人教版九年级下册数学学案：28.1特殊角的三角函数值及计算
人教版九年级下册数学：特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
.
解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
1 3 ; 2
2 3 1;
(3)
cos 60o 1 1 sin 60o tan 30o
6.如，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB.
C
解：过点C作CD⊥AB于点D
6
3
A 45;
A
C
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= 3 OB，
求 的度数.
解： 在图中，
A
Q tan AO 3OB 3 ,
OB OB
60.
O B
当堂练习
1. 3 tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ D ） A．40° B．30° C．20° D．10°
AB=___1_0___，AC=___6____，sinB=_______，△ABC的周长
是__2_4___.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，则∠A=__4_5_°_，设
AB=k，则AC=__2_2_k_，BC=__2_2_k_，sinB=
2
sin45°=__2__，
cosB =cos45°=___2_，tanB= tan45°= _1___.
30°、45°、
特 殊
60°角的三 sin45°=____,cos45°=____,tan45°=___ 角函数值
1
角 的
sin60°=____,cos60°2=____,tan60°=___
三
角
函
数 值
通过三角函 数值求角度
第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数特殊角的锐角三角函数值(教案)2023-2024学年人教版数学九年级下册
3.通过实际例题，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示范、练习等环节，帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值，并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力：通过解决实际例题，让学生运用锐角三角函数进行计算和分析，提高数学运算与数据分析能力，为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求，关注学生核心素养的培养，帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识，再开篇直接输出。
2.逻辑推理：通过特殊角的锐角三角函数值的推导，提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析：培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容，引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义，强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答：检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况：评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材：人教版数学九年级下册。
2.课件：包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题：针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解，但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中，我尝试通过一些记忆方法，如编口诀、画图等，帮助学生记忆。从学生的反馈来看，这些方法还是有一定效果的，但还需在后续教学中继续巩固。
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值教学设计
作业要求：
1.学生需独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.解题过程要求步骤清晰，书写规范。
3.小组合作题需充分发挥团队合作精神，共同完成。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
4.通过对特殊角的锐角三角函数值的学习，培养学生对数的敏感性和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动，引导学生自主发现特殊角的锐角三角函数值规律，培养学生自主学习的能力。
2.运用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生通过合作、探究、讨论等方式，深入理解特殊角锐角三角函数的概念和计算方法。
针对学生的困惑，我会进行有针对性的解答，巩固学生对知识的理解。最后，强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的应用，提高学生的应用意识，为后续学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角的锐角三角函数值的学习，确保学生能够熟练掌握并运用到实际中，我设计了以下几类作业：
1.基础巩固题：布置一些基本的计算题，要求学生熟练掌握特殊角的正弦、余弦、正切值，并能快速准确地计算出结果。
学生在讨论过程中，可以相互提问、解答，共同探讨特殊角锐角三角函数值的规律。我会巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每个小组汇报讨论成果，共同分享学习心得。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计不同难度的题目，让学生独立完成。题目包括基础题、提高题和应用题，旨在检验学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合学生的生活经验，提出一个与学生实际相关的问题：“同学们，在我们的日常生活中，如建筑设计、制作家具等，经常会遇到各种角度的测量问题。那么，如何才能快速、准确地计算出这些角度的三角函数值呢？”通过这个问题，激发学生的好奇心，引导学生思考。
28.1 (3)特殊角三角函数值
【九年级数学下册导学案】28．1特殊角三角函数值（3）班级姓名组别编号（03）【学习目标】能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数和熟练计算。
【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能熟练计算。
【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。
【学习过程】一、复习巩固：如图，在Rt△ABC中，sin A=，cosA= ，tanA =。
二、自学指导：自学课本第79页，并思考下列问题：1.探究中，值和正切值码？2.认真填写下表，并牢记。
3.仔细体会例3是如何利用特殊角三角函数值进行运算的？8分钟后，看谁自学的快，自学的效果好三、【自学效果检测】一）、课本80页第1 题二）(1)（10江西）填空：sin30º·cos30º－tan30º＝（保留根号）(2)（2009义乌）计算2(2)tan452cos60-+-。
【讨论交流】（2010 四川南充）如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值为＿＿＿＿＿＿＿四、【当堂训练】1．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 B．13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=32，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定4．在△ABC中，三边之比为a：b：c=12，则sinA+tanA等于（）．A．1.2B C D5．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（）．A．是直角三角形 B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形6．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．7.（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=51，则AD的长为（）A．2 （B）3（C）2（D）18．（2010年贵州毕节）在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则tanB的值为（）A．3B．2C．1D．39．（2010四川凉山）如图，1∠的正切值等于。
人教版数学九年级下册28.1.2：特殊角的三角函数值及用计算器求锐角三角函数值 教案
