32 流体动力学基本方程分解
流体力学中的三大基本方程ppt课件
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
26
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
27
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
28
3.2 伯努利方程的应用
① 可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
② 以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
理想和实际流体
稳态及非稳态流动
⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x y z 0
or div 0
x y z
说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
9
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0
t
（
x
x）
（
y
y）
（
z
z）
0
div() 0
⑷二维平面流动： x y 0
在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。
31
列1、2两点的伯努利方程
：
z1
p1 r1
12
2g
z2
p2 r2
22
2g
z1
z
，
2
1
0
2
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体动力学基础2分解
9
4-3
伯 诺 里 方 程 及 其 应 用
应用伯诺里方程的几个要点
1 注意使用均匀流的静压方程
p1
z1
C1，
p2
z2
C2
C1、C2分别代表两个不同的过 流断面， C1 C2
10
4-3
伯 诺 里 方 程 及 其 应 用
应用伯诺里方程的几个要点
2 尽量使用已知参数比较多的均匀流或缓变流断面， 注意基准面的选择
从两张纸中间吹气，纸张是合拢还是分开？
4 对付强劲的台风为什么要关窗户？ 5 龙卷风来了为什么要赶紧开门窗？ 6 飞旋镖、飞板为什么能自手中飞出后又回到身边？
14
4-3
伯 诺 里 方 程 及 其 应 用
1 飞机为什么能飞起来？——机翼升力 地面效应是如何产生的？
波音747飞机的巡航速度500m/s，机翼面积约 500m2，若在机翼上下面产生2.2m/s的速度差， 则产生约340吨的升力。而飞机自重180吨、载重 66吨。
z2 8 1.5 3.5 6m p2 pa 0, v2 ?
1个未知数，1个方程，可求解速度 v2 vc
上面的方程即为补充的方程
[解] 将上面的分析过程逆行写出即可。
相对压强 hc
pc
3.5mH2O
vc2 2g
2mH 2O
•水的汽化压强
绝对压强 pv 2340 pa hv 0.234mH 2O 若不计损失，压强 hc 9.766mH 2O
4
5 6
0.62
用
孔板流量计及其流量系数
0.60
104
105
d2 d1
7 8 9 10 11
106 12
v1d1
4
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程
右端为零。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第三节 动量矩方程
例题6.3 如图6.4所示，离心压缩机叶轮转
速为 ，带动流体一起旋转，圆周速度
为 u ，流体沿叶片流动速度为w ，流量
为Q，流体密度为 ，求叶轮传递给流体
的功率。
解：流体绝对速度为 c u w
当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取
则控制体内流体内能的增量将由辐射热提供，于是有
qR d
de dt
d
d dt
ed
qR
de dt
，即 （6.11）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
据系统导数公式（输运公式），有
d dt
ed
t
ed
A w
nedA
稳定流动时由式（6.11）、（6.12）可得
（6.12）
d
u
t
d
（b）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
A wr nwrdA u
A wr ndA
Fd
A pndA
t
wrd
u t
d
u t
d
（c）
由连续性方程可知
u
t
d
uA
wr
ndA
0
，则（c）式变为
Awr nwrdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
广东石油化工学院化工原理流体动力学基本方程
3、柏努利方程的讨论 、
1）流体在管道内作稳定流动时，流体的动能、位能和 ）流体在管道内作稳定流动时，流体的动能、 静压能可以互相转化， 静压能可以互相转化 ， 但管道内任一截面流体机械能 守恒。 守恒。
h1
h2
h3
h4
2）若u1 = 0，u2 = 0，则柏努利方程与流体静止的基本 ） ， ， 方程相吻合。所以， 方程相吻合 。 所以 ， 柏努利方程描述了流体流动和静 止的基本规律。 止的基本规律。
