32 流体动力学基本方程分解

u y x
uy
u y y
uz
u y z
f
z
1
p z
uz t
ux
u z x
uy
u y
z
uz
u z z
dux
dt
ux t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
du y
dt
u y t
ux
u y x
uy
u y
y
uz
u y z
du z
dt
uz t
ux
u z x
uy
u z y
第三章 流体动力学基本方程
§3.1 流体动力学基本概念
系统（质点系）：流体微团（质点）的任何集合 隔离体
系统的边界面：隔离出系统的假想表面
控制体：由空间点所组成的、用来观察流体运动的
任意一个空间体积（区域）
CV
控制表面：控制体的封闭边界
CS
§3.2 连续性方程
1 连续性微分方程
在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为控制体。设 流体在该六面体形心O΄（x、y、z）处的密度为ρ，速度为u。根 据泰勒级数展开，可得x轴方向的速度和密度变化，如图所示。
dt
dt
dt
2
gdz 1 dp d (1 u2 )
2
gdz 1 dp d (1 u2 )
Q1 Q1
Q2 Q2
Q3 Q3
1 Q1
1
2
Q2
2 3
3
Q3
1
1
Q1
2
Q2
2
3 Q3
3
§4.3 理想流体的运动学微分方程
理想流体：指没有粘性的流体。流体中不存在切向表面力， 只存在法向表面力。
流体质点的加速度
牛顿运动第二定律：作用于物体的外力等于物体动量改变率，即：
F
d dt
(mu)
牛顿定律适用于流场中任一流体质点，
uz
u z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
f
x
1
p x
du x dt
fy
1
p y
du y dt
fZ
1
p z
du z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
Baidu Nhomakorabea
理想流体的微小流束的伯努利积分
fxdx
f ydy
2 总流的连续性方程
如图，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体V， 对其空间积分可得
V
u x x
u y y
u z z
dV
0
根据高斯定理，有
恒定流动
z
V
ux x
u y y
uz z
dV
undA
A
0
V
1
v1
un是u在微元面积dA外法线方向的投影。 因侧表面上un=0，故上式可简化为
f z dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx duy dt
dy duz dt
dz
fxdx
f ydy
f z dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx duy dt
dy duz dt
dz
第一项：质量力是定常力，且是有势力
fxdx f ydy fzdz dW
ux
uy
uz
dxdydz
dxdydz
x
y
z
t
化简得
ux uy uz 0
t x
y
z
此式即为可压缩流体的连续性微分方程。
几种特殊情形下的连续性微分方程 ① 对恒定流，上式可简化为
ux uy uz 0
x
y
z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
ux u y uz 0 x y z
f x dx dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
dxdydz
du dt
x
f x dx dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
dxdydz
du dt
x
整理：
fx
1
p x
du x dt
同理：
fy
1
p y
du y dt
fZ
1
p z
du z dt
my
mz
ux
x
uy
y
uz
dxdydz
z
由于控制体的体积固定不变，所以，流进与流出控制体的总的质量差只 可能引起控制体内流体密度发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流 体的质量变化为
t
dxdydz
dxdydz
t
dxdydz
根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的总的 质量差，必等于单位时间控制体内流体的质量变化。即
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
A1 1 o
y
2 v2
A2 2
x
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
即 v1A1 v2 A2
总流的连续性方程
(一元定常流动）
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
即 v1A1 v2 A2
总流的连续性方程
(一元定常流动）
对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，有:
也适用于把流场作为一个整体来处理。
对于流体质点：
F m du dt
du : 质点运动速度改变率，即加速度
dt
§4.2 理想流体的运动学微分方程
微小平行六面体
dxdydz 中心点A（x,y,z),压强
p(x,y,z,t)
则六面体上作用着由压 强产生的法向表面力和 单位质量力fx，fy，fz
若表面力不能平衡质量 力，则微小流体必将产 生加速度a，因此在x方 向力平衡关系：
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
第一项：质量力是定常力，且是有势力
fxdx f ydy fzdz dW
第二项：不可压缩流体定常流动，则
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
第三项：不可压缩流体定常流动，流线与迹线重合，则
dux dx duy dy duz dz d (1 u2 )
第二项：不可压缩流体定常流动，则
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
第三项：不可压缩流体定常流动，流线与迹线重合，则
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
uxdux
u y du y
u z du z
1 2
d
u2 x
u2 y
uz2
d(1 u2) 2
fxdx
f ydy
f z dz
uxdA
uxdA
ux
§3.4 连续性方程
在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量差
mx
ux
ux
x
dx 2
dydz
ux
ux
x
dx 2
dydz
ux
x
dxdydz
同理，在y、z轴方向
my
uy
y
dxdydz
mz
uz
z
dxdydz
单位时间流进与流出控制体总的质量差
mx
f
x
1
p x
du x dt
f
y
1
p y
du y dt
f
Z
1
p z
du z dt
理想流体运动学微分方程 欧拉运动微分方程
f
x
1
p x
du x dt
f
y
1
p y
du y dt
f
Z
1
p z
du z dt
f
x
1
p x
ux t
ux
u x x
u
y
u y
x
uz
u x z
f
y
1
p y
u y t
ux