28.1 锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角学习目标1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小.3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.教学重难点1. 使用科学计算器求锐角的三角函数值2. 根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小一、导入新课复习引入填写下表：特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？二、讲授新课1.用计算器求锐角的三角函数值或角的度数例1 (1) 用计算器求sin18°的值；(2) 用计算器求tan30°36′ 的值；(3) 已知 sin A = 0.501 8，用计算器求∠A 的度数.解：(1)第一步：按计算器键；第二步：输入角度值18；屏幕显示结果sin18°= 0.309 016 994.(2)方法①：第一步：按计算器键；第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)；屏幕显示答案：0.591 398 351.方法②：第一步：按计算器键；第二步：输入角度值30，分值36 (使用键)；屏幕显示答案：0.591 398 351.(3)第一步：按计算器键；第二步：然后输入函数值0. 501 8；屏幕显示答案：30.119 158 67°(按实际需要进行精确).还可以利用键，进一步得到∠A =30°07′08.97 ″ (这说明锐角A 精确到1′ 的结果为30°7′，精确到1″ 的结果为30°7′9″).三、练一练1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1) sin47°；(2) sin12°30′；(3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°.答案：(1) 0.7314 ；(2) 0.2164 ；(3) 0.9041；(4) －0.7817.2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1) sin A＝0.7，sin B＝0.01；(2) cos A＝0.15，cos B＝0.8；(3) tan A＝2.4，tan B＝0.5.答案：(1) ∠A ≈ 44.4°；∠B ≈ 0.6°.(2) ∠A ≈ 81.4°；∠B ≈ 36.9°.(3) ∠A ≈ 67.4°；∠B ≈ 26.6°.2.利用计算器探索三角函数的性质例2通过计算 (可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：① sin30°____2sin15°cos15°；② sin36°____2sin18°cos18°；③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；④ sin60°____2sin30°cos30°；⑤ sin80°____2sin40°cos40°.猜想：(1)已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证 (1) 中的结论．3. (1) 利用计算器求值，并提出你的猜想：sin20°= ，cos20°= ，sin220°= ，cos220°= ；sin35°= ，cos35°= ，sin235°= ，cos235°= ；猜想：（1）已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = .(2) 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证你在(1)中的结论.四、当堂练习1. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是( ) A．B．C．D．2. 下列式子中，不成立的是 ( )A．sin35°= cos55°B．sin30°+ sin45°= sin75°C．cos30°= sin60°D．sin260°+ cos260°=13. 利用计算器求值：(1) sin40°≈ (精确到0.0001)；(2) sin15°30′≈ (精确到 0.0001)；(3) 若sinα = 0.5225，则α≈ (精确到0.1°)；(4) 若sinα = 0.8090，则α≈ (精确到0.1°).4. 已知：sin232°+ cos2α =1，则锐角α = .5. 用计算器比较大小：20sin87°___ tan87°.6. 在 Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′，∠A 的平分线 AT = 14.7cm ，用计算器求 AC 的长(精确到0.001).解：∵ AT 平分∠BAC ，且∠BAC = 42°24′，∴ ∠CAT =12∠BAC = 21°12′. 在 Rt△ACT 中 cos ∠CAT = AC AT ， ∴ AC = AT · cos∠CAT = 14.7×cos21°12′≈13.705(cm).五、课堂小结。
九年级数学下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案、教学设计
3.教学评价：
-课堂问答：通过提问，了解学生对特殊角的三角函数值的掌握情况。
-作业布置：设计富有层次性的作业，Байду номын сангаас学生在课后巩固所学知识。
-课堂练习：进行计算器操作练习，评价学生的实际应用能力。
-小组讨论：观察学生在小组合作中的表现，评价学生的团队协作能力。
3.总结规律：
-引导学生发现特殊角三角函数值的规律；
-解释特殊角三角函数值与角度之间的关系。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行小组讨论，共同探讨三角函数值的记忆方法和计算器操作技巧。
1.分组：将学生分成若干小组，每组4-6人。
2.话题：讨论如何记忆特殊角的三角函数值，以及计算器操作的注意事项。
2.学生练习：学生在课堂上独立完成练习题。
3.交流反馈：学生相互交流答案，讨论解题过程中的困惑。
4.点评讲解：教师对学生的练习情况进行点评，针对共性问题进行讲解。
（五）总结归纳
在这一环节中，我们将对本节课所学知识进行总结，帮助学生巩固记忆。
1.回顾：引导学生回顾本节课所学内容，包括特殊角的三角函数值、计算器操作方法等。
1.提问：请同学们回忆一下，我们之前学习的三角函数有哪些？它们分别表示什么意义？
2.学生回答：正弦、余弦、正切。
3.追问：那么，这些三角函数的值与角度之间有怎样的关系呢？
4.学生回答：角度不同，三角函数的值也会不同。
5.引入新课：今天我们将学习特殊角的三角函数值，以及如何使用计算器求任意角的三角函数值。
2.教学过程：
-导入新课：通过复习一般角的三角函数，自然过渡到特殊角的三角函数值的学习。
人教版九年级数学下册28.1锐角三角函数特殊角的三角函数值优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生掌握特殊角的三角函数值，包括30°、45°、60°等角的正弦、余弦和正切值。
2.使学生能够运用特殊角的三角函数值进行简化解题，提高问题解决能力。
3.培养学生运用数学知识描述现实生活中的现象，提高数学应用能力。
在教学过程中，我将以生活实例为导入，引导学生主动探究特殊角的三角函数值。通过多媒体课件的展示，让学生直观地理解特殊角的三角函数值，并在实际问题中运用。此外，我将设计具有挑战性的问题，激发学生的思考，培养学生的创新思维和问题解决能力。
3.培养学生勇于挑战、克服困难的勇气，培养他们的自信心和自尊心。
在教学过程中，我将关注学生的情感需求，以鼓励、表扬等方式激励学生，让他们在学习中感受到成功的喜悦。同时，我将引导学生认识到数学在现实生活中的重要性，培养他们的责任感和使命感。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活实例导入：以实际生活中的问题为导入，引发学生对特殊角的三角函数值的兴趣，激发学生的学习动机。
人教版九年级数学下册28.1锐角三角函数特殊角的三角函数值优秀教学案例
一、案例背景
本节课是人教版九年级数学下册28.1锐角三角函数特殊角的三角函数值。在学习了锐角三角函数的基础上，本节课主要让学生掌握特殊角的三角函数值，进一步深化对锐角三角函数的理解和运用。
在案例背景中，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和基本性质，具备了一定的数学思维能力和问题解决能力。然而，对于特殊角的三角函数值，学生可能存在一定的困难，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：让学生在学习过程中进行自我反思，发现自己的不足之处，明确改进方向。
2.同伴评价：学生相互评价，给予意见和建议，共同促进彼此的进步。
人教版九年级数学下册配套学案设计：28.1特殊角的三角函数值
28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数【学习目标】⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程【导学过程】一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．三、教师点拨：归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，63A的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ．四、学生展示：一、课本67页 第1 题课本67页 第 2题 二、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B 32．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，cosB=32，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D ．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（ ）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．457．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．A ．小于12B ．大于12C ．大于 32D ．大于18．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（ ）．A ．32313331.32B C D ++9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，3•则∠CAB 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．以上都不对10．sin 272°+sin 218°的值是（ ）．A ．1B ．0C ．12D ． 3211．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）．A ．是直角三角形B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形三、填空题．12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．13．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=52，则cosA=________．六、作业设置：课本第69页习题28．1复习巩固第3题七、自我反思：本节课我的收获:中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10,15,10,17,18,1．