(预测题)中考数学专题22几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)
中考数学《旋转》专题练习含答案解析
旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。
2020-2021中考数学压轴题专题复习——初中数学 旋转的综合及详细答案
2020-2021中考数学压轴题专题复习——初中数学旋转的综合及详细答案一、旋转1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC ，连接DE 、AE 、BD ．点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）PM 与BE 的数量关系是 ，BE 与MN 的数量关系是 ．（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE 与MN 的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB ＝6．CE ＝2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，求MN 的长度． 【答案】（1）1,22PM BE BE MN ==；（2）成立，理由见解析；（3）MN ＝17﹣1或17+1 【解析】 【分析】（1）如图1中，只要证明PMN V 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图2中，结论仍然成立，连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ≅V V ，推出BE AD =，DAC EBC ∠=∠，即可推出BH AD ⊥，由M 、N 、P 分别AE 、BD 、AB 的中点，推出//PM BE ，12PM BE =，//PN AD ，12PN AD =，推出PM PN =，90MPN ∠=︒，可得22222BE PM MN MN ==⨯=； （3）有两种情形分别求解即可. 【详解】 （1）如图1中，∵AM ＝ME ，AP ＝PB ， ∴PM ∥BE ，12PM BE =，∵BN ＝DN ，AP ＝PB ，∴PN ∥AD ，12PN AD =， ∵AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∴AD ＝BE ， ∴PM ＝PN ， ∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴∵PM ∥BC ，PN ∥AC ， ∴PM ⊥PN ，∴△PMN 的等腰直角三角形， ∴2MN PM =，∴122MN BE =⋅， ∴2BE MN =，故答案为12PM BE =，2BE MN =． （2）如图2中，结论仍然成立．理由：连接AD 、延长BE 交AD 于点H ． ∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝CE ，CA ＝CB ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∵∠ACB ﹣∠ACE ＝∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ACD ＝∠ECB ， ∴△ECB ≌△DCA ， ∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ， ∵∠AHB ＝180°﹣（∠HAB +∠ABH ） ＝180°﹣（45°+∠HAC +∠ABH ） ＝∠180°﹣（45°+∠HBC +∠ABH ） ＝180°﹣90° ＝90°， ∴BH ⊥AD ，∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ∥BE ，12PM BE =，PN ∥AD ，12PN AD =， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，∴22222BE PM MN MN ==⨯=． （3）①如图3中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=，∴342BE BG GE =-=-， ∴21712MN BE ==-． ②如图4中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=∴342BE BG GE =+=， ∴21712MN BE ==． 综上所述，MN 17﹣117． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.3．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=12AC，理由见解析.【解析】试题分析：（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=12 AC．试题解析：（1）BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，∵DAC DBFADC BDF AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；（2）NE=12AC，理由是：如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD，∵∠DBA=∠BAD=45°，∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ANE=∠NAE=45°，∴AE=EN，∴EN=12 AC．4．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD cm，∴△BDE的最小周长=CD；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s.综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.5．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．【解析】分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=12CE，PM∥CE，PN=12BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=12BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形．理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=12CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN=12BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形．（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=12 BD，∴PM最大时，△PMN周长最大，∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.6．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.7．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.特殊发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记ACBC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FPMC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，ACBC=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FPMC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FPMC PB=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，ACBC=tan30°，∴k=tan30°=3，3∴当k为3时，△CPE总是等边三角形．3【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．8．已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.【答案】（1）；（2）；（3）当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】（1）a=b=3，且∠ACB=60°，△ABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；（2）a=b=6，且∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b．【详解】（1）∵a=b=3，且∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴OC=，∴CD=3；（2）3；（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD．当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE＜AE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；只有当∠ACB=120°时，∠CAE=180°，即A、C、E在一条直线上，此时AE最大∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件，是解题的关键．9．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD ∽△BCE ∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90° ∴∠AGF=90° ∴BE ⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90° ∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．11．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
【专项】中考数学复习几何旋转解答题专题练习(含解析)
中考数学复习几何旋转解答题专题练习1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．（1）求证：△CFD≌△ABC；（2）连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．3．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD 与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为；∠AOB度数为；（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；（2）如图②，当α＝60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．5．如图，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．8．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度数．10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，且B′，C′两点分别与B，C两点对应，延长BC与B′C′边交于点E，求∠CEC′的度数．11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上．（1）若∠DAC＝50°，则∠ABE＝度；（2）求证：BE⊥BC；（3）若点D是BC的中点，AC＝2，求BE的值．12．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE 绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC 于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．13．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．14．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．15．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．（1）求证：△ADB是等边三角形；（2）直接写出∠APD的度数．16．已知：如图1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON 平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）17．将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC 交于点Q，求证：CP1＝CQ；（2）在图2中，若AP1＝2，求CQ的长．18．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．19．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．20．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB1，记旋转角为α，连接BB1，过点D 作DE垂直于直线BB1，垂足为点E，连接DB1，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB1的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，将△ADC绕点A按顺时针旋转到△AEF（A，B，E在同一直线上），连接CF，求CF的大小．22．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．23．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．24．如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE、CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，连接DE、PM、PN、MN．（1）观察猜想：图①中△PMN是三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．25．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：CG＝BH．26．如图，等边三角形ABC的外部有一点P，且∠BP A＝30°，将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，连接BQ．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C两点之间的距离．27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．28．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为．29．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．31．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝时，DE∥BC，当∠α＝时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①此时∠α的度数范围是；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．32．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作发现：（1）在旋转过程中，当α为度时，AD∥BC，当α为度时，AD⊥BC；（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；拓展应用：当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并说明理由．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．34．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．参考答案1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．（1）求证：△CFD≌△ABC；（2）连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△CFD和△ABC中，，∴△CFD≌△ABC（SAS）；（2）延长BF交CE于点G，由（1）得，FC＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵BF＝AC＝AB，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BF A＝（180°﹣50°）＝65°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，∴AF＝＝＝4．3．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD 与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为AE＝BD；∠AOB度数为60°；（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AOB＝60°，故答案为：AE＝BD，60°；（2）成立．证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，又∵∠ANO＝∠BNC，∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；（2）如图②，当α＝60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∴∠CAD＝∠CDA＝＝75°，又∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠FBC＝30°时，四边形BFDE为平行四边形，∴∠FBC＝∠ACB＝30°，∴∠ABF＝∠A＝60°，∴BF＝CF＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴BF＝AB，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴DE＝AB，△BCE是等边三角形，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBC＝30°，∴∠DEB+∠EBF＝180°，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．5．如图，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．【解答】解：∵由旋转的性质可知AD＝AB＝，∴∠B＝∠BDA＝45°．∴∠DAB＝90°．∴DB＝＝2．∴CD＝BC﹣DB＝3﹣2＝1，故DC的长为1．6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，由旋转的性质得：CB＝CB'，∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，如图所示：则AB＝B'E＝CB'＝2．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．【解答】解：由旋转可知：∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，∴∠EAB＝∠AEB＝（180°﹣32°）＝74°．8．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，∴AC′＝AC，∴∠CC′A＝∠ACC′＝70°，10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，且B′，C′两点分别与B，C两点对应，延长BC与B′C′边交于点E，求∠CEC′的度数．【解答】解：设BE与AB′交于F，∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，∴∠B′＝∠B，∠BAB′＝30°，∵∠AFB＝∠B′FE，∴∠BEB′＝∠BAB′＝30°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEB′＝150°．11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上．（1）若∠DAC＝50°，则∠ABE＝65度；（2）求证：BE⊥BC；（3）若点D是BC的中点，AC＝2，求BE的值．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AB＝AE，∠DAE＝∠CAB，∴∠AEB＝∠ABE，∠EAB＝∠CAD＝50°，∴∠ABE＝＝65°，故答案为：65；（2）证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝x，∴∠DAC＝180°﹣2x，由旋转的性质得∠EAB＝∠DAC＝180°﹣2x，AE＝AB，∴∠EBA＝，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣x，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝x+（90°﹣x）＝90°，即BE⊥BC；（3）由旋转的性质得AD＝AC＝2，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴BD＝DC＝AD＝2，∴BC＝4，∵DE＝BC＝4，∴BE＝＝2．12．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE 绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC 于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．【解答】（1）证明：∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，∴AE＝AF，∠EAF＝∠CAB＝45°，∴∠F AC＝∠EAB，在△ABE和△AMF中，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴BE＝FM；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝4，∠ACD＝45°，∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，∴AM＝AB＝4，∴CM＝4﹣4，∵FM⊥AC，∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CFM，∴FM＝CM＝4﹣4，∴BE＝4﹣4．13．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠PBQ＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP＝CQ．14．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．【解答】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，∴△BFC≌△BEA，∴BE＝BF＝1，∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠BFC，∵，BC2＝22＝4，∴BF2+FC2＝BC2，∴∠BFC＝90°＝∠AEB，∴∠AEB+∠EBF＝180°，∴AE∥BF；（2）解：AE2+AF2＝2BF2，理由如下：∵AC是正方形ABCD的角平分线，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∴∠EAF＝45°+45°＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，∴BE＝BF，∠EBF＝90°，∴2BF2＝EF2，∴AE2+AF2＝2BF2．15．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．（1）求证：△ADB是等边三角形；（2）直接写出∠APD的度数60°．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∴△ADB是等边三角形；（2）如图：∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD＝∠BDE+∠E，由（1）知△ADB是等边三角形，∴∠BDE+∠E＝∠ABD＝60°，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠BDE＝∠BAP，∴∠BAP+∠E＝60°，∴∠APD＝∠BAP+∠E＝60°；故答案为：60°．16．已知：如图1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON 平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOC，∠BOC+∠AOB＝∠AOC，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠AOB＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）由（1）知，∠AOC＝120°，∠BOC＝90°，①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，由OP，OQ的运动可知，∠AOP＝10°t，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ＝∠AOP+∠POQ＝∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°＝30°+6°t，解得t＝5，OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP＝∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t＝30°+6°t+10°，解得t＝10；②OP顺时针旋转时，∠COP＝10°t﹣120°，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC＝∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t+10°，解得t＝12.5，OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC＝∠COP+∠BOQ﹣∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t ﹣10°，解得t＝13.75，综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ＝10°．（3）由（1）知∠AOC＝120°，根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，如图3（1），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝∠AOC＝60°；②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM﹣∠PON＝∠AOP﹣∠COP＝∠AOC＝60°；③∠CON＝180°前，如图3（3），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝（360°﹣∠AOC）＝120°；④OP与OQ重合前，如图3（4），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠PON﹣∠POM＝∠COP+∠AOP＝∠AOC＝60°；综上，∠MON的度数为60°或120°．17．将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC 交于点Q，求证：CP1＝CQ；（2）在图2中，若AP1＝2，求CQ的长．【解答】（1）证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ＝CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°，∴P1D＝AP1；∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；又AP1＝2，CQ＝CP1，∴CQ＝．18．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．【解答】证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，∴AO＝CO，∴∠A＝∠ACO，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝180°，又∵∠ACO+∠BCO＝180°，∴∠BCO＝∠E．19．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）由图①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，如图②，连接BD，则BD＝DG，∴∠DGB＝∠DBG＝37°，∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，∴旋转角为：53°﹣37°＝16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：过点G作GK∥BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END（ASA），∴EN＝DK，∵GK∥ML，KL∥GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL＝EN+GM．