的整数中不能被3和5整除的数的个数为
15
第十二讲-容斥原理
第十二讲容斥原理在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
第9章 容斥原理
❖ 9.1 容斥原理 ❖ 9.2 对称筛公式及其应用
1
9.1 容斥原理
❖ 9.1.1 容斥原理的基本形式
容斥原理 容斥原理的推论
❖ 9.1.2 容斥原理的应用
计数多重集的r-组合数 计数限制条件的元素数 计算欧拉函数的值 证明组合恒等式
2
容斥原理的基本形式
Ai
定理9.1 设S为有穷集，P1,P2, …, Pm是m种性质，Ai是S中
定理9.2 C 是 nn 的具有给定禁区的棋盘，禁区对应于 {1,2, …, n}的元素在排列中不允许出现的位置，则这种有 禁区的排列数为
n! r1(n 1)! r2 (n 2)! ... (1)n rn
中ri 是 i 个棋子布置到禁区的方案数 使用条件： 棋盘为 nn, 小禁区
20
定理证明
S = { x | xZ, 1x120 }, |S| = 120 被2, 3, 5, 7 整除的集合分别为 A1, A2, A3, A4：
|A1| = 60，|A2| = 40，|A3| = 24，|A4| = 17 |A1A2|= 20, |A1A3|=12, |A1A4|=8, |A2A3|=8, |A2A4|=5, |A3A4|=3 |A1A2A3|=4, |A1A2A4|=2, |A1A3A4|=1, |A2A3A4|=1，|A1A2A3A4|=0
1
n 1
n 2
...
(1)m
n m
n k0
1k
n k
0
4
推论
推论 S 中至少具有其中一条性质的元素数为
m
| A1 A2 ... Am | | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jm
三年级上册数学奥数课件-容斥原理 人教版(共22张PPT)
部分＝总体-另一部分+重复的部分
拓展3、参加舞蹈演出的有32人，参加歌唱演出的 有27人，两种都参加的有11人，两种都未参加的有 31人，一共有多少人？
舞蹈 32人
歌唱 27人
11人
都未参 加31人
？人
参加：32+27-11=48（人） 全部：48+31=79（人） 答：一共79人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人， 参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有 参加的有25人，那么同时参加语文、数学 两科竞赛的有多少人？
练习三
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法 语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多 少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人， 会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。 问这两种棋都会下的有多少人？
包含与排除
当两个计数部分有重复时，为 了不重复计数，应从它们的和 中减去重复部分，这一原理， 我们称为包含排除原理，也称 容斥原理。
脑筋急转弯：
有2个爸爸、2个儿子在家看电视， 但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？
2个爸爸
2个儿子
既是爸爸又是儿子
2 + 2-1=3（人） 总体＝各部分之和—重复的部分
例1、三年级一班有23人喜欢音乐，25人 喜欢美术，音乐和美术有喜欢的有8人， 全班喜欢音乐美术的共有多少人？
23+25-8=40（人） 答：全班喜欢音乐美术的有40人。
拓展1、一共有79人参加节目，参加小品类节目的 有46人，参加曲艺类节目的有39人，并且每人至少 参加一种节目，问两项节目都参加的有多少人？
共79人
小品类 46人
四年级 容斥原理 大班精品课课件
容斥原理1.理解什么是容斥原理，能画图分析其中的关系.2.利⽤容斥原理解决实际问题容斥原理原理：包含与排除，也称容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，从他们的和中排除重复部分例题⼀学校开办运动会，报名参加⻓跑的有10个⼈，报名参加跳远的有7⼈，两样都报名的有3个⼈，最后统计可得，参加运动会的由14⼈，⼩朋友，这个统计数字对吗？练习⼀有两对⽗⼦上⼭打猎，每⼈各打⼀只野兔，可是放到⼀起数⼀数，⼀只、两只、三只。
再数⼀遍，还是3只，怎么回事呢？例题11453836单选题三（）班有学⽣⼈，喜欢喜⽺⽺的有⼈，喜欢美⽺⽺的有⼈，既喜欢喜⽺⽺⼜喜欢美⽺⽺的有（ ）⼈。
A12B29C33例题⼆李⽼师出了两道题，全班40⼈中，第⼀题有30⼈对，第⼆题有12⼈没有做对，两道题都做对的⼈有20⼈。
（1）⾄少答对⼀题的有多少⼈？（2）两题都不对的有多少⼈练习⼆某班56⼈在⼀次测试中，答对⼀题的有50⼈，答对第⼆题的有43⼈，两题都答对的有40⼈，⾄少答对⼀题的有多少⼈，两题都没答对的有多少⼈？点 拨1.利⽤⻙恩图解题公式总结：A、B、C总数=A+B+C-ABC重叠部分例题三在⼀群⼩朋友中，有27个⼈看过《千与千寻》，有15个⼈看过《天空之城》，并且有10个⼈两部影⽚都看过。
已知每个⼩朋友⾄少都看过其中⼀部，那么这群⼩朋友⼀共有多少⼈？练习三某班学⽣⼿中分别拿红⻩两种颜⾊的⼩旗，已知⼿中有红旗的共有34⼈，⼿中有⻩旗的共有26⼈，⼿中有红⻩两种⼩旗的有9⼈，那么这个班共有（ ）⼈。
（每个学⽣⼿上都拿着⼩旗）例题2单选题学校开设两个兴趣⼩组，三⼈参加书画⼩组，⼈参加棋艺⼩组，两个⼩组都参加的有⼈，那么三⼀共有( )⼈参加了书画和棋艺⼩组。
(1)27243(1)A 51B 54C 48D30例题四海军突击队共有⼠兵30⼈，每个⼈都擅⻓射击和空⼿格⽃中的⼀项或两项，如果⼠兵中擅⻓射击的有12⼈，擅⻓空⼿格⽃的有23⼈，那么，这两项均擅⻓的⼠兵有多少⼈？练习五科技节那天，学校的科技室⾥展出了每个年级学⽣的科技作品，其中有110件不是⼀年级的，有100件不是⼆年级的，⼀、⼆年级参展的作品共有32件。
06容斥原理讲课版