m1 u2 m 2 u2 m 1+ gz W gz + p1 ⋅V + m e = m 2 + + p2 ⋅V + m∑hf 2 2
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、柏努利方程
1面总机械能 = 2面总机械能 面总机械能 面总机械能
m1 u2 m 2 u2 m 1+ gz W gz + p1 ⋅V + m e = m 2 + + p2 ⋅V + m∑hf 2 2
浓硫酸（ 例 2： 某车间用压缩空气来压送 ： 某车间用压缩空气来压送98%浓硫酸 （ 比重为 浓硫酸 1.84），从底层送至 米高处。每批压送量 立方米， 米高处。 立方米， ） 从底层送至15米高处 每批压送量0.3立方米 要求10分钟压完 若压头损失为0.8米硫酸柱 分钟压完。 米硫酸柱， 要求 分钟压完。若压头损失为 米硫酸柱，管径为 Φ38×3㎜，试求压缩空气的最低表压。 × ㎜ 试求压缩空气的最低表压。
流体流量与流道面积之比。 流体流量与流道面积之比。（通过单位面积的体积 流量） 简称流速 流速。 流量）。简称流速。
Vs u= A
（2）质量流速 (mass velocity) G ）
流体动力学基本方程
u
（ 2 p2 p1 )
2 g ( 1 ) h
皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2
du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z
流体动力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。
根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0CV CSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。
上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。
由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。
考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由0=dt md δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dtρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体0d dtρ=，故有 0v ∇⋅=。
由奥高公式有CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CSv ds ⋅=⎰⎰。
不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。
例1、1）定常流场中取一段流管，则由0CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
第三章 理想流体动力学基本方程(1)
H A B C D
零, 对非等截面(C与D), 位 变导数一般不为零
若H是变化的, 则∂/∂t不为零 即流动非恒定, 或流动非定常 而对于位变导数, 与上述结论 相同
例
质点沿直线以速度
V=3 x2 + y2 (m/s)运动, 求质点在(8,6) y (8,6) α 0 点的加速度 解: u=Vcosα=3 x v=3y
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等
作业
2---30
2---31
预习 第三章理想流体动力学基 本方程 §3-2 流线和流管 §3-3 连续性方程
休息一下！
质点导数概念: 质点导数概念
以量 u(x,y,z,t)为代表 为代表
u(x + ∆x, y +∆y, z +∆z, t +∆t) − u(x, y, z, t) ax = lim ∆t →0 ∆t
du Du ∂u ∂u ∆ x ∂u ∆ y ∂u ∆ z ax = = = + + + dt Dt ∂t ∂x ∆ t ∂y ∆ t ∂z ∆ t
质点导数概念可扩展到质点所携带 的其它物理量, 的其它物理量, 如密度如压强等
d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z dp ∂p ∂p ∂p ∂p = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z 用一个通式表示为 d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
box-walk_320x240.avi
质点导数概念: 质点导数概念 以质点所携带的物理量u为代表
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程流体动力学基本方程000【本章重点】（1）稳定活动与不稳定活动的概念；（2）连续性方程式的推导及其应用；（3）柏努利方程式的推导及其应用。
【本章难点剖析】（1）流体动量通量的概念动量通量，特别是粘性动量通量是一个比较抽象而又难于理解的概念，这一概念又是纳维-斯托克斯方程推的重要基础，因此，必须讲深讲透。
