高考总复习课件概率与统计
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新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项六概率与统计综合问题pptx课件北师大版
(0.01+0.002
1
5)×20=0.25=4.
故从全省考生中随机选取 3 人,成绩在 110 及以上的考生人数 X~B
1
P(X=k)=C3 4
X 的分布列为
1 3-
1- 4
=
3 3-
1
C3 4
,k=0,1,2,3.
4
1
3, 4
.则
X
P
由于 X~B
1
3,
4
0
1
27
64
1
,∴EX=np=3×
, = −
∑ ( -)
=1
2
解(1) =
87+90+91+92+95
=91,
5
=
86+89+89+92+94
=90,
5
5
∑ (xi-x)2=(-4)2+(-1)2+02+12+42=34,
=1
5
∑ (xi-)(yi-)=(-4)×(-4)+(-1)×(-1)+0×(-1)+1×2+4×4=35,
i=1
^
所以 =
^= − ^=90-35×91=-125,来自35,
34
故线性回归方程为
34
35 125
Y=34X- 34 .
34
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S2,S3,S4,S5,共4人,
他们笔试和抢答的成绩平均分分别为89.5,90,92,94.5,平均分高于90分的有
(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况,现从全省考生中随机选
1
5)×20=0.25=4.
故从全省考生中随机选取 3 人,成绩在 110 及以上的考生人数 X~B
1
P(X=k)=C3 4
X 的分布列为
1 3-
1- 4
=
3 3-
1
C3 4
,k=0,1,2,3.
4
1
3, 4
.则
X
P
由于 X~B
1
3,
4
0
1
27
64
1
,∴EX=np=3×
, = −
∑ ( -)
=1
2
解(1) =
87+90+91+92+95
=91,
5
=
86+89+89+92+94
=90,
5
5
∑ (xi-x)2=(-4)2+(-1)2+02+12+42=34,
=1
5
∑ (xi-)(yi-)=(-4)×(-4)+(-1)×(-1)+0×(-1)+1×2+4×4=35,
i=1
^
所以 =
^= − ^=90-35×91=-125,来自35,
34
故线性回归方程为
34
35 125
Y=34X- 34 .
34
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有S2,S3,S4,S5,共4人,
他们笔试和抢答的成绩平均分分别为89.5,90,92,94.5,平均分高于90分的有
(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况,现从全省考生中随机选
高考总复习二轮数学精品课件 专题4 概率与统计 培优拓展(七) 非线性回归问题
()
0.778
(2 )
(2 )(|2 )
0.2×0.8
P(A2|C)=
=
=
,
()
()
0.778
(3 )
(3 )(|3 )
0.6×0.75
P(A3|C)= () =
= 0.778 ,
()
因为 0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8,
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题:
①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的
概率;
②若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他
地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不
断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率
yi(i=1,2,…,10)(单位:%)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到
的一些统计量的值.
x
y
2017.5
80.4
10
∑
t
1.5
其中 ti=ln(xi-2012), =
147.700
^
= − ≈-3.849,
=1
^
所以 w 关于 x 的经验回归方程为=-3.849+0.272x,
^
因此 y 关于 x 的非线性经验回归方程为 =e-3.849+0.272x.
本 课 结 束
0.778
(2 )
(2 )(|2 )
0.2×0.8
P(A2|C)=
=
=
,
()
()
0.778
(3 )
(3 )(|3 )
0.6×0.75
P(A3|C)= () =
= 0.778 ,
()
因为 0.6×0.75>0.2×0.84>0.2×0.8,
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
率的估计值分别为80%和75%,试解决以下问题:
①现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的
概率;
②若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他
地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不
断提升.以下是根据近10年年份数xi与该机场飞往A地航班放行准点率
yi(i=1,2,…,10)(单位:%)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到
的一些统计量的值.
x
y
2017.5
80.4
10
∑
t
1.5
其中 ti=ln(xi-2012), =
147.700
^
= − ≈-3.849,
=1
^
所以 w 关于 x 的经验回归方程为=-3.849+0.272x,
^
因此 y 关于 x 的非线性经验回归方程为 =e-3.849+0.272x.