第3章容斥原理The Inclusion-Exclusion Principle回顾前一章——鸽笼原理：本章重点介绍容斥原理及其在排列组合中的应用：•容斥原理•再论可重复r −组合•错排问题•有限制排列与棋盘多项式•反演基本形式推广定理Ramsey 定理||q S =,i i S A S P 设集合是上具有性质的元素集,令1121||||||||ni n i q A A A A ===+++∑L 21213112321||(||||||)(||||)||i j n i j nn n n q A A A A A A A A A A A A A A ≤<≤−==++++++++∑L L Lq= 3法三门例S a a a A A A S=L 解令用分别表示中的学生选修日、德、法各种外语的学生集合.则 0||30,q S ==1123||||||15141443,q A A A =++=++=2q =++=++=3123||3,q A A A ==012330431933N q q q q −+−=−+−=[0]=1112233[1]432193314N q C q C q =−+=−×+×=2233[2]193310N q C q =−=−×=3[3]3N q ==3,14,10,3故不选修外语的学生有人分别选修一、二、三门外语的学生各有人人人.§3.2 重集的r−组合在§1.3中介绍了重集B={k1*b1, k2*b2, … , k n*b n}在重数k i= ∞ (i=1,2,…,n)与在重数k i≥r(i=1,2,…,n)时的r−组合数是相同的，下面以实例说明当重集B的元素具有任意给定的重数时，利用容斥原理求B的r−组合数。
§1.3 组合定理1.7课本p43定理2.5.11.3.2 重复组合r 个无区别的球放入n 证明：这是一个允许重复组合的典型问题。
六年级容斥原理阴影面积课件
六年级容斥原理阴影面积课件一、引言容斥原理是数学中的一个重要概念，可以用于解决计数问题。
而阴影面积则是几何学中的一个问题，常常需要通过计算来求解。
本课件将通过容斥原理来解决一个有关阴影面积的问题，帮助六年级学生更好地理解和应用容斥原理。
二、背景知识回顾在开始讲解容斥原理和阴影面积问题之前，我们先来回顾一些相关的背景知识。
1. 集合和元素在数学中，集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
组成集合的对象称为元素。
2. 集合的运算在集合中，常用的运算有并集、交集和差集。
- 并集：设A和B是两个集合，它们的并集记作A∪B，表示包含所有属于A或属于B的元素。
- 交集：设A和B是两个集合，它们的交集记作A∩B，表示包含同时属于A和属于B的所有元素。
- 差集：设A和B是两个集合，表示属于A但不属于B的元素的集合称为A与B的差集，记作A-B。
3. 容斥原理容斥原理是一种计数原理，用于求解有关集合的问题。
它的基本思想是通过加减操作，考虑重复计数的情况，从而得出准确的计数结果。
三、阴影面积问题现在我们来解决一个有关阴影面积的问题。
如下图所示，一个矩形区域被两个正方形所覆盖，我们需要求解阴影部分的面积。
┌───┐ ┌────┐│ │ │ ││ │ │ ││ A │ │ B ││ │ │ ││ │ │ │└───┘ └────┘假设矩形的长为L，宽为W，而其中一个正方形A的边长为X，另一个正方形B的边长为Y。
1. 求解过程首先，我们可以将整个矩形区域看作是正方形A与正方形B的并集。
然后，我们分别计算出正方形A和正方形B的面积，并求出它们的并集面积。
最后，通过容斥原理，我们可以得出阴影部分的面积。
具体的计算步骤如下： - 步骤一：计算正方形A和正方形B的面积。
- 正方形A的面积为X²。
- 正方形B的面积为Y²。
- 步骤二：计算正方形A和正方形B的并集面积。
- 正方形A与正方形B的并集面积为(A∪B) = X² + Y²。
简单的容斥原理完整版课件
A
B
若对于三个有限集合A,B,C呢？
A∩B
A
A∩C
B
C
B∩C
A∩B∩C
三个集合的容斥原理
一般地，对任意三个有限集合A,B,C，有:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
例1.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好 者有75人，既爱好音乐又爱好体育的有40人，那么 仅爱好音乐的有几人？仅爱好体育的有几人？两者 都不爱好的有几人？
A={圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水}
B={圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面}
card(A)=6， card(B)=4，
card(A∩B)=2，
card(A∪B)= 6+4-2
根据集合元素的互 异性
相同的元素只表示 一次！
两个集合的容斥原理
一般地，对任意两个有限集合A,B，有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
A
音乐 爱好
者
B
体育 爱好者
变式：在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱 好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最多 有几人？最少有几人？
B
？ A
音乐 爱好
体育 爱好
者
者
例2.已知集合 A {x N | 0 x 10000} ，求集合 A中不能被5或7整除的数的个数.
例2.已知集合 A {x N | 0 x 10000} ，求集合 A中不能被5或7整除的数的个数.
英语 六级
会计 师
最新容斥原理PPT课件
n !S (m ,m )A 1 A 2 ... A n n m C (n ,1 )(n 1 )m
( 1 )kC (n ,k)(nk)m ( 1 )nC (n ,n )0 m .
即：
S(m ,n)1 nC(n,k)(nk)m.
n!k0
例11 求方程x1+x2+x3=15的非负整数解的数目。 这个问题相当于15个相同的球放入3个不同的盒子的 不同方案数，为C(15+3-1,15)=C(17,2)。
A BC D 1 2 3 4
如左图，斜线区域表示禁区。
R(
)=1+6x+10x2+4x3，
方案数为：4!-6×3!+10×2!-4×1!=4。
例14 再解错排问题。 对应于棋盘上对角线格子为禁区的布子问题。
棋盘多项式为：
n
C = ··· R(C)(1x)n C(n,k)xk, k0 即：rk(C)=C(n,k)。
类似有：|A2∩A3|=0，|A2∩A4|=20!， |A2∩A5|=20!， |A3∩A4|=20!， |A3∩A5|=20!， |A4∩A5|=19!。
A1 A2 A3 0, A1 A2 A4 0,
A1 A2 A5 0, A1 A3 A4 0,
A1 A3 A5 0, A1 A4 A5 0,
ABCUA BCABBC
ACABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1 .
例7 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求 排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求 满足这些条件的排列数。