20．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB1，记旋转角为α，连接BB1，过点D 作DE垂直于直线BB1，垂足为点E，连接DB1，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB1的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝α＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴＝＝，故答案为：等腰直角三角形，；（3）（1）中的两个结论仍然成立．理由如下：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣﹣（90°﹣）＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；∴＝，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴＝＝，21．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，将△ADC绕点A按顺时针旋转到△AEF（A，B，E在同一直线上），连接CF，求CF的大小．【解答】解：∵AD＝8，AB＝6，∠D＝90°，∴AC＝＝＝10，∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC＝10，∴∠EAF+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，∴∠F AC＝∠BAD，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠F AC＝90°，∴△F AC是等腰直角三角形，∴CF＝AC＝10．22．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．【解答】解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴△ABE≌△CBF，∴BE＝BF＝，AE＝CF＝1，∠EBF＝90°，∠AEB＝∠BFC，∴△BEF为等腰直角三角形，∴EF＝BE＝2；（2）在△CEF中，CE＝，CF＝1，EF＝2，∵CF2+EF2＝12+22＝5，CE2＝5，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．23．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，∴∠ABC＝∠DBE＝40°，∴∠ABD＝∠CBE＝100°，又∵BA＝BC，∴AB＝BC＝BD＝BE，在△ABD与△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°．24．如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE、CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，连接DE、PM、PN、MN．（1）观察猜想：图①中△PMN是等边三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝CE，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．25．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：CG＝BH．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠BCH，∵∠D＝90°，BH⊥AC，∴∠D＝∠BHC，由旋转得，CE＝CB，CD＝CG，在△EDC和△CHB中，，∴△EDC≌△CHB（AAS），∴BH＝CD＝CG．26．如图，等边三角形ABC的外部有一点P，且∠BP A＝30°，将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，连接BQ．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C两点之间的距离．【解答】解：（1）设CQ与AP交于D点，AB与CQ交于E点，∵将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，∴AP＝CQ，∠ADC＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAP＝∠BCQ，在△ABP与△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ（SAS），（2）连接PQ，PC，由△ABP≌△CBQ得：PB＝BQ，∠PBA＝∠CBQ，∠BP A＝∠BQC＝30°，QC＝AP＝4，∴∠QBP＝∠ABC＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴∠PQB＝60°，PQ＝BQ＝3，∴∠PQC＝∠PQB+∠BQC＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PQ2+QC2，∴PC＝＝＝5．27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴BD＝＝．∴BD的长为．28．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为2．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，29．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△A1BC1是由△ABC绕顶点B逆时针旋转而得，∴∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，AB＝A1B，在△BCF和△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D（ASA）；（2）解：四边形A1BCE是菱形．∵△ABC是等腰三角形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C1＝∠C＝50°，又∵△BCF≌△BA1D，∴∠CBF＝∠A1BD＝50°，∴∠C1＝∠CBF，∠A＝∠A1BD，∴A1E∥BC，A1B∥EC，即四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．【解答】（1）解：P A＝DC，理由如下：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，在△PBA和△DBC中，，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴P A＝DC；（2）解：CD＝P A；理由如下：如图2中，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，∴BC＝2BA•cos30°＝BA，BD＝2BP•cos30°＝BP，∴，∵∠ABC＝∠PBD＝30°，∴∠ABP＝∠CBD，∴△CBD∽△ABP，∴＝，∴CD＝P A．31．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝4°时，DE∥BC，当∠α＝94°时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①此时∠α的度数范围是49°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．【解答】解：（1）当DE∥BC时，如图（1），∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B＝40°，∵∠FDE＝36°，∴∠α＝∠EDA﹣∠FDE＝40°﹣36°＝4°，∴∠α＝4°时，DE∥BC．当DE⊥BC时，如图（2），∵DE⊥BC，∴∠BGD＝90°，∵∠B＝40°，∠GDA是△GDB的一个外角，∴∠GDA＝∠B+∠BGD＝40°+90°＝130°，∵∠EDF＝36°，∴∠α＝∠GDA﹣∠FDE＝130°﹣36°＝94°，∴∠α＝94°时，DE⊥BC．故答案为：4°；94°．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝40°+45°＝85°，当ED经过点C时，∠α＝∠ADC﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，当FD经过点C时，∠α＝∠ADC＝85°，∴顶点C在△DEF内部时，49°＜α＜85°．∠1与∠2度数的和不发生变化，理由如下：延长DC至点H，∵∠NCH、∠MCH分别是△NCD和△MCD的外角，∴∠NCH＝∠2+∠NDC，∠MCH＝∠1+∠MDC，∴∠NCH+∠MCH＝∠2+∠1+∠NDC+∠MDC，∴∠NCM＝∠1+∠2+∠NDM，∵∠NCM＝∠ACB＝90°，∠NDM＝∠FDE＝36°，∴90°＝∠1+∠2+36°，∴∠1+∠2＝54°．③∵∠ABC＝40°，∠ACB﹣90°，∴∠A＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵∠ADF是△MBD的外角∴∠α＝∠ABC+∠1＝40°+∠1，∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝54°，∴54°﹣∠1≥2∠1，∴∠1≤18°，∴α≤58°，又∵49°＜α＜85°，∴49°＜α≤58°．32．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作发现：（1）在旋转过程中，当α为15度时，AD∥BC，当α为105度时，AD⊥BC；（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；拓展应用：当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并说明理由．【解答】解：（1）如图（1），记DE与AC的交点为点F，DE与BC的交点为点G，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝15°，即α＝15°，如图（2），记AD与BC的交点为F，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠DAC＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CAE＝∠DAC+∠EAD＝60°+45°＝105°，即α＝105°，故答案为：15，105．（2）①当AD∥BC时，如图1所示，由（1）得，α＝15°；②当DE∥BC时，如图2所示，由（1）得，AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∵∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∴α＝105°；③当DE∥AB时，如图3所示，α＝45°；④当DE∥AC时，如图4所示，α＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°；⑤∠EAC+∠C＝180°，∵∠C＝30°，∴∠EAC＝150°，即α＝150°；综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°.拓展应用：当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°，保持不变，理由如下：如图6，设BD分别交AC、AE于点M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，∵∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC，∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，∵∠C＝30°，∠E＝45°，∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．（2）四边形CDEF是菱形，理由如下：如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，∴∠DBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC，∵BD＝BD，BE＝BC，∴△DBE≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠BCD＝90°，∴CD＝BD，ED＝BD，∵F为BD的中点，∴CF＝BD，EF＝BD，∴CD＝ED＝CF＝EF，∴四边形CDEF是菱形．34．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．。
【复习专题】中考数学复习：三大变换—旋转作图(二)
三大变换之 -- 旋转作图（二）知识梳理1、中心对称 : 把一个图形绕着某个定点旋转180°，假如它能和另一个图形重合，那么这两个图形对于这个定点对称或中心对称。
这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做对于对称中心的对称点。
2、中心对称的性质：（1）对应点的连线都经过对称中心，而且被对称中心均分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点。
（2）对应线段平行或共线。
教课重、难点作业达成状况典题研究1．如图，在直角坐标平面内，已知点 A 的坐标（﹣ 5， 0），（1）图中 B 点的坐标是；（2）点 B 对于原点对称的点 C 的坐标是；点 A 对于 y 轴对称的点 D的坐标是；（3）△ ABC的面积是；（4）在直角坐标平面上找一点E，能知足 S△ADE=S△ABC的点 E 有个；（5）在 y 轴上找一点 F，使 S△ADF=S△ABC，那么点 F 的全部可能地点是；（用坐标表示，并在图中画出）2．如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的点 B 坐标为（ 9，3），若把图形按要求折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．（ 1）△ DEF能否为等腰三角形？（不要说明原因）（ 2）图形中能否存在成中心对称的两个图形？假如存在请说明原因；假如不存在，也请说明原因．（图中实线、虚线同样对待）（ 3）求折痕EF 的长及所在直线的分析式．3．我们知道，在平面内，假如一个图形绕着一个定点旋转必定的角度后能与自己重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．比如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自己重合因此正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（ 1）判断以下说法能否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ 2）填空：以下图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是．（写出全部正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形（ 3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，此中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．4．某校园内有一人行道上镶嵌着如图①所示的水泥方砖，砖面上的小沟槽（如图②） EA、HD、GC、 FB 分别是方砖 TPQR四边的中垂线，四边形 HEFG是正方形，现请你依据上述信息解答以下问题．（1）方砖 TPQR面上的图案 _________A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（ 2）若要使方砖 TPQR的面积是正方形 HEFG面积的 9 倍，求当方砖边长为 24 厘米时，小沟槽 EA的长是多少．操练方阵A 档（稳固专练）1．设点M（1， 2）对于原点的对称点为M′，则M′的坐标为_________．2．在平面直角坐标系中，O是原点，A 是x 轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A 与双曲线y=上的点 B 重合，若点 B 的纵坐标是1，则点 A 的横坐标是_________．3．如图，将一朵小花搁置在平面直角坐标系第一象限内，先将它向下平移 4 个单位后，再将它绕原点O 旋转 180°，则小花极点 A 的对应点A′的坐标为 _________．4．在平面直角坐标系中，点P（ 5，﹣ 3）对于原点对称的点的坐标是_________．5．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点 P 旋转 180°获得△ DEF，则点 P 的坐标为 _________．6．函数的图象以下图，对于该函数，以下结论正确的选项是_________（填序号）．①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当函数图象上；⑤当 x＜ 1 或x＞0 时，函数有最小值；④点（x＞ 3 时， y＞ 4．1， 4）在7．永州市新田县的龙家大院到现在已有 930 多年历史，因该村拥有保留完满的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑，而申报为中国历史文假名村．如图是龙家大院的一个窗花图案，它拥有很好的对称美，这个图案是由：①正六边形；②正三角形；③等腰梯形；④直角梯形等几何图形组成，在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是_________（只填序号）．8．如图，在平面直角坐标系中，对△ ABC进行周而复始的轴对称或中心对称变换，若本来点 A 坐标是（ a，b），则经过第 2011 次变换后所得的 A 点坐标是 _________ ．9．在中国的园林建筑中，好多建筑图形拥有对称性．如图是一个损坏花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．_________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知A（﹣ 1， 5）， B（ 4， 2）， C（﹣ 1，0）三点．（1）点 A 对于原点 O的对称点 A′的坐标为 _________，点 B 对于 x 轴的对称点 B′的坐标为 _________，点 C对于 y 轴的对称点 C 的坐标为 _________．（2）求（ 1）中的△ A′B′ C′的面积．B档（提高精练）11．如图，△ABO与△ CDO对于O点中心对称，点E、F 在线段AC上，且AF=CE．求证： FD=BE．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为 1 个单位长度．正方形ABCD极点都在格点上，此中，点 A 的坐标为（ 1， 1）．（1）若将正方形 ABCD绕点 A 顺时针方向旋转 90°，点 B 抵达点 B1，点 C 抵达点 C1，点 D 抵达点 D1，求点 B1、 C1、 D1的坐标．（ 2）若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰巧是一元二次方程x2+ax+1=0 的一个根，求 a 的值．13．如图，在直角坐标系中，OA=2，OB=1．将 Rt △ AOB绕点Rt △ AOB的两条直角边OA， OB分别在 x 轴的负半轴， y 轴的负半轴上，且O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x 轴正方向平移 1 个单位，得△CDO．（1）写出点 A， C 的坐标；（2）求点 A 和点 C之间的距离．14．如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ ABC．（1） AC的长等于 _________；（2）先将△ ABC向右平移 2 个单位获得△ A′ B′ C′，则 A 点的对应点 A′的坐标是 _________；（3）再将△ ABC绕点 C按逆时针方向旋转 90°后获得△ A1B1C1，则 A 点对应点 A1的坐标是 _________．15．如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，此中点A、B、 C 的坐标分别为（﹣3，﹣ 1）、（﹣ 3，﹣3）、（﹣ 3+ ，﹣ 2）．现以 y 轴为对称轴作△ ABC的对称图形，得△ A1B1C1，再以 x 轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△ A2B2C2．（1）直接写出点 C1、 C2的坐标；（2）可否经过一次旋转将△ ABC旋转到△ A2B2C2的地点？你若以为能，请作出必定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若以为不可以，请作出否认的回答（不用说明原因）；（ 3）设当△ ABC的地点发生变化时，△A2B2C2、△ A1B1C1与△ ABC之间的对称关系一直保持不变．①当△ ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△ A2 B2C2完整重归并直接写出此时点C的坐标；②将△ ABC绕点 A 顺时针旋转α°（0≤α≤ 180），使△ A1B1C1与△ A2B2C2完整重合，此时α的值为多少点C的坐标又是什么？16．如图①，在△AOB中，∠ AOB=90°， OA=3， OB=4．将△ AOB沿 x 轴挨次以点A、B、 O为旋转中心顺时针旋转，分别获得图②、图③、，则旋转获得的图⑩的直角极点的坐标为_________．17．课外兴趣小组活动时，老师提出了以下问题：（ 1）如图 1，在△ ABC中，若 AB=5， AC=3，求 BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作沟通，获得了以下的解决方法：延伸AD到 E，使得 DE=AD，再连结 BE（或将△ ACD 绕点 D 逆时针旋转180°获得△ EBD），把 AB、AC、 2AD集中在△ ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则 1＜AD＜ 4．[ 感悟 ] 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，能够考虑结构以中点为对称中心的中心对称图形，把分别的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（ 2）解决问题：遇到（1）的启迪，请你证明以下命题：如图2，在△ ABC中， D 是 BC边上的中点， DE⊥DF， DE交 AB于点 E， DF交 AC于点 F，连结 EF．求证： BE+CF＞ EF，若∠ A=90°，研究线段BE、CF、 EF 之间的等量关系，并加以证明．18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．（ 1）已知点A（ 3， 1），连结 OA，作以下研究：研究一：平移线段OA，使点 O落在点 B．设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（ 1，2），请在图 1 中作出 BC，点 C 的坐标是 _________；研究二：将线段OA绕点 O逆时针旋转90 度，设点 A 落在点 D．则点 D 的坐标是 _________；（ 2）已知四点 O（ 0，0）， A（ a， b）， C，B（ c， d），按序连结O， A， C， B．①若所获得的四边形为平行四边形，则点 C 的坐标是 _________；②若所获得的四边形是正方形，请直接写出 a， b，c， d 应知足的关系式．P 挨次落在点P1，19．如图，将边长为 1 的等边△ OAP按图示方式，沿x 轴正方向连续翻转2007 次，点P2， P3， P4，， P2007的地点．试写出P1， P3， P100， P2007的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把矩形COAB绕点 C 顺时针旋转α度的角，获得矩形CFED，设 FC与 AB交于点 H，且 A（ 0， 4）、 C（ 8， 0）．（1）当α =60°时，△ CBD的形状是 _________．（2）当 AH=HC时，求直线 FC的分析式．成长踪迹课后检测三大变换之 -- 旋转作图（二）参照答案典题研究例 1 解：（ 1）依据图告知，点 B 的坐标为（﹣3，4）； ?（ 2）由（ 1）知， B（﹣ 3， 4），∴点 B 对于原点对称的点C的坐标是（ 3，﹣ 4）；∵点 A 的坐标（﹣ 5， 0），∴点 A 对于 y 轴对称的点D的坐标是（ 5， 0）；（3）由勾股定理求得， AB=2 ， AC=4 ，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴ AB⊥ AC，∴ S△ABC=AB? AC=× 2× 4=20；（4）∵ S△ADE=S△ABC，∴△ ADE与△ ABC的一条边的边长，和这条边上的高都相等，∵在该表格中，切合条件的点 E 由无数个；∴能知足S△ADE=S△ABC的点 E 有无数个；（ 5）∵ AD=10，∴ S△ADF=AD? OF=20，∴ OF=4，∴点 F 的全部可能地点是（0，4）或（ 0，﹣ 4）；故答案是：（1）（﹣ 3， 4）；（2）（ 3，﹣ 4）；（ 5， 0）；（3） 20；（4）无数．（每格 1 分）（ 5）（ 0， 4）或（ 0，﹣ 4）．（ 2 分）例 2 解：（1）△ DEF为等腰三角形．（ 2 分）（2）连结 BD交 EF于 M，∵ B、 D对于 EF对称，∴BM=DM， EM⊥BD，易证 EM=FM，∴E、 F 对于 M成中心对称， B、 D 对于 M成中心对称，又 M为 BD的中点，∴A、 C对于 M成中心对称，∴四边形AEFD与四边形CFEB对于 M成中心对称．（ 6 分）（3）设 BE=OE=x，则 AE=9﹣x，222在直角三角形AED中，（ 9﹣ x） +3 =x ，解得 x=5，EF=，（9 分）直线 EF 的分析式为y=﹣ 3x+15．（ 12 分）例 3 解：（ 1）①=72°，∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°，说法正确；②=90°，∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°，说法正确；（ 2）①正三角形的最小旋转角为=120°；②正方形的最小旋转角为=90°；③正六边形的最小旋转角为=60°；④正八边形的最小旋转角为=45°；则有一个旋转角为120°的是①③．（ 3）=72°，则正五边形是知足有一个旋转角为 72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形；正十边形有一个旋转角为 72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形．例 4 解：（ 1）经过图象察看和题意 EA、 HD、 GC、 FB分别是方砖 TPQR四边的中垂线，且四边形 HEFG是正方形就能够得出方砖 TPQR面上的图案是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）设小沟槽 EA 的长是 xcm，则 EG的长度为 24﹣2x ．∵四边形 HEFG是正方形，∴HE=HG，∠ GHE=90°，222∴ HE+HG=EG．∴ 2HE2=（ 24﹣ 2x）2，2 2∴HE=2x ﹣ 48x+288．∵，∴，解得： x1=12+4（舍去），x2=12﹣4．∴EA=12﹣ 4 ．故答案为： C．操练方阵A档（稳固专练）1、解：点M（ 1， 2）对于原点的对称点M′的坐标为（﹣1，﹣ 2），故答案为：（﹣1，﹣ 2）．2、解：以下图：∵点 A 与双曲线y=上的点B重合，点 B 的纵坐标是1，∴点 B 的横坐标是，∴ OB==2，∵ A 点可能在x 轴的正半轴也可能在负半轴，∴A 点坐标为：（ 2，0），（﹣ 2，0）．故答案为： 2 或﹣ 2．3、解：由平面直角坐标系可得A（ 3，1），向下平移4 个单位后可得对应点的坐标为（3，﹣ 3），再将它绕原点O旋转 180°可得对应点坐标为 A′（﹣ 3， 3），故答案为：（﹣3， 3）．4、解：点 P（5，﹣ 3）对于原点对称的点的坐标是（﹣5， 3）．故答案为：（﹣5， 3）．5、解：连结AD，∵将△ ABC绕点 P 旋转 180°获得△ DEF，∴点 A 旋转后与点D重合，∵由题意可知A（ 0， 1）， D（﹣ 2，﹣ 3）∴对应点到旋转中心的距离相等，∴线段 AD的中点坐标即为点P 的坐标，∴点 P 的坐标为（，），即P（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣ 1，﹣ 1）．6、解：①②当x 变成﹣ x 时， y 变成﹣ y，可见，（ x，y）对应点为（﹣x，﹣ y），可见，函数图象是中心对称图形，不是轴对称图形，故②正确，①错误；③当 x＞ 0 时，函数图象有最低点，故函数有最小值，故本选项正确；④将点（ 1， 4）代入分析式，等式建立，点（1，4）在函数图象上，故本选项正确：⑤当 x=1 和 x=3 时， y=4，可见， 0＜ x＜ 1 或 x＞3 时， y＞ 4，故本选项错误；故答案为②③④．7、解：∵①此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；②此图形不是中心对称图形，可是轴对称图形，故此选项错误；③此图形不是中心对称图形，可是轴对称图形，故此选项错误；④此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误．故答案为：①．8、解：∵ 2011÷ 3=670 1，第一次变换是各对应点对于x 轴对称，点 A 坐标是（ a， b），∴经过第2011 次变换后所得的 A 点坐标是（ a，﹣ b）．故答案为（ a，﹣ b）．9、解：10、解：（ 1）∵ A（﹣ 1， 5），∴点 A 对于原点O的对称点A′的坐标为（ 1，﹣ 5）．∵ B（ 4， 2），∴点 B 对于 x 轴的对称点B′的坐标为（ 4，﹣ 2）．