本 课 结 束
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题
X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检 验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率 问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬 奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自 亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是 否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计 的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年 重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识 竞赛，现从中随机抽取了100名学生的 成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]， 统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，
高考数学一轮总复习课件：概率与统计的综合问题
b^＝∑i＝n1i∑x＝ni1－（－xx（i－y－ix－）－y2）＝∑i＝ni∑1＝nx1ixyii2－－nn－－xx －2y ，^a＝－y －b^－x .
【解析】 (1)根据表中数据，描点如图：
(2)由已知数据得
－t
＝
1＋2＋3＋4＋5＋6 6
＝3.5，
－y
＝
3＋5＋8＋611＋13＋14＝9，
用情况，得到统计表如下：
居民用气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量 (立方米)
95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数 关系式；
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超
(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348
立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过
348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝
C73 C103
＝274，P(ξ＝1)＝CC721C0331＝2410，
P(ξ＝2)＝CC711C0332＝470，P(ξ＝3)＝CC13033＝1120，
例3 (2021·哈尔滨三中模拟)为了解某校学生参加社区服务
的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有
学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样 本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时 男 女
不超过1小时
20
8
12
m
(1)求m，n；
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间
专题研究 概率与统计的综合问题
【解析】 (1)根据表中数据，描点如图：
(2)由已知数据得
－t
＝
1＋2＋3＋4＋5＋6 6
＝3.5，
－y
＝
3＋5＋8＋611＋13＋14＝9，
用情况，得到统计表如下：
居民用气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量 (立方米)
95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数 关系式；
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超
(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348
立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过
348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝
C73 C103
＝274，P(ξ＝1)＝CC721C0331＝2410，
P(ξ＝2)＝CC711C0332＝470，P(ξ＝3)＝CC13033＝1120，
例3 (2021·哈尔滨三中模拟)为了解某校学生参加社区服务
的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有
学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样 本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时 男 女
不超过1小时
20
8
12
m
(1)求m，n；
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间
专题研究 概率与统计的综合问题
高考二轮总复习课件(适用于新高考新教材)数学专题四概率与统计
)
答案 CD
解析 =
1
∑ xi,y
=1
=
1 n
∑
n i=1
数相差 c,故 B 错误;2 =
+ = +c,故 A 错误;两组样本数据的样本中位
1
∑ (xi-)2,2
=1
=
1
∑ [(xi+c)-(+c)]2=2 ,故
=1
x 极差=xmax-xmin,y 极差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故 D 正确.
设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值
xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则称下表为离散型随机变量X的分布列.
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
名师点析
1.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)pi≥0(i=1,2,…,n);
C 正确;
6.(2022·全国乙·文19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青
山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每
棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
10
10
10
=1
i=1
=1
并计算得 ∑ xi2 =0.038, ∑ 2 =1.615 8, ∑ xiyi=0.247 4.
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
)
答案 B
新教材高考数学一轮复习：概率与统计课件
6
=
C 24
P(ξ=0)= 2
C6
=
6
15
=
2
C 12 C 14
,P(ξ=1)= 2
5
C6
1
,
15
故 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
P(ξ)
2
5
8
15
1
15
=
8
,
15
^
^
^
(2)由散点图可知 = bz+更适合于此模型.其中
6
^
∑ -6
= =16
2
∑ 2 -6
=
^
-1.07
量的散布列、数学期望与方差、超几何散布、二项散布、正态散布等基
础知识和基本方法.
二、考查方向分散
从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计
与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数
字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率散
布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率散布的综合,常与抽样方
10
零假设为H0:“使用手机支付”与年龄无关联.
年龄不低于45岁
15
15
根据列联表中的数据,经计算得到
2
100×(60×15-15×10)
χ2=
≈14.286>10.828=x0.001.
75×25×70×30
根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为“使用手机支付”
与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
与 = z+ 哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判
=
C 24
P(ξ=0)= 2
C6
=
6
15
=
2
C 12 C 14
,P(ξ=1)= 2
5
C6
1
,
15
故 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
P(ξ)
2
5
8
15
1
15
=
8
,
15
^
^
^
(2)由散点图可知 = bz+更适合于此模型.其中
6
^
∑ -6
= =16
2
∑ 2 -6
=
^
-1.07
量的散布列、数学期望与方差、超几何散布、二项散布、正态散布等基
础知识和基本方法.