令Ai (i=1,2,3,4,5)分别表示出现以上五个单词之一的 排列的集合。
下面回到有禁区的排列问题，有如下的定理：
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
第八讲 容斥定理-2021年新高一年级数学暑假精品课程(人教A版2019)(解析版)
第八讲：容斥定理【学习目标】1．通过集合容斥定理公式，解决实际生活中的问题.【基础知识】一、容斥定理公式 （1） （2）()()()()()()()()Crad A Crad B Crad C Crad A B Crad A C Crad B C Crad A B C Crad A B C ++---+=【考点剖析】考点一：容斥定理的应用（一）例1．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】C 【详解】由题意可知两者之间的关系如图，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数15204580++=. 故选：C.变式训练1：某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【详解】因为某校高一（9）班共有49名同学， 参加学校举办的书法竞赛中有24名同学， 参加数学竞赛中有25名， 且两项都参赛的有12名同学，所以在两项比赛中，该班参加过比赛的同学的人数共有24251237+-=名学生， 所以该班没有参加过比赛的同学的人数为493712-=名. 故选：C.变式训练2：集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()cardA 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A a b c =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,AB ，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）A ．28B ．23C ．18D ．16【答案】C 【详解】设参加田赛的学生组成集合A ，则card()14A =， 参加径赛的学生组成集合B ，则card()9B =， 由题意得card()5A B ⋂=， 所以，所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有18. 故选：C.变式训练3：调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）A ．最多人数是55B ．最少人数是55C ．最少人数是25D ．最多人数是80【答案】B 【详解】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则[]0,20x ∈，以上两种药都带的人数为y. 根据题意列出Venn 图，如下图所示：由图可知，.∴7580100x y ++-=，∴55y x =+. ∵，∴，故最少人数是55. 故选：B.考点二：容斥定理应用（二）例2．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______． 【答案】184. 【详解】将已知条件用Venn 图表示出来如下图所示， 所以听讲座的人数为. 故答案为：184.变式训练1：高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C 【详解】把学生50人看出一个集合U ，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合B ，选择生物颗的人数组成集合C ， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人， 以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多8人，所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818+=人. 故选：C.变式训练2：甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集分别为,,,A B C D ， 所以有景点构成的全集为U ，记集合,,,A B C D 的元素的个数依次为(),(),(),()n A n B n C n D ， 则，()4n U =，,,()1A B CD n A C =∅=∅=，则AB C D U ==,，所以每个景点都有2人去， 故选：B变式训练3：学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有______人． 【答案】4 【详解】由题意，画出韦恩图如下图所示：根据题意可知解方程组得所以同时参加田赛与径赛的有4人【过关检测】1、某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x y -=（ ）A ．22B ．21C ．20D ．19【答案】D 【详解】设集合,A B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A B 就是两者都爱好的，要使A B中人数最多，则A B ⊆，22x =，要使AB 中人数最少，则A B U =，即222746y +-=，3y =，∴22319x y -=-=．故选：D ．2、某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】只参加游泳比赛的人数：15﹣3﹣2＝10（人）；同时参加田径和球类比赛的人数：8+14﹣（28﹣10）＝4（人）．故选：D3、学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为A．20 B．17 C．14 D．23【答案】B【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，+-=.所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为812317故选B4、50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是（）A．35 B．25 C．28 D．15【答案】B【详解】试题分析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；2项测验成绩均不及格的有4人∴40-x+31-x+x+4=50，∴x=255、某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为（）A．