此概念涉及到通量、动量、粘性力、切应力（粘性应力）、层流、紊流等基本概念和牛顿粘性定律等基础知识。
讲述此概念时，首先可以从同学们所熟悉的物理学中磁通量的概念进手，引出通量（即单位时间通过单位面积传递的量）的概念，再推演出动量通量的概念，即单位时间通过单位面积传递的动量。
然后在温习前面所学的层流与紊流以及紊流的脉动性和时均化等概念的基础上，引出对活动量通量（由流体的宏观运动引起，传递方向与流体运动方向一致）和粘性动量通量（包括层流粘性动量通量和紊流粘性动量通量，前者由层流过程流体的分子运动而引起，后者由紊流过程流体微团的横向脉动引起，它们的传递方向都与流体的宏观活动方向垂直）的概念。
值得指出的是，从量纲考虑，粘性动量通量与应力的量纲一致（kgm-1s-2），故层流粘性动量通量可以用切应力来表示，即可以用牛顿粘性定律来描述；但紊流粘性动量通量比较复杂。
（2）欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导前面的流体静力学基本方程、连续性方程等的推导为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的推导打下了良好的微分法推导基础。
在此基础上比较轻易导出欧拉方程。
但纳维-斯托克斯方程的推导既有一定难度，又有一定深度，而且比较繁琐。
"难"，难在三维粘性动量通量的概念；"深"，深在二阶微分的运算和变换等数学基础；"繁"，繁在数学符号多，上下标多。
因此，在讲述推导过程时，需留意上述题目。
【本章主要内容】3.1流体活动的基本概念3.1.1流场的概念及其表示方法流场是指布满运动流体的空间。
硅酸盐热工基础---1.3(国)流体动力学
圆形管道d为直径 非圆 圆形管道 为直径,非圆 为直径 形管道用当量直径
雷诺准数 Re =
dwρ
µ
当量直径de=水利半径 H×4 水利半径R 当量直径 水利半径
Re≤2300时，流态为层流； 时 流态为层流； Re≥4000时，流态为湍流； 时 流态为湍流； 2300<Re<4000时，流态为过渡流 时
过渡流
三种流态 （A）层流：流体作有规则的平行流动，质点之间互不干扰混杂 层流：流体作有规则的平行流动， （B）过渡流：质点沿轴向前进时，在垂直于轴向上也有分速度 过渡流 质点沿轴向前进时， （C）紊流：质点间相互碰撞相互混杂，运动轨迹错综复杂 紊流：质点间相互碰撞相互混杂，
流态判断： 流态判断
z1 ( ρ a − ρ ) g + p1 + 1 1 2 ρω12 = z 2 ( ρ a − ρ ) g + p 2 + ρω 2 + 2 2
∑h
L
(4)伯努力方程的简写式： (4)伯努力方程的简写式： 伯努力方程的简写式
hs1 + h g1 + hk1 = hs 2 + h g 2 + hk 2 +
【解】列出1-1和2-2截面的伯努力方程 解 列出1
1 1 z1(ρa − ρ)g + p1 + ρω2 + He = z2 (ρa − ρ)g + p2 + ρω2 + ∑hL 1 2 2 2
由于1 由于1-1和2-2截面中心的垂直距离很小，可以认为两处几何压头相等 截面中心的垂直距离很小，
H e = ( p 2 − p1 ) +
(2)实际情况下的伯努力方程 (2)实际情况下的伯努力方程 实际流体有粘性，流动过程中有能量损失，能量方程： 实际流体有粘性，流动过程中有能量损失，能量方程：
-流体力学基本方程
力为
px dxdydz x
同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的
合力分别为
py dxdydz y
pz dxdydz z
3.3.1 流体的表面应力张量
综和上述结果，可得到作用于单位体积流体的表面力
的合力
px x
dxdydz
py y
dxdydz
pz z
dxdydz
dxdydz
px py pz x y z
3.3.2 牛顿流体的本构方程
牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时，
两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层间
速度梯度成正比，即
yx du
y
dy
μ为动力粘性系数，
u+du
其值取决于流体的 dy
u
物理性质。通常称
x
上式为牛顿内摩擦
o
定律。
z
3.3.2 牛顿流体的本构方程
根据变形率张量和应力张量，上式左边对应于 平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分 量，右边的导数项对应于变形率张量的一个分量。 因此，可以理解为τyx与εyx成正比例
少 量 应 等 于 从 ρux
o dx
x
dz
控制体净流出
的流体质量。
z
控制体内流体的流入与流出
3.2 连续性方程
(1) 控制体内流体质量的变化 dt时间中控制体内流体密度的变化为
dt
t
dt时间中控制体内流体质量的减少量为
dxdydzdt
t
3.2 连续性方程
(2) 通过控制面净流出控制体的流体质量
如右图所示的 y
正六面体流体微团，
在垂直于x轴的左
右两个侧表面上，
第4章流体动力学基本方程
h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6
第三节流体流动的基本方程
gZ1
u12 2
P1
We