二、考查方向分散
从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计
与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数
字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率散
布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率散布的综合,常与抽样方
10
零假设为H0:“使用手机支付”与年龄无关联.
年龄不低于45岁
15
15
根据列联表中的数据,经计算得到
2
100×(60×15-15×10)
χ2=
≈14.286>10.828=x0.001.
75×25×70×30
根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为“使用手机支付”
与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
与 = z+ 哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.4二项式定理
例2 在 2 − 3
10 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
返回至目录
解：设 2 − 3
10
= 0 10 + 1 9 + 2 8 2 + ⋯ + 10 10 ∗ .
数和等于偶数项的二项式系数和，即C0 + C2 + C4 + ⋯ = C1 + C3 + C5 + ⋯ = 2−1 .
返回至目录
常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成
就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
返回至目录
（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4，⋯ ,第三层（含1，3）是
2
>
+1
时，C 随
2
+1
2
的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即______的
+1
+1+1
二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项_____与_______的二项式系
2
2
数相等且最大.
2
（3）各二项式系数的和：C0 + C1 + C2 + ⋯ + C =____，且奇数项的二项式系
( ×)
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.
( ×)
（3） + 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.
10 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
返回至目录
解：设 2 − 3
10
= 0 10 + 1 9 + 2 8 2 + ⋯ + 10 10 ∗ .
数和等于偶数项的二项式系数和，即C0 + C2 + C4 + ⋯ = C1 + C3 + C5 + ⋯ = 2−1 .
返回至目录
常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成
就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
返回至目录
（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4，⋯ ,第三层（含1，3）是
2
>
+1
时，C 随
2
+1
2
的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即______的
+1
+1+1
二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项_____与_______的二项式系
2
2
数相等且最大.
2
（3）各二项式系数的和：C0 + C1 + C2 + ⋯ + C =____，且奇数项的二项式系
( ×)
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.
( ×)
（3） + 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题4 概率与统计 考点突破练11 概率与统计的综合问题
=78.3,
∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
(2)由题意可知,A 小区即方案一中,满意度不低于 70 分的频率为
(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为 62%,B 小区即方案
二中,满意度不低于 70 分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计
方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
A小区 方案一
B小区 方案二
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种
方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中
即 x>178 时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,
即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势.
^
(2)由 =0.5x+89 可得
^ =0.5×160+89=169,^ =174,^ =176.5,^ =181.5,^ =184,
1
2
3
4
5
5 ^
^
所以 ∑ =885,又因为 ∑ y =885,所以 ∑
取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制
了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).
(1)求样本平均数和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)
(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.
∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
(2)由题意可知,A 小区即方案一中,满意度不低于 70 分的频率为
(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为 62%,B 小区即方案
二中,满意度不低于 70 分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计
方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
A小区 方案一
B小区 方案二
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种
方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中
即 x>178 时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,
即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势.
^
(2)由 =0.5x+89 可得
^ =0.5×160+89=169,^ =174,^ =176.5,^ =181.5,^ =184,
1
2
3
4
5
5 ^
^
所以 ∑ =885,又因为 ∑ y =885,所以 ∑
取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制
了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).
(1)求样本平均数和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)
(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.
2024届新教材高考数学二轮复习 概率 课件(69张)
A.15
B．13
C．25
D．23
【解析】 从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
(5,6)，15 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，
2.古典概型 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
多 维 题 组·明 技 法
角度1：随机事件的关系 1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中 任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D ) A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治 C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率 为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－ β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率 大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3 表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与 事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选 项A，C，D错误，选项B正确．故选B.
高考数学二轮总复习专题19概率与统计(共37张PPT)
关闭
=
10 ������ +10a
= ������ +a=1+a.
关闭
A
解析
答案
-6能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
4.(2014 天津高考,理 9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个 容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级 的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名 学生. 命题定位:本题考查分层抽样的定义及其应用,分层抽样题目中最核心 的是把握好层数和抽样比.
关闭
依题意知,应从一年级本科生中抽取
4 4+5+5+6
×300=60(名).
关闭
60
解析 答案
-7能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点四
能力突破点一 用样本估计总体
思考 1:频率分布直方图有哪些性质? 提示:(1)小长方形的面积=组距×
频率 组距
=频率;
-3能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
1.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一 天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
1 3 5 4 A . B . C . (方法一 )由题意知基本事件总数为 8 8 8 2 =16,
2
7 D. 8
16 8
A2
(方法二)周六没有同学参加公益活动即 4 位同学均在周日参加公益活 动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所 以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有 16-2=14(种).故所求概率 为 D 16 = 8.故选 D.