19 B．20 C．21 D．37【详解】由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为1316821+-=. 故选：C6、自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D ．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟【答案】D 【解析】设报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A ，B ，C ，D ，则 由题意，A∩B=∅，B ⊆C ，D∩C=∅，C ∪D=B ， ∴A ⊆D ，B=C ，C ∪D=B ， 选项A ，B∩D=∅，正确； 选项B ，B=C ，正确； 选项C ，A ⊆D ，正确， 故选D ．7、某小学五年级一班共有50名学生，在期中考试中语文25人优秀，数学30人优秀，两门都不是优秀者7人，则两门都是优秀同学共有______人. 【答案】12 【详解】解：设两门都是优秀同学共有x 人，利用Venn 图表示如图，所以有：2530750x +-+=，解得12x =. 故两门都是优秀同学共有12人.8、建平中学2019年的“庆国庆930”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数7人，则此班的人数为________ 【答案】40人 【详解】设{U x x =为建平中学高一某班全体学生} 集合{A x =参加大舞台的学生} 集合{B x =参加风情秀的学生}两个节目都参加的人数为n ,只参加风情秀的人数为m . 两个节目都不参加的人数为7n +,只参加大舞台的人数为3m + 则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三可知 解得所以总的人数为315408÷=人 故答案为: 409、某学校举办运动会时，高一（1）班共有26名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加球类比赛和田径比赛的学生有__人． 【答案】5 【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以15+8+14﹣3﹣3﹣26＝5，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有5人．10、某班共40人，其中17人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为___________. 【答案】15. 【详解】用集合A 表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，用集合B 表示喜爱乒乓球的学生组成的集合，U 表示全班学生组成的集合，作出Venn 图如下图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的学生人数为x ， 则()()172084540x x x x -+-++=-=，解得5x =.因此，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为2015x -=，故答案为15.11、在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____． 【答案】A B A C【详解】解：①设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校},{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校},{|C x x 是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B ．故答案为：AB ．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A C ．故答案为：AC ．12、某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人.【答案】17 【详解】设参加游泳比赛为集合A ，参加田径比赛为集合B ，参加球类比赛为集合C ，同时参加球类和田径比赛的有x 人由韦恩图可知，，解得3x = 则仅参加一项比赛的共有人 故答案为：1713、有三支股票A,B,C ．总共28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是_____人. 【答案】 【详解】由题意，作出韦恩图，如图所示，根据题意，在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1，在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票，可得7m n p ++=，即值持有B 股的股民人数为7人.14、向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【详解】赞成A 的人数为350305⨯=，赞成B 的人数为30333+=， 记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合M ，赞成事件B 的学生全体为集合N ， 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ，则对A 、B 都不赞成的人数为13x+，赞成A 而不赞成B 的人数为，赞成B 而不赞成A 的人数为33x -，作出Venn 图如下所示，依题意可得，解得21x =，所以对A 、B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.15、某班对两条新制定的班规A ，B 进行表决，结果A 以90%的得票率顺利通过，而B 却因得票率为40%，未过半数被否决;并且知道，对A ，B 都投赞成票的学生人数是对A ，B 都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A 赞成票和同时投A ，B 赞成票的学生各多少人?【答案】27；18.【详解】设集合为对投赞成票的学生，集合B 为对B 投赞成票的学生，依题意有45人，B 有20人，对、B 都投赞成票的学生则表示为A B ，设为x 人，对、B 都投否决票的学生则表示为A B ⋂，依意为6x ， 根据集合运算公式：(5045)(5020)3566x x A B A B A B ⋃=+-⋂=-+--=-， 50A B x ⋃=-，则35506x x -=-，解得：18x =， 所以同时投A ，B 赞成票的学生18人.单投A 赞成票的人可表示为人.16、已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）（2）【答案】(1)(2)【详解】(1) 先分析U A C B 与,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断与U CC B ,再求并集可得如图阴影部分.。