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是44 3【答案】C【解析】解：中位数应该是15和17的平均数16，故C选项错误，其他选择正确．故选C．【点睛】本题考查求中位数，众数，方差，理解相关概念是本题的解题关键.2．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．3B．5C．23D．25【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=ADAB=2210=25，故选D．38）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵ 3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．481．9，8故选C考点：实数与数轴的关系4．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．19B．16C．13D．23【答案】C【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c＞0; ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-2ba=1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0. ∴abc ＜0, ①正确； 2a+b=0，②正确；由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误； 观察图象得当x=-2时，y ＜0， 即4a-2b+c ＜0 ∵b=-2a ， ∴4a+4a+c ＜0 即8a+c ＜0，故⑤正确. 正确的结论有①②⑤， 故选:C 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．6．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．22x=16（27﹣x ）B ．16x=22（27﹣x ）C ．2×16x=22（27﹣x ）D ．2×22x=16（27﹣x ）【答案】D【解析】设分配x 名工人生产螺栓,则（27-x ）人生产螺母,根据一个螺栓要配两个螺母可得方程2×22x=16（27-x ），故选D.7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（ ）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≤6C ．若点（2，m ）（5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．8a+b=0 【答案】C【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac- ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误； 因对称轴42bx a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C.点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中．8．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知： A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确； B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确； C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确； D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别9．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x 元，则下面所列方程中正确的是（ ）A．1200012000100 1.2x x=+B．12000120001001.2x x=+C．1200012000100 1.2x x=-D．12000120001001.2x x=-【答案】B【解析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：12000120001001.2x x=+故选B．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．10．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上.若∠BAE=40°，则∠ACD的大小为（）A．150°B．140°C．130°D．120°【答案】B【解析】试题分析：如图，延长DC到F，则∵AB∥CD，∠BAE=40°，∴∠ECF=∠BAE=40°.∴∠ACD=180°-∠ECF=140°.故选B．考点：1.平行线的性质；2.平角性质.二、填空题（本题包括8个小题）11．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=﹣1，则m的值是____．【答案】3.【解析】可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解.【详解】得α+β=-2m-3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△>0，得（2m+3）2-4×m 2=12m+9>0，所以m ＞4-3，所以m=-1舍去，综上m=3. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键. 12．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．【答案】22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长． 详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴2 故答案为：2点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13．若关于x的一元二次方程230x x m-+=有实数根，则m的取值范围是________．【答案】94 m≤【解析】由题意可得，△=9-4m≥0，由此求得m的范围．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，∴△=9-4m≥0，求得m≤.故答案为：94 m≤【点睛】本题考核知识点：一元二次方程根判别式. 解题关键点：理解一元二次方程根判别式的意义.14．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.15．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为_____．【答案】2．【解析】设第n层有a n个三角形（n为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律“a n ＝2n﹣2”，再代入n＝2029即可求出结论．【详解】设第n层有a n个三角形（n为正整数），∵a2＝2，a2＝2+2＝3，a3＝2×2+2＝5，a4＝2×3+2＝7，…，∴a n＝2（n﹣2）+2＝2n﹣2．∴当n＝2029时，a2029＝2×2029﹣2＝2．故答案为2．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律“a n＝2n﹣2”是解题的关键．16．函数中自变量x的取值范围是___________．【答案】x≥﹣12且x≠1【解析】试题解析：根据题意得：2+10 {-10 xx≥≠解得：x≥﹣12且x≠1.故答案为：x≥﹣12且x≠1.17．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____．【答案】1 3【解析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39＝13．故答案为：13．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．如图，点O（0，0），B(0，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，……，依次下去．则点B6的坐标____________．【答案】(-1,0)【解析】根据已知条件由图中可以得到B1所在的正方形的对角线长为2，B2所在的正方形的对角线长为（2）2，B3所在的正方形的对角线长为（2）3；B4所在的正方形的对角线长为（2）4；B5所在的正方形的对角线长为（2）5；可推出B6所在的正方形的对角线长为（2）6=1．又因为B6在x轴负半轴，所以B6（-1，0）．解：如图所示∵正方形OBB1C，∴OB12B1所在的象限为第一象限；∴OB2=22，B2在x轴正半轴；∴OB3=23，B3所在的象限为第四象限；∴OB4=24，B4在y轴负半轴；∴OB5=25，B5所在的象限为第三象限；∴OB6=（2）6=1，B6在x轴负半轴．∴B6（-1，0）．故答案为（-1，0）．三、解答题（本题包括8个小题）19．华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．求y与x的函数关系式；每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x2+110x+1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元【解析】利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；【详解】（1）y＝（200﹣x﹣170）（40+5x）＝﹣5x2+110x+1200；（2）y＝﹣5x2+110x+1200＝﹣5（x﹣11）2+1805，∵抛物线开口向下，∴当x＝11时，y有最大值1805，答：售价定为189元，利润最大1805元；【点睛】本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．20．△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的14时，求线段EF的长．【答案】（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.