=
10 ������ +10a
= ������ +a=1+a.
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A
解析
答案
-6能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
4.(2014 天津高考,理 9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个 容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级 的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名 学生. 命题定位:本题考查分层抽样的定义及其应用,分层抽样题目中最核心 的是把握好层数和抽样比.
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依题意知,应从一年级本科生中抽取
4 4+5+5+6
×300=60(名).
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60
解析 答案
-7能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点四
能力突破点一 用样本估计总体
思考 1:频率分布直方图有哪些性质? 提示:(1)小长方形的面积=组距×
频率 组距
=频率;
-3能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
1.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一 天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
1 3 5 4 A . B . C . (方法一 )由题意知基本事件总数为 8 8 8 2 =16,
2
7 D. 8
16 8
A2
(方法二)周六没有同学参加公益活动即 4 位同学均在周日参加公益活 动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所 以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有 16-2=14(种).故所求概率 为 D 16 = 8.故选 D.
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-专题突破18概率与统计综合问题
哪类问题.
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解：（1）设 =“小张选择甲类问题”， =“小张答对所选问题”， =“小张至少答对
一个问题”，则 =“小张选择乙类问题”， =“小张未答对所选问题”， =
“小张一个问题都没答对”.
由题意，知 = = 0.5， | = 0.9， | = 0.1， | = 0.7，
= 0 × 0.3 + 50 × 0.07 + 80 × 0.63 = 53.9.
因为 > ，所以小张应选择先回答甲类问题．
【点拨】概率中的比赛问题是高考命题热点,常以生活中常见赛制为背景,通过设
置一定的限制条件,考查考生逻辑思维能力及利用概率知识解决实际问题的能力.
返回至目录
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505 g的产品数量；
（2）在抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过505 g的产品数量，求的分布列；
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 g的概率．
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解：（1）根据频率分布直方图，可知重量超过505 g的频率为 0.05 + 0.01 × 5 = 0.3.
第九章 概率与统计
专题突破18 概率与统计综合问题
核心考点
课时作业
考点一 概率中的比赛问题
例1 某学校组织“数学文化”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两
类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比
种选法，
所以某箱产品抽检被记为B的概率 = 1 −
C2 +C22
C2+2
=1−
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解：（1）设 =“小张选择甲类问题”， =“小张答对所选问题”， =“小张至少答对
一个问题”，则 =“小张选择乙类问题”， =“小张未答对所选问题”， =
“小张一个问题都没答对”.
由题意，知 = = 0.5， | = 0.9， | = 0.1， | = 0.7，
= 0 × 0.3 + 50 × 0.07 + 80 × 0.63 = 53.9.
因为 > ，所以小张应选择先回答甲类问题．
【点拨】概率中的比赛问题是高考命题热点,常以生活中常见赛制为背景,通过设
置一定的限制条件,考查考生逻辑思维能力及利用概率知识解决实际问题的能力.
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（1）根据频率分布直方图，求重量超过505 g的产品数量；
（2）在抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过505 g的产品数量，求的分布列；
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 g的概率．
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解：（1）根据频率分布直方图，可知重量超过505 g的频率为 0.05 + 0.01 × 5 = 0.3.
第九章 概率与统计
专题突破18 概率与统计综合问题
核心考点
课时作业
考点一 概率中的比赛问题
例1 某学校组织“数学文化”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两
类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比
种选法，
所以某箱产品抽检被记为B的概率 = 1 −
C2 +C22
C2+2
=1−
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.9正态分布
（单位：cm）分别为76，85，93，99，108，以原设备生产性能为标准，试问这台设
备是否需要进一步调试，说明你的理由.
附：若～ , 2 ，则 − 2 < < + 2 ≈ 0.954 5，
− 3 < < + 3 ≈ 0.997 3.
返回至目录
解：（1） =
2 =
1
10
1
10
× 87 + 87 + 88 + 92 + 95 + 97 + 98 + 99 + 103 + 104 = 95，
× 64 + 64 + 49 + 9 + 0 + 4 + 9 + 16 + 64 + 81 = 36，则 = 6.
