(完整word版)质点系牛顿第二定律-分析

质点系牛顿第二定律的讨论

浙江邮电职业技术学院 徐超明

《中学物理》24卷第7期《质点系牛顿第二定律的简单应用》（简称吴文）讨论了质点系部分质点有相对加速度时的求解方法，提出了用质点系牛顿第二定律求解连接体要比隔离法简单。是的，吴文实际上将质点系的质点加速度在正交直角坐标系两个方向上进行分解，并整体列方程进行求解。

质点系牛顿第二定律可叙述为：质点系的合外力等于系统内各质点的质量与

加速度乘积的矢量和。即：

F 合＝m 1a 1+m 2a 2+m 3a 3+……＋m n a n （1）

这里假定质点系中有n 个质点具有对地的相对加速度。 （上见吴文） 将（1）式再变形，可得：

F 合－m 1a 1－m 2a 2－m 3a 3－……－m n a n ＝0 （2）

若令F 1’＝－m 1a 1，F 2’＝－m 2a 2，F 3’＝－m 3a 3，……，F n ’＝－m n a n

则 F 合+∑=n

i 1F i ’=0 （3）

从（3）式可得：如果将第i 个质点的加速度效应用F i ’来代替，则就可以用

力合成的静力学方法来求解具有加速度的动力学问题，使质点系部分质点具有加速度的求解比吴文更简单。

值得注意的是F i ’为人为假设力，不是真实存在的，它没有施力体，其大小等于该质点质量与质点加速度的乘积，方向与加速度方向相反。

例1 如图1，质量为M 、倾角为α

的斜面静止在粗糙的水平面上，质量为m

的滑块沿M 粗糙的斜面以加速度a 下滑，求地面对M 的支持力和摩擦力。 图1

解：在M 、m 两质点组成的系统中，受到竖直向下的重力（M ＋m ）g ；地

面对质点系的支持力N；F1’是质点m因具有加

速度a而转换成的假设力，其大小为ma，方向

与加速度a相反；f是地面对质点系的摩擦力，

如图2。

这样我们就可马上求得：

f＝F1’cosα=ma cosα

N ＝（M＋m）g－F1’sinα

＝（M＋m）g－ma sinα图2

例2：如图3，静止在水平面上的木箱M

中央有一根竖直的杆，小环m沿杆有摩擦地以

加速度a下滑，求M对地面的压力的大小。

图3 解：在M、m两质点组成的系统中，受到重力

（M＋m）g，地面对质点系的支持力N，质点m因

具有a加速度而添加的假设力ma，如图4。

则立即可得到：

N ＝（M＋m）g－ma

图4 例3：如图5，质量为M的木板可沿放在

水平面上固定不动、倾角为α的斜面无摩擦地滑

下。欲使木板静止在斜面上，木板上质量为m的

人应以多大的加速度沿斜面向下奔跑？

图5 解：在M、m两质点组成的系统中，受到竖

直向下的重力(M+m)g，斜面对质点系的支持力

N ，质点m 因具有a 加速度a 而添加的假设力ma ，如图6。

在沿斜面即x 方向上，有：

（M ＋m ）g sin α－ma ＝0 图6

即：a ＝αsin g m

m M + 可以看出：用假设力去代替系统内离散质点的加速度效应的方法去求解质点系非常简单。只要将系统作为一个整体，首先分析其所受外力，并将离散质点的加速度效应分别用假设力去代替，再用静力学方法列方程求解未知量。

此方法在多质点系中更显优势。下面再举一个三质点系统问题。

例4： 如图7，质量为M 、倾角分别为1α、2α的粗糙斜面上，质量为m 1、m 2的两个滑块在斜面上分别以a 1、a 2加速度下滑，如果斜面不动，则地面对M 的支持力和摩擦力分别是多少？

图7

解：在M 、m 1、m 2三质点组成

的系统中，受到竖直向下的重力(M+

m 1＋m 2)g ，地面对质点系的支持力

N ，质点m 1因具有a 1加速度而转换

的假设力m 1a 1，质点m 2因具有a 2加

速度而转换的假设力m 2a 2，f 是地面

对质点系的摩擦力，如图8。 图8

在y 轴方向：

N ＝（M ＋m 1＋m 2）g －m 1a 1 sin 1α－m 2a 2 sin 2α

在x 轴方向：

f = m 2a 2 cos 2α－m 1a 1 cos 1α

当m 2a 2 cos 2α> m 1a 1 cos 1α时，摩擦力f 方向如图8所示。

当m 2a 2 cos 2α< m 1a 1 cos 1α时，摩擦力f 方向与图8所示方向相反。

上题若用隔离法求解则相当麻烦，用吴文的办法处理也有一定的难度，有兴趣的同学可以练习解答。