【解析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出BD DF=CE ED，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的14，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可【详解】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△BDF∽△CED．∴BD DF=CE ED．∵BD=CD，∴CD DF=CE ED，即CD CE=DF ED．又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF．∴△BDF∽△CED∽△DEF．（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=12BC=1．在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，∴AD=2．∴S△ABC=12•BC•AD=12×3×2=42，S△DEF=14S△ABC=14×42=3．又∵12•AD•BD=12•AB•DH，∴AD BD8624 DHAB105⋅⨯===．∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD．∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF．又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）．∴DH=DG=245．∵S△DEF=12·EF·DG=12·EF·245=3，∴EF=4．【点睛】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．21．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．【答案】（1）W1=﹣x2+32x﹣2；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为18万元．【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.【详解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+1）﹣80=﹣x2+32x﹣2．（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣2．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x≤16，W2=（x﹣5）（﹣x+1）﹣20=﹣x2+31x﹣150，∵7≤x≤16，∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.22．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．拓展：嘉嘉给琪琪出题：“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”琪琪的思考对吗？为什么？【答案】探究：（1）3，1；（2）(1)2n n；（3）参加聚会的人数为8人；拓展：琪琪的思考对，见解析.【解析】探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；（3）由（2）的结论结合共握手28次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；拓展：将线段数当成握手数，顶点数看成参会人数，由（2）的结论结合线段总数为2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．【详解】探究：（1）3×（3-1）÷2=3，5×（5-1）÷2=1．故答案为3；1．（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟（n-1）人握手，∴握手总数为()12n n -．故答案为()12n n -．（3）依题意，得：()12n n -=28，整理，得：n 2-n-56=0， 解得：n 1=8，n 2=-7（舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． 拓展：琪琪的思考对，理由如下： 如果线段数为2，则由题意，得：()12m m -=2，整理，得：m 2-m-60=0，解得m 1=12+m 2=2（舍去）．∵m 为正整数， ∴没有符合题意的解， ∴线段总数不可能为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n 的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】解：（1）设每千克核桃应降价x 元. 根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元. 此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.24．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件…252015…已知日销售量y 是销售价x 的一次函数．求日销售量y （件）与每件产品的销售价x （元）之间的函数表达式；当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 【答案】（1）40y x =-+；（2）此时每天利润为125元． 【解析】试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解；（2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得. 试题解析：（1）设y kx b =+，将15x =，25y =和20x =，20y =代入，得：25152020k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：140k b =-⎧⎨=⎩， ∴40y x =-+；（2）将35x =代入（1）中函数表达式得：35405y =-+=，∴利润()35105125=-⨯=（元）， 答：此时每天利润为125元．25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC 的度数；求证：AE 是⊙O 的切线；当BC=4时，求劣弧AC 的长．【答案】（1）60°;(2)证明略;(3)83π【解析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．【详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为120180Rπ=1204180π=83π．【点睛】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.26．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（20）．正方形AOBC的边长为，点A 的坐标是．将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．【答案】（1）4，()22,22；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-；（3）83t =. 【解析】（1）连接AB ，根据△OCA 为等腰三角形可得AD=OD 的长，从而得出点A 的坐标，则得出正方形AOBC 的面积；（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C ，A′E ，再求出面积即可；（3）根据P 、Q 点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时，②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时，③当点P 、Q 在AC 上时，可方程得出t ． 【详解】解：（1）连接AB ，与OC 交于点D ， 四边形AOBC 是正方形， ∴△OCA 为等腰Rt △， ∴AD=OD=12OC=22， ∴点A 的坐标为()22,22.4，(22,22. （2）如图∵ 四边形AOBC 是正方形， ∴ AOB 90∠=，AOC 45∠=.∵ 将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45， ∴ 点A '落在x 轴上. ∴OA OA 4'==. ∴ 点A '的坐标为()4,0. ∵ OC 42=，∴ A C OC OA 424=-='-'. ∵ 四边形OACB ，OA C B '''是正方形， ∴ OA C 90∠''=，ACB 90∠=. ∴ CA E 90∠'=，OCB 45∠=. ∴ A EC OCB 45∠∠=='. ∴ A E A C 424=='-'.∵2ΔOBC AOBC 11S S 4822==⨯=正方形， ()2ΔA EC11S A C A E 4242416222'=⋅=-=-''， ∴ΔOBC ΔA EC OA EBS S S ''=-=四边形 ()82416216216--=-. ∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-. （3）设t 秒后两点相遇，3t=16，∴t=163①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时， ∵POQ 90∠=,OP=t ，OQ=2t ∴ΔOPQ 不能为等腰三角形②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时如图2，OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4，t=2（2t-4），解得：t=83．③当点P、Q在AC上时，ΔOPQ不能为等腰三角形综上所述，当8t3时ΔOPQ是等腰三角形【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-2b|-|c+2b|的结果是（）A．4b+2c B．0 C．2c D．2a+2c【答案】A【解析】由数轴上点的位置得：b<a<0<c，且|b|>|c|>|a|，∴a+c>0，a−2b>0，c+2b<0，则原式=a+c−a+2b+c+2b=4b +2c.故选：B.点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.2．