结构力学第五章 三铰拱讲解

x l/2
l/2
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
ql/2
l
ql/2
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
n
r
N
t
d / 2
N+dN
d
∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
由
0，
N
cos d
2
- N

dN cos d
第五章 三铰拱
• 学习目的和要求
• 通过本章学习要求达到： 1. 熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。 2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 3. 掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征。
学习内容
1、 三铰拱的组成特点及其优缺点； 2、三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制； 3、三铰拱的合理拱轴线。
§5.1 三铰拱的组成与类型
其缺点是： 拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下
部结构的 材料用量；
§5.2 反力和内力计算
• 当两支座在同一水平线上时，称为等高 拱或平拱，否则称为斜拱。
• 分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对 比，以便于计算和对比分析拱的受力性 质。
P
C
↓↓↓↓↓
f
一、反力计算 H A
BH
对拱：∑MB=0
VA=∑MBP/l
VA
a l/2
l/2
VB
对梁：∑MB=0
P
c ↓↓↓↓↓
YA=∑MBP/l
∴ VA=YA （1）
同理 VB=YB （2） YA
a l
YB
由 ∑MC=0
得 VA×l/2 － P×a－H×f=0
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩
H=（VA×l／2－ P×a）／f
在荷载、跨度给定时，合 理拱轴线 随 f 的不同而有多 条,不是唯一的。
y（x）=M°(x)／H
M 0 (x) qx (l - x) 2
M 0(x)
=f
M
0 C
M
0 C

ql 2 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
yq
C
f
A
x
B
y(x) f
M 0 (x)
M
0 C

4f l2
x(l - x)
• 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪 力等于零,只有轴力的拱轴线
∵在荷载、跨度、矢高给
三铰拱的合理轴线
定时，H是一个常数.∴合理拱
在给定荷载作用下使拱内各截面弯 矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。
由 M（x）=M°(x)－Hy(x)=0
可得合理拱轴线方程为
轴线与相应的简支梁的弯矩图 形状相似，对应竖标成比例.
dy(2xy) dx2

MH1H0d((xdq2q)xM0(x2)0g
y)
q0 x
q0+γf
dd22My ddx x 2 2
0
-
g yqq(x0)
HH
y Ach
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g x Bsh
H
g
H
x
-
q0
g
x 0, y 0 ;
A

q0
g
x 0 , dy 0 ; B 0 dx
y

q0
由截面法可推出三铰拱的内力计算公式为：
注：1、该组公式仅用于两底铰在同一水平线上,且承受竖向荷载； 2、在拱的左半跨φ取正右半跨取负； 3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 4、 M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变。
§5.3 合理拱轴线
• 三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨 度结构上用料比梁省，因而在桥梁和屋 盖中广泛应用。
• 拱的各部名称如下：
拱的基本特点是在竖向荷载作用下会产生水 平推力。水平推力的存在与否是区别拱与梁 的主要标志。
带拉杆的拱：在屋架中，为消除水平推力
对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆， 由拉杆来承担水平推力，如下图。
2

0, 得
dN 0
即拱截面上的轴力N为常数。
由于d很小，
由
n

0，
N
sin
d
2

N

dN
sin
d
2
-
qds

0,
取sin d d , 22
得 Nd - qds 0
并略去高阶微量，
故 rN
q
由于N为常数，故r也为常数。
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
例： 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高度，可 将桥面吊在拱上。如下图。
拱的特点： 在竖向荷载作用下能产生水平反力。水平反力
产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相 比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力 沿截面高度分布较均匀。节省材料，减轻自重，能 跨越大跨度。宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石 混凝土等。有较大的可利用空间。
Q°
M ＝VAA××Mxx－－0 PP××dd－H×y M＝ M°－H×y
P
C
↓↓↓↓↓
f
a l/2
P
x da
l/2
c ↓↓↓↓↓
l
BH
VB YB
Q＝（V －P）×cos－H×sin A
Q＝Q°× cos － H×sin
N＝－（V －P）sin－Hcos A
N＝－Q°sin －Hcos
即:
H

M
0 C
(3)
f
M
0 C
=YA×l／2－P×a
是简支梁的C截
面弯矩
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①该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上 且承受竖向荷载。
②三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的 位置）有关，而与拱轴线的形状无关。
③ 水平推力与矢高成反比。
二、内力计算
HA
MN
P
VA
H
xy Q
VA P
YA
d
YA M°
g
ch
g x -1
H

A l/2
C f
B l/2
y
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
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