（2）①因为 ∼ 95,36 ，所以
> 107 = > + 2 ≈ 0.5 −
率约为
1
2
1 − 0.682 7 = 0.158 65.所以理论上在130分以上的人数约为0.158 65 × 40 ≈
6.故选C.
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考点三 正态分布的应用
例3 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径（单位：cm）的
数据如下：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
返回至目录
（4）在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着 的变化而沿
轴
_____平移，如图1所示.
图1
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（5）当 取定值时，正态曲线的形状由 确定.当 较小时，峰值高，曲线
备是否需要进一步调试，说明你的理由.
附：若～ , 2 ，则 − 2 < < + 2 ≈ 0.954 5，
− 3 < < + 3 ≈ 0.997 3.
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解：（1） =
2 =
1
10
1
10
× 87 + 87 + 88 + 92 + 95 + 97 + 98 + 99 + 103 + 104 = 95，
× 64 + 64 + 49 + 9 + 0 + 4 + 9 + 16 + 64 + 81 = 36，则 = 6.
（2）①因为 ∼ 95,36 ，所以
> 107 = > + 2 ≈ 0.5 −
率约为
1
2
1 − 0.682 7 = 0.158 65.所以理论上在130分以上的人数约为0.158 65 × 40 ≈
6.故选C.
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考点三 正态分布的应用
例3 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径（单位：cm）的
数据如下：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
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（4）在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着 的变化而沿
轴
_____平移，如图1所示.
图1
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（5）当 取定值时，正态曲线的形状由 确定.当 较小时，峰值高，曲线
高三年级复习概率与统计复习PPT1
炼
高考卷13题,XX高考卷6题等,20XXXX高考卷12题,XX高考
课 后 强
卷13题,全国卷Ⅲ13题.20XXXX卷3题,XX卷6题,全国卷
化
作 业
Ⅲ16题等.
首页
上页
下页
末页
选修Ⅰ 第12章 统计
知 识
20XXXX卷7题,XX卷8题,XX卷3题,XX卷6题等．主要考查
梳
理 了抽样方法、总体的期望与方差,对于这一现象应引起高
法
提 炼
不如采用分层抽样可靠性高,且统一编号统一选择加大了
工作量；C中总体采用了分层抽样,但在每个层次中没有考
课
后 强
虑到个体的差层<如健壮程度,灵活程度>,貌似随机,实则各
化
作 业
个个体概率不等,故选D.
首页
上页
下页
末页
选修Ⅰ 第12章 统计
知
识 梳
<2009·XX,5>某单位共有老、中、青职工430人,其
梳
理 和各组的频数如下：
课 堂
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
题
型 设
频数
12
13
24
15
16
13
7
计
规
则样本数据落在<10,40]上的频率为
<>
律
方 法
A．0.13 B．0.39 C．0.52 ? D．0.64
提
炼
解析：由列表可知样本数据落在<10,40]上的频数为
计
<>
B．把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽
高考数学一轮总复习 专题6 概率与统计综合课件 理
2021/12/11
第二页，共十三页。
【例题】 (2018·高考全国卷Ⅱ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱 产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检 验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有 产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1)，且各件产品是否为不 合格品相互独立．
2021/12/11
第十一页，共十三页。
2021/12/11
第十二页，共十三页。
专题六 概率(gàilǜ)与统计综合
内容(nèiróng)总结
No
Image
12/11/2021
第十三页，共十三页。
2021/12/11
第三页，共十三页。
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0. (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要 对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X， 求 EX； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品 作检验？
2021/12/11
第六页，共十三页。
(2)由(1)知，p＝0.1. ①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180,0.1)，X＝ 20×2＋25Y，即 X＝40＋25Y.所以 EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元． 由于 EX>400，故应该对余下的产品作检验．
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题四概率与统计第十一章第四节 相互独立事件、条件概率与全概率公式
，
∴在第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为 | =
选B.
=
= . .故
AB
5.（多选题）下列说法正确的有(
A. | ≥ B. | =
)
是可能的
C.0 < | < 1D. | = 0
[解析]由条件概率公式 | =
在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
2.两个公式
（1）利用古典概型， | =______；
|
（2）概率的乘法公式： =____________.