∵ C（﹣ 1，0），∴点 C 对于 y 轴的对称点C′的坐标为（ 1， 0）．故答案分别是：（ 1，﹣ 5），（4，﹣ 2），（ 1， 0）．（ 2）如图，∵ A′（ 1，﹣ 5）， B′（ 4，﹣ 2），C′（ 1，0）．∴A′ C′ =| ﹣ 5﹣ 0|=5 ， B′ D=|4 ﹣ 1|=3 ，∴ S△A′B′C′ =A′ C′ ? B′ D=× 5× 3=7.5 ，即（ 1）中的△ A′ B′ C′的面积是7.5 ．11、证明：∵△ABO与△ CDO对于 O点中心对称，∴OB=OD， OA=OC，∵ AF=CE，∴OF=OE，∵在△ DOF和△ BOE中∴△ DOF≌△ BOE（ SAS），∴FD=BE．12、解：（ 1）如图， B1、 C1、 D1的坐标分别为：B1（2，﹣ 1）， C1（ 4， 0）， D1（ 3， 2）；（ 2）依据勾股定理，AC1==，∴线段 AC1的长度与点D1的横坐标的差是﹣3，∴（﹣ 3）2+（﹣ 3） a+1=0，整理， 10﹣6+9+（﹣ 3） a+1=0，∴（﹣ 3） a=﹣ 20+6，解得 a=﹣ 2．故答案为：（ 1） B1（ 2，﹣ 1）， C1（ 4， 0）， D1（ 3， 2）；（ 2） a=﹣ 2．13、解：（ 1）点 A 的坐标是（﹣ 2， 0），点 C 的坐标是（ 1， 2）．（2）连结 AC，在 Rt△ ACD中， AD=OA+OD=3， CD=2，22222∴ AC=CD+AD=2 +3 =13，∴AC=．14、解：（ 1）依据图形，可得出 A 的坐标为（﹣ 1，2），C 的坐标为（ 0，﹣ 1），故 AC的长等于=；（ 2）依据图形，可得出 A 的坐标为（﹣ 1， 2），B 的坐标为（ 3， 1），C的坐标为（ 0，﹣ 1），将△ ABC向右平移2个单位获得△ A'B'C'，则A点的对应点A' 的坐标是（ 1， 2）；（3）依据旋转的规律，把△ OAB的绕点 O按逆时针方向旋转 90°，就是把它上边的各个点按逆时针方向旋转90°，可得 A1的坐标为（﹣ 3，﹣ 2）．15、解：（ 1）点 C 、 C 的坐标分别为（ 3﹣，﹣ 2）、（3﹣， 2）．12（ 2）能经过一次旋转将△ABC旋转到△ A2B2C2的地点，所旋转的度数为180°；（ 3）①当△ ABC向上平移 2 个单位时，△ A B C 与△ A B C 完整重合，此时点 C的坐标为（﹣ 3+，0）（如111222图 1）；②当α =180 时，△A1B1C1与△ A2B2C2完整重合，此时点 C 的坐标为（﹣ 3﹣，0）（如图 2）．16、解：∵∠ AOB=90°， OA=3， OB=4，∴ AB===5，依据图形，每 3 个图形为一个循环组， 3+5+4=12，因此，图⑨的直角极点在x 轴上，横坐标为12× 3=36，因此，图⑨的极点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角极点与图⑨的直角极点重合，∴图⑩的直角极点的坐标为（ 36， 0）．故答案为：（36， 0）．17、解：（ 1）延伸 FD到 G，使得 DG=DF，连结 BG、 EG．（或把△ CFD绕点 D逆时针旋转180°获得△ BGD），∴CF=BG=DF=DG，∵ DE⊥ DF，∴EF=EG．在△ BEG中， BE+BG＞ EG，即 BE+CF＞ EF．（2）若∠ A=90°，则∠ EBC+∠ FCB=90°，由（ 1）知∠ FCD=∠ DBG， EF=EG，∴∠ EBC+∠DBG=90°，即∠ EBG=90°，222∴在 Rt △ EBG中， BE+BG=EG，∴BE2+CF2=EF2．18、解：（ 1）研究一：∵点 A（ 3， 1），连结 OA，平移线段OA，使点 O落在点 B．设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（ 1， 2），则 C 的坐标为（ 4， 3），如图 1 所示：研究二：∵将线段OA绕点 O逆时针旋转90 度，设点 A 落在点 D．则点 D 的坐标是（﹣ 1， 3），如图 2 所示；（ 2）∵四点O（ 0，0）， A（a， b）， C， B（ c，d），按序连结O， A， C， B．①若所获得的四边形为平行四边形，那么 OA∥ CB，∴ OA平移到 OB的地点，点 C 的坐标为（ a+c， b+d）；②若所获得的四边形是正方形，那么依据正方形的性质能够获得a=d 且b=﹣ c或b=c 且a=﹣ d．19、解： P1（1， 0）；倍，∵等边△OAP的高为边长的∴ P3（，）；∵从 P1开始，依据图形的旋转可得每三次翻转后和本来的状态同样，∴100=3× 33+1，∴P100的纵坐标为 0，横坐标为 100，∴P100（100， 0）；∵2007=3×669，∴ P2007的纵坐标为，横坐标 =2005+1.5=2006.5 ．∴ P（2006.5 ，）．200720、解：（ 1）∵矩形 COAB绕点 C 顺时针旋转60 度的角，获得矩形CFED，∴∠ BCD=60°， CB=CD，∴△ CBD为等边三角形；（2）∵ A（0， 4）、 C（ 8，0），∴ OA=BC=4， OC=AB=8，设 AH=HC=x，则 BH=8﹣ x， CB=4，在 Rt △ CBH中，222∵ CH=BH+BC，∴x2=（ 8﹣ x）2+42，解得 x=5，∴H 点的坐标为（ 5， 4），设直线 FC的分析式为 y=kx+b ，把 C（ 8， 0）、 H（ 5， 4）代入得，解得，∴直线 FC的分析式为．。
九年级图形的旋转中心对称题型大全（含解答）
弧长和扇形面积 练习第1题． 一条弧所对的圆心角是90 ，半径是R ，则这条弧的长是．答案：12R π第2题． 若的长为所 AB 对的圆的直径长，则所对的圆 AB 周角的度数为．答案：180π第3题． 如图，AB 是半圆的直O 径，以O 为圆心，OE 为半径的半圆交AB 于E ，F 两点，弦是小半圆AC 的切线，D 为切点，若4OA =，2OE =，则图中阴影部分的面积为．答案：43π+第4题． 如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加（ ） Ａ．ln Ｂ．180Rπ Ｃ．180lRπ Ｄ．360l答案：Ｂ第5题． 在半径为3的O 中，弦3AB =，则AB 的长为（ ）Ａ．π2Ｂ．πＣ．32π Ｄ．2π答案：Ｂ第6题． 扇形的周长为16，圆心角为360π，则扇形的面积是（）Ａ．16 Ｂ．32Ｃ．64Ｄ．16π答案：Ａ第7题． 如图，扇形的圆心OAB 角为90 ，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和分别表示Q 两个阴影部分的面积，那么和的大P Q 小关系是（）Ａ．P Q = Ｂ．P Q >Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定答案：Ａ第8题． 如图，矩形ABCD 中，1AB =，BC =，以的中点为BC E 圆心的与相 MPNAD 切，则图中的阴影部分的面积为（） Ａ．23π Ｂ．34πＣ．Ｄ．π3Ｍ答案：Ｄ第9题． 如图所示，正方形是以ABCD 金属丝围成的，其边长1AB =，把此正方形的金属丝重新围成扇形的ADC ，使A D A D=，DC DC =不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．答案：1S =正方形，121122ADC S lR 1==⨯⨯=扇形，∴面积没有变化．第10题． 如图，O 的半径为1，C 为O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与相交O 于A ，B 两点，则图中阴影部分的面积为．ＣＡＤ答案：2π3第11题． 如图，△ABC 中，105A ∠= ，45B ∠=，AB =AD BC ⊥，D 为垂足，以A 为圆心，以为半径画AD 弧 EF ，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．76πＢ．76π+2Ｃ．56πＤ．56π+2答案：Ｂ第12题． 如图，半径为的与r 1O 半径为的外3r 2O 切于P 点，AB 是两圆的外公切线，切点分别为A ，B ，求AB 和 PA ， PB 所围成的阴影部分的面积．答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ，则得矩形1ABHO ，1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O HO 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，ＣＤＢＥ ＡＦ122134OO O P O P r r r=+=+=，1O H ==， 2211221cos 42O H r HO O O O r ∠===，2160HO O ∴∠= ，1120AO P ∠= ．21212111()(3)22ABO O S O A O B O H r r =+=+= 梯形， 26033606BO PO B r r S 222π()π(3)π===2 2扇形， 122120AO PO A S r π()π==3603扇形、，212122223ABO O BO P AO P S S S S r r ππ=--=--=23阴影梯形扇形扇形．第13题． 圆周角是90，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：14第14题． 圆心角是45，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：45360，18第15题． 圆心角是1，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：1360，1360第16题． 扇形的圆心角为210，弧长是28π，求扇形的面积．答案：336π第17题． 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．答案：90第18题． 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得90C ∠= ，4AC BC ==．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在的边上ABC △，且扇形的弧与的其他边ABC △相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）． 答案：第19题． 圆心角为90，半径为的弧R 长为（ ） Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R π答案：Ａ第20题． 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n，则这条弦所在圆的半径为（42r =24r =1r =）．Ａ．180n lπ Ｂ．180ln πＣ．360ln πＤ．180lnπ答案：Ｂ第21题． 半径为的圆6cm 中，60 的圆周角所对的弧的弧长为．答案：4cm π第22题． 半径为的圆9cm 中，长为的一条12cm π弧所对的圆心角的度数为．答案：240第23题． 已知圆的面积为281c m π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．答案：60第24题． 若扇形的圆心角为120，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为 ．答案：227cm π第25题． 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为．（单位：m m ，精确到1mm ）答案：389mm第26题． 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，60A ∠=，AC =，将△ABC 绕点旋转至B △A BC ''的位置，且使点A ，B ，C '三点在同一直线上，则点经过的A 最短路线长是cm ．答案：3π第27题． 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点从开始B 至结束走过的路径长度为（）．Ａ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．4Ｄ．322+π答案：Ｂ第28题． 如图，扇形的圆心AOB 角为60 ，半径为6cm ，C ，D 是的三等分 AB 点，则图中阴影部分的面积和是 ．答案：22cm π第29题． 如图，已知在扇形AOB 中，若45AOB ∠=，4cm AD =，3cm CD =π，则图中阴影部分的面积是 ．答案：214cm π第30题． 如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．答案：14.2π．图4图形的旋转有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网整理一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。
【中考专项】2023年中考数学转向练习之选择题04 几何变换之旋转问题
【选择题】必考重点04 几何变换之旋转问题几何变换中的旋转问题，江苏省各地考查频率较高且考查难度较高，综合性较强，通常有线段的旋转、三角形及四边形的旋转问题，在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A 【2022·江苏苏州·中考母题】如图，点A的坐标为()m，则m的值为（）按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(),3A B C D．3【考点分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．【思路分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC BC AB==，可得=，即可解得BD OB mm =． 【2022·江苏扬州·中考母题】如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【考点分析】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【思路分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【2020·江苏宿迁·中考母题】如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A B C D 【考点分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．【思路分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ’B ’C ，点B 恰好落在A ’B ’上，若∠A =25°，∠BCA ’=45°，则∠A ’CA = （ ）A．30°B．35°C．40°D．45°2．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①222=+，②EF=，③线段PF的最小值是CFE的面积最大是16．其中EF AE CE正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④3．（2022·江苏苏州·一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（）A．1.4B．1.8C．1.2D．1.64．（2022·江苏徐州·二模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A B C ．D ．45．（2022·江苏盐城·一模）如图，在AOB 中，2AO =，3BO AB ==.将AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得到A OB ''△，连接AA '.则线段AA '的长为（ ）A．2 B ．3 C ．D ．6．（2022·江苏·宜兴外国语学校一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPE ＝∠DAC ，且过D 作DE ⊥PE ，连接CE ，则CE 最小值为（ ）A ．65B ．3625C ．3225D ．857．（2022·江苏扬州·模拟）如图，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A B C D ''''．此时点A 的对应点A '恰好落在对角线AC 的中点处．若AB ＝3，则点B 与点D 之间的距离为（ ）A．3B．6C．D．8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，已知ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点(点D不与,B C重合)，将ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到AFB△，过点F作BC的平行线交AC于点E，②为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60︒；ADF=④．其中正确的结论有（）BF AEA．1B．2C．3D．49．（2022·江苏南京·模拟）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM，则线段PM的最大值是（）A．4B．2C．3D．10．（2022·江苏苏州·二模）如图，将ABC绕点A顺时针旋转角α，得到ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则BED∠等于（）A ．2αB ．23αC ．αD ．180α︒-11．（2022·江苏·阳山中学一模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AC ＝8，动点E 从点A 出发沿射线AB 运动，连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转45°得到CF ，连接AF ，则△AFC 的面积变化情况是（ ）．A ．先变大再变小B ．先变小再变大C ．逐渐变大D ．不变12．（2022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE=2，则AE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，在Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，点D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，将EDF ∠绕点D 旋转，它的两边分别交AC 、CB 所在直线于点E 、F ，有以下4个结论：①CE BF =；②180DEC DFC ∠+∠=︒；③222EF DE =；④如图2，当点E 、F 落在AC 、CB 的延长线上时，12DEF CEF ABC S S S -=△△△，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③④14．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF ＋CF 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()2,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90°得到点B ．若点B 的坐标是()5,1-，则点C 的坐标是（ ）A ．()0.5, 2.5--B ．()0.25,2--C ．()0, 1.75-D ．()0, 2.75-16．（2022·江苏南京·模拟）如图，在Rt ABC 中，AB =AC =10，∠BAC =90°，等腰直角三角形ADE 绕点A 旋转，∠DAE =90°，AD =AE =4，连接DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接MP 、PN 、MN．①PMN 为等腰直角三角形；②MN ≤PMV 面积的最大值是494；④PMN 周长的最小值为6+ ）A．4个B．3个C．2个D．1个17．（2022·江苏无锡·一模）如图，已知直线AB与y轴交于点(0,A，与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝60°，在x轴正半轴上有一点C，点C坐标为()1,0，将线段AC绕点A逆时针旋转120°，得线段AD，连接BD．则BD的长度为（）A．B．4C D．15 218．（2022·江苏·无锡市积余实验学校一模）如图1，在Rt△ABC中，90A∠=︒，AB AC=，点D，E分别在边AB，AC上，AD AE=，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．将△ADE绕点A在平面内自由旋转（如图2），若4=AD，10AB=，则△PMN面积的最大值是（）A．494B．18C．492D．25219．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，扇形OAB中，90AOB∠=︒，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则ADAC的值为（）A B C D 20．（2022·江苏·苏州市平江中学校二模）如图，在BAC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，将BAC 绕点A 顺时针旋转至DAE △，点D 刚好落在BC 直线上，则BDE 的面积为（ ）A ．24BD B ．22BC C ．4BC BD ⋅ D ．22AB 21．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学九年级开学考试）如图，直线1y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点B 作BC AB ⊥，使2BC BA =．将 ABC ∆绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒．则第2022次旋转结束时，点C 的对应点C '落在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为( )A ．4-B ．4C ．6-D ．622．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路．其中，正确的（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④23．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点H 为BC 中点，点E 绕着点C 旋转，且4CE =，在DC 的右侧作正方形DEFG ，则线段FH 的最小值是（ ）A ．9-B ．8- C ．9-D ．10-24．（2022·江苏·常州市金坛区水北中学二模）如图，在矩形ABCD 中，5AB =，BC =P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为（ ）A ．52B ．CD ．325．（2022·江苏南京·模拟）如图，在ABC ∆中，5,AB AC BC ===，D 为边AC 上一动点（C 点除外），把线段BD 绕着点D 沿着顺时针的方向旋转90°至DE ，连接CE ，则CDE ∆面积的最大值为（ ）A ．16B ．8C ．32D ．10【选择题】必考重点04 几何变换之旋转问题几何变换中的旋转问题，江苏省各地考查频率较高且考查难度较高，综合性较强，通常有线段的旋转、三角形及四边形的旋转问题，在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
核心考点01图形的旋转与中心对称 (解析版)
核心考点01图形的旋转与中心对称目录考点一：生活中的旋转现象考点二：旋转的性质考点三：旋转对称图形考点四：中心对称考点五：中心对称图形考点六：作图-旋转变换一．生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O 旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．二．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．三．旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．考点考向四．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．五．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．六．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．一．生活中的旋转现象（共1小题）1．（2022春•泰州月考）下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】因为45°×8＝360°，整个图形应由8个基本图形组成．【解答】解：根据旋转的性质可知，可以由一个“基本图案”连续旋转45°，考点精讲即经过8次旋转得到的是B．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．二．旋转的性质（共11小题）2．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，交点为旋转中心．【解答】解：如图，∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，∴连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过C，即旋转中心是C．故选：C．【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．3．（2022春•梁溪区校级期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是 35° ．【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，∴∠BOB′＝50°．∵∠AOB＝15°，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．故答案为：35°．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角．4．（2022春•邗江区校级月考）如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB∥DE，求∠DAC的度数．【分析】根据旋转的性质得∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，再根据平行线的性质的∠BAD＝∠D＝40°，从而得出答案．【解答】解：∵△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，∵∠B＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠D＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°，∴∠DAC的度数为40°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2022春•沭阳县月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）图中△EFD可以由△ EBA 绕着点 E 旋转 180 度后得到；（2）写出图中的一对全等三角形 △EBA≌△EFD ；（3）若AB＝4，BC＝5，CD＝6．求△BCF的面积．【分析】（1）由已知条件可证明△EBA≌△EFD，所以△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到；（2）由（1）可得出答案；（3）由（1）可知△EBA≌△EFD，所以求△BCF的面积可转化为求梯形ABCD的面积，根据梯形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠FDE，∵E是AD的中点，∴AE＝CE，在△EBA和△EFD中，，∴△EBA≌△EFD（AAS），∴△EFD可以由△EBA绕点E旋转180°后得到，故答案为：EBA，E，180°；（2）由（1）可知△EBA ≌△EFD ，故答案为：△EBA ≌△EFD ；（3）∵△EBA ≌△EFD ，∴S △BCF ＝S 梯形ABCD ＝＝25．【点评】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6．（2022春•沭阳县月考）如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC ＝150°，将△BOC 绕点C 按顺时针旋转得到△ADC ，连接OD ，OA ．（Ⅰ）求∠ODC 的度数；（Ⅱ）若OB ＝2，OC ＝3，求AO 的长．【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（Ⅱ）在Rt △AOD 中，由勾股定理可求得AO 的长，再在直角△AOD 中利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD ＝CO ，∠ACD ＝∠BCO ，∵∠ACB ＝60°，∴∠DCO ＝60°，∴△OCD 为等边三角形，∴∠ODC ＝60°；（Ⅱ）由旋转的性质得，AD ＝OB ＝2，∵△OCD 为等边三角形，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BOC ＝150°，∠ODC ＝60°，∴∠ADO ＝90°，在Rt △AOD 中，由勾股定理得：AO ＝＝．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角函数的定义，正确求得AO的长是解题的关键．7．（2022春•铜山区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝5，AC＝3，求：（1）∠BAD的度数；（2）AD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝DE，BC＝CD，AB＝CE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠DCE，可证△ADE是等边三角形，可得∠DAE＝60°，AD＝AE，即可求解；（2）由等边三角形的性质可求AD＝AE的长．