全微分方程的解法

方程的通解为： ysinxx2ey2yC
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例3：验证方程
(ex y )d x (x 2 siny )d y 0
是全微分方程，并求它的通解。
解：由于 P(x,y)ex y Q (x,y)x2siny
P(x, y) 1Q(x, y)
y
x
所以方程为全微分方程。
(1) 线积分法:
(x,y)
(x,y) P (x,y)dxQ (x,y)dy (0,0)
xesds
y
(x2sins)ds
0
0
ex1xy2cosy2 .
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故通解为 exxy2cosyC
(2) 偏积分法:
假设所求全微分函数为 (x, y) ,则有
(x, y) ex y x
(x,y) x2siny y
(x,y)sinxx2ey2 y
( x , y ) ( y c o s x 2 x e y ) d x ( y ) y s i n x x 2 e y ( y )
代入可得 s in x x 2 e y(y ) s in x x 2 e y 2
因此 (y) 2
从而 (y) 2y 即 (x ,y ) ysin x x 2 e y 2 y C
恰当方程（全微分方程）
一、概念 二、全微分方程的解法
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接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程 类型。为此，将一阶正规形微分方程dyf(x,y)改写成
dx f(x,y)dxdy0，或更一般地，P(x,y)dxQ(x,y)dy0 的形式。
由前面的例子可以看到，把微分方程写成这种形式的优点在 于：既可以把y看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看 成未知函数，y看成自变量。即变量x与变量y在方程中的地位 是对称的，因此也常称形式为P(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程 为对称形式的微分方程。
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
(x,y)
(x,y) P (x,y)dxQ (x,y)dy (0,0)
x2 xd xysinxx2 ey 2d y
0
0
ysinxx2ey2y
故通解为 ysinxx2ey2yC
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(2) 偏积分法:
假设所求全微分函数为 (x, y),则有
(x,y)ycosx2xey, x
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则存在原函数 (x,，y)使得
d ( x ,y ) P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
所以 P(x,y),Q(x,y)
x
y
将以上二式分别对 x , y 求偏导数，得到
2P, 2Q xy y yx x
又因为 P(x,y),Q(x,y)偏导数连续，
所以
2 2
xy yx
代入第二个等式，应有
xP(x,y)dx(y)
y x0 y
xQ(x,y)dx(y)
x0 x
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xQ(x,y)dx(y) x0 x
Q (x ,y ) Q (x 0 ,y ) (y )
因此
(y)Q(x0,y)
Baidu Nhomakorabea，则
(y)
y
y0Q(x0,y)dyC
因此可以取
x
y
(x,y)x0P (x,y)dxy0Q (x0,y)dy
2
所以是全微分方程.
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例 ： 求 方 程 y d x x d y 0 的 通 解 。
解 ： 因 为 d (x y ) y d x x d y ,所 以 y d x x d y 0 为 恰 当 方 程 ， 且 通 解 为 x y C .
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问题: （1）如何判断全微分方程？
（2）如何求解全微分方程？
(x,y)
或 (x,y) P (x,y)dxQ (x,y)dy (x0,y0)
(2) 偏积分法
P(x,y),Q(x,y)
x
y
第一个等式对 x 积分 (x,y)P (x,y)d x (y)
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代入第二个等式求 ( y ) ，即可得 (x, y)
(3)凑微分法
直接凑微分得 (x, y)
例2：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。
解：由于 P (x,y)ycosx2xey
Q (x,y)sinxx2ey2
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P(x, y) cosx2xey, y
P(x, y) Q(x, y)
y
x
Q(x,y)cosx2xey x
（3）如何转化为全微分方程？
定理1 设函数 P ( x, y )和 Q ( x, y ) 在一个矩形区域
R中连续且有连续的一阶偏导数，则 P (x,y)d x Q (x,y)d y 0是全微分方程
P(x, y) Q(x, y)
y
x
证明：（1）证明必要性
因为 P (x,y)d x Q (x,y)d y 0是全微分方程，
此时 d ( x ,y ) P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
这里由于 P Q ，故曲线积分与路径无关。因此 y x
(x,y)
(x,y) P (x,y)dxQ (x,y)dy (x0,y0)
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二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
x
y
(x,y)x0P (x,y)dxy0Q (x0,y)dy
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一、概念 定义:若有全微分形式
d ( x ,y ) P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
则 P (x ,y )d x Q (x ,y )d y 0称为全微分方程。
通解则为 (x,y)C （C为任意常数）。
例1：方程 xdxydy0是否为全微分方程？
解：令u(x,y)1(x2y2), d u (x,y)xd xyd y,
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(3) 凑微分法: 由于 y c o sx d x s in x d y d (y s in x )
2xeydxx2eydyd(x2ey)
2dyd(2y)
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
( y c o s x d x s i n x d y ) ( 2 x e y d x x 2 e y d y ) 2 d y 0
，即 P Q y x
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（2）证明充分性
设 P Q ，求一个二元函数 (x, y)使它满足 y x
d ( x ,y ) P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y这里
即 P(x,y),Q(x,y) (x0,y0)R
x
y
由第一个等式，应有 (x,y)xP(x,y)dx(y) x0