三、全概率公式
一般地，设1 ，2 ，⋯， 是一组两两互斥的事件，1 ∪ 2 ∪ ⋯ ∪ = Ω，且
= . ， | = . ，因此由乘法公式可得
= | = . × . = . .
即这样的手机从 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
故答案为0.15.
规律方法
求条件概率的常用方法
定义法 先求 和 ，再由 | =
∪ = + .
2.计算条件概率除了应用公式 | =
| =
数.
外，还可以利用缩减公式法，即
，其中 为事件包含的样本点数， 为事件包含的样本点
3.全概率公式的意义在于，当直接计算事件发生的概率 较为困难时，可以先找到样
一、相互独立事件
1.概念：对任意两个事件与，若 =__________，则称事件与事件相互独
立，简称为独立.
2024版高考数学总复习：条件概率与全概率公式课件
( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表
示事件A，B同时发生的概率．
( √ )
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
( √ )
1
2
3
4
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状
完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球
一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽
到的是卡口灯泡的概率为(
3
A．
10
2
B．
9
7
C．
8
)
7
D．
9
D
解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2
3
3 7
7
次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝ ，P(AB)＝ × ＝ ，则所求的
10
10 9 30
概率为P(B|A)＝
2
C．
17
)
17
D．
38
解析：记事件A：抽到的至少1张钞票是假钞，记事件B：抽到的
2张钞票都是假钞，
C15 C115 +C25
85
17
C25
1
则P(A)＝
＝ ＝ ，P(AB)＝ 2 ＝ ，
2
C20
190 38
C20 19
因此，P(B|A)＝
1 38
2
＝ × ＝ ．
19 17 17
根据条件概率的概念(公式)计算条件概率的两种方法：
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称
条件概率
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C.93,2
D.93,2.8
解析:去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,所得的5个 数分别为90､90､93､94､93,
所以
x 90 90 93 94 93 460 92,
5
5
s2 2 (90 92)2 2 (93 92)2 (94 92)2 14 2.8,
n
2
x
n
yi2
n
2
y
பைடு நூலகம்
i1
i1
用相关系数来描述线性相关关系的强弱.当r>0时,两个变量正 相关;当r<0时,两个变量负相关,r的绝对值越接近1,表明两 个变量的线性相关性越强,r的绝对值接近于0,表明两个变 量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于r0.05时,认 为两个变量有很强的线性相关关系,因而求回归直线方程 才有意义.
5
5
故选B.
答案:B
4.(2010·福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分 如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 C.91和91.5
B.91.5和92 D.92和92
解析:中位数为
1(91+92)=91.5;平均数为
2
1 8
(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.
[分析] 本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区 别,准确把握三种抽样方法的概念与特点是解此题的关键; 另外要注意叙述的完整性和条理性.
[解] (1)这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本 年度的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本年度的 考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学 生本年度的考试成绩,样本容量为20;第二种抽取方式的样 本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩,样本容量为20; 第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考 试成绩,样本容量为100.
第二种方式抽样的步骤如下:第一步,用简单随机抽样法从第 一个班中任意抽取一名学生,记其学号为a;第二步,在其余 的19个班中,选取学号为a的学生,加上第一个班的一名学 生,共计20人.
第三种方式抽样的步骤如下:第一步,分层.因为若按成绩分,其
中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,所以在
(2)系统抽样:系统抽样被称为等距抽样或机械抽样.它按照时 间或空间的等距间隔抽取样本,即将总体分成几个部分,然 后按照预先定出的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所 需要的样本,这种抽样称为系统抽样.系统抽样与简单随机 抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时,采 用的是简单随机抽样.
(3)分层抽样:当总体中一部分个体与另一部分个体有明显的 差异且易于区别时,常将相近的个体归成一组,然后按照各 部分所占的比例进行抽样,这种抽样称为分层抽样.其中所 分成的各部分称为层.分层抽样时,每一个个体被抽到的概 率都是相等的.
第十模块 概率与统计 第四十八讲 随机抽样､用样本估计 总体､变量间的相互关系､统计案例
回归课本
1.样本及抽样的定义
(1)在数理统计中称研究对象的全体为总体,组成总体的每一 个基本单元为个体,从总体中抽取若干个个体x1,x2,…,xn, 这样的n个个体x1,x2,…,xn称为大小为n(容量为n)的一个样 本.