【解答】解：（1）∵把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴AD＝DE，BC＝CD，AB＝CE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠DCE，∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠ACD+∠DCE＝180°，∴点A，点C，点E三点共线，又∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAD＝60°；（2）∵AB＝5＝CE，AC＝3，∴AE＝AC+CE＝8，∴AD＝AE＝8．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，证明点A，点C，点E三点共线是解题的关键．8．（2022春•东海县期末）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过操作观察可知，线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．同理可得FC＝CD，EF＝ AD ；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求此时四边形BCFE的面积．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH的长，由面积法可求CG的长，即可求解．【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）解：如图，过点C作CG⊥BE于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），＝×BC×CH＝×BH×CG，∵S△BCH∴30×40＝50×CG，∴CG＝24，∴四边形BCFE的面积＝BE×CG＝80×24＝1920（cm2）．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．9．（2022•溧阳市模拟）已知：如图，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△EDC，若∠ACE＝2∠ACB．（1）求证：△ADC≌△ABC；（2）若AB＝BC＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AB＝AD，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，设AC，BD交于O，根据勾股定理得到BO＝＝＝4，求得BD＝8，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转一定角度得到△EDC，∴∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∵∠ACE＝2∠ACB，∴∠ACE＝2∠DCE，∴∠ACD＝∠DCE＝∠ACB，在△ADC与△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SAS）；（2）解：由（1）知，△ADC≌△ABC，∴AB＝AD，∵AB＝BC，BC＝CD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC，BD交于O，∴AO＝AC＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝8，∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝6×8＝24．【点评】本题考查了旋转的性质全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2022春•滨海县月考）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC＝∠BOC＝150°，即得∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，故AD⊥OD；（3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．【点评】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．11．（2022春•相城区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△AB1C1．当B1B∥AC时，求∠BAC1的度数．【分析】先依据平行的性质可求得∠ABB1的度数，然后再由旋转的性质得到△AB1B为等腰三角形，∠B1AC1＝50°，再求得∠BAB1的度数，最后依据∠BAC1＝∠BAB1﹣∠C1AB1求解即可．【解答】解：∵B1B∥AC，∴∠ABB1＝∠BAC＝50°．∵由旋转的性质可知：∠B1AC1＝∠BAC＝50°，AB＝AB1．∴∠ABB1＝∠AB1B＝50°．∴∠BAB1＝80°∴∠BAC1＝∠BAB1﹣∠C1AB1＝80°﹣50°＝30°．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、平行线的判断，求得∠BAB1的度数是解题的关键．12．（2022春•南京期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB＝3，AC＝2，求∠BAD的度数与AD的长．【分析】由旋转的性质可得出∠ADE＝60°、DA＝DE，进而可得出△ADE为等边三角形以及∠DAE＝60°，由点A、C、E在一条直线上可得出∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°；由点A、C、E在一条直线上可得出AE＝AC+CE，根据旋转的性质可得出CE＝AB，结合AB＝3、AC＝2可得出AE的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD的长度．【解答】解：∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE＝60°，DA＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°．∵点A、C、E在一条直线上，∴AE＝AC+CE．∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE＝AB，∴AE＝AC+AB＝2+3＝5．∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝5．【点评】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE为等边三角形是解题的关键．三．旋转对称图形（共3小题）13．（2022春•东台市月考）正方形至少旋转 90 度才能与自身重合．【分析】正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转的角度即可确定．【解答】解：正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转至少360÷4＝90度，能够与本身重合．故答案为：90．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意基础概念的熟练掌握．14．（2022春•常州期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 60 °后能与原来的图形重合．【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义作答．【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该六边形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．故答案为：60．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．15．（2022春•洪泽区校级月考）等边三角形绕一点至少旋转 120 °与自身完全重合．【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合．故答案为：120．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．四．中心对称（共5小题）16．（2022春•张家港市校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△BOC，则点A与点B'之间的距离为（ ）A．6B．8C．10D．12【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，可得AC⊥BD，所以∠BOC＝90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，所以∠CO′B′＝∠BOC＝90°，AO′＝6，OB′＝8，再根据勾股定理即可求出点A与点B′之间的距离．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，∴AO′＝6，∵OB＝OD＝O′B′＝BD＝8，在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得：AB′＝＝＝10．则点A与点B′之间的距离为10．故选：C．【点评】本题考查了中心对称、旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．17．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（ ）A．3B．4C．D．【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA＝OC＝O'C＝1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC＝B′C，根据AB′＝5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．18．（2022春•涟水县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（ ）A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）【分析】根据点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，得出△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称．【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是（﹣1，0）是解题的关键．19．（2022春•江阴市校级月考）平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于点Q（1，0）成中心对称的点的坐标是 （﹣1，2） ．【分析】连接PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．利用AAS证明△QP′N≌△QPM，得出QN＝QM，P′N＝PM，即1﹣x＝3﹣1，y＝2，求出x＝﹣1，y＝2，进而得到P′的坐标．【解答】解：如图，连接PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．在△QP′N与△QPM中，，∴△QP′N≌△QPM（AAS），∴QN＝QM，P′N＝PM，∴1﹣x＝3﹣1，y＝2，∴x＝﹣1，y＝2，∴P′（﹣1，2）．故答案为（﹣1，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点P（3，﹣2）关于点（1，0）对称的点P′是解题的关键．20．（2022春•铜山区校级月考）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 2 cm2．【分析】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．【解答】解：连接AC．∵与关于点O中心对称，∴点O为AC的中点，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积＝△BAC的面积＝＝2cm2．故答案为：2．【点评】根据中心对称的性质，把所求的不规则图形转化为规则图形即△BAC的面积，是解决本题的关键．五．中心对称图形（共2小题）21．（2022春•南京期末）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．22．（2022春•泰兴市期末）江苏省第二十届运动会将于今年8月28日在泰州举行，运动会会徽依据“江苏•泰州”首字母为原型进行设计．下列字母中，是中心对称图形的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：“J”、“T”都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，“S”、“Z”能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．六．作图-旋转变换（共6小题）23．（2022春•通州区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），B（1，4），C（1，1），将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A'B'C'．（1）请在图中画出△A'B'C'，并求出△A'B'C'的面积；（2）若△ABC内一点M（a，b），则在△A'B'C'内与M相对应的点M'的坐标是 （﹣b，a） ．【分析】（1）根据旋转的性质找出对应点即可求解；再由面积公式求得△A'B'C'的面积；（2）由旋转的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；∴△A'B'C'的面积＝；（2）在△A'B'C'内与M相对应的点M'的坐标是（﹣b，a），故答案为：（﹣b，a）．【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．24．（2022春•涟水县校级月考）按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形：（1）以顶点A为对称中心的四边形AB1C1D1（2）以BC的中点O为对称中心的四边形A2B2C2D2【分析】（1）连接CA并延长至C1，使得AC1＝CA，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可；（2）方法同（1），连接AO并延长至A2，使AO＝A2O，则A2就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可．【解答】解：（1）连接CA并延长至C1，使得AC1＝CA，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形；如图，四边形AB1C1D1即为所求．（2）连接AO并延长至A2，使AO＝A2O，则A2就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点．）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形，如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求，【点评】本题考查了画中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．25．（2022春•天宁区校级期中）正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），△ABC 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）画出△ABC绕点B逆时旋转90°的△A1BC1．（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．（3）△A1BC1可由△A2B2C2绕点M旋转得到，请写出点M的坐标．【分析】（1）将点A、C分别绕点B逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；（3）作C1C2、BB1中垂线，交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）如图所示，点M即为所求，其坐标为（0，﹣1）．【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．26．（2022春•阜宁县期中）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标 （﹣4，1） ．【分析】（1）根据题意所述的旋转三要素，依此找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得出△A1B1C；（2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得△A2B2C2，结合直角坐标系可得出点C2的坐标．【解答】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°，所作图形如下：．（2）所作图形如下：结合图形可得点C2坐标为（﹣4，1）．【点评】此题考查了旋转作图的知识，解答本题关键是仔细审题，找到旋转的三要素，另外要求我们掌握中心对称点平分对应点连线，难度一般．27．（2022春•锡山区期末）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，在10×10的网格中，有一格点三角形ABC（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）．将△ABC绕点C旋转180°，得到△A′B′C，请直接画出旋转后的△A′B′C．（2）在图1中，作出AC边上的高BF，则BF的长为 ．（3）如图2，已知四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′；（2）利用面积法求出BF，可得结论，（3）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点F，点F即为所求．【解答】解：（1）如图，△A′B′C即为所求；＝3×3﹣×2×3﹣×1×3﹣×1×1＝4，（2）∵AC＝＝，S△ABC∴×AC×BF＝4，∴BF＝．故答案为：．（3）如图2，点F即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）如图1，已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，画出将△ABC绕点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1．（2）如图2，在平面直角坐标系中，将线段AB绕平面内一点P旋转得到线段A′B′，使得A′与点B重合，B′落在x轴负半轴上．请利用无刻度直尺与圆规作出旋转中心P．（不写作法，但要保留作图痕迹）【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）作出线段AB，A′B′的垂直平分线的交点P即可．【解答】解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求；（2）如图2，点P即为旋转中心．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．一、单选题1．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图所示的五个四边形全等，不能由四边形ABCD 经过平移或旋转得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平移或者旋转的性质逐一分析即可．【详解】A.经过平移和旋转可得，符合题意；巩固提升B.经过旋转可得，不符合题意；C.经过平移可得，不符合题意；D.经过旋转可得，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，掌握平移和旋转的性质是解题的关键．2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下列运动属于旋转的是（）A．篮球的运动B．气球升空的运动C．钟表钟摆的摆动D．一个图形沿某直线对折的过程【答案】C【分析】根据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：A．篮球的运动不一定是旋转，故A不符合题意；B．气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故B不符合题意；C．钟表钟摆的摆动属于旋转，故C符合题意；D．一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（ ）A．点B与点D是对应点B．∠BCD等于旋转角C．点A与点E是对应点D．△ABC≌△DEC【答案】D【分析】利用旋转的性质即可求解【详解】解：∵△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，∴△ABC≌△DEC，点B与点E是对应点，点A与点D是对应点，∠ACD与∠BCE是旋转角，。
专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)
《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
专题22-几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(预测题)-决胜2018中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)资料
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换．旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转．旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定．经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图1形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n（n为大于1的正整数）后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角2度叫做旋转角．特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．如果把一个图形绕某一点旋转180度3后能与自身重合，这个图形是中心对称图形．在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容．中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题．原创模拟预测题1．在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）【答案】C．【解析】45试题分析：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），故选C ．考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．原创模拟预测题2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，1）B ．（1，﹣1）C ．（0，﹣1）D ．（1，0）【答案】B ．【解析】试题分析：由图形可知，对应点的连线CC ′、AA ′的垂直平分线过点（0，﹣1），根据旋转变换的性质，点（1，﹣1）即为旋转中心．故旋转中心坐标是P （1，﹣1）．故选B ．考点：坐标与图形变化-旋转．原创模拟预测题3．在平面直角坐标系中，把点P （﹣5，3）向右平移8个单位得到点P 1，再将点P 1绕原点旋转90°得到点P 2，则点P 2的坐标是（ ）A ．（3，﹣3）B ．（﹣3，3）C ．（3，3）或（﹣3，﹣3）D ．（3，﹣3）或（﹣3，3）【答案】D ．【解析】考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移；分类讨论．原创模拟预测题4．如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）A ．23-B ．31+C ．2D ．31-6【答案】D ．【解析】试题分析：AC 的中点O ，连接AD 、DG 、BO 、OM ，如图，∵△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，DA =DG ，DC =DF ，∴∠ADG =90°﹣∠CDG =∠FDC ，DA DG DC DF =，∴△DAG ∽△DCF ，∴∠DAG =∠DCF ，∴A 、D 、C 、M 四点共圆，根据两点之间线段最短可得：BO ≤BM +OM ，即BM ≥BO ﹣OM ，当M 在线段BO 与该圆的交点处时，线段BM 最小，此时，BO =22BC OC -=2221-=3，OM =12AC =1，则BM =BO ﹣OM =31-．故选D ． 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；最值问题；综合题；压轴题．原创模拟预测题5．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n +1B 2n +1（n 是正整数）的顶点A 2n +1的坐标是（ ）A ．（4n ﹣1，3）B ．（2n ﹣1，3）C ．（4n +1，3）D ．（2n +1，3）【答案】C ．【解析】…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，∴A n 的横坐标是2n ﹣1，A 2n +1的横坐标是2（2n +1）﹣1=4n +1，∵当n 为奇数时，A n 的纵坐标是3，当n 为偶数时，A n 的纵坐标是3-，∴顶点A 2n +1的纵坐标是3，∴△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，3）．故选C．考点：坐标与图形变化-旋转；规律型；综合题；压轴题．原创模拟预测题6．如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π【答案】D．考点：旋转的性质；弧长的计算；规律型．原创模拟预测题7．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=3，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A ．312+B ．332-C ．313+D ．333-【答案】B．【解析】试题分析：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=12OA，设B1F=x，则AF =3x-，故222(3)(2)x x x-+=，解得x =332-或x =332--（舍去），∴四边形AB1ED 的内切圆半径为：332-．故选B．考点：三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．原创模拟预测题8．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（）7A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A．【解析】试题分析：如图，，∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，∴AB=A′B′，∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽，∴①②的周长和等于原长方形的周长，∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②，其余的图形的周长不用测量无法判断．故选A．考点：中心对称；应用题；综合题．原创模拟预测题9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．【答案】37．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形；综合题．原创模拟预测题10．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③QN =33；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH 的最小值是3．其中正确结论的序号是．【答案】①④⑤．89【解析】试题分析：如图1，连接AN ，∵EF 垂直平分AB ，∴AN =BN ，根据折叠的性质，可得：AB =BN ，∴AN =AB =BN ，∴△ABN 为等边三角形，∴∠ABN =60°，∠PBN =60°÷2=30°，即结论①正确；∵∠ABN =60°，∠ABM =∠NBM ，∴∠ABM =∠NBM =60°÷2=30°，∴AM =AB •tan 30°=323⨯=233，即结论②不正确； ∵EF ∥BC ，QN 是△MBG 的中位线，∴QN =12BG ，∵BG =BM =AB ÷cos ∠ABM =322÷=433，∴QN =14323⨯=233，即结论③不正确； ∵∠ABM =∠MBN =30°，∠BNM =∠BAM =90°，∴∠BMG =∠BNM ﹣∠MBN =90°﹣30°=60°，∴∠MBG =∠ABG ﹣∠ABM =90°﹣30°=60°，∴∠BGM =180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MBG =∠BMG =∠BGM =60°，∴△BMG 为等边三角形，即结论④正确；∵△BMG 是等边三角形，点N 是MG 的中点，∴BN ⊥MG ，∴BN =BG •sin 60°=43332⨯=2，P 与Q 重合时，PN +PH 的值最小，∵P 是BM 的中点，H 是BN 的中点，∴PH ∥MG ，∵MG ⊥BN ，∴PH ⊥BN ，又∵PE ⊥AB ，∴PH =PE ，∴PN +PH =PN +PE =EN ，∵EN =22BN BE -=2221-=3，∴PN +PH =3，∴PN +PH 的最小值是3，即结论⑤正确．故答案为：①④⑤．考点：几何变换综合题；翻折变换（折叠问题）；动点型；最值问题；和差倍分；综合题；压轴题．原创模拟预测题11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 ． 【答案】12π+． 【解析】考点：旋转的性质；扇形面积的计算；规律型；综合题．10 原创模拟预测题12．如图，在矩形ABCD 中，AB =46，AD =10．