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3.1 De Morgan 定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.10 n对夫妻问题 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 课后习题解答
研究生精品课程 ——《组合数学》
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
例3-1 求不超过20的正整数中为2或3的倍 数的数。 解： 不超过20的数中2的倍数有10个： 2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 不超过20的数中3的倍数有6个：3，6，9，12， 15，18,但其中为2或3的倍数的数只有13个， 而不是10+6=16 个。 即 2，3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 其中6，12，18同时为2和3的倍数。若计算 10+6=16，则重复计算了一次6,12,18.
A B C A B C A B AC B C A B C 300 200 120 100 60 40 20 440
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-2 设A1,A2,…,An是n个有限集合，则
n n
A1 A2 ... An Ai Ai A j
A
AC
A B
B
BC
C
A B C
图3-2
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Hale Waihona Puke 第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3.1
证明：
A B C A B C A B AC B C A B C
A B C ( A B) C A B C ( A B) C A B A B C ( A B) C
8
( A1
即定理对n+1也是正确的。
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
容斥原理的两个基本公式
若: A B 则
A B A B
如果A B 有
A B A B A B
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
定理3-1
A B C A B C A B AC B C A B C
根据：( A B) C ( A C ) ( B C )
( A B) C ( A C ) ( B C ) A C B C A B C
A B C A B C A B AC B C A B C
2
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
德摩根(De Morgan)定理：
若A和B是集合U的子集，则
(1) A B A B ( 2) A B A B
3
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：(1)的证明。 设
x A B , 则 x A B
=170+130+120-45-20-22+3 =336。
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-3：S={1,2,3,…600},求其中被2，3，5除尽的数的数目。 解：令A，B，C分别表示S中被2，3，5除尽的数。
600 600 600 A 300, B 200, C 120, 2 3 5 600 600 A B 100, A C 60, 2*3 10 600 B C 40, 15 A 600 B C 20, 30
(2)的证明和（1）类似，从略.
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
U A A B
B
图 3-1
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
德摩根(De Morgan)定理的推广：
设A1,A2,…,An是U的子集，则：
(1) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
例3-2：一个学校只有数学，物理，化学3门课 。 已知修这3门课的学生人数分别有170,130,120人； 同时修数学、物理两门课的学生有45人；同时修 数学、化学的有20人；同时修物理、化学的有22 人；同时修三门课的学生有3人，试计算在校的 学生有几人。 解：令M为修数学课的学生集合；F为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 按照已知条件：
i 1 i 1 j i
Ai A j Ah ...
(2) A1 A2 ... An A1 A2 ... An
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
证明：采用数学归纳法 （1） n=2时定理成立。假定n时成立，即：
A1 A2 ... An A1 A2 ... An 正确
则 A1 A1 A2 ... An A2 ... An A2 ... An An 1 ( A1 ... An ) An 1 An 1 An 1
等价于
x A B
同时成立， 所以有
x A
和
xB
(3-1)
A A B x A B
4
第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
反之，若
x A B, 即x A和x B
x A 和 x B. 亦即 x A B
x A B x A B
x A B x A B
M 170, F 130, C 120 M F 45, M C 20, F C 22 M F C 3
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第三章 容斥原理与鸽巢原理
3.2 容斥定理
假定学校的学生至少要学一门课程。
则在校学生数为：
M F C M F C M F M C F C M F C