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y1- y i)是随机误 差效应,称 e i=yi- y i为残差,将所得值平方后加起来,用数
n
学符号表示为 (yi- y i)2称为残差平方和,它代表了随
机误差的效应. i1
8.独立性检验 (1)分类变量的定义 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这
6.回归直线方程
(1)一般地,设x和y是具有相关关系的两个变量,且对应于n个 观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,若所求的直线
方程为 yˆ a bx,则
我们将这个方程叫做回归直线方程,a,b叫做回归系数,相应的 直线叫做回归直线.
(2)最小二乘法
使离差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2为 最小的方法,叫做最小二乘法.
350×n=7,n=15,选B. 750
2.(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为 :001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的 样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营 区,从001到300的第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496 到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
平均数为x , 定义s2
1 n
[( x1
x )2
( x2
x )2
(xn x )2 ],
s
1 n
[(
x1
x
)2
( x2
x
)2
方差, s表示样本标准差.
(xn x )2 ], 其中s2表示样本
5.两个变量的相关关系 (1)当自变量的取值一定时,因变量的取值带有随机性,这两个
抽样方法的综合应用
解题准备:1.简单随机抽样:抽签法:搅拌均匀后逐一抽取.
随机数表法:注意编号的灵活性,如对100个个体可用 00,01,01,02,…,99来编号.
2.系统抽样:对多余个体的剔除不影响总体中每个个体被抽到 的等可能性,仍然能保证抽样的公平性.例如从1002个体中 利用系统抽样抽取容量为20的样本,剔除2个个体后,每个 个体被抽到的可能性仍为 20 10 . 1002 501
3.分层抽样:当总体中个体差异较大时,往往采用分层抽样的 方法,若有某些层面应抽取的个体数目不是整数时,可作适 当的细微调整.
【典例1】 为了考察某校的教学水平,将抽查这个学校高三 年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情 况,采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20 个班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假 定该校每班学生的人数相同):①从高三年级20个班中任意 抽取一个班,再从该班中任意抽取20名学生,考察他们的学 习成绩;②每个班抽取1人,共计20人,考察这20名学生的成 绩;
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数,中位数,平均数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或
中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
如果n个数,x1,x2,…,xn,那么 n个数的平均数.
x
1 n
(x1+x2+…+xn)叫做这
变量之间的关系叫做相关关系. 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也在由小到
大,这种相关称为正相关;反之,如果一个变量的值由小变大 时,另一个变量的值在由大到小,这种关系称为负相关.变量 间的这种关系与函数关系不同,它是一种非确定关系.
(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 叫做散点图.
3.频率分布表､频率分布直方图与茎叶图 (1)频率分布 样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比,就是该
数据的频率.所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律 叫做频率分布,可以用频率分布表､频率分布直方图､频率 分布折线图､茎叶图等来表示. (2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端 的中点,就得到频率分布折线图.
A.26,16,8
B.25,17,8
C.25,16,9
D.24,17,9
解析:依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号
依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的
号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤ 10,3因此第Ⅰ营
4
区被抽中的人数是25;令300<3+12(k-1)≤495得
答案:A
5.(2010·湖南)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相
关,则其回归方程可能是( )
A. yˆ =-10x+200
B. yˆ =10x+200
C. yˆ =-10x-200
D. yˆ =10x-200
解析:由图象知选项B､D为正相关,选项C不符合实际意义,故
选A.
答案:A
类型一
样的变量称为分类变量.
(2)2×2列联表
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2} 和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计 a+c
b+d
a+b+c+d
n(ad bc)2
K2= (a b)(c d )(a c)(b d )用它的大小可以决定是否拒绝原 来的统计假设H0,如果K2值较大,就拒绝H0,即拒绝事件A与
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共 抽取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1000人,若 按成绩分,其中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共 250人).根据上面的叙述,试回答下列问题:(1)上面三种抽取 方式的总体、个体、样本分别是什么?每一种抽取方式抽 取的样本中,样本容量分别是多少?(2)上面三种抽取方式各 自采用的是何种抽取样本的方法?(3)试分别写出上面三种 抽取方式各自抽取样本的步骤.
B无关.
考点陪练
1.(2010·重庆)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中 年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康 情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职 工为7人,则样本容量为( )