连接BD ，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△BC ′E ′．当射线BE ′和射线BC ′都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ． 【答案】9817． 【解析】试题分析：作FK ⊥BC ′于K 点，如图：在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD =22AB AD +=22(46)10+=14，设DE =x ，CE =46x -，由BE 平分∠DBC ，得：BD DE BC EC=，即141046x x =-，解得x =763，EC =563．在Rt △BCE 中，由勾股定理，得BE =22BC CE +=225610()3+=5423．由旋转的性质，得BE ′=BE =5423，BC ′=BC =10，E ′C ′=EC =563．△BFD 是等腰三角形，BF =FD =x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理，得222(46)(10)x x =+-，解得x =495，AF =49105-=15．tan ∠ABF =AF AB =1546=6120，tan ∠FBG ='''E C BC =56310=66，tan ∠ABG =tan （∠ABF +∠FBG ）=tan tan 1tan tan ABF FBG ABF FBG ∠+∠-∠⋅∠=6612066611206+-⨯=3617，tan ∠ABG =AG AB =3617，AG =3617×46=7217，DG =AD ﹣AG =721017-=9817，故答案为：9817． 考点：旋转的性质；角平分线的性质；矩形的性质；综合题；压轴题．原创模拟预测题13．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =15，BC =9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP =3x ，CQ =4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上．（1）求证：PQ ∥AB ；（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6；（3）1≤x ≤136．11（3）当点E 在AB 上时，根据等腰三角形的性质求出x 的值，再分0＜x ≤98；98＜x ＜3两种情况进行分类讨论． 试题解析：（1）∵在Rt △ABC 中，AB =15，BC =9，∴AC =22AB BC -=22159-=12．∵393PC x x BC ==，4123QC x x AC ==，∴PC QC BC AC =．∵∠C =∠C ，∴△PQC ∽△BAC ，∴∠CPQ =∠B ，∴PQ ∥AB ； （2）连接AD ，∵PQ ∥AB ，∴∠ADQ =∠DAB ，∵点D 在∠BAC 的平分线上，∴∠DAQ =∠DAB ，∴∠ADQ =∠DAQ ，∴AQ =DQ ，在Rt △CPQ 中，PQ =5x ，∵PD =PC =3x ，∴DQ =2x ．∵AQ =12﹣4x ，∴12﹣4x =2x ，解得x =2，∴CP =3x =6；（3）当点E 在AB 上时，∵PQ ∥AB ，∴∠DPE =∠PEB ．∵∠CPQ =∠DPE ，∠CPQ =∠B ，∴∠B =∠PEB ，∴PB =PE =5x ，∴3x +5x =9，解得x =98． ①当0＜x ≤98时，T =PD +DE +PE =3x +4x +5x =12x ，此时0＜T ≤272； ②当98＜x ＜3时，设PE 交AB 于点G ，DE 交AB 于F ，作GH ⊥FQ ，垂足为H ，∴HG =DF ，FG =DH ，Rt △PHG ∽Rt △PDE ，∴GH PG PH ED PE PD ==，∵PG =PB =9﹣3x ，∴93453GH x PH x x x -==，∴GH =45（9﹣3x ），PH =35（9﹣3x ），∴FG =DH =3x ﹣35（9﹣3x ），∴T =PG +PD +DF +FG =（9﹣3x ）+3x +45（9﹣3x ）+[3x ﹣35（9﹣3x ）]=125455x +，此时，272＜T ＜18．∴当0＜x ＜3时，T 随x 的增大而增大，∴T =12时，即12x =12，解得x =1；TA =16时，即125455x +=16，解得x =136．∵12≤T ≤16，∴x 的取值范围是1≤x ≤136． 考点：几何变换综合题；分类讨论；相似三角形的判定与性质；压轴题．原创模拟预测题14．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为22的正方形AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上．（1）小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；12 （2）如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长；（3）如图3，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，线段DG 与线段BE 将相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）理由见试题解析；（2）26+；（3）6．【解析】（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH ，点H 在以EG 为直径的圆上，即当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，即当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大，即可确定出面积的最大值．试题解析：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ，在△ADG 和△ABE 中，∵AD =AB ， ∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ，∴△ADG ≌△ABE （SAS ），∴∠AGD =∠AEB ，如图1所示，延长EB 交DG 于点H ，在△ADG 中，∠AGD +∠ADG =90°，∴∠AEB +∠ADG =90°，在△EDH 中，∠AEB +∠ADG +∠DHE =180°，∴∠DHE =90°，则DG ⊥BE ；（2）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAB =∠GAE =90°，AG =AE ，∴∠DAB +∠BAG =∠GAE +∠BAG ，即∠DAG =∠BAE ，在△ADG 和△ABE 中，∵AD =AB ， ∠DAG =∠BAE ， A G =AE ，∴△ADG ≌△ABE （SAS ），∴DG =BE ，如图2，过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M ，∠AMD =∠AMG =90°，∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴∠MDA =45°，在Rt △AMD 中，∠MDA =45°，∴cos 45°=DM AD ，∵AD =2，∴DM =AM =2，在Rt △AMG 中，根据勾股定理得：GM =22AG AM -=6，∵DG =DM +GM =26+，∴BE =DG =26+；（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH ，点H 在以EG 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；13对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大，则△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为2+4=6．考点：几何变换综合题；最值问题；综合题；压轴题．原创模拟预测题15．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，且OC =OB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段P A 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）当a =32-时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638，此时，点E 坐标为（32-，154）；（3）P （﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． 【解析】试题分析：（1）将A 、B 两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出二次函数的解析式；试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∴OB =3，∵OC =OB ，∴OC =3，∴c =3，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+； （2）如图2，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，223a a --+）（﹣3＜a ＜0），∴EF =223a a --+，BF =a +3，OF =﹣a ，∴S 四边形BOCE =ΔBEF FOCE S S +梯形=12BF •EF +12（OC +EF ）14 •OF =2211(3)(23)(26)()22a a a a a a +--++--+-=2399222a a --+=23363()228a -++，∴当a =32-时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638．此时，点E 坐标为（32-，154）； （3）∵抛物线223y x x =--+的对称轴为x =﹣1，点P 在抛物线的对称轴上，∴设P （﹣1，m ），∵线段P A 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，如图，∴P A =P A ′，∠AP A ′=90°，如图3，过A ′作A ′N ⊥对称轴于N ，设对称轴于x 轴交于点M ，∴∠NP A ′+∠MP A =∠NA ′P +∠NP A ′=90°，∴∠NA ′P =∠NP A ，在△A ′NP 与△APM 中，∵∠A ′NP =∠AMP =90°，∠NA ′P =∠MP A ，P A ′=AP ，∴△A ′NP ≌△PMA ，∴A ′N =PM =|m |，PN =AM =2，∴A ′（m ﹣1，m +2），代入223y x x =--+得：22(1)2(1)3m m m +=----+，解得：m =1，m =﹣2，∴P （﹣1，1），（﹣1，﹣2）．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；旋转的性质；综合题；压轴题．。
【决胜】(预测题)中考数学 专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)
专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。
一. 直线（线段）的旋转问题1. 如图，直线l ：y =y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【 】A ．y =．y x =．y x =- D ．y x =【答案】B 。
【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，由已知，可求直线y=x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。
九年级图形的旋转 中心对称题型大全(含解答)
弧长和扇形面积 练习第1题． 一条弧所对的圆心角是90 ，半径是R ，则这条弧的长是 ．答案：12R π第2题． 若 AB 的长为所对的圆的直径长，则 AB 所对的圆周角的度数为．答案：180π第3题． 如图，A B 是半圆O 的直径，以O 为圆心，O E 为半径的半圆交A B 于E ，F 两点，弦A C 是小半圆的切线，D 为切点，若4O A =，2O E =，则图中阴影部分的面积为 ．答案：43π+第4题． 如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1 ，则它的弧长增加（ ）Ａ．l nＢ．180R π Ｃ．180l Rπ Ｄ．360l答案：Ｂ第5题． 在半径为3的O 中，弦3A B =，则AB 的长为（ ）Ａ．π2Ｂ．πＣ．32πＤ．2π答案：Ｂ第6题．扇形的周长为16，圆心角为360π，则扇形的面积是（）Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π答案：Ａ第7题．如图，扇形O A B的圆心角为90 ，且半径为R，分别以O A，O B为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（）Ａ．P Q=Ｂ．P Q>Ｃ．P Q<Ｄ．无法确定答案：Ａ第8题．如图，矩形A B C D中，1AB=，BC=，以B C的中点E为圆心的 M P N与A D相切，则图中的阴影部分的面积为（）Ａ．23πＢ．34π4Ｄ．π3Ｍ答案：Ｄ第9题． 如图所示，正方形A B C D 是以金属丝围成的，其边长1AB =，把此正方形的金属丝重新围成扇形的A D C ，使AD AD =，D C D C =不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．答案：1S =正方形，121122A D C S lR 1==⨯⨯=扇形，∴面积没有变化．第10题． 如图，O 的半径为1，C 为O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与O 相交于A ，B 两点，则图中阴影部分的面积为．ＣＡ答案：22π-3第11题． 如图，△ABC 中，105A ∠= ，45B ∠=，AB =，A D B C ⊥，D 为垂足，以A 为圆心，以A D 为半径画弧 EF，则图中阴影部分的面积为（ ）Ａ．76πＢ．76π+2Ｃ．56πＤ．56π+2答案：Ｂ第12题． 如图，半径为r 的1O 与半径为3r 的2O 外切于P 点，A B 是两圆的外公切线，切点分别为A ，B ，求A B 和 PA， PB 所围成的阴影部分的面积．答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ，则得矩形1ABH O ，1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O H O 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，ＣＤＢＥ ＡＦ122134O O O P O P r r r =+=+=，1O H ==，2211221cos 42O H r H O O O O r∠===，2160H O O ∴∠= ，1120AO P ∠= ．21212111()(3)22A B OO S O A O B O H r r =+=+= 梯形，26033606BOPO B r r S 222π()π(3)π===22扇形，122120AO P O A S r π()π==3603扇形、，2121222236ABOO BOPAO P S S S S r r ππ=--=--=23阴影梯形扇形扇形．第13题． 圆周角是90 ，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的 ．答案：14第14题． 圆心角是45 ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：45360，18第15题． 圆心角是1 ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：1360，1360第16题． 扇形的圆心角为210，弧长是28π，求扇形的面积．答案：336π第17题． 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．答案：90第18题． 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得90C ∠= ，4AC BC ==．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在A B C △的边上，且扇形的弧与A B C △的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）． 答案：第19题． 圆心角为90，半径为R 的弧长为（ ） Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R π答案：Ａ第20题． 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n，则这条弦所在圆的半径为（42r=24r =1r =）．Ａ．180n l π Ｂ．180l n πＣ．360l n πＤ．180l nπ答案：Ｂ第21题． 半径为6cm 的圆中，60 的圆周角所对的弧的弧长为 ．答案：4cm π第22题． 半径为9cm 的圆中，长为12cm π的一条弧所对的圆心角的度数为．答案：240第23题． 已知圆的面积为281cm π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．答案：60第24题． 若扇形的圆心角为120，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为 ．答案：227cm π第25题． 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为．（单位：mm ，精确到1m m ）答案：389m m第26题．如图，在Rt△ABC中，90C∠= ，60A∠=，AC=，将△ABC绕点B旋转至△A BC''的位置，且使点A，B，C'三点在同一直线上，则点A经过的最短路线长是cm．答案：3π第27题．一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点B从开始至结束走过的路径长度为（）．Ａ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．4Ｄ．322+π答案：Ｂ第28题． 如图，扇形AO B 的圆心角为60 ，半径为6cm ，C ，D 是 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是 ．答案：22cm π第29题． 如图，已知在扇形AO B 中，若45AOB ∠= ，4cm A D =，3cm C D =π，则图中阴影部分的面积是 ．答案：214cm π第30题． 如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．答案：14.2π．图4图形的旋转有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网整理一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。
初三数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
初三数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）【答案】D．【解析】A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选D．【考点】中心对称图形．2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据轴对称的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△D1E1F1如图所示；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x．【考点】1.作图-旋转变换；2.待定系数法求一次函数解析式；3.作图-平移变换.3.下列图形一定是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．正方形C．三角形D．梯形【答案】B【解析】A、不一定是轴对称图形．故本选项错误；B、是轴对称图形．故本选项正确；C、不一定是轴对称图形．故本选项错误；D、不一定是轴对称图形．故本选项错误．故选B．【考点】轴对称图形4.如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，设OC=a，则CN=2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，x=a，即CD=CM=a，∴=．故选C．【考点】1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形3.等腰直角三角形．5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（）【答案】B.【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B．【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．6.下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；故选B．7.如图，A（，1），B（1，），将∆AOB绕点O旋转1500后，得到∆A’OB’，则此时点A 的对应点A’的坐标为（）A．（-，1）B．（-2，0）C．（-1，-）或（-2,0）D．（-，-1）或（-2,0）【答案】C.【解析】∵A（，1），B（1，），∴tanα=，∴OA与x轴正半轴夹角为30°，OB与y轴正半轴夹角为30°，∴∠AOB=90°-30°-30°=30°，根据勾股定理，，，①如图1，顺时针旋转时，∵150°+30°=180°，∴点A′、B关于原点O成中心对称，∴点A′（-1，-）；②如图2，逆时针旋转时，∵150°+30°=180°，∴点A′在x轴负半轴上，∴点A′的坐标是（-2，0）．综上所述，点A′的坐标为（-1，-）或（-2，0）．故选C．考点: 坐标与图形变化-旋转．8.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是 ()【答案】A【解析】这是一道较容易的题目，主要考查了轴对称图形的概念：对折后直线两侧的部分完全重合，其中B、D显然不是轴对称图形，易产生错误的是C，正确的答案应选A.本题渗透了保护环境思想，这也是出题人指出的方向．9.如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ()A．①B．②C．⑤D．⑥【答案】A【解析】如图，球最后落入①球洞：10.民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）【解析】A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误．故选C．【考点】1.轴对称图形2.中心对称图形．11.如图,在平面直角坐标系中,将四边形ABCD称为“基本图形”,且各点的坐标分别为A（4,4）,B （1,3）,C（3,3）,D（3,1）.（1）画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1,并求出A1,B1,C1,D1的坐标.A1( , ),B1( , ),C1( , ),D1( , ) ;（2）画出“基本图形”关于x轴的对称图形A2B2C2D2;（3）画出四边形A3B3C3D3,使之与前面三个图形组成的图形既是中心对称图形又是轴对称图形.【答案】（1）（﹣4,﹣4）,（﹣1,﹣3）,（﹣3,﹣3）,（﹣3,﹣1）;（2）（3）图形见解析．【解析】（1）根据已坐标系中点关于原点对称的坐标特点,横纵坐标互为相反数,即可得出答案; （2）关于x轴对称的;两个点的坐标特点是：横坐标相等,纵坐标互为相反数,根据坐标关系画图,写坐标．（3）将图形顶点逆时针旋转90度即可得出答案．试题解析：（1）根据已坐标系中点关于原点对称的坐标特点,即可得出答案：（﹣4,﹣4）,（﹣1,﹣3）,（﹣3,﹣3）,（﹣3,﹣1）;（2）如图：图形A2B2C2D2;（3如图：图形A3B3C3D3．画的三个图形与原“基本图形”组成的整体图案既是中心对称图形又是轴对称图形．．【考点】旋转变换与轴对称变换．12.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )A．B．C．D．【解析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此符合的是选项C.故选C.【考点】中心对称图形.13.如图，C在线段BD上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE与AD有什么关系？请用旋转的性质证明你的结论。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之旋转
第32讲几何三大变换之旋转旋转的性质【例题讲解】例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=度．【解答】解：由图145AOD ∠=︒ ，1459055AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，则905535BOC ∠=︒-︒=度．故答案为：35．例题2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC ∆绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为，ADF ∆是等腰三角形．旋转中心：O旋转角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性质：OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋转中心：B旋转角：∠ABA'=∠CBC'性质：AB=A'B 、CB=C'B 连接AA'、CC'△ABA'∽△CBC'，且均为等腰三角形【解答】解：ABC ∆ 绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，DCA α∴∠=，CD CA =，11(180)9022CDA CAD αα∴∠=∠=︒-=︒-，ADF ∆ 是等腰三角形，30DFA α∠=︒+，①CD CA =，则CDA CAD ∠=∠，当FD FA =，则FDA FAD ∠=∠，这不合题意舍去，②当AF AD =，ADF AFD ∴∠=∠，190302αα∴︒-=︒+，解得40α=︒；③当DF DA =，DFA DAF ∴∠=∠，13090302αα∴︒+=︒--︒，解得20α=︒．故答案为40︒或20︒．【旋转60°】得等边例题3.如图，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，△AOE 是等边三角形，点P 为x 轴正半轴上任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交x 轴于点F .（1）问∠QFP 角度是否发生变化，若不变，请说明理由；（2）若AO =，OP =x ，请表示出点Q 的坐标（用含x 的代数式表示）【解答】（1）不变（2）【旋转90°】构造全等例题4．如图，在平面直角坐标系中，点(,)A a b 为第一象限内一点，且a b <．连结OA ，并以点A 为旋转中心把OA 逆时针转90︒后得线段BA ．若点A 、B 恰好都在同一反比例函数的图象上，则b a的值等于多少？【解答】解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BD AE ⊥，90OAB ∠=︒ ，90OAE BAD ∴∠+∠=︒，90AOE OAE ∠+∠=︒ ，BAD AOE ∴∠=∠，在AOE ∆和BAD ∆中，90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOE BAD AAS ∴∆≅∆，AE BD b ∴==，OE AD a ==，DE AE AD b a ∴=-=-，OE BD a b +=+，则(,)B a b b a +-；A 与B 都在反比例图象上，得到()()ab a b b a =+-，整理得：22b a ab -=，即2(10b b a a--=， △145=+=，∴152b a ±=， 点(,)A a b 为第一象限内一点，0a ∴>，0b >，则152b a +=．故答案为152+．【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5．如图所示，抛物线2:(0,0)m y ax b a b =+<>与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180︒，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ．（1）四边形11AC A C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（2）若四边形11AC A C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．【解答】解：（1）当1a =-，1b =时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+．令0x =，得：1y =．(0,1)C ∴．令0y =，得：1x =±．(1,0)A ∴-，(1,0)B ，C 与1C 关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：22(2)143y x x x =--=-+；四边形11AC A C 是平行四边形．理由：连接AC ，1AC ，11A C ，C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称，1AB BA ∴=，1BC BC =，∴四边形11AC A C 是平行四边形．（2）令0x =，得：y b =．(0,)C b ∴．令0y =，得：20ax b +=，∴x =∴(A B ，∴AB BC ===．要使平行四边形11AC A C 是矩形，必须满足AB BC =，∴=，∴24(b b b a a⨯-=-，3ab ∴=-．a ∴，b 应满足关系式3ab =-．例题6．