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】D【解析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=1．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．3．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+1【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ， 右边三角形的数字规律为：2，，…，，下边三角形的数字规律为：1+2，，…，，∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n. 故选B ． 【点睛】考点：规律型：数字的变化类．4．已知二次函数y=（x+m ）2–n 的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y=mnx的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：观察二次函数图象可知： 00m n ，， ∴一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数mny x的图象在第二、四象限. 故选D.5．下列说法正确的是（ ）A ．负数没有倒数B ．﹣1的倒数是﹣1C ．任何有理数都有倒数D ．正数的倒数比自身小 【答案】B【解析】根据倒数的定义解答即可.【详解】A 、只有0没有倒数，该项错误；B 、﹣1的倒数是﹣1，该项正确；C 、0没有倒数，该项错误；D 、小于1的正分数的倒数大于1,1的倒数等于1，该项错误.故选B.本题主要考查倒数的定义：两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数，熟练掌握这个知识点是解答本题的关键.6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角【答案】C【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．故选C．7．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）A ．45B ．54C ．43D ．34【答案】D【解析】先求得∠A ＝∠BCD ，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4， ∴BC ＝3，在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∠A+∠B ＝90°，∠BCD+∠B ＝90°． ∴∠A ＝∠BCD ． ∴tan ∠BCD ＝tanA ＝BCAC ＝34， 故选D ． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．9．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=【答案】B【解析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程. 【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ， 得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400， 整理后得：2653500x x +-= 故选：B.。
人教版九年级数学下册优秀教学案例：28.1.3特殊角的锐角三角函数值
1.生活情境的创设：本节课通过结合实际生活中的情境，如测量家具尺寸、计算建筑物的高度等，引导学生认识到数学知识的实用性，增强学生的学习兴趣和动力。这种生活情境的创设，使学生能够更好地理解和运用特殊角的锐角三角函数值，提高了教学的针对性和实效性。
2.问题导向的教学策略：本节课以问题为导向，教师设计了一系列具有启发性和挑战性的问题，引导学生主动思考、探究特殊角的锐角三角函数值。这种问题导向的教学策略，激发了学生的学习兴趣和求知欲，培养了学生的批判性思维和问题解决能力。
为了提高教学效果，我将以生动形象的语言、贴近生活的实例，将抽象的数学知识具体化、形象化，使学生在轻松愉快的氛围中掌握特殊角的锐角三角函数值。同时，关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定合适的教学策略，让每个学生都能在课堂上得到有效的锻炼和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够准确记忆特殊角的锐角三角函数值，如30°、45°、60°等；
2.学生分组讨论，相互交流自己的观点和发现；
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示；
4.各小组派代表分享讨论成果。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，明确特殊角的锐角三角函数值的定义、计算方法和应用；
2.学生通过归纳总结，加深对知识的理解和记忆；
3.教师强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的重要性；
5.反思与评价的教学环节：本节课设置了反思与评价的教学环节，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在探究特殊角的锐角三角函数值过程中的优点和不足。这种反思与评价的教学环节，有助于学生培养自我监控和自我调整的能力，提高学生的学习效果。
作为一名特级教师，我深知教学案例亮点的重要性，它是体现教学艺术和教学效果的关键。在本节课的教学中，我注重教学策略的设计，关注学生的个体差异，创设生动活泼的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。同时，关注学生的全面发展，培养学生的创新意识和实践能力。通过本节课的教学，学生不仅掌握了特殊角的锐角三角函数值的知识，还培养了良好的学习习惯和合作精神，实现了知识、能力和情感的全面发展。
部审人教版九年级数学下册教学设计28.1 第3课时《特殊角的三角函数值》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.1 第3课时《特殊角的三角函数值》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.1节《特殊角的三角函数值》是三角函数基础知识的重要组成部分。
本节课主要让学生掌握30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值，并能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过引入特殊角的三角函数值，为学生深入学习三角函数奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的概念，对直角三角形的边角关系有一定的了解。
但部分学生对函数值的计算和应用还不够熟练，需要在本节课中加强训练。
此外，学生对于解决实际问题的能力有待提高，需要教师在教学中进行引导和培养。
三. 教学目标1.让学生掌握30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值。
2.培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
2.难点：灵活运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究特殊角的三角函数值。
2.运用合作学习法，培养学生团队协作能力和沟通能力。
3.利用案例分析法，让学生学会将理论知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生解决实际问题。
2.准备多媒体教学设备，用于展示特殊角的三角函数值。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示特殊角的三角函数值，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切函数值，让学生直观地感受这些特殊角的三角函数值。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难。
人教版九年级数学下册教案：28.1.3 (教案) 特殊角的
28.1.3 特殊角的三角函数值一、教学目标(一)知识与技能熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，(二)过程与方法逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．(三)情感态度与价值观渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．二、重、难点重点：熟记特殊角的三角函数值．难点：熟练应用特殊角的三角函数值三、教学过程让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻．例1 求下列各式的值：为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题： (1)sin45°+cos45； (2)sin30°·cos60°；在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神．还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”为查正余弦表作准备． 三角函数/0°/30°/45°/60°/90°三角函数︒0︒30 ︒45 ︒60 ︒90A sin21 22231A cos1232221tanA cotA请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11)3331cot 60cot 111cot 45cot 313cot 30cot 313tan 60tan 111tan 45tan ;3331tan 30tan ''''''''''====︒====︒====︒====︒====︒===︒AC BC B C B B A A BC AC A BC AC B C A C B A A通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正弦、余弦、正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正弦、余弦、正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想．练习：1)请学生回答tan45°与cot45°的值各是多少？tan60°与cot30°？tan30°与cot60°呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tan60°与cot60°有何关系？为什么？tan30°与cot30°呢？例1 求下列各式的值：(1)2sin30°+3tan30°+cot45°；(2)cos245°+tan60°·cos30°．解：(1)2sin30°+3tan30°+cot45°(2)cos245°+tan60°·cos30°=2．练习：求下列各式的值：(1)sin30°-3tan30°+2cos30°+cot90°；(2)2cos30°+tan60°-6cot60°；(3)5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°；(4);45sin 45cos 22︒+︒(5)︒-︒︒-︒45tan 260tan 45cot 60sin学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力． 四、布置作业。