gZ 2 u22 P2
2
hf
1) 柏努利方程的物理意义：在任一垂直流动方向的截面上，单位质 量流体的总机械能守恒，而每一种形式的机械能不一定相等，可以 相互转换；
2) 当流体静止时，u=0，Σhf=0，We=0，则柏努利方程变为静力学 方程，可见静力学方程式是柏努利方程的特例；
H gZ u2 2
及 H We
则：上式右简化为 △H = qe 或 H2 = H1 + qe
对于方程
U
P
u2 2
gZ
qe
We
设：① 流体不可压缩 ρ1 = ρ2 ② 流动过程流体温度不变（等温流动），△U = 0
③ 流动过程中因流体粘性而产生的机械能损失为hf,并以热的 形式向外散失。（放热为负）
u12 3335 u22 4905 2 1.20 2 1.2
化简得：
u22 u12 13733
(a)
由连续性方程有： u1 A1 u2 A2
u2
u1
d1 d2
2
u2 16u1
(b)
联立(a)、(b)两式
16u1 2 u1 2 13733
u1 7.34m / s
Vh
3600
第三节 流体流动的基本方程
管路计算
流体动力学
流体流动
管内流体 流动现象
流体流动 阻力
流速与流量
流体动力学主要研究流体流动过程中，流速、压强等参数的 变化规律，研究流体流动过程中的能量损失以及为输送流体需对 流体提供的能量，进而总结出流体在管内流动的规律。
1.3.1 流体的流量与流速 一、流量 1. 体积流量
流体动力学微分形式的基本方程
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
流体力学的三个基本方程
流体力学的三个基本方程
1. 质量守恒方程：
质量守恒方程是基于质量守恒定律的表达式，描述了流体中质量的变化。
它可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。
2. 动量守恒方程：
动量守恒方程是基于牛顿第二定律的表达式，描述了流体中动量的变化。
它可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg.
其中，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
∂v/∂t表示对时间的速度偏导数，v·∇v表示速度矢量的梯度运
算，∇·τ表示应力张量的散度。
3. 能量守恒方程：
能量守恒方程描述了流体中能量的变化。
它可以表示为：
∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -p∇·v + ∇·(k∇T) +
ρv·g + Q.
其中，e是单位质量的内能，T是流体的温度，k是热传导系数，Q是单位质量的热源或耗散。
∂(ρe)/∂t表示对时间的内能偏导数，∇·(ρev)表示内能流的散度，p∇·v表示压力功的散度，
∇·(k∇T)表示热传导的散度，ρv·g表示重力功的散度。
这三个基本方程是流体力学的核心方程，通过它们可以描述流
体在各种条件下的运动、变形和能量转换。
它们是流体力学研究和
工程应用的基础。
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ux
uy
uz
dxdydz
dxdydz
x
y
z
t
化简得
ux uy uz 0
t x
y
z
此式即为可压缩流体的连续性微分方程。
几种特殊情形下的连续性微分方程 ① 对恒定流，上式可简化为
ux uy uz 0
x
y
z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
ux u y uz 0 x y z
Q1 Q1
Q2 Q2
Q3 Q3
1 Q1
1
2
Q2
2 3
3
Q3
1
1
Q1
2
Q2
2
3 Q3
3
§4.3 理想流体的运动学微分方程
理想流体：指没有粘性的流体。流体中不存在切向表面力， 只存在法向表面力。
流体质点的加速度
牛顿运动第二定律：作用于物体的外力等于物体动量改变率，即：
F
d dt
(mu)
牛顿定律适用于流场中任一流体质点，
第二项：不可压缩流体定常流动，则
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
第三项：不可压缩流体定常流动，流线与迹线重合，则
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
uxdux
u y du y
u z du z
1 2
d
u2 x
u2 y
uz2
d(1 u2) 2
fxdx
f ydy
f z dz
f z dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx duy dt
dy duz dt
dz
fxdx
f ydy
f z dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx duy dt
dy duz dt
dz
第一项：质量力是定常力，且是有势力
fxdx f ydy fzdz dW
my
mz
ux
x
uy
y
uz
dxdydz
z
由于控制体的体积固定不变，所以，流进与流出控制体的总的质量差只 可能引起控制体内流体密度发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流 体的质量变化为