如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过(1,0)A -，(3,2)C 两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，过点(1,1)E -作EF x ⊥轴于点F ，将AEF ∆绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆（点M ，N ，Q 分别与点A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线23y ax ax b =-+过(1,0)A -、(3,2)C ，03a a b ∴=++，299a a b =-+．解得12a =-，2b =，∴抛物线解析式213222y x x =-++．（2）如图2，由题意知，AEF ∆ 绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆，∴设绕点I 旋转，联结AI ，NI ，MI ，EI ，AI MI = ，NI EI =，∴四边形AEMN 为平行四边形，//AN EM ∴且AN EM =．(1,1)E - 、(1,0)A -，∴设(,)M m n ，则(2,1)N m n -+M 、N 在抛物线上，213222n m m ∴=-++，2131(2)(2)222n m m +=--+-+，解得3m =，2n =．(3,2)M ∴，(1,3)N ．【旋转过后落点问题】例题7．如图，Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，48B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =，把Rt ABC ∆绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m =．【解答】解：当旋转后点B 的对应点B '落在AB 边上，如图1，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，48DB B B ∴∠'=∠=︒，18084B DB DB B B ∴∠'=︒-∠'-∠=︒，即84m =︒；当点B 的对应点B '落在AB 边上，如图2，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，2BD CD = ，2DB CD ∴'=，90C ∠=︒ ，30CB D ∴∠'=︒，60CDB ∴∠'=︒，18060120B DB ∴∠'=︒-︒=︒，即120m =︒，综上所述，m 的值为84︒或120︒．故答案为84︒或120︒．例题8．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3CAB ∠=，若将ACB ∆绕点A 顺时针旋转得到Rt △AC B ''，且C '落在CO 的延长线上，连接BB '交CO 的延长线于点F ，则BF =．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于点D ，CA CO = ，AD DO ∴=，在Rt ACB ∆中，16cos 3AC CAB AB AB∠===，318AB AC ∴==，在Rt ADC ∆中：1cos 3AD CAB AC ∠==，123AD AC ∴==，24AO AD ∴==，18414BO AB AO ∴=-=-=，△AC B ''是由ACB ∆旋转得到，AC AC ∴='，AB AB ='，CAC BAB ∠'=∠'，1(180)2ACC CAC ∠'=︒-∠' ，1(180)2ABB BAB ∠'=︒-∠'，ABB ACC ∴∠'=∠'，∴在CAO ∆和BFO ∆中，BFO CAO ∠=∠，CA CO = ，COA CAO ∴∠=∠，又COA BOF ∠=∠ （对顶角相等），BOF BFO ∴∠=∠，14BF BO ∴==．故答案为：14．例题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26(0)y mx mx n m =++>与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线BC 交y 轴于E ，且ABC ∆与AEC ∆这两个三角形的面积之比为2:3．（1）求点A 的坐标；（2）将ACO ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点A 与B 重合，此时点O 的对应点O '恰好也在y 轴上，求抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图1，抛物线26(0)y mx mx n m =++>∴对称轴3x =-，当:2:3ABC AEC S S ∆∆=时，:2:1ABC AEB S S ∆∆∴=，过点C 作CF x ⊥轴于F ，:2:1CF OE ∴=易知，BFC BOE ∆∆∽，::2:1BF OB CF OE ∴==，1OB ∴=，2BF =，5OA ∴=，(5,0)A ∴-，(1,0)B -；（2）(1,0)B - ，06m m n ∴=-+，5n m ∴=，(3,4)C m ∴--，如图2，作CF AB ⊥于F ，CP OD ⊥于P ，则四边形CFOP 是矩形，4OP CF m ∴==，3CP OF ==，OP O P '=，28OO OP m'∴==由旋转知，5OA BO '==，在Rt BOO '∆中，1OB =，根据勾股定理得，2285126m =-=，64m ∴=263656424y x x ∴=++【旋转+“恰好”问题】例题10．如图，在直角坐标系中，直线4y =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，且30B ∠=︒，4AB =，将ABO ∆绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标．【另外再可思考，当“AB 所在直线与MN 垂直时点A 的坐标”】【解答】解：①4AB = ，30ABO ∠=︒，122OA AB ∴==，903060BAO ∠=︒-︒=︒，120OAD ∴∠=︒，直线MN 的解析式为43y x =-+，30NMO ∴∠=︒，//AB MN ，30ADO NMD ∴∠=∠=︒，30AOC ∴∠=︒，112AC OA ∴==，OC ∴==∴点A 的坐标为，1)；② 图②中的点A 与图①中的点A 关于原点对称，∴点A 的坐标为：(，1)-，故答案为：，1)、(1)-．例题11．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点(3,0)A ，(0,4)B ，以点A 为旋转中心，把ABO ∆顺时针旋转，得ACD ∆．记旋转角为α．ABO ∠为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足//BC x 轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足AOD β∠=时，求直线CD 的解析式（直接写出结果即可）．【解答】解：（1） 点(3,0)A ，(0,4)B ，得3OA =，4OB =，∴在Rt AOB ∆中，由勾股定理，得225AB OA OB =+=，根据题意，有3DA OA ==．如图①，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则//MD OB ，ADM ABO ∴∆∆∽．有AD AM DM AB AO BO==，得39355AD AM AO AB ==⨯= ，65OM ∴=，∴125MD =，∴点D 的坐标为6(5，12)5．（2）如图②，由已知，得CAB α∠=，AC AB =，ABC ACB ∴∠=∠，∴在ABC ∆中，1802ABC α∴=︒-∠，//BC x 轴，得90OBC ∠=︒，9090ABC ABO β∴∠=︒-∠=︒-，2αβ∴=；（3）若顺时针旋转，如图，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点C 作CF OA ⊥于F ，AOD ABO β∠=∠= ，3tan 4DE AOD OE ∴∠==，设3DE x =，4OE x =，则43AE x =-，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+，2299(43)x x ∴=+-，2425x ∴=，96(25D ∴，72)25，∴直线AD 的解析式为：247277y x =-， 直线CD 与直线AD 垂直，且过点D ，∴设724y x b =-+，把96(25D ，72)25代入得，72796252425b =-⨯+，解得4b =，互相垂直的两条直线的斜率的积等于1-，∴直线CD 的解析式为7424y x =-+．同理可得直线CD的另一个解析式为7424y x=-．【巩固练习】1．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ．若10BC =，9BD =，则AED ∆的周长是．2.如图一段抛物线：(3)(03)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于点O 和1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，如此进行下去，直至得到10C ，若点(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，则m 的值为.3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，ABC ∆绕点C 顺时针旋转得△11A B C ，当1A 落在AB 边上时，连接1B B ，取1BB 的中点D ，连接1A D ，则1A D 的长度是．4．如图，AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，AOB ∆绕点O 逆时针旋转到△A OB ''处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，求线段B E '的值．5．如图，在直角坐标系中，直线14:83l y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 顺时针旋转45︒得到2l ．求2l 的函数表达式．6．如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，则k 的值为．7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(8,0)-，直线BC 经过点(8,6)B -，(0,6)C ，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转a 度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．在四边形OABC 旋转过程中，若使12BP BQ =？则点P 的坐标为．8．如图，在BDE ∆中，90BDE ∠=︒，BD =，点D 的坐标为(5,0)，15BDO ∠=︒，将BDE∆旋转到ABC ∆的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为．9．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，问CE =时，A 、C 、F 在一条直线上．10．如图，一次函数1(0)2y x m m =-+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，点C 的横坐标为n ，点D 在线段AB 上，且2AD BD =，将ACD ∆绕点D 旋转180︒后得到△11A C D ．（1）若点1C 恰好落在y 轴上，试求n m的值；（2）当4n =时，若△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，求该一次函数的解析式．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，3cos 5ABC ∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C ．（1）如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时．①求证：11//BB CA ；②求△1AB C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差．12．如图（1），在ABC=，动点P在线段AC上以5/cm s的速度从=，3BC cmAB cmC∆中，90∠=︒，5点A运动到点C，过点P作PD AB'，设点P的⊥于点D，将APD∆绕PD的中点旋转180︒得到△A DP 运动时间为()x s．（1）当点A'落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A BC'是以A B'为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5/cm s的速度从点B运动到点C，过点Q 作QE AB⊥于点E，将BQE'，连结A B''，当直线A B''与ABC∆绕QE的中点旋转180︒得到△B EQ∆的一边垂直时，求线段A B''的长．13．如图，(0,2)A ，(1,0)B ，点C 为线段AB 的中点，将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到线段BD ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点D ．（1）若该抛物线经过原点O ，且13a =-，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点(,)P m n 在抛物线上，且POB ∠锐角，满足90POB BCD ∠+∠<︒，求m 的取值范围．14．如图1，抛物线210y ax ax c =-+经过ABC ∆的三个顶点，已知//BC x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上35OA BC =，且AC BC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将AOC ∆沿x 轴对折得到1AOC ∆，再将1AOC ∆绕平面内某点旋转180︒后得△112(A O C A ，O ，1C 分别与点1A ，1O ，2C 对应）使点1A 、2C 在抛物线_P 上，求点1A 、2C 的坐标；15．点P为图①中抛物线22m>上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90︒=-+为常数，0)y x mx m m2(后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）若点Q的坐标为(-，求该抛物线的函数关系式；（2）如图②，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AGQ∆是以AG 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【解答】解：ABC ∆ 是等边三角形，10AC AB BC ∴===，BAE ∆ 由BCD ∆逆时针旋旋转60︒得出，AE CD ∴=，BD BE =，60EBD ∠=︒，10AE AD AD CD AC ∴+=+==，60EBD ∠=︒ ，BE BD =，BDE ∴∆是等边三角形，9DE BD ∴==，AED ∴∆的周长19AE AD DE AC BD =++=+=．故答案为：19．2.【解答】解：令0y =，则(3)0x x --=，解得10x =，23x =，1(3,0)A ∴，由图可知，抛物线10C 在x 轴下方，相当于抛物线1C 向右平移3927⨯=个单位，再沿x 轴翻折得到，∴抛物线10C 的解析式为(27)(273)(27)(30)y x x x x =---=--，(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，(2827)(2830)2m ∴=--=-．3.【解答】解：90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，2AC =，9060A ABC ∴∠=︒-∠=︒，4AB =，BC =，1CA CA = ，1ACA ∴∆是等边三角形，112AA AC BA ===，1160BCB ACA ∴∠=∠=︒，1CB CB = ，1BCB ∴∆是等边三角形，1BB ∴=，12BA =，1190A BB ∠=︒，1BD DB ∴==，1A D ∴==，．4.【解答】解：90AOB ∠=︒ ，3AO =，6BO =，AB ∴==AOB ∆ 绕顶点O 逆时针旋转到△A OB ''处，3AO A O ∴='=，A B AB ''==，点E 为BO 的中点，116322OE BO ∴==⨯=，OE A O ∴='，过点O 作OF A B ⊥''于F ，1362A OB S OF ''=⨯=⨯⨯ ，解得655OF =，在Rt EOF ∆中，5EF ==，OE A O =' ，OF A B ⊥''，22A E EF ∴'==（等腰三角形三线合一），B E A B A E ∴'=''-'=5.【解答】解： 直线483y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，(0,8)A ∴、(6,0)B -，如图2，过点B 做BC AB ⊥交直线2l 于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，在BDC ∆和AOB ∆中，CBD BAO CDB AOB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDC AOB AAS ∴∆≅∆，6CD BO ∴==，8BD AO ==，6814OD OB BD ∴=+=+=，C ∴点坐标为(14,6)-，设2l 的解析式为y kx b =+，将A ，C 点坐标代入，得1468k b b -+=⎧⎨=⎩，解得178k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2l ∴的函数表达式为187y x =+；6.【解答】解：如图所示：过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得：BAO OAF ∠=∠，AO AF =，//AB OC ，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，故60AOF DOM ∠=︒=∠，624OD AD OA AB OA =-=-=-= ，2MO ∴=，MD =，(2,D ∴--，2(k ∴=-⨯-=．故答案为：．7.【解答】解：存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =．理由如下：过点Q 画QH OA ⊥'于H ，连接OQ ，则QH OC OC ='=，12POQ S PQ OC ∆= ，12POQ S OP QH ∆= ，PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =，2BQ x ∴=，如图4，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO ∆中，222(8)6(3)x x ++=，解得13612x =+，23612x =-，（不符实际，舍去）．3692PC BC BP ∴=+=+，1(92P ∴--，6)，如图5，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO ∆中，222(8)6x x -+=，解得254x =，257844PC BC BP ∴=-=-=，27(4P ∴-，6)，综上可知，存在点136(92P --，6)，27(4P -，6)使12BP BQ =．8.【解答】解：如图，AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF x ⊥轴于F ．点C 在BD 上，∴点P 到AB 、BD 的距离相等，都是12BD ，即12⨯=45PDB ∴∠=︒，4PD ==，15BDO ∠=︒ ，451560PDO ∴∠=︒+︒=︒，30DPF ∴∠=︒，114222DF PD ∴==⨯=， 点D 的坐标是(5,0)，523OF OD DF ∴=-=-=，由勾股定理得，PF ===∴旋转中心的坐标为(3，．故答案为：(3，．9.【解答】解：过F 作FN BC ⊥，交BC 延长线于N 点，连接AC ，90DCE ENF ∠=∠=︒ ，90DEC NEF ∠+∠=︒，90NEF EFN ∠+∠=︒，DEC EFN ∴∠=∠，Rt FNE Rt ECD ∴∆∆∽，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，:2:1DE EF ∴=，:::2:1CE FN DE EF DC NE ∴===，2CE NF ∴=，1522NE CD ==．45ACB ∠=︒ ，∴当45NCF ∠=︒时，A 、C 、F 在一条直线上．则CNF ∆是等腰直角三角形，CN NF ∴=，2CE CN ∴=，22553323CE NE ∴==⨯=．53CE ∴=时，A 、C 、F 在一条直线上．故答案为：53．10.【解答】解：（1）由题意，得(0,)B m ，(2,0)A m ，如图，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，交直线11A C 于点F ，易知：23DE m =，2(3D m ，2)3m ，14(3C m n -，4)3m ，∴403m n -=，∴43n m =；（2）由（1）得，当3m >时，点1C 在y 轴右侧；当23m <<时，点1C 在y 轴左侧．①当3m >时，设11A C 与y 轴交于点P ，连接1C B ，由△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，S ∴△1:BA P S △13:1BC P =，11:3A P C P ∴=，∴，185m ∴=，11825y x ∴=-+；②当23m <<时，同理可得：11827y x =-+；综上所述，11827y x =-+或11825y x =-+．11.【解答】解：（1）①证明：AB AC = ，1B C BC =，1AB C B ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，1AB C ACB ∠=∠ （旋转角相等），111B CA AB C ∴∠=∠，11//BB CA ∴；②过A 作AF BC ⊥于F ，过C 作CE AB ⊥于E ，如图①：AB AC = ，AF BC ⊥，BF CF ∴=，3cos 5ABC ∠=，5AB =，3BF ∴=，6BC ∴=，16B C BC ∴==，1318655BE B E ∴==⨯=，1365BB ∴=，424655CE =⨯=，13611555AB ∴=-=，∴△1AB C 的面积为：1112413225525⨯⨯=；（2）如图2，过C 作CF AB ⊥于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ，1EF 有最小值，此时在Rt BFC ∆中，245CF =，1245CF ∴=，1EF ∴的最小值为249355-=；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于1F ，1EF 有最大值；此时11369EF EC CF =+=+=，∴线段1EF 的最大值与最小值的差为936955-=．12.【解答】解：（1）如图1， 在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，当点A '落在边BC 上时，由题意得，四边形APA D '为平行四边形，PD AB ⊥ ，90ADP C ∴∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，5AP x = ，4A P AD x ∴'==，45PC x =-，A PD ADP ∠'=∠ ，//A P AB ∴'，∴△A PC ABC '∆∽，∴PC A P AC AB '=，即45445x x -=，解得：2041x =，∴当点A '落在边BC 上时，2041x =；（2）当A B BC '=时，222(58)(3)3x x -+=，解得：4012373x ±=．45x ，∴4073x -=；当A B A C '='时，58x =．（3）Ⅰ、当A B AB ''⊥时，如图6，DH PA AD '∴==，HE B Q EB ='=，2224235AB AD EB x x =+=⨯+⨯= ，514x ∴=，514A B QE PD x ∴''=-==；Ⅱ、当A B BC ''⊥时，如图7，5B E x ∴'=，57DE x =-，53cos 575x B x ∴==-，1546x ∴=，2523A B B D A D ∴''='-'=；Ⅲ、当A B AC ''⊥时，如图8，由（1）有，2041x =，12sin 41A B PA A ∴''='=；当A B AB ''⊥时，514x =，514A B ''=；当A B BC ''⊥时，1546x =，2546A B ''=；当A B AC ''⊥时，2053x =，2553A B ''=．13.【解答】解：（1）过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ．90ABD ∠=︒ ，90DBF ABO ∴∠+∠=︒．又90OAB ABO ∠+∠=︒ ，DBF OAB ∴∠=∠．由旋转的性质可知AB BD =．在AOB ∆和BFD ∆中DBF OAB AOB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB BFD ∴∆≅∆．1DF OB ∴==，2AO BF ==．(3,1)D ∴．把点D 和点O 的坐标代入213y x bx c =-++得：1300b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：43b =，0c =．∴抛物线的解析式为21433y x x =-+．（2）如图2所示：点(0,2)A ，(1,0)B ，C 为线段AB 的中点，1(2C ∴，1)．C 、D 两点的纵坐标为1，//CD x ∴轴．BCD ABD ∴∠=∠．∴当POB BAO ∠=∠时，恰好90POB BCD ∠+∠=︒．设点P 的坐标为214(,)33m m m -+．当点P 在x 轴上且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -+=，解得：52m =或0m =（舍去）．当点P 位于x 轴的下方，点P '处时，且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -=，解得：112m =或0m =（舍去）．POB ∠ 为锐角，4m ∴≠．由图形可知：当点P 在抛物线上P 与P '之间移动时，90POB BCD ∠+∠<︒．m ∴的取值范围是：51122m <<且4m ≠．14.【解答】解：（1）35OA BC = ，AC BC =∴设3OA k =，5(0)AC BC k k ==>4OC k∴= 当0x =时，210y ax ax c c=-+=(0,)C c ∴，即4OC c k==4c k ∴=3(4c A ∴-，50)(4c B ，)c 抛物线经过点A 、B ∴2233()10()04455(1044c c a a c c c a a c c ⎧---+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得：1128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：2158126y x x =-++（2）如图1，1AOC ∆旋转后得到△112A O C 的位置如图所示116O A OA ∴==，128O C OC ==，11//O A x 轴，12O C x ⊥轴设2C 坐标为215(,8)126t t t -++，则2115(6,)126A t t t +-+221515(6)(6)8126126t t t t ∴-++++=-+解得：10t =1A ∴坐标为(16,0)，2C 坐标为(10,8)．15.【解答】解：（1） 对于222y x mx m =-+，当0y =时，x m =，OG m ∴=，点Q 为点P 绕顶点G 逆时针旋转90︒后的对应点，P m ∴，2)m +，把P m +，2)m +代入222y x mx m =-+中，得222)2)m m m m m +=-+，4m ∴=，∴该抛物线的函数关系式为；2816y x x =-+；（2）存在，点Q 在第一象限内，AQ GQ =，如图2中，由题意可知OA OG =，∴m =，1m ∴=，∴点(0,1)A ，点A 的对应点(2,1)C ，(1,0)G ，∴直线CG 解析式为1y x =-，线段CG 的中垂线MN 解析式为2y x =-+，由2221y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 点P 在第一象限，∴点P坐标1(2+，32-．。
专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(预测题)-决胜2017中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换．旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转．旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定．经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n（n为大于1的正整数）后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形．在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容．中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题．原创模拟预测题1．在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）原创模拟预测题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ）如图，△．当△原创模拟预测题B关于点1ACAB 90°次后，顶点在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）AB C点逆时针旋转，，则∠再次落在中，AB BD 逆时针旋转，记旋转后的△．当射线CP的长；重叠部分图形的周长为。
2022年中考数学专题复习：旋转几何变换问题