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
《28.1.1特殊角的锐角三角函数》导学案学习目标1. 掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能够用它们进行计算.2. 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.一、自学探究阅读教材P65-67页，自学“探究”、“ 例3”、“ 例4”完成填空①sin30°= _______ ， cos30°= _______ ， tan30°= ______ ；sin45°= ________ ， cos45°= _______ ， tan45°= ______ ；sin60°= ________ ， cos60°= _______ ， tan60°= ______ .②sina 的值随着角a 的增大而 ，cosa 的值随着角a 的增大而 ，tana 的值随角a 的增大而 .问题：①对于特殊角的锐角三角函数值，你会推导吗 ?②观察30°、45°、60°角的锐角三角函数值，你有什么发现？二、合作交流用特殊角的锐角三角函数值进行运算。
例1求下列各式的值：①cos 260°+ sin 260°; ②00045tan 45sin 45cos -.点拨：sin 260°表示(sin60°)2；解此类题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值.三、拓展运用先独立解题，再在小组内检查指导，然后各组代表分别讲解，最后要总结解题的要点与基本方法。
1. 计算：(1)1-2sin30°cos30°; (2)3tan30°-tan45°+2sin60°; (3)00030tan 160sin 160cos ++; (4)0201900)21()1(60cos 2145sin 2-+-+-.2.(1)在R t △ABC 中，∠C=90°,AB=6,BC=3,求∠A 的度数.(2)已知圆锥的高是圆锥底面半径的3倍，求a 得值.总结：一是要熟记特殊角的锐角三角函数值；二是理清运算顺序；三是找准对应的边，分清楚是哪条边与哪条边的比。
精品人教版数学9年级下. 特殊角的锐角三角函数(教案与导学案)
第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函第3课时特殊角的锐角三角函数【知识与技能】1.理解并掌握30°，45°，60°的三角函数值，能用它们进展有关计算；2.能依据30°，45°，60°的三角函数值，说出相应锐角的度数.【过程与方法】经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义.【情感态度】在探索特殊角的三角函数值的过程中，增强学生的推理能力和计算能力. 【教学重点】熟记30°，45°，60°的三角函数值，并用它们进展计算.【教学难点】探索30°，45°，60°的三角函数值的指导过程.一、情境导入，初步认识问题在前面我们已经得到sin3o°= 12，sin45°=2，你能得到30°，45°角的其它三角函数值吗？不妨试试看.【教学说明】 教师可引导学生从所给结论sinA = sin30°=12出发，设 BC = 1，那么 AB = 2，由勾股定理可得30°的其它三角函数值，同样在图〔2)中，仍可设BC = 1， 那么AC = 1，45°的其它三角函数值.这里设BC = 1是为了方便计算.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，可以得到：sin30°=12，cos30°= 2，tan30°= 3，sin45°= 2，cos45°= 2, tan45°= 1.【想一想】 60°角的三角函数值各是多少？你是如何得到的？在学生的相互交流中可得出结论：sin60°= 2,cos60°= 12 ，tan60°教师再将上述所有结论整理，制成下表.三、典例精析，掌握新知例1 求以下各式的值.(1)cos260°+ sin260°；〔2〕cos45tan45sin45︒-︒︒.解〔1〕原式 =12（）2 +32（）2 =14+34= 1；〔2〕原式 =2222- 1 = 0.例2 〔1〕如图〔1〕，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB = 6,BC = 3,求∠A的度数；〔2〕如图〔2〕，圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求α.解〔1〕∵sinA = BC32AB26＝＝,∴∠A = 45°；〔2〕∵tanα = OA33OBOBOB＝＝，∴α = 60°.【教学说明】以上两例均可先由学生自主完成，然后教师在展示解答过程，加深学生对本节知识的理解，并指明两例题的侧重点不一样，例1侧重于运用特殊角的三角函数值来参与计算，而例2那么是通过计算一个角的某一三角函数值后，利用锐角的三角函数值与锐角之间的一一对应关系，从而确定锐角的度数.这样处理，可让学生熟记特殊角的三角函数值.四、运用新知，深化理解1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且tanA = 12，cosB =32，那么△ABC的形状是〔〕A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2.计算：〔1〕3tan30°- tan45°+ 12sin60°= ___________ .〔2〕60160sincos︒-︒+130tan︒- sin45°= ___________ .3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC = 7，AC = 21,试求∠A、∠B的度数.4.边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如下图，且∠OBC=30°，试求A、D两点坐标.【教学说明】四道题均可让学生自主探究，也可小组内讨论，到达解决问题的目的.教师巡视，发现问题给予指导，对优秀者和积极参与者给予鼓励，增强学生的学习信心.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】 1.B 【解析】∵cosB =32,∴∠B = 30°，又∵tanA =12＜3 2= tan30°，∴∠A ＜ 30°，∠A + ∠B ＜ 60°，∴∠C = 180°- (∠A + ∠B)＞ 120°.即△ABC 是钝角三角形，应选B.2.〔1〕5314-〔2〕2232【解析】〔1〕原式 =31331322⨯-+⨯3314+ =5314-〔2〕原式 =3221312-233222323.由题意易得：tanA =73213BCAC===,tanB = 3ACBC=，∴∠A= 30°，∠B = 60°.4.解：∵ OB = BC·cosB =323⨯=, OC = BC·sinB =1212⨯=,∴B 点的坐标是〔3,0-〕.过D点作DE 垂直于y轴，交y轴于E点，易证△OBC≅△ECD，∴∠DCE = ∠CBO =30°.∴CE = cos∠DCE ·CD =3232⨯=，∴OE = OC + CE = 13+,DE = 112CD=,∴D 点的坐标是〔1,13-+〕.五、师生互动，课堂小结1.如何理解并熟记特殊角的三角函数值？同学间相互交流.2.运用特殊角的三角函数值可解决哪两类问题？【教学说明】师生共同回忆，对于问题1，可引导学生利用图形进展推理计算，也可通过表格中横排的数的变化规律来记忆.1.布置作业：从教材P68〜70习题28. 1中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业〞局部.本课时教学以“自主探究〞为主体形式，所以应先给学生自主动手的时间，给学生提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究和合作学习的能力.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的锐角三角函数一、新课导入1.课题导入情景：出示一副三角尺，教师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°，45°，60°角的三角函数值.〔板书课题〕2.学习目标〔1〕推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.〔2〕能运用30°，45°，60°角的三角函数值进展简单的计算.〔3〕能由30°，45°，60°角的三角函数值求对应的锐角.〔4〕会运用计算器求锐角三角函数的三角函数值和由三角函数值求锐角.3.学习重、难点重点：推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值.难点：相关运算.二、分层学习1.自学指导〔1〕自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.〔2〕自学时间：8分钟.〔3〕自学方法：完成探究提纲.②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表：③观察上表，sin30°，sin45°，sin60°的值有什么规律？cos30°，cos45°，cos60°呢？tan30°，tan45°，tan60°呢？2.自学：学生可参考自学指导进展自学.3.助学〔1〕师助生：①明了学情：明了学生能否推导30°，45°，60°角的三角函数值.②差异指导：根据学情进展针对性指导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.1.