t
dxdydz
dxdydz
t
dxdydz
根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的总的 质量差，必等于单位时间控制体内流体的质量变化。即
f x dx dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
dxdydz
du dt
x
f x dx dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
(
p
1 2
p x
dx)dydz
dxdydz
du dt
x
整理：
fx
1
p x
du x dt
同理：
fy
1
p y
du y dt
fZ
1
p z
du z dt
uxdA
uxdA
ux
§3.4 连续性方程
在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量差
mx
ux
ux
x
dx 2
dydz
ux
ux
x
dx 2
dydz
ux
x
dxdydz
同理，在y、z轴方向
my
uy
y
dxdydz
mz
uz
z
dxdydz
单位时间流进与流出控制体总的质量差
mx
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
A1 1 o
y
2 v2
A2 2
x
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
即 v1A1 v2 A2
总流的连续性方程
(一元定常流动）
u1dA1 u2dA2 0
A1
A2
即 v1A1 v2 A2
总流的连续性方程
(一元定常流动）
对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，有:
dt
dt
dt
2
gdz 1 dp d (1 u2 )
2
gdz 1 dp d (1 u2 )
第三章 流体动力学基本方程
§3.1 流体动力学基本概念
系统（质点系）：流体微团（质点）的任何集合 隔离体
系统的边界面：隔离出系统的假想表面
控制体：由空间点所组成的、用来观察流体运动的
任意一个空间体积（区域）
CV
控制表面：控制体的封闭边界
CS
§3.2 连续性方程
1 连续性微分方程
在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为控制体。设 流体在该六面体形心O΄（x、y、z）处的密度为ρ，速度为u。根 据泰勒级数展开，可得x轴方向的速度和密度变化，如图所示。
也适用于把流场作为一个整体来处理。
对于流体质点：
F m du dt
du : 质点运动速度改变率，即加速度
dt
§4.2 理想流体的运动学微分方程
微小平行六面体
dxdydz 中心点A（x,y,z),压强
p(x,y,z,t)
则六面体上作用着由压 强产生的法向表面力和 单位质量力fx，fy，fz
若表面力不能平衡质量 力，则微小流体必将产 生加速度a，因此在x方 向力平衡关系：
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dt
dx
du y dt
dy 有势力
fxdx f ydy fzdz dW
第二项：不可压缩流体定常流动，则
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
第三项：不可压缩流体定常流动，流线与迹线重合，则
dux dx duy dy duz dz d (1 u2 )
uz
u z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
f
x
1
p x
du x dt
fy
1
p y
du y dt
fZ
1
p z
du z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
理想流体的微小流束的伯努利积分
fxdx
f ydy
2 总流的连续性方程
如图，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体V， 对其空间积分可得
V
u x x
u y y
u z z
dV
0
根据高斯定理，有
恒定流动
z
V
ux x
u y y
uz z
dV
undA
A
0
V
1
v1
un是u在微元面积dA外法线方向的投影。 因侧表面上un=0，故上式可简化为
u y x
uy
u y y
uz
u y z
f
z
1
p z
uz t
ux
u z x
uy
u y
z
uz
u z z
dux
dt
ux t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
du y
dt
u y t
ux
u y x
uy
u y
y
uz
u y z
du z
dt
uz t
ux
u z x
uy
u z y
f
x
1
p x
du x dt
f
y
1
p y
du y dt
f
Z
1
p z
du z dt
理想流体运动学微分方程 欧拉运动微分方程
f
x
1
p x
du x dt
f
y
1
p y
du y dt
f
Z
1
p z
du z dt
f
x
1
p x
ux t
ux
u x x
u
y
u y
x
uz
u x z
f
y
1
p y
u y t
ux