2022年中考数学专题复习：旋转几何变换问题1．[证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A，B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∠∠DEB．（2）如图2，图3，AD＝20，点B是线段AD上的点，AC∠AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE．[思考探究]（1）如图2，当DE=时，求AB的长．[拓展延伸]（2）如图3，点G过CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长．C作直线平行AB，将2．如图，在∠ABC中，AB＝∠A＝45°，AC＝∠ABC绕点A顺时针旋转得到∠AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan∠APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否3．如图1所示，在菱形ABCD 和菱形AEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段CF 的中点，连接PD ，PG ．(1)若120BAD AEF ∠=∠=︒，请直接写出DPG ∠的度数及PGPD的值______． (2)若120BAD AEF ∠=∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转，使菱形ABCD 的对角线AC 恰好与菱形AEFG 的边AE 在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．(3)若()1802090BAD AEF αα∠=∠=︒-︒<<︒，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转到图3的位置，求出PGPD的值．4．在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，13BD BC = 将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连接BE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF ，连接AF ．(1)如图 1，当α＝180°时，请直接写出线段AF 与线段BE 的数量关系； (2)当0°＜α＜180°时，∠如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ∠如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连接AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．5．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE∠AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；(3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．6．如图，∠ABC与∠DEF都是等腰直角三角形，AC=BC，DE=DF．边AB，EF的中点重合于点O，连接BF，CD．(1)如图∠，当FE∠AB时，易证BF=CD（不需证明）；(2)当∠DEF绕点O旋转到如图∠位置时，猜想BF与CD之间的数量关系，并证明；(3)当∠ABC与∠DEF均为等边三角形时，其他条件不变，如图∠，猜想BF与CD之间的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．7．在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，直线DE 分别与AC ，BC 交于点D ，E ，点P 是直线DE 上一动点，将CP 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CQ ，连接PQ ．(1)若45CDE ∠=︒，根据条件解答下列问题：∠如图1，当点P 与点D 重合时，直接写出AP 与BQ 的数量关系；∠如图2，当点P 与点D 不重合，∠中结论仍成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；(2)若30∠=︒CDE ，如图3，CDAD =BQ ，当BQ 最小时，求BQ DE的值．8．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P ，Q 是分别在射线CA ，CB 上，AP ＝BQ ．将线段PQ 绕点P 逆时针旋转90°得到PE ．(1)如图1，点P 在线段AC 上，若点E 在BC 上，P ，Q 在直线AB 异侧，求EC 的长．(2)如图2，点Q 在线段BC 上，若tan∠PQB ＝43，求ED 的长．(3)以D ，P ，E 为顶点的三角形能否是直角三角形？若能，求出线段BQ 的长；若不能，请说明理由．9．实验探究：如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，BD 、CE 延长线交于点P ．(1)【问题发现】把ABC 绕点A 旋转到图1，BD 、CE 的关系是 （相等或不相等），直接写出答案；(2)【类比探究】若AB ＝3，AD ＝5，把ABC 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD 的长；(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD 的最小值为 ．10．在∠ABC 中，AC AB =，120CAB ∠=︒，点D 是边AB 上的一动点，F 是边CD 上的动点．连接AF 并延长至点E ，交BC 于G ，连接BE ．且180E BDF ∠+∠=︒，60AFC ∠=︒．(1)如图1，若BC =4BE =，求CD 的长．(2)如图2，若点D 是AB 的中点，求证：AE DF =+．(3)如图3，在（2）的条件下，将∠BDE 绕点B 顺时针旋转，旋转中的三角形记作11D BE △，取11D E 的中点为M ，连接CM ．当CM 最大时，将∠ADF 沿直线CM 翻折，得到111A D F △，直接写出212A M EM的值．11．在平面直角坐标系中，△AOB 为直角三角形，点O （0，0），点A （0，3），点B 在x 轴的正半轴上，△OAB =30°，点P 为AB 的中点．(1)如图∠，求点P 的坐标；(2)以点O 为中心，顺时针旋转△AOP ，得到△A 1OP 1，记旋转角为α（0180α︒<<︒），点A ，P 的对应点分别为A 1，P 1．∠如图∠，线段OA 1交线段AB 于点M ，线段OP 1交线段AB 于点N ，当△OMN 为等腰三角形时，求点A 1的坐标；∠直线OA 1交直线AB 于点M ，直线OP 1交线段AB 于点N ，当△OMN 为等腰三角形时，求α的度数（直接写出结果即可）．12．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 、F 、G 分别在边CD 、AD 、BC 上．(1)在图∠中，BE CF ⊥于点P ，连接OE 、OF ；∠若2AB=，当E、F在边CD、AD上运动时，DP的最小值是______；(2)在图∠中，BE FG⊥于点P，连接EF，比较EF BG的大小关系，并说明理由．13．如图∠，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD 重合，将图∠中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图∠位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图∠位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图∠位置旋转至图∠位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图∠位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．14．如图，在∠ABC中AB=AC，∠BAC=120°，∠FDE中∠DFE=60°，将∠FDE的顶点F与∠ABC的顶点A重合，边FD从AB边开始绕点A逆时针旋转，旋转过程中FD与直线BC的交点为N，FE与直线BC的交点为M．时，求证：FE平分∠CAP；(2)∠FDE在旋转过程中，如图（2），当∠BAN=45°时，探究线段BN，MN，MC之间的数量关系，并用你所学的知识证明你的结论．15．如图，∠ADC和∠BDE均为等腰三角形，∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点F为CE的中点．(1)如图1，A，D、B在同一直线上，∠CAD＝∠DBE＝90°，AC＝AD＝1，BD＝BE＝2，求DF的长度；(2)如图2，A、D、F在同一直线上，G为AF延长线上一点（AF<FG），且GE＝AC，连接AB，求证：∠AGE＝2∠BAD；(3)如图3，在（1）问的条件下，将∠ADC绕着点D逆时针旋转，连接BF，将∠BDF 沿着BD翻折得∠BDH，连接EH，当CF最大时，直接写出此时点B到直线EH的距离．16．已知：∠ABC为等边三角形，且AB＝4，点D在直线BC上运动，线段DA绕着点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE和BE，直线AE交直线BC于点F．（1）如图，当点D在点C左侧时，求证：CD＝BE；（2）若∠ABC的面积等于∠ABF面积的4倍，直接写出线段CD的长；（3）在（2）的条件下，若点E关于直线AD的对称点为点G，连接DG交线段AC于17．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad ）．如图1，在∠ABC 中，AH ∠BC 于点H ，则qad ∠BAC ＝AHBC．当qad ∠BAC ＝35时，则称∠BAC 为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，∠ACE 的“金角”∠EAC 所对的边CE 在BC 边上，将∠ACE 绕点C 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到∠A 'CE '，A 'C 交AD 边于点F ．（1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF 是“金角”． （2）如图3，当点E '落在AD 边上时，求qad ∠AFC 的值．18．已知在∠ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ＝（1）如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，直接写出点B ，C 的坐标；（2）如图2，过点C 作∠MCN ＝45°交AB 于点M ，N ，且AM =1，求MN 的长度；19．在∠ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．（1）如图1，当点D在边BC上时，且∠BAD＝30°，求证：AD BD．（2）如图2，当点D在∠ABC的外部，且满足∠BDC−△ADC＝45°，求证：BDAD．（3）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把∠DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α(0<α≤180∠)，直线BD与CE的交点为P，连接P A，直接写出∠P AC 面积的最大值____________．20．（1）如图1，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是．（2）如图2，若把DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE 是否相等？若相等请证明；若不相等，说明理由．（3）如图3，若把ACB和CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由．参考答案：1．∠AB＝16，∠ED=2．(3)存在；21-3．(2)（1）中的两个结论不发生改变，(3)tanα．4．(1)AFBE=(2)∠仍然成立，理由见解析；∠四边形AECF是平行四边形5．(1)S△DEF＋S△CEF＝12S△ABC(2)上述结论S△DEF＋S△CEF＝12S△ABC成立，(3)S△DEF－S△CEF＝12S△ABC6．(2)BF=CD；(3)BF7．(1)∠AP=BQ；∠成立，(2)14 BQDE=；8．(1)3 2(3)能，4 9．(1)相等(3)110．(1)11．(1)P 32，）(2)∠A 1）；∠α的度数为45°或90°或135°12．(1)∠OE OF ⊥，OE OF =；∠1 (2)EF BG +>，13．(1)16°(2)DL ＝EN +GM ，14．(2)222BN CM MN =+，15．(1)DF =(3)当CF 最大时，点B 到直线EH 16．（1）见解析；（2）43或45；（3）9261250017．（1）见解析（2）2318．（1）B （4，0），C （2，2）；（2）MN =；（3）AM 2+BN 2＝MN 2；19．（1）见解析；（2）见解析；（3）2+20．（1）AD =BE ；（2）AD =BE ，见解析；（3）AD =BE 还成立，。
2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题(含解析)
2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题1．如图，△ABC 和△DEF 关于某点对称（1）在图中画出对称中心O ；（2）连结AF 、CD ，判断四边形ACDF 的形状，并说明理由．2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位．（1）画出关于原点O 的中心对称图形；（2）在（1）的条件下，请分别写出点A 、B 、C 的对应点、、的坐标．ABC ABC 111A B C 1A 1B 1C3．如图1，图2，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 边上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），始终保持BD=CE.（1）当点D 、E 运动到如图1所示的位置时,求证：CD=AE.（2）把图1中的△ACE 绕着A 点顺时针旋转60°到△ABF 的位置（如图2），分别连结DF 、EF.①找出图中所有的等边三角形(△ABC 除外)，并对其中一个给予证明；②试判断四边形CDFE 的形状,并说明理由.4．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点C 顺时针旋转得到矩形 .设旋转角为 ，此时点 恰好落在边 上，连接 .（1）当 恰好是 中点时，此时 ；（2）若 ，求旋转角 及 的长.5．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD ，连接CD 、BD ．（1）如图，若α=80°，则∠BDC 的度数为 ；（2）请探究∠BDC 的大小是否与角α的大小有关，并说明理由．ABCD 4BC =ABCD A B C D ''''αB 'AD B B 'B 'AD α=75AB B ︒∠='αAB6．在平面直角坐标系中，小方格都是边长为1的正方形，△ABC ≌△DEF ，其中点A 、B 、C 、都在格点上，请你解答下列问题：（1）如图（a ）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号为 ．（2）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；画出△ABC 绕点P （1，﹣1）顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称吗？若成中心对称请你求出对称中心的坐标；若不成，则说明理由．7．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为 时，箱盖 落在 的位置（将后备箱放大后如图2所示）．已知 厘米， 厘米， 厘米．在图2中求： （1）点 到 的距离（结果保留根号）；（2）E 、 两点的距离（结果保留根号）．ABCD ADE 60︒ADE AD E ''90AD =30DE =40EC =D 'BC E '8．如图， 是等腰直角三角形， 是直角三角形， ，点 为边 中点将 绕点 顺时针旋转，旋转角记为 ，点 为边 的中点．（1）如图，求初始状态时 的大小；（2）如图，在旋转过程中，若点 构成平行四边形，请直接写出此时 的值；（3）在旋转过程中，若点 和点 重合，请在图中画出 并连接 ，判断此时是否有 ?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．ABC 90,ABC BDE ∠=︒ 30E ∠=︒D BC BDE D (0360)αα<<︒F BE AEC ∠,,,B D F B 'a F B ,B DE ' AE AE ED ⊥9．如图，在菱形 中， ，将边 绕点 逆时针旋转至 ，记旋转角为 ．过点 作 于点 ，过点 作 直线 于点 ，连接 ．（1）（探索发现）填空：当 时， = ．的值是 （2）（验证猜想）当 时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）（拓展应用）在（2）的条件下，若 ，当 是等腰直角三角形时，请直接写出线段 的长．ABCD 120BAD ∠= AB A 'AB αD DF BC ⊥F B BE ⊥'B D E EF 60α= 'EBB ∠ 'EF DB 0360α<< AB =BDE ∆EF10．如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD 相交于点E，已知∠ABC=∠AEP= (0°< <90°).（1）求证: ∠EAP=∠EPA;（2）APCD是否为矩形?请说明理由;（3）如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.αα11．定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．（1）已知在半等边四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°．①如图1，若∠B=∠D ，求证：BC=CD ；②如图2，连结AC ，探索线段AC 、BC 、CD 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10，点D 是射线AM 上的一个动点，记∠DCA=a ，点B 在直线AC 的下方，若四边形ABCD 是半等边四边形，且CB=CD ．问：当点D 在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B 也随之运动，请直接写出点B 所经过的路径长．12．已知，把45°的直三角板的直角顶点E 放在边长为6的正方形ABCD 的一边BC 上，直三角板的一条直角边经过点D ，以DE 为一边作矩形DEFG ，且GF 过点A ，得到图1.（1）求矩形DEFG 的面积；（2）若把正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，把45°的直三角板的一个45°角的顶点与等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 重合，直三角板夹这个45°角的两边分别交CA 和CA 的延长线于点H 、P ，得到图2.猜想：CH 、PA 、HP 之间的数量关系，并说明理由；（3）若把边长为6的正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，点M 是Rt △ABC 内一个动点，连接MA 、MB 、MC ，设MA+MB+MC ＝y ，直接写出 的最小值.2y13．（1）观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是 ，位置关系是 .（2）探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，BC ＝2AB ＝8，BD ＝2BE ＝4，连接AE ，点F 是AE 的中点，连结CD 、BF ，将△BDE 绕点B 在平面内自由旋转，请直接写出BF 的取值范围，14．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1，如图1，在等腰直角三角形ABC 中， ， ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，过点D 作BC 边上的高DE ，则DE 与BC 的数量关系是 ， 的面积为 ；（2）探究2，如图2，在一般的 中， ，（ ， ），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，请用含m ，n 的式子表示 的面积，并说明理由.（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中， ， （ ，， ），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，试探究用含a ，b ，c 的式子表示 的面积，要有探究过程.90ACB ∠=︒5BC =BCD Rt ABC 90ACB ∠=︒22()()BC m n m n =+--0m >0n >BCD AB AC =BC a b c =++0a >0b >0c >BCD15．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP.（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是 ，∠MNP的度数为 ；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP.求证：△MNP是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值.16．（1）问题发现：如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 .（2）问题探究：如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD ＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；（3）问题解决：“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米.其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值.17．如图14-1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 2：y=与x 轴交于点B ，与直线l 1交于点c ，c点到x 轴的距离CD 为2 ，直线1交x 轴于点A(-3，0) ．（1）求直线l 1的函数表达式；（2）如图14-2，y 轴上的两个动点E 、F(E 点在F 点上方)满足线段EF 的长为 ，连接CE 、AF ，当线段CE+EF+AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标，以及CE+EF+AF 的最小值；（3）如图14-3，将△ACB 绕点B 逆时针方向旋转60°，得到△BGH ，使点A 与点H 重合，点C 与点G 重合(C 、G 两点恰好关于x 轴对称)，将ABGH 沿直线BC 平移，记平移中的△BGH 为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x 轴交于点M ，是否存在这样的点M ，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图（1）问题发现：如图1，已知点C 为线段 上一点，分别以线段 为直角边作两个等腰直角三角形， ，连接 ，线段 之间的数量关系为 ；位置关系为 .（2）拓展研究：如图2，把 绕点C 逆时针旋转，线段 交于点F ，则 之间的关系是否仍然成立，说明理由；x AB ,AC BC 90,,ACD CA CD CB CE ︒∠===,AE BD ,AE BD Rt ACD ∆,AF BD ,AE BD（3）解决问题：如图3，已知 ，连接 ，把线段AB 绕点A 旋转，若 ，请直接写出线段 的取值范围.19．如图1，在 中， , ，点 分别是 的中点，连接 .（1）探索发现：图1中，的值为 ； 的值为 ；（2）拓展探究若将 绕点 逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决当 旋转至 三点在同一直线时，直接写出线段 的长.,,90AC CD BC CE ACD BCE ︒==∠=∠=,,AB AE AD 7,5AB AC ==AE ABC 2AB AC ==120BAC ∠=︒,D E ,AC BC DE AB BC AD BE CDE C AD BECDE ,,A D E BE20．有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC 和CDE ，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°．将两个直角三角板ABC 和CDE 如图①放置，点A ，C ，E 在直线MN 上．（1）三角板CDE 位置不动，将三角板ABC 绕点C 顺时针旋转一周，①在旋转过程中，若∠BCD ＝35°，则∠ACE ＝ ▲ °；②在旋转过程中，∠BCD 与∠ACE 有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．（2）在图①基础上，三角板ABC 和CDE 同时绕点C 顺时针旋转，若三角板ABC 的边AC 从CM 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为12°/秒，同时三角板CDE 的边CE 从CN 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为2°/秒，当AC 旋转一周再落到CM 上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t 秒，则在旋转过程中，当∠ACE ＝2∠BCD 时，t 为多少秒？21．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板 和 叠放在一起，使三角形板 的顶点 与三角形板 的AC 边中点 重合，把三角形板 固定不动，让三角形板 绕点 旋转，设射线 与射线 相交于点M ，射线 与线段 相交于点N.ABC DEF DEF D ABC O ABC DEF O DE AB DF BC（1）如图1，当射线 经过点 ，即点N 与点 重合时，易证△ADM ∽△CND.此时，AM·CN= .（2）将三角形板 由图1所示的位置绕点 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 .其中 ，问AM·CN 的值是否改变？说明你的理由.（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为 ，求 与 的函数关系式.（图2，图3供解题用）22．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．（1）若点，求点和点的坐标；（2）将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：（3）在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DF B B DEF O α090α<< y y x 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()14M -，x A B A B y C ()03C -，A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x BC D P PE y x E PD PE +P答案解析部分1．【答案】（1）解：对称中心O 如图所示；（2）解：∵A 与F ，C 与D 是对应点，∴AO=DO ，CO ＝FO ，∴四边形ACDF 是平行四边形．2．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：由图可知：，，．3．【答案】（1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴BC=CA ，∠B=∠ECA=60°.又∵BD=CE ，∴△BCD ≌△CAE.∴CD=AE.（2）解：① 图中有2个正三角形，分别是△BDF ，△AFE.由题设，有△ACE ≌△ABF ，∴CE=BF ，∠ECA=∠ABF=60°又∵BD=CE ，∴BD=CE=BF ，∴△BDF 是正三角形，∵AF=AE ，∠FAE=60°，∴△AFE 是正三角形.1(12)A -，1(33)B -，1(40)C ，② 四边形CDFE 是平行四边形.∵∠FDB=∠ABC =60°∴FD ∥EC.又∵FD=FB=EC ，∴四边形CDFE 是平行四边形.4．【答案】（1）60°（2）解：∵四边形 是矩形，∴ ，∴ .由旋转的性质得 ，∴ ，∴ ，即旋转角 为30°.作 于点E.则 .5．【答案】（1）30°（2）解：无关．理由如下：由旋转变换可知：∠BAC=60°，∠CAD=α， = ， AB=AC=AD ，∴ ，，ABCD //AD BC 75CBB AB B ︒'∠=∠='CB CB ='75CB B CBB ︒∠'=∠='180757530BCB ︒︒︒︒∠--='=αB E BC '⊥122AB B E CB '='==()1180602ADB α∠=︒-+︒⎡⎤⎣⎦1202α︒-()11802ADC α∠=︒-()11202ADB α︒∠=-∴∠BDC=∠ADC-∠ADB= - =30° ，∴∠BDC 的大小与ɑ的度数无关．6．【答案】（1）②（2）解：如图（3）解：如图所示：△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称图形，对称中心的坐标为：（1，0）．7．【答案】（1）解：过点 作 ，垂足为点H ，交 于点F ．由题意得 （厘米）， ．∵四边形 是矩形，∴ ， ．在 中， 又∵ ， ，∴ ．∴ （厘米）答：点 到 的距离是 （厘米）．（2）解：连结 、 、 ．()11802α︒-()11202α︒-D 'D H BC '⊥AD 90AD AD =='60DAD ∠='︒ABCD AD BC 90AFD BHD ∠'=∠='︒Rt AD F ∆'sin 90sin 60D F AD DAD ︒=⋅∠=⋅='''40CE =30DE =70FH=70)D H D F FH ='++'=D 'BC ()70+AE AE 'EE '由题意得 ， ．∴ 是等边三角形．∴ ．∵四边形 是矩形，∴ ．