自学指导〔1〕自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.〔4〕自学参考提纲：①含30°，45°，60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求以下各式的值：1-2sin30°cos30°;=1-2×12×3223-3tan30°-tan45°+2sin60°;=3×3-1+2×3=231.(cos230°+sin230°)×tan60°.=[3〕2+〔12〕2]×3 3④在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC7AC21,求∠A、∠B的度数.∵tan A=73321==BCAC，∴∠A=30°,∠B=60°.2.自学：学生可结合自学指导进展自学.3.助学〔1〕师助生：①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.〔2〕生助生：小组交流、研讨.4.强化〔1〕求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据实数的运算法那么计算.〔2〕求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.〔3〕当A、B为锐角时，假设A≠B，那么sin A≠sin B，cos A≠cos B,tan A≠tanB.1.自学指导〔1〕自学内容：教材P67~P68.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学指导：完成探究提纲.〔4〕探究提纲：①用计算器求sin18°的值.sin18°=0.309016994.②用计算器求tan30°36′的值.tan30°36′=0.591398351.③sin A=0.5018，用计算器求锐角A的度数.∠A=30.11915867°或∠A=30°7′8.97″.④∠A是锐角，用计算器探索sin A与cos A的数量关系.sin2A+cos2A=1.⑤∠A 是锐角，用计算器探索sin A 、cos A 与tan A 的数量关系.sin tan cos.AA A⑥当一个锐角逐渐增大时，这个角的各三角函数值会发生怎样的变化呢？请用计算器探索其中的规律.正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，正切值逐渐增大. ⑦用计算器求以下各锐角三角函数的值： sin35° 0.573576436 cos55° 0.573576436 tan80°25′43″ 5.93036308⑧以下锐角三角函数值，用计算器求相应锐角的度数： sin A =0.6275∠A =38.86591697° cos A =0.6252∠A =51.30313157° tan A =4.8425∠A =78.3321511°三、评价1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进展评价. 〔2〕纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价〔教学反思〕.本课时中的特殊角是指30°，45°，60°的角，课堂上采用“自主探究〞的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并且能够熟记其函数值，然后利用它们进展计算.一、根底稳固〔70分〕1.(5分)2cos(α-10°)=1，那么锐角α= 70° .2.(5分) α为锐角，tanα3cosα等于〔A〕A.12B.22C.32D.333.(5分)用计算器计算cos44°的结果〔准确到0.01〕是〔B〕4.(5分)tanα=0.3249，那么α约为〔B〕A.17°B.18°C.19°D.20°5.(40分)求以下各式的值.〔1〕sin45°+cos45°;22=2.〔2〕sin45°cos60°-cos45°;=22×12-22=-2 4.〔3〕cos245°+tan60°cos30°;=2〕23×3=12+32=2.(4〕1-cos30°sin60°+tan30°.=3123+33=3-1.6.(10分)在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A=3，tan B=1，求∠C的度数.解：∵∠A是锐角且sin A=32,∴∠A=60°.∵∠B是锐角且tan B=1,∴∠B=45°.∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.二、综合应用〔20分〕7.(10分)在△ABC中，锐角A，B满足〔sin A-3〕2+|cos B-3|=0，那么△ABC是〔D〕A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形8.(10分)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，D E⊥AB于点E，BC=1，AC=3，那么∠D的度数为30° .三、拓展延伸〔10分〕9.(10分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin〔180°-α〕，cosα=-cos〔180°-α〕.〔1〕求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°=3 .Cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=-1 2 .sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=1 2 .〔2〕假设一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sin A ，cos B 是方程4x 2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小.解：∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.∴∠A =30°或120°，∠B =30°或120°.∴sin A =sin30°=12或sin A =sin120°=,cos B =cos30°=或cos B =cos120°=-12. 又∵sin A ,cos B 是方程4x 2-mx-1=0的两个不相等的实数根， ∴sin A +cos B =4m ,sin A ·cos B =-14. ∴sin A =12,cos B =-12,∴∠A =30°,∠B =120°,m=0.。
人教版九年级数学下册28.1三角函数教学设计
4.利用信息技术手段（如计算器、多媒体等），辅助教学，增强学生对三角函数概念和性质的理解。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生主动学习的热情。
2.培养学生严谨、认真的学习态度，使学生在学习过程中养成独立思考、合作交流的良好习惯。
（5）总结：概括本节课所学内容，强调三角函数的性质和应用。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决等方面的表现。
（2）总结性评价：通过作业、测验等方式，评价学生对三角函数知识点的掌握程度。
（3）增值性评价：鼓励学生在学习过程中，积极思考、提问、分享，培养其创新精神和实践能力。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，确保每个学生都能掌握基本知识。
（2）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从特殊到一般，发现三角函数的性质和规律。
（3）创设问题情境，激发学生的求知欲，鼓励学生主动参与课堂讨论和实践活动。
（4）及时反馈学生的学习情况，针对学生的问题给予个性化的指导，帮助学生克服学习中的困难。
3.掌握特殊角的三角函数值，并能运用它们简化计算过程。
4.掌握三角函数的图像和性质，了解它们在坐标系中的变化规律。
5.学会运用三角函数解决直角三角形、含特殊角度的锐角三角形等问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、探索等活动，引导学生发现三角函数的定义和性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.采用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究三角函数的应用，提高学生的问题解决能力。
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值优秀教学案例
4.利用多媒体手段，如动画、视频等，形象地展示特殊角的三角函数值的变化规律，增强学生的直观感受。
（二）问题导向
1.设计一系列具有启发性的问题，引导学生思考特殊角三角函数值的意义和作用。
2.引导学生通过实验、观察、讨论等方式，自主探究特殊角三角函数值的规律。
3.提出挑战性的问题，激发学生深入思考，提高学生解决问题的能力。
在实际教学中，我发现许多学生在学习这一部分内容时存在一定的困难，主要是由于对三角函数概念的理解不够深刻，以及对特殊角三角函数值的记忆不牢固。因此，在教学过程中，我需要针对学生的实际情况进行有针对性的教学设计，通过合理的教学方法和手段，帮助学生理解和掌握特殊角的三角函数值，提高他们的学习效果。
二、教学目标
4.采用小组合作学习的方式，培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习三角函数的内在动机。
2.使学生认识到特殊角三角函数值在实际生活中的应用，提高学生对数学价值的认识。
3.培养学生勇于挑战自我，克服困难的意志，增强学生的自信心。
4.引导学生树立正确的价值观，明白努力学习三角函数的重要性，为今后的学习和生活打下坚实的基础。
4.鼓励学生提出自己的疑问，培养学生敢于质疑、善于思考的良好习惯。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神。
2.设计小组合作任务，让学生在实践中运用特殊角的三角函数值，提高学生的动手操作能力。
3.采用小组竞赛的方式，激发学生的竞争意识，提高学生的学习积极性。
(人教版)九年级下册28-1-3特殊角三角函数值教案
难点突破方法：通过制作记忆卡片、设计三角函数值记忆游戏、绘制直角三角形示意图等方式，帮助学生记忆特殊角的三角函数值。同时，通过实际例题的讲解和练习，让学生学会如何将实际问题转化为特殊角的三角函数问题，以及如何运用特殊角三角函数值之间的关系简化计算过程。
注意：由于字数限制，上述内容并未达到2000字，但已尽量详细地列出了教学难点与重点，并在每个方面进行了举例解释。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步拓展和细化每个点的内容。