在 中， ， ，∴（厘米）答：E 、 两点的距离是厘米．8．【答案】（1）解：∵∠BED ＝30°，△BDE 是直角三角形，∴∠EBD ＝90°－∠BED ＝60°．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是BC 的垂直平分线．∵BE ＝CE ，∠BEC ＝60°，∴△BCE 是等边三角形．∴BC ＝BE ．∵△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝90°，∴AB ＝BC ．∴BE ＝AB ．∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴AB ∥DE ，∴∠ABE ＝∠BED ＝30°．∴∠BAE ＝∠BEA ＝ (180°－∠ABE)＝75°．∴∠AEC ＝∠BAE ＋∠BEC ＝135°．（2）解：∵四边形BDFB ＇是平行四边形，∠FB ＇D ＝60°∴B ＇F ∥BD ，∴∠B D B ＇＝∠FB ＇D ＝60°AE AE ='60EAE ∠='︒AEE ∆'EE AE '=ABCD 90ADE ∠=︒Rt ADE ∆90AD =30DE =AE ===E '12即 ＝60°．（3）解：△B ＇DE 如图所示，AE ⊥DE 不成立，理由如下：DE 与AB 相交于点G ，假设AE ⊥DE ，则△AEG ∽△DBG ，设BG ＝a ，∠BDG ＝30°，∴DG ＝2a ，BD ＝ a ，AB ＝2 BD ＝ a ．∴AG ＝AB －BG ＝（－1）a ，B ＇D ＝BD ＝a ．∴DE ＝ ＝3a．∴GE ＝DE －DG＝3a －2a ＝a ．∴ ， ．∴ 与假设矛盾．∴AE ⊥DE 不成立．9．【答案】（1）30（2）解：当 时， （1）中的结论仍然成立．证明：如图1，连接 ．a tan 30B D＇AG DG ==1GE a GB a ==AG GE DG GB≠0360α<< BD，， ． ， ． ． ．，即 ． ，， ． ．，（3）解：线段 的长为 或 ．连接 ， 交于点 ．，， ，，∵DE=BE ，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，． ，∠B′EB=90°，， ． ， ． ．'AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒11(180)3022CBD ABC BAD∠=∠=︒-∠=︒ 'EBB CBD ∴∠=∠'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠'DBB EBF ∠=∠cos BF DBF BD ∠== cos ''BE EBB BB ∠=='BF BE BD BB ∴='DBB FBE ∆∆∽''EF BE DB BB ∴==EF 3+3-AC BD O AC DB ⊥ 1602BAO BAD ∠=∠=︒sin OB AB BAO ∴=⋅∠=2BD OB ∴==sin DE BE BD DBE ∴==⋅∠=='AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒'tan '2EB BE EBB ∴=⋅∠==分两种情况： 如图，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF ，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ， ． 如图，．①''2B D DE BE =+=+EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF D '∴==+=②''2B D DE B E =-=∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．综上所述，线段 的长为或 ．10．【答案】（1）证明：(1)在△ABC 和△AEP 中,∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∠ACB=∠APE,在△ABC 中,AB=BC. ∠ACB=∠BAC,∠EPA=∠EAP,（2）解： APCD 是矩形.四边形APCD 是平行四边形,AC=2EA,PD=2EP.由(1)知, ∠EPA=∠EAP.EA=EP ，进而AC=PDAPCD 是矩形.（3）解：EM=ENEA=EP, ∠EPA=90° - ∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+ 由(2)知, ∠CPB=90°,F 是BC 的中点, FP=FB,∠FPB=∠ABC= ，∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° -+ =90°+ ∠EAM=∠EPN∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ，EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF B D ∴===-'EF 33 ∴∴∴ ∴∴∴ ∴12α∴12α12α∴∴α∴12αα12α∴∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.△EAM ≌△EPN,EM=EN.11．【答案】（1）解：①证明：连结AC ，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，∴∠B+∠D=180°，且∠B=∠D ，∴∠B=∠D=90°，∵AB=AD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （HL ），∴BC=DC ；②解：延长CB ，使得CD=BE ，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠D=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE ，又∵AB=AD∴△ABE ≌△ADC ，∴AE=AC，∴∴∴∠BAE=∠DAC ，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AC=CE=CB+BE=CB+CD（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM ⊥AD ，D‘H ⊥AC ，由旋转图形的特点可知，CB=CD ，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，∴△∠BCB'≌△DCD‘，BB'=DD’，设D'H=x ，由勾股定理得：， HC=x，则，解得x=10， 即D'H=10，得，AD’=20，在Rt △AMC 中，∵，∠DAC=30°，∴，AM=（，-5，，∴DD’为D 点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .12．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝∠DCE ＝90°，∵四边形DEFG 是矩形，∴∠AGD ＝∠GDE ＝90°，∴∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ﹣∠ADE ＝∠GDE ﹣∠ADE ，∴∠EDC ＝∠ADG ，∵∠EDC ＝∠ADG ，∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∴△ECD ∽△AGD ，∴ ，∴DG•DE ＝DC•DA ＝6×6＝36，∴矩形DEFG 的面积＝DG•DE ＝36；（2）解： ，证明：把△BAP 绕着点B 顺时针旋转90°得到△BCK ，连接KH ，由旋转得△BAP ≌△BCK ，∴BK ＝BP ，∠PBA ＝∠KBC ，∠BCK ＝∠BAP ＝ ，∴∠HCK ＝ ＝ ，∴由勾股定理得， ，∵∠PBE ＝45°，∴∠PBA+∠ABE ＝45°，∵∠PBA ＝∠KBC ，∴∠KBC+∠ABE ＝45°，∵∠ABC ＝90°，∴∠HBK ＝45°，∵∠PBE ＝45°，∴∠HBK ＝∠PBE ＝45°，∵BK ＝BP ，∠HBK ＝∠PBE ，BH ＝BH ，∴△BHP ≌△BHK （SAS ），CD DE DG DA=222CH PA HP +＝18045135︒-︒=︒BCK BCA ∠-∠1354590︒-︒=︒222CH PA KH +＝∴HK ＝HP ，∵ ，∴ ；（3）解：把△BMC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△BKN ，连接MK ，BN ，NC ，由旋转得，△BMC ≌△BKN ，∴MC ＝KN ，BM ＝BK ，∵BM ＝BK ，∠MBK ＝60°，∴△BKM 是等边三角形，∴MK ＝BM ，∴MA+MB+MC ＝AM+MK+KN ，当A ，M ，K ，N 四点共线时，AN 就是所求的MA+MB+MC 的最小值，过N 作NQ ⊥AB 交AB 的延长线于Q ，∵ ，∠BQN ＝90°，∴QN ＝BN•sin30°＝6× ＝3，BQ ＝BN•cos30°＝ ，∴AQ ＝AB+BQ ＝，在Rt △AQN 中，由勾股定理得，，∴ 的最小值为 .13．【答案】（1）CD=2BF ；BF ⊥CD（2）解：BF ⊥CD ，CD=2BF 成立，证明：∵△ABC 与△DBE 都是等腰直角三角形，∴AB=BC ，DB=EB ，∠ABC=∠DBE=90°，222CH PA KH +＝222CH PA HP +＝180906030NBQ ∠︒-︒-︒=︒＝126=6+(222226372AN AQ QN +=++=+＝2y 72+如图②，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBG ，点E 、F 的对应点分别是G 、H ，连BH ， 则△ABE ≌△CBG ，BE=BG ，AE=CG ，BF=BH ，∠FBH=∠EBG=90°，AF=CH ，EF=GH ， ∴BF ⊥BH ，∵AF=EF ，∴CH=GH ，∵∠DBE=90°，∴∠DBE+∠EBG=180°，∴D 、B 、G 三点共线，∴BH ∥CD ，，∴BF ⊥CD ，，即CD=2BF ，∴BF ⊥CD ，CD=2BF 成立；（3）14．【答案】（1）DE=BC ；12.5（2）解：过点D 作BC 边上的高DE ，如图，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE ，又∵∠ACB=∠E=90°，AB=BD ，∴ ，∴，12BH CD =12BF CD =13BF ≤≤ACB BED ≌BC DE =又 .∴ 的面积为：.（3）解：作 于G ，过点D 作BC 边上的高DE ，如图，由（2）同理，可证 ，∴ ，又 ，∵AB=AC ， ，∴ .∴ 的面积为： .15．【答案】（1）NM=NP ；60°（2）证明：由旋转得：∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵点M ，N ，P 分别为DE ，BE ，BC 的中点，∴MN= BD ，PN= CE ，MN ∥BD ，PN ∥CE ，∴MN=PN ，∠ENM=∠EBD ，∠BPN=∠BCE ，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB ，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE ，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP 是等边三角形；（322()()4mn BC m n m n =+--=BCD 221448m n 2mn mn ⨯⨯=AGB BED ≌BG DE =BC a b c =++BC a b c =++11()22BG BC a b c ==++BCD 2111()()()224a b c a b c a b c ⨯++⨯++=++121216．【答案】（1）4（2）解：如图②中，连接BD ，取AC 的中点O ，连接OB ，OD.∵∠ABD ＝∠ADC ＝90°，AO ＝OC ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DBC ＝∠DAC ，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴∠DBQ ＝45°，根据垂线段最短可知，当QD ⊥BD 时，QD 的值最短，DQ 的最小值＝BQ ＝5 .（3）解：如图③中，将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△EDA ， ∵∠ABC+∠ADC ＝180°，∴∠BCD+∠BAD ＝∠EAD+BAD ＝180°，∴B ，A ，E 三点共线，∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，∴BE ＝ BD ，∴AB+BC ＝AB+AE ＝BE ＝BD，∴BC+BC+BD ＝（ +1）BD ，∴当BD 最大时，AB+BC+BD 的值最大，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴当BD 为直径时，BD 的值最大，∵∠ADC ＝90°，∴AC 是直径，∴BD ＝AC 时，AB+BC+BD 的值最大，最大值＝600（ +1）.17．【答案】（1）解：∵点C 的纵坐标为2 ，点c 在直线l 2：y= ∴点C(-1，2 )设l 1的表达式为y= kx+ b将A(-3，0)、C(-1，2)代入， 解得故直线l 1的表达式为：y=x+3 （2）解：作点a关于y 轴的对称点A(3，0)，将点a4向上平移个单位长度得E (3，)连接E'C 交y 轴于点E ，在E下方取EF= ，则点F是所求点，将点C 、E' 的坐标代入一次函数表达式，同理可得： CE' 的函数表达式为：y= 故点E(0，)，点F(0，)CE+EF+4F 的最小值=FE+CE'= +．（3）M(5+8，0)或(5-8，0)或(-3，0)或(-19，0) x +03k bk b=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩x +18．【答案】（1）AE=BD ；AE ⊥BD（2）解： 仍然成立.由题意得，∵△ACD 和△BCE 是等腰直角三角形即 ，∴∴ .∴∴ .（3）解： 连接BD.由（2）可知，AE=BD ，在△ABD 中，且 ，所以 即 在AB 绕点A 旋转过程中，当A ，B ，D 三点在一条直线上时， 或者,AE BD AE BD =⊥90ACD DCE ECB DCE DCE ︒∴∠+∠=∠+∠=+∠,,ACE DCB AC CD EC CB ∠=∠==ACE DCB∆≅∆,12AE DB =∠=∠180(4512)90EFB ︒︒︒∠=--∠+∠=AE BD⊥77AE -≤≤7AD AB ===77BD <<+77AE -<<+7AE =7AE =∴ ≤AE≤ 19．【答案】（1（2）解：无变化,理由: 由(1)知,CD=1, ,∴,∴ ,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD ∽△BCE,∴,（3）解：线段BE 的长为或 ，理由如下： 当点D 在线段AE 上时,如图2,过点C 作CF ⊥AE 于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴ ,∴,7-7+CE BE ==CD CE =AC BC =CD AC CE BC ==AD AC BE BC ==1122DF CD ==CF ==在Rt △AFC 中,AC=2,根据勾股定理得, ,∴AD=AF+DF=,由(2)知, ,∴当点D在线段AE 的延长线上时,如图3,过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴ ,∴ ,在Rt △ACG 中,根据勾股定理得,,∴ ,由(2)知,,∴即:线段BE 的长为或.AF ==AD BE =BE ==1122DG CD ==CG ==AG =AD AG DG =-=AD BE =BE ==20．【答案】（1）①145；②∠BCD+∠ACE ＝180°，理由如下：∵∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠BCD+∠ACE ＝∠BCD+∠ACB+∠BCE ＝∠ACB+∠DCE ＝90°+90°＝180°；（2）解：三角板ABC 和CDE 重合之前，∠ACE ＝180°-10°t ，∠BCD ＝10°t ，依题意有180°-10°t ＝2×10°t ，解得t ＝6；三角板ABC 和CDE 重合之后，∠ACE ＝10°t-180°，∠BCD ＝360°-10°t ，依题意有10°t-180°＝2×（360°-10°t ），解得t ＝30．故当t ＝6或30秒时，有∠ACE ＝2∠BCD ．故答案为：6或30．21．【答案】（1）4（2）解：AM•CN 的值不会改变.连接BD ，在△ADM 与△CND 中，∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，∴∠ADM=∠CND ，∴△ADM ∽△CND∴ ，∴AM•CN=AD•CD=2×2=4，∴AM•CN 的值不会改变；（3）解：情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM ＜4，即1＜x ＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形AD AM CN CD如图2，过D 作DQ ⊥AB 于Q ，DG ⊥BC 于G ，∴DQ=DG= ，由（2）知，AM•CN=4，得CN=，于是y=（1＜x ＜4）； 情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN ，如图3，过点D 作DH ∥BC 交AM 于H ，易证△MBP ∽△MHD ，∴ ，又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2,∴BP=，∴PN=4－ ，于是y= ，综上所述，1＜x ＜4时，y=；x≥4时，y= 22．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，将点代入得，4x 21122AB AM DQ CN DG x -⋅-⋅=BP MB DH MH=282x x --4282x x x ---114284222x PN DG x x -⎛⎫⋅=--= ⎪-⎝⎭x ()214y a x =--()03C -，解得：∴抛物线解析式为当时，解得：，∵点在点的左侧，∴，；（2）解：∵，抛物线，与轴相交于，两点∴，对称轴为直线，设，则，∴∵点绕点逆时针方向旋转得到，则点一定在第四象限，如图所示，则，，∵，两点关于点中心对称，∴解得：，则∴，1a =()214y x =--0y =()2140x --=1213x x =-=，A B ()10A -，()30B ，()14M -，2y ax bx c =++x A B 0a >1x =()0A m ，()20B m -，222AB m m m=--=-A B 90︒A 'A '22BA BA m ='=-()222A m m '--，A 1A M 228m -=-3m =-()58A '-，()30A -，()50B ，将点代入得，解得：∴抛物线解析式为；（3）解：如图所示，设交于点，由（1）可得，，设直线的解析式为，将点代入得，解得所以直线的解析式为，∵抛物线解析式为，设，则，∴，∵轴，轴，由∵则是等腰直角三角形，∴()30A -，()214y a x =--1640a -=14a =()21144y x =--PE BC F ()30B ，()03C -，BC 3y kx =-()30B ，330k -=1k =BC 3y x =-()221423y x x x =--=--()223P t t t --，()0E t ，()3F t t -，223233FP t t t t t =--++=-+223PE t t =-++PD x PE y OC OB=OCB 45FDP OBC ∠=∠=︒∴也是等腰直角三角形，∴∴∴当时，取得最大值此时，即．PDF PD PF=PD PE+22323t t t t =-+-++2253t t =-++252525232168t t ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭2549248t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭54t =PD PE +498225632314416t t ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭563416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
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o，四边形 CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图
2）．
（ 1）在上述旋转过程中， ①BH与 CK有怎样的数量关系？②四边形 现的结论．
CHGK的面积是否发生变化？并证明你发
5 （ 2）如图， 连接 KH，在上述旋转过程中， 是否存在某一 位置使△ GKH的面积恰好等于△ ABC面积的 18 ？若
2
135 22 135 =
23 =。
360
360
4
三 . 四边形旋转问题 5. 如图 1，把边长分别是为 4 和 2 的两个正方形纸片 OABC和 OD′E′F′叠放在一起．
（ 1）操作 1：固定正方形 OABC，将正方形 OD′E′F′绕点 O按顺时针方向 旋转 45 °得到正方形 ODEF，如 图 2，连接 AD、 CF，线段 AD与 CF 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； （ 2）操作 2，如图 2，将正 方形 ODEF沿着射线 DB以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的正 方形 ODEF设为 正方形 PQM，N 如图 3，设正方形 PQMN移动的时间为 x 秒，正方形 PQMN与正方形 OABC的重叠部分面积为 y， 直接写出 y 与 x 之间的函数解析式； （ 3）操作 3：固定正方形 OABC，将正方形 OD′E′F′绕点 O按顺时针方向旋转 90°得到正方形 OHKL，如 图 4，求△ ACK 的面积．
②∵ l 4 与 l 5 的夹角是为 900，∴ l 5 与 x 轴的夹角是为 300。
设 l 5 的解析式为 y k 2x b2 （ k 2≠ 0），
∵直线 l 5 与 x 轴的正方向所成的角为钝角，∴
k 2=－tan30 0=
3 。
3
又∵直线 l 5 经过点（ 1， 0），∴ 0
3 3 b2 ，即 b2
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它
图形的问题。 一 . 直线（线段）的旋转问题
1. 如图，直线 l ： y
3 x 3 与 y 轴交于点 A，将直线 l 绕点 A 顺 时针旋转 75o 后，所得直线的解
析式为【
】
A． y 3 x 3 【答案】 B。
，待定系数法的应用，直线上点的
坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
二 . 三角形的旋转问题
3. 有两个全等的等腰直角三角板 ABC和 EFG其直角边长均为 6（如图 1 所示）叠放在一起，使三角板 EFG
的直角顶点 G与三角板 ABC的斜边中点 O重合．现将三角板 EFG绕 O点顺时针旋转，旋转角满足 0＜o＜ 90
3 。
3
∴直线 l 5 的函数表达式为 y
3
3
x
。
3
3
（ 3）通过观察（ 1）（ 2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中
自变量的系数互为负倒数关系，
11 ∴过点（ 1， 1）且与直线 y x 垂直的直线 l 6 的函数表达式为 y
55
5x 6 。
【考点】 一次函数综合题，旋转问题，探索规律题（图形的变化类）
D． 7 周
故选 B。 8. 已知抛物线 C： y ax2 bx c a < 0 过原点，与 x 轴的另一个交点为 B(4 ， 0) ， A 为抛物线 C 的顶
点，直线 OA的解析式为 y 式。
3 x ，将抛物线 C 绕原点 O 旋转 180 °得到抛物线 C1，求抛物线 C、 C1 的解析
3
【答案】 如图，过 A 作 AE⊥ OB于 E，
存在，请求出此时 KC的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) ① BH=CK，②不变；（ 2）x=2 或 x=4 【解析】
试题分析：（ 1）先由 ASA 证出△ CGK≌△ BGH，再根据全等三角形的性质得出
BH=CK，根据全等得出四边形
CKGH的面积等于三角形 ACB面积一半；
S△ GHK
∴ 抛物线 C 的解析式为 y
3 (x
2) 2
23 ，即 y
6
3
又∵抛物线 C1 是由抛物线 C绕原点 O旋转 180°得到，
∴ 抛物线 C、 C1 关于原点对称。
3 x2
23 x。
6
3
23
∴抛物线 C1 的顶点坐标 A1 为 Nhomakorabea( 2,
)。
3
∴抛物线 C1 的解析式为 y
3 (x 2) 2 2 3 ，即 y
针方向旋转 90°，此时，点 O运动到了点 O1 处（即点 B 处），点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处，
又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点，按顺时针方向旋转 90°…，按上述方法经过 4 次旋转后，顶点 O经过的总
路程为
，经过 61 次旋转后，顶点 O经过的总路程为
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转
180°，如果
它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，
这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转
180 度后能与自身重合，
这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
CQGZ的面积，即等于△ ACB面
5 （ 2）假设存在使△ GKH的面积恰好等于△ ABC面积的 18 的位置．
设 BH=x，由题意及（ 1）中结论可 得， CK=BH=，x CH=CB-BH=6-x，
S△ CKH
1 CH CK
3x 1 x2
2
2，
S△ GHK
S四边形 CKGH
S△ CKH
1 x2 3x 9
B ．y x 3
C ．y x 3 D ．y x 3
【考点】 旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三 角函数值。
【分析】 如图，由已知，可求直线 y
3 x 3 与 x 、 y 轴的交点分别为 B（ 1， 0）， A（ 0， 3 ），
2. 根据要求，解答下列问题： （ 1）已知直线 l 1 的函数表达式为 y x 1 ，直接写出：①过原点且与 l 1 垂直的直线 l 2 的函数表达式；②过
（ 3）分别观察（ 1）（ 2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的
系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点
11 （ 1，1）且与直线 y x 垂直的直线 l 6 的函数表达式。
55
【答案】（ 1）① y ②y
x。 x 1。
（ 2）①设直线 l 4 的函数表达式为 y k1 x b1 （ k1≠ 0），
专题 22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、
面）整体绕一固 定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、
旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图
．
【答案】
，
四 . 其它图形的问题
7. 如图，正六边形的边长为 π，半径是 1 的⊙ O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在正六边形外部按
顺时针方向沿正六边形滚动，又回 到与 AB相切于点 D的位置，则⊙ O自转了【
】
A． 4 周
B． 5 周
C． 6 周
【答案】 B。
【考点】 多边形内角和定理，直线与圆的位置关系。
6
3
3 x2 2 3 x 。
6
3
【考点】 二次函数图象的对称性，待定系数法，曲线上点的坐标与
方程的 关系，旋转的性质。
2
，
4. 如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=45°， AB=2．将△ ABC绕顶点 A 顺时针方向旋转至△ AB′C′
的位置， B， A，C′三点共线，则线段 BC扫过的区域面积为
．
【答案】 3 。 4
【考点】 扇形面积的计算，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，转换思想的应用。 【分析】 先根据 Rt △ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， AB=2求出 BC及 AC的长，再根据线段 BC扫过的区 域面积为：
（ 2）根据面积公式得出
S四边形 CKGH
S△ CKH
1 x 2 3x 9
2
，根据△ GKH 的面积恰好等于△ ABC
5 面积的 18 ，代入得出方程即可求得结果．
（ 1） BH与 CK的数量关系： BH=CK，理由是： 连接 OC，由直角三角形斜边上中线性质得出 OC=BG，
四边形 CHGK的面积的变化情况：四边形 CHGK的面积不变，始终等于四边形 积的一半，等于 9；
点（ 1， 0）且与 l 1 垂直的直线 l 2 的函数表达式； （ 2）如图，过点（ 1，0）的直线 l 4 向上的方 向与 x 轴的正方 向所成的角为 600，①求直线 l 4 的函数表达式； ②把直线 l 4 绕点（ 1，0）按逆时针方向旋转 900 得到的直线 l 5，求直线 l 5 的函数表达式；
【答案】（1）相等 见解析 【解析】解： （ 1）相等
（ 2）见解析
（ 3） 8
（ 3）连接 OK，
∵∠ COK∠= ACO=4°5 ， ∴OK∥AC， ∴Ｓ△ACK=S△AOC=8．
6. 把边长为 1 的正方形纸片 OABC放在直线 m上， OA边在直线 m上，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时
形的对应点到旋转中心的距离相等，
即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；
旋转前、 后 的
图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。