-掌握特殊角三角函数值的记忆方法：如30°的正弦值为1/2，余弦值为√3/2；45°的正弦值和余弦值都为√2/2，正切值为1；60°的正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。
-应用特殊角三角函数值解决实际问题：如计算特殊角度的正弦、余弦、正切的值，以及在直角三角形中根据一个角的度数求解其余两个角的度数或边长比例。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊角三角函数值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对特殊角三角函数值的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我意识到教学难点不仅仅在于知识的传授，更在于如何帮助学生克服心理障碍，比如对数学的恐惧和焦虑。我需要继续寻找更多有趣和富有创意的教学方法，让数学课堂变得更加生动和吸引人。
（人教版）九年级下册28-1-3特殊角三角函数值教案
一、教学内容
（人教版）九年级下册28-1-3特殊角三角函数值教案：
1.理解并掌握特殊角三角函数的定义；
2.记忆并能够熟练运用特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值；
人教版数学九年级下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计2
人教版数学九年级下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》这一章节是在学生已经掌握了锐角三角函数的定义、正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系的基础上进行学习的。
通过这一章节的学习，使学生能运用所学的锐角三角函数的定义，求特殊角的三角函数值；会使用科学计算器测量角的三角函数值，提高学生动手操作能力，培养学生的创新意识和探索精神。
二. 学情分析学生在八年级时已经学习了锐角三角函数的定义、正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系，为本节课的学习打下了基础。
但学生在学习过程中，可能对特殊角的三角函数值记忆不牢，对科学计算器的使用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生巩固特殊角的三角函数值，同时，教会学生如何使用科学计算器求角的三角函数值。
三. 教学目标1.知识与技能目标：掌握特殊角的三角函数值，能运用所学的锐角三角函数的定义，求特殊角的三角函数值；会使用科学计算器测量角的三角函数值。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生的创新意识和探索精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的动手操作能力，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.重点：特殊角的三角函数值。
2.难点：如何使用科学计算器求角的三角函数值。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过自主学习、合作交流，发现知识规律。
2.示范法：教师示范使用科学计算器测量角的三角函数值的方法。
3.练习法：学生通过练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、科学计算器。
2.学具：学生科学计算器、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习特殊角的三角函数值，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（5分钟）教师通过多媒体课件展示特殊角的三角函数值，引导学生观察、思考，发现其中的规律。
新人教版九年级数学下册《28章锐角三角函数28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案_5
特殊角的锐角三角函数值及用计算器求角的三角函数值一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学目标本节课教学目标如下：知识与技能：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算3．会用计算器求一个角的锐角函数值。
过程与方法：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
2. 经历计算器求三角函数值的过程培养学生的动手能力。
情感态度与价值观：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
三、教学重难点教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
教学难点：三角函数值的应用四、教具学具三角尺，直尺，多媒体课件，科学计算器五、教学流程（一）出示学习目标1.自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
3.会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
4.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
（二）复习巩固1.如图所示在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c 三者之间的关系是，∠A+∠B= 。
【人教版】九年级数学下册优秀教案：28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝23，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A )2＋|sin B －32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝32，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CDBC ，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE 中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BC CD ＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计1 30° 45° 60° sin α 12 22 32 cos α 32 22 12 tan α33132.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.。
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特殊角的三角函数值及计算
【学习目标】:
1、会求出30°、45°、60°角的三角函数值。
并能简单运算。
2、在学习中渗透普遍存在的相互联系、相互转化观点，逐步培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力。
3、感受推理的合理性，养成科学的学习态度。
学习重点：推导并熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
学习难点：会用特殊角的三角函数值进行计算。
预习
一．学法指导：
1、旧知链接：如图在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c
三者之间的关系是 ，∠A+∠B= 。
（2）sinA= c
a
，cosA= tanA= ;
sinB= ， cosB= ， tanB= 。
（3）若A=30°，则c
a
= __ 。
（4）sinA 和cosB 有什么关系?____________________；
2、新知预习 : ① 独立阅读课本90-91页本节内容，
对重点内容做好圈点勾画。
②结合课本的基础知识和例题，完成相关练习。
二：预习检测：
（1）sin60°--tan45°=__________ （2）cos60°+tan60°=__________
探究
探究一：推导特殊角的三角函数
值
[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 请
用逻辑推理的办法证明在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? cot30°呢？
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?请完成下表：
★学法指导：：
（1）图形记忆（2）列表记忆（3）规律记忆
观察上表，我们是否发现，对于同名三角函数，当
角度发生变化时，函数值有什么变化？
例1：求下列各式的值．
（1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45° （3）
-tan45°
拓展1：
探究二：利用特殊角的三角函数值求角。
例2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，
求∠A 的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求α．
拓展2：已知锐角A ，且sinA 是方程 的根，试求锐角A 的度数。
★ 学法指导：由三角函数值求角，主要是根据特殊角的
三角函数值求角，需要记忆30°、45°、60°角的四个三角函数值。
补充练习：
1、若cos α=sin300，α为锐角，则tan α=_________。
2、已知∠A 是锐角，若2cos （A+100）=3，则∠A=______。
3、点M （tan600，－cos600）关于x 轴的对称点N’的坐标是（ ）
A 、（－3，21）
B 、（3，21）
C 、（3，－21）
D 、（－3，－2
1
）
4、计算：
（1）1
30sin 560cos 30
0- （2）0
045cos 360sin 2+
（3）︒︒-︒30cos 30sin 260sin
cos 45sin 45︒
︒
30°
45°
60°
sin α cos α tan α
cot α ┌
┌
300
600
450
450
4
24)60sin 45(2c 2)1(0
0+-os 100)41(45cos 2118)2(-+